Gjetja e gradientit të një funksioni në një pikë. Ekstrema e një funksioni të disa ndryshoreve

FUNKSIONI GRADIDENT u = f(x, y, z), të dhëna në disa rajone. hapësirë (X Y Z), ka vektoriale me projeksione të shënuara me simbolet: grad Ku i, j, k- vektorët e njësive koordinative. G. f. - ka një funksion pikë (x, y, z), d.m.th. formon një fushë vektoriale. Derivat në drejtim të G. f. në këtë pikë arrin vlerën më të lartë dhe është e barabartë me: Drejtimi i gradientit është drejtimi i rritjes më të shpejtë të funksionit. G. f. në një pikë të caktuar është pingul me sipërfaqen e nivelit që kalon nëpër këtë pikë. Efikasiteti i përdorimit të G. f. gjatë studimeve litologjike u tregua në studimin e exc. Karakum qendror.

Fjalori gjeologjik: në 2 vëllime. - M.: Nedra. Redaktuar nga K. N. Paffengoltz et al.. 1978 .

Shihni se çfarë është "FUNKSIONI GRADIENT" në fjalorë të tjerë:

Ky artikull ka të bëjë me karakteristikë matematikore; për mënyrën e mbushjes, shih: Gradient (grafika kompjuterike) ... Wikipedia

- (lat.). Dallimet në leximet barometrike dhe termometrike në zona të ndryshme. fjalor fjalë të huaja, të përfshira në gjuhën ruse. Chudinov A.N., 1910. GRADIENT është ndryshimi në leximet e një barometri dhe termometri në të njëjtin moment... ... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse

gradient- Ndryshimi i vlerës së një sasie të caktuar për njësi distancë në një drejtim të caktuar. Gradienti topografik është ndryshimi në lartësinë e terrenit në një distancë të matur horizontalisht. Temat: mbrojtja rele EN gradienti i karakteristikës së fikjes së mbrojtjes diferenciale…

Udhëzues teknik i përkthyesit Gradient - një vektor i drejtuar në drejtim të rritjes më të shpejtë të funksionit dhe i barabartë në madhësi me derivatin e tij në këtë drejtim: ku simbolet ei tregojnë vektorë njësi boshtet e koordinatave (ortas) ...

Fjalor ekonomik dhe matematikor Një nga konceptet bazë të analizës vektoriale dhe teorisë së pasqyrimeve jolineare. Gradient funksion skalar thirret argumenti vektorial nga hapësira Euklidiane E n. derivat i funksionit f(t). në lidhje me argumentin vektorial t, pra një vektor n-dimensionale me... ...

Enciklopedia matematikore- – një vlerë që pasqyron një ndryshim ose tregues të një funksioni në varësi të një vlere tjetër; p.sh., gradienti i presionit të pjesshëm - ndryshimi në presionet e pjesshme që përcakton difuzionin e gazrave nga alveolat (accini) në gjak dhe nga gjaku në ... ... Fjalor i termave mbi fiziologjinë e kafshëve të fermës

I Gradient (nga latinishtja gradiens, gjinia gradientis duke ecur) Një vektor që tregon drejtimin e ndryshimit më të shpejtë të një sasie, vlera e të cilit ndryshon nga një pikë e hapësirës në tjetrën (shih Teorinë e fushës). Nëse vlera... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Udhëzues teknik i përkthyesit- (nga latinishtja gradiens ecje, ecje) (në matematikë) një vektor që tregon drejtimin e rritjes më të shpejtë të një funksioni të caktuar; (në fizikë) një masë e rritjes ose uljes në hapësirë ​​ose në një plan të çdo lloji sasi fizike për njësi...... Fillimet e shkencës moderne natyrore

librat

• Metodat për zgjidhjen e disa problemeve në seksione të zgjedhura të matematikës së lartë. Workshop, Konstantin Grigorievich Klimenko, Galina Vasilievna Levitskaya, Evgeniy Alexandrovich Kozlovsky. NË këtë punëtori merren parasysh metodat për zgjidhjen e llojeve të caktuara të problemeve nga seksione të tilla të kursit të pranuar përgjithësisht analiza matematikore, si kufiri dhe ekstremi i një funksioni, gradienti dhe derivati...

