Drejtimi linja elektrike(vijat e tensionit) në çdo pikë përkon me drejtimin. Nga kjo rrjedh se tensioni është i barabartë me diferencën potenciale U për njësi gjatësi të linjës së energjisë .

Është përgjatë vijës së fushës që ndodh ndryshimi maksimal në potencial. Prandaj, gjithmonë mund të përcaktoni midis dy pikave duke matur U mes tyre, dhe sa më afër të jenë pikat, aq më të sakta. Në një fushë elektrike uniforme, linjat e forcës janë të drejta. Prandaj, është më e lehtë të përcaktohet këtu:

Imazhi grafik linjat e energjisë dhe sipërfaqet ekuipotenciale janë paraqitur në figurën 3.4.

Kur lëviz përgjatë kësaj sipërfaqeje nga d l potenciali nuk do të ndryshojë:

Nga kjo rrjedh se projeksioni i vektorit më d l e barabartë me zero , pra Prandaj, në çdo pikë ai drejtohet përgjatë normales në sipërfaqen ekuipotenciale.

Mund të vizatoni sa më shumë sipërfaqe ekuipotenciale që dëshironi. Nga dendësia e sipërfaqeve ekuipotenciale mund të gjykohet vlera , kjo do të sigurohet që diferenca potenciale ndërmjet dy sipërfaqeve ekuipotenciale ngjitur të jetë e barabartë me një vlerë konstante.

Formula shpreh marrëdhënien midis potencialit dhe tensionit dhe lejon vlerat e njohuraφ gjeni forcën e fushës në çdo pikë. Ju gjithashtu mund të zgjidhni problem i anasjelltë, d.m.th. duke përdorur vlerat e njohura në çdo pikë të fushës, gjeni ndryshimin e mundshëm midis dy pika arbitrare fusha. Për ta bërë këtë, ne përfitojmë nga fakti se puna e bërë nga terreni detyron ngarkesën q kur e zhvendosni atë nga pika 1 në pikën 2, mund të llogaritet si:

Nga ana tjetër, puna mund të përfaqësohet si:

, Pastaj

Integrali mund të merret përgjatë çdo linje që lidh pikën 1 dhe pikën 2, sepse puna e forcave të fushës nuk varet nga rruga. Për të kapërcyer një lak të mbyllur, marrim:

ato. Arritëm në teoremën e njohur për qarkullimin e vektorit të tensionit: qarkullimi i vektorit të tensionit fushë elektrostatike përgjatë çdo konture të mbyllur është zero.

Një fushë që ka këtë veti quhet potencial.

Nga zhdukja e qarkullimit të vektorit, rrjedh se linjat e fushës elektrostatike nuk mund të mbyllen: ato fillojnë me ngarkesa pozitive (burime) dhe përfundojnë në ngarkesa negative (mbytet) ose shkojnë në pafundësi.(Fig. 3.4).

Kjo lidhje është e vërtetë vetëm për fushën elektrostatike. Më pas, do të zbulojmë se fusha e lëvizjes së ngarkesave nuk është potenciale dhe për të kjo marrëdhënie nuk qëndron.

Marrëdhënia midis tensionit dhe potencialit.

Për fushë potenciale, ndërmjet forcës potenciale (konservatore) dhe energji potenciale ka një lidhje

ku ("nabla") është operatori Hamiltonian.

Sepse Se

Shenja minus tregon se vektori E është i drejtuar drejt zvogëlimit të potencialit.

Për imazh grafik përdoren shpërndarjet e mundshme sipërfaqet ekuipotenciale- sipërfaqet në të gjitha pikat e të cilave potenciali ka të njëjtën vlerë.

Sipërfaqet ekuipotenciale zakonisht vizatohen në mënyrë që diferencat potenciale midis dy sipërfaqeve të baraspotencialeve ngjitur të jenë të njëjta. Atëherë dendësia e sipërfaqeve ekuipotenciale karakterizon qartë forcën e fushës në pika të ndryshme. Aty ku këto sipërfaqe janë më të dendura, forca e fushës është më e madhe. Në figurë, vija me pika tregon linjat e forcës, vijat e ngurta tregojnë seksionet e sipërfaqeve ekuipotenciale për: pozitive tarifë pikë(a), dipol (b), dy ngarkesa me të njëjtin emër (c), përcjellës metalik i ngarkuar me konfigurim kompleks (d).

