Llogaritësi përdor funksione duke përdorur metoda diferenciale të llogaritjes. Shembulli i plotë i studimit të funksionit në internet

Udhëzimet

Gjeni domenin e funksionit. Për shembull, funksioni sin(x) përcaktohet gjatë gjithë intervalit nga -∞ në +∞, dhe funksioni 1/x përcaktohet nga -∞ në +∞, me përjashtim të pikës x = 0.

Identifikoni zonat e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes. Zakonisht një funksion është i vazhdueshëm në të njëjtin rajon ku është përcaktuar. Për të zbuluar ndërprerjet, duhet llogaritur ndërsa argumenti i afrohet pikave të izoluara brenda fushës së përkufizimit. Për shembull, funksioni 1/x tenton në pafundësi kur x→0+, dhe në minus pafundësi kur x→0-. Kjo do të thotë se në pikën x = 0 ka një ndërprerje të llojit të dytë.
Nëse kufijtë në pikën e ndërprerjes janë të fundme, por jo të barabartë, atëherë ky është një ndërprerje e llojit të parë. Nëse ato janë të barabarta, atëherë funksioni konsiderohet i vazhdueshëm, megjithëse pikë e izoluar nuk është përcaktuar.

Gjeni asimptota vertikale, nëse ka. Llogaritjet nga hapi i mëparshëm do t'ju ndihmojnë këtu, pasi asimptota vertikale është pothuajse gjithmonë e vendosur në pikën e ndërprerjes së llojit të dytë. Sidoqoftë, ndonjëherë nuk janë pika individuale që përjashtohen nga domeni i përkufizimit, por intervale të tëra pikash, dhe më pas asimptotat vertikale mund të vendosen në skajet e këtyre intervaleve.

Kontrolloni nëse funksioni ka veti të veçanta: çift, tek dhe periodiciteti.
Funksioni do të jetë çift nëse për çdo x në domenin f(x) = f(-x). Për shembull, cos(x) dhe x^2 - edhe funksionet.

Periodiciteti është një veti që thotë se ekziston një numër i caktuar T, i quajtur period, që për çdo x f(x) = f(x + T). Për shembull, të gjitha kryesore funksionet trigonometrike(sinus, kosinus, tangent) - periodik.

Gjeni pikat. Për ta bërë këtë, llogaritni derivatin e funksioni i dhënë dhe gjeni ato vlera të x ku bëhet zero. Për shembull, funksioni f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ka një derivat g(x) = 3x^2 + 18x, i cili zhduket në x = 0 dhe x = -6.

Për të përcaktuar se cilat pika ekstreme janë maksimumi dhe cilat janë minimale, gjurmoni ndryshimin në shenjat e derivatit në zerot e gjetura. g(x) ndryshon shenjën nga plus në pikën x = -6, dhe në pikën x = 0 kthehet nga minus në plus. Për rrjedhojë, funksioni f(x) ka një minimum në pikën e parë dhe një minimum në të dytën.

Kështu, ju keni gjetur edhe rajone të monotonitetit: f(x) rritet monotonisht në intervalin -∞;-6, në mënyrë monotonike zvogëlohet me -6;0 dhe rritet përsëri me 0;+∞.

Gjeni derivatin e dytë. Rrënjët e tij do të tregojnë se ku grafiku i një funksioni të caktuar do të jetë konveks dhe ku do të jetë konkav. Për shembull, derivati ​​i dytë i funksionit f(x) do të jetë h(x) = 6x + 18. Ai shkon në zero në x = -3, duke ndryshuar shenjën nga minus në plus. Rrjedhimisht, grafiku i f(x) para kësaj pike do të jetë konveks, pas tij - konkav, dhe vetë kjo pikë do të jetë një pikë lakimi.

Një funksion mund të ketë asimptota të tjera përveç atyre vertikale, por vetëm nëse fusha e tij e përkufizimit përfshin . Për t'i gjetur, llogaritni kufirin e f(x) kur x→∞ ose x→-∞. Nëse është e fundme, atëherë keni gjetur asimptotë horizontale.

