1. Funksioni linear thyesor dhe orarin e saj
Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.
Me konceptin numrat racionalë ju ndoshta tashmë e njihni njëri-tjetrin. Po kështu funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.
Nëse një funksion racional thyesor është herësi i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksioni i formës
y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.
Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është konstant). Funksioni linear thyesor është përcaktuar për të gjithë numra realë, përveç x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare thyesore nuk ndryshojnë në formë nga grafiku y = 1/x që dini. Quhet një kurbë që është grafik i funksionit y = 1/x hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar në x vlere absolute funksioni y = 1/x zvogëlohet pafundësisht në vlerë absolute dhe të dyja degët e grafikut i afrohen boshtit x: e djathta afrohet nga lart dhe e majta nga poshtë. Linjat me të cilat degët e një hiperbole afrohen quhen të saj asimptota.
Shembulli 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Zgjidhje.
Le të zgjedhim të gjithë pjesën: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosja me 3 segment njësi në të djathtë, duke u shtrirë përgjatë boshtit Oy 7 herë dhe duke zhvendosur 2 segmente njësi lart.
Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme përgjatë boshtet e koordinatave dhe shtrihej përgjatë boshtit Oy.
Për të ndërtuar një grafik të çdo thyese arbitrare funksion linear Nuk është aspak e nevojshme të transformohet thyesa që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.
Shembulli 2.
Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).
Zgjidhje.
Funksioni nuk është i përcaktuar, në x = -1. Kjo do të thotë se drejtëza x = -1 shërben asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.
Për ta bërë këtë, ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Si x → ∞ thyesa do të priret në 3/2. Do të thotë, asimptotë horizontale– kjo është drejtëza y = 3/2.
Shembulli 3.
Grafikoni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).
Zgjidhje.
Le të zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje me 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox dhe një zhvendosje me 2 njësi segmente lart përgjatë boshtit Oy.
Domeni D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në çdo interval të fushës së përkufizimit.
Përgjigje: Figura 1.
2. Funksioni racional thyesor
Konsideroni një funksion racional thyesor të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome me shkallë më të lartë se e para.
Shembuj të funksioneve të tilla racionale:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ose y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) përfaqëson herësin e dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më kompleks dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë me saktësi. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh mjafton të përdoren teknika të ngjashme me ato që kemi prezantuar tashmë më lart.
Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую thyesa racionale mund të përfaqësohet, dhe në një mënyrë unike, si një shumë numër i kufizuar thyesat elementare, forma e të cilave përcaktohet duke zbërthyer emëruesin e thyesës Q(x) në produktin e faktorëve realë:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Natyrisht orari funksion racional thyesor mund të merret si shumë e grafikëve të thyesave elementare.
Hartimi i grafikëve të funksioneve racionale thyesore
Le të shqyrtojmë disa mënyra për të ndërtuar grafikët e një funksioni racional thyesor.
Shembulli 4.
Vizatoni një grafik të funksionit y = 1/x 2 .
Zgjidhje.
Ne përdorim grafikun e funksionit y = x 2 për të ndërtuar një grafik y = 1/x 2 dhe përdorim teknikën e “pjestimit” të grafikëve.
Domeni D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).
Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.
Përgjigje: Figura 2.
Shembulli 5.
Grafikoni funksionin y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Zgjidhje.
Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.
Përgjigje: Figura 3.
Shembulli 6.
Grafikoni funksionin y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Zgjidhje.
Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik ndaj ordinatës. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të transformojmë përsëri shprehjen, duke theksuar të gjithë pjesën:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Vini re se izolimi i pjesës së plotë në formulën e një funksioni racional thyesor është një nga më kryesorët gjatë ndërtimit të grafikëve.
Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është një asimptotë horizontale.
Përgjigje: Figura 4.
Shembulli 7.
Le të shqyrtojmë funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe të përpiqemi të gjejmë saktë vlerën e tij më të madhe, d.m.th. më së shumti pike e larte gjysma e djathtë artet grafike. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Natyrisht, kurba jonë nuk mund të "ngritet" shumë lart, sepse emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë. Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit, duhet të zbuloni se në cilën A do të ketë zgjidhje ekuacioni A = x/(x 2 + 1). Ne do të zëvendësojmë ekuacioni origjinal katror: Ax 2 – x + A = 0. Ky ekuacion ka zgjidhje kur 1 – 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlera më e lartë A = 1/2. 
Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.
Ende keni pyetje? Nuk dini si të grafikoni funksionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
NË këtë mësim ne do të shqyrtojmë një funksion linear thyesor, do të zgjidhim probleme duke përdorur një funksion linear thyesor, modul, parametër.
Tema: Përsëritje
Mësimi: Funksioni linear thyesor
Përkufizimi:
Një funksion i formës:
Për shembull:
Le të vërtetojmë se grafiku i këtij funksioni thyesor linear është një hiperbolë.
