Një pikë njëjës pafundësisht e largët. §17

Ne e përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Pika z = ∞ është një pikë njëjës e izoluar e funksionit analitik w = f (z ), nëse në ndonjë lagje të kësaj pike nuk ka pika të tjera njëjës të këtij funksioni. Për të përcaktuar llojin e kësaj pike njëjës, ne bëjmë një ndryshim të ndryshores dhe pikës z = ∞ shkon në pikën z 1 = 0, funksion w = f (z ) do të marrë formën . Lloji i pikës njëjës z = ∞ funksionet w = f (z ) do të quajmë llojin e pikës njëjës z 1 = 0 funksione w = φ (z 1). Nëse zgjerimi i funksionit w = f (z ) sipas shkallëve z në afërsi të një pike z = ∞, d.m.th. në vlera mjaftueshëm të mëdha të modulit z , ka formën , pastaj, duke zëvendësuar z më , ne do të marrim . Kështu, me një ndryshim të tillë të ndryshores, pjesët kryesore dhe të rregullta të serisë Laurent ndryshojnë vendet dhe llojin e pikës njëjës. z = ∞ përcaktohet nga numri i termave në pjesën e saktë të zgjerimit të funksionit në serinë Laurent në fuqi z në afërsi të një pike z = 0. Prandaj
1. Pika z = ∞ - i lëvizshëm pikë njëjës, nëse në këtë zgjerim mungon pjesa e saktë (me përjashtim të mundshëm të termit A 0);
2. Pika z = ∞ - pol n -rendi i th nese pjesa e djathte mbaron me term Një n · z n ;
3. Pika z = ∞ është një pikë në thelb njëjës nëse pjesa e rregullt përmban pafundësisht shumë terma.

Në këtë rast mbeten të vlefshme kriteret për llojet e pikave njëjës sipas vlerës: nëse z= ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme, atëherë ky kufi ekziston dhe është i fundëm nëse z= ∞ është një pol, atëherë ky kufi është i pafund nëse z= ∞ është një pikë në thelb njëjës, atëherë ky kufi nuk ekziston (as i fundëm, as i pafund).

Shembuj: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Funksioni është tashmë një polinom në fuqi z , shkalla më e lartë është e gjashta, pra z
I njëjti rezultat mund të merret në një mënyrë tjetër. Ne do të zëvendësojmë z më pastaj . Për funksionin φ (z 1) pikë z 1 = 0 është një pol i rendit të gjashtë, pra për f (z ) pika z = ∞ - pol i rendit të gjashtë.
2. . Për këtë funksion, merrni një zgjerim të fuqisë z e vështirë, kështu që le të gjejmë: ; kufiri ekziston dhe është i fundëm, pra pika z
3. . Korrigjoni pjesën e zgjerimit të fuqisë z përmban pafundësisht shumë terma, pra z = ∞ është një pikë në thelb njëjës. Përndryshe, ky fakt mund të vërtetohet duke u bazuar në faktin se ai nuk ekziston.

Mbetja e një funksioni në një pikë njëjës pafundësisht të largët.

Për pikën e fundit njëjës a , Ku γ - një qark që nuk përmban të tjerë përveç a , pika njëjës, të përshkuara në mënyrë të tillë që zona e kufizuar prej saj dhe që përmban pikën njëjës të mbetet në të majtë (në drejtim të kundërt të akrepave të orës).

Le të përcaktojmë në mënyrë të ngjashme: , ku Γ − është kontura që kufizon një lagje të tillë U (∞, r ) pikë z = ∞, e cila nuk përmban pika të tjera njëjës dhe e përshkueshme në mënyrë që kjo lagje të mbetet në të majtë (d.m.th., në drejtim të akrepave të orës). Kështu, të gjitha pikat e tjera njëjës (përfundimtare) të funksionit duhet të vendosen brenda konturit Γ − . Le të ndryshojmë drejtimin e kalimit të konturit Γ − : . Nga teorema kryesore mbi mbetjet , ku përmbledhja kryhet mbi të gjitha pikat e fundme njëjës. Prandaj, më në fund

,

ato. mbetje në një pikë njëjës pafundësisht të largët e barabartë me shumën mbetje mbi të gjitha pikat e fundme njëjës, të marra me shenjën e kundërt.

Si pasojë, ekziston teorema e shumës totale: nëse funksioni w = f (z ) është analitike kudo në aeroplan ME , me përjashtim të një numri të kufizuar pikash njëjës z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , atëherë shuma e mbetjeve në të gjitha pikat e fundme të njëjës dhe mbetja në pafundësi është e barabartë me zero.

Vini re se nëse z = ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme, atëherë mbetja në të mund të jetë e ndryshme nga zero. Pra, për funksionin, padyshim, ; z = 0 është e vetmja pikë njëjës e fundme e këtij funksioni, pra , pavarësisht se, d.m.th. z = ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme.

V. ZHVIRBLIS

Kupa qiellore pa fund të natës dhe zhurma e pandërprerë e sërfit zakonisht, kundër dëshirës sonë, na bëjnë të mendojmë për pafundësinë. Pafundësia e hapësirës dhe pafundësia e kohës.

Pafundësia, megjithatë, nuk është aq tërheqëse sa është e frikshme. Në të vërtetë, ngrica e zvarrit lëkurën tuaj kur përpiqeni ta vizualizoni atë. Dhe me sa duket, kjo është arsyeja pse njeriu, që nga kohërat e lashta e deri në ditët e sotme, pa u lodhur kërkon dhe krijon mendërisht një botë komode të fundme rreth vetes.

Në fillim, për të mbrojtur botën, njeriu vendosi tokë e sheshtë mbi tre balena ose tre elefantë dhe doli me një legjendë për krijimin e botës dhe fundin e botës. Por, ashtu si në kohët e vjetra, askush nuk mund t'i përgjigjej pyetjes se ku notojnë balenat ose ku qëndrojnë elefantët, çfarë ndodhi para krijimit të botës dhe çfarë do të ndodhë pas fundit të botës, kështu edhe tani, pavarësisht ekzistencës së shumë teoritë e sofistikuara të universit, kuptimi fizik Koncepti në dukje i thjeshtë i "pafundësisë" vazhdon të mbetet shumë i paqartë dhe askush nuk duket se ka gjetur ende një mënyrë për të përfaqësuar pafundësinë vërtet qartë.

Ndonëse matematikanët janë njerëz si gjithë të tjerët, ata prej kohësh po bredhin me guxim në hapësirat e pafundme të pafundësisë.

Si e bëjnë këtë? Çfarë nevojitet, le të themi, për të shkruar një numër absolutisht të saktë? e, duke treguar bazën e logaritmeve natyrore?

Mund të ketë dy përgjigje për këtë pyetje.

Përgjigjuni një: një fletë letre pafundësisht e madhe dhe pafundësisht kohe e madhe, sepse sado të vegjël dhe shpejt të shkruajmë numra, duke mbushur me ta një sipërfaqe pafundësisht të madhe në një rresht të pafund. e= 2.71828... do të marrë përgjithmonë. Në këtë rast, ata flasin për pafundësinë e mundshme, domethënë një pafundësi që ekziston vetëm potencialisht, si të thuash, në parim, por nuk mund të përfundojë kurrë.

