Sistemet ortogonale të funksioneve. Sistemet vektoriale ortogonale

Përkufizimi. Vektorëta Dheb quhen ortogonale (perpendikularë) me njëri-tjetrin nëse prodhimi skalar i tyre është i barabartë me zero, d.m.th.a × b = 0.

Për vektorë jozero a Dhe b barazia e produktit skalar në zero do të thotë se cos j= 0, d.m.th. . Vektori zero është ortogonal me çdo vektor, sepse a × 0 = 0.

Ushtrimi. Le të jenë vektorë ortogonalë. Atëherë është e natyrshme të merret parasysh diagonalja e një drejtkëndëshi me brinjë dhe . Vërtetoni këtë

ato. katrori i gjatësisë diagonale të një drejtkëndëshi e barabartë me shumën katrorët e gjatësive të dy brinjëve të saj jo paralele(teorema e Pitagorës).

Përkufizimi. Sistemi vektoriala 1 ,…, a m quhet ortogonal nëse dy vektorë të këtij sistemi janë ortogonal.

Kështu, për një sistem ortogonal vektorësh a 1 ,…,a m barazia është e vërtetë: a i × a j= 0 në i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Një sistem ortogonal i përbërë nga vektorë jozero është linearisht i pavarur. .

□ Ne e kryejmë vërtetimin me kontradiktë. Supozoni se sistemi ortogonal i vektorëve jozero a 1 , …, a m varur në mënyrë lineare. Pastaj

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , në të njëjtën kohë. (1.15)

Le të, për shembull, l 1 ¹ 0. Shumëzo me a 1 të dyja anët e barazisë (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Të gjithë termat përveç të parës janë të barabartë me zero për shkak të ortogonalitetit të sistemit a 1 , …, a m. Pastaj l 1 a 1× a 1 = 0, që vijon a 1 = 0 , që bie ndesh me kushtin. Supozimi ynë rezultoi i gabuar. Kjo do të thotë se sistemi ortogonal i vektorëve jozero është linearisht i pavarur. ■

Teorema e mëposhtme vlen.

Teorema 1.6. Në hapësirën Rn ekziston gjithmonë një bazë e përbërë nga vektorë ortogonalë (bazë ortogonale)
(pa prova).

Bazat ortogonale janë të përshtatshme kryesisht sepse koeficientët e zgjerimit të një vektori arbitrar mbi baza të tilla thjesht përcaktohen.

Supozoni se duhet të gjejmë zbërthimin e një vektori arbitrar b mbi baza ortogonale e 1 ,…,e n. Le të hartojmë një zgjerim të këtij vektori me koeficientë zgjerimi ende të panjohur në terma të këtë bazë:

Le të shumëzojmë të dyja anët e kësaj barazie në mënyrë shkallëzore me vektorin e 1. Në bazë të aksiomave 2° dhe 3° të produktit skalar të vektorëve, marrim

Që nga vektorët bazë e 1 ,…,e n janë reciprokisht ortogonale, atëherë të gjitha prodhimet skalare të vektorëve bazë, me përjashtim të të parit, janë të barabartë me zero, d.m.th. koeficienti përcaktohet me formulë

Duke shumëzuar barazinë (1.16) me radhë me vektorë të tjerë bazë, marrim formula të thjeshta për të llogaritur koeficientët e zgjerimit të vektorit b :

. (1.17)

Formulat (1.17) kanë kuptim sepse .

Përkufizimi. Vektora quhet i normalizuar (ose njësi) nëse gjatësia e tij është e barabartë me 1, d.m.th. (a , a )= 1.

Çdo vektor jozero mund të normalizohet. Le a ¹ 0 . Pastaj , dhe vektori është një vektor i normalizuar.

Përkufizimi. Sistemi vektorial e 1 ,…,e n quhet ortonormal nëse është ortogonal dhe gjatësia e secilit vektor të sistemit është e barabartë me 1, d.m.th.

(1.18)

Meqenëse ka gjithmonë një bazë ortogonale në hapësirën Rn dhe vektorët e kësaj baze mund të normalizohen, atëherë ekziston gjithmonë një bazë ortonormale në Rn.