Për një pikë ngarkoni potencialin prandaj sipërfaqet ekuipotenciale janë sfera koncentrike. Nga ana tjetër, linjat e tensionit janë linja të drejta radiale. Rrjedhimisht, linjat e tensionit janë pingul me sipërfaqet ekuipotenciale.

Mund të tregohet se në të gjitha rastet vektori E është pingul me sipërfaqet ekuipotenciale dhe gjithmonë është i drejtuar në drejtim të potencialit në rënie.

Shembuj të llogaritjeve të fushave elektrostatike simetrike më të rëndësishme në vakum.

1. Fusha elektrostatike e një dipoli elektrik në vakum.

Dipol elektrik(ose pol elektrik i dyfishtë) është një sistem prej dy ngarkesash pikash të kundërta të barabarta në madhësi (+q,-q), distanca l ndërmjet të cilave është dukshëm më e vogël se distanca me pikat e fushës në shqyrtim (l<< r).

Krahu i dipolit l është një vektor i drejtuar përgjatë boshtit të dipolit nga ngarkesë negative pozitive dhe e barabartë me distancën ndërmjet tyre.

Momenti elektrik i dipolit re është një vektor që përkon në drejtim me krahun e dipolit dhe i barabartë me produktin e modulit të ngarkesës |q| mbi supe I:

Le të jetë r distanca në pikën A nga mesi i boshtit të dipolit. Pastaj, duke pasur parasysh atë

2) Forca e fushës në pikën B në pingul e rivendosur në boshtin e dipolit nga qendra e tij në

Pika B është e barabartë nga ngarkesat +q dhe -q të dipolit, kështu që potenciali i fushës në pikën B është zero. Vektori Ёв është i drejtuar përballë vektorit l.

3) Në një fushë elektrike të jashtme, një palë forcash veprojnë në skajet e dipolit, e cila tenton të rrotullojë dipolin në atë mënyrë që momenti elektrik re i dipolit të kthehet përgjatë drejtimit të fushës E (Fig. a)).

Në një fushë uniforme të jashtme, momenti i një çifti forcash është i barabartë me M = qElsin a ose Në një fushë të jashtme johomogjene (Fig. (c)), forcat që veprojnë në skajet e dipolit nuk janë identike dhe rezultanti i tyre tenton të lëvizë dipolin në një rajon fushe me intensitet më të lartë - dipoli tërhiqet në një rajon të një fushe më të fortë.

2. Fusha e një rrafshi të pafund të ngarkuar në mënyrë uniforme.

Një plan i pafundëm është i ngarkuar me një konstante dendësia e sipërfaqes Linjat e tensionit janë pingul me rrafshin në shqyrtim dhe drejtohen prej tij në të dy drejtimet.

Si sipërfaqe Gaussian, marrim sipërfaqen e një cilindri, gjeneratorët e të cilit janë pingul me rrafshin e ngarkuar, dhe bazat janë paralele me rrafshin e ngarkuar dhe shtrihen në anët e kundërta të tij në distanca të barabarta.

Meqenëse gjeneratorët e cilindrit janë paralelë me linjat e tensionit, fluksi i vektorit të tensionit përmes sipërfaqes anësore të cilindrit është zero, dhe fluksi i përgjithshëm përmes cilindrit është i barabartë me shumën e flukseve nëpër bazat e tij 2ES. Ngarkesa që gjendet brenda cilindrit është e barabartë me . Nga teorema e Gausit ku:

E nuk varet nga gjatësia e cilindrit, d.m.th. Forca e fushës në çdo distancë është e njëjtë në madhësi. Një fushë e tillë quhet homogjene.

Diferenca potenciale midis pikave që shtrihen në distancat x1 dhe x2 nga rrafshi është e barabartë me

3. Fusha e dy rrafsheve të pafundme paralele të ngarkuar në mënyrë të kundërt me densitet të ngarkesës sipërfaqësore me vlerë absolute të barabartë σ>0 dhe - σ.

Nga shembulli i mëparshëm rezulton se vektorët e tensionit E 1 dhe E 2 të planit të parë dhe të dytë janë të barabartë në madhësi dhe kudo janë të drejtuar pingul me rrafshet. Prandaj, në hapësirën jashtë planeve ato kompensojnë njëra-tjetrën, dhe në hapësirën midis planeve tensionin total . Prandaj, midis avionëve

(në dielektrikë.).

Fusha midis avionëve është uniforme. Dallimi i mundshëm midis avionëve.
(në dielektrikë ).