Përgjigjja e dytë: çdo copë letre dhe disa sekonda, në të cilat mund të skiconi një formulë që ju lejon të llogaritni numrin e me ndonjë saktësi të paracaktuar. Për ta bërë këtë, në formulën (mund të gjendet në librin e referencës), ju vetëm duhet të zëvendësoni me radhë numrat e serive natyrore që rriten në pafundësi. Ky operacion zakonisht shënohet me një kombinim simbolesh n→ ∞; në këtë rast, pafundësia quhet aktuale, domethënë, sikur një herë e përgjithmonë, me të vërtetë e përfunduar, vërtet ekzistuese, megjithëse jo e barabartë me asgjë të caktuar.

Truku i teknikës së fundit është se e gjithë pafundësia fshihet në një kombinim të shkurtër simbolesh, në të cilin koha merr pjesë në një formë të maskuar: në fund të fundit n ne duhet ta rrisim atë gjatë gjithë kohës! Por fizikantët që merren me botën reale nuk mund të ndjekin shembullin e matematikanëve, të cilët veprojnë sipas mënyrës së tyre logjike, duke injoruar plotësisht kohën.

NË formulat fizike pafundësia lind herë pas here, dhe për të hequr qafe atë (në fund të fundit, në botën reale të gjitha sasitë duhet të jenë të fundme), fizikantët janë deri diku të pasinqertë, duke zëvendësuar në heshtje sasitë pafundësisht të mëdha me ato shumë të mëdha, por gjithsesi të fundme, dhe thjesht duke injoruar sasitë pafundësisht të vogla. Siç thonë ata, nëse nuk ka pafundësi, atëherë nuk ka probleme që lidhen me të.

Një “rrumbullakim” i tillë i pafundësive është legjitim kur ne po flasim për rreth interpretimit rezultatet eksperimentale(në fund të fundit, saktësia e matjeve është gjithmonë e fundme), por është plotësisht e papranueshme në një teori "të pastër". Për shembull, shpesh njeriu duhet të merret me shprehje krejtësisht të pakuptimta, në fakt, si "masë pafundësisht e madhe (e vogël)" ose "shpejtësi pafundësisht e vogël (e lartë). Në fund të fundit, kjo do të thotë që masa rritet ose zvogëlohet gjatë gjithë kohës, se shpejtësia zvogëlohet ose rritet gjatë gjithë kohës, domethënë se masa dhe energjia vijnë nga vende të panjohura ose zhduken në vende të panjohura. A mund të imagjinojmë një raketë shpejtësia e së cilës po rritet vazhdimisht, por motorët e së cilës nuk konsumojnë asnjë karburant?

Kjo do të thotë se ajo që në të vërtetë nënkuptohet këtu nuk janë me të vërtetë sasi pafundësisht të mëdha ose pafundësisht të vogla, por sasi të fundme - ose në mënyrë të paimagjinueshme të mëdha ose në mënyrë të papërfillshme. Përndryshe, si mund të përshkruanin fizikanët situata që nuk ndodhin kurrë?

Vetë fjala "pafundësi" duket se tregon se është diçka që nuk ka as fillim as fund. Linjë pa fund, rrafsh i pafund, hapësirë ​​e pafund... Ky është një imazh vizual i pafundësisë së mundshme. A mund të konsiderohet i pafund? segmentin përfundimtar? Thuaj, një centimetër i gjatë?

Nga pikëpamja e matematikës së pastër, si një segment i gjatë një centimetër ashtu edhe një segment i barabartë me diametrin e një atomi ose elektroni hidrogjeni mund të konsiderohen në të vërtetë pafundësisht i madh. Dhe në përgjithësi, çdo segment, pa marrë parasysh sa i vogël, por i fundëm - e gjithë çështja është se si ta matni atë. Në fund të fundit, nëse një njësi matëse është pafundësisht e vogël (ose më mirë, tenton në zero), atëherë madhësia e çdo segmenti të matur me ndihmën e tij është pafundësisht e madhe (më saktë, priret në pafundësi).

Me fjalë të tjera, pafundësisht vlerë të madhe ai nuk duhet të jetë i madh në mënyrë të paimagjinueshme, ai mund të ketë përmasa të fundme (dhe madje jashtëzakonisht të vogla nga këndvështrimi ynë) nëse përdoret një vlerë pafundësisht e vogël për ta matur atë, domethënë në rënie të vazhdueshme në kohë; por e njëjta sasi e fundme mund të konsiderohet edhe pafundësisht e vogël nëse matet duke përdorur një sasi që rritet pafundësisht në kohë.

Kjo është, në fakt, pafundësia reale fizike duhet të ketë dy rajone të lidhura pazgjidhshmërisht - rajoni i pafundësisht i madh dhe rajoni i pafundësisht i vogël - dhe për këtë arsye ai nuk mund të ndahet në potencial dhe aktual. Një pafundësi e tillë thjesht duhet të ekzistojë.

Në fakt, ne e dimë se materia përbëhet nga molekula, molekulat janë ndërtuar nga atomet, atomet janë bërë nga elektronet dhe bërthamat, bërthamat janë bërë nga protonet dhe neutronet. Nga se përbëhen vetë elektronet, protonet dhe neutronet? Nga kuarket? Dhe nga çfarë janë bërë ato? Kjo do të thotë, sado thellë të depërtojmë në strukturën e grimcave të materies, do të jemi në gjendje të bëjmë pafundësisht të njëjtën pyetje sakramentale: nga çfarë?

Rezulton se balenat dhe elefantët gjenden jo vetëm në rajonin e pafundësisht të madh, por edhe në rajonin e pafundësisht të vogël...

Të gjithë e dinë shumë mirë se njerëzit që veprojnë në hapësirën e jashtme nuk janë të njëjtët. ligjet fizike, e cila është në një mikrokozmos. Atje - teoria e relativitetit, e veçantë dhe e përgjithshme: këtu - Mekanika kuantike. Dhe megjithëse të dyja teoritë janë të bashkuara nga mekanika kuantike relativiste, kjo nuk e bën më të lehtë: të gjitha këto teori jo-klasike pasqyrojnë saktë rezultatet. eksperimente reale, por imagjinoni qartë relativisten dhe efektet kuantike e pamundur, sepse mendërisht mund të imagjinohen vetëm fenomene që ndodhin në botën e kufizuar të përditshme të përmasave dhe shpejtësive të moderuara, të përshkruara nga këndvështrimi i të ashtuquajturit "sensi i përbashkët" (lexo - sens fizik) mekanika klasike Njutoni. Dhe nëse po, a është vërtet e mundur të përpiqesh të vizualizosh pafundësinë e vërtetë fizike?

Kuanti relativist ndryshon nga klasikja vetëm në atë që përmban dy postulate shtesë - në lidhje me fundshmërinë dhe pandryshueshmërinë e shpejtësisë së dritës dhe fundin e kuantit të veprimit - konstanta e Planck-ut. Sa më e madhe të jetë shpejtësia e një trupi dhe sa më e vogël të jetë masa e tij, aq më e pazakontë bëhet sjellja e tij. Dhe anasjelltas: se sa më shumë masë trupi dhe sa më e ulët të jetë shpejtësia e tij, aq më saktë përshkruhet sjellja e tij mekanika klasike dhe aq më e lehtë është ta imagjinosh atë mendërisht. Në të njëjtën mënyrë, mekanika klasike do ta përshkruante sjelljen më saktë objekte fizike, aq më e madhe është shpejtësia e dritës dhe aq më pak konstanta e Planck-ut.