Një shembull i një baze ortonormale të hapësirës R n është sistemi i vektorëve e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) me produktin skalar të përcaktuar nga barazia (1.9). Në një bazë ortonorale e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) për të përcaktuar koordinatat e zbërthimit të vektorit b kanë formën më të thjeshtë:

Le a Dhe b – dy vektorë arbitrarë të hapësirës R n me bazë ortonormale e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Le të shënojmë koordinatat e vektorëve a Dhe b në bazë e 1 ,…,e n në përputhje me rrethanat përmes a 1 ,…,a n Dhe b 1 ,…, b n dhe gjeni shprehjen për prodhimin skalar të këtyre vektorëve përmes koordinatave të tyre në këtë bazë, d.m.th. supozojmë se

, .

Nga barazia e fundit, në bazë të aksiomave dhe marrëdhënieve të produktit skalar (1.18), marrim

Më në fund kemi

. (1.19)

Kështu, në një bazë ortonormale, prodhimi skalar i çdo dy vektorësh është i barabartë me shumën e produkteve të koordinatave përkatëse të këtyre vektorëve.

Le të shqyrtojmë tani një bazë krejtësisht arbitrare (në përgjithësi, jo ortonormale) në hapësirën Euklidiane n-dimensionale R n dhe të gjejmë një shprehje për produktin skalar të dy vektorëve arbitrarë a Dhe b përmes koordinatave të këtyre vektorëve në bazën e specifikuar.

Sistemi i funksionit ortogonal

sistemi i funksioneve (φ n(x)}, n= 1, 2,..., ortogonale me peshë ρ ( X) në segmentin [ A, b], pra e tillë që

Shembuj. Sistemi trigonometrik 1, cos nx, mëkat nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. me peshë 1 në intervalin [-π, π]. Funksionet Bessel n = 1, 2,..., J ν ( x), forma për çdo ν > - 1/2 O. s. f. me peshë X në segment.

Nëse çdo funksion φ ( X) nga O. s. f. është ajo x) me numër

Studimi sistematik i O. s. f. filloi në lidhje me metodën e zgjidhjes Fourier problemet e vlerës kufitare ekuacionet fizikës matematikore. Kjo metodë çon, për shembull, në gjetjen e zgjidhjeve për problemin Sturm-Liouville (Shih problemin Sturm-Liouville) për ekuacionin [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ në, të kënaqshme kushtet kufitare në(A) + hy"(a) = 0, y(b) + Hy"(b) = 0, ku h Dhe N- e përhershme. Këto vendime janë të ashtuquajturat. funksionet amtare detyrat - formulari O. s. f. me peshë ρ ( X) në segmentin [ a, b].

Jashtëzakonisht klasë e rëndësishme O.S. f. - Polinomet ortogonale - u zbulua nga P. L. Chebyshev në kërkimin e tij mbi interpolimin duke përdorur metodën katrorët më të vegjël dhe problemi i momenteve. Në shekullin e 20-të hulumtim mbi O. s. f. kryhen kryesisht në bazë të teorisë integrale dhe masës Lebesgue. Kjo kontribuoi në ndarjen e këtyre studimeve në një degë të pavarur të matematikës. Një nga detyrat kryesore të teorisë së O. s. f - problem i zbërthimit të një funksioni f(x) në një seri të formës p ( X)) - O. s. f. Nëse e vendosim zyrtarisht p( X)) - normalizuar O. s. f., dhe lejojnë mundësinë e integrimit term pas termi, pastaj, duke shumëzuar këtë seri me φ n(X) ρ( X) dhe duke u integruar nga A te b, marrim:

Shanset S f, i quajtur koeficientët Furier të funksionit në lidhje me sistemin (φ n(x)), kanë vetinë ekstreme të mëposhtme: formë lineare X):

ka vlera më e vogël krahasuar me gabimet e dhëna me të njëjtat n shprehje të tjera lineare të formës

Seria ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) me shanse S f, e llogaritur duke përdorur formulën (*), quhet seria Furier e funksionit f(x) sipas O. s të normalizuar. f. (φ n(x)). Për aplikacionet, çështja me rëndësi parësore është nëse funksioni është i përcaktuar në mënyrë unike f(x) me koeficientët e tyre Furier. O.S. f., për të cilat kjo ndodh, quhen të plota ose të mbyllura. Kushtet për O. s të mbyllura. f. mund të jepet në disa forma ekuivalente. 1) Çdo funksion të vazhdueshëm f(x) mund të përafrohet mesatarisht me çdo shkallë saktësie me kombinime lineare të funksioneve φ k(x), domethënë, C n φ n (x) konvergjon mesatarisht me funksionin f(x)]. 2) Për çdo funksion f(x), katrorin e të cilit e integrojmë në lidhje me peshën ρ( X), kushti i mbylljes Lyapunov-Steklov është i kënaqur:

3) Nuk ka asnjë funksion jozero me të integrueshëm në intervalin [ a, b] katrore ortogonal ndaj të gjithë funksioneve φ n(x), n = 1, 2,....