4.Fusha e një sipërfaqeje sferike të ngarkuar në mënyrë uniforme.

Sipërfaqja sferike rrezja R me ngarkesë totale q ngarkuar në mënyrë të njëtrajtshme me dendësinë e sipërfaqes

Meqenëse sistemi i ngarkesave dhe, rrjedhimisht, vetë fusha është qendrore simetrike në lidhje me qendrën e sferës, linjat e tensionit drejtohen në mënyrë radiale.

Si sipërfaqe Gaussian zgjedhim një sferë me rreze r që ka qendër e përbashkët me një sferë të ngarkuar. Nëse r>R, atëherë e gjithë ngarkesa q futet brenda sipërfaqes. Nga teorema e Gausit, prej nga

Në r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Dallimi i mundshëm midis dy pikave që shtrihen në distancat r 1 dhe r 2 nga qendra e sferës

(r1 >R,r2 >R), është e barabartë me

Jashtë sferës së ngarkuar, fusha është e njëjtë me fushën e një ngarkese pika q ndodhet në qendër të sferës. Nuk ka fushë brenda sferës së ngarkuar, kështu që potenciali është i njëjtë kudo dhe i njëjtë si në sipërfaqe

Le të gjejmë marrëdhënien midis forcës së fushës elektrostatike, e cila është e saj karakteristikë e fuqisë, dhe potencial - karakteristikat e energjisë fusha. Punë lëvizëse beqare vend ngarkesë pozitive nga një pikë e fushës në tjetrën përgjatë boshtit X me kusht që pikat të jenë të vendosura pafundësisht afër njëra-tjetrës dhe x 1 – x 2 = dx , e barabartë me E x dx . E njëjta punë është e barabartë me j 1 -j 2 = dj . Duke barazuar të dyja shprehjet, mund të shkruajmë

ku simboli i derivatit të pjesshëm thekson se diferencimi kryhet vetëm në lidhje me X. Përsëritja e arsyetimit të ngjashëm për boshtet y dhe z , ne mund të gjejmë vektorin E:

ku i, j, k janë vektorë njësi boshtet e koordinatave x, y, z.

Nga përkufizimi i gradientit (12.4) dhe (12.6). rrjedh se

dmth forca e fushës E është e barabartë me gradientin potencial me shenjën minus. Shenja minus përcaktohet nga fakti se vektori i forcës së fushës E drejtohet drejt anën në rënie potencial.

Për të përshkruar grafikisht shpërndarjen e potencialit të një fushe elektrostatike, si në rastin e fushës gravitacionale (shih § 25), përdoren sipërfaqet ekuipotenciale - sipërfaqe në të gjitha pikat e të cilave potenciali ka të njëjtën vlerë.

Nëse fusha krijohet nga një ngarkesë pikë, atëherë potenciali i saj, sipas (84.5),

Kështu, sipërfaqet ekuipotenciale në në këtë rast- sferat koncentrike. Nga ana tjetër, linjat e tensionit në rastin e një ngarkese pika janë vija të drejta radiale. Rrjedhimisht, linjat e tensionit në rastin e një ngarkese pikë pingul sipërfaqet ekuipotenciale.

Linjat e tensionit gjithmonë normale në sipërfaqet ekuipotenciale. Në të vërtetë, të gjitha pikat e sipërfaqes ekuipotenciale kanë të njëjtin potencial, kështu që puna e bërë për të lëvizur një ngarkesë përgjatë kësaj sipërfaqeje është zero, d.m.th., forcat elektrostatike që veprojnë në ngarkesë janë Gjithmonë drejtuar përgjatë normaleve në sipërfaqet ekuipotenciale. Prandaj, vektori E gjithmonë normale me sipërfaqet ekuipotenciale, prandaj vijat e vektorit E janë ortogonale me këto sipërfaqe.

Një numër i pafund sipërfaqesh ekuipotenciale mund të vizatohen rreth çdo ngarkese dhe çdo sistemi ngarkesash. Sidoqoftë, ato zakonisht kryhen në mënyrë që ndryshimet e mundshme midis çdo dy sipërfaqesh ekuipotenciale ngjitur të jenë të njëjta. Pastaj dendësia e sipërfaqeve ekuipotenciale karakterizon qartë forcën e fushës në pika të ndryshme. Aty ku këto sipërfaqe janë më të dendura, forca e fushës është më e madhe.

