Funksioni linear i pronës. GIA

Mësoni të merrni derivatet e funksioneve. Derivati ​​karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar që shtrihet në grafikun e këtij funksioni. NË në këtë rast Grafiku mund të jetë ose një vijë e drejtë ose e lakuar. Kjo do të thotë, derivati ​​karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni në një moment të caktuar kohor. Mbani mend Rregulla të përgjithshme, me të cilin merren derivatet, dhe vetëm atëherë vazhdoni në hapin tjetër.

• Lexo artikullin.
• Si të marrim derivatet më të thjeshta, për shembull, derivatin ekuacioni eksponencial, përshkruar. Llogaritjet e paraqitura në hapat e mëposhtëm do të bazohen në metodat e përshkruara aty.

Mësoni të dalloni problemet në të cilat pjerrësia duhet të llogaritet përmes derivatit të një funksioni. Problemet jo gjithmonë ju kërkojnë të gjeni pjerrësinë ose derivatin e një funksioni. Për shembull, mund t'ju kërkohet të gjeni shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në pikën A(x,y). Gjithashtu mund t'ju kërkohet të gjeni pjerrësinë e tangjentes në pikën A(x,y). Në të dyja rastet është e nevojshme të merret derivati ​​i funksionit.

Funksioni linearështë funksion i formës

x-argument (ndryshore e pavarur),

y-funksion (ndryshore e varur),

k dhe b janë disa numra konstante

Grafiku i një funksioni linear është drejt.

Për të krijuar një grafik mjafton dy pikë, sepse përmes dy pikave mund të vizatoni një vijë të drejtë dhe, për më tepër, vetëm një.

Nëse k˃0, atëherë grafiku ndodhet në tremujorin e koordinatave 1 dhe 3. Nëse k˂0, atëherë grafiku ndodhet në tremujorin e koordinatave 2 dhe 4.

Numri k quhet shpat grafiku i drejtë i funksionit y(x)=kx+b. Nëse k˃0, atëherë këndi i prirjes së drejtëzës y(x)= kx+b ndaj drejtimit pozitiv Ox është i mprehtë; nëse k˂0, atëherë ky kënd është i mpirë.

Koeficienti b tregon pikën e prerjes së grafikut me boshtin op-amp (0; b).

y(x)=k∙x-- rast i veçantë funksion tipik quhet proporcionalitet i drejtëpërdrejtë. Grafiku është një vijë e drejtë që kalon nga origjina, ndaj mjafton një pikë për të ndërtuar këtë grafik.

Grafiku i një funksioni linear

Ku koeficienti k = 3, pra

Grafiku i funksionit do të rritet dhe do të ketë kënd i mprehtë me bosht Oh sepse koeficienti k ka një shenjë plus.

Funksioni linear OOF

OPF e një funksioni linear

Me përjashtim të rastit kur

Gjithashtu një funksion linear i formës

Është funksion i formës së përgjithshme.

B) Nëse k=0; b≠0,

Në këtë rast, grafiku është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox dhe që kalon nëpër pikën (0; b).

B) Nëse k≠0; b≠0, atëherë funksioni linear ka formën y(x)=k∙x+b.

Shembulli 1 . Grafikoni funksionin y(x)= -2x+5

Shembulli 2 . Të gjejmë zerot e funksionit y=3x+1, y=0;

– zerat e funksionit.

Përgjigje: ose (;0)

Shembulli 3 . Përcaktoni vlerën e funksionit y=-x+3 për x=1 dhe x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Përgjigje: y_1=2; y_2=4.

Shembulli 4 . Përcaktoni koordinatat e pikës së tyre të kryqëzimit ose vërtetoni se grafikët nuk kryqëzohen. Le të jepen funksionet y 1 =10∙x-8 dhe y 2 =-3∙x+5.

Nëse grafikët e funksioneve kryqëzohen, atëherë vlerat e funksioneve në këtë pikë janë të barabarta

Zëvendëso x=1, pastaj y 1 (1)=10∙1-8=2.

Koment. Ju gjithashtu mund të zëvendësoni vlerën rezultuese të argumentit në funksionin y 2 =-3∙x+5, atëherë marrim të njëjtën përgjigje y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ordinata e pikës së kryqëzimit.

(1;2) - pika e prerjes së grafikëve të funksioneve y=10x-8 dhe y=-3x+5.

Përgjigje: (1; 2)

Shembulli 5 .

Ndërtoni grafikët e funksioneve y 1 (x)= x+3 dhe y 2 (x)= x-1.

Ju mund të shihni se koeficienti k=1 për të dy funksionet.

Nga sa më sipër rezulton se nëse koeficientët e një funksioni linear janë të barabartë, atëherë grafikët e tyre në sistemin koordinativ janë të vendosur paralelisht.