Nëse i konsiderojmë funksionet me një katror të integrueshëm si elementë të një hapësire Hilbert (Shih hapësirën Hilbert), atëherë O.S. i normalizuar. f. do të jenë sistemet e vektorëve të njësive koordinative të kësaj hapësire, dhe zgjerimi i serisë në O.s të normalizuar. f. - zgjerimi i vektorit në vektorë njësi. Me këtë qasje, shumë koncepte të teorisë së sistemeve operacionale të normalizuara. f. fitojnë vizuale kuptimi gjeometrik. Për shembull, formula (*) do të thotë që projeksioni i vektorit mbi vektorin njësi është i barabartë me produktin skalar të vektorit dhe njësisë njësi; barazia Lyapunov - Steklov mund të interpretohet si teorema e Pitagorës për një hapësirë padimensionale: katrori i gjatësisë së një vektori është i barabartë me shumën e katrorëve të projeksioneve të tij në boshtet koordinative; izolimi O. s. f. do të thotë se nënhapësira më e vogël e mbyllur që përmban të gjithë vektorët e këtij sistemi përkon me të gjithë hapësirën etj.

Lit.: Tolstov G.P., Seria Fourier, botimi i dytë, M., 1960; Natanson I. P., Teoria konstruktive funksionet, M. - L., 1949; nga ai, Teoria e funksioneve të një ndryshoreje reale, botimi i dytë, M., 1957; Jackson D., Seritë Fourier dhe polinomet ortogonale, përkth. nga anglishtja, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teoria e serive ortogonale, përkth. nga gjermanishtja, M., 1958.

Enciklopedia e Madhe Sovjetike. - M.: Enciklopedia Sovjetike. 1969-1978 .

Shihni se çfarë është "Sistemi ortogonal i funksioneve" në fjalorë të tjerë:

- (Greqisht ortogonios drejtkëndëshe) një sistem i fundëm ose i numërueshëm funksionesh që i përkasin hapësirës Hilbert (të ndashme) L2(a,b) (funksione të integrueshme kuadratike) dhe që plotësojnë kushtet e quajtura F tion g(x). duke peshuar O. s. f.,* do të thotë... ... Enciklopedia fizike

Sistemi i funksioneve??n(x)?, n=1, 2,..., i specifikuar në segmentin SHNDËRRIM ORTHOGONAL transformim linear i hapësirës vektoriale Euklidiane, duke ruajtur gjatësitë e pandryshuara ose (që është ekuivalente me këtë) prodhimet skalare të vektorëve. .. Fjalori i madh enciklopedik

Sistemi i funksioneve (φn(x)), n = 1, 2, ..., i specifikuar në intervalin [a, b] dhe i kënaqshëm kushti tjetër ortogonaliteti: për k≠l, ku ρ(x) është një funksion i quajtur peshë. Për shembull, sistemi trigonometrik është 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Fjalor Enciklopedik

Një sistem funksionesh ((фn(х)), n=1, 2, ..., i përcaktuar në intervalin [a, b] dhe që plotëson gjurmën, kushti i ortogonalitetit për k nuk është i barabartë me l, ku p(x ) është një funksion i caktuar , që quhet peshë Për shembull, sistemi trigonometrik 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Shkenca natyrore. Fjalor Enciklopedik

Shih Art. Sistemi ortogonal i funksioneve. Enciklopedi fizike. Në 5 vëllime. M.: Enciklopedia Sovjetike. Kryeredaktor A. M. Prokhorov. 1988... Enciklopedia fizike

1) O. s. vektorë është bashkësia e vektorëve jozero të hapësirës Euklidiane (Hilbert) me produktin skalar (. , .) të tillë që për (ortogonalitet) dhe (normalizueshmëri). M. I. Voitsekhovsky. 2) O. s. funksionet dhe sistemi i funksioneve të hapësirës... ... Enciklopedia Matematikore

