Si përcaktohet barazia e një funksioni? Studimi i funksionit

Përkufizimi 1. Funksioni thirret madje (i çuditshëm ), nëse së bashku me çdo vlerë ndryshore
kuptimi - X gjithashtu i përket
dhe barazia qëndron

Kështu, një funksion mund të jetë çift ose tek vetëm nëse fusha e tij e përkufizimit është simetrik në lidhje me origjinën e koordinatave në vijën numerike (numri X Dhe - X i përkasin në të njëjtën kohë
). Për shembull, funksioni
nuk është as çift, as tek, meqenëse domeni i përkufizimit të tij
jo simetrik në lidhje me origjinën.

Funksioni
madje, sepse
simetrike për origjinën dhe.

Funksioni
e çuditshme, sepse
Dhe
.

Funksioni
nuk është çift dhe tek, pasi edhe pse
dhe është simetrik në lidhje me origjinën, barazitë (11.1) nuk janë të kënaqura. Për shembull,.

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin OU, sepse nëse pika

i takon edhe orarit. Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën, pasi nëse
i përket grafikut, pastaj pikës
i takon edhe orarit.

Kur provoni nëse një funksion është çift apo tek, pohimet e mëposhtme janë të dobishme.

Teorema 1. a) Shuma e dy funksioneve çift (tek) është një funksion çift (tek).

b) Prodhimi i dy funksioneve çift (tek) është një funksion çift.

c) Prodhimi i një funksioni çift dhe tek është një funksion tek.

d) Nëse f– madje funksionon në komplet X, dhe funksionin g të përcaktuara në set
, pastaj funksioni
– madje.

d) Nëse f– funksion tek në grup X, dhe funksionin g të përcaktuara në set
dhe çift (tek), pastaj funksioni
– çift (tek).

Dëshmi. Le të provojmë, për shembull, b) dhe d).

b) Le
Dhe
– edhe funksionet. Atëherë, pra. Rasti i funksioneve tek trajtohet në mënyrë të ngjashme
Dhe
.

d) Le f është një funksion i barabartë. Pastaj.

Pohimet e mbetura të teoremës mund të vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Teorema është e vërtetuar.

Teorema 2. Çdo funksion
, të përcaktuara në set X, simetrike për origjinën, mund të paraqitet si një shumë e funksioneve çift dhe tek.

Dëshmi. Funksioni
mund të shkruhet në formë

Funksioni
- madje, sepse
, dhe funksionin
- e çuditshme, sepse. Kështu,
, Ku
- madje, dhe
– funksionet tek. Teorema është e vërtetuar.

Përkufizimi 2. Funksioni
thirrur periodike , nëse ka një numër
, e tillë që për ndonjë
numrat
Dhe
gjithashtu i përkasin fushës së përkufizimit
dhe barazitë plotësohen

Një numër i tillë T thirrur periudhë funksione
.

Nga përkufizimi 1 rezulton se nëse T– periudha e funksionit
, pastaj numri - T Njësoj është periudha e funksionit
(që kur ndërrohet T në - T barazia ruhet). Duke përdorur metodën e induksionit matematik mund të tregohet se nëse T– periudha e funksionit f, pastaj
, është gjithashtu një periudhë. Nga kjo rrjedh se nëse një funksion ka një periudhë, atëherë ai ka pafundësisht shumë perioda.

Përkufizimi 3. Më e vogla nga periudhat pozitive të një funksioni quhet e saj kryesore periudhë.

Teorema 3. Nëse T– periudha kryesore e funksionit f, atëherë periudhat e mbetura janë shumëfish të saj.

Dëshmi. Le të supozojmë të kundërtën, pra se ka një periudhë funksione f (>0), jo shumëfish T. Pastaj, duke ndarë në T me pjesën e mbetur, marrim
, Ku
. Kjo është arsyeja pse

kjo eshte – periudha e funksionit f, dhe
, dhe kjo bie ndesh me faktin se T– periudha kryesore e funksionit f. Deklarata e teoremës rrjedh nga kontradikta që rezulton. Teorema është e vërtetuar.

Është e njohur se funksionet trigonometrike janë periodike. Periudha kryesore
Dhe
barazohet
,
Dhe
. Le të gjejmë periudhën e funksionit
. Le
- periudha e këtij funksioni. Pastaj

(sepse
.

oror
.

