Deri më tani, ne supozonim se vlerësimi i parametrit të panjohur ishte i njohur dhe po studionim vetitë e tij për t'i përdorur ato në ndërtimin intervali i besimit. Në këtë seksion do të shqyrtojmë çështjen e metodave për ndërtimin e vlerësimeve.

Metodat e gjasave

Le të jetë e nevojshme të vlerësohet një parametër i panjohur, në përgjithësi, një vektor, . Supozohet se forma e funksionit të shpërndarjes është e njohur deri në një parametër,

Në këtë rast, të gjitha momentet ndryshore e rastësishme bëhen funksione nga:

Metoda e momenteve kërkon hapat e mëposhtëm:

Njehsoni k momente “teorike”.

Bazuar në mostrën, ne ndërtojmë k momente të mostrës me të njëjtin emër. Në kontekstin aktual, këto do të jenë momente

Duke barazuar momentet "teorike" dhe mostrat me të njëjtin emër, arrijmë në një sistem ekuacionesh për përbërësit e parametrit të vlerësuar.

Duke zgjidhur sistemin që rezulton (saktësisht ose afërsisht), gjejmë vlerësimet fillestare. Ato janë, natyrisht, funksione të vlerave të mostrës.

Ne e kemi përvijuar procedurën në bazë të pikave fillestare - teorike dhe selektive. Ruhet nën një zgjedhje të ndryshme momentesh, fillestare, qendrore ose absolute, e cila përcaktohet nga komoditeti i sistemit të zgjidhjes (25.1) ose një i ngjashëm.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj.

Shembulli 25.1. Le të shpërndahet një ndryshore e rastësishme në mënyrë uniforme në intervalin [ ; ] , ku janë parametra të panjohur. Bazuar në një mostër () të vëllimit n nga shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme. Kërkohet të vlerësohet dhe.

NË në këtë rast shpërndarja përcaktohet nga dendësia

1) Le të llogarisim dy momentet e para "teorike" fillestare:

2) Le të llogarisim nga kampioni dy momentet e para fillestare të mostrës

3) Le të krijojmë një sistem ekuacionesh

4) Nga ekuacioni i parë e shprehim përmes

dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e dytë, duke rezultuar në një ekuacion kuadratik

duke zgjidhur të cilat gjejmë dy rrënjë

Vlerat përkatëse janë

Pasi që sipas kuptimit të problemit duhet plotësuar kushti< , выбираем в качестве решения системы и оценок parametra të panjohur

Duke vënë re se nuk ka asgjë më shumë se varianca e mostrës, më në fund e marrim

Nëse do të zgjidhnim si pika “teorike”. vlera e pritur dhe variancë, atëherë do të arrinim në një sistem (duke marrë parasysh pabarazinë<)

i cili është linear dhe më i lehtë për t'u zgjidhur se ai i mëparshmi. Përgjigja, natyrisht, përkon me atë që tashmë është marrë.

Së fundi, vërejmë se sistemet tona kanë gjithmonë një zgjidhje, dhe një zgjidhje unike. Vlerësimet e marra janë, natyrisht, të qëndrueshme, por ato nuk kanë vetitë e paanshmërisë.

Metoda e gjasave maksimale

Ne studiojmë, si më parë, një ndryshore të rastësishme, shpërndarja e së cilës specifikohet ose nga probabilitetet e vlerave të saj, nëse është diskrete, ose nga dendësia e shpërndarjes, nëse është e vazhdueshme, ku është një parametër vektor i panjohur. Le të jetë () një mostër vlerash. Është e natyrshme të merret si vlerësim vlera e parametrit në të cilin probabiliteti i marrjes së një kampioni ekzistues është maksimal.

Shprehje

thirrur funksioni i gjasave, përfaqëson shpërndarjen e përbashkët ose dendësinë e përbashkët të një vektori të rastit me n koordinata të pavarura, secila prej të cilave ka të njëjtën shpërndarje (densitet) si.

Si një vlerësim i parametrit të panjohur, marrim vlerën e tij që siguron maksimumin e funksionit, i konsideruar si funksion i në vlera fikse. Vlerësimi quhet vlerësimi maksimal i gjasave. Vini re se varet nga madhësia e kampionit n dhe vlerat e mostrës

dhe, për rrjedhojë, është në vetvete një ndryshore e rastësishme.

