E barabartë me zero:
.Sistemi ortogonal nëse është i plotë, mund të përdoret si bazë për hapësirë. Në këtë rast, zbërthimi i çdo elementi mund të llogaritet duke përdorur formulat: , ku .
Rasti kur norma e të gjithë elementeve quhet sistem ortonor.
Ortogonalizimi
Çdo sistem i plotë linear i pavarur në një hapësirë me dimensione të fundme është një bazë. Nga një bazë e thjeshtë, pra, mund të shkohet në një bazë ortonormale.
Zbërthimi ortogonal
Kur zbërthehen vektorët e një hapësire vektoriale në një bazë ortonormale, llogaritja thjeshtohet produkt me pika: , ku dhe .
Shiko gjithashtu
Fondacioni Wikimedia. 2010.
Shihni se çfarë është "Sistemi ortogonal" në fjalorë të tjerë:
1) Oh... Enciklopedia matematikore
- (Greqisht orthogonios drejtkëndëshe) një sistem i fundëm ose i numërueshëm funksionesh që i përkasin hapësirës Hilbert (të ndashme) L2(a,b) (funksione të integrueshme kuadratike) dhe që plotësojnë kushtet e quajtura F tion g(x). duke peshuar O. s. f.,* do të thotë... ... Enciklopedi fizike
Sistemi i funksioneve??n(x)?, n=1, 2,..., i specifikuar në segmentin SHNDËRRIM ORTHOGONAL transformim linear Euklidiane hapësirë vektoriale, duke mbajtur të pandryshuara gjatësitë ose (ekuivalente) produktet skalare të vektorëve... Fjalori i madh enciklopedik
Sistemi i funksioneve (φn(x)), n = 1, 2, ..., i specifikuar në intervalin [a, b] dhe i kënaqshëm kushti tjetër ortogonaliteti: për k≠l, ku ρ(x) është një funksion i quajtur peshë. Për shembull, sistemi trigonometrik është 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... fjalor enciklopedik
Një sistem funksionesh ((фn(х)), n=1, 2, ..., i përcaktuar në intervalin [a, b] dhe që plotëson gjurmën, kushti i ortogonalitetit për k nuk është i barabartë me l, ku p(x ) është një funksion i caktuar , që quhet peshë Për shembull, sistemi trigonometrik 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik
Një sistem funksionesh ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonal me peshë ρ (x) në intervalin [a, b], d.m.th., i tillë që Shembuj. Sistemi trigonometrik 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., O.s. f. me peshë 1 në segmentin [π, π]. Bessel... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Koordinatat ortogonale janë ato në të cilat tensori metrik ka një formë diagonale. ku d Në sistemet e koordinatave ortogonale q = (q1, q², …, qd) sipërfaqet e koordinatave janë ortogonale me njëra-tjetrën. Në veçanti, në Sistemi kartezian koordinatat... ...Wikipedia
sistem shumëkanalësh ortogonal- - [L.G. Sumenko. Fjalori anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi EN multiplex ortogonal...
sistemi koordinativ i një imazhi (fotogrametrik).- Sistemi koordinativ hapësinor ortogonal djathtas, i fiksuar në një imazh fotogrametrik nga imazhet e shenjave fiduciale. [GOST R 51833 2001] Temat: fotogrametria... Udhëzues teknik i përkthyesit
sistemi- Sistemi 4.48: Një kombinim i elementeve ndërveprues të organizuar për të arritur një ose më shumë qëllime të specifikuara. Shënim 1 Një sistem mund të konsiderohet si një produkt ose shërbime që ai ofron. Shënimi 2 Në praktikë...... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik
Përkufizimi. Vektorëta Dheb quhen ortogonale (perpendikularë) me njëri-tjetrin nëse prodhimi skalar i tyre është i barabartë me zero, d.m.th.a × b = 0.
Për vektorë jozero a Dhe b barazia e produktit skalar me zero do të thotë se cos j= 0, d.m.th. . Vektor zeroështë ortogonal me çdo vektor, sepse a × 0 = 0.
Ushtrimi. Le të jenë vektorë ortogonalë. Atëherë është e natyrshme të merret parasysh diagonalja e një drejtkëndëshi me brinjë dhe . Provoni këtë
,
ato. katrori i gjatësisë diagonale të një drejtkëndëshi e barabartë me shumën katrorët e gjatësive të dy brinjëve të tij jo paralele(teorema e Pitagorës).
Përkufizimi. Sistemi vektoriala 1 ,…, a m quhet ortogonal nëse dy vektorë të këtij sistemi janë ortogonal.
