Vërejtje paraprake. Le të gjejmë imazhin e Furierit nga d-funksione.
Padyshim i drejtë dhe konvertimi i anasjelltë Furier:
Dhe:
1. Le të jetë procesi vlerë konstante x(t)=A o . Siç u zbulua tashmë më herët, funksioni korrelativ i një procesi të tillë është i barabartë me Le të gjejmë densitetin spektral të procesit nga konvertim i drejtpërdrejtë Funksionet e Furierit R(t):
Spektri i procesit përbëhet nga një kulm i vetëm i tipit të funksionit impuls që ndodhet në origjinë. Kështu, nëse ka vetëm një frekuencë në një proces w=0, kjo do të thotë se e gjithë fuqia e procesit është e përqendruar në këtë frekuencë, e cila konfirmon formën e funksionit S(w). Nëse një funksion i rastësishëm përmban një komponent konstante, d.m.th. atëherë vlera mesatare S(w) do të ketë një ndërprerje në origjinë dhe do të karakterizohet nga prania d-funksionon në një pikë w=0.
2. Për funksion harmonik X=A o sin(w 0 t+j) funksioni i korrelacionit:
Dendësia spektrale është
Orari S(w) do të ketë dy maja të tipit të funksionit të impulsit, të vendosura në mënyrë simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave në w=+w 0 dhe w=-w 0 . Kjo sugjeron që fuqia e procesit është e përqendruar në dy frekuenca + w 0 dhe - w 0 .
Nëse një funksion i rastësishëm ka komponentë harmonikë, atëherë dendësia spektrale ka ndërprerje në pika w= ± w 0 dhe karakterizohet nga prania e dy funksioneve delta të vendosura në këto pika.
Zhurma e bardhë . Zhurma e bardhë është një proces i rastësishëm që ka të njëjtat vlera dendësia spektrale në të gjitha frekuencat nga -¥ në +¥: S( w) = Konst.
Një shembull i një procesi të tillë sipas supozimeve të caktuara është zhurma termike, rrezatimi kozmik etj Funksioni korrelativ i një procesi të tillë është i barabartë me
Kështu R(t) përfaqëson funksioni i impulsit, që ndodhet në origjinë.
Ky proces është një proces thjesht i rastësishëm, sepse në çdo t¹0 nuk ka asnjë lidhje midis vlerave të mëvonshme dhe të mëparshme të funksionit të rastit. Një proces me një dendësi të tillë spektrale është fizikisht jorealist, sepse ajo korrespondon me variancën pafundësisht të madhe dhe katrorin mesatar të ndryshores së rastësishme:
Një proces i tillë korrespondon me një fuqi pafundësisht të madhe dhe një burim me një energji pafundësisht të madhe.
2. Zhurma e bardhë e kufizuar me brez. Ky proces karakterizohet nga një dendësi spektrale e formës
S(w)=C në ½ w½<w n,
S(w)=0 në ½w½>w n.
ku (- w n, w n) brezi i frekuencës për densitetin spektral.
Ky është një proces i rastësishëm, dendësia spektrale e të cilit mbetet pothuajse konstante në diapazonin e frekuencës që mund të ndikojë në sistemin e kontrollit në shqyrtim, d.m.th. në diapazonin e frekuencës të transmetuar nga sistemi. Lloji i kurbës S(w) jashtë këtij diapazoni nuk ka rëndësi, sepse pjesë e kurbës përkatëse frekuenca më të larta, nuk do të ndikojë në funksionimin e sistemit. Ky proces korrespondon me funksionin e korrelacionit
Varianca e procesit është e barabartë me
5. Sinjali tipik hyrës i një sistemi gjurmues. Si sinjal tipik merret sinjali grafiku i të cilit është paraqitur në figurën 63. Shpejtësia e rrotullimit të boshtit të makinës së sistemit servo ruhet vlerë konstante për periudha të caktuara kohore t 1, t 2,...
Kalimi nga një vlerë në tjetrën ndodh menjëherë. Intervalet kohore i binden ligjit të shpërndarjes Poisson. Vlera e pritshme
Fig.63. Sinjali tipik
Një grafik i këtij lloji merret si përafrim i parë gjatë gjurmimit Radari pas një objektivi në lëvizje. Vlerat konstante të shpejtësisë korrespondojnë me objektivin që lëviz në një vijë të drejtë. Një ndryshim në shenjën ose madhësinë e shpejtësisë korrespondon me manovrën e synuar.