Kuptimi T, e përcaktuar nga barazia e parë, nuk mund të jetë një periudhë, pasi varet nga X, d.m.th. është një funksion i X, dhe jo një numër konstant. Periudha përcaktohet nga barazia e dytë:
. Ka pafundësisht shumë periudha, me
periudha më e vogël pozitive fitohet në
:
. Kjo është periudha kryesore e funksionit
.

Një shembull i një funksioni periodik më kompleks është funksioni Dirichlet

Vini re se nëse T atëherë është një numër racional
Dhe
janë numra racionalë për racionalë X dhe irracionale kur irracionale X. Kjo është arsyeja pse

për çdo numër racional T. Prandaj, çdo numër racional Tështë periudha e funksionit Dirichlet. Është e qartë se ky funksion nuk ka një periudhë kryesore, pasi ka pozitive numrat racionalë, në mënyrë arbitrare afër zeros (për shembull, një numër racional mund të bëhet një zgjedhje n në mënyrë arbitrare afër zeros).

Teorema 4. Nëse funksioni f të përcaktuara në set X dhe ka një periudhë T, dhe funksionin g të përcaktuara në set
, pastaj një funksion kompleks
gjithashtu ka një periudhë T.

Dëshmi. Prandaj kemi

pra vërtetohet pohimi i teoremës.

Për shembull, që nga cos x ka një periudhë
, pastaj funksionet
kanë një periudhë
.

Përkufizimi 4. Funksionet që nuk janë periodike quhen jo periodike .

Varësia e një ndryshoreje y nga një ndryshore x, në të cilën çdo vlerë e x korrespondon me një vlerë të vetme të y quhet funksion. Për emërtim përdorni shënimin y=f(x). Secili funksion ka një sërë veçorish themelore, si monotoniteti, barazia, periodiciteti dhe të tjera.

Konsideroni më shumë detaje pronë barazi.

Një funksion y=f(x) thirret edhe nëse plotëson dy kushtet e mëposhtme:

2. Vlera e funksionit në pikën x, që i përket fushës së përcaktimit të funksionit, duhet të jetë e barabartë me vlerën e funksionit në pikën -x. Domethënë, për çdo pikë x, barazia e mëposhtme duhet të plotësohet nga fusha e përkufizimit të funksionit: f(x) = f(-x).

Grafiku i një funksioni çift

Nëse vizatoni një grafik të një funksioni çift, ai do të jetë simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Për shembull, funksioni y=x^2 është çift. Le ta kontrollojmë. E gjithë fusha e përkufizimit boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=3 arbitrare. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prandaj f(x) = f(-x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është i barabartë. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^2.

Figura tregon se grafiku është simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Grafiku i një funksioni tek

Një funksion y=f(x) quhet tek nëse plotëson dy kushtet e mëposhtme:

1. Domeni i përkufizimit të një funksioni të caktuar duhet të jetë simetrik në lidhje me pikën O. Kjo do të thotë, nëse një pikë a i përket fushës së përkufizimit të funksionit, atëherë edhe pika përkatëse -a duhet t'i përkasë domenit të përkufizimit. të funksionit të dhënë.

2. Për çdo pikë x, nga fusha e përcaktimit të funksionit duhet të plotësohet barazia e mëposhtme: f(x) = -f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me pikën O - origjina e koordinatave. Për shembull, funksioni y=x^3 është tek. Le ta kontrollojmë. Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=2 arbitrare. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prandaj f(x) = -f(x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është tek. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^3.

Figura tregon qartë se Jo madje funksion y=x^3 është simetrik në lidhje me origjinën.

madje, nëse për të gjitha $x$ nga domeni i tij i përkufizimit është e vërtetë: $f(-x)=f(x)$ .

Grafiku i një funksioni çift është simetrik rreth boshtit $y$:

Shembull: funksioni $f(x)=x^2+\cos x$ është çift, sepse $f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)$.

$\blacktreangleright$ Thërret funksioni $f(x)$. i çuditshëm, nëse për të gjitha $x$ nga domeni i tij i përkufizimit është e vërtetë: $f(-x)=-f(x)$ .