Gjetja e pikës maksimale të një funksioni është një detyrë më vete, e cila bëhet më e lehtë nëse funksioni është i diferencueshëm në lidhje me një parametër.

Në këtë rast, është e përshtatshme të merret parasysh logaritmi i tij në vend të një funksioni, pasi pikat ekstreme të funksionit dhe logaritmi i tij përkojnë.

Metodat e llogaritjes diferenciale ju lejojnë të gjeni pika që janë të dyshimta për një ekstrem dhe më pas të zbuloni se në cilën prej tyre arrihet maksimumi.

Për këtë qëllim, së pari ne konsiderojmë sistemin e ekuacioneve

zgjidhjet e të cilave janë pika të dyshimta për ekstrem. Pastaj, duke përdorur një metodë të njohur, duke llogaritur vlerat e derivateve të dytë

Me shenjën e përcaktorit të përbërë nga këto vlera gjejmë pikën maksimale.

Vlerësimet e marra duke përdorur metodën e gjasave maksimale janë të qëndrueshme, megjithëse mund të jenë të njëanshme.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 25.2. Le të kryhet një eksperiment i rastësishëm, rezultati i të cilit mund të jetë një ngjarje A, probabiliteti i së cilës P(A) është i panjohur dhe i nënshtrohet vlerësimit.

Le të prezantojmë një ndryshore të rastësishme nga barazia

nëse ka ndodhur ngjarja A,

nëse ngjarja A nuk ndodhi (ndodhi një ngjarje).

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme jepet nga barazia

Mostra në këtë rast do të jetë një sekuencë e fundme (), ku secila prej tyre mund të jetë e barabartë me 0 ose 1.

Funksioni i gjasave do të ketë formën

Të gjejmë pikën e maksimumit të saj në p, për të cilën llogarisim derivatin e logaritmit

Le të shënojmë se ky numër është i barabartë me numrin e njësive të "sukseseve" në sekuencën e zgjedhur.

Dhe të tjerët).

Vlerësimi i gjasave maksimale është një metodë popullore statistikore që përdoret për të krijuar një model statistikor nga të dhënat dhe për të ofruar vlerësime të parametrave të modelit.

Korrespondon me shumë metoda të njohura të vlerësimit në fushën e statistikave. Për shembull, le të themi se jeni të interesuar për rritjen e popullit të Ukrainës. Le të themi se keni të dhëna për lartësinë për një numër njerëzish dhe jo për të gjithë popullsinë. Përveç kësaj, lartësia supozohet të jetë një variabël i shpërndarë normalisht me variancë dhe mesatare të panjohur. Mesatarja dhe varianca e rritjes së mostrës ka më shumë gjasa të jetë mesatarja dhe varianca e të gjithë popullatës.

Duke pasur parasysh një grup fiks të dhënash dhe një model bazë probabiliteti, duke përdorur metodën e gjasave maksimale, do të marrim vlera për parametrat e modelit që i bëjnë të dhënat "më afër" me botën reale. Vlerësimi i gjasave maksimale ofron një mënyrë unike dhe të thjeshtë për të përcaktuar zgjidhjet në rastin e një shpërndarjeje normale.

Vlerësimi i gjasave maksimale përdoret për një gamë të gjerë modelesh statistikore, duke përfshirë:

modele lineare dhe modele lineare të përgjithësuara;
analiza e faktorëve;
modelimi i ekuacioneve strukturore;
shumë situata, në kuadër të testimit të hipotezave dhe formimit të intervalit të besimit;
modele me zgjedhje diskrete.

Thelbi i metodës

thirrur vlerësimi maksimal i gjasave parametri Kështu, një vlerësues maksimal i gjasave është një vlerësues që maksimizon funksionin e gjasave duke pasur parasysh një realizim fiks të mostrës.