Pra, duke ditur vendndodhjen e linjave të fuqisë së fushës elektrostatike, është e mundur të ndërtohen sipërfaqe ekuipotenciale dhe, anasjelltas, nga vendndodhja e njohur e sipërfaqeve ekuipotenciale, madhësia dhe drejtimi i forcës së fushës mund të përcaktohet në çdo pikë të fushës. Në Fig. 133 tregon, si shembull, formën e linjave të tensionit (vijat e ndërprera) dhe sipërfaqet ekuipotenciale (vijat e ngurta) të fushave të një ngarkese me pikë pozitive (a) dhe një cilindri metalik të ngarkuar që ka një zgjatje në një skaj dhe një depresion në tjetër (b).

Sipërfaqet ekuipotenciale dhe linjat e forcës së fushës elektrostatike.

Do të doja të isha në gjendje të përfytyroja fushën elektrostatike. Fusha e potencialit skalar mund të përfaqësohet gjeometrikisht si një grup sipërfaqet ekuipotenciale ( në rastin e sheshtë - vija), ose sipërfaqe të nivelit, siç i quajnë matematikanët:

Për secilën sipërfaqe të tillë vlen kushti (sipas përkufizimit!):

(*)

Le ta paraqesim këtë kusht në një shënim ekuivalent:

Këtu i përket sipërfaqes në shqyrtim, vektori pingul me elementin sipërfaqësor ( produkt me pika vektorët jozero janë të barabartë me zero pikërisht në këtë kusht). Ne kemi mundësinë të përcaktojmë vektor njësi normale me elementin sipërfaqësor në fjalë:

Nëse i kthehemi fizikës, arrijmë në përfundimin se vektori i fuqisë së fushës elektrostatike është pingul me sipërfaqen ekuipotenciale të kësaj fushe!

Përmbajtja matematikore koncepti i "gradientit" fushë skalare" :

Drejtimi i vektorit është drejtimi në të cilin funksioni rritet më shpejt;

Ky është rritja e një funksioni për njësi gjatësi përgjatë drejtimit të rritjes maksimale.

Si të ndërtohet një sipërfaqe ekuipotenciale?

Lëreni sipërfaqen ekuipotenciale të dhënë nga ekuacioni (*) të kalojë nëpër një pikë në hapësirë ​​me koordinata ( x, y, z). Le të vendosim zhvendosje të vogla arbitrare të dy koordinatave, për shembull x=>x+dx Dhe y=>y+dy. Nga ekuacioni (*) përcaktojmë zhvendosjen e kërkuar dz, e tillë që pika fundore mbeti në sipërfaqen ekuipotenciale në shqyrtim. Në këtë mënyrë ju mund të "arritni" në pikën e dëshiruar në sipërfaqe.

linja elektrike fushë vektoriale .

Përkufizimi. Tangjentja në vijën e fushës përkon në drejtim me vektorin që përcakton fushën vektoriale në shqyrtim.

Një vektor dhe një vektor janë të njëjtë në drejtim (d.m.th. paralel me njëri-tjetrin) nëse

NË forma koordinative kemi hyrje:

Është e lehtë të shihet se marrëdhëniet e mëposhtme janë të vlefshme:

I njëjti rezultat mund të arrihet nëse shkruajmë kushtin për paralelizmin e dy vektorëve duke përdorur të tyren produkt vektorial:

Pra, ne kemi një fushë vektoriale. Merrni parasysh vektorin elementar si një element i vijës së forcës së një fushe vektoriale.

Në përputhje me përkufizimin e linjës së energjisë, duhet të plotësohen marrëdhëniet e mëposhtme:

(**)

Ja si duken ekuacionet diferenciale linja elektrike. Merrni zgjidhje analitike Ky sistem ekuacionesh është i suksesshëm në raste shumë të rralla (fusha e ngarkesës në pikë, fushë konstante, etj.). Por nuk është e vështirë të ndërtosh grafikisht një familje linjash forcash.

Lëreni vijën e fushës të kalojë nëpër pikën me koordinata ( x, y, z). Ne i dimë vlerat e projeksioneve të vektorit të tensionit në drejtimet e koordinatave në këtë pikë. Le të zgjedhim një përzierje arbitrare të vogël, për shembull, x=>x+dx. Duke përdorur ekuacionet (**) përcaktojmë zhvendosjet e kërkuara dy Dhe dz. Pra, ne u zhvendos në pikën fqinje të linjës së forcës Procesi i ndërtimit mund të vazhdojë.