Le m- numri mesatar i ndryshimeve të shpejtësisë për 1 s. Pastaj T=1/m do të jetë vlera mesatare e intervaleve kohore gjatë të cilave shpejtësia këndore ruan vlerën e saj konstante. Aplikuar në Radari kjo vlerë do të jetë koha mesatare që objektivi lëviz në një vijë të drejtë. Për të përcaktuar funksionin e korrelacionit, është e nevojshme të gjendet vlera mesatare e produktit
Kur gjendet kjo vlerë, mund të ketë dy raste.
1. Momente në kohë t Dhe t+t i përkasin të njëjtit interval. Atëherë mesatarja e prodhimit të shpejtësive këndore do të jetë e barabartë me katrorin mesatar shpejtësia këndore ose variancë:
2. Momente në kohë t Dhe t+t i përkasin intervaleve të ndryshme. Atëherë mesatarja e produktit të shpejtësive do të jetë e barabartë me zero, duke qenë se sasitë W(t) Dhe W(t+t) për intervale të ndryshme mund të merren parasysh sasi të pavarura:
Funksioni i korrelacionit është i barabartë me:
ku P 1 është probabiliteti i gjetjes së momenteve kohore t dhe t+t në të njëjtin interval, dhe P 2 =1- P 1 probabiliteti i gjetjes së tyre në intervale të ndryshme.
Le të vlerësojmë vlerën e P 1 . Probabiliteti që një ndryshim i shpejtësisë të ndodhë në një interval të shkurtër kohor Dt është proporcional me këtë interval dhe është i barabartë me mDt ose Dt/T. Probabiliteti për të mos ndryshuar shpejtësinë për të njëjtin interval do të jetë i barabartë me 1-Dt/T. Për një interval kohor t, probabiliteti i mos ndryshimit të shpejtësisë d.m.th. probabiliteti për të gjetur kohët t dhe t+t në të njëjtin interval të shpejtësisë konstante do të jetë i barabartë me produktin e probabilitetit të mos ndryshimit të shpejtësisë në çdo interval elementar Dt, sepse këto ngjarje janë të pavarura. Për një interval të fundëm gjejmë se numri i intervaleve është i barabartë me t/Dt dhe
Duke kaluar në kufi, ne marrim
Qëllimet kryesore
Mund të dallojmë dy lloje kryesore të problemeve, zgjidhja e të cilave kërkon përdorimin e teorisë së funksioneve të rastit.
Detyrë e drejtpërdrejtë (analizë): parametrat e një pajisjeje të caktuar dhe të saj karakteristikat probabilistike(pritshmëritë matematikore, funksionet e korrelacionit, ligjet e shpërndarjes) të funksionit (sinjali, procesi) që arrin në "inputin" e tij; është e nevojshme të përcaktohen karakteristikat në "daljen" e pajisjes (ato përdoren për të gjykuar "cilësinë" e funksionimit të pajisjes).
Problem i anasjelltë (sintezë): specifikohen karakteristikat probabilistike të funksioneve "hyrje" dhe "output"; kërkohet të dizenjohet një pajisje optimale (gjetja e parametrave të saj) që transformon një funksion të dhënë hyrëse në të tillë funksioni i daljes, e cila ka karakteristikat e dhëna. Zgjidhja e këtij problemi kërkon, përveç aparatit të funksioneve të rastësishme të tërheqjes, disiplina të tjera dhe në ky libër nuk merret parasysh.
Përkufizimi i një funksioni të rastësishëm
Funksioni i rastësishëm quhet një funksion i një argumenti jo të rastësishëm t, e cila për çdo vlerë fikse të argumentit është një ndryshore e rastësishme. Karakteristikat e rastësishme argument t tregojnë me shkronja të mëdha X(t), Y(t) etj.
Për shembull, nëse U- ndryshore e rastit, pastaj funksioni X(!)=C U - të rastësishme. Në të vërtetë, për çdo vlerë fikse të argumentit, ky funksion është një ndryshore e rastësishme: për t ( = 2
marrim një ndryshore të rastësishme X x = AU në t 2= 1.5 - ndryshore e rastësishme X 2 = 2,25 U etj.
Për shkurtësi të prezantimit të mëtejshëm, ne prezantojmë konceptin e një seksioni.