Asimptotë e zhdrejtë- drejtëz i formës kx + b. Për të gjetur k, llogaritni kufirin e f(x)/x si x→∞. Për të gjetur kufirin b (f(x) – kx) për të njëjtin x→∞.

Hartoni një grafik të funksionit bazuar në të dhënat e llogaritura. Etiketoni asimptotat, nëse ka. Shënoni pikat ekstreme dhe vlerat e funksionit në to. Për saktësi më të madhe të grafikut, llogaritni vlerat e funksionit në disa pika të tjera të ndërmjetme. Studimi ka përfunduar.

Një nga detyrat më të rëndësishme llogaritja diferencialeështë zhvillimi shembuj të zakonshëm studime të sjelljes së funksionit.

Nëse funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në intervalin , dhe derivati ​​i tij është pozitiv ose i barabartë me 0 në intervalin (a,b), atëherë y=f(x) rritet me (f"(x)0) Nëse funksioni y=f (x) është i vazhdueshëm në segmentin , dhe derivati ​​i tij është negativ ose i barabartë me 0 në intervalin (a,b), atëherë y=f(x) zvogëlohet me (f"(x)0. )

Intervalet në të cilat funksioni nuk zvogëlohet ose rritet quhen intervale të monotonitetit të funksionit. Monotonia e një funksioni mund të ndryshojë vetëm në ato pika të fushës së përkufizimit të tij në të cilat ndryshon shenja e derivatit të parë. Pikat në të cilat derivati ​​i parë i një funksioni zhduket ose ka një ndërprerje quhen kritike.

Teorema 1 (1 gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një ekstremi).

Le të përcaktohet funksioni y=f(x) në pikën x 0 dhe le të ketë një fqinjësi δ>0 të tillë që funksioni të jetë i vazhdueshëm në interval dhe i diferencueshëm në intervalin (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dhe derivati ​​i tij ruan një shenjë konstante në secilin prej këtyre intervaleve. Atëherë nëse në x 0 -δ,x 0) dhe (x 0 , x 0 +δ) shenjat e derivatit janë të ndryshme, atëherë x 0 është një pikë ekstreme, dhe nëse ato përkojnë, atëherë x 0 nuk është një pikë ekstreme. . Për më tepër, nëse, kur kalon në pikën x0, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus (në të majtë të x 0 f"(x)>0 është i kënaqur, atëherë x 0 është pika maksimale; nëse derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus (në të djathtë të x 0 ekzekutuar f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Pikat maksimale dhe minimale quhen pikat ekstreme të funksionit, dhe maksimalet dhe minimumet e funksionit quhen vlera ekstreme të tij.

Teorema 2 (një shenjë e nevojshme e një ekstremi lokal).

Nëse funksioni y=f(x) ka një ekstrem në rrymën x=x 0, atëherë as f’(x 0)=0 ose f’(x 0) nuk ekziston.
Në pikat ekstreme të funksionit të diferencueshëm, tangjentja me grafikun e tij është paralele me boshtin Ox.

Algoritmi për studimin e një funksioni për një ekstremum:

1) Gjeni derivatin e funksionit.
2) Gjeni pikat kritike, d.m.th. pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​është zero ose nuk ekziston.
3) Konsideroni fqinjësinë e secilës pikë dhe shqyrtoni shenjën e derivatit majtas dhe djathtas të kësaj pike.
4) Përcaktoni koordinatat e pikave ekstreme për këtë, zëvendësoni vlerat e pikave kritike në këtë funksion. Duke përdorur kushte të mjaftueshme për ekstremin, nxirrni përfundimet e duhura.