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën:

Shembull: funksioni $f(x)=x^3+x$ është tek sepse $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$.

$\blacktriangleright$ Funksionet që nuk janë as çift e as tek quhen funksione pamje e përgjithshme. Një funksion i tillë gjithmonë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si shuma e një funksioni çift dhe tek.

Për shembull, funksioni $f(x)=x^2-x$ është shuma e funksionit çift $f_1=x^2$ dhe tek $f_2=-x$ .

$\drejtkëndëshi i zi$ Disa veti:

1) Prodhimi dhe herësi i dy funksioneve me të njëjtin paritet është një funksion çift.

2) Prodhimi dhe herësi i dy funksioneve të pariteteve të ndryshme është një funksion tek.

3) Shuma dhe ndryshimi i funksioneve çift - funksion çift.

4) Shuma dhe diferenca e funksioneve tek - funksion tek.

5) Nëse $f(x)$ është një funksion çift, atëherë ekuacioni $f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)$) ka një rrënjë unike nëse dhe vetëm kur $ x =0$ .

6) Nëse $f(x)$ është një funksion çift ose tek, dhe ekuacioni $f(x)=0$ ka një rrënjë $x=b$, atëherë ky ekuacion do të ketë domosdoshmërisht një të dytë rrënja $x =-b$ .

$\trekëndëshi i zi$ Funksioni $f(x)$ quhet periodik në $X$ nëse për një numër $T\ne 0$ vlen si vijon: $f(x)=f( x+T) $ , ku $x, x+T\në X$ . $T$ më e vogël për të cilën plotësohet kjo barazi quhet periudha kryesore (kryesore) e funksionit.

U funksion periodikçdo numër i formës $nT$ , ku $n\in \mathbb(Z)$ do të jetë gjithashtu një pikë.

Shembull: çdo funksioni trigonometrikështë periodik;
për funksionet $f(x)=\sin x$ dhe $f(x)=\cos x$ periudha kryesoreështë e barabartë me $2\pi$, funksionet $f(x)=\mathrm(tg)\,x$ dhe $f(x)=\mathrm(ctg)\,x$ kanë një periudha kryesore e barabartë me \ (\pi\) .

Për të ndërtuar një grafik të një funksioni periodik, mund ta vizatoni grafikun e tij në çdo segment me gjatësi $T$ (periudha kryesore); atëherë grafiku i të gjithë funksionit plotësohet duke zhvendosur pjesën e ndërtuar me një numër të plotë periodash djathtas dhe majtas:

$\blacktriangleright$ Domeni $D(f)$ i funksionit $f(x)$ është një grup i përbërë nga të gjitha vlerat e argumentit $x$ për të cilin funksioni ka kuptim (është përcaktuar).

Shembull: funksioni $f(x)=\sqrt x+1$ ka një domen të përkufizimit: \(x\in

Detyra 1 #6364

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Në cilat vlera të parametrit $a$ bën ekuacioni

Ajo ka vetëm vendim?

Vini re se meqenëse $x^2$ dhe $\cos x$ janë funksione çift, nëse ekuacioni ka një rrënjë $x_0$ , ai do të ketë gjithashtu një rrënjë $-x_0$ .
Në të vërtetë, le të jetë $x_0$ një rrënjë, domethënë barazia $2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0$ drejtë. Le të zëvendësojmë $-x_0$ : $2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0$.

Kështu, nëse $x_0\ne 0$ , atëherë ekuacioni do të ketë tashmë të paktën dy rrënjë. Prandaj, $x_0=0$ . Pastaj:

Ne morëm dy vlera për parametrin $a$. Vini re se kemi përdorur faktin që $x=0$ është pikërisht rrënja e ekuacionit origjinal. Por asnjëherë nuk e kemi shfrytëzuar faktin që ai është i vetmi. Prandaj, duhet të zëvendësoni vlerat rezultuese të parametrit $a$ në ekuacioni origjinal dhe kontrolloni se për cilën $a$ rrënja $x=0$ do të jetë vërtet unike.

1) Nëse $a=0$ , atëherë ekuacioni do të marrë formën $2x^2=0$ . Natyrisht, ky ekuacion ka vetëm një rrënjë $x=0$ . Prandaj, vlera $a=0$ na përshtatet.

