Vëllimi i një koni shprehet me të njëjtën formulë si vëllimi i një piramide: V = 1 / 3 S h,
ku V është vëllimi i konit, S është sipërfaqja e bazës së konit, h- lartësia e saj.
Më në fund V = 1/3 πR 2 h, ku R është rrezja e bazës së konit.
Marrja e formulës për vëllimin e një koni mund të shpjegohet me arsyetimin e mëposhtëm:
Le të jepet një kon (fig). Le ta shkruajmë në piramida e saktë d.m.th., ne do të ndërtojmë një piramidë brenda konit, maja e së cilës përkon me majën e konit, dhe baza është shumëkëndëshi i rregullt, i gdhendur në bazën e konit.
Vëllimi i kësaj piramide shprehet me formulën: V' = 1 / 3 S' h, ku V është vëllimi i piramidës,
S' është zona e bazës së saj, h- lartësia e piramidës.
Nëse marrim si bazë të piramidës një shumëkëndësh me shumë një numër i madh anët, atëherë zona e bazës së piramidës do të ndryshojë shumë pak nga zona e rrethit, dhe vëllimi i piramidës do të ndryshojë shumë pak nga vëllimi i konit. Nëse neglizhojmë këto dallime në madhësi, atëherë vëllimi i konit shprehet me formulën e mëposhtme:
V=1/3S h, ku V është vëllimi i konit, S është sipërfaqja e bazës së konit, h- lartësia e konit.
Duke zëvendësuar S përmes πR 2, ku R është rrezja e rrethit, marrim formulën: V = 1 / 3 πR 2 h, duke shprehur volumin e konit.
Shënim. Në formulën V = 1/3 S h vendoset një shenjë barazie e saktë, jo e përafërt, megjithëse në bazë të arsyetimit të kryer mund ta konsideronim të përafërt, por në shkollë të mesme shkolla e mesme vërtetohet se barazia
V=1/3S h e saktë, jo e përafërt.
Vëllimi i një koni arbitrar
Teorema. Vëllimi i një koni arbitrar është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë, ato.
V = 1/3 QH, (1)
ku Q është sipërfaqja e bazës dhe H është lartësia e konit.
Konsideroni një kon me kulm S dhe bazë Ф (Fig.).
Le të jetë sipërfaqja e bazës Φ e barabartë me Q, dhe lartësia e konit të jetë e barabartë me H. Pastaj ka sekuenca të shumëkëndëshave Φ n dhe F' n me zona Q n dhe Q' n të tilla që
F n⊂ Ф n⊂ Ф' n dhe \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q n= Q.
Është e qartë se një piramidë me një majë S dhe një bazë F' n do të gdhendet në një kon të caktuar, dhe një piramidë me kulm S dhe bazë Ф n- përshkruar rreth konit.
Vëllimet e këtyre piramidave janë përkatësisht të barabarta
V n= 1/3 Q n H, V' n= 1/3 Q' n H
\(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) V n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) V' n= 1/3 QH
atëherë vërtetohet formula (1).
Pasoja. Vëllimi i një koni, baza e të cilit është një elipsë me gjysmë boshte a dhe b, llogaritet me formulën
V = 1/3π ab H (2)
Në veçanti, vëllimi i një koni, baza e të cilit është një rreth me rreze R, llogaritur me formulë
V = 1 / 3 π R 2 H (3)
ku H është lartësia e konit.
Siç dihet, zona e një elipsi me gjysmë boshte A Dhe b e barabartë me π ab, dhe për këtë arsye formula (2) është marrë nga (1) me Q = π ab. Nëse a = b= R, atëherë fitohet formula (3).
Vëllimi i një koni rrethor të djathtë
Teorema 1. Vëllimi i drejtpërdrejtë kon rrethore me lartësi H dhe rreze bazë R llogaritet me formulë
V = 1 / 3 π R 2 H
Ky kon mund të konsiderohet si një trup i përftuar duke rrotulluar një trekëndësh me kulme në pikat O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) rreth boshtit Oh(oriz.).
Trekëndëshi OAB është trapezoid i lakuar, funksionin përkatës
y = R / H X, X∈ . Prandaj, duke përdorur formula e njohur, marrim
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\majtas|\fillimi(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$
Pasoja. Vëllimi i një koni rrethor të djathtë është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë, dmth.
ku Q - zona e bazës, dhe H - lartësia e konit.
Teorema 2. Vëllimi i një koni të cunguar me rreze bazë r dhe R dhe lartësi H llogaritet me formulën
V = 1/3 πH( r 2 + R 2 + r R).
Një kon i cunguar mund të merret duke u rrotulluar rreth një boshti Oh trapez O ABC (fig.).
Linja AB kalon nëpër pika (0; r) dhe (H; R), pra ka ekuacionin
$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$
marrim
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$
Për të llogaritur integralin, ne bëjmë zëvendësimin
$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$
Natyrisht kur X varion nga 0 në H, e ndryshueshme Dhe ndryshon nga r në R, dhe për këtë arsye
$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3) \ majtas r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$
Një sferë vëllimi i së cilës është 8π është i gdhendur në një kub. Gjeni vëllimin e kubit.
Zgjidhje
Le të jetë a ana e kubit. Atëherë vëllimi i kubit është V = a 3.
Meqenëse topi është i gdhendur në një kub, rrezja e topit është e barabartë me gjysmën skajet e kubit, d.m.th. R = a/2 (shih figurën).