Shembulli 6 .

Le të ndërtojmë dy grafikë të funksionit.

Grafiku i parë ka formulën

Grafiku i dytë ka formulën

Në këtë rast, kemi një grafik me dy drejtëza që kryqëzohen në pikën (0;4). Kjo do të thotë se koeficienti b, i cili është përgjegjës për lartësinë e ngritjes së grafikut mbi boshtin Ox, nëse x = 0. Kjo do të thotë se mund të supozojmë se koeficienti b i të dy grafikëve është i barabartë me 4.

Redaktorët: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

"Pikat kritike të një funksioni" - Pikat kritike. Ndër pikat kritike ka pika ekstreme. Kusht paraprak ekstreme. Përgjigje: 2. Përkufizim. Por, nëse f" (x0) = 0, atëherë nuk është e nevojshme që pika x0 të jetë një pikë ekstreme. Pikat ekstreme (përsëritje). Pikat kritike të funksionit. Pikat ekstreme.

“Klasa e 6-të plani koordinativ” - Matematikë klasa e 6-të. 1. X. 1. Gjeni dhe shkruani koordinatat pika A, B, C,D: -6. Aeroplani koordinativ. O. -3. 7. U.

“Funksionet dhe grafikët e tyre” - Vazhdimësia. Më i madhi dhe vlera më e vogël funksione. Koncepti funksioni i anasjelltë. Linear. Logaritmike. Monotone. Nëse k > 0, atëherë kënd i formuar akute nëse k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Funksionet e klasës së 9-të" - e pranueshme veprimet aritmetike mbi funksionet. [+] – mbledhje, [-] – zbritje, [*] – shumëzim, [:] – pjesëtim. Në raste të tilla flasim për detyrë grafike funksione. Klasa e edukimit funksionet elementare. Funksioni i fuqisë y=x0.5. Iovlev Maxim Nikolaevich, nxënës i klasës së 9-të të shkollës së mesme RMOU Raduzhskaya.

“Ekuacioni i tangjentës së mësimit” - 1. Sqaroni konceptin e një tangjente në grafikun e një funksioni. Leibniz shqyrtoi problemin e vizatimit të një tangjente në një kurbë arbitrare. ALGORITMI PËR ZHVILLIMIN E EKUACIONIT PËR NJË TANGENT NË GRAFIN E FUNKSIONIT y=f(x). Tema e mësimit: Test: gjeni derivatin e një funksioni. Ekuacioni tangjent. Fluksioni. Klasa 10. Deshifroni atë që Isak Njutoni e quajti funksionin derivat.

“Ndërtoni një grafik të një funksioni” - Është dhënë funksioni y=3cosx. Grafiku i funksionit y=m*sin x. Grafikoni funksionin. Përmbajtja: Jepet funksioni: y=sin (x+?/2). Shtrirja e grafikut y=cosx përgjatë boshtit y. Për të vazhduar klikoni në l. Butoni i miut. Jepet funksioni y=cosx+1. Zhvendosja e grafikut y=sinx vertikalisht. Jepet funksioni y=3sinx. Zhvendosja horizontale e grafikut y=cosx.

Janë gjithsej 25 prezantime në temë

Udhëzimet

Nëse grafiku është një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe që formon një kënd α me boshtin OX (këndi i prirjes së drejtëzës ndaj gjysmëboshtit pozitiv OX). Funksioni që përshkruan këtë rresht do të ketë formën y = kx. Koeficienti i proporcionalitetit k është i barabartë me tan α. Nëse një drejtëz kalon nëpër çerekun e koordinatave 2 dhe 4, atëherë k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 dhe funksioni rritet. Ky është një funksion linear dhe ka formën y = kx + b, ku ndryshoret x dhe y janë të fuqisë së parë, dhe k dhe b mund të jenë pozitive ose negative. vlerat negative ose e barabartë me zero. Drejtëza është paralele me drejtëzën y ​​= kx dhe shkëputet në boshtin |b| njësi. Nëse drejtëza është paralele me boshtin e abshisës, atëherë k = 0, nëse boshti i ordinatës, atëherë ekuacioni ka formën x = konst.

Një kurbë e përbërë nga dy degë të vendosura në lagje të ndryshme dhe simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave është një hiperbolë. Kjo tabelë marrëdhënie e anasjelltë ndryshorja y nga x dhe përshkruhet me ekuacionin y = k/x. Këtu k ≠ 0 është koeficienti i proporcionalitetit. Për më tepër, nëse k > 0, funksioni zvogëlohet; nëse k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в kënde koordinative.