Shpesh, funksioni log-lihood përdoret në vend të funksionit të gjasave. Meqenëse funksioni rritet në mënyrë monotonike në të gjithë domenin e përkufizimit, maksimumi i çdo funksioni është maksimumi i funksionit dhe anasjelltas. Kështu

Nëse funksioni i gjasave është i diferencueshëm, atëherë një kusht i domosdoshëm për ekstremin është që gradienti i tij të jetë i barabartë me zero:

Një kusht i mjaftueshëm për një ekstrem mund të formulohet si një definicion negativ i Hessian - matrica e derivateve të dytë:

E ashtuquajtura matricë e informacionit, e cila sipas përkufizimit është e barabartë me:

Në pikën optimale, matrica e informacionit përkon me pritjen matematikore të Hessian, marrë me një shenjë minus:

Vetitë

Vlerësimet e gjasave maksimale, në përgjithësi, mund të jenë të njëanshme (shih shembujt), por janë të qëndrueshme. asimptotikisht efikase dhe asimptotike normale vlerësimet. Normaliteti asimptotik do të thotë se

ku është matrica e informacionit asimptotik

Efikasiteti asimptotik do të thotë që matrica e kovariancës asimptotike është një kufi më i ulët për të gjithë vlerësuesit e qëndrueshëm asimptotikisht normalë.

Shembuj

Barazia e fundit mund të rishkruhet si:

ku , nga ku shihet se funksioni i gjasave arrin maksimumin e tij në pikën . Kështu

. .

Për të gjetur maksimumin e tij, ne barazojmë derivatet e pjesshme me zero:

- mesatarja e mostrës, dhe - varianca e mostrës.

Metoda e probabilitetit maksimal të kushtëzuar

Mundësia maksimale e kushtëzuar (ML e kushtëzuar) përdoret në modelet e regresionit. Thelbi i metodës është se nuk përdoret shpërndarja e plotë e përbashkët e të gjithë variablave (të varur dhe regresorët), por vetëm kushtëzuar shpërndarja e ndryshores së varur ndërmjet faktorëve, që është, në fakt, shpërndarja e gabimeve të rastësishme në modelin e regresionit. Funksioni i probabilitetit total është produkt i "funksionit të gjasave të kushtëzuara" dhe densitetit të shpërndarjes së faktorëve. MMP e kushtëzuar është ekuivalente me versionin e plotë të MMP në rastin kur shpërndarja e faktorëve nuk varet në asnjë mënyrë nga parametrat e vlerësuar. Kjo gjendje shpesh shkelet në modelet e serive kohore, siç është modeli autoregresiv. Në këtë rast, regresorët janë vlerat e kaluara të ndryshores së varur, që do të thotë se vlerat e tyre gjithashtu i binden të njëjtit model AR, domethënë shpërndarja e regresorëve varet nga parametrat e vlerësuar. Në raste të tilla, rezultatet e aplikimit të metodave të probabilitetit maksimal të kushtëzuar dhe të plotë do të ndryshojnë.

Shiko gjithashtu

Shënime

Letërsia

Magnus Y.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometria. Kursi fillestar. - M.: Delo, 2007. - 504 f. - ISBN 978-5-7749-0473-0

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "Metoda e gjasave maksimale" në fjalorë të tjerë: metoda e gjasave maksimale

- - metoda e gjasave maksimale Në statistikat matematikore, një metodë për vlerësimin e parametrave të shpërndarjes bazuar në maksimizimin e të ashtuquajturit funksion të gjasave... ... Një metodë për vlerësimin e parametrave të panjohur të funksionit të shpërndarjes F(s; α1,..., αs) nga një kampion, ku α1, ..., αs janë parametra të panjohur. Nëse një mostër prej n vëzhgimesh ndahet në r grupe të shkëputura s1,..., sr; р1,..., pr……

Metoda e gjasave maksimale- në statistikat matematikore, një metodë për vlerësimin e parametrave të shpërndarjes, e bazuar në maksimizimin e të ashtuquajturit funksion të gjasave (dendësia e probabilitetit të përbashkët të vëzhgimeve me vlerat që përbëjnë ... ... Fjalor ekonomiko-matematikor

Shihni se çfarë është "Metoda e gjasave maksimale" në fjalorë të tjerë:- maksimaliojo tikėtinumo metodas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. metoda e gjasave maksimale vok. Methode der maksimalen Mutmaßlichkeit, f rus. metoda e gjasave maksimale, m pranc. metoda maksimale e vraisemblance, f;… … Përfundimi automatik

metoda e përgjigjes së pjesshme me gjasë maksimale- Metoda e zbulimit të sinjalit Viterbi, e cila siguron një nivel minimal të shtrembërimit ndërsimbolik. Shiko gjithashtu. Algoritmi Viterbi. [L.M. Nevdyaev. Teknologjitë e telekomunikacionit. Libër referimi i fjalorit shpjegues anglisht-rusisht. Redaktuar nga Yu.M... Udhëzues teknik i përkthyesit