Vëllimi i topit është i barabartë me V w = (4/3)πR 3 dhe i barabartë me 8π, prandaj
(4/3)πR 3 = 8π,
Dhe vëllimi i kubit është i barabartë me V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Detyra B9 ( Opsionet tipike 2015)
Vëllimi i konit është 32. Një seksion është tërhequr në mes të lartësisë paralele me bazën e konit, që është baza kon më të vogël me të njëjtën majë. Gjeni vëllimin e konit më të vogël.
Zgjidhje
Le të shqyrtojmë detyrat:
72353. Vëllimi i konit është 10. Në mes të lartësisë vizatohet një seksion paralel me bazën e konit, i cili është baza e një koni më të vogël me kulm të njëjtë. Gjeni vëllimin e konit më të vogël.
Le të vërejmë menjëherë se koni origjinal dhe i prerë janë të ngjashëm dhe nëse marrim parasysh konin e prerë në krahasim me atë origjinal, mund të themi këtë: koni më i vogël është i ngjashëm me atë më të madhin me një koeficient të barabartë me gjysmën ose 0,5 . Mund të shkruajmë:
Dikush mund të shkruante:
Dikush mund të mendojë kështu!
Le të shqyrtojmë konin origjinal në lidhje me atë të prerë. Mund të themi se koni më i madh është i ngjashëm me atë të prerë me një koeficient të barabartë me dy, le të shkruajmë:
Tani shikoni zgjidhjen pa përdorur vetitë e ngjashmërisë.
Vëllimi i një koni është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së tij:
Konsideroni projeksionin anësor (pamja anësore) me seksionin kryq të treguar:
Le të jetë rrezja e konit më të madh me R, lartësia me H. Seksioni (baza e konit më të vogël) kalon nga mesi i lartësisë, që do të thotë se lartësia e tij do të jetë e barabartë me H/2. Dhe rrezja e bazës është e barabartë me R/2, kjo rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave.
Le të shkruajmë vëllimin e konit origjinal:
Vëllimi i konit të prerë do të jetë i barabartë me:
Pra zgjidhje të detajuara janë paraqitur në mënyrë që të shihni se si mund të ndërtohet arsyetimi. Veproni në çfarëdo mënyre - gjëja kryesore është që të kuptoni thelbin e vendimit. Edhe nëse rruga që keni zgjedhur nuk është racionale, rezultati (rezultati i saktë) është i rëndësishëm.
Përgjigje: 1.25
318145. Në një enë në formë koni, niveli i lëngut arrin gjysmën e lartësisë së tij. Vëllimi i lëngut është 70 ml. Sa mililitra lëng duhet shtuar për të mbushur plotësisht enën?
Kjo detyrë është e ngjashme me atë të mëparshme. Edhe pse këtu po flasim për një lëng, parimi i zgjidhjes është i njëjtë.
Ne kemi dy kone - kjo është vetë ena dhe koni "i vogël" (i mbushur me lëng), ato janë të ngjashme. Dihet se vëllimet trupa të ngjashëm janë të lidhura si më poshtë:
Koni fillestar (anija) është i ngjashëm me një kon të mbushur me lëng me koeficient të barabartë me 2, pasi thuhet se niveli i lëngut arrin gjysmën e lartësisë. Mund të shkruani më në detaje:
Ne llogarisim:
Kështu, ju duhet të shtoni:
Probleme të tjera me lëngjet.
74257. Gjeni vëllimin V të një koni, gjenerata e të cilit është e barabartë me 44 dhe është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd 30 0. Ju lutemi tregoni V/Pi në përgjigjen tuaj.
Vëllimi i konit:
Lartësinë e konit e gjejmë duke përdorur vetinë e trekëndëshit kënddrejtë.
Këmba e shtrirë përballë këndit 30° është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës. Hipotenuza, në në këtë rast, është gjeneratori i konit. Prandaj lartësia e konit është 22.
Ne gjejmë katrorin e rrezes së bazës duke përdorur teoremën e Pitagorës:
*Ne kemi nevojë për katrorin e rrezes, jo për vetë rrezen.
Trupat e rrotullimit të studiuara në shkollë janë cilindri, koni dhe topi.
Nëse në një problem në provimin e shtetit të bashkuar në matematikë ju duhet të llogaritni vëllimin e një koni ose sipërfaqen e një sfere, konsiderojeni veten me fat.
Aplikoni formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e një cilindri, kon dhe sferë. Të gjithë janë në tryezën tonë. Mësoni përmendësh. Këtu fillon njohja e stereometrisë.
Ndonjëherë është mirë të vizatoni pamjen nga lart. Ose, si në këtë problem, nga poshtë.
2. Sa herë është i saktë vëllimi i një koni të përshkruar rreth piramidë katërkëndore, a është më i madh se vëllimi i konit të gdhendur në këtë piramidë?
Është e thjeshtë - vizatoni pamjen nga poshtë. Shohim se rrezja e rrethit më të madh është herë më e madhe se rrezja e rrethit më të vogël. Lartësitë e të dy koneve janë të njëjta. Prandaj, vëllimi i konit më të madh do të jetë dy herë më i madh.
Një tjetër pikë e rëndësishme. Mos harroni se në problemet e pjesës B Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë përgjigja shkruhet si numër i plotë ose i fundëm dhjetore. Prandaj, nuk duhet të ketë asnjë ose në përgjigjen tuaj në pjesën B. Nuk ka nevojë të zëvendësohet as vlera e përafërt e numrit! Duhet patjetër të tkurret! Është për këtë qëllim që në disa probleme, detyra formulohet, për shembull, si më poshtë: "Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të cilindrit të ndarë me".
Ku tjetër përdoren formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e trupave të revolucionit? Sigurisht, në problemin C2 (16). Ne gjithashtu do t'ju tregojmë për të.