Seksioni Një funksion i rastësishëm është një ndryshore e rastësishme që korrespondon me një vlerë fikse të argumentit të një funksioni të rastit. Për shembull, për një funksion të rastësishëm X(t) = t 2 U, dhënë më sipër, me vlerat e argumentit 7, = 2 dhe t 2= 1,5 janë marrë në përputhje me rrethanat variablat e rastësishëm X ( = AUn X 2 = 2.2577, të cilat janë seksionet e funksionit të rastit të dhënë.
Pra, një funksion i rastësishëm mund të konsiderohet si një grup variablash të rastësishëm (X(?)), në varësi të parametrit t. Një interpretim tjetër i një funksioni të rastësishëm është i mundur nëse prezantojmë konceptin e zbatimit të tij.
Zbatimi (trajektorja, funksion selektiv) funksion i rastësishëm X(t) thirrni një funksion argumenti jo të rastësishëm t, i barabartë me të cilin një funksion i rastësishëm mund të rezultojë të jetë si rezultat i testit.
Kështu, nëse në një eksperiment vërehet një funksion i rastësishëm, atëherë në realitet vërehet një nga zbatimet e tij të mundshme; Natyrisht, kur eksperimenti përsëritet, do të vërehet një zbatim i ndryshëm.
Implementimet e funksioneve X(t) tregojnë shkronja te vogla x t (t) t x 2 (t) etj., ku indeksi tregon numrin e testit. Për shembull, nëse X(t)= (/ mëkat t, Ku U- një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme që mori një vlerë të mundshme në provën e parë dhe ( = 3, dhe në testin e dytë dhe 2 = 4.6, pastaj implementimet X(t) janë përkatësisht funksione jo të rastësishme X ( (t) = 3 mëkat t Dhe x 2 (t) = 4.6 mëkat t.
Pra, një funksion i rastësishëm mund të konsiderohet si një grup i zbatimeve të tij të mundshme.
E rastësishme (stokastike) procesi thirrni një funksion argumenti të rastësishëm t, që interpretohet si kohë. Për shembull, nëse një aeroplan duhet të fluturojë në një moment të caktuar shpejtësi konstante, atëherë në realitet, për shkak të ndikimit të faktorëve të rastësishëm (luhatjet e temperaturës, ndryshimet në forcën e erës, etj.), ndikimi i të cilëve nuk mund të merret parasysh paraprakisht, shpejtësia ndryshon. Në këtë shembull, shpejtësia e avionit është një funksion i rastësishëm i një argumenti (koha) që ndryshon vazhdimisht, d.m.th. shpejtësia është një proces i rastësishëm.
Vini re se nëse argumenti i një funksioni të rastësishëm ndryshon në mënyrë diskrete, atëherë formohen vlerat përkatëse të funksionit të rastësishëm (ndryshoret e rastit). sekuencë e rastësishme.
Argumenti i një funksioni të rastësishëm mund të jetë jo vetëm koha. Për shembull, nëse diametri i një fije thurje matet përgjatë gjatësisë së tij, atëherë për shkak të ndikimit të faktorëve të rastësishëm, diametri i fillit ndryshon. Në këtë shembull, diametri është një funksion i rastësishëm i një argumenti që ndryshon vazhdimisht (gjatësia e fillit).
Natyrisht, në përgjithësi është e pamundur të përcaktohet një funksion i rastësishëm në mënyrë analitike (me një formulë). Në raste të veçanta, nëse dihet forma e një funksioni të rastësishëm dhe parametrat përcaktues të tij janë variabla të rastësishëm, ai mund të specifikohet në mënyrë analitike. Për shembull, funksionet e rastësishme janë:
X(t)= sin Qf, ku Q është një ndryshore e rastësishme,
X(t)= G/mëkat t, Ku U- vlera e rastësishme,
X(t) = G/sin Qt, ku RRETH. Dhe .
Në veçanti, për Y==0 marrim D z ( t)= M[| (t)|] 2 =D x(t), pra kërkesa (**) është përmbushur.
Duke pasur parasysh atë vlera e pritur shuma është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave, kemi
Dz(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=Dx(t)+D y(t).
Kështu që, varianca e një funksioni të rastësishëm kompleks është e barabartë me shumën e variancave të pjesëve të tij reale dhe imagjinare:
D z ( t)=D x(t)+D y(t).