detektor sekuence duke përdorur metodën e gjasave maksimale- Një pajisje për llogaritjen e një vlerësimi të sekuencës më të mundshme të simboleve që maksimizon funksionin e gjasave të sinjalit të marrë. [L.M. Nevdyaev. Teknologjitë e telekomunikacionit. Libër referimi i fjalorit shpjegues anglisht-rusisht. Redaktuar nga Yu.M... Udhëzues teknik i përkthyesit

metoda e gjasave maksimale- metoda e gjasave maksimale - [L.G. Fjalori anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat teknologjia e informacionit në përgjithësi Sinonimet metoda e gjasave maksimale EN metoda e gjasave maksimale ... Udhëzues teknik i përkthyesit

metoda e gjasave maksimale- Metoda e përgjithshme për llogaritjen e vlerësimeve të parametrave. Kërkohen vlerësime që maksimizojnë funksionin e gjasave të kampionit të barabartë me produktin e vlerave të funksionit të shpërndarjes për secilën vlerë të të dhënave të vëzhguar. Metoda e gjasave maksimale është më e mirë... Fjalori i Statistikave Sociologjike

Thelbi i problemit të vlerësimit të parametrave të pikës

VLERËSIMI PIKOR I PARAMETRAVE TË SHPËRNDARJES

Vlerësimi me pikë përfshin gjetjen e një vlere të vetme numerike, e cila merret si vlerë e parametrit. Është e këshillueshme që të përcaktohet një vlerësim i tillë në rastet kur vëllimi i ED është mjaft i madh. Për më tepër, nuk ka asnjë koncept të vetëm të një vëllimi të mjaftueshëm të ED, vlera e tij varet nga lloji i parametrit që vlerësohet (ne do t'i kthehemi kësaj çështjeje kur studiojmë metodat për vlerësimin e parametrave të intervalit, por së pari do të shqyrtojmë një mostër që përmban të paktën 10; vlerat e mjaftueshme). Kur vëllimi i ED është i vogël, vlerësimet e pikëve mund të ndryshojnë ndjeshëm nga vlerat e vërteta të parametrave, gjë që i bën ato të papërshtatshme për përdorim.

Problemi i vlerësimit të parametrave të pikës në një mjedis tipik është si më poshtë.

Në dispozicion: mostra e vëzhgimeve ( x 1, x 2, …, x n) pas një ndryshoreje të rastësishme X. Madhësia e mostrës n fikse

Dihet forma e ligjit të shpërndarjes së sasisë X, për shembull, në formën e densitetit të shpërndarjes f(Θ , x), Ku Θ – parametri i shpërndarjes i panjohur (në përgjithësi, vektori). Parametri është një vlerë jo e rastësishme.

Duhet gjetur një vlerësim Θ* parametri Θ ligji i shpërndarjes.

Kufizimet: Mostra është përfaqësuese.

Ekzistojnë disa metoda për zgjidhjen e problemit të vlerësimit të parametrave të pikës, më të zakonshmet prej të cilave janë metodat e gjasave maksimale, momenteve dhe kuantileve.

Metoda u propozua nga R. Fisher në vitin 1912. Metoda bazohet në studimin e probabilitetit të marrjes së një kampioni vëzhgimesh (x 1 , x 2, ..., x n). Ky probabilitet është i barabartë me

f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) … f(x n, Θ) dx 1 dx 2 … dx n.

Dendësia e probabilitetit të përbashkët

L(x 1, x 2 ..., x n; Θ) = f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) ... f(x n, Θ),(2.7)

konsiderohet si funksion i parametrit Θ , thirri funksioni i gjasave .

Si vlerësim Θ* parametri Θ duhet marrë vlerën që e bën funksionin e gjasave maksimale. Për të gjetur vlerësimin, është e nevojshme të zëvendësohet në funksionin e gjasave T në q dhe zgjidhni ekuacionin

dL/dΘ* = 0.

Për të thjeshtuar llogaritjet, kalojmë nga funksioni i gjasave në logaritmin e tij ln L. Ky transformim është i pranueshëm sepse funksioni i gjasave është një funksion pozitiv dhe arrin një maksimum në të njëjtën pikë me logaritmin e tij. Nëse parametri i shpërndarjes është një sasi vektoriale

Θ* =(q 1, q 2, ..., q n),

atëherë nga sistemi i ekuacioneve gjenden vlerësimet maksimale të gjasave

d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q 1 = 0;

d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q 2 = 0;

. . . . . . . . .

d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q n = 0.