2) Nëse $a=-\mathrm(tg)\,1$ , atëherë ekuacioni do të marrë formën \ Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ Sepse $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$, Kjo $-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1$. Rrjedhimisht, vlerat e anës së djathtë të ekuacionit (*) i përkasin segmentit $[-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]$.

Meqenëse $x^2\geqslant 0$ , atëherë ana e majte ekuacioni (*) është më i madh ose i barabartë me $0+ \mathrm(tg)^2\,1$ .

Kështu, barazia (*) mund të jetë e vërtetë vetëm kur të dyja anët e ekuacionit janë të barabarta me $\mathrm(tg)^2\,1$ . Dhe kjo do të thotë se \[\fillimi(rastet) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(rastet) \quad\Shigjeta e majta e djathta\katër \fillimi(rastet) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \fund(rastet)\katër\Shigjeta e majta djathtas\katër x=0\] Prandaj, vlera $a=-\mathrm(tg)\,1$ na përshtatet.

Përgjigje:

$a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0$\)

Detyra 2 #3923

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit $a$, për secilën prej të cilave grafiku i funksionit \

simetrike për origjinën.

Nëse grafiku i një funksioni është simetrik në lidhje me origjinën, atëherë një funksion i tillë është tek, domethënë $f(-x)=-f(x)$ vlen për çdo $x$ nga fusha e përkufizimit të funksionit. Kështu, kërkohet të gjenden ato vlera të parametrave për të cilat $f(-x)=-f(x).$

\[\fillim(i rreshtuar) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\djathtas)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\majtas(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\djathtas)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\djathtas)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightshigjeta \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\djathtas)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \fund (lidhur)\]

Ekuacioni i fundit duhet të plotësohet për të gjithë $x$ nga domeni i $f(x)$, prandaj, $\sin(2\pi a)=0 \Djathtas a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$.

Përgjigje:

$\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$

Detyra 3 #3069

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit $a$, për secilën prej të cilave ekuacioni \ ka 4 zgjidhje, ku $f$ është një funksion i barabartë periodik me periodë $T=\dfrac(16)3$ të përcaktuara në të gjithë rreshtin numerik , dhe $f(x)=ax^2$ për $0\leqslant x\leqslant \dfrac83.$

(Detyrë nga abonentët)

Meqenëse $f(x)$ është një funksion çift, grafiku i tij është simetrik rreth boshtit të ordinatave, prandaj, kur $-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0$$f(x)=ax^2$ . Kështu, kur $-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83$, dhe ky është një segment me gjatësi $\dfrac(16)3$ , funksion $f(x)=ax^2$ .

1) Le të $a>0$ . Atëherë grafiku i funksionit $f(x)$ do të duket kështu:

Pastaj, në mënyrë që ekuacioni të ketë 4 zgjidhje, është e nevojshme që grafiku $g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx$ të kalojë në pikën $A$ :

Prandaj, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Shigjeta majtas\katër \majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\fund(radhitur)\fund(mbledhur)\djathtas. \quad\Shigjeta djathtas\katër \majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(i rreshtuar) \end( mbledhur)\ drejtë.\] Meqenëse $a>0$ , atëherë $a=\dfrac(18)(23)$ është i përshtatshëm.

2) Le të $a<0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Është e nevojshme që grafiku $g(x)$ të kalojë nëpër pikën $B$ : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \majtas[\begin(mbled)\begin(linjëzuar) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end (lidhur) \end (mbledhur)\djathtas.\] Meqenëse $a<0$ , то подходит $a=-\dfrac{18}{41}$ .

3) Rasti kur $a=0$ nuk është i përshtatshëm, që atëherë $f(x)=0$ për të gjitha $x$ , $g(x)=2\sqrtx$ dhe ekuacioni do të ketë vetëm 1 rrënjë.

Përgjigje:

$a\në \majtas\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\djathtas$\)

Detyra 4 #3072

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e $a$ , për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka të paktën një rrënjë.