Nga kursi i matematikës shkollore dimë se një vektor në rrafsh është një segment i drejtuar. Fillimi dhe fundi i tij kanë dy koordinata. Koordinatat e vektorit llogariten duke zbritur koordinatat e fillimit nga koordinatat e fundit.

Koncepti i një vektori mund të zgjerohet në hapësirën n-dimensionale (në vend të dy koordinatave do të ketë n koordinata).

Gradient gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) është vektori i derivateve të pjesshëm të funksionit në një pikë, d.m.th. vektor me koordinata.

Mund të vërtetohet se gradienti i një funksioni karakterizon drejtimin e rritjes më të shpejtë të nivelit të një funksioni në një pikë.

Për shembull, për funksionin z = 2x 1 + x 2 (shih Figurën 5.8), gradienti në çdo pikë do të ketë koordinata (2; 1). Ju mund ta ndërtoni atë në një plan në mënyra të ndryshme, duke marrë çdo pikë si fillim të vektorit. Për shembull, mund të lidhni pikën (0; 0) me pikën (2; 1), ose pikën (1; 0) me pikën (3; 1), ose pikën (0; 3) me pikën (2; 4), ose kështu me radhë .p. (Shih Figurën 5.8). Të gjithë vektorët e ndërtuar në këtë mënyrë do të kenë koordinata (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Nga Figura 5.8 shihet qartë se niveli i funksionit rritet në drejtim të gradientit, pasi linjat e ndërtuara të nivelit korrespondojnë me vlerat e nivelit 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Gradienti i funksionit z= 2x 1 + x 2

Le të shqyrtojmë një shembull tjetër - funksionin z = 1/(x 1 x 2). Gradienti i këtij funksioni nuk do të jetë më gjithmonë i njëjtë në pika të ndryshme, pasi koordinatat e tij përcaktohen nga formulat (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Figura 5.9 tregon linjat e nivelit të funksionit z = 1/(x 1 x 2) për nivelet 2 dhe 10 (vija e drejtë 1/(x 1 x 2) = 2 tregohet me një vijë me pika dhe vija e drejtë 1/( x 1 x 2) = 10 është vijë e fortë).

Figura 5.9 - Gradientët e funksionit z= 1/(x 1 x 2) në pika të ndryshme

Merrni, për shembull, pikën (0.5; 1) dhe llogaritni gradientin në këtë pikë: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). Vini re se pika (0.5; 1) shtrihet në vijën e nivelit 1/(x 1 x 2) = 2, sepse z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Për të vizatuar vektorin ( -4; -2) në figurën 5.9, lidhni pikën (0.5; 1) me pikën (-3.5; -1), sepse (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Le të marrim një pikë tjetër në vijën e të njëjtit nivel, për shembull, pikën (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Le të llogarisim gradientin në këtë pikë (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Për ta përshkruar atë në figurën 5.9, ne lidhim pikën (1; 0.5) me pikën (-1; -3.5), sepse (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Le të marrim një pikë tjetër në vijën e njëjtë të nivelit, por vetëm tani në një tremujor të koordinatave jo pozitive. Për shembull, pika (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). Gradienti në këtë pikë do të jetë i barabartë me (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Le ta paraqesim atë në figurën 5.9 duke lidhur pikën (-0.5; -1) me pikën (3.5; 1), sepse (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Duhet të theksohet se në të tre rastet e shqyrtuara, gradienti tregon drejtimin e rritjes së nivelit të funksionit (drejt vijës së nivelit 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Mund të vërtetohet se gradienti është gjithmonë pingul me vijën e nivelit (sipërfaqja e nivelit) që kalon nëpër një pikë të caktuar.