Për të kontrolluar që pika optimale korrespondon me maksimumin e funksionit të gjasave, është e nevojshme të gjendet derivati i dytë i këtij funksioni. Dhe nëse derivati i dytë në pikën optimale është negativ, atëherë vlerat e parametrave të gjetur maksimizojnë funksionin.

Pra, gjetja e vlerësimeve të gjasave maksimale përfshin hapat e mëposhtëm: ndërtimi i funksionit të gjasave (logaritmi i tij natyror); diferencimi i një funksioni sipas parametrave të kërkuar dhe përpilimi i një sistemi ekuacionesh; zgjidhja e një sistemi ekuacionesh për të gjetur vlerësime; përcaktimi i derivatit të dytë të një funksioni, kontrollimi i shenjës së tij në pikën optimale të derivatit të parë dhe nxjerrja e përfundimeve.

Zgjidhje. Funksioni i gjasave për një mostër ED të vëllimit n

Funksioni i gjasave të regjistrit

Sistemi i ekuacioneve për gjetjen e vlerësimeve të parametrave

Nga ekuacioni i parë rezulton:

ose në fund

Kështu, mesatarja aritmetike është vlerësimi maksimal i gjasave për pritshmërinë matematikore.

Nga ekuacioni i dytë mund të gjejmë

Varianca empirike është e njëanshme. Pas heqjes së kompensimit

Vlerat aktuale të vlerësimeve të parametrave: m =27,51, s 2 = 0,91.

Për të kontrolluar që vlerësimet e marra maksimizojnë vlerën e funksionit të gjasave, marrim derivatet e dytë

Derivatet e dyte te funksionit ln( L(m, S)) pavarësisht nga vlerat e parametrave janë më pak se zero, prandaj, vlerat e parametrave të gjetur janë vlerësime maksimale të gjasave.

Metoda e gjasave maksimale na lejon të marrim vlerësime të qëndrueshme, efektive (nëse ato ekzistojnë, atëherë zgjidhja që rezulton do të japë vlerësime efektive), vlerësime të mjaftueshme, normalisht të shpërndara asimptotike. Kjo metodë mund të prodhojë vlerësime të njëanshme dhe të paanshme. Paragjykimi mund të eliminohet duke futur korrigjime. Metoda është veçanërisht e dobishme me mostra të vogla.

Detyra e vlerësimit të parametrave të shpërndarjes është të përftohen vlerësimet më të besueshme të parametrave të panjohur të shpërndarjes së popullsisë bazuar në të dhënat e mostrës. Përveç metodës së momenteve, për të përcaktuar vlerësimin pikësor të parametrave të shpërndarjes, ne përdorim gjithashtu metoda e gjasave maksimale. Metoda e gjasave maksimale u propozua nga statisticieni anglez R. Fisher në 1912.

Le të vlerësojmë parametrin e panjohur  të një ndryshoreje të rastësishme X nga popullata e përgjithshme me një densitet të shpërndarjes së probabilitetit fq(x)= fq(x, ) mostra e nxjerrë x 1 ,x 2 ,…,x n. Ne do t'i konsiderojmë rezultatet e mostrës si zbatim n- variabla e rastësishme dimensionale ( X 1 ,X 2 ,…,X n). Metoda e diskutuar më parë e momenteve për marrjen e vlerësimeve pikësore të parametrave të panjohur të një shpërndarjeje teorike nuk ofron gjithmonë vlerësimet më të mira. Metoda për kërkimin e vlerësimeve që kanë vetitë e nevojshme (më të mira) është metoda gjasat maksimale.

Metoda e gjasave maksimale bazohet në kushtin për përcaktimin e ekstremit të një funksioni të caktuar, i quajtur funksioni i gjasave.

Funksioni i gjasave DSV X

L (x 1 ,x 2 ,…,x n ; )=fq(x 1 ; )fq(x 2 ; )…fq(x n ; ),

Ku x 1, …, x n– opsionet fikse të kampionimit,  – parametër i panjohur i vlerësuar, fq(x i; ) – probabiliteti i ngjarjes X= x i .