Le t'i heqim të dy nga kllapat në numërues dhe të marrim:
Kemi x edhe në numërues edhe në emërues. Tani transformojmë në mënyrë që shprehja të shfaqet në numërues:
Tani le ta zvogëlojmë termin e thyesës sipas termit:
Natyrisht, grafiku i këtij funksioni është një hiperbolë.
Ne mund të propozojmë një metodë të dytë të vërtetimit, domethënë, të ndajmë numëruesin me emëruesin në një kolonë:
Mora:
Është e rëndësishme të jeni në gjendje të ndërtoni me lehtësi një grafik të një funksioni thyesor linear, në veçanti, për të gjetur qendrën e simetrisë së një hiperbole. Le ta zgjidhim problemin.
Shembulli 1 - skiconi një grafik të një funksioni:
Ne tashmë jemi konvertuar këtë funksion dhe mori:
Për ndërtimin të këtij orari ne nuk do të zhvendosim boshtet apo vetë hiperbolën. Ne përdorim metodë standarde ndërtimi i grafikëve të funksioneve duke përdorur praninë e intervaleve me shenjë konstante.
Ne veprojmë sipas algoritmit. Së pari, le të shqyrtojmë funksionin e dhënë.
Kështu, kemi tre intervale të shenjës konstante: në anën e djathtë () funksioni ka një shenjë plus, pastaj shenjat alternojnë, pasi të gjitha rrënjët kanë shkallën e parë. Pra, në një interval funksioni është negativ, në një interval funksioni është pozitiv.
Ne ndërtojmë një skicë të grafikut në afërsi të rrënjëve dhe pikave të thyerjes së ODZ. Kemi: meqenëse në një pikë shenja e funksionit ndryshon nga plus në minus, kurba është fillimisht mbi boshtin, pastaj kalon në zero dhe më pas ndodhet nën boshtin x. Kur emëruesi i një thyese është pothuajse e barabartë me zero, që do të thotë se kur vlera e argumentit tenton në tre, vlera e thyesës tenton në pafundësi. NË në këtë rast, kur argumenti i afrohet treshes në të majtë, funksioni është negativ dhe tenton në minus pafundësi, në të djathtë funksioni është pozitiv dhe largohet plus pafundësi.
Tani ndërtojmë një skicë të grafikut të funksionit në lagjen e pafundësisë pikat e largëta, d.m.th. kur argumenti tenton në pafundësi plus ose minus. Në këtë rast, termat konstante mund të neglizhohen. Ne kemi:
Kështu, kemi një asimptotë horizontale dhe një vertikale, qendra e hiperbolës është pika (3;2). Le të ilustrojmë:
Oriz. 1. Grafiku i hiperbolës për shembull 1
Problemet me një funksion linear thyesor mund të ndërlikohen nga prania e një moduli ose parametri. Për të ndërtuar, për shembull, një grafik të funksionit, duhet të ndiqni algoritmin e mëposhtëm:
Oriz. 2. Ilustrim për algoritmin
Grafiku që rezulton ka degë që janë mbi boshtin x dhe nën boshtin x.
1. Aplikoni modulin e specifikuar. Në këtë rast, pjesët e grafikut të vendosura mbi boshtin x mbeten të pandryshuara, dhe ato që ndodhen nën boshtin pasqyrohen në lidhje me boshtin x. Ne marrim:
Oriz. 3. Ilustrim për algoritmin
Shembulli 2 - vizatoni një funksion:
Oriz. 4. Grafiku i funksionit për shembull 2
Merrni parasysh detyrën e mëposhtme - ndërtoni një grafik të funksionit. Për ta bërë këtë, duhet të ndiqni algoritmin e mëposhtëm:
1. Grafikoni funksionin nënmodular
Le të supozojmë se marrim grafikun e mëposhtëm:
Oriz. 5. Ilustrim për algoritmin
1. Aplikoni modulin e specifikuar. Për të kuptuar se si ta bëjmë këtë, le të zgjerojmë modulin.
Kështu, për vlerat e funksionit me vlera të argumenteve jo negative, nuk do të ketë ndryshime. Për sa i përket ekuacionit të dytë, dimë se ai fitohet duke e hartuar atë në mënyrë simetrike rreth boshtit y. kemi një grafik të funksionit:
Oriz. 6. Ilustrim për algoritmin
Shembulli 3 - vizatoni një funksion:
Sipas algoritmit, së pari duhet të ndërtoni një grafik të funksionit nënmodular, ne e kemi ndërtuar tashmë atë (shih Figurën 1)
Oriz. 7. Grafiku i një funksioni për shembull 3
Shembulli 4 - gjeni numrin e rrënjëve të një ekuacioni me një parametër:
Kujtojmë që zgjidhja e një ekuacioni me një parametër do të thotë të kalosh të gjitha vlerat e parametrit dhe të tregosh përgjigjen për secilën prej tyre. Ne veprojmë sipas metodologjisë. Së pari, ne ndërtojmë një grafik të funksionit, këtë e kemi bërë tashmë në shembullin e mëparshëm (shih Figurën 7). Më pas, ju duhet të zbërtheni grafikun me një familje vijash për a të ndryshme, të gjeni pikat e kryqëzimit dhe të shkruani përgjigjen.
