Vëllimi i një koni shprehet me të njëjtën formulë si vëllimi i një piramide: V = 1 / 3 S h,
ku V është vëllimi i konit, S është sipërfaqja e bazës së konit, h- lartësia e saj.
Më në fund V = 1/3 πR 2 h, ku R është rrezja e bazës së konit.
Marrja e formulës për vëllimin e një koni mund të shpjegohet me arsyetimin e mëposhtëm:
Le të jepet një kon (fig). Le ta shkruajmë në piramida e saktë, d.m.th., le të ndërtojmë një piramidë brenda konit, maja e së cilës përkon me majën e konit dhe baza është shumëkëndëshi i rregullt, i gdhendur në bazën e konit.
Vëllimi i kësaj piramide shprehet me formulën: V' = 1 / 3 S' h, ku V është vëllimi i piramidës,
S' është zona e bazës së saj, h- lartësia e piramidës.
Nëse marrim si bazë të piramidës një shumëkëndësh me shumë një numër i madh anët, atëherë zona e bazës së piramidës do të ndryshojë shumë pak nga zona e rrethit, dhe vëllimi i piramidës do të ndryshojë shumë pak nga vëllimi i konit. Nëse neglizhojmë këto dallime në madhësi, atëherë vëllimi i konit shprehet me formulën e mëposhtme:
V=1/3S h, ku V është vëllimi i konit, S është sipërfaqja e bazës së konit, h- lartësia e konit.
Duke zëvendësuar S përmes πR 2, ku R është rrezja e rrethit, marrim formulën: V = 1 / 3 πR 2 h, duke shprehur volumin e konit.
Shënim. Në formulën V = 1/3 S h vendoset një shenjë barazie e saktë, jo e përafërt, megjithëse në bazë të arsyetimit të kryer mund ta konsideronim të përafërt, por në shkollë të mesme shkolla e mesme vërtetohet se barazia
V=1/3S h e saktë, jo e përafërt.
Vëllimi i një koni arbitrar
Teorema. Vëllimi i një koni arbitrar është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë, ato.
V = 1/3 QH, (1)
ku Q është sipërfaqja e bazës dhe H është lartësia e konit.
Konsideroni një kon me kulm S dhe bazë Ф (Fig.).
Le të jetë sipërfaqja e bazës Φ e barabartë me Q, dhe lartësia e konit të jetë e barabartë me H. Pastaj ka sekuenca të shumëkëndëshave Φ n dhe F' n me zona Q n dhe Q' n të tilla që
F n⊂ Ф n⊂ Ф' n dhe \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q n= Q.
Është e qartë se një piramidë me një majë S dhe një bazë F' n do të gdhendet në një kon të caktuar, dhe një piramidë me kulm S dhe bazë Ф n- përshkruar rreth konit.
Vëllimet e këtyre piramidave janë përkatësisht të barabarta
V n= 1/3 Q n H, V' n= 1/3 Q' n H
\(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) V n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) V' n= 1/3 QH
atëherë vërtetohet formula (1).
Pasoja. Vëllimi i një koni, baza e të cilit është një elipsë me gjysmë boshte a dhe b, llogaritet me formulën
V = 1/3π ab H(2)
Në veçanti, vëllimi i një koni, baza e të cilit është një rreth me rreze R, llogaritur me formulë
V = 1 / 3 π R 2 H (3)
ku H është lartësia e konit.
Siç dihet, zona e një elipsi me gjysmë boshte A Dhe b e barabartë me π ab, dhe për këtë arsye formula (2) është marrë nga (1) me Q = π ab. Nëse a = b= R, atëherë fitohet formula (3).
Vëllimi i një koni rrethor të djathtë
Teorema 1. Vëllimi i drejtpërdrejtë kon rrethore me lartësi H dhe rreze bazë R llogaritet me formulë
V = 1 / 3 π R 2 H
Ky kon mund të konsiderohet si një trup i përftuar duke rrotulluar një trekëndësh me kulme në pikat O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) rreth boshtit Oh(oriz.).
Trekëndëshi OAB është trapezoid i lakuar, funksionin përkatës
y = R / H X, X∈ . Prandaj, duke përdorur formula e njohur, marrim
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\majtas|\fillimi(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$
Pasoja. Vëllimi i një koni rrethor të djathtë është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë, d.m.th.
ku Q - zona e bazës, dhe H - lartësia e konit.
Teorema 2. Vëllimi i një koni të cunguar me rreze bazë r dhe R dhe lartësi H llogaritet me formulën
V = 1/3 πH( r 2 + R 2 + r R).
Një kon i cunguar mund të merret duke u rrotulluar rreth një boshti Oh trapez O ABC (fig.).