Pra, çfarë përshkruan atëherë mekanika klasike? Rezulton se nuk duket se përshkruan asgjë: është i përshtatshëm vetëm për të përshkruar ose objekte vërtet joekzistente (me pafundësi masë e madhe dhe shpejtësi infinitimale) të vendosura në botën reale, ose objekte reale ekzistuese të vendosura në botën reale botën ekzistuese(me një konstante Planck pafundësisht të vogël dhe pafundësisht shpejtësi e lartë Sveta)...

A nuk është një përfundim i çuditshëm? Megjithatë, ajo mund të interpretohet gjithashtu në këtë mënyrë: mekanika klasike na jep një model thjesht spekulativ të botës reale, sikur të shihet nga një vëzhgues "nga jashtë", nga pafundësia. Natyrisht, vetitë e një modeli të tillë nuk mund të studiohen eksperimentalisht, pasi vëzhguesi nuk mund të kryejë eksperimente reale në objekte imagjinare ose pafundësisht të largëta. Por teoritë jo-klasike përshkruajnë të njëjtën botë, por vetëm sikur "nga brenda", nga këndvështrimi i një vëzhguesi të vërtetë që formon një tërësi të vetme me sistemin që po studion dhe është në gjendje të ndikojë në mënyrë aktive në të: në këtë rasti, teoria dhe eksperimenti japin rezultate që janë rreptësisht në përputhje me njëra-tjetrën, por vetëm këto rezultate nuk mund të imagjinohen më në mënyrë spekulative, në përputhje të rreptë me "sensitetin e përbashkët".

Me fjalë të tjera, një pamje e botës "nga brenda" i jep vëzhguesit vetëm informacion relativisht të vërtetë për objektin e vëzhguar, të shtrembëruar në mënyrë të pashmangshme nga fakti se vëzhguesi dhe objekti përbëjnë një të vetme. sistemi fizik dhe ndikojnë njëri-tjetrin. Në të kundërt, shikimi i botës "nga jashtë", nga pafundësia, do t'i jepte vëzhguesit informacion absolutisht të vërtetë për objektin. Por për të kaluar në pafundësi, nevojitet një kohë pafundësisht e madhe... A nuk është ky kuptimi fizik specifik i konsideratave filozofike për pafundësinë e procesit të njohjes së së vërtetës absolute?

Bota është një - vetëm pikëpamjet për të janë të ndryshme. Por nëse pamja absolutisht e vërtetë e botës nuk mund të vëzhgohet në parim, atëherë ndoshta mund të llogaritet? Për shembull, duke gjetur transformime të koordinatave të ngjashme me ato të Galilesë ose Lorencit, të cilat do të lejonin një kalim të pandryshueshëm nga këndvështrimi i botës "nga jashtë" në këndvështrimin e botës "nga brenda" dhe anasjelltas. A nuk do të rezultonte atëherë se postulatet dhe përfundimet e teorive jo-klasike që janë të çuditshme, sipas mendimit tonë të përditshëm, janë vetëm të nënkuptuara dhe jo më Menyra me e mire hiqni qafe pafundësitë që nuk janë më pak të çuditshme, sipas mendimit të një fizikani teorik modern model klasik paqe?

Njerëzit më shpesh mendojnë për pafundësinë kur shikojnë një qiell me yje pa hënë. Por pafundësia e qiellit është, si të thuash, vetëm gjysma e pafundësisë fizike reale, që shtrihet jo vetëm në rajonin e sasive pafundësisht të mëdha, por edhe në rajonin e sasive pafundësisht të vogla. Dhe as gjysma, por një pjesë e pafundme e saj.

Njerëzit duhej të përballeshin me imazhin e pafundësisë së vërtetë fizike jo në ajër të hapur, por në një komod ambienti i shtëpisë, me fall në pasqyra, në modë në kohët e vjetra. Kjo u bë kështu: në heshtje absolute dhe krejtësisht vetëm vajza u ul në tavolinë, duke vendosur një pasqyrë përpara dhe një tjetër pas saj; Ajo vendosi qirinj të ndezur në secilën anë, duke ndriçuar fytyrën e saj me dritë vezulluese. Dhe më pas ajo vështroi me vëmendje reflektimin e saj që përsëritej pafundësisht, duke menduar për një pyetje të cilës do të donte të merrte një përgjigje. Pyetja, natyrisht, kishte të bënte me martesën...

Thonë se pas ca kohësh, fatlumja filloi të imagjinonte diçka të panjohur dhe, nëse nuk do të hidhte me kohë mbi njërën nga pasqyrat një peshqir të përgatitur posaçërisht për një rast të tillë, do t'i binte të fikët nga frika.

Mos qesh, thjesht përpiqu të ulesh në heshtje dhe muzg mes dy pasqyrave për të paktën pesëmbëdhjetë minuta, duke parë në pafundësinë lëvizëse dhe je modern, racional njeri që mendon– do të ndiheni gjithashtu shumë, shumë në siklet. Herët a vonë do të ndaloni së kuptuari se ku jeni dhe ku është reflektimi juaj, dhe më pas do të humbni ndjenjën e realitetit, duke u hutuar në një rresht të pafund fytyrash identike...

Unë vetë rastësisht hasa një imazh edhe më të saktë të pafundësisë reale fizike në fëmijërinë time të largët, në vitet e paraluftës. Mua, atëherë katër vjeç, postieri solli numrin tjetër të "Murzilka", në kopertinën e të cilit ishte shtypur fotografia e mëposhtme: një dhomë, në të një djalë është ulur në divan dhe shikon revistën "Murzilka". , në kopertinën e së cilës përshkruhet e njëjta dhomë përsëri dhe përsëri në të njëjtën Një djalë është ulur në divan me "Murzilka" në duar - dhe kështu me radhë, me sa duket ad infinitum.

Dhe papritmas mendova: por unë jam gjithashtu një djalë, dhe gjithashtu jam ulur në divan në një dhomë shumë të ngjashme, dhe po shikoj gjithashtu revistën Murzilka. Po sikur unë vetë të fotografohem në kopertinën e së njëjtës revistë dhe të shikohet nga një djalë i cili gjithashtu është ulur në të njëjtin divan në të njëjtën dhomë dhe është fotografuar vetë në kopertinën e revistës Murzilka? Pastaj vrumbullova nga tmerri, hodha revistën dhe u përpoqa të mos e shihja më, megjithëse për disa arsye doja me pasion të shikoja përsëri kopertinën ...