(Detyrë nga abonentët)

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ dhe merrni parasysh dy funksione: $g(x)=7\sqrt(2x^2+49)$ dhe $f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funksioni \(g(x)$ është çift dhe ka një pikë minimale $x=0$ (dhe $g(0)=49$ ).
Funksioni $f(x)$ për $x>0$ është në rënie, dhe për $x<0$ – возрастающей, следовательно, $x=0$ – точка максимума.
Në të vërtetë, kur $x>0$ moduli i dytë do të hapet pozitivisht ($|x|=x$ ), prandaj, pavarësisht se si do të hapet moduli i parë, $f(x)$ do të jetë i barabartë në $ kx+A$ , ku $A$ është shprehja e $a$ dhe $k$ është e barabartë me $-9$ ose $-3$ . Kur $x<0$ наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
Le të gjejmë vlerën e $f$ në pikën maksimale: \

Në mënyrë që ekuacioni të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme që grafikët e funksioneve $f$ dhe $g$ të kenë të paktën një pikë kryqëzimi. Prandaj, ju duhet: \ \\]

Përgjigje:

$a\në \(-7$\kupë\)

Detyra 5 #3912

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit $a$, për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka gjashtë zgjidhje të ndryshme.

Le të bëjmë zëvendësimin $(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t$ , $t>0$ . Atëherë ekuacioni do të marrë formën \ Ne gradualisht do të shkruajmë kushtet në të cilat ekuacioni origjinal do të ketë gjashtë zgjidhje.
Vini re se ekuacioni kuadratik $(*)$ mund të ketë maksimum dy zgjidhje. Çdo ekuacion kub $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ mund të ketë jo më shumë se tre zgjidhje. Prandaj, nëse ekuacioni $(*)$ ka dy zgjidhje të ndryshme (pozitive!, pasi $t$ duhet të jetë më i madh se zero) $t_1$ dhe $t_2$ , atëherë, duke bërë të kundërtën zëvendësim, marrim: \[\majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(lidhur) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\fund (radhitur)\fund (mbledhur)\djathtas.\] Meqenëse çdo numër pozitiv mund të përfaqësohet si $\sqrt2$ në një farë mase, për shembull, $t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)$, atëherë ekuacioni i parë i grupit do të rishkruhet në formë \ Siç kemi thënë tashmë, çdo ekuacion kub nuk ka më shumë se tre zgjidhje, prandaj, çdo ekuacion në grup do të ketë jo më shumë se tre zgjidhje. Kjo do të thotë që i gjithë grupi nuk do të ketë më shumë se gjashtë zgjidhje.
Kjo do të thotë që që ekuacioni origjinal të ketë gjashtë zgjidhje, ekuacioni kuadratik $(*)$ duhet të ketë dy zgjidhje të ndryshme, dhe çdo ekuacion kub që rezulton (nga grupi) duhet të ketë tre zgjidhje të ndryshme (dhe jo një zgjidhje të vetme të një ekuacion duhet të përkojë me cilindo - me vendim të të dytit!)
Natyrisht, nëse ekuacioni kuadratik $(*)$ ka një zgjidhje, atëherë nuk do të marrim gjashtë zgjidhje për ekuacionin origjinal.

Kështu, plani i zgjidhjes bëhet i qartë. Le të shkruajmë kushtet që duhet të plotësohen pikë për pikë.

1) Që ekuacioni $(*)$ të ketë dy zgjidhje të ndryshme, diskriminuesi i tij duhet të jetë pozitiv: \

2) Është gjithashtu e nevojshme që të dyja rrënjët të jenë pozitive (pasi $t>0$ ). Nëse produkti i dy rrënjëve është pozitiv dhe shuma e tyre është pozitive, atëherë vetë rrënjët do të jenë pozitive. Prandaj, ju duhet: \[\fillimi(rastet) 12-a>0\\-(a-10)>0\fund(rastet)\quad\Shigjeta e majta e djathta\katër a<10\]

Kështu, ne tashmë i kemi dhënë vetes dy rrënjë të ndryshme pozitive $t_1$ dhe $t_2$ .

