Vizatoni linjat e tensionit dhe sipërfaqet ekuipotenciale. Sipërfaqe ekuipotenciale

Drejtimi linja elektrike(vijat e tensionit) në çdo pikë përkon me drejtimin. Nga kjo rrjedh se voltazhi