Linja AB kalon nëpër pika (0; r) dhe (H; R), pra ka ekuacionin
$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$
marrim
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$
Për të llogaritur integralin, ne bëjmë zëvendësimin
$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$
Natyrisht kur X varion nga 0 në H, e ndryshueshme Dhe ndryshon nga r në R, dhe për këtë arsye
$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3) \ majtas r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$
Vëllimi i një koni. Tani kemi arritur në kone dhe cilindra. Përveç atyre që janë botuar tashmë, do të ketë rreth nëntë artikuj, ne do të shqyrtojmë të gjitha llojet e detyrave. Nëse gjatë vitit bankë e hapur Do të shtohen detyra të reja, sigurisht që do të postohen edhe në blog. Ky artikull paraqet teorinë dhe shembujt në të cilët përdoret. Nuk mjafton të dish formulën për vëllimin e një koni, ja ku është:
Mund të shkruajmë:
Për të zgjidhur disa shembuj, duhet të kuptoni se si lidhen vëllimet trupa të ngjashëm. Është për të kuptuar, dhe jo vetëm për të mësuar formulën:
Kjo do të thotë, nëse i rrisim (zvogëlojmë) dimensionet lineare të trupit me k herë, atëherë raporti i vëllimit të trupit që rezulton me vëllimin e origjinalit do të jetë i barabartë me k 3 .
JU LUTEM KUJDES! Nuk ka rëndësi se si i përcaktoni vëllimet:
Fakti është se në procesin e zgjidhjes së problemeve kur merren parasysh organe të ngjashme, disa mund të ngatërrohen me koeficientin k. Mund të lindë pyetja - Me çfarë është e barabartë?
(në varësi të vlerës së specifikuar në kusht)
E gjitha varet nga "cila anë" ju shikoni. Është e rëndësishme ta kuptoni këtë! Le të shohim një shembull: duke pasur parasysh një kub, skaji i kubit të dytë është tre herë më i madh:
NË në këtë rast, koeficienti i ngjashmërisë është tre (buza është rritur tre herë), që do të thotë se raporti do të duket kështu:
Kjo do të thotë, vëllimi i kubit që rezulton (më i madh) do të jetë 27 herë më i madh.
Mund të shikoni nga ana tjetër.
Duke pasur parasysh një kub, skaji i kubit të dytë është tre herë më i vogël:
Koeficienti i ngjashmërisë është i barabartë me një të tretën (duke zvogëluar skajin me tre herë), që do të thotë se raporti do të duket si:
Kjo do të thotë, vëllimi i kubit që rezulton do të jetë 27 herë më pak.
konkluzioni! Indekset nuk janë të rëndësishme kur tregojnë vëllimet, është e rëndësishme të kuptohet se si shihen trupat në lidhje me njëri-tjetrin.
Është e qartë se:
- nëse trupi origjinal rritet, atëherë koeficienti do të jetë më i madh se një.
- nëse trupi origjinal zvogëlohet, atëherë koeficienti do të jetë më i vogël se një.
Sa më poshtë mund të thuhet për raportet e vëllimit:
- nëse në problem e ndajmë vëllimin trup më të madh me një më të vogël, atëherë marrim kubin e koeficientit të ngjashmërisë dhe vetë koeficienti do të jetë më i madh se një.
- nëse e ndajmë vëllimin e një trupi më të vogël me një më të madh, do të marrim kubin e koeficientit të ngjashmërisë dhe vetë koeficienti do të jetë më i vogël se një.
Gjëja më e rëndësishme që duhet mbajtur mend është se kur bëhet fjalë për VËLLIMIN e trupave të ngjashëm, koeficienti i ngjashmërisë ka një shkallë të TRETË, dhe jo një shkallë të dytë, siç është rasti me zonat.
Një pikë tjetër në lidhje me.
Gjendja përmban një koncept të tillë si gjenerata e një koni. Ky është një segment që lidh majën e konit me pikat e rrethit bazë (treguar me shkronjën L në figurë).
Vlen të përmendet këtu se ne do të analizojmë problemet vetëm me një kon të drejtë (në tekstin e mëtejmë thjesht një kon). Gjeneratorët e një koni të djathtë janë të barabartë
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Trupat e rrotullimit të studiuara në shkollë janë cilindri, koni dhe topi.
Nëse në një problem në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë ju duhet të llogaritni vëllimin e një koni ose sipërfaqen e një sfere, konsiderojeni veten me fat.
Aplikoni formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e një cilindri, kon dhe sferë. Të gjithë janë në tryezën tonë. Mësoni përmendësh. Këtu fillon njohja e stereometrisë.
Ndonjëherë është mirë të vizatoni pamjen nga lart. Ose, si në këtë problem, nga poshtë.
2. Sa herë është i saktë vëllimi i një koni të përshkruar rreth piramidë katërkëndore, a është më i madh se vëllimi i konit të gdhendur në këtë piramidë?
Është e thjeshtë - vizatoni pamjen nga poshtë. Shohim se rrezja e rrethit më të madh është herë më e madhe se rrezja e rrethit më të vogël. Lartësitë e të dy koneve janë të njëjta. Prandaj, vëllimi i konit më të madh do të jetë dy herë më i madh.