Ndërtimi për sistemi i dhënë funksionet (fn(x)) që janë katrorë të integruar në funksionet e intervalit [a, b] të sistemit ortogonal (jn(x)) duke aplikuar një proces të caktuar ortogonalizimi ose duke zgjeruar funksionet fn(x). në një më të gjatë ... ... Enciklopedia Matematikore

sistemi i funksioneve (φ n(x)}, n= 1, 2,..., ortogonale me peshë ρ ( X) në segmentin [ A, b], pra e tillë që

Nëse çdo funksion φ ( X) nga O. s. f. është ajo x) me numër

Studimi sistematik i O. s. f. filloi në lidhje me metodën e Furierit për zgjidhjen e problemeve të vlerës kufitare të ekuacioneve të fizikës matematikore. Kjo metodë çon, për shembull, në gjetjen e zgjidhjeve për problemin Sturm-Liouville (Shih problemin Sturm-Liouville) për ekuacionin [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ në, duke plotësuar kushtet kufitare në(A) + hy"(a) = 0, y(b) + Hy"(b) = 0, ku h Dhe N- e përhershme. Këto vendime janë të ashtuquajturat. eigenfunksionet e problemit formojnë O.s. f. me peshë ρ ( X) në segmentin [ a, b].

Një klasë jashtëzakonisht e rëndësishme e O. s. f. - Polinome ortogonale- u zbulua nga P. L. Chebyshev në kërkimin e tij mbi interpolimin me metodën e katrorëve më të vegjël dhe problemin e momenteve. Në shekullin e 20-të hulumtim mbi O. s. f. kryhen kryesisht në bazë të teorisë integrale dhe masës Lebesgue. Kjo kontribuoi në ndarjen e këtyre studimeve në një degë të pavarur të matematikës. Një nga detyrat kryesore të teorisë së O. s. f - problem i zbërthimit të një funksioni f(x) në një seri të formës p ( X)) - O. s. f. Nëse e vendosim zyrtarisht p( X)) - normalizuar O. s. f., dhe lejojnë mundësinë e integrimit term pas termi, pastaj, duke shumëzuar këtë seri me φ n(X) ρ( X) dhe duke u integruar nga A te b, marrim:

Shanset S f, i quajtur koeficientët Furier të funksionit në lidhje me sistemin (φ n(x)), kanë vetinë ekstremale të mëposhtme: forma lineare x):

ka vlerën më të vogël në krahasim me gabimet e dhëna për të njëjtën n shprehje të tjera lineare të formës

Seria ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) me shanse S f, e llogaritur duke përdorur formulën (*), quhet seria Furier e funksionit f(x) sipas O. s të normalizuar. f. (φ n(x)). Për aplikacionet, çështja me rëndësi parësore është nëse funksioni është i përcaktuar në mënyrë unike f(x) me koeficientët e tyre Furier. O.S. f., për të cilat kjo ndodh, quhen të plota ose të mbyllura. Kushtet për O. s të mbyllura. f. mund të jepet në disa forma ekuivalente. 1) Çdo funksion i vazhdueshëm f(x) mund të përafrohet mesatarisht me çdo shkallë saktësie me kombinime lineare të funksioneve φ k(x), domethënë, C n φ n (x) konvergjon mesatarisht me funksionin f(x)]. 2) Për çdo funksion f(x), katrorin e të cilit e integrojmë në lidhje me peshën ρ( X), kushti i mbylljes Lyapunov-Steklov është i kënaqur:

3) Nuk ka asnjë funksion jozero me të integrueshëm në intervalin [ a, b] katrore ortogonal ndaj të gjithë funksioneve φ n(x), n = 1, 2,....

Nëse i konsiderojmë funksionet me një katror të integrueshëm si elementë të një hapësire Hilbert (Shih hapësirën Hilbert), atëherë O.S. i normalizuar. f. do të jenë sistemet e vektorëve të njësive koordinative të kësaj hapësire, dhe zgjerimi i serisë në O.s të normalizuar. f. - zgjerimi i vektorit në vektorë njësi. Me këtë qasje, shumë koncepte të teorisë së sistemeve operacionale të normalizuara. f. fitojnë një kuptim të qartë gjeometrik. Për shembull, formula (*) do të thotë që projeksioni i vektorit mbi vektorin njësi është i barabartë me produktin skalar të vektorit dhe njësisë njësi; barazia Lyapunov - Steklov mund të interpretohet si teorema e Pitagorës për një hapësirë padimensionale: katrori i gjatësisë së një vektori është i barabartë me shumën e katrorëve të projeksioneve të tij në boshtet koordinative; izolimi O. s. f. do të thotë se nënhapësira më e vogël e mbyllur që përmban të gjithë vektorët e këtij sistemi përkon me të gjithë hapësirën etj.