Kështu, për një sistem ortogonal vektorësh a 1 ,…,a m barazia është e vërtetë: a i × a j= 0 në i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.
Teorema 1.5. Një sistem ortogonal i përbërë nga vektorë jozero është linearisht i pavarur. .
□ Ne e kryejmë vërtetimin me kontradiktë. Supozoni se sistemi ortogonal i vektorëve jozero a 1 , …, a m varur në mënyrë lineare. Pastaj
l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , ku . (1.15)
Le të, për shembull, l 1 ¹ 0. Shumëzo me a 1 të dyja anët e barazisë (1.15):
l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.
Të gjithë termat përveç të parës janë të barabartë me zero për shkak të ortogonalitetit të sistemit a 1 , …, a m. Pastaj l 1 a 1× a 1 = 0, që vijon a 1 = 0 , që bie ndesh me kushtin. Supozimi ynë rezultoi i gabuar. Kjo do të thotë se sistemi ortogonal i vektorëve jozero është linearisht i pavarur. ■
Teorema e mëposhtme vlen.
Teorema 1.6. Në hapësirën R n ekziston gjithmonë një bazë e përbërë nga vektorët ortogonalë(bazë ortogonale)
(pa prova).
Bazat ortogonale janë të përshtatshme kryesisht sepse koeficientët e zgjerimit të një vektori arbitrar mbi baza të tilla thjesht përcaktohen.
Supozoni se duhet të gjejmë zbërthimin e një vektori arbitrar b mbi baza ortogonale e 1 ,…,e n. Le të përpilojmë një zgjerim të këtij vektori me koeficientë zgjerimi ende të panjohur për këtë bazë:
Le t'i shumëzojmë të dyja anët e kësaj barazie në mënyrë shkallëzuese me vektorin e 1 . Në bazë të aksiomave 2° dhe 3° të produktit skalar të vektorëve, marrim
Që nga vektorët bazë e 1 ,…,e n janë reciprokisht ortogonale, atëherë të gjitha prodhimet skalare të vektorëve bazë, me përjashtim të të parit, janë të barabartë me zero, d.m.th. koeficienti përcaktohet me formulë
.
Duke shumëzuar barazinë (1.16) me radhë me vektorë të tjerë bazë, marrim formula të thjeshta për të llogaritur koeficientët e zgjerimit të vektorit b :
. (1.17)
Formulat (1.17) kanë kuptim sepse .
Përkufizimi. Vektora quhet i normalizuar (ose njësi) nëse gjatësia e tij është e barabartë me 1, d.m.th. (a , a )= 1.
Çdo vektor jozero mund të normalizohet. Le a
¹ 0
. Pastaj 
, dhe vektori është një vektor i normalizuar.
Përkufizimi. Sistemi vektorial e 1 ,…,e n quhet ortonormal nëse është ortogonal dhe gjatësia e secilit vektor të sistemit është e barabartë me 1, d.m.th.
(1.18)
Meqenëse ka gjithmonë një bazë ortogonale në hapësirën Rn dhe vektorët e kësaj baze mund të normalizohen, atëherë ekziston gjithmonë një bazë ortonormale në Rn.
Një shembull i një baze ortonormale të hapësirës R n është sistemi i vektorëve e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) me produktin skalar të përcaktuar nga barazia (1.9). Në bazë ortonormale e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) për të përcaktuar koordinatat e zbërthimit të vektorit b kanë formën më të thjeshtë:
Le a Dhe b – dy vektorë arbitrarë të hapësirës R n me bazë ortonormale e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Le të shënojmë koordinatat e vektorëve a Dhe b në bazë e 1 ,…,e n në përputhje me rrethanat përmes a 1 ,…,a n Dhe b 1 ,…, b n dhe gjeni shprehjen për prodhimin skalar të këtyre vektorëve përmes koordinatave të tyre në mbi këtë bazë, d.m.th. Le të pretendojmë se
, 
.
Nga barazia e fundit, në bazë të aksiomave dhe marrëdhënieve të produktit skalar (1.18), marrim
Më në fund kemi
. (1.19)
Kështu, në një bazë ortonormale, prodhimi skalar i çdo dy vektorësh është i barabartë me shumën e produkteve të koordinatave përkatëse të këtyre vektorëve.
Le të shqyrtojmë tani një bazë krejtësisht arbitrare (në përgjithësi, jo ortonormale) në hapësirën Euklidiane n-dimensionale R n dhe të gjejmë një shprehje për produktin skalar të dy vektorëve arbitrarë a Dhe b përmes koordinatave të këtyre vektorëve në bazën e specifikuar.