Duke parë grafikun, shkruajmë përgjigjen: kur dhe ekuacioni ka dy zgjidhje; kur ekuacioni ka një zgjidhje; kur ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Le të shqyrtojmë pyetjet e metodologjisë për studimin e një teme të tillë si "ndërtimi i një grafiku të një funksioni linear të pjesshëm". Fatkeqësisht, studimi i tij është hequr nga programi bazë dhe mësuesi i matematikës në klasat e tij nuk e prek atë aq shpesh sa do të donim. Megjithatë, klasat e matematikës Askush nuk e ka anuluar ende pjesën e dytë të GIA-s. Dhe në Provimin e Bashkuar të Shtetit ekziston mundësia e depërtimit të tij në trupin e detyrës C5 (përmes parametrave). Prandaj, do t'ju duhet të përveshni mëngët dhe të punoni në metodën e shpjegimit të tij në një mësim me një student mesatar ose mesatarisht të fortë. Si rregull, një mësues i matematikës zhvillon metoda shpjegimi për seksionet kryesore kurrikula shkollore gjatë 5-7 viteve të para të punës. Gjatë kësaj kohe, dhjetëra studentë të kategorive të ndryshme arrijnë të kalojnë nga sytë dhe duart e mësuesit kujdestar. Nga fëmijët e lënë pas dore dhe natyrshëm të dobët, braktisës dhe braktisës deri te talentet e qëllimshme.
Me kalimin e kohës, një mësues matematike fiton zotërim të shpjegimeve koncepte komplekse në gjuhë të thjeshtë pa sakrifikuar plotësinë dhe saktësinë matematikore. Prodhuar stil individual prezantimi i materialit, fjalimi, shoqërimi vizual dhe regjistrimi. Çdo mësues me përvojë do të tregojë mësimin me sytë e mbyllur, sepse ai e di paraprakisht se çfarë problemesh lindin me të kuptuarit e materialit dhe çfarë nevojitet për t'i zgjidhur ato. Është e rëndësishme të zgjidhni Fjalët e duhura dhe shënime, shembuj për fillimin e mësimit, për mesin dhe fundin, si dhe të hartojë saktë ushtrimet për detyrat e shtëpisë.
Disa teknika të veçanta për të punuar me temën do të diskutohen në këtë artikull.
Me çfarë grafikë fillon një mësues matematike?
Ju duhet të filloni duke përcaktuar konceptin që studiohet. Më lejoni t'ju kujtoj se një funksion linear thyesor është një funksion i formës . Ndërtimi i saj vjen deri te ndërtimi hiperbola më e zakonshme duke përdorur teknika të thjeshta të njohura për transformimin e grafikëve. 
Në praktikë, ato rezultojnë të thjeshta vetëm për vetë mësuesin. Edhe nëse një nxënës i fortë vjen te mësuesi, me shpejtësi të mjaftueshme llogaritjesh dhe transformimesh, ai përsëri duhet t'i mësojë këto teknika veç e veç. Pse? Në shkollën e klasës së 9-të, grafikët ndërtohen vetëm me zhvendosje dhe nuk përdorin metoda të mbledhjes së shumëzuesve numerikë (metodat e ngjeshjes dhe shtrirjes). Çfarë grafiku përdor mësuesi i matematikës? 
Ku është vendi më i mirë për të filluar? E gjithë përgatitja kryhet duke përdorur shembullin e funksionit më të përshtatshëm, për mendimin tim 
. Çfarë tjetër duhet të përdor? Trigonometria në klasën e 9-të studiohet pa grafikë (dhe në tekstet që janë modifikuar për t'iu përshtatur kushteve të Provimit të Shtetit në Matematikë, nuk mësohen fare). Funksioni kuadratik nuk ka të njëjtën “peshë metodologjike” në këtë temë si rrënja. Pse? Në klasën e 9-të trinom kuadratik studiohet mirë dhe studenti është mjaft i aftë për të zgjidhur problemet e ndërtimit pa turne. Formulari ngjall menjëherë një refleks për të hapur kllapat, pas së cilës mund të zbatoni rregullin e vizatimit standard përmes kulmit të një parabole dhe një tabelë vlerash. Me një manovër të tillë nuk do të jetë e mundur të kryhet dhe do të jetë më e lehtë për një mësues matematike të motivojë studentin për të studiuar. teknikat e përgjithshme transformimet. Duke përdorur modulin y=|x| gjithashtu nuk e justifikon veten, sepse nuk studiohet aq nga afër sa rrënja dhe nxënësit e shkollës kanë tmerrësisht frikë prej saj. 