Funksioni kuadratik ka formën y = ax2 + bx + c, ku a, b dhe c janë sasi konstante dhe a  0. Nëse kushti b = c = 0 plotësohet, ekuacioni i funksionit duket si y = ax2 ( rasti më i thjeshtë), dhe grafiku i saj është një parabolë që kalon përmes origjinës. Grafiku i funksionit y = ax2 + bx + c ka të njëjtën formë si rasti më i thjeshtë i funksionit, por kulmi i tij (pika e prerjes me boshtin OY) nuk qëndron në origjinë.

Grafiku është gjithashtu një parabolë funksioni i fuqisë, shprehur me ekuacion y = xⁿ nëse n është çdo numër çift. Nëse n është ndonjë numër i rastësishëm, grafiku i një funksioni të tillë fuqie do të duket si një parabolë kubike.
Nëse n është ndonjë , ekuacioni i funksionit merr formën. Grafiku i funksionit për n tek do të jetë një hiperbolë, dhe për n çift degët e tyre do të jenë simetrike në lidhje me boshtin op.

Gjithashtu në vitet shkollore Funksionet studiohen në detaje dhe ndërtohen grafikët e tyre. Por, për fat të keq, ata praktikisht nuk mësojnë se si të lexoni grafikun e një funksioni dhe të gjeni llojin e tij nga vizatimi i paraqitur. Në fakt është mjaft e thjeshtë nëse mbani mend llojet bazë të funksioneve.

Udhëzimet

Nëse grafiku i paraqitur është , i cili është përmes origjinës së koordinatave dhe me boshtin OX këndi α (i cili është këndi i prirjes së drejtëzës ndaj gjysmëboshtit pozitiv), atëherë funksioni që përshkruan një drejtëz të tillë do të jetë paraqitet si y = kx. Në këtë rast, koeficienti i proporcionalitetit k e barabartë me tangjenten këndi α.

Nëse një drejtëz e dhënë kalon nëpër tremujorin e dytë dhe të katërt të koordinatave, atëherë k është e barabartë me 0 dhe funksioni rritet. Le të jetë grafiku i paraqitur një vijë e drejtë e vendosur në çfarëdo mënyre në lidhje me boshtet koordinative. Pastaj funksioni i tillë artet grafike do të jetë lineare, e cila përfaqësohet nga forma y = kx + b, ku variablat y dhe x janë në të parën, dhe b dhe k mund të marrin edhe negative dhe vlerat pozitive ose .

Nëse drejtëza është paralele me drejtëzën me grafikun y = kx dhe pret b njësi në boshtin e ordinatave, atëherë ekuacioni ka formën x = konst, nëse grafiku është paralel me boshtin e abshisës, atëherë k = 0.

Një vijë e lakuar që përbëhet nga dy degë, simetrike në lidhje me origjinën dhe e vendosur në lagje të ndryshme, është një hiperbolë. Një grafik i tillë tregon varësinë e kundërt të ndryshores y nga ndryshorja x dhe përshkruhet nga një ekuacion i formës y = k/x, ku k nuk duhet të jetë e barabartë me zero, meqenëse është një koeficient proporcionaliteti i anasjelltë. Për më tepër, nëse vlera e k Mbi zero, funksioni është në rënie; nëse k më pak se zero– rritet.

Nëse grafiku i propozuar është një parabolë që kalon nga origjina, funksioni i saj, në varësi të kushtit që b = c = 0, do të ketë formën y = ax2. Ky është rasti më i thjeshtë i një funksioni kuadratik. Grafiku i një funksioni të formës y = ax2 + bx + c do të ketë të njëjtën formë si rasti më i thjeshtë, megjithatë, kulmi (pika ku grafiku pret boshtin e ordinatave) nuk do të jetë në origjinë. Në një funksion kuadratik, i përfaqësuar nga forma y = ax2 + bx + c, vlerat e a, b dhe c janë konstante, ndërsa a nuk është e barabartë me zero.

Një parabolë mund të jetë gjithashtu grafiku i një funksioni fuqie i shprehur me një ekuacion të formës y = xⁿ vetëm nëse n është çdo numër çift. Nëse vlera e n është një numër tek, një grafik i tillë i një funksioni fuqie do të përfaqësohet nga një parabolë kubike. Në rast se ndryshorja n është cilido numër negativ, ekuacioni i funksionit merr formën .

Video mbi temën

Koordinata e absolutisht çdo pike në aeroplan përcaktohet nga dy sasitë e saj: përgjatë boshtit të abshisës dhe boshtit të ordinatave. Mbledhja e shumë pikave të tilla paraqet grafikun e funksionit. Nga ai mund të shihni se si ndryshon vlera Y në varësi të ndryshimit të vlerës X. Gjithashtu mund të përcaktoni se në cilin seksion (interval) funksioni rritet dhe në cilin zvogëlohet.