3) Le të shohim këtë ekuacion \ Për çfarë $t$ do të ketë tre zgjidhje të ndryshme?
Konsideroni funksionin $f(x)=x^3-3x^2+4$ .
Mund të faktorizohet: \ Prandaj, zerot e tij janë: $x=-1;2$ .
Nëse gjejmë derivatin $f"(x)=3x^2-6x$ , atëherë marrim dy pika ekstreme $x_(max)=0, x_(min)=2$ .
Prandaj, grafiku duket si ky:

Ne shohim se çdo vijë horizontale $y=k$ , ku $0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t$ kishte tre zgjidhje të ndryshme, është e nevojshme që $0<\log_ {\sqrt2}t<4$ .
Kështu, ju duhet: \[\fillimi (rastet) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Le të vërejmë gjithashtu menjëherë se nëse numrat $t_1$ dhe $t_2$ janë të ndryshëm, atëherë numrat $\log_(\sqrt2)t_1$ dhe $\log_(\sqrt2)t_2$ do të jenë të ndryshme, që do të thotë ekuacionet $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1$ Dhe $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2$ do të ketë rrënjë të ndryshme.
Sistemi $(**)$ mund të rishkruhet si më poshtë: \[\fillimi (rastet) 1

Kështu, ne kemi përcaktuar se të dy rrënjët e ekuacionit $(*)$ duhet të qëndrojnë në intervalin $(1;4)$ . Si të shkruhet kjo gjendje?
Ne nuk do t'i shkruajmë rrënjët në mënyrë eksplicite.
Merrni parasysh funksionin $g(t)=t^2+(a-10)t+12-a$ . Grafiku i saj është një parabolë me degë lart, e cila ka dy pika kryqëzimi me boshtin x (e kemi shkruar këtë kusht në paragrafin 1)). Si duhet të duket grafiku i tij që pikat e prerjes me boshtin x të jenë në intervalin $(1;4)$? Kështu që:

Së pari, vlerat $g(1)$ dhe $g(4)$ të funksionit në pikat $1$ dhe $4$ duhet të jenë pozitive, dhe së dyti, kulmi i parabola $t_0\ ) gjithashtu duhet të jetë në intervalin \((1;4)$ . Prandaj, ne mund të shkruajmë sistemin: \[\fillimi(rastet) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4$a$ ka gjithmonë të paktën një rrënjë $x=0$ . Kjo do të thotë se për të përmbushur kushtet e problemit është e nevojshme që ekuacioni \

kishte katër rrënjë të ndryshme, të ndryshme nga zero, që përfaqësojnë, së bashku me $x=0$, një progresion aritmetik.

Vini re se funksioni $y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)$ është çift, që do të thotë se nëse $x_0$ është rrënja e ekuacionit $ (*)\ ) , atëherë \(-x_0$ do të jetë gjithashtu rrënja e tij. Atëherë është e nevojshme që rrënjët e këtij ekuacioni të jenë numra të renditur në rend rritës: $-2d, -d, d, 2d$ (pastaj $d>0$). Pikërisht atëherë këta pesë numra do të formojnë një progresion aritmetik (me ndryshimin $d$).

Që këto rrënjë të jenë numrat $-2d, -d, d, 2d$ , është e nevojshme që numrat $d^(\,2), 4d^(\,2)$ të jenë rrënjët e ekuacioni $25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0$ . Pastaj, nga teorema e Vieta:

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ dhe merrni parasysh dy funksione: $g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)$ dhe $f(x)=13|x|-2|5x+12a|$ .
Funksioni $g(x)$ ka një pikë maksimale $x=0$ (dhe $g_(\tekst(lart))=g(0)=-a^2+20a-4$):
$g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x$. Derivati zero: $x=0$ . Kur $x<0$ имеем: $g">0$ , për $x>0$ : $g"<0$ .
Funksioni $f(x)$ për $x>0$ po rritet, dhe për $x<0$ – убывающей, следовательно, $x=0$ – точка минимума.
Në të vërtetë, kur $x>0$ moduli i parë do të hapet pozitivisht ($|x|=x$), prandaj, pavarësisht se si do të hapet moduli i dytë, $f(x)$ do të jetë i barabartë në $ kx+A$ , ku $A$ është shprehja e $a$ , dhe $k$ është e barabartë me $13-10=3$ ose $13+10 =23$ . Kur $x<0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $-3$ , либо $-23$ .
Le të gjejmë vlerën e $f$ në pikën minimale: \

Në mënyrë që ekuacioni të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme që grafikët e funksioneve $f$ dhe $g$ të kenë të paktën një pikë kryqëzimi. Prandaj, ju duhet: \ Duke zgjidhur këtë grup sistemesh, marrim përgjigjen: \\]

Përgjigje:

$a\në \(-2$\kupë\)

Grafikët e funksioneve çift dhe tek kanë karakteristikat e mëposhtme:

Nëse një funksion është çift, atëherë grafiku i tij është simetrik ndaj ordinatës. Nëse një funksion është tek, atëherë grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën.