Për më tepër, vetë moduli (më saktë, "varja" e tij) përfshihet në numrin e transformimeve që studiohen.
Pra, tutori nuk ka asgjë më të përshtatshme dhe efektive sesa të përgatitet për transformime duke përdorur rrenja katrore. Ju duhet praktikë në ndërtimin e grafikëve të diçkaje të tillë. Le të konsiderojmë se kjo përgatitje ishte një sukses i madh. Fëmija mund të lëvizë dhe madje të kompresojë/shtrijë grafikët. Ç'pritet më tej?
Faza tjetër është të mësoni të izoloni një pjesë të tërë. Ndoshta kjo është detyra kryesore e një mësuesi të matematikës, sepse pas pjesë e tërë do të ndahet, ajo merr pjesën e luanit të të gjithë ngarkesës informatike në temë. Është jashtëzakonisht e rëndësishme të përgatitet funksioni në një formë që përshtatet në një nga skemat standarde të ndërtimit. Është gjithashtu e rëndësishme të përshkruhet logjika e transformimeve në një mënyrë të arritshme, të kuptueshme, dhe nga ana tjetër, matematikisht e saktë dhe harmonike.
Më lejoni t'ju kujtoj se për të ndërtuar një grafik duhet të shndërroni thyesën në formë 
. Pikërisht për këtë, dhe jo për 
, duke mbajtur emëruesin. Pse? Është e vështirë të kryhen transformime në një grafik që jo vetëm përbëhet nga pjesë, por ka edhe asimptota. Vazhdimësia përdoret për të lidhur dy ose tre pika pak a shumë të lëvizura qartë me një vijë. Kur funksion i ndërprerë Ju nuk do të jeni në gjendje të kuptoni menjëherë se cilat pika të lidheni. Prandaj, ngjeshja ose shtrirja e një hiperbole është jashtëzakonisht e papërshtatshme. Një mësues matematike është thjesht i detyruar t'i mësojë një studenti se si të mjaftojë vetëm me turne.
Për ta bërë këtë, përveç zgjedhjes së të gjithë pjesës, duhet të hiqni edhe koeficientin nga emëruesi c.
Zgjedhja e pjesës së plotë nga një thyesë
Si të mësoni të nënvizoni një pjesë të tërë? Tutorët e matematikës jo gjithmonë vlerësojnë në mënyrë adekuate nivelin e njohurive të studentit dhe, pavarësisht mungesës së studim i detajuar Teoremat e pjesëtimit për polinomet me mbetje zbatojnë rregullin e pjesëtimit të këndit. Nëse një mësues merr përsipër ndarjen e këndit, ai do të duhet të shpenzojë pothuajse gjysmën e mësimit për ta shpjeguar atë (nëse, sigurisht, gjithçka justifikohet me kujdes). Fatkeqësisht, mësuesi nuk e ka gjithmonë këtë kohë në dispozicion. Është më mirë të mos mbani mend asnjë cep.
Ekzistojnë dy forma të punës me një student:
1) Tutori e tregon atë algoritmi i gatshëm duke përdorur disa shembuj të një funksioni thyesor.
2) Mësuesi krijon kushte për një kërkim logjik të këtij algoritmi.
Zbatimi i rrugës së dytë më duket më interesante për praktikën e tutorit dhe jashtëzakonisht e dobishme për të zhvilluar të menduarit e nxënësve. Me ndihmën e sugjerimeve dhe udhëzimeve të caktuara, shpesh është e mundur të çohet në zbulimin e një sekuence të caktuar hapash të saktë. Në ndryshim nga ekzekutimi mekanik i një plani të hartuar nga dikush, një nxënës i klasës së 9-të mëson ta kërkojë atë në mënyrë të pavarur. Natyrisht, të gjitha shpjegimet duhet të bëhen me shembuj. Për këtë qëllim, le të marrim një funksion dhe të shqyrtojmë komentet e mësuesit mbi logjikën e kërkimit të algoritmit. Një mësues matematike pyet: “Çfarë na pengon të kryejmë një transformim standard të grafikut duke përdorur një zhvendosje përgjatë boshteve? Natyrisht, prania e njëkohshme e X si në numërues ashtu edhe në emërues. Kjo do të thotë se duhet të hiqet nga numëruesi. Si ta bëni këtë duke përdorur transformimet e identitetit? Ekziston vetëm një mënyrë - për të zvogëluar fraksionin. Por ne nuk kemi faktorë të barabartë (kllapa). Kjo do të thotë që ne duhet të përpiqemi t'i krijojmë ato artificialisht. Por si? Ju nuk mund të zëvendësoni numëruesin me emërues pa ndonjë tranzicion identik. Le të përpiqemi të transformojmë numëruesin në mënyrë që ai të përfshijë një kllapa të barabartë me emëruesin. Le ta vendosim atje me forcë dhe "mbivendosni" koeficientët në mënyrë që kur "veprojnë" në kllapa, domethënë kur hapet dhe shtohet terma të ngjashëm, do të funksiononte polinomi linear 2x+3.