Ekstrema e një funksioni të disa ndryshoreve

Le të përcaktojmë konceptin ekstreme për një funksion të shumë variablave.

Një funksion i shumë ndryshoreve f(X) ka në pikën X (0) maksimumi (minimumi), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike të tillë që për të gjitha pikat X nga kjo fqinjësi plotësohen pabarazitë f(X)f(X (0)) ().

Nëse këto pabarazi plotësohen si strikte, atëherë quhet ekstremi të fortë, dhe nëse jo, atëherë i dobët.

Vini re se ekstremi i përcaktuar në këtë mënyrë është lokale karakter, pasi këto pabarazi plotësohen vetëm për një lagje të caktuar të pikës ekstreme.

Një kusht i domosdoshëm për një ekstremum lokal të një funksioni të diferencueshëm z=f(x 1, . . ., x n) në një pikë është barazia me zero e të gjithë derivateve të pjesshëm të rendit të parë në këtë pikë:
.

Quhen pikat në të cilat qëndrojnë këto barazi stacionare.

Në një mënyrë tjetër, kushti i nevojshëm për një ekstrem mund të formulohet si më poshtë: në pikën ekstreme, gradienti është zero. Mund të vërtetohet edhe një pohim më i përgjithshëm: në pikën ekstreme, derivatet e funksionit zhduken në të gjitha drejtimet.

Pikat e palëvizshme duhet t'i nënshtrohen kërkimeve shtesë për të përcaktuar nëse janë plotësuar kushtet e mjaftueshme për ekzistencën e një ekstremi lokal. Për ta bërë këtë, përcaktoni shenjën e diferencialit të rendit të dytë. Nëse për ndonjë , jo njëkohësisht i barabartë me zero, ai është gjithmonë negativ (pozitiv), atëherë funksioni ka një maksimum (minimum). Nëse mund të shkojë në zero jo vetëm me rritje zero, atëherë çështja e ekstremit mbetet e hapur. Nëse mund të marrë vlera pozitive dhe negative, atëherë nuk ka ekstrem në një pikë të palëvizshme.

Në rastin e përgjithshëm, përcaktimi i shenjës së diferencialit është një problem mjaft kompleks, të cilin ne nuk do ta shqyrtojmë këtu. Për një funksion të dy ndryshoreve, mund të vërtetohet se nëse në një pikë të palëvizshme
, atëherë ekstremi është i pranishëm. Në këtë rast, shenja e diferencialit të dytë përkon me shenjën
, d.m.th. Nëse
, atëherë kjo është maksimumi, dhe nëse
, atëherë ky është minimumi. Nëse
, atëherë nuk ka ekstrem në këtë pikë, dhe nëse
, atëherë çështja e ekstremit mbetet e hapur.

Shembulli 1. Gjeni ekstremin e funksionit
.

Le të gjejmë derivate të pjesshëm duke përdorur metodën e diferencimit logaritmik.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

Po kështu
.

Le të gjejmë pika të palëvizshme nga sistemi i ekuacioneve:

Kështu, janë gjetur katër pika të palëvizshme (1; 1), (1; -1), (-1; 1) dhe (-1; -1).

Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të dytë:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Po kështu
;
.

Sepse
, shenjë shprehjeje
varet vetëm nga
. Vini re se në të dyja këto derivate emëruesi është gjithmonë pozitiv, kështu që mund të merrni parasysh vetëm shenjën e numëruesit, apo edhe shenjën e shprehjeve x(x 2 – 3) dhe y(y 2 – 3). Le ta përcaktojmë atë në çdo pikë kritike dhe të kontrollojmë nëse është plotësuar kushti i mjaftueshëm për ekstremin.