Por le të lëmë mënjanë bestytnitë absurde, le të bëjmë pa të rrezikshme. eksperimente psikologjike dhe ne do të arsyetojmë pa emocione të panevojshme. Le të supozojmë se unë vetë isha një djalë me numër rendor n dhe mbante në duar një revistë, në kopertinën e së cilës është paraqitur një djalë me numër serial. n– 1. Dhe në të njëjtën kohë jam paraqitur në kopertinën e një reviste që mbahet në duart e një djali me numër serial n+ 1. Në këtë rast, ne do të supozojmë se n vazhdimisht rritet, priret në pafundësi. Kjo do të thotë, se numri i botëve të folezuara brenda njëra-tjetrës, si kukullat fole, po rritet. Megjithatë, sado i madh të jetë numri n, në botën time do të mbetem gjithmonë vetvetja dhe nuk do të mund ta vërej se ajo po rritet gjatë gjithë kohës; Për më tepër, unë mund të mos di as për ekzistencën e botëve me numra serialë n+ 1 dhe n– 1. Për më tepër, mund të gris në copa të vogla një revistë me një kopertinë që më trembi, duke e shkatërruar menjëherë pafund. numër i madh botët...

Por çfarë do të ndryshojë kjo? Nëse revista u botua në një tirazh, të themi, 1.000.000 kopje, atëherë do të ruhen 999.999 pafundësi; edhe nëse këto ekzemplarë zhduken, atëherë në 999999 botë të numrit serik n+ 1 999999 · 1000000 kopje të revistës do të ruhen dhe numri i botëve të numrit serik n+ 1, nga ana tjetër, është gjithashtu e barabartë me 1000000 - dhe kështu me radhë, ad infinitum. Me një fjalë, në një pafundësi të tillë nuk ka vetëm pafundësisht shumë numra serialë, por gjithashtu secili prej numrave përfaqësohet nga një numër pafundësisht i madh kopjesh.

Një pafundësi e tillë mund të duket e frikshme jo aq për shkak të pafundësisë dhe pashtershmërisë, pashkatërrueshmërisë dhe, si të thuash, moskrijueshmërisë, por për shkak të thjeshtësisë së saj, duke arritur në pikën e absurditetit. (A është kjo arsyeja pse ndjenja e pafundësisë lind shpesh tek një person gjatë një sëmundjeje të rëndë? Mos harroni përshkrimin e delirit të Princit Bolkonsky.) Me fjalë të tjera, pafundësia e vërtetë fizike - gjithçka që ekziston në botën tonë - as nuk mund të shkatërrohet dhe as të krijohet: ose nuk ekziston fare (që është e pamundur të imagjinohet), ose ekziston gjithmonë, përgjithmonë (që është gjithashtu e pamundur të imagjinohet). Pra, pyetja - a ka bota një fillim dhe a do të ketë një fund - nuk ka jo vetëm përgjigje, por as kuptim, dhe kishte të drejtë i paharruari Kozma Prutkov, i cili la shëmbëlltyrën e mëposhtme për këtë: "Një herë, kur nata mbuloi qiejt me mbulesën e tij të padukshme, filozofi i famshëm francez Descartes, i ulur në shkallët e shkallëve të shtëpisë së tij dhe duke parë me vëmendje horizontin e zymtë, një kalimtar iu afrua me pyetjen: "Më thuaj, i urtë, sa A ka yje në këtë qiell?” - “I poshtër! - u përgjigj ky, - askush nuk mund ta përqafojë pafundësinë! Këto fjalë të thënëa me zjarr të madh patën efektin e dëshiruar te kalimtari.”

Ne, natyrisht, nuk jetojmë në një kopertinë të sheshtë reviste, por në një botë gjeometrikisht tre-dimensionale, siç ramë dakord, me numër serik n. Dhe mund të ndodhë që kjo botë të jetë vetëm një tullë e parëndësishme e botës me një numër serial n+ 1, dhe bota jonë, nga ana tjetër, përbëhet nga një numër i paimagjinueshëm i madh botësh me numra serialë n– 1, që ne i quajmë grimca. Dhe kështu me radhë ad infinitum - si në gjerësi ashtu edhe në thellësi. Valery Bryusov shkroi për një pafundësi të tillë në poezinë e tij "Bota e elektroneve"; Në ditët e sotme, fizikantët shprehin hipoteza serioze sipas të cilave ka grimca si "vrimat e zeza" (për shembull, "Friedmons" nga Akademik M.A. Markov), të padallueshme në strukturë nga Universi ynë, dhe hipoteza sipas të cilave i gjithë Universi ynë është një "vrimë e zezë". " - një grimcë e një bote tjetër, të paimagjinueshme më të madhe ...

Me sa duket, vetëm një pafundësi e tillë mund të ekzistojë realisht: ky është Pafundësia e Madhe, diku në mes të së cilës (edhe pse çfarë mes mund të ketë pafundësia?) bota jonë ka humbur; të gjitha botët e Pafundësisë së Madhe, të marra së bashku, ekzistojnë, si të thuash, jashtë kohës, pasi nëse ajo rrjedh pafund, atëherë çdo moment mund të konsiderohet pafundësisht i largët nga fillimi, i cili nuk ka ekzistuar kurrë, ashtu siç mund të konsiderohet i shkrirë me fillimi.

Dhe nëse matematika, pa frikë nga asnjë pafundësi, përshkruan saktësisht Pafundësi më e madhe, atëherë fizika përshkruan vetëm pjesën e saj pa masë të vogël, e cila sigurisht përmban edhe më të voglin edhe më të madhin.

Kudo që të kthehet shikimi ynë, ne do të shohim materien. Çdo gram përmban afërsisht 10 grimca - elektrone, protone, neutrone. Nëse secila prej këtyre grimcave është një botë me numër serial n– 1, pra, do të thotë se brenda secilit prej tyre ka një mori yjesh që digjen, duke ndriçuar një numër të panumërt planetësh, ndër të cilët mund të ketë edhe ata mbi të cilët krijesa të gjalla të afta të mendojnë për pafundësinë.

Vetëm gjithçka në këtë botë ndodh pa masë më shpejt se në tonën - ndoshta aq herë sa bota jonë është më e madhe se elektroni (nëse, duke ndjekur Bryusov, supozojmë se bota e elektronit është e padallueshme nga e jona) afërsisht 10 41 herë. Atëherë nëse për ne një çast zgjat 0,1 sekonda, atëherë në botën e numrit serial n- 1 për këtë koha do të kalojë afërsisht 10 23 miliardë vjet, dhe ato 10 miliardë vjet që ekziston bota jonë, në shkallën kohore të botës me një numër serial n+ 1 pulson në 10–24 sekonda - pa masë më e shkurtër se çasti ynë.

Këto botë të panumërta dridhen në çdo flakë qiriri dhe në çdo qelizë të trupit tonë. Numri i botëve rritet si një ortek në pafundësi me lëvizjen si në gjerësi ashtu edhe në thellësi të materies, nga një prej saj niveli strukturor tek një tjetër. Të gjitha këto botë jetojnë jetë me gjak të plotë, dhe edhe nëse Toka është djepi i vetëm i inteligjencës, kjo nuk do të thotë aspak se ne jemi vetëm në univers: edhe në çdo grimcë të parëndësishme pluhuri që përmban një numër të panumërt botësh, duhet të ketë një numër pafundësisht të madh planetësh. e banuar qenie inteligjente. Dhe ndoshta, çdo akt i lindjes së një çifti elektron-pozitron është një akt i lindjes së botëve të panumërta, dhe çdo akt asgjësimi është dëshmi e vdekjes së tyre?