Mësuesi i matematikës fut boshllëqe për koeficientët në formën e drejtkëndëshave bosh (siç e përdorin shpesh tekstet shkollore për klasat 5-6) dhe cakton detyrën për t'i plotësuar ato me numra. Përzgjedhja duhet të bëhet nga e majta në të djathtë, duke filluar nga kalimi i parë. Nxënësi duhet të imagjinojë se si do të hapë kllapa. Meqenëse zgjerimi i tij do të rezultojë në vetëm një term me X, atëherë koeficienti i tij duhet të jetë i barabartë me koeficientin më të lartë në numëruesin e vjetër 2x+3. Prandaj, është e qartë se katrori i parë përmban numrin 2. Ai është i mbushur. Një mësues matematike duhet të marrë një funksion linear mjaft të thjeshtë thyesor me c=1. Vetëm pas kësaj mund të kalojmë në analizimin e shembujve me një pamje të pakëndshme të numëruesit dhe emëruesit (përfshirë koeficientët thyesorë).
Shkoni përpara. Mësuesi hap kllapa dhe firmos rezultatin direkt mbi të. 
Ju mund të hijeni çiftin përkatës të faktorëve. Tek "termi i hapur", është e nevojshme të shtoni një numër të tillë nga boshllëku i dytë për të marrë koeficientin e lirë të numëruesit të vjetër. Natyrisht është një 7.
Më pas, fraksioni ndahet në shumën e fraksioneve individuale (zakonisht i rrethoj fraksionet me një re, duke e krahasuar renditjen e tyre me krahët e një fluture). Dhe unë them: "Le ta thyejmë fraksionin me një flutur". Nxënësit e shkollës e mbajnë mend mirë këtë frazë. 
Mësuesi i matematikës tregon të gjithë procesin e izolimit të një pjese të tërë në një formë në të cilën tashmë mund të aplikoni algoritmin e zhvendosjes së hiperbolës: 
Nëse emëruesi nuk ka e barabartë me një koeficienti më i lartë, atëherë në asnjë rast nuk duhet ta lini atje. Kjo do t'i sjellë ekstra si mësuesit ashtu edhe studentit dhimbje koke lidhur me nevojën për të kryer transformim shtesë, Dhe gjëja më e vështirë: ngjeshja - shtrirja. Për ndërtimin skematik të një grafiku të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, lloji i numëruesit nuk është i rëndësishëm. Gjëja kryesore është të njohësh shenjën e tij. Atëherë është më mirë të transferoni koeficientin më të lartë të emëruesit në të. Për shembull, nëse punojmë me funksionin 
, atëherë thjesht nxjerrim 3 nga kllapa dhe e "ngremë" atë në numërues, duke ndërtuar një fraksion në të. Ne kemi një shprehje shumë më të përshtatshme për ndërtimin: Gjithçka që mbetet është të zhvendosemi djathtas dhe 2 lart.
Nëse ka një "minus" midis të gjithë pjesës 2 dhe fraksionit të mbetur, është gjithashtu më mirë ta përfshini atë në numërues. Përndryshe, në një fazë të caktuar të ndërtimit, do të duhet të shfaqni gjithashtu hiperbolën në lidhje me boshtin Oy. Kjo vetëm do ta komplikojë procesin.
Rregulli i artë i një mësuesi të matematikës:
të gjithë koeficientët e papërshtatshëm që çojnë në simetri, ngjeshje ose shtrirje të grafikut duhet të transferohen në numërues.
Është e vështirë të përshkruash teknikat për të punuar me ndonjë temë. Ekziston gjithmonë një ndjenjë e nënvlerësimit. Deri në çfarë mase mundëm të flisnim për një funksion linear thyesor varet nga ju që të gjykoni. Dërgoni komentet dhe komentet tuaja në artikull (ato mund të shkruhen në kutinë që shihni në fund të faqes). Do t'i publikoj patjetër.
Kolpakov A.N. Mësues i matematikës në Moskë. Strogino. Metodat për tutorët.