Udhëzimet

Çfarë mund të thoni për një funksion nëse grafiku i tij është një vijë e drejtë? Shihni nëse kjo linjë kalon nëpër pikën e origjinës së koordinatave (d.m.th., ajo ku vlerat X dhe Y janë të barabarta me 0). Nëse kalon, atëherë një funksion i tillë përshkruhet me ekuacionin y = kx. Është e lehtë të kuptohet se sa më e madhe të jetë vlera e k, aq më afër boshtit të ordinatave do të vendoset kjo drejtëz. Dhe vetë boshti Y në të vërtetë korrespondon pafundësisht me rëndësi të madhe k.

Siç tregon praktika, detyrat mbi vetitë dhe grafikët e një funksioni kuadratik shkaktojnë vështirësi serioze. Kjo është mjaft e çuditshme, sepse ata studiojnë funksionin kuadratik në klasën e 8-të, dhe më pas gjatë gjithë tremujorit të parë të klasës së 9-të ata "torturojnë" vetitë e parabolës dhe ndërtojnë grafikët e saj për parametra të ndryshëm.

Kjo për faktin se kur i detyrojnë studentët të ndërtojnë parabola, ata praktikisht nuk i kushtojnë kohë "leximit" të grafikëve, domethënë nuk praktikojnë të kuptuarit e informacionit të marrë nga fotografia. Me sa duket, supozohet se, pasi të ndërtojë një duzinë ose dy grafikë, vetë një student i zgjuar do të zbulojë dhe formulojë marrëdhënien midis koeficientëve në formulë dhe pamjen artet grafike. Në praktikë kjo nuk funksionon. Për një përgjithësim të tillë, kërkohet përvojë serioze në minikërkime matematikore, të cilën shumica e nxënësve të klasës së nëntë, natyrisht, nuk e posedojnë. Ndërkohë, Inspektorati Shtetëror propozon përcaktimin e shenjave të koeficientëve duke përdorur grafikun.

Ne nuk do të kërkojmë të pamundurën nga nxënësit e shkollës dhe thjesht do të ofrojmë një nga algoritmet për zgjidhjen e problemeve të tilla.

Pra, një funksion i formës y = sëpatë 2 + bx + c i quajtur kuadratik, grafiku i tij është një parabolë. Siç sugjeron emri, termi kryesor është sëpatë 2. Kjo eshte A nuk duhet të jetë i barabartë me zero, koeficientët e mbetur ( b Dhe Me) mund të jetë i barabartë me zero.

Le të shohim se si shenjat e koeficientëve të saj ndikojnë në shfaqjen e një parabole.

Varësia më e thjeshtë për koeficientin A. Shumica e nxënësve të shkollës përgjigjen me besim: “nëse A> 0, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Në këtë rast A = 0,5

Dhe tani për A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Në këtë rast A = - 0,5

Ndikimi i koeficientit MeËshtë gjithashtu mjaft e lehtë për t'u ndjekur. Le të imagjinojmë se duam të gjejmë vlerën e një funksioni në një pikë X= 0. Zëvendësoni zeron në formulën:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Rezulton se y = c. Kjo eshte Meështë ordinata e pikës së prerjes së parabolës me boshtin y. Në mënyrë tipike, kjo pikë është e lehtë për t'u gjetur në grafik. Dhe përcaktoni nëse qëndron mbi zero apo më poshtë. Kjo eshte Me> 0 ose Me < 0.

Me > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Me < 0

y = x 2 + 4x - 3

Prandaj, nëse Me= 0, atëherë parabola do të kalojë domosdoshmërisht përmes origjinës:

y = x 2 + 4x

Më e vështirë me parametrin b. Pika në të cilën do ta gjejmë varet jo vetëm nga b por edhe nga A. Kjo është maja e parabolës. Abshisa e saj (koordinata e boshtit X) gjendet me formulë x në = - b/(2a). Kështu, b = - 2 ax in. Kjo do të thotë, ne vazhdojmë si më poshtë: gjejmë kulmin e parabolës në grafik, përcaktojmë shenjën e abscisës së saj, domethënë shikojmë në të djathtë të zeros ( x in> 0) ose majtas ( x in < 0) она лежит.

Megjithatë, kjo nuk është e gjitha. Duhet t'i kushtojmë vëmendje edhe shenjës së koeficientit A. Kjo do të thotë, shikoni se ku janë drejtuar degët e parabolës. Dhe vetëm pas kësaj, sipas formulës b = - 2 ax in përcaktoni shenjën b.

Le të shohim një shembull:

Degët janë të drejtuara lart, që do të thotë A> 0, parabola e pret boshtin në nën zero do të thotë Me < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Pra b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Me < 0.