E gjithë kjo çon në mendime shumë të trishtueshme. Le të kthehemi në Tokën tonë të vogël, ku dielli shkëlqen ditën dhe yjet natën, ku ka edhe det edhe qiell, dhe ku ka të afërm e miq, pranë të cilëve nuk mund të mendosh fare për pafundësinë, ose për fakti që çdo gjë që ka një fillim, fatkeqësisht, ka edhe një fund.

Pafundësia: në matematikë...

A. FOMENKO

Çdo fushë e matematikës moderne (gjeometri, algjebër, etj.) ka "modelin e pafundësisë" të saj dhe lidh grupin e vet të imazhe psikologjike dhe emocionet. Natyrisht, këto imazhe janë më të qarta në gjeometri. Pafundësia gjeometrike është më e arritshme për demonstrim dhe në të njëjtën kohë jashtëzakonisht komplekse, pasi shpesh bie ndesh me intuitën tonë gjeometrike bazuar në përvojë e përditshme. Fakti është se mekanizmat fiziologjikë perceptimi ndoshta nuk është në gjendje t'i përgjigjet në mënyrë adekuate detyrës intelektuale abstrakte të "imagjinimit të pafundësisë gjeometrike", dhe truri ynë detyrohet të zëvendësojë "pafundësinë e vërtetë" me një objekt gjeometrik intuitivisht më të qartë dhe më të ashpër, ndonjëherë duke bërë një gabim të padukshëm, një zëvendësim. Prandaj, intuita gjeometrike, duke qenë një mjet i fuqishëm për të kuptuar të vërtetën matematikore, ndonjëherë mund të çojë në mënyrë tinëzare në gabime serioze, nga të cilat, siç tregon përvoja, edhe studiuesit me përvojë nuk janë të imunizuar. Le të marrim, për shembull, konceptin e njohur të një rreshti nga shkolla. Nëse merrni kohën tuaj dhe e mendoni më me kujdes, së shpejti do të zbulojë të gjithë kompleksitetin e tij. Në gjuhën e matematikës, një vijë (kurbë) është një "objekt njëdimensional", ka "një dimension". Euklidi u përpoq të përcaktojë një vijë si "gjatësi pa gjerësi". Mekanika klasike e shekujve 18...19, bazuar në eksperimente specifike, zhvilloi sa vijon përfaqësimi natyror rreth një vijë (lakore). Nëse marrim parasysh një trup që lëviz në hapësirë ​​me përmasa mjaft të vogla (një pikë infiniteminale), atëherë trajektorja e lëvizjes së tij mund të quhet një vijë. Kështu, një vijë (lakore) është një gjurmë e një pike lëvizëse. Në këtë rast sigurisht që meriton të studiohet më parë rasti i “lëvizjes së vazhdueshme”, kur pika nuk bën kërcime të menjëhershme të papritura, pra kur gjurma e saj nuk ka thyerje. Meqenëse lëvizja e një pike ndodh në kohë, atëherë, në aspektin matematikor, mund të themi se një vijë është një imazh i një segmenti të kohës në shfaqja e vazhdueshme(segment) në hapësirë. Për sa kohë kemi të bëjmë me të zakonshme, jo shumë komplekse sistemet mekanike, ky koncept i linjës na shkon mjaft mirë. Është intuitivisht e qartë se e vazhdueshme nuk është shumë lëvizje komplekse pikat përfaqësohen nga një objekt njëdimensional - një vijë. Megjithatë, sapo kalojmë në shqyrtimin e "proceseve të pafundme", pamjaftueshmëria e formulimit tonë dhe, rrjedhimisht, kufizimet e intuitës sonë gjeometrike dhe mekanike mbi të cilat u bazua ky koncept zbulohen menjëherë. Fakti është se linjat e treguara përshkruani vetëm lëvizjen "jo shumë të përdredhur" të pikës. Tani le të supozojmë se ajo fillon të ndryshojë drejtimin e lëvizjes së saj shumë shpesh, dhe le të rritet numri i "përkuljeve" të tilla dhe të priret në pafundësi (e gjithë kjo mund të përshkruhet mjaft saktë). Atëherë gjurma komplekse e një pike mund të rezultojë të jetë krejtësisht e ndryshme nga një vijë e zakonshme njëdimensionale. Për shembull, mund të rezultojë të jetë një katror, ​​një sferë, një top, apo edhe i ashtuquajturi n-figura dimensionale, ku "dimensioni" n mund të jetë aq i madh sa të doni. Përsëri, duke përdorur gjuhën e matematikës, mund të themi se të gjitha këto objekte janë imazhe të vazhdueshme të një segmenti njëdimensional. Në të njëjtën kohë, sipas përkufizimit tonë origjinal, ato janë linja. Kështu që rrethanë e çuditshme u vu re për herë të parë nga matematikani italian D. Peano në 1890, për nder të tij "lakoret" e përshkruara quhen kthesa Peano. Pra, intuita jonë gjeometrike (e cila na tërheq "trajektoret njëdimensionale të lëvizjes së një pike") dështon kur përballemi me procesin e pafund të ndërtimit të një linje mjaft komplekse.

Gjeometria moderne njeh shumë shembuj të këtij lloji dhe në të gjithë ata, në një mënyrë ose në një tjetër, ekziston një procedurë e pafundme (pafundësia aktuale), e cila përfundimisht shkatërron idetë tona të zakonshme të formuara në bazë të përvojës së përditshme, "të fundme". Ai e shfrytëzoi me sukses këtë rrethanë kur krijoi mrekullinë e tij vepra grafike artisti i famshëm francez M.K. Escher, gdhendjet e të cilit u botuan vazhdimisht në shtypin tonë të shkencës popullore. Nga njëra anë, ai përshkroi "objekte pafundësisht komplekse", dhe nga ana tjetër, "objekte të pamundura" ( makina me lëvizje të përhershme etj.), duke shfrytëzuar me mjeshtëri papërsosmëritë dhe kufizimet e intuitës sonë gjeometrike. Duke vepruar kështu, ai u mbështet në ndërtimet matematikore të përdorura në algjebrën moderne, gjeometrinë, kristalografinë, etj. Është ky depërtim i thellë në natyrën e pafundësisë gjeometrike që shpjegon ndikimin e fortë të veprave "matematikore" të Escher tek shikuesi. Dhe në përgjithësi, shumë sens të zhvilluar pafundësia e hapësirës përreth, e pranishme në veprat e shumë artistëve të mëdhenj që nuk kanë një të veçantë edukimi matematikor, i ka rrënjët në faktin se secili prej tyre krijoi teknikat e tij për të përshkruar pafundësinë me "mjete të fundme". Në fund të fundit, në një kanavacë mund të përshkruhet vetëm iluzioni i pafundësisë, por jo vetë pafundësia, dhe ai që arrin më së miri të "mashtrojë shikuesin" arrin efekti më i madh. Kjo është arsyeja pse, duke filluar nga Rilindja, shumë piktorë studiuan seriozisht jo vetëm teorinë e perspektivës, por edhe strukturat më të thella matematikore, duke u përpjekur të depërtojnë përtej kufijve të vendosur nga fundi i "botës sonë të rehatshme".