Lit.: Tolstov G.P., Seria Fourier, botimi i dytë, M., 1960; Natanson I.P., Teoria konstruktive e funksioneve, M. - L., 1949; nga ai, Teoria e funksioneve të një ndryshoreje reale, botimi i dytë, M., 1957; Jackson D., Seritë Fourier dhe polinomet ortogonale, përkth. nga anglishtja, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teoria e serive ortogonale, përkth. nga gjermanishtja, M., 1958.

- një grup prej të gjithëve transformimet lineare hapësira vektoriale n-dimensionale V mbi fushën k, duke ruajtur një fikse jo të degjeneruar formë kuadratike Q në V)=Q për çdo)...
Enciklopedia Matematikore
- një matricë mbi një unazë komutative R me njësinë 1, për të cilën matrica e transpozuar përkon me inversin. Përcaktorja e O. m është e barabartë me +1...
Enciklopedia Matematikore
- një rrjet në të cilin tangjentet në një pikë të caktuar ndaj vijave të familjeve të ndryshme janë ortogonale. Shembuj të sistemeve operative: rrjeti asimptotik në një sipërfaqe minimale, rrjeti i lakimit të linjës. A.V. Ivanov...
Enciklopedia Matematikore
- 1) Oh ....
Enciklopedia Matematikore
- një grup ortogonal, OA - një matricë me madhësi kx N, elementët e së cilës janë numrat 1, 2, .....
Enciklopedia Matematikore
- shih Trajektoren Izogonale...
Enciklopedia Matematikore
- një sistem ortonormal funksionesh (j) të një hapësire të caktuar Hilbert H, i tillë që në H nuk ekziston një funksion ortogonal për të gjitha funksionet e një familjeje të caktuar...
Enciklopedia Matematikore
- shiko Projeksioni...
Fjalori i madh enciklopedik politeknik
- përcaktimi i vartësisë së funksioneve të objekteve të ndryshme...
Fjalor i termave të biznesit
- forcimi i funksioneve, një nga Ch. mënyrat e transformimit progresiv të organeve gjatë evolucionit të kafshëve. I.f. zakonisht shoqërohet me ndërlikimin e strukturës së organeve dhe të trupit në tërësi...
Biologjike fjalor enciklopedik
- forcimi i funksioneve, një nga mënyrat kryesore të transformimit progresiv të organeve gjatë evolucionit të kafshëve. I.f. shoqërohet me një ndërlikim të strukturës së organeve dhe çon në një rritje të përgjithshme të nivelit të aktivitetit jetësor...
- porosit matricën...
Enciklopedia e Madhe Sovjetike
- rast i veçantë projeksion paralel, kur boshti ose rrafshi i projeksioneve është pingul me drejtimin e projeksionit...
Enciklopedia e Madhe Sovjetike
- një sistem funksionesh (), n = 1, 2,..., ortogonal me peshë ρ në segment, d.m.th., i tillë që Shembuj. Sistemi trigonometrik 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. me peshë 1 në segmentin...
Enciklopedia e Madhe Sovjetike
- një sistem i tillë funksionesh Ф = (φ), i përcaktuar në një interval, që nuk ka funksion f për të cilin,...
Enciklopedia e Madhe Sovjetike
- Sistemi ORTOGONAL I FUNKSIONET - sistemi i funksioneve??n?, n=1, 2,.....
Fjalor i madh enciklopedik

"Sistemi ortogonal i funksioneve" në libra

Paragrafi XXIV Sistemi i vjetër i luftës së llogoreve dhe sistemi modern i marshimeve

Nga libri Strategjia dhe Taktikat në Artin e Luftës autor Zhomini Genrikh Veniaminoviç

Paragrafi XXIV Sistemi i vjetër i luftës së llogoreve dhe sistem modern marshime Sistemi i pozicioneve i referohet mënyrës së vjetër të drejtimit luftë metodike me ushtritë që flinin në tenda, me furnizime në dorë, të angazhuara për të vëzhguar njëri-tjetrin; një ushtri