Shembull. Ndërtoni një grafik të funksionit $y=\majtas|x \djathtas|$.

Zgjidhje. Konsideroni funksionin: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ dhe zëvendësoni të kundërtën $-x $ në vend të $x $. Si rezultat i transformimeve të thjeshta marrim: $$f\left(-x \right)=\majtas|-x \right|=\left|x \djathtas|=f\left(x \djathtas)$$ Në të tjera fjalët, nëse argumenti zëvendësohet me shenjën e kundërt, funksioni nuk do të ndryshojë.

Kjo do të thotë se ky funksion është çift, dhe grafiku i tij do të jetë simetrik në lidhje me boshtin e ordinatave (boshti vertikal). Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në figurën në të majtë. Kjo do të thotë që kur ndërtoni një grafik, mund të vizatoni vetëm gjysmën, dhe pjesën e dytë (në të majtë të boshtit vertikal, vizatoni në mënyrë simetrike në pjesën e djathtë). Duke përcaktuar simetrinë e një funksioni përpara se të filloni të vizatoni grafikun e tij, ju mund të thjeshtoni shumë procesin e ndërtimit ose studimit të funksionit. Nëse është e vështirë për të kryer një kontroll të përgjithshëm, mund ta bëni më thjeshtë: zëvendësoni të njëjtat vlera të shenjave të ndryshme në ekuacion. Për shembull -5 dhe 5. Nëse vlerat e funksionit rezultojnë të njëjta, atëherë mund të shpresojmë që funksioni të jetë i barabartë. Nga pikëpamja matematikore, kjo qasje nuk është plotësisht e saktë, por nga pikëpamja praktike është e përshtatshme. Për të rritur besueshmërinë e rezultatit, mund të zëvendësoni disa palë vlerash të tilla të kundërta.

Shembull. Ndërtoni një grafik të funksionit $y=x\left|x \djathtas|$.

Zgjidhje. Le të kontrollojmë njësoj si në shembullin e mëparshëm: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \djathtas ) $$ Kjo do të thotë që funksioni origjinal është tek (shenja e funksionit ka ndryshuar në të kundërtën).

Përfundim: funksioni është simetrik në lidhje me origjinën. Ju mund të ndërtoni vetëm një gjysmë, dhe të vizatoni të dytën në mënyrë simetrike. Kjo lloj simetrie është më e vështirë për t'u vizatuar. Kjo do të thotë që ju po shikoni grafikun nga ana tjetër e fletës, madje edhe me kokë poshtë. Ose mund ta bëni këtë: merrni pjesën e vizatuar dhe rrotullojeni rreth origjinës 180 gradë në të kundërt të akrepave të orës.

Shembull. Ndërtoni një grafik të funksionit $y=x^3+x^2$.

Zgjidhje. Le të bëjmë të njëjtin kontroll për ndryshimin e shenjës si në dy shembujt e mëparshëm. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Si rezultat, marrim se: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \djathtas),f\left(-x \djathtas)\not=-f\left(x \djathtas)$$ Dhe kjo do të thotë që funksioni nuk është as çift dhe as tek.

Përfundim: funksioni nuk është simetrik as në lidhje me origjinën dhe qendrën e sistemit të koordinatave. Kjo ndodhi sepse është shuma e dy funksioneve: çift dhe tek. E njëjta situatë do të ndodhë nëse zbritni dy funksione të ndryshme. Por shumëzimi ose pjesëtimi do të çojë në një rezultat tjetër. Për shembull, prodhimi i një funksioni çift dhe tek prodhon një funksion tek. Ose herësi i dy numrave tek çon në një funksion çift.

Konvertimi i grafikëve.