Shembulli 18. Shqyrtoni funksionin y=x 3 -9x 2 +24x për ekstrem

Zgjidhje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Duke barazuar derivatin me zero, gjejmë x 1 =2, x 2 =4. Në këtë rast, derivati ​​përcaktohet kudo; Kjo do të thotë se përveç dy pikave të gjetura, nuk ka pika të tjera kritike.
3) Shenja e derivatit y"=3(x-2)(x-4) ndryshon në varësi të intervalit siç tregohet në figurën 1. Kur kalon në pikën x=2, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, dhe kur kalon nëpër pikën x=4 - nga minus në plus.
4) Në pikën x=2 funksioni ka një maksimum y max =20, dhe në pikën x=4 - një minimum y min =16.

Teorema 3. (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi).

Le të jetë f"(x 0) dhe në pikën x 0 ekziston f""(x 0). Atëherë nëse f""(x 0)>0, atëherë x 0 është pika minimale, dhe nëse f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Në një segment, funksioni y=f(x) mund të arrijë vlerën më të vogël (y më së paku) ose më të madhen (y më e larta) ose në pikat kritike të funksionit që shtrihen në intervalin (a;b), ose në skajet e segmentit.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm y=f(x) në segment:

1) Gjeni f"(x).
2) Gjeni pikat në të cilat f"(x)=0 ose f"(x) nuk ekziston dhe zgjidhni prej tyre ato që shtrihen brenda segmentit.
3) Llogaritni vlerën e funksionit y=f(x) në pikat e marra në hapin 2), si dhe në skajet e segmentit dhe zgjidhni më të madhin dhe më të voglin prej tyre: ato janë, përkatësisht, më të mëdhenjtë (y vlerat më të mëdha) dhe më të vogla (y më pak) të funksionit në interval.

Shembulli 19. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit të vazhdueshëm y=x 3 -3x 2 -45+225 në segment.

1) Kemi y"=3x 2 -6x-45 në segment
2) Derivati ​​y" ekziston për të gjitha x. Le të gjejmë pikat në të cilat y"=0; marrim:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Llogaritni vlerën e funksionit në pikat x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmenti përmban vetëm pikën x=5. Më e madhja nga vlerat e gjetura të funksionit është 225, dhe më e vogla është numri 50. Pra, y max = 225, y min = 50.

Studimi i një funksioni në konveksitet

Figura tregon grafikët e dy funksioneve. E para prej tyre është konveks lart, e dyta është konveks poshtë.

Funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në segment dhe i diferencueshëm në intervalin (a;b), quhet konveks lart (poshtë) në këtë segment nëse, për axb, grafiku i tij nuk qëndron më i lartë (jo më i ulët) se tangjente e tërhequr në çdo pikë M 0 (x 0 ;f(x 0)), ku axb.

Teorema 4. Le të ketë funksioni y=f(x) një derivat të dytë në çdo pikë të brendshme x të segmentit dhe të jetë i vazhdueshëm në skajet e këtij segmenti. Atëherë nëse jobarazia f""(x)0 plotësohet në intervalin (a;b), atëherë funksioni është konveks poshtë në intervalin ; nëse pabarazia f""(x)0 qëndron në intervalin (a;b), atëherë funksioni është konveks lart në .

Teorema 5. Nëse funksioni y=f(x) ka një derivat të dytë në intervalin (a;b) dhe nëse ndryshon shenjë kur kalon në pikën x 0, atëherë M(x 0 ;f(x 0)) është një pikë përkuljeje.

Rregulla për gjetjen e pikave të lakimit:

1) Gjeni pikat në të cilat f""(x) nuk ekziston ose zhduket.
2) Shqyrtoni shenjën f""(x) majtas dhe djathtas të secilës pikë të gjetur në hapin e parë.
3) Bazuar në teoremën 4, nxirrni një përfundim.