19. Koncepti i "sistemit tatimor të Federatës Ruse". Marrëdhënia midis koncepteve "sistemi tatimor" dhe "sistemi tatimor"

Nga libri Ligji Tatimor autori Mikidze S G

19. Koncepti i "sistemit tatimor të Federatës Ruse". Marrëdhënia midis koncepteve të "sistemi tatimor" dhe "sistemi tatimor" Sistemi tatimor është një grup taksash federale, taksave rajonale dhe lokale të vendosura në Federatën Ruse. Struktura e saj është e përfshirë në Art. 13–15 Kodi Tatimor i Federatës Ruse në përputhje me

Nga libri Si ndodhi me të vërtetë. Rindërtimi histori e vërtetë autor Nosovsky Gleb Vladimirovich

23. Sistemi gjeocentrik Ptolemeu dhe sistemi heliocentrik Tycho Brahe (dhe Kopernicus) Sistemi i botës sipas Tycho Brahe është paraqitur në Fig. 90. Në qendër të botës është Toka, rreth së cilës rrotullohet Dielli. Megjithatë, të gjithë planetët e tjerë tashmë po rrotullohen rreth Diellit. Pikërisht

23. Sistemi gjeocentrik i Ptolemeut dhe sistemi heliocentrik i Tycho Brahe (dhe Koperniku)

Nga libri i autorit

23. Sistemi gjeocentrik i Ptolemeut dhe sistemi heliocentrik i Tycho Brahe (dhe Kopernicus) Sistemi i botës sipas Tycho Brahe është paraqitur në Fig. 90. Në qendër të botës është Toka, rreth së cilës rrotullohet Dielli. Megjithatë, të gjithë planetët e tjerë tashmë po rrotullohen rreth Diellit. Pikërisht

Sistemi i plotë i funksioneve

Nga libri Big Enciklopedia Sovjetike(software) të autorit TSB

Matrica ortogonale

TSB

Projeksion drejtshkrimor

Nga libri Enciklopedia e Madhe Sovjetike (OR) nga autori TSB

Sistemi i funksionit ortogonal

Nga libri Enciklopedia e Madhe Sovjetike (OR) nga autori TSB

Këshillë 46: Kaloni objektet e funksionit tek algoritmet në vend të funksioneve

Nga libri Përdorimi efektiv STL nga Meyers Scott

Këshilla 46: Kaloni objektet e funksionit në algoritme në vend të funksioneve Shpesh thuhet se rritja e nivelit të abstraksionit të gjuhëve nivel të lartëçon në një ulje të efikasitetit të kodit të gjeneruar. Alexander Stepanov, shpikësi i STL, dikur zhvilloi një kompleks të vogël

12.3.5. Përshtatësit e funksionit për objektet funksionale

Nga libri C++ për fillestarët nga Lippman Stanley

12.3.5. Përshtatësit e funksionit për objektet funksionale Biblioteka standarde përmban gjithashtu një numër adaptuesish funksioni për specializimin dhe zgjerimin e objekteve të funksioneve unare dhe binar. Përshtatësit janë klasa speciale të ndara në dy të mëposhtmet

19/11/2. Thirrja e funksioneve nga një skedar funksioni

Nga libri Linux dhe UNIX: programimi i guaskës. Udhëzuesi i Zhvilluesit. nga Tainsley David

19/11/2. Thirrja e funksioneve nga një skedar funksioni Ne kemi parë tashmë se si thirren funksionet nga linja e komandës. Këto lloj funksionesh zakonisht përdoren nga shërbimet që krijojnë mesazhe të sistemit Tani le të përdorim përsëri funksionin e përshkruar më sipër, por në këtë rast

Sistemi i së drejtës objektive (pozitive) dhe sistemi i legjislacionit: raporti i koncepteve

Nga libri Jurisprudencë autori Mardaliev R.T.