Si përfundim, vërej se në matematikë moderne Ka shumë koncepte aq të thella sa koncepti i pafundësisë, dhe secila prej tyre meriton "historinë" e vet.

...dhe në fizikë

M. HERZENSHTEIN

Teksti dhe matematika - që, me sa duket, mund të ishte e kundërta. Por të kundërtat shpesh konvergojnë, dhe ndonjëherë tekstshkruesit u bëjnë matematikës pyetje të thella. Si rregull, matematikanët (dhe bashkë me ta edhe fizikanët - në fund të fundit, sot nuk ka dhe nuk mund të ketë fizikë pa matematikë) thjesht i lajnë mënjanë këto pyetje. Por ndonjëherë, pas një kohe, befas del se pyetjet e tekstshkruesve kishin një nëntekst që shkencëtarët as nuk e dyshonin.

Në artikull fizikan i famshëm E. Wigner “Efikasiteti i pakuptueshëm i matematikës në shkencat natyrore“Vihet re se matematika është shkenca e veprimeve gjeniale të kryera sipas rregullave të zhvilluara posaçërisht për konceptet e shpikura posaçërisht. Çfarë lidhje ka kjo me botën reale? Dhe ku dhe kur respektimi i rreptë i rregullave të shpikura nga matematikanët mund t'i çojë fizikanët në një rezultat të gabuar?

Merrni, për shembull, botën e numrave të plotë realë. Ne e dimë se mund të shtoni një në çdo numër të plotë dhe të merrni më shumë numër më i madh. Nëse e kryeni këtë operacion n→ ∞ herë, atëherë marrim pafundësinë; e njëjta gjë ndodh nëse dyfishoni numrin. Sidoqoftë, çdo numër mund të ndahet në gjysmë, duke rezultuar në një numër më të vogël numër real, e cila mund të ndahet më tej në gjysmë, duke përsëritur të paktën këtë operacion n→ ∞ herë.

Por në botën reale, mjerisht, nuk është e mundur të bëhet tranzicioni n→ ∞. Për shembull, nëse fillojmë të dyfishojmë një segment me gjatësi vetëm 1 cm, atëherë pas vetëm rreth 100 operacioneve të ngjashme do të marrim një segment e barabartë me madhësinë në të gjithë Universin tonë, dhe dyfishimi i tij i mëtejshëm do të humbasë kuptimin e tij fizik. Dhe anasjelltas, nëse fillojmë të ndajmë një segment 1 cm të gjatë në gjysmë, atëherë pas vetëm rreth 50 operacioneve të tilla do të marrim një segment të barabartë me kufirin e distancave të vogla të cilave iu afruam eksperimentalisht. fizika moderne. Pra, pse matematika, e cila përdor veprime me pafundësi që janë qartësisht të pamundura në botën reale, ende i jep fizikës përgjigjet e sakta për pyetjet për të njëjtën botë reale? Ky është thelbi i pyetjes që shtron Wigner, nëse lidhet me problemin e pafundësisë.

Kjo është koha që Lyrics të gëzohet: nëse ju, fizikanë, kur mendoni, i drejtoheni operacioneve që janë të pamundura në botën reale, atëherë a është çudi nëse teoritë tuaja prodhojnë pafundësi dhe jo sasi të arsyeshme të fundme? Në justifikim, mund të themi se në vetë matematikën ka probleme që lidhen me pafundësitë.

Gjegjësisht, deri vonë, matematikanët ishin sinqerisht të bindur se në shkencën e tyre të rreptë, bazuar në një sistem të fundëm aksiomash, ishte e pamundur të shtohej ose të zbritej diçka. Por jo, doli që në kuadrin e një sistemi të fundëm aksiomash mund të ketë pohime, e vërteta ose falsiteti i të cilave nuk mund të vërtetohet, dhe për këtë arsye matematikës mund t'i shtohen aq aksioma të reja dhe harmonia e saj nuk do të prishet...

Lirikisti, për mendimin tim, më kot po “shqelmon” fizikanët, madje shkruan edhe në gjendja nënrenditëse: "... rezulton se mekanika klasike nuk duket se përshkruan asgjë." Çdo përshkrim i natyrës është një e vërtetë relative, gjithmonë vetëm afër të vërtetës absolute të panjohur për ne. E përafërt si për arsye të një natyre themelore (pasaktësia e ekuacioneve të mekanikës klasike) dhe për arsye mjaft prozaike (për praktikë, saktësia e tepruar e përshkrimit ndonjëherë është po aq e dëmshme sa e pamjaftueshme).

Gjithashtu nuk më pëlqyen fjalët për pikëpamjet e botës "nga jashtë" dhe "nga brenda". Unë mendoj se ata e mbitheksojnë rolin e vëzhguesit. Por për këtë të fundit kemi faj edhe ne fizikantët: ata flasin shumë për rolin e vëzhguesit kur paraqesin themelet e mekanikës kuantike dhe teorinë e relativitetit.

Si në mekanikën kuantike ashtu edhe në teorinë e relativitetit, së pari duhet të lidhim disi hapësirën dhe kohën me objektet që matematikanët studiojnë - në rastin më të thjeshtë, me numrat. Por si? Një vakum nuk është sipërfaqja e Tokës; Sigurisht, ju mund ta lini një objekt të qetë dhe ta konsideroni atë një pikënisje. Por nëse ky objekt lëviz me inerci me disa shpejtësia fillestare, atëherë gjatë kohës që po kryhet vëzhgimi, pika e referencës mund të zhvendoset në një drejtim të panjohur në një distancë të panjohur. Çfarë duhet bërë në këtë situatë? Si të ndërtohet një urë midis fizikës dhe matematikës?

Prandaj, në teorinë e relativitetit duhet të flasim sistemi i koordinatave këtë apo atë vëzhgues, pa hyrë në detaje se çfarë do të thotë. Sidoqoftë, ishte pikërisht kjo qasje që bëri të mundur marrjen e përfundimeve interesante që u konfirmuan eksperimentalisht. Vërej se disa veçori të urës që lidh matematikën me realitetin u zbuluan relativisht kohët e fundit: për shembull, doli që, pavarësisht tkurrjes së Lorencit, një top në lëvizje nuk duket si një elipsoid, por një top, dhe kjo u konfirmua gjithashtu eksperimentalisht !

Vetitë valore të elektronit përcaktojnë natyrën e spektrit të rrezatimit të atomit, por spektri i rrezatimit nuk varet nga fakti nëse dikush do ta vëzhgojë atë. Natyrisht, nëse një kuant absorbohet në një vend, ai nuk mund të absorbohet njëkohësisht diku tjetër. Nëse një ekran me dy vrima vendoset në shtegun e kuantit, atëherë kuanti, si çdo valë, do të depërtojë në të dy vrimat menjëherë dhe do të japë një model ndërhyrje që mund të vërehet edhe në distancat kozmike. Por nëse marrësit e fotoneve vendosen pas vrimave, atëherë kuanti do të detyrojë vetëm njërin prej tyre të punojë, pyetja është - si e dinte marrësi i dytë (me shpejtësi superluminale, menjëherë!) se i pari funksionoi?