Përshkrimi verbal i funksionit.

Metoda grafike.

Metoda grafike e specifikimit të një funksioni është më vizuale dhe përdoret shpesh në teknologji. Në analizën matematikore, si ilustrim përdoret metoda grafike e specifikimit të funksioneve.

Grafiku i funksionit f është bashkësia e të gjitha pikave (x;y) të planit koordinativ, ku y=f(x), dhe x “përshkon” gjithë domenin e përkufizimit të këtij funksioni.

Një nëngrup i planit koordinativ është një grafik i një funksioni nëse nuk ka më shumë se një pikë të përbashkët me ndonjë drejtëz paralele me boshtin Oy.

Shembull. A janë figurat e paraqitura më poshtë grafikët e funksioneve?

Avantazhi i një detyre grafike është qartësia e saj. Ju mund të shihni menjëherë se si funksioni sillet, ku rritet dhe ku zvogëlohet. Nga grafiku mund të zbuloni menjëherë disa karakteristika të rëndësishme të funksionit.

Në përgjithësi, metodat analitike dhe grafike të përcaktimit të një funksioni shkojnë paralelisht. Puna me formulën ndihmon në ndërtimin e një grafiku. Dhe grafiku shpesh sugjeron zgjidhje që as nuk do t'i vini re në formulë.

Pothuajse çdo student i di tre mënyrat për të përcaktuar një funksion që sapo shikuam.

Le të përpiqemi t'i përgjigjemi pyetjes: "A ka mënyra të tjera për të përcaktuar një funksion?"

Ekziston një mënyrë e tillë.

Funksioni mund të specifikohet në mënyrë mjaft të qartë me fjalë.

Për shembull, funksioni y=2x mund të specifikohet me përshkrimin verbal të mëposhtëm: çdo vlerë reale e argumentit x shoqërohet me vlerën e tij të dyfishtë. Rregulli është vendosur, funksioni është specifikuar.

Për më tepër, mund të specifikoni verbalisht një funksion që është jashtëzakonisht i vështirë, nëse jo i pamundur, të përcaktohet duke përdorur një formulë.

Për shembull: çdo vlerë e argumentit natyror x shoqërohet me shumën e shifrave që përbëjnë vlerën e x. Për shembull, nëse x=3, atëherë y=3. Nëse x=257, atëherë y=2+5+7=14. Dhe kështu me radhë. Është problematike ta shkruajmë këtë në një formulë. Por shenja është e lehtë për t'u bërë.

Metoda e përshkrimit verbal është një metodë mjaft e rrallë e përdorur. Por ndonjëherë ndodh.

Nëse ekziston një ligj i korrespondencës një-me-një midis x dhe y, atëherë ekziston një funksion. Cili ligj, në çfarë forme shprehet - një formulë, një tabletë, një grafik, fjalë - nuk e ndryshon thelbin e çështjes.

Le të shqyrtojmë funksionet, domenet e përkufizimit të të cilëve janë simetrike në lidhje me origjinën, d.m.th. për këdo X nga fusha e numrit të përkufizimit (- X) gjithashtu i përket fushës së përkufizimit. Ndër këto funksione janë çift dhe tek.

Përkufizimi. Funksioni f quhet madje, nëse për ndonjë X nga fusha e tij e përkufizimit

Shembull. Merrni parasysh funksionin

Është madje. Le ta kontrollojmë.

Për këdo X barazitë janë të kënaqura

Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është i barabartë. Më poshtë është një grafik i këtij funksioni.

Përkufizimi. Funksioni f quhet i çuditshëm, nëse për ndonjë X nga fusha e tij e përkufizimit

Shembull. Merrni parasysh funksionin

Është e çuditshme. Le ta kontrollojmë.

Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti i numrave, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën (0;0).

Për këdo X barazitë janë të kënaqura

Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është tek. Më poshtë është një grafik i këtij funksioni.

Grafikët e paraqitur në figurën e parë dhe të tretë janë simetrikë në lidhje me boshtin e ordinatave dhe grafikët e paraqitur në figurën e dytë dhe të katërt janë simetrikë në lidhje me origjinën.

Cilët nga funksionet grafikët e të cilëve janë paraqitur në figura janë çift dhe cilët janë tek?