NB! (Shënim Bene!). Linja e energjisë nuk përcakton plotësisht vektorin e tensionit. Nëse një drejtim pozitiv specifikohet në linjën e energjisë, vektori i tensionit mund të drejtohet pozitiv ose negativ. anën negative(por përgjatë vijës!). Linja e fushës nuk përcakton modulin vektorial (d.m.th., madhësinë e tij) të fushës vektoriale në shqyrtim.

Vetitë e objekteve gjeometrike të futura:

Një paraqitje grafike e fushave mund të bëhet jo vetëm me linja tensioni, por edhe me ndihmën e dallimeve të mundshme. Nëse kombinojmë pika me potenciale të barabarta në një fushë elektrike, marrim sipërfaqe me potencial të barabartë ose, siç quhen gjithashtu, sipërfaqe ekuipotenciale. Në kryqëzimin me rrafshin e vizatimit, sipërfaqet ekuipotenciale japin linjat ekuipotenciale. Vizatimi i vijave ekuipotenciale që i përgjigjen kuptime të ndryshme potencial, marrim një pamje vizuale që pasqyron se si ndryshon potenciali i një fushe të caktuar. Lëvizja përgjatë sipërfaqes ekuipotenciale të një ngarkese nuk kërkon punë, pasi të gjitha pikat e fushës përgjatë një sipërfaqe të tillë kanë potencial të barabartë dhe forca që vepron në ngarkesë është gjithmonë pingul me lëvizjen.

Rrjedhimisht, linjat e tensionit janë gjithmonë pingul me sipërfaqet me potenciale të barabarta.

Pamja më e qartë e fushës do të paraqitet nëse përshkruajmë linja ekuipotenciale me ndryshime të barabarta potenciale, për shembull, 10 V, 20 V, 30 V, etj. Në këtë rast, shkalla e ndryshimit të potencialit do të jetë në përpjesëtim të zhdrejtë me distancën midis linjave ekuipotenciale ngjitur. Kjo do të thotë, dendësia e linjave ekuipotenciale është proporcionale me forcën e fushës (sa më e lartë të jetë forca e fushës, aq më afër tërhiqen linjat). Duke ditur linjat ekuipotenciale, është e mundur të ndërtohen linjat e intensitetit të fushës në shqyrtim dhe anasjelltas.

Rrjedhimisht, imazhet e fushave që përdorin linja ekuipotenciale dhe linja tensioni janë ekuivalente.

Numërimi i vijave ekuipotenciale në vizatim

Shumë shpesh, linjat ekuipotenciale në vizatim janë të numëruara. Për të treguar ndryshimin potencial në vizatim, një vijë arbitrare caktohet me numrin 0, pranë të gjitha linjave të tjera vendosen numrat 1,2,3, etj. Këta numra tregojnë ndryshimin potencial në volt midis linjës së zgjedhur ekuipotenciale dhe linjës që u zgjodh si zero. Në të njëjtën kohë, vërejmë se zgjedhja e vijës zero nuk është e rëndësishme, pasi kuptimi fizik ka vetëm diferencën potenciale për dy sipërfaqet, dhe kjo nuk varet nga zgjedhja e zeros.

Fusha e pikës së ngarkesës me ngarkesë pozitive

Le të shqyrtojmë si shembull fushën e një ngarkese pika, e cila ka një ngarkesë pozitive. Vijat e fushës së një ngarkese pika janë vija të drejta radiale, prandaj, sipërfaqet ekuipotenciale janë një sistem sferash koncentrike. Vijat e fushës janë pingul me sipërfaqet e sferave në secilën pikë të fushës. Rrathët koncentrikë shërbejnë si vija ekuipotenciale. Për një ngarkesë pozitive, Figura 1 paraqet linjat ekuipotenciale. Për një ngarkesë negative, Figura 2 paraqet linjat ekuipotenciale.

Kjo është e qartë nga formula që përcakton potencialin e fushës së një ngarkese pika kur potenciali normalizohet në pafundësi ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\djathtas).\]

Sistemi plane paralele, të cilat janë ndezur distanca të barabarta nga njëra-tjetra, janë sipërfaqe ekuipotenciale të një fushe elektrike uniforme.