Për pikën (1; 1) marrim 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух numra negativ
> 0, dhe
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Për pikën (1; -1) marrim 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Sepse prodhimi i këtyre numrave
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Për pikën (-1; -1) marrim (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Sepse prodhimi i dy numrave pozitivë
> 0, dhe
> 0, në pikën (-1; -1) mund të gjendet minimumi. Është e barabartë me 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Gjeni globale maksimumi ose minimumi (vlera më e madhe ose më e vogël e një funksioni) është disi më komplekse se ekstremi lokal, pasi këto vlera mund të arrihen jo vetëm në pika të palëvizshme, por edhe në kufirin e fushës së përkufizimit. Nuk është gjithmonë e lehtë të studiosh sjelljen e një funksioni në kufirin e këtij rajoni.

Disa koncepte dhe terma përdoren brenda një kuadri thjesht të ngushtë. Për shembull, koncepti i "gradientit" përdoret nga një fizikan, një matematikan dhe një manikyrist ose specialist i Photoshop-it. Çfarë është gradienti si koncept? Le ta kuptojmë.

Çfarë thonë fjalorët?

Çfarë është e veçantë "gradient". fjalorët lëndorë interpretuar në lidhje me specifikat e tyre. Përkthyer nga gjuha latine kjo fjalë do të thotë "ai që shkon, rritet". Dhe Wikipedia e përkufizon këtë koncept si "një vektor që tregon drejtimin e rritjes në një sasi". NË fjalorë shpjegues ne e shohim kuptimin e kësaj fjale si "një ndryshim në çdo sasi me një vlerë". Një koncept mund të ketë kuptim sasior dhe cilësor.

Me pak fjalë, është një tranzicion i qetë gradual i çdo vlere me një vlerë, një ndryshim progresiv dhe i vazhdueshëm në sasi ose drejtim. Vektori llogaritet nga matematikanët dhe meteorologët. Ky koncept përdoret në astronomi, mjekësi, art, grafika kompjuterike. Një term i ngjashëm përcakton lloje krejtësisht të ndryshme të aktiviteteve.

Funksionet matematikore

Cili është gradienti i një funksioni në matematikë? Kjo tregon drejtimin e rritjes së një funksioni në një fushë skalare nga një vlerë në tjetrën. Madhësia e gradientit llogaritet duke përdorur derivate të pjesshëm. Për të përcaktuar drejtimin më të shpejtë të rritjes së një funksioni, zgjidhen dy pika në grafik. Ato përcaktojnë fillimin dhe fundin e vektorit. Shpejtësia me të cilën një vlerë rritet nga një pikë në tjetrën është madhësia e gradientit. Funksionet matematikore, bazuar në llogaritjet e këtij treguesi, përdoren në grafikën kompjuterike vektoriale, objektet e së cilës janë imazhe grafike objekte matematikore.

Çfarë është një gradient në fizikë?

Koncepti i gradientit është i zakonshëm në shumë degë të fizikës: gradienti i optikës, temperatura, shpejtësia, presioni, etj. Në këtë degë, koncepti tregon një masë të rritjes ose uljes së një vlere me një. Ai llogaritet nga llogaritjet si diferencë midis dy treguesve. Le të shohim disa nga vlerat në mënyrë më të detajuar.

Çfarë është një gradient potencial? Në punë me fushë elektrostatike përcaktohen dy karakteristika: tensioni (fuqia) dhe potenciali (energjia). Këto madhësive të ndryshme lidhur me mjedisin. Dhe megjithëse ata përcaktojnë karakteristika të ndryshme, kanë ende një lidhje me njëri-tjetrin.

Për të përcaktuar tensionin fushë force përdoret një gradient potencial - një sasi që përcakton shkallën e ndryshimit të potencialit në drejtim linja elektrike. Si për të llogaritur? Diferenca e mundshme midis dy pikave fushë elektrike llogaritet nga një tension i njohur duke përdorur vektorin e tensionit, i cili është i barabartë me gradientin potencial.