Shembulli 20. Gjeni pikat ekstreme dhe pikat e lakimit të grafikut të funksionit y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kemi f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Natyrisht, f"(x)=0 kur x 1 =0, x 2 =1. Kur kalon në pikën x=0, derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus, por kur kalon në pikën x=1 nuk ndryshon shenjë. Kjo do të thotë se x=0 është pika minimale (y min =12), dhe nuk ka ekstrem në pikën x=1. Më pas, gjejmë . Derivati ​​i dytë zhduket në pikat x 1 =1, x 2 =1/3. Shenjat e derivatit të dytë ndryshojnë si më poshtë: Në rreze (-∞;) kemi f""(x)>0, në intervalin (;1) kemi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prandaj, x= është pika e lakimit të grafikut të funksionit (kalimi nga konveksiteti poshtë në konveksitet lart) dhe x=1 është gjithashtu pika e përkuljes (kalimi nga konveksiteti lart në konveksitet poshtë). Nëse x=, atëherë y=; nëse, atëherë x=1, y=13.

Algoritmi për gjetjen e asimptotës së grafikut

I. Nëse y=f(x) si x → a, atëherë x=a është një asimptotë vertikale.
II. Nëse y=f(x) si x → ∞ ose x → -∞, atëherë y=A është një asimptotë horizontale.
III. Për të gjetur asimptotën e zhdrejtë, ne përdorim algoritmin e mëposhtëm:
1) Llogaritni. Nëse kufiri ekziston dhe është i barabartë me b, atëherë y=b është një asimptotë horizontale; nëse , atëherë shkoni në hapin e dytë.
2) Llogaritni. Nëse ky kufi nuk ekziston, atëherë nuk ka asimptotë; nëse ekziston dhe është e barabartë me k, atëherë shkoni në hapin e tretë.
3) Llogaritni. Nëse ky kufi nuk ekziston, atëherë nuk ka asimptotë; nëse ekziston dhe është e barabartë me b, atëherë shkoni në hapin e katërt.
4) Shkruani ekuacionin e asimptotës së zhdrejtë y=kx+b.

Shembulli 21: Gjeni asimptotën për një funksion

1)
2)
3)
4) Ekuacioni i asimptotës së zhdrejtë ka formën

Skema për studimin e një funksioni dhe ndërtimin e grafikut të tij

I. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.
II. Gjeni pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtet e koordinatave.
III. Gjeni asimptota.
IV. Gjeni pikat e mundshme ekstreme.
V. Gjeni pikat kritike.
VI. Duke përdorur figurën ndihmëse, eksploroni shenjën e derivatit të parë dhe të dytë. Përcaktoni zonat e funksionit rritës dhe zbritës, gjeni drejtimin e konveksitetit të grafikut, pikat e skajeve dhe pikat e lakimit.
VII. Ndërtoni një grafik, duke marrë parasysh kërkimin e kryer në paragrafët 1-6.

Shembulli 22: Ndërtoni një grafik të funksionit sipas diagramit të mësipërm

Zgjidhje.
I. Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç x=1.
II. Meqenëse ekuacioni x 2 +1=0 nuk ka rrënjë reale, grafiku i funksionit nuk ka pika të prerjes me boshtin Ox, por e pret boshtin Oy në pikën (0;-1).
III. Le të sqarojmë çështjen e ekzistencës së asimptotave. Le të studiojmë sjelljen e funksionit pranë pikës së ndërprerjes x=1. Meqenëse y → ∞ si x → -∞, y → +∞ si x → 1+, atëherë drejtëza x=1 është asimptota vertikale e grafikut të funksionit.
Nëse x → +∞(x → -∞), atëherë y → +∞(y → -∞); prandaj grafiku nuk ka asimptotë horizontale. Më tej, nga ekzistenca e kufijve

Duke zgjidhur ekuacionin x 2 -2x-1=0 marrim dy pika ekstreme të mundshme:
x 1 =1-√2 dhe x 2 =1+√2

V. Për të gjetur pikat kritike, llogarisim derivatin e dytë:

Meqenëse f""(x) nuk zhduket, nuk ka pika kritike.
VI. Le të shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë dhe të dytë. Pikat e mundshme ekstreme që duhen marrë parasysh: x 1 =1-√2 dhe x 2 =1+√2, ndaje domenin e ekzistencës së funksionit në intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dhe (1+√2;+∞).