Sidoqoftë, si mekanika kuantike ashtu edhe relativiteti janë teori pa të kontradikta të brendshme dhe, përkundër faktit se ato kundërshtojnë të ashtuquajturën " sens të përbashkët”, përfaqësojnë të vërteta relative të vendosura fort.

Si përfundim, disa fjalë për botët matryoshka. Pa dyshim, vetë ideja është e bukur dhe shpesh diskutohet në literaturën serioze të fizikës. Por, për mendimin tim, dëshmon vetëm për varfërinë e imagjinatës së autorëve. Ndryshimet sasiore gjithmonë çojnë në ndryshime cilësore: kukullat e foleve nuk mund të jenë plotësisht identike në vetitë e tyre, duke ndryshuar vetëm në madhësi. Në të vërtetë, nga kjo hipotezë poetike nuk ka qenë ende e mundur të nxirren ndonjë pasojë konkrete të arritshme për verifikimin eksperimental, përkundrazi, disa nga përfundimet e saj bien ndesh me fakte tashmë të njohura.

Mendimet lirike për pafundësinë doli të ishin mjaft të thella dhe na lejuan të flasim për atë që është në ballë shkenca moderne. Duhet të shpresojmë që kjo bisedë të vazhdojë. Por, sigurisht, jo pafundësisht.

Një burim informacioni:

“Teknologjia për të rinjtë”, nr.12, 1990.

jam thyer. Arsyeja është dashuria e tij. Bëj telefonin, i cili është plot me telefonata urgjente dhe dëgjoj me kujdes bip-et për të mësuar se ku ndodhet i dashuri im. Unë jam njëzet e pesë vjeç, kam nevojë për një burrë, në rastin më të keq, një burrë me të cilin mund të ndihem i sigurt dhe jo i lëkundur si në trap. Tingujt e matur gjatë dhe unë përsëri ndjej një ndjenjë mbytëse përmes plastikës, ai nuk përgjigjet, harron veten, harron se kam unë përveç alkoolit dhe festave. Një ndjenjë e gjatë, dehëse lumturie zgjati saktësisht një vit, lëshimi i adrenalinës që ishte grumbulluar për kaq shumë vite, disa takime të lezetshme me lule dhe kaq - unë jam i tij. Më dukej se isha në një përrallë, sepse aty ku shihej, vetë Igor Sokolovsky, djali i një njeriu të famshëm dhe me ndikim në Moskë, thjesht vendosi të merrte një njeri të thjeshtë si unë.

Gjithçka ishte vërtet një përrallë, nuk e mohoj, por loja nuk ia vlente qiriri, nuk ia vlente lotët dhe dhimbjet e derdhura natën kur kishte vetëm një jastëk të ftohtë pranë, dhe brekët e të tjerëve ishin i shtrirë në kabinet, ai as që e vuri re se si e dashura e tij la të brendshmet e saj pothuajse nën hundë, duke u përpjekur të shënonte territorin tim. Epo, ajo e bëri atë, unë u prisha, brenda isha gati të qaja dhe të paketoja gjërat e mia. Vetëm keqardhja më pengon, dashuria dhe keqardhja, gjëra që nuk duken të jenë përbërës të lumturisë, por kanë shumë ndikim në marrëdhëniet, qëndrova, duke menduar se gjithçka do të ndryshonte, duke besuar dhe duke shpresuar mallkuar vetëm për më të mirën.
Më e mira ishte tani atje, në një klub apo bar, ku ka gjithçka, nga alkooli te prostitutat, ku muzika është pjesa kryesore e jetës, dhe më duhej ta pranoja, t'i lija të gjitha dhe të vazhdoja. Duke ecur pas tij, duke shtrënguar mëngën e këmishës, duke shqyer mbetjet e krenarisë dhe guximit - Unë jam i thyer, dhe arsyeja është dashuria e tij.

Këmbana, zëri i poshtër në anën tjetër të derës, shpresa e trashë për një mbrëmje të mrekullueshme së bashku u kthyen në pluhur në vetëm disa sekonda. Ishte ai, ishin duart e tij të ndyra që goditën me forcë derën, duke më ngrirë zemrën. Kisha frikë, frikë se do të çmendej, se ai nuk ndjente më asgjë, se unë isha thjesht një person për të, budalla, i dashuruar. Pasi hodha me nxitim një xhaketë, hapa derën me shtrëngim duarsh, duke e lënë zinxhirin në vend - është më e sigurt. Ai dukej edhe më keq nga sa e kisha imagjinuar - nyjet e tij ishin thyer, duart e tij ishin gërvishtur, mavijosjet i stolisnin pjesën më të madhe të fytyrës, buza e tij ishte një pamje e tmerrshme - qoshet ishin të mbuluara me gjak, lëkurë pak e fryrë. Nuk kisha asnjë dyshim për arsyen e zënkës - ai nuhati tym, siç thonë ata, "një milje larg".

Na vjen keq, Vic, nuk do të ndodhë më. – Sa herë që vinte në shtëpi në një gjendje euforie të plotë, e përsëriste këtë frazë, as që mendova nëse e kuptonte saktë, a do të thotë për të njësoj koncepti "më shumë" si mua? Unë, duke mos kuptuar se çfarë të bëj, klikoj bllokimin dhe e hap atë gjerësisht dera e përparme, nuk më intereson si është, ai është kthyer, kryesorja është se ai është këtu.

Tashmë kam harruar se si dukesh. Ju jeni zhdukur këtë mëngjes. – Mundohem të mos bërtas, e mbaj për vete, nuk flas për thirrjen e mëngjesit në celular nga zonja e tij, apo jo zonja e tij – lodhje, këtë e ndjej tani. Është pak pas dy të mëngjesit, dhe në vend të shtratit po shikoj në sytë e Igorit, duke kërkuar një përgjigje për pyetje e vet– a më do ai, a kam ndonjë gjë për të?

Më fal, vogëlush, kisha ca punë për të bërë, më bie lemza dhe unë rënkoj thellësisht duke ndjerë peshën e trupit. Ai është një barrë e madhe për mua dhe unë bërtas ndërsa bëj një hap dhe më pas bie me dhimbje bashkë me të në tapet. - Mut.

Ai ngrihet ngadalë dhe shkon përpara, mezi shkel në sipërfaqen e dyshemesë, ende mezi kontrollon lëvizjet e tij. Ai thjesht shkel pa më vënë re, tani ai po provon supozimet e mia - ai sapo kaloi në marrëdhënien tonë. Ai luajti vetëm një rol - foli për dashurinë, siguroi financiarisht dhe lindin dyshime për këtë - a ishte nga xhepi i babit? E shtrëngoj kokën në duar, kjo nuk mund të vazhdojë për kaq gjatë, nuk mund të duroja për kaq gjatë. Zoti.
Dëgjova një zë në banjë, kështu që vendosa të bëj një dush. Nuk do të më dëmtonte as të lija gjendjen time të apatisë së plotë dhe të rregulloja veten, unë jam një grua. Ti je mashtrues nëse e lejon veten të trajtohesh në këtë mënyrë - nënndërgjegjja ime bërtet dhe e kuptoj që kjo është e vërtetë. Se bota është krejtësisht ndryshe, nuk ka kufizime brenda katër mureve, është plotësisht e zhvilluar, ka njerëz atje, ka jetë atje. Këtu, në këtë shtëpi, jeta është kthyer prej kohësh në ajër radioaktiv, që të bën të vdesësh gradualisht, të vrasësh një pjesë të vetes, lumturia të zhduket dhe krenaria të avullojë plotësisht nga mushkëritë e tua.