“SHKOLLA ARSIMORE BAZË SUBASHI” QARKU BALTASI
REPUBLIKA E TATARSTANIT
Zhvillimi i mësimit - klasa e 9-të
Tema: Funksion thyesor – lineartion
GarifullinAHekurudhorIRifkatovna
201 4
Tema e mësimit: Thyesja është një funksion linear.
Qëllimi i mësimit:
Edukative: Prezantoni studentët me konceptetfraksionalisht – funksioni linear dhe ekuacioni i asimptotave;
Zhvillimore: Formimi i teknikave të menduarit logjik, zhvillimi i interesit për lëndën; të zhvillojë përcaktimin e fushës së përkufizimit, fushën e vlerës së një funksioni linear thyesor dhe formimin e aftësive në ndërtimin e grafikut të tij;
- qëllimi motivues:edukimi i kulturës matematikore të studentëve, vëmendja, ruajtja dhe zhvillimi i interesit për studimin e lëndës përmes aplikimit forma të ndryshme zotërimi i njohurive.
Pajisjet dhe literatura: Laptop, projektor, bordi interaktiv, plani koordinativ dhe grafiku i funksionit y= , harta e reflektimit, prezantimi multimedial,Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të bazë shkolla e mesme/ Yu.N. Makarychev, N.G Mendyuk, K.I. Suvorova; redaktuar nga S.A. Telyakovsky / M: "Prosveshchenie", 2004 me shtesa.
Lloji i mësimit:
mësim për përmirësimin e njohurive, aftësive, aftësive.
Gjatë orëve të mësimit.
Synimi: - zhvillimi i aftësive kompjuterike gojore;
përsëritje materiale teorike dhe përkufizimet e nevojshme për të studiuar një temë të re.
Mirembrema Ne e fillojmë mësimin duke kontrolluar detyrat e shtëpisë:
Vëmendje ndaj ekranit (rrëshqitje 1-4):
Ushtrimi 1.
Ju lutemi përgjigjuni pyetjes 3 duke përdorur grafikun e këtij funksioni (gjeni vlerën më të madhe të funksionit, ...)
( 24 )
Detyra -2. Llogaritni vlerën e shprehjes:
-
=
Detyra -3: Gjeni shumën e trefishtë të rrënjëve ekuacioni kuadratik:
X 2 -671∙X + 670= 0.
Shuma e koeficientëve të ekuacionit kuadratik është zero:
1+(-671)+670 = 0. Pra x 1 =1 dhe x 2 = Prandaj,
3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013
Tani le të shkruajmë përgjigjet për të 3 detyrat në mënyrë sekuenciale duke përdorur pika. (24 dhjetor 2013.)
Rezultati: Po, ashtu është! Pra, tema e mësimit të sotëm:
Thyesja është një funksion linear.
Përpara se të ngasë në rrugë, shoferi duhet të dijë rregullat trafiku: shenjat ndaluese dhe lejuese. Sot ju dhe unë gjithashtu duhet të kujtojmë disa shenja ndaluese dhe lejuese. Kujdes ekranit! (Slide-6
)
konkluzioni:
Shprehja nuk ka kuptim;
Shprehje e sakte, pergjigje: -2;
shprehja e saktë, përgjigjja: -0;
Ju nuk mund të pjesëtoni 0 me zero!
Ju lutemi vini re, a është shkruar gjithçka saktë? (rrëshqitje - 7)
1) ; 2) = ; 3) =a .
(1) barazi e vërtetë, 2) = - ; 3) = - a )
II. Mësoni një temë të re: (rrëshqitje - 8).
Synimi: Të mësojë aftësitë e gjetjes së fushës së përkufizimit dhe fushës së vlerës së një funksioni linear thyesor, duke ndërtuar grafikun e tij duke përdorur transferimin paralel të grafikut të funksionit përgjatë boshtit të abshisës dhe të ordinatës.
Përcaktoni grafikun e cilit funksion është dhënë rrafshi koordinativ?
Është dhënë grafiku i një funksioni në planin koordinativ.
Pyetje
Përgjigja e pritshme
Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit, (D( y)=?)
X ≠0, ose(-∞;0]UUU
E zhvendosim grafikun e funksionit duke përdorur përkthimin paralel përgjatë boshtit Ox (abshisë) 1 njësi në të djathtë;
Çfarë funksioni keni bërë grafikisht?
E lëvizim grafikun e funksionit duke përdorur përkthimin paralel përgjatë boshtit Oy (ordinata) me 2 njësi lart;
Tani, çfarë funksioni keni grafikuar?
Vizatoni drejtëza x=1 dhe y=2
Si mendoni? Çfarë mesazhesh direkte morëm unë dhe ti?
Këto janë ato të drejta, të cilave pikat e lakores së grafikut të funksionit afrohen duke u larguar në pafundësi.
Dhe ata quhen– asimptota.