Në secilën prej këtyre intervaleve, derivati ​​ruan shenjën e tij: në të parën - plus, në të dytën - minus, në të tretën - plus. Sekuenca e shenjave të derivatit të parë do të shkruhet si më poshtë: +,-,+.
Ne gjejmë se funksioni rritet në (-∞;1-√2), zvogëlohet në (1-√2;1+√2) dhe rritet përsëri në (1+√2;+∞). Pikat ekstreme: maksimumi në x=1-√2, dhe f(1-√2)=2-2√2 minimumi në x=1+√2, dhe f(1+√2)=2+2√2. Në (-∞;1) grafiku është konveks lart, dhe në (1;+∞) është konveks poshtë.
VII Të bëjmë një tabelë të vlerave të fituara

VIII Në bazë të të dhënave të marra ndërtojmë një skicë të grafikut të funksionit

Pikat e referencës gjatë studimit të funksioneve dhe ndërtimit të grafikëve të tyre janë pikat karakteristike - pikat e ndërprerjes, ekstremit, lakimit, kryqëzimit me boshtet koordinative. Duke përdorur llogaritjen diferenciale, është e mundur të përcaktohen tiparet karakteristike të ndryshimeve në funksione: rritja dhe zvogëlimi, maksimalet dhe minimumet, drejtimi i konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut, prania e asimptotave.

Një skicë e grafikut të funksionit mund (dhe duhet) të vizatohet pasi të gjenden asimptotat dhe pikat ekstreme, dhe është e përshtatshme të plotësoni tabelën përmbledhëse të studimit të funksionit ndërsa studimi përparon.

Zakonisht përdoret skema e mëposhtme e studimit të funksionit.

1.Gjeni domenin e përkufizimit intervalet e vazhdimësisë Dhe pikat e ndërprerjes së funksionit .

2.Ekzaminoni funksionin për barazi ose çuditshmëri (simetria boshtore ose qendrore e grafikut.

3.Gjeni asimptota(vertikale, horizontale ose e pjerrët).

4.Gjeni dhe eksploroni intervalet e rritjes dhe zvogëlimit funksionet, pikat e tij ekstreme.

5.Gjeni intervale konveksiteti dhe konkaviteti i një lakore, pikat e lakimit të saj.

6.Gjeni pikat e kryqëzimit të kurbës me boshtet e koordinatave, nëse ato ekzistojnë.

7.Hartoni një tabelë përmbledhëse të studimit.

8.Ndërtohet një grafik, duke marrë parasysh studimin e funksionit të kryer sipas pikave të përshkruara më sipër.

Shembull. Funksioni i eksplorimit

dhe ndërtoni grafikun e tij.

7. Të përpilojmë një tabelë përmbledhëse për studimin e funksionit, ku do të fusim të gjitha pikat karakteristike dhe intervalet ndërmjet tyre. Duke marrë parasysh paritetin e funksionit, marrim tabelën e mëposhtme:

Për të studiuar plotësisht funksionin dhe për të paraqitur grafikun e tij, rekomandohet të përdorni skemën e mëposhtme:

1) gjeni domenin e përkufizimit të funksionit;

2) gjeni pikat e ndërprerjes së funksionit dhe asimptotave vertikale (nëse ekzistojnë);

3) të hetojë sjelljen e funksionit në pafundësi, të gjejë asimptota horizontale dhe të zhdrejta;

4) të ekzaminojë funksionin për barazinë (çuditshmërinë) dhe periodicitetin (për funksionet trigonometrike);

5) gjeni ekstremet dhe intervalet e monotonitetit të funksionit;

6) të përcaktojë intervalet e konveksitetit dhe pikat e përkuljes;

7) gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave dhe, nëse është e mundur, disa pika shtesë që qartësojnë grafikun.

Studimi i funksionit kryhet njëkohësisht me ndërtimin e grafikut të tij.

Shembulli 9 Eksploroni funksionin dhe ndërtoni një grafik.

1. Fusha e përkufizimit: ;

2. Funksioni pëson ndërprerje në pika
,
;

Ne shqyrtojmë funksionin për praninë e asimptotave vertikale.