Funksioni i gjasave NSV X quhet funksioni i argumentit :

L (x 1 ,x 2 ,…,x n ; )=f(x 1 ; )f(x 2 ; )…f(x n ; ),

Ku f(x i; ) – dhënë funksionin e densitetit të probabilitetit në pika x i .

Si vlerësim pikësor i parametrave të shpërndarjes  marrim vlerën e tij në të cilën funksioni i gjasave arrin maksimumin e tij. Vlerësimi
thirrur vlerësimi maksimal i gjasave. Sepse funksione L Dhe
L arrijnë maksimumin e tyre në të njëjtat vlera të , pastaj zakonisht për të gjetur ekstremin (maksimumin) që përdorin
L si një veçori më e përshtatshme.

Për të përcaktuar pikën maksimale
L ju duhet të përdorni një algoritëm të njohur për të llogaritur ekstremin e funksionit:

Në rastin kur dendësia e probabilitetit varet nga dy parametra të panjohur -  1 dhe  2, atëherë pikat kritike gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Pra, sipas metodës së gjasave maksimale, si një vlerësim i parametrit të panjohur  merret vlera * në të cilën
shpërndarjet e mostrave x 1 ,x 2 ,…,x n maksimale.

Detyra 8. Le të gjejmë vlerësimin duke përdorur metodën e gjasave maksimale për probabilitetin fq në skemën e Bernoulli-t,

Le të kryejmë n prova të pavarura të përsëritura dhe matin numrin e sukseseve, të cilat ne i shënojmë m. Sipas formulës së Bernulit, probabiliteti që do të ketë m sukses nga n–– është funksioni i gjasave të DSV.

Zgjidhje : Le të krijojmë një funksion të gjasave
.

Sipas metodës së gjasave maksimale, ne gjejmë një vlerë të tillë fq, e cila maksimizon L, dhe me të ln L.

Pastaj duke marrë logaritmin L, ne kemi:

Derivati i funksionit ln L Nga fq duket si
dhe në pikën ekstreme është e barabartë me zero. Prandaj, zgjidhja e ekuacionit
, ne kemi
.

Le të kontrollojmë shenjën e derivatit të dytë
në pikën që rezulton:

. Sepse
për çdo vlerë të argumentit, atëherë vlera e gjetur fq ka një pikë maksimale.

Do të thotë, – vlerësimi më i mirë për
.

Pra, sipas metodës së gjasave maksimale, vlerësimi i probabilitetit fq ngjarjet A në skemën e Bernulit përdoret shpeshtësia relative e kësaj ngjarjeje .

Nëse mostra x 1 , x 2 ,…, x n nxirret nga një popullsi e shpërndarë normalisht, atëherë vlerësimet për pritshmërinë matematikore dhe variancën me metodën e gjasave maksimale kanë formën:

Vlerat e gjetura përkojnë me vlerësimet e këtyre parametrave të marra me metodën e momenteve.
Sepse Meqenëse dispersioni është i zhvendosur, ai duhet të shumëzohet me korrigjimin Bessel. Atëherë ajo do të duket si

, që përkon me variancën e mostrës. 9 Detyrë
. Le të jepet shpërndarja Poisson m= x i ku
ne kemi  .

Zgjidhje :

. Le të gjejmë vlerësimin e parametrit të panjohur duke përdorur metodën e gjasave maksimale L Duke ndërtuar funksionin e gjasave L dhe logaritmi i tij ln

. Ne kemi: Le të gjejmë derivatin e L:
ln
dhe zgjidhni ekuacionin  . Vlerësimi që rezulton i parametrit të shpërndarjes
do të marrë formën:
Pastaj
sepse në
derivati i dytë i pjesshëm

atëherë kjo është pika maksimale. Kështu, mesatarja e mostrës mund të merret si një vlerësim i gjasave maksimale të parametrit  për shpërndarjen Poisson.
Mund të verifikohet se shpërndarja eksponenciale x 1 , x 2 , …, x n funksioni i gjasave për vlerat e mostrës

ka formën:
.

Vlerësimi i parametrit të shpërndarjes  për shpërndarjen eksponenciale është i barabartë me:

Avantazhi i metodës së gjasave maksimale është aftësia për të marrë vlerësime "të mira" që kanë veti të tilla si qëndrueshmëria, normaliteti asimptotik dhe efikasiteti për mostrat e mëdha në kushtet më të përgjithshme.