Kjo do të thotë, një asimptotë e hiperbolës shkon paralelisht me boshtin y në një distancë prej 2 njësi në të djathtë të tij, dhe asimptota e dytë shkon paralelisht me boshtin x në një distancë prej 1 njësi mbi të.
Te lumte! Tani le të përfundojmë:
Grafiku i një funksioni thyesor linear është një hiperbolë, e cila mund të merret nga hiperbola y =duke përdorur transferimet paralele përgjatë boshteve të koordinatave. Për ta bërë këtë, formula e funksionit linear thyesor duhet të paraqitet në formën e mëposhtme: y=
ku n është numri i njësive me të cilat hiperbola zhvendoset djathtas ose majtas, m është numri i njësive me të cilat hiperbola zhvendoset lart ose poshtë. Në këtë rast, asimptotat e hiperbolës zhvendosen në drejtëza x = m, y = n.
Le të japim shembuj të një funksioni linear thyesor:
; .
Një funksion linear thyesor është një funksion i formës y = , ku x është një ndryshore, a, b, c, d janë disa numra dhe c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.
c≠0 dhead- p.e.s≠0, pasi në c=0 funksioni kthehet në funksion linear.
Nësead- p.e.s=0, fraksioni që rezulton është një vlerë që është e barabartë me (dmth konstante).
Vetitë e një funksioni linear thyesor:
1. Kur rritet vlerat pozitive argumenti, vlerat e funksionit ulen dhe priren në zero, por mbeten pozitive.
2. Me rritjen e vlerave pozitive të funksionit, vlerat e argumentit zvogëlohen dhe priren në zero, por mbeten pozitive.
III – konsolidimi i materialit të mbuluar.
Synimi: - zhvillojnë aftësi dhe aftësi prezantueseformulat e një funksioni linear thyesor në formën:
Forconi aftësitë e hartimit të ekuacioneve asimptotike dhe vizatimit të grafikut të një funksioni linear thyesor.
Shembull -1:
Zgjidhja: Duke përdorur transformimet, ne e paraqesim këtë funksion në formë .
=
(rrëshqitje 10)
Minuta e edukimit fizik:
(Ngrohja drejtohet nga oficeri i detyrës)
Synimi: - lehtësimin e stresit mendor dhe përmirësimin e shëndetit të nxënësve.
Punë me tekstin mësimor: Nr.184.
Zgjidhje: Duke përdorur transformimet, e paraqesim këtë funksion në formën y=k/(x-m)+n.
=
de x≠0.
Le të shkruajmë ekuacionin e asimptotës: x=2 dhe y=3.
Pra grafiku i funksionit lëviz përgjatë boshtit Ox në një distancë prej 2 njësi në të djathtë të tij dhe përgjatë boshtit Oy në një distancë prej 3 njësi mbi të.
Punë në grup:
Synimi: - zhvillimi i aftësisë për të dëgjuar të tjerët dhe në të njëjtën kohë për të shprehur në mënyrë specifike mendimin e dikujt;
edukimi i një personi të aftë për udhëheqje;
kultivimi i kulturës së të folurit matematikor tek nxënësit.
Opsioni 1
Funksioni i dhënë:
.
.
Opsioni nr. 2
Jepet një funksion
1. Zvogëloni funksionin thyesor linear në pamje standarde dhe shkruani ekuacionin e asimptotës.
2. Gjeni domenin e funksionit
3. Gjeni bashkësinë e vlerave të funksionit
1. Zvogëloni funksionin thyesor linear në formën standarde dhe shkruani ekuacionin e asimptotave.
2. Gjeni domenin e funksionit.
3. Gjeni grupin e vlerave të funksionit.
(Grupi që mbaroi punën i pari po përgatitet për t'u mbrojtur Punë në grup në dërrasën e zezë. Puna është duke u analizuar.)
IV. Duke përmbledhur mësimin.
Synimi: - analiza e teorike dhe aktivitete praktike në mësim;
Formimi i aftësive të vetëvlerësimit tek nxënësit;
Reflektim, vetëvlerësim i veprimtarisë dhe vetëdijes së nxënësve.
Dhe kështu, studentët e mi të dashur! Mësimi po i vjen fundi. Ju duhet të plotësoni një kartë reflektimi. Shkruani mendimet tuaja me kujdes dhe të lexueshme
mbiemri dhe mbiemri ______________________________________________________
Hapat e mësimit
Përcaktimi i nivelit të kompleksitetit të fazave të mësimit
Ne-trefishi juaj
Vlerësimi i veprimtarisë suaj në mësim, 1-5 pikë
lehtë
mesatare e rëndë
vështirë
Mësimi i materialit të ri
Formimi i aftësive në vizatimin e grafikut të një funksioni linear thyesor
Punë në grup
Mendimi i përgjithshëm për mësimin
Synimi: - kontrollimi i nivelit të zotërimit të kësaj teme.
