Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b *a c = a b+c). Kjo ligji matematikor u përftua nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të eksponentëve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku është e nevojshme të thjeshtohet shumëzimi i rëndë me mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme.
Përkufizimi në matematikë
Një logaritëm është një shprehje e formës së mëposhtme: log a b=c, domethënë logaritmi i çdo numër jo negativ(d.m.th., çdo pozitiv) "b" me bazën e tij "a" konsiderohet të jetë fuqia e "c" në të cilën baza "a" duhet të ngrihet për të marrë në fund vlerën "b". Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, ju duhet të gjeni një fuqi të tillë që nga 2 në fuqinë e kërkuar të merrni 8. Pasi të keni bërë disa llogaritje në kokën tuaj, marrim numrin 3! Dhe kjo është e vërtetë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep përgjigjen si 8.
Llojet e logaritmeve
Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Janë tre specie individuale shprehjet logaritmike:
- Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
- Dhjetor a, ku baza është 10.
- Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.
Secila prej tyre është e vendosur në mënyrë standarde, i cili përfshin thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së tyre.
Rregulla dhe disa kufizime
Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të nxjerrësh rrënjën çift të numrave negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:
- baza "a" duhet të jetë gjithmonë më i madh se zero, dhe në të njëjtën kohë të mos jetë e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
- nëse a > 0, atëherë a b >0, rezulton se edhe “c” duhet të jetë më e madhe se zero.
Si të zgjidhni logaritmet?
Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x = 100. Kjo është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 = 100.
Tani le të imagjinojmë kjo shprehje në formë logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën është e nevojshme të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.
Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:
Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mendje teknike dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Megjithatë për vlera të mëdha do t'ju duhet një tabelë me gradë. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk dinë fare për kompleksin tema matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përmbajnë vlerat e numrave që janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!
Ekuacionet dhe pabarazitë
Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo matematik shprehjet numerike mund të shkruhet si një ekuacion logaritmik. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi bazë 3 i 81 i barabartë me katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 e shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do të shikojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve më poshtë, menjëherë pas studimit të vetive të tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.
Jepet një shprehje e formës së mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është pabarazia logaritmike, meqenëse vlera e panjohur "x" është nën shenjën e logaritmit. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar me bazën dy është më i madh se numri tre.
Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë përgjigje specifike. vlerat numerike, ndërsa gjatë zgjidhjes së pabarazive përkufizohen si rajon vlerat e pranueshme, dhe pikat e ndërprerjes së këtij funksioni. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e një ekuacioni, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.
Teorema themelore rreth logaritmeve
Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Ne do t'i shikojmë shembujt e ekuacioneve më vonë, le të shohim më në detaje secilën veçori.
- Identiteti kryesor duket si ky: a logaB =B. Zbatohet vetëm kur a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
- Logaritmi i produktit mund të përfaqësohet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Në këtë rast, kushti i detyrueshëm është: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmike, me shembuj dhe zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2, pastaj a f1 = s 1, a f2 = s 2. Marrim se s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e gradë ), dhe më pas sipas përkufizimit: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që është ajo që duhej vërtetuar.
- Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.
Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". I ngjan vetive të shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika bazohet në postulate natyrore. Le të shohim provën.
Le të log a b = t, rezulton një t =b. Nëse i ngremë të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;
por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n, prandaj log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është e vërtetuar.
Shembuj të problemeve dhe pabarazive
Llojet më të zakonshme të problemeve në logaritme janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjithë librat me probleme, dhe gjithashtu përfshihen në pjesë e detyrueshme provimet e matematikës. Për pranim në universitet ose kalim provimet pranuese në matematikë ju duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë problemet e tilla.
Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan apo skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por për secilin pabarazia matematikore ose mund të zbatohet ekuacioni logaritmik rregulla të caktuara. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose të çojë në pamjen e përgjithshme. Thjeshtoni ato të gjata shprehjet logaritmikeështë e mundur nëse i përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim shpejt.
Kur vendoset ekuacionet logaritmike, duhet të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi: një shprehje shembull mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.
Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ata duhet të përcaktojnë fuqinë në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për zgjidhje logaritmet natyrore ju duhet të aplikoni identitete logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim zgjidhjen me shembuj problemet logaritmike lloje të ndryshme.
Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje
Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave bazë rreth logaritmeve.
- Vetia e logaritmit të një produkti mund të përdoret në detyrat ku është e nevojshme të zgjerohet vlerë të madhe numrat b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - siç mund ta shihni, duke përdorur vetinë e katërt të fuqisë së logaritmit, arritëm të zgjidhim një shprehje në dukje komplekse dhe të pazgjidhshme. Thjesht duhet të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.
Detyra nga Provimi i Unifikuar i Shtetit
Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit ( provimin e shtetit për të gjithë ata që kanë mbaruar shkollën). Zakonisht këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (më e lehtë pjesë provë provim), por edhe në pjesën C (detyrat më komplekse dhe më voluminoze). Provimi kërkon të sakta dhe njohuri perfekte temat “Logaritmet natyrore”.
Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve merren nga zyrtarët Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.
Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2, me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4, pra 2x = 17; x = 8,5.
- Është mirë që të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
- Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur eksponenti i një shprehjeje që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj nxirret si shumëzues, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.
Çfarë është një logaritëm?
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Çfarë është një logaritëm? Si të zgjidhni logaritmet? Këto pyetje ngatërrojnë shumë maturantë. Tradicionalisht, tema e logaritmeve konsiderohet komplekse, e pakuptueshme dhe e frikshme. Sidomos ekuacionet me logaritme.