Dihet se funksioni korrelativ i një funksioni real të rastit X(t) në kuptime të ndryshme argumente të barabarta me variancë Dx(t). Le të përgjithësojmë përkufizimin e funksionit të korrelacionit në funksione të rastësishme komplekse Z(t) në mënyrë që kur vlera të barabarta argumentet t 1 =t 2 =t funksioni i korrelacionit K z(t,t) ishte e barabartë me variancën Dz(t), d.m.th., në mënyrë që kërkesa të plotësohet
K z(t,t)=D z(t). (***)
Funksioni korrelativ i funksionit kompleks të rastit Z(t) quhen momenti i korrelacionit seksionet ( t 1) dhe ( t 2)
K z(t 1 ,t 2)= M.
Në veçanti, me vlera të barabarta të argumenteve
K z(t,t)= M=M[| | 2 ]=Dz(t).
dmth kërkesa (***) është përmbushur.
Nëse funksionet reale të rastit X(t) Dhe Y(t) janë të ndërlidhura, atëherë
K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].
Nëse X(t) Dhe Y(t) nuk janë të ndërlidhura, atëherë
K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).
Le të përgjithësojmë përkufizimin e funksionit të ndërlidhjes me funksione të rastësishme komplekse Z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)i Dhe Z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)i në mënyrë që, në veçanti, kur Y 1 =Y 2 = Kërkesa 0 plotësohet
Funksioni i ndërlidhjes së dy funksioneve komplekse të rastit thirrni një funksion (jo rastësor)
Në veçanti, kur Y 1 =Y 2 =0 marrim
dmth kërkesa (****) është përmbushur.
Funksioni i ndërlidhjes së dy funksioneve komplekse të rastit shprehet përmes funksioneve të ndërlidhjes së pjesëve të tyre reale dhe imagjinare. formulën e mëposhtme:
Detyrat
1. Gjeni pritshmërinë matematikore të funksioneve të rastit:
a) X(t)=Ut 2 ku U- ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=5 ,
b)X(t)= U cos2 t+Vt, Ku U Dhe V- variablat e rastit, dhe M(U)=3 ,M(V)=4 .
Reps. a) m x (t)=5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. K x(t 1 ,t 2) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionet e korrelacionit të funksioneve të rastit:
a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)=4X(t).
Reps. a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1) (t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. Varianca është specifikuar Dx(t) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni variancën e funksioneve të rastit: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).
Përgjigju. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 Dx(t).
4. Gjeni: a) pritjen matematikore; b) funksioni i korrelacionit; c) variancën e një funksioni të rastit X(t)=Usin 2t, Ku U- ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=3 ,D(U)=6 .
Përgjigju. A) m x(t) =3mëkat 2t; b) K x(t 1 ,t 2)= 6mëkat 2t 1 mëkat 2t 2 ; V) Dx(t)=6mëkat 2 2t.
5. Gjeni funksionin e korrelacionit të normalizuar të funksionit të rastit X(t), duke ditur funksionin e tij korrelativ K x(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -t 1).
Reps. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Gjeni: a) funksionin e ndërlidhjes; b) funksioni i ndërlidhur i normalizuar i dy funksioneve të rastit X(t)=(t+1)U, dhe Y( t)= (t 2 + 1)U, Ku U- ndryshore e rastësishme, dhe D(U)=7.
Përgjigju. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 + l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.
7. Janë dhënë funksionet e rastësishme X(t)= (t- 1)U Dhe Y(t)=t 2 U, Ku U Dhe V- variabla të rastësishme të pakorreluara, dhe M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Gjeni: a) pritjen matematikore; b) funksioni i korrelacionit; c) variancën e shumës Z(t)=X(t)+Y(t).
Shënim. Sigurohuni që funksioni i ndërlidhjes së funksioneve të rastit të dhënë është i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, X(t) Dhe Y(t) nuk janë të ndërlidhura.
Përgjigju. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) Dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.
8. Jepet pritshmëria matematikore m x(t)=t 2 +1 funksion i rastësishëm X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të derivatit të tij.
9. Jepet pritshmëria matematikore m x(t)=t 2 +3 funksion i rastësishëm X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastësishëm Y(t)=tX"(t)+t 3.
Reps. m y (t)=t 2 (t+2).
10. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 ,t 2)= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionin e korrelacionit të derivatit të tij.
11. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 ,t 2)= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionet e ndërlidhjes.