Ku është peshqiri?

Më dhemb koka si e çmendur, gjithçka që ndjej përveç topit me gëzof në gjoks dhe batanijes në këmbë. Unë nuk e ndjej Igorin, as nuk përpiqem të hamendësoj vendndodhjen e tij. Ai shkoi për të shlyer fajin me nënën e tij me ndihmën e alkoolit, kështu e kupton fjalën "humbje", kështu e kuptoj unë fjalën "fund", është pikërisht ai. Sapo ngrihem nga shtrati, më del një foto e tyre së bashku dhe një shënim afër, a është vërtet një urim për mëngjesin e mirë?

U largova. Përgjithmonë. Do të jetë më mirë kështu, jam lodhur nga ty, nga ankimet e tua të përjetshme, nga pyetjet që nuk duheshin bërë, po ta dije përgjigjen. Ju jeni shumë budalla. Mirupafshim.
Igor.

Nëse një sekuencë konvergjon në numër i kufizuar a , pastaj shkruajnë
.
Më herët kemi futur në konsideratë sekuenca pafundësisht të mëdha. Ne supozuam se ato ishin konvergjente dhe shënuam kufijtë e tyre me simbolet dhe . Këto simbole përfaqësojnë pika në pafundësi. Ata nuk i përkasin turmës numra realë. Por koncepti i kufirit na lejon të prezantojmë pika të tilla dhe ofron një mjet për studimin e vetive të tyre duke përdorur numra realë.

Përkufizimi
Pika në pafundësi, ose pafundësi e panënshkruar, është kufiri drejt të cilit priret një sekuencë pafundësisht e madhe.
Pika në pafundësi plus pafundësi, është kufiri në të cilin priret një sekuencë pafundësisht e madhe me terma pozitivë.
Pika në pafundësi minus pafundësi, është kufiri në të cilin priret një sekuencë pafundësisht e madhe me terma negativë.

Për çdo numër real a vlejnë pabarazitë e mëposhtme:
;
.

Duke përdorur numra realë, ne prezantuam konceptin fqinjësia e një pike në pafundësi.
Lagjja e një pike është grupi.
Së fundi, fqinjësia e një pike është grupi.
Këtu M është një numër real arbitrar, arbitrarisht i madh.

Kështu, ne kemi zgjeruar grupin e numrave realë duke futur elementë të rinj në të. Në këtë drejtim, ekziston përkufizimin e mëposhtëm:

Linja numerike e zgjeruar ose grup i zgjeruar i numrave realëështë bashkësia e numrave realë të plotësuar nga elementet dhe :
.

Së pari, ne do të shkruajmë vetitë që pikat dhe . Më tej ne e konsiderojmë çështjen e rreptë përkufizimi matematik operacionet për këto pika dhe vërtetimet e këtyre vetive.

Vetitë e pikave në pafundësi

Shuma dhe diferenca.
; ;
; ;

Produkti dhe koeficienti.
; ; ;
;
;
; ; .

Lidhja me numrat realë.
Le të jetë a një numër real arbitrar. Pastaj
; ;
; ; ; .
Le të a > 0 . Pastaj
; ; .
Le të a < 0 . Pastaj
; .

Operacione të papërcaktuara.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Vërtetime të vetive të pikave në pafundësi

Përcaktimi i veprimeve matematikore

Ne kemi dhënë tashmë përkufizime për pikat në pafundësi. Tani duhet të përcaktojmë veprime matematikore për ta. Meqenëse këto pika i përcaktuam duke përdorur sekuenca, operacionet me këto pika duhet të përcaktohen gjithashtu duke përdorur sekuenca.

Kështu që, shuma e dy pikave
c = a + b,
që i përkasin grupit të zgjeruar të numrave realë,
,
do ta quajmë limit
,
ku dhe janë sekuenca arbitrare që kanë kufij
Dhe .

Veprimet e zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit përcaktohen në mënyrë të ngjashme. Vetëm, në rastin e pjesëtimit, elementët në emëruesin e thyesës nuk duhet të jenë e barabartë me zero.
Atëherë diferenca e dy pikave:
- ky është kufiri: .
Produkti i pikëve:
- ky është kufiri: .
Privat:
- ky është kufiri: .
Këtu dhe janë sekuenca arbitrare, kufijtë e të cilëve janë respektivisht a dhe b. NË rastin e fundit, .

Dëshmitë e pronave

Për të vërtetuar vetitë e pikave në pafundësi, duhet të përdorim vetitë e sekuencave pafundësisht të mëdha.

Merrni parasysh pronën:
.
Për ta vërtetuar këtë, duhet ta tregojmë
,

Me fjalë të tjera, ne duhet të vërtetojmë se shuma e dy sekuencave që konvergojnë në plus pafundësi konvergon në plus pafundësi.

1 plotësohen pabarazitë e mëposhtme:
;
.
Atëherë për dhe ne kemi:
.
Le ta themi. Pastaj
në,
Ku .
Kjo do të thotë se .

Vetitë e tjera mund të vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Si shembull, le të japim një provë tjetër.

Le të vërtetojmë se:
.
Për ta bërë këtë, ne duhet ta tregojmë atë
,
ku dhe janë sekuenca arbitrare, me kufij dhe .

Kjo do të thotë, ne duhet të vërtetojmë se prodhimi i dy sekuencave pafundësisht të mëdha është një sekuencë pafundësisht e madhe.

Le ta vërtetojmë. Që dhe , atëherë ka disa funksione dhe , kështu për çdo numër pozitiv M 1 plotësohen pabarazitë e mëposhtme:
;
.
Atëherë për dhe ne kemi:
.
Le ta themi. Pastaj
në,
Ku .
Kjo do të thotë se .

Operacione të papërcaktuara

Pjesë operacionet matematikore s pafundësisht pikat e largëta e pa përcaktuar. Për të treguar pasigurinë e tyre, është e nevojshme të jepen disa raste të veçanta kur rezultati i operacionit varet nga zgjedhja e sekuencave të përfshira në to.

Konsideroni këtë operacion:
.
Është e lehtë të tregohet se nëse dhe , atëherë kufiri i shumës së sekuencave varet nga zgjedhja e sekuencave dhe .

Vërtet, le ta marrim. Kufijtë e këtyre sekuencave janë . Kufiri i shumës

është e barabartë me pafundësinë.

Tani le të marrim. Kufijtë e këtyre sekuencave janë gjithashtu të barabartë. Por kufiri i sasisë së tyre

e barabartë me zero.

Kjo është, me kusht që dhe , vlera e kufirit të shumës mund të marrë kuptime të ndryshme. Prandaj, operacioni nuk është i përcaktuar.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të tregoni pasigurinë e operacioneve të mbetura të paraqitura më sipër.