Kjo nuk është absolutisht e vërtetë. Absolutisht! Nuk më besoni? Mirë. Tani, në vetëm 10-20 minuta ju:
1. Do të kuptoni çfarë është një logaritëm.
2. Mësoni të vendosni gjithë klasën ekuacionet eksponenciale. Edhe nëse nuk keni dëgjuar asgjë për ta.
3. Mësoni të llogaritni logaritme të thjeshta.
Për më tepër, për këtë do t'ju duhet vetëm të dini tabelën e shumëzimit dhe si të ngrini një numër në një fuqi ...
Më duket se keni dyshime... Epo, mirë, shënoni kohën! Le të shkojmë!
Së pari, zgjidhni këtë ekuacion në kokën tuaj:
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
log a r b r =log a b ose log a b= log a r b r
Vlera e një logaritmi nuk do të ndryshojë nëse baza e logaritmit dhe numri nën shenjën e logaritmit ngrihen në të njëjtën fuqi.
Nën shenjën e logaritmit mund të ketë vetëm numra pozitiv, dhe baza e logaritmit nuk është e barabartë me një.
Shembuj.
1) Krahasoni regjistrin 3 9 dhe regjistrin 9 81.
log 3 9=2, pasi 3 2 =9;
log 9 81=2, pasi 9 2 =81.
Pra log 3 9=log 9 81.
Vini re se baza e logaritmit të dytë është e barabartë me katrorin e bazës së logaritmit të parë: 9=3 2, dhe numri nën shenjën e logaritmit të dytë është i barabartë me katrorin e numrit nën shenjën e të parit. logaritmi: 81=9 2. Rezulton se si numri ashtu edhe baza e logaritmit të parë 3 9 u ngritën në fuqinë e dytë, dhe vlera e logaritmit nuk ndryshoi nga kjo:
Tjetra, që nga nxjerrja e rrënjës n shkalla th nga mesi Aështë ngritja e një numri A në shkallën ( 1/n), atëherë nga log 9 81 mund të merrni log 3 9 duke marrë rrënjën katrore të numrit dhe bazën e logaritmit:
2) Kontrollo barazinë: log 4 25=log 0.5 0.2.
Le të shohim logaritmin e parë. Le të nxjerrim rrënjë katrore nga baza 4 dhe nga mesi 25 ; marrim: log 4 25=log 2 5.
Le të shohim logaritmin e dytë. Baza e logaritmit: 0,5= 1/2. Numri nën shenjën e këtij logaritmi: 0,2= 1/5. Le ta ngremë secilin prej këtyre numrave në fuqinë e parë minus:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Pra, log 0.5 0.2=log 2 5. Përfundim: kjo barazi është e vërtetë.
Zgjidhe ekuacionin:
log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Le të reduktojmë logaritmet nga e majta në bazë 2 .
log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Merrni rrënjën katrore të numrit dhe bazën e logaritmit të parë. Nxjerr rrënjën e katërt të numrit dhe bazën e logaritmit të dytë.
log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Shndërroni shumën e logaritmeve në logaritmin e produktit.
3x 2 =5x+2. Marrë pas fuqizimit.
3x 2 -5x-2=0. Le të vendosim ekuacioni kuadratik Nga formulë e përgjithshme për një ekuacion të plotë kuadratik:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 rrënjë të vërteta.
Ekzaminimi.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
log 2 12=log 2 12;
log a n b=(1/
n)∙
log a b
Logaritmi i një numri b bazuar në a n e barabartë me produktin thyesat 1/ n në logaritmin e një numri b bazuar në a.
Gjeni:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , nëse dihet se log 2 3=b,log 5 2=c.
Zgjidhje.
Zgjidh ekuacionet:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.
Zgjidhje.
Le t'i reduktojmë këto logaritme në bazën 2. Zbato formulën: log a n b=(1/ n)∙ log a b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Këtu janë terma të ngjashëm:
(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;
1.75 log 2 x=5.25 |:1.75
log 2 x=3. Sipas përkufizimit të logaritmit:
2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Zgjidhje. Le ta kthejmë logaritmin në bazën 16 në bazën 4.
0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5
log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Le ta shndërrojmë shumën e logaritmeve në logaritmin e produktit.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Sipas përkufizimit të logaritmit:
x 2 -5x+4=0. Sipas teoremës së Vieta:
x 1 = 1; x 2 =4. Vlera e parë e x nuk do të funksionojë, pasi në x = 1 logaritmet e kësaj barazie nuk ekzistojnë, sepse Vetëm numrat pozitivë mund të jenë nën shenjën e logaritmit.
Le të kontrollojmë ekuacioni i dhënë në x=4.
Ekzaminimi.
0.5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0.25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Logaritmi i një numri b bazuar në A e barabartë me logaritmin numrat b mbi një bazë të re Me, pjesëtuar me logaritmin e bazës së vjetër A mbi një bazë të re Me.
Shembuj:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Llogaritni:
1) regjistri 5 7, nëse dihet se lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / log c a.
log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.
Përgjigje: regjistri 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) log 5 7 , nëse dihet se ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Zgjidhje. Zbatoni formulën: log a b =log c b / log c a.
log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.
Përgjigje: regjistri 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Gjeni x:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Ne përdorim formulën: log c b / log c a = log a b . Ne marrim:
log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Ne përdorim formulën: log c b / log c a = log a b . Ne marrim:
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
Faqja 1 nga 1 1
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