Kushtet e meteorologëve dhe gjeografëve

Për herë të parë, koncepti i gradientit u përdor nga meteorologët për të përcaktuar ndryshimet në madhësinë dhe drejtimin e treguesve të ndryshëm meteorologjikë: temperaturën, presionin, shpejtësinë dhe forcën e erës. Ai është masa ndryshim sasior madhësive të ndryshme. Maxwell e futi termin në matematikë shumë më vonë. Në përkufizim kushtet e motit Ekzistojnë koncepte të gradienteve vertikale dhe horizontale. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt në to.

Çfarë është një gradient vertikal i temperaturës? Kjo është një vlerë që tregon ndryshimin e treguesve, të llogaritur në një lartësi prej 100 m. Mund të jetë ose pozitiv ose negativ, në kontrast me horizontalin, i cili është gjithmonë pozitiv.

Gradienti tregon madhësinë ose këndin e pjerrësisë në tokë. Ai llogaritet si raport i lartësisë me gjatësinë e projeksionit të shtegut në një seksion të caktuar. Shprehur në përqindje.

Treguesit mjekësorë

Përkufizimi i "gradientit të temperaturës" mund të gjendet gjithashtu midis termat mjekësorë. Ai tregon ndryshimin në treguesit përkatës organet e brendshme dhe sipërfaqet e trupit. Në biologji, një gradient fiziologjik regjistron ndryshime në fiziologjinë e çdo organi ose organizmi në tërësi në çdo fazë të zhvillimit të tij. Në mjekësi, treguesi metabolik është intensiteti i metabolizmit.

Jo vetëm fizikanët, por edhe mjekët e përdorin këtë term në punën e tyre. Çfarë është një gradient presioni në kardiologji? Ky koncept përcakton ndryshimin në presionin e gjakut në çdo pjesë të ndërlidhur të sistemit kardiovaskular.

Një gradient në rënie i automatizmit është një tregues i një rënie në frekuencën e ngacmimeve të zemrës në drejtim nga baza e saj në majë, që ndodh automatikisht. Përveç kësaj, kardiologët identifikojnë vendndodhjen e dëmtimit arterial dhe shkallën e tij duke monitoruar ndryshimin në amplitudat e valëve sistolike. Me fjalë të tjera, duke përdorur gradientin e amplitudës së pulsit.

Çfarë është një gradient shpejtësie?

Kur flasin për shpejtësinë e ndryshimit të një sasie të caktuar, nënkuptojnë me këtë shpejtësinë e ndryshimit në kohë dhe hapësirë. Me fjalë të tjera, gradienti i shpejtësisë përcakton ndryshimin në koordinatat hapësinore në lidhje me treguesit e kohës. Ky tregues llogaritet nga meteorologët, astronomët dhe kimistët. Gradienti i shpejtësisë së prerjes së shtresave të lëngshme përcaktohet në industria e naftës dhe gazit, për të llogaritur shkallën e rritjes së lëngut përmes një tubi. Ky tregues lëvizjet tektonike- kjo është fusha e llogaritjeve të sizmologëve.

Funksionet ekonomike

Ekonomistët përdorin gjerësisht konceptin e gradientit për të vërtetuar përfundime të rëndësishme teorike. Kur zgjidhen problemet e konsumatorit, përdoret një funksion i dobishëm për të ndihmuar në përfaqësimin e preferencave nga një grup alternativash. "Funksioni i kufizimit buxhetor" është një term që përdoret për t'iu referuar një grupi paketash konsumi. Gradientët në këtë zonë përdoren për të llogaritur konsumin optimal.

Gradient ngjyrash

Termi "gradient" është i njohur individë krijues. Edhe pse janë larg shkencave ekzakte. Çfarë është një gradient për një projektues? Që në shkencat ekzakte- kjo është një rritje graduale e vlerës me një, dhe në ngjyrë ky tregues tregon një tranzicion të qetë, të shtrirë të nuancave të një ngjyre nga më të lehta në më të errët, ose anasjelltas. Artistët e quajnë këtë proces "shtrirje".

