Një polinom matricë në një ndryshore është një shprehje e formës
F(l) = Ao lm + A1 lm-1 + A2 lm-2 + … + Am, (1)
ku Ao, …, Am - matricat katrore të rendit të njëjtë me elemente nga fusha kryesore K. Numri m quhet shkalla e një polinomi nëse Ao?0. Dy polinome quhen të barabartë nëse matricat në këto polinome janë të barabarta shkallë të barabarta ndryshore l. Shtohen dhe shumëzohen polinomet l të matricës me rregulla normale. Është e qartë se çdo l-polinom mund të shkruhet në formën e një matrice të vetme, elementët e së cilës janë polinome të zakonshme nga l dhe anasjelltas. Për shembull,
1 2 + 5 6 l + 1 0 lI = lI +5l + 1 6+ 2
0 3 7 -2 0 1 7l lI-2l + 3 .
Prandaj, n-polinomet e matricës janë vetëm lloj i veçantë regjistrimet e l-matricave.
Polinomi F(n) quhet i rregullt nëse matrica Ao është e kthyeshme.
Shuma (ndryshimi) i dy polinomet e matricës të rendit të njëjtë mund të paraqitet si një polinom shkalla e të cilit nuk e kalon shkallën më të madhe të këtyre polinomeve.
Prodhimi i dy polinomeve të matricës është i barabartë me një polinom shkalla e të cilit është më e vogël ose e barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve. Nëse të paktën njëri nga dy faktorët është një polinom i rregullt, atëherë në këtë rast shkalla e prodhimit është gjithmonë e barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve.
Le të jepen dy polinome të matricës A(n) dhe B(n) të të njëjtit rend n, dhe B(n) është një polinom i rregullt:
A(l) = Aolm + A1lm-1 + … + Am (Ao?0),
В(л) = Volr + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).
Ne do të themi se polinomet e matricës Q(l) dhe R(l) janë, përkatësisht, herësi i duhur dhe mbetja e drejtë kur pjesëtojmë A(l) me B(l), nëse
A(l) = Q(l)B(l) + R(l)(2)
dhe shkalla R(l) është më e vogël se shkalla B(l).
Pikërisht në të njëjtën mënyrë, polinomet ^Q(l) dhe ^R(l) do t'i quajmë përkatësisht herësin e majtë dhe mbetjen e majtë kur pjesëtojmë A(l) me B(l), nëse
A(l) = B(l) ^Q(l) + ^R(l)(3)
dhe shkalla ^R(l) është më e vogël se shkalla B(l).
NË rast i përgjithshëm polinomet Q(l) dhe R(l) nuk përkojnë me ^Q(l) dhe ^R(l).
Le të tregojmë se ndarja djathtas dhe e majta e polinomeve të matricës të të njëjtit rend janë gjithmonë të realizueshme dhe unike nëse pjesëtuesi është një polinom i rregullt.