Sistemi i së drejtës objektive (pozitive) dhe sistemi i legjislacionit: raporti i koncepteve Sistemi i së drejtës objektive (pozitive) është strukturën e brendshme ligjit, duke e ndarë në degë, nënsektorë dhe institucione në përputhje me lëndën dhe metodën juridike

31. Sistemi i qeverisë franceze, e drejta e votës dhe sistemi zgjedhor

Nga libri E drejta kushtetuese shtetet e huaja autori Imasheva E G

31. Sistemi agjencive qeveritare Franca, e drejta e votës dhe sistemi zgjedhor Franca ka një qeveri republikane të përzier (ose gjysmë-presidenciale). Sistemi i qeverisjes në Francë është ndërtuar mbi parimin e ndarjes së pushteteve Franca moderne

Lëvizjet terapeutike për të rivendosur funksionet motorike dhe për dhimbjen e shpinës Rivendosja e funksioneve motorike

Nga libri Enciklopedia e Lëvizjeve Terapeutike për sëmundje të ndryshme autor Astashenko Oleg Igorevich

Lëvizje terapeutike për të rivendosur funksionet motorike dhe për dhimbjen e shpinës Rivendosja e funksioneve motorike Ka shumë ushtrime për të rivendosur shtyllën kurrizore. Ju ose mund t'i gjeni vetë, ose t'i gjeni më së shumti lloje të ndryshme gjimnastikë Megjithatë, e thjeshtë

Lëvizje terapeutike për të rivendosur funksionet motorike dhe për funksionet motorike të dhimbjes së shpinës

Nga libri Remont për shtyllën kurrizore autor Astashenko Oleg Igorevich

Lëvizjet terapeutike për të rivendosur funksionet motorike dhe funksionet motorike për dhimbjen e shpinës Rivendosja e funksioneve motorike Ka shumë ushtrime për të rivendosur shtyllën kurrizore. Ju ose mund t'i gjeni vetë, ose t'i gjeni në lloje të ndryshme të gjimnastikës.

Përkufizimi 1. ) quhet ortogonal nëse të gjithë elementët e tij janë ortogonalë në çift:

Teorema 1. Një sistem ortogonal i vektorëve jozero është linearisht i pavarur.

(Supozoni se sistemi është i varur në mënyrë lineare: dhe, për të qenë të sigurt, Le të shumëzojmë në mënyrë shkallëzore barazinë me . Duke marrë parasysh ortogonalitetin e sistemit, marrim: }

Përkufizimi 2. Sistemi i vektorëve të hapësirës Euklidiane ( ) quhet ortonormal nëse është ortogonal dhe norma e çdo elementi është e barabartë me një.

Nga teorema 1 rrjedh menjëherë se një sistem ortonormal elementësh është gjithmonë i pavarur në mënyrë lineare. Nga këtu rrjedh, nga ana tjetër, se në n– në një hapësirë Euklidiane dimensionale një sistem ortonormal të n vektorët formojnë një bazë (për shembull, i, j, k ) në 3 X– hapësirë dimensionale) Një sistem i tillë quhet baza ortonorale, dhe vektorët e tij janë vektorët bazë.

Koordinatat e një vektori në një bazë ortonormale mund të llogariten lehtësisht duke përdorur produktin skalar: nëse Në të vërtetë, duke shumëzuar barazinë në , marrim formulën e treguar.

Në përgjithësi, të gjitha madhësitë bazë: produkti skalar i vektorëve, gjatësia e një vektori, kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve, etj. kanë formën më të thjeshtë në bazë ortonormale. Le të shqyrtojmë produktin skalar: , pasi

Dhe të gjithë termat e tjerë janë të barabartë me zero. Nga këtu marrim menjëherë: ,

* Konsideroni një bazë arbitrare. Produkt me pika në këtë bazë do të jetë e barabartë me:

(Këtu αi Dhe β j – koordinatat e vektorëve në bazë ( f), dhe janë produkte skalare të vektorëve bazë).

Sasitë γ ij formojnë një matricë G, thirri Matrica gram. Produkti me pika në forma matrice do të duket si: *

Teorema 2. Në çdo n– në hapësirën Euklidiane dimensionale ekziston një bazë ortonormale. Vërtetimi i teoremës ka natyrë konstruktive dhe quhet

9. Procesi i ortogonalizimit Gram-Schmidt.

le ( a 1,...,a n ) − bazë arbitrare n– hapësira Euklidiane dimensionale (ekzistenca e një baze të tillë është për shkak të n– dimensioni i hapësirës). Algoritmi për ndërtimin e një ortonormale bazuar në një bazë të caktuar është si më poshtë:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, sepse (e 1, a 2)- projeksioni a 2 në e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2, b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2, e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1, b k = a k - S i=1 k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Duke vazhduar procesin, marrim një bazë ortonorale ( e 1 ,...,e n }.