Shtrirjet gradient të nuancave në dhomat e lyerjes kanë zënë një pozicion të fortë midis teknikave të projektimit. Stili ombre i modës së re - një rrjedhë e qetë e hijes nga drita në errësirë, nga e ndritshme në të zbehtë - transformon në mënyrë efektive çdo dhomë në shtëpi ose zyrë.

Okulistët përdorin lente speciale në syze dielli. Çfarë është një gradient në gota? Kjo është prodhimi i një lente në një mënyrë të veçantë, kur nga lart poshtë ngjyra ndryshon nga një nuancë më e errët në një nuancë më të hapur. Produktet e prodhuara duke përdorur këtë teknologji mbrojnë sytë nga rrezatimi diellor dhe ju lejon të shikoni objektet edhe në dritë shumë të ndritshme.

Ngjyra në dizajnin e uebit

Për ata që janë të përfshirë në web design dhe grafika kompjuterike, është i njohur mjeti universal "gradient", me të cilin mund të krijoni një shumëllojshmëri të gjerë efektesh. Tranzicionet e ngjyrave shndërrohen në pika kryesore, një sfond të çuditshëm dhe tredimensionale. Manipulimi i hijeve dhe krijimi i dritës dhe hijes u jep vëllim objekteve vektoriale. Për këto qëllime, përdoren disa lloje gradientësh:

• Linear.
• Radiale.
• Në formë koni.
• Pasqyrë.
• Në formë diamanti.
• Gradient i zhurmës.

Bukuri gradient

Për vizitorët në sallonet e bukurisë, pyetja se çfarë është një gradient nuk do të jetë surprizë. E vërtetë, dhe në këtë rast njohuri ligjet matematikore dhe fizika bazë nuk është e nevojshme. Bëhet fjalë për Gjithçka ka të bëjë me tranzicionet e ngjyrave. Objektet e gradientit janë flokët dhe thonjtë. Teknika ombre, që do të thotë "ton" në frëngjisht, erdhi në modë nga adhuruesit e sportit të sërfit dhe aktiviteteve të tjera të plazhit. Flokët e zbardhur dhe të riprodhuar në mënyrë natyrale janë bërë hit. Fashionistat filluan të ngjyrosnin posaçërisht flokët e tyre me një tranzicion mezi të dukshëm të hijeve.

Teknika ombre nuk ka kaluar nga sallonet e thonjve. Një gradient në thonjtë krijon një ngjyrë me një ndriçim gradual të pllakës nga rrënja në buzë. Masters ofrojnë horizontale, vertikale, me një tranzicion dhe varietete të tjera.

Punime me gjilpërë

Gratë me gjilpërë janë të njohur me konceptin e "gradientit" nga një anë tjetër. Një teknikë e ngjashme përdoret në krijimin e gjërave i bërë vetë në stilin decoupage. Në këtë mënyrë krijohen sende të reja antike, ose restaurohen të vjetrat: komodat, karriget, komodat etj. Decoupage përfshin aplikimin e një modeli duke përdorur një klishe, baza e të cilit është një gradient ngjyrash si sfond.

Artistët e rrobave kanë adoptuar këtë metodë të ngjyrosjes për modelet e reja. Fustanet me ngjyra gradient kanë pushtuar pasarelat. Moda u kap nga gra gjilpëra - thurrëse. Artikujt e thurura me një tranzicion të butë ngjyrash janë të njohura.

Për të përmbledhur përkufizimin e "gradientit", mund të themi për një zonë shumë të gjerë veprimtaria njerëzore, në të cilin gjendet ky term. Zëvendësimi me sinonimin "vektor" nuk është gjithmonë i përshtatshëm, pasi një vektor është ende një koncept funksional, hapësinor. Ajo që përcakton përgjithësinë e konceptit është një ndryshim gradual në një sasi, substancë të caktuar, parametri fizik për njësi për një periudhë të caktuar. Në ngjyrë është një tranzicion i butë i tonit.