[klauzola 10*, nr. 180(a), 181(b).]
Përgatitja për Provimin e Shtetit: (Puno "me zgjedhje virtuale" )
Ushtrimi nga seria GIA (Nr. 23 - rezultati maksimal):
Grafikoni funksionin Y=
dhe përcaktoni në cilat vlera të c drejtëza y=c ka saktësisht një pikë të përbashkët me grafikun.
Pyetjet dhe detyrat do të publikohen nga ora 14.00 deri në orën 14.30.
1. Funksioni linear thyesor dhe grafiku i tij
Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.
Ju ndoshta jeni njohur tashmë me konceptin e numrave racionalë. Po kështu funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.
Nëse një funksion racional thyesor është herësi i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksioni i formës
y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.
Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është konstant). Funksioni thyesor linear është përcaktuar për të gjithë numrat realë përveç x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare thyesore nuk ndryshojnë në formë nga grafiku y = 1/x që dini. Quhet një kurbë që është grafik i funksionit y = 1/x hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar të x në vlerë absolute, funksioni y = 1/x zvogëlohet në vlerë absolute të pakufizuar dhe të dy degët e grafikut i afrohen abshisës: e djathta afrohet nga lart dhe e majta nga poshtë. Linjat me të cilat degët e një hiperbole afrohen quhen të saj asimptota.
Shembulli 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Zgjidhje.
Le të zgjedhim të gjithë pjesën: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosja me 3 segmente njësi në të djathtë, duke u shtrirë përgjatë boshtit Oy 7 herë dhe duke u zhvendosur me 2. segmentet e njësisë lart.
Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme përgjatë boshteve koordinative dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.
Për të ndërtuar një grafik të çdo funksioni thyesor-linear arbitrar, nuk është aspak e nevojshme të transformohet fraksioni që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.
Shembulli 2.
Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).
Zgjidhje.
Funksioni nuk është i përcaktuar, në x = -1. Kjo do të thotë se drejtëza x = -1 shërben si asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.
Për ta bërë këtë, ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Si x → ∞ thyesa do të priret në 3/2. Kjo do të thotë se asimptota horizontale është drejtëza y = 3/2.
Shembulli 3.
Grafikoni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).
Zgjidhje.
Le të zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje me 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox dhe një zhvendosje me 2 njësi segmente lart përgjatë boshtit Oy.
Domeni D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në çdo interval të fushës së përkufizimit.
Përgjigje: Figura 1.
2. Funksioni racional thyesor
Konsideroni një funksion racional thyesor të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome me shkallë më të lartë se e para.
Shembuj të funksioneve të tilla racionale:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ose y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) përfaqëson herësin e dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më kompleks dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë me saktësi. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh mjafton të përdoren teknika të ngjashme me ato që kemi prezantuar tashmë më lart.
Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Natyrisht, grafiku i një funksioni racional thyesor mund të merret si shuma e grafikëve të thyesave elementare.
Hartimi i grafikëve të funksioneve racionale thyesore
Le të shqyrtojmë disa mënyra për të ndërtuar grafikët e një funksioni racional thyesor.
Shembulli 4.
Vizatoni një grafik të funksionit y = 1/x 2 .
Zgjidhje.
Ne përdorim grafikun e funksionit y = x 2 për të ndërtuar një grafik y = 1/x 2 dhe përdorim teknikën e “pjestimit” të grafikëve.
Domeni D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).
Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.
Përgjigje: Figura 2.
Shembulli 5.
Grafikoni funksionin y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Zgjidhje.
Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.
Përgjigje: Figura 3.
Shembulli 6.
Grafikoni funksionin y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Zgjidhje.
Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik ndaj ordinatës. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të transformojmë përsëri shprehjen, duke theksuar të gjithë pjesën:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Vini re se izolimi i pjesës së plotë në formulën e një funksioni racional thyesor është një nga më kryesorët gjatë ndërtimit të grafikëve.
Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është një asimptotë horizontale.
Përgjigje: Figura 4.
Shembulli 7.
Le të shqyrtojmë funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe të përpiqemi të gjejmë saktë vlerën e tij më të madhe, d.m.th. pika më e lartë në gjysmën e djathtë të grafikut. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Natyrisht, kurba jonë nuk mund të "ngritet" shumë lart, sepse emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë. Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit, duhet të zbuloni se në cilën A do të ketë zgjidhje ekuacioni A = x/(x 2 + 1). Le të zëvendësojmë ekuacionin fillestar me një kuadratik: Ax 2 – x + A = 0. Ky ekuacion ka zgjidhje kur 1 – 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlerën më të madhe A = 1/2.
Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.
Ende keni pyetje? Nuk dini si të grafikoni funksionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!
blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.