Merrni parasysh ndarjen e drejtë të A(n) me B(n). Nëse m A(l)=AoBo -1lm-pB(l) + A(1)(l).(4) Shkalla m(1) e polinomit A(1)(l) është më e vogël se m: A(1)(l) = Ao(1) lm(1) + … (Ao(1)?0, m(1) Nëse m(1)?p, atëherë duke përsëritur këtë proces, marrim: A(1)(l) = Ao(1)Bo -1 lm(1)-p B(l) + A(2)(l), (6) A(2)(l) = A(2)lm(2) + … (m(2) Meqenëse shkallët e polinomeve A(l), A(1)(l), A(2)(l), ... zvogëlohen, në një fazë do të arrijmë te mbetja R(l), shkalla e së cilës është më pak se p. Pastaj nga (4), (6) do të vijojë: A(l) = Q(l) B(l) + R(l), ku Q(l) = АoВо-1 lm-р + Ао(1)Во-1 lm(1)-р + …(7) Le të provojmë tani veçantinë e ndarjes së duhur. Lëreni në të njëjtën kohë A(l) = Q(l) B(l) + R(l)(8) A(l) = Q*(l) B(l) + R*(l), (9) ku shkallët e polinomeve R(l) dhe R*(l) janë më të vogla se shkalla B(l), d.m.th. më pak se p. Duke zbritur termin për termin (8) nga (9) marrim: B(l) = R*(l) - R(l).(10) Nëse Q(l) - Q*(l) ? 0, atëherë meqë |Во|?0, shkalla e anës së majtë të barazisë (10) do të ishte e barabartë me shumën e shkallëve В(л) dhe Q(л) - Q*(л) dhe prandaj do të ishte? р. Kjo është e pamundur, pasi shkalla e polinomit në anën e djathtë të barazisë (10) është më e vogël se p. Kështu, Q(l) - Q*(l)?0, dhe pastaj nga (10) R*(l) - R(l)?0, d.m.th. Q(l) = Q*(l), R(l) = R*(l). Ekzistenca dhe veçantia e koeficientit të majtë dhe mbetjes së majtë vendosen saktësisht në të njëjtën mënyrë. Teorema 1. (Teorema e përgjithësuar e Bezout). Kur një polinom i matricës F(n) ndahet djathtas (majtas) me një binom lE-A, pjesa e mbetur e pjesëtimit është e barabartë me F(A) (përkatësisht ^F(A)). Dëshmi. Konsideroni një polinom të matricës arbitrare të rendit të n-të F(l) = Fо lm + F1 lm-1 + … + Fm (Fо?0)(11) Ky polinom mund të shkruhet edhe kështu: F(l) = lm Fo + lm-1 F1 + … + Fm (12) Të dy hyrjet për l skalar japin të njëjtin rezultat. Megjithatë, nëse në vend të argumentit skalar l zëvendësojmë një matricë katrore të rendit të n-të A, atëherë rezultatet e zëvendësimit në (11) dhe (12) do të jenë të ndryshme, pasi fuqitë e matricës A mund të mos jenë të këmbyeshme me koeficientët e matricës Fo, F1, ..., Fm. F(A) = Fo Am+ F1 Am-1 + … + Fm (13) ^F(A) = Am Fо + Am-1 F1 + … + Fm(14) dhe do ta quajmë F(A) vlerën e duhur dhe ^F(A) vlerën e majtë të polinomit F(l) kur matricën A e zëvendësojmë me l. Le ta ndajmë polinomin F(l) me binomin le-A. Në këtë rast, mbetja e djathtë R dhe mbetja e majtë ^R nuk do të varen nga l. Për të përcaktuar mbetjen e duhur, merrni parasysh skemën e zakonshme të ndarjes: F(l) = Fo lm + F1 lm-1 + … + Fm = Fo lm-1 (lE-A) + (Fo A + F1) lm-1 + F2 lm-2 + …= = (lE-A) + (Fо А2 + F1А1+ F2) lm-2 + F3 lm-3 + … = … … = (le-A) + Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm Ne e gjetëm atë R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А).(15) Mjaft e ngjashme Nga teorema e vërtetuar del se polinomi F(n) pjesëtohet nga e djathta (majtas) pa mbetje me binomin lE-A nëse dhe vetëm nëse F(A)=0 (përkatësisht ^F(A)=0) . Kontrolloni që A()=Q()B() + R(). А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + = 1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0 1 3 -2 0 0 1 1 0 . 2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1 В()= - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2, 1 1 3 5 2 +4 2 2 +13 |B o | = 1, B o -1 = 1 2, A 0 B 0 -1 = 2 5, A 0 B 0 -1 B() = - 2 +1 3 2 +12, 3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13 A (1) ()= - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11 , 0 1 2 + -3 -13 + 0 0 A (1) ()= -2 0 -1 -11 1 0 , A 0 (1) B 0 -1 ()= -2 0 1 2 = -2 -2, 1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5 A 0 (1) B 0 -1 B()= -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6 , R()= A (1) () - A 0 (1) B 0 -1 B()= 3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5 2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 , 3 5 + 1 2 3+1 5+2 Q() = A 0 B 0 -1 + A 0 (1) B 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2 Çdo matricë katrore ka dy polinome të lidhura me të: karakteristik dhe minimal. Këto polinome luajnë një rol të rëndësishëm në pyetje të ndryshme në teorinë e matricës. Kështu, për shembull, koncepti i një funksioni