Shembulli 1

Detyra: Potenciali në terren, sistemi i gjeneruar tarifat kanë formën:

\[\varphi =a\majtas(x^2+y^2\djathtas)+bz^2,\]

ku $a,b$ janë konstante më i madh se zero. Çfarë forme kanë sipërfaqet ekuipotenciale?

Sipërfaqet ekuipotenciale, siç e dimë, janë sipërfaqe në të cilat potencialet janë të barabarta në çdo pikë. Duke ditur sa më sipër, le të studiojmë ekuacionin që propozohet në kushtet e problemit. Ndani anën e djathtë dhe të majtë të ekuacionit $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ me $\varphi $, marrim:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\djathtas).\]

Le të shkruajmë ekuacionin (1.1) në formë kanonike:

\[\frac(x^2)((\majtas(\sqrt(\frac(\varphi)(a))\djathtas))^2)+\frac(y^2)((\majtas(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\djathtas))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi)(b))\djathtas))^2) =1\ (1.2)\]

Nga ekuacioni $(1.2)\ $ është e qartë se figura e dhënë është një elipsoid i revolucionit. Boshtet e saj të boshtit

\[\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

Përgjigje: Sipërfaqja ekuipotenciale fushë e dhënë-- elipsoid i rrotullimit me gjysmë boshte ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi ) (b) )$).

Shembulli 2

Detyrë: Potenciali i fushës ka formën:

\[\varphi =a\majtas(x^2+y^2\djathtas)-bz^2,\]

ku $a,b$ -- $const$ është më i madh se zero. Cilat janë sipërfaqet ekuipotenciale?

Le të shqyrtojmë rastin për $\varphi >0$. Le të reduktojmë ekuacionin e specifikuar në kushtet e problemit në formë kanonike, për ta bërë këtë, ndajmë të dyja anët e ekuacionit me $\varphi , $ marrim:

\[\frac(a)(\varphi)x^2+(\frac(a)(\varphi)y)^2-\frac(b)(\varphi)z^2=1\ \majtas(2.1\ drejtë).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi)(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi)(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \majtas(2.2\djathtas).\]

Në (2.2) morëm ekuacioni kanonik hiperboloid me një fletë. Gjysemboshtet e tij jane te barabarta me ($\sqrt(\frac(\varphi)(a))\left(real\ gjysem-bosht\djathtas),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a))\left (real\ gjysëm boshti\djathtas),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b))(imagjinar\gjysmë boshti)$).

Merrni parasysh rastin kur $\varphi

Le të imagjinojmë $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Le ta sjellim ekuacionin e specifikuar në kushtet e problemit në formën kanonike, për ta bërë këtë ne ndajmë të dy anët e ekuacionit me minus modulin $\varphi ,$ ne merrni:

\[-\frac(a)(\majtas|\varphi \djathtas|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \djathtas|)y)^2+\frac(b)(\ majtas|\varphi \djathtas|)z^2=1\ \majtas(2.3\djathtas).\]

Le ta rishkruajmë ekuacionin (1.1) në formën:

\[-\frac(x^2)(\frac(\majtas|\varphi \djathtas|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\majtas|\varphi \djathtas|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\majtas|\varphi \djathtas|)(b))=1\ \majtas(2.4\djathtas).\]

Ne kemi marrë ekuacionin kanonik të një hiperboloidi me dy fletë, gjysmë boshtet e tij:

($\sqrt(\frac(\majtas|\varphi \djathtas|)(a))\majtë(imagjinare\gjysmë boshti\djathtas),\ \sqrt(\frac(\majtas|\varphi \djathtas|)( a) )\majtas(imagjinar\ gjysëm boshti\djathtas),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \djathtas|)(b))(\real\ gjysëm boshti)$).

Le të shqyrtojmë rastin kur $\varphi =0.$ Atëherë ekuacioni i fushës ka formën:

Le të rishkruajmë ekuacionin (2.5) në formën:

\[\frac(x^2)((\majtas(\frac(1)(\sqrt(a))\djathtas))^2)+\frac(y^2)((\majtas(\frac(1 )(\sqrt(a))\djathtas))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\djathtas))^2)=0\ majtas (2.6\djathtas).\]

Ne kemi marrë ekuacionin kanonik të një koni rrethor të djathtë, i cili mbështetet në një elips me gjysmë boshte $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b ))(\sqrt(a ))$).

Përgjigje: Si sipërfaqe ekuipotenciale për ekuacioni i dhënë potencial kemi marrë: për $\varphi >0$ - një hiperboloid me një fletë, për $\varphi