Një tjetër pikë e rëndësishme. Mos harroni se në problemet e pjesës B Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë përgjigja shkruhet si numër i plotë ose i fundëm dhjetore. Prandaj, nuk duhet të ketë asnjë ose në përgjigjen tuaj në pjesën B. Nuk ka nevojë të zëvendësohet as vlera e përafërt e numrit! Duhet patjetër të tkurret! Është për këtë qëllim që në disa probleme, detyra formulohet, për shembull, si më poshtë: "Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të cilindrit të ndarë me".
Ku tjetër përdoren formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e trupave të revolucionit? Sigurisht, në problemin C2 (16). Ne gjithashtu do t'ju tregojmë për të.
Një sferë vëllimi i së cilës është 8π është i gdhendur në një kub. Gjeni vëllimin e kubit.
Zgjidhje
Le të jetë a ana e kubit. Atëherë vëllimi i kubit është V = a 3.
Meqenëse topi është i gdhendur në një kub, rrezja e topit është e barabartë me gjysmën skajet e kubit, d.m.th. R = a/2 (shih figurën).
Vëllimi i topit është i barabartë me V w = (4/3)πR 3 dhe i barabartë me 8π, prandaj
(4/3)πR 3 = 8π,
Dhe vëllimi i kubit është i barabartë me V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Detyra B9 ( Opsionet tipike 2015)
Vëllimi i konit është 32. Një seksion është tërhequr në mes të lartësisë paralele me bazën e konit, që është baza kon më të vogël me të njëjtën majë. Gjeni vëllimin e konit më të vogël.
Zgjidhje
Le të shqyrtojmë detyrat:
72353. Vëllimi i konit është 10. Në mes të lartësisë vizatohet një seksion paralel me bazën e konit, i cili është baza e një koni më të vogël me kulm të njëjtë. Gjeni vëllimin e konit më të vogël.
Le të vërejmë menjëherë se koni origjinal dhe i prerë janë të ngjashëm dhe nëse marrim parasysh konin e prerë në krahasim me atë origjinal, mund të themi këtë: koni më i vogël është i ngjashëm me atë më të madhin me një koeficient të barabartë me gjysmën ose 0,5 . Mund të shkruajmë:
Dikush mund të shkruante:
Dikush mund të mendojë kështu!
Le të shqyrtojmë konin origjinal në lidhje me atë të prerë. Mund të themi se koni më i madh është i ngjashëm me atë të prerë me një koeficient të barabartë me dy, le të shkruajmë:
Tani shikoni zgjidhjen pa përdorur vetitë e ngjashmërisë.
Vëllimi i një koni është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së tij:
Konsideroni një projeksion anësor (pamje anësore) me seksionin kryq të treguar:
Le të jetë rrezja e konit më të madh me R, lartësia me H. Seksioni (baza e konit më të vogël) kalon nga mesi i lartësisë, që do të thotë se lartësia e tij do të jetë e barabartë me H/2. Dhe rrezja e bazës është e barabartë me R/2, kjo rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave.
Le të shkruajmë vëllimin e konit origjinal:
Vëllimi i konit të prerë do të jetë i barabartë me:
Pra zgjidhje të detajuara janë paraqitur në mënyrë që të shihni se si mund të ndërtohet arsyetimi. Veproni në çdo mënyrë - gjëja kryesore është që të kuptoni thelbin e vendimit. Edhe nëse rruga që keni zgjedhur nuk është racionale, rezultati (rezultati i saktë) është i rëndësishëm.
Përgjigje: 1.25
318145. Në një enë në formë koni, niveli i lëngut arrin gjysmën e lartësisë së tij. Vëllimi i lëngut është 70 ml. Sa mililitra lëng duhet shtuar për të mbushur plotësisht enën?
Kjo detyrë është e ngjashme me atë të mëparshme. Edhe pse këtu po flasim për një lëng, parimi i zgjidhjes është i njëjtë.
Ne kemi dy kone - kjo është vetë ena dhe koni "i vogël" (i mbushur me lëng), ato janë të ngjashme. Dihet se vëllimet e trupave të tillë lidhen si më poshtë:
Koni (anija) fillestare është i ngjashëm me një kon të mbushur me lëng me koeficient të barabartë me 2, pasi thuhet se niveli i lëngut arrin gjysmën e lartësisë. Mund të shkruani më në detaje:
Ne llogarisim:
Kështu, ju duhet të shtoni:
Probleme të tjera me lëngjet.
74257. Gjeni vëllimin V të një koni, gjenerata e të cilit është e barabartë me 44 dhe është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd 30 0. Ju lutemi tregoni V/Pi në përgjigjen tuaj.
Vëllimi i konit:
Lartësinë e konit e gjejmë duke përdorur vetinë e trekëndëshit kënddrejtë.
Këmba e shtrirë përballë këndit 30° është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës. Hipotenuza, në këtë rast, është gjeneratori i konit. Prandaj lartësia e konit është 22.
Ne gjejmë katrorin e rrezes së bazës duke përdorur teoremën e Pitagorës:
*Ne kemi nevojë për katrorin e rrezes, jo për vetë rrezen.