të një matrice, të cilin do ta prezantojmë në kapitullin vijues, do të bazohet tërësisht në konceptin e një polinomi minimal të një matrice. Ky kapitull diskuton vetitë e polinomeve karakteristike dhe minimale. Ky studim paraprihet nga informacioni bazë për polinomet me koeficientë matricë dhe veprimet mbi to. Konsideroni një matricë polinomi katror, d.m.th. një matricë katrore, elementët e së cilës janë polinome në lidhje me (me koeficientë nga një fushë numerike e dhënë): Matrica mund të përfaqësohet si një polinom me koeficientë matricë, të renditur në fuqi: . (3) Një numër quhet një shkallë e një polinomi nëse . Numri quhet rendi i polinomit. Ne do ta quajmë një polinom (1) të rregullt nëse . Ndonjëherë një polinom me koeficientë matricë do ta quajmë polinom matricë. Në ndryshim nga polinomi i matricës, një polinom të zakonshëm me koeficientë skalorë do ta quajmë polinom skalar. Le të shqyrtojmë veprimet themelore në polinomet e matricës. Le të jepen dy polinome matricë të të njëjtit rend. Le të shënojmë me fuqinë më të madhe të këtyre polinomeve. Këto polinome mund të shkruhen si pra shuma (diferenca) e dy polinomeve matricë të të njëjtit rend mund të paraqitet si një polinom shkalla e të cilit nuk e kalon shkallën më të madhe të këtyre polinomeve. Le të jepen dy polinome matricë me gradë dhe të njëjtin rend: Nëse shumëzoheshim me (d.m.th., ndryshonim rendin e faktorëve), atëherë, në përgjithësi, do të merrnim një polinom të ndryshëm. Shumëzimi i polinomeve të matricës ka një veçori tjetër specifike. Në ndryshim nga produkti i polinomeve skalare, prodhimi i polinomeve të matricës (4) mund të ketë një shkallë më të vogël se , domethënë më pak se shuma e shkallëve të faktorëve. Në të vërtetë, në (4) prodhimi i matricave mund të jetë i barabartë me zero për dhe . Megjithatë, nëse të paktën njëra nga matricat është jo njëjës, atëherë vijon: . Kështu, prodhimi i dy polinomeve të matricës është i barabartë me një polinom shkalla e të cilit është më e vogël ose e barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve. Nëse të paktën njëri nga dy faktorët është një polinom i rregullt, atëherë në këtë rast shkalla e prodhimit është gjithmonë e barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve. Një polinom matricë i rendit të th mund të shkruhet në dy mënyra: Të dy hyrjet skalare japin të njëjtin rezultat. Megjithatë, nëse dëshirojmë të zëvendësojmë një matricë katrore të rendit të th në vend të një argumenti skalar, atëherë rezultatet e zëvendësimeve në (5) dhe (5") do të jenë, në përgjithësi, të ndryshme, pasi fuqitë e matricës mund të mos të jetë i ndërrueshëm me koeficientët e matricës. dhe vlerat e djathta dhe të majta të matricës do t'i quajmë polinom kur zëvendësojmë në vend të matricës. Konsideroni përsëri dy polinomet e matricës dhe punën e tyre Transformimet në identitetin (7") mbeten të vlefshme kur zëvendësohen nga një matricë e rendit të th, nëse vetëm matrica ndryshon me të gjithë koeficientët e matricës. Në mënyrë të ngjashme, në identitetin (7"), ju mund të zëvendësoni një skalar me një matricë nëse matrica udhëton me të gjithë koeficientët. Në rastin e parë, marrim: çdo matricë e rendit të th gjithmonë i plotëson identitetet Udhëzimet. Për një zgjidhje në internet, duhet të specifikoni një shprehje matrice. Në fazën e dytë, do të jetë e nevojshme të sqarohet dimensioni i matricave. Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T). Një matricë është një tabelë numerike drejtkëndore me m rreshta dhe n kolona, kështu që matrica mund të përfaqësohet skematikisht si një drejtkëndësh. Le të përcaktojmë veprimet bazë në matrica. Shembulli 6. . Shembulli 7. Matricat e dhëna Shembulli 8. Jepet një matricë § 1. Mbledhja dhe shumëzimi i polinomeve të matricës
, 
, 
. (9)
Për të kryer një listë operacionesh, përdorni një ndarës me pikëpresje (;). Për shembull, për të kryer tre operacione:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
do t'ju duhet ta shkruani kështu: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Matricë zero (matricë zero)është një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë të barabartë me zero dhe shënohen me 0.