Shënim 1. Duke përdorur algoritmin e konsideruar, është e mundur të ndërtohet një bazë ortonorale e cilësdo guaskë lineare, për shembull, një bazë ortonorale e guaskës lineare të një sistemi që ka renditje të barabartë me tre dhe përbëhet nga vektorë pesë-dimensionale.

Shembull.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Shënim 2. Raste të veçanta

Procesi Gram-Schmidt mund të zbatohet gjithashtu në një sekuencë të pafundme në mënyrë lineare vektorë të pavarur.

Për më tepër, procesi Gram-Schmidt mund të zbatohet në mënyrë lineare vektorë të varur. Në këtë rast çështja 0 (vektor zero) në hap j , Nëse a j është një kombinim linear i vektorëve a 1 ,...,a j -1 . Nëse kjo mund të ndodhë, atëherë për të ruajtur ortogonalitetin e vektorëve të daljes dhe për të parandaluar ndarjen me zero gjatë ortonormalizimit, algoritmi duhet të kontrollojë për zero vektorë dhe hidhini ato. Numri i vektorëve të prodhuar nga algoritmi do të jetë i barabartë me dimensionin e nënhapësirës së krijuar nga vektorët (d.m.th., numri i vektorëve linearisht të pavarur që mund të dallohen midis vektorëve origjinalë).

10. Gjeometrike hapësira vektoriale R1, R2, R3.

Theksojmë se vetëm hapësirat kanë kuptim të drejtpërdrejtë gjeometrik

R1, R2, R3. Hapësira R n për n > 3 është një objekt abstrakt thjesht matematikor.

1) Le të jepet një sistem me dy vektorë a Dhe b . Nëse sistemi është i varur në mënyrë lineare, atëherë le të themi një nga vektorët a , shprehet në mënyrë lineare përmes një tjetri:

a= k b.

Dy vektorë të lidhur nga një varësi e tillë, siç u përmend tashmë, quhen kolinearë. Pra, një sistem me dy vektorë varet linearisht nëse dhe vetëm

kur këta vektorë janë kolinearë. Vini re se ky përfundim vlen jo vetëm për R3, por edhe për çdo hapësirë lineare.

2) Lëreni që sistemi në R3 të përbëhet nga tre vektorë a, b, c . Varësia lineare do të thotë se një nga vektorët, të themi a , shprehet në mënyrë lineare përmes pjesës tjetër:

A= k b+ l c . (*)

Përkufizimi. Tre vektorë a, b, c në R 3 që shtrihen në të njëjtin rrafsh ose paralel me të njëjtin rrafsh quhen koplanare

(në figurën në të majtë tregohen vektorët a, b, c nga një rrafsh, dhe nga e djathta vizatohen të njëjtat vektorë fillime të ndryshme dhe janë vetëm paralel me një rrafsh).

Pra, nëse tre vektorë në R3 janë të varur linearisht, atëherë ata janë koplanarë. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse vektorët a, b, c nga R3 janë koplanare, atëherë janë të varura në mënyrë lineare.

Vepra arti vektoriale vektor a, te vektori b në hapësirë quhet vektor c , duke plotësuar kërkesat e mëposhtme:

Përcaktimi:

Konsideroni një treshe të renditur të vektorëve jokoplanarë a, b, c V hapësirë tredimensionale. Le të kombinojmë origjinën e këtyre vektorëve në pikë A(d.m.th., ne zgjedhim një pikë në mënyrë arbitrare në hapësirë A dhe lëvizni çdo vektor paralelisht në mënyrë që origjina e tij të përputhet me pikën A). Skajet e vektorëve të kombinuara me fillimet e tyre në një pikë A, mos shtrihuni në të njëjtën vijë, pasi vektorët janë jokoplanarë.

Treshe e renditur e vektorëve joplanarë a, b, c në hapësirën tredimensionale quhet drejtë, nëse nga fundi i vektorit c kthesa më e shkurtër nga një vektor a te vektori b të dukshme për vëzhguesin në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Në të kundërt, nëse rrotullimi më i shkurtër shihet në drejtim të akrepave të orës, atëherë thirret trefishi majtas.

Një përkufizim tjetër lidhet me dora e djathtë person (shih foton), nga vjen emri.

Të gjitha trefishat e vektorëve djathtas (dhe majtas) quhen të orientuar në mënyrë identike.