;
,
─ asimptotë vertikale.

;
,
─ asimptotë vertikale.

3. Shqyrtojmë funksionin për praninë e asimptotave të zhdrejta dhe horizontale.

Drejt
─ asimptotë e zhdrejtë, nëse
,
.

,
.

Drejt
─ asimptotë horizontale.

4. Funksioni është edhe sepse
.

Pariteti i funksionit tregon simetrinë e grafikut në lidhje me boshtin y.

5. Gjeni intervalet e monotonitetit dhe ekstremet e funksionit.
;
Le të gjejmë pikat kritike, d.m.th. pikat në të cilat derivati ​​është 0 ose nuk ekziston:
;

. Kemi tre pikë . Këto pika e ndajnë të gjithë boshtin real në katër intervale. Le të përcaktojmë shenjat

në secilën prej tyre.
Në intervalet (-∞; -1) dhe (-1; 0) funksioni rritet, në intervalet (0; 1) dhe (1; +∞) ─ zvogëlohet. Kur kalon nëpër një pikë
.

derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, prandaj, në këtë pikë funksioni ka një maksimum

6. Gjeni intervalet e pikave të konveksitetit dhe të lakimit. Le të gjejmë pikat në të cilat

është 0, ose nuk ekziston.
,
,

nuk ka rrënjë të vërteta.
Pikat
Dhe ndani boshtin real në tre intervale. Le të përcaktojmë shenjën

në çdo interval.
Kështu, kurba në intervale
Dhe
Pikat
konveks poshtë, në intervalin (-1;1) konveks lart; nuk ka pika lakimi, pasi funksioni është në pika

nuk është përcaktuar.

7. Gjeni pikat e prerjes me boshtet.
Me bosht
grafiku i funksionit kryqëzohet në pikën (0; -1), dhe me boshtin

grafiku nuk ndërpritet, sepse numëruesi i këtij funksioni nuk ka rrënjë reale.

Grafiku i funksionit të dhënë është paraqitur në Figurën 1.

Figura 1 ─ Grafiku i funksionit

Zbatimi i konceptit të derivatit në ekonomi. Funksioni i elasticitetit

Për të studiuar proceset ekonomike dhe për të zgjidhur probleme të tjera të aplikuara, shpesh përdoret koncepti i elasticitetit të një funksioni. Përkufizimi.
Funksioni i elasticitetit quhet kufiri i raportit të rritjes relative të funksionit ndaj rritjes relative të ndryshores
në

Elasticiteti i një funksioni tregon përafërsisht sa për qind do të ndryshojë funksioni
kur ndryshorja e pavarur ndryshon me 1%.

Funksioni i elasticitetit përdoret në analizën e kërkesës dhe konsumit. Nëse elasticiteti i kërkesës (në vlerë absolute)
, atëherë kërkesa konsiderohet elastike nëse
─ neutral nëse
─ joelastike në raport me çmimin (ose të ardhurat).

Shembulli 10 Llogaritni elasticitetin e funksionit
dhe gjeni vlerën e indeksit të elasticitetit për = 3.

Zgjidhja: sipas formulës (VII), elasticiteti i funksionit është:

Le të x=3, atëherë
.Kjo do të thotë se nëse ndryshorja e pavarur rritet me 1%, atëherë vlera e ndryshores së varur do të rritet me 1,42%.

Shembulli 11 Lëreni kërkesën të funksionojë në lidhje me çmimin duket si
, Ku ─ koeficient konstant. Gjeni vlerën e treguesit të elasticitetit të funksionit të kërkesës me çmim x = 3 den. njësi

Zgjidhje: llogaritni elasticitetin e funksionit të kërkesës duke përdorur formulën (VII)

Duke besuar
njësitë monetare, marrim
. Kjo do të thotë se me një çmim
njësi monetare një rritje prej 1% në çmim do të shkaktojë një ulje të kërkesës me 6%, d.m.th. kërkesa është elastike.