Matrica e identitetit quhet matricë katrore e formës
Dy matrica A dhe B janë të barabarta, nëse kanë të njëjtën madhësi dhe elementët përkatës janë të barabartë.
Matricë njëjësështë një matricë përcaktorja e së cilës është e barabartë me zero (Δ = 0). Shtimi i matricës
Përkufizimi . Shuma e dy matricave me të njëjtën madhësi është një matricë me të njëjtat dimensione, elementët e së cilës gjenden sipas formulës 
. Shënohet me C = A+B.
Operacioni i mbledhjes së matricës shtrihet në rastin e çdo numri termash. Është e qartë se A+0=A.
Le të theksojmë edhe një herë se mund të shtohen vetëm matrica me të njëjtën madhësi; Për matricat e madhësive të ndryshme, operacioni i mbledhjes nuk është i përcaktuar.Zbritja e matricave
Përkufizimi . Dallimi B-A i matricave B dhe A me të njëjtën madhësi është një matricë C e tillë që A+ C = B. Shumëzimi i matricës
Përkufizimi . Prodhimi i një matrice me një numër α është një matricë e përftuar nga A duke shumëzuar të gjithë elementët e saj me α, .
Përkufizimi . Le të jepen dy matrica 
dhe , dhe numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B. Prodhimi i A nga B është një matricë elementet e së cilës gjenden sipas formulës 
.
Shënohet me C = A·B.
Skematikisht, funksionimi i shumëzimit të matricës mund të përshkruhet si më poshtë: 
dhe rregulli për llogaritjen e një elementi në një produkt: 
Le të theksojmë edhe një herë se prodhimi A·B ka kuptim nëse dhe vetëm nëse numri i kolonave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të të dytit dhe produkti prodhon një matricë, numri i rreshtave të së cilës është i barabartë me numri i rreshtave të faktorit të parë, dhe numri i kolonave është i barabartë me numrin e kolonave të të dytit. Ju mund të kontrolloni rezultatin e shumëzimit duke përdorur një kalkulator të veçantë në internet. 
Dhe 
. Gjeni matricat C = A·B dhe D = B·A.
Zgjidhje.
Para së gjithash, vini re se prodhimi A·B ekziston sepse numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B.
Vini re se në rastin e përgjithshëm A·B≠B·A, d.m.th. produkti i matricave është antikomutativ.
Le të gjejmë B·A (shumëzimi është i mundur). 
. Gjeni 3A 2 – 2A.
Zgjidhje.
.
; 
.
.
Le të vërejmë faktin interesant të mëposhtëm.
Siç e dini, prodhimi i dy numrave jozero nuk është i barabartë me zero. Për matricat, një rrethanë e ngjashme mund të mos ndodhë, domethënë, produkti i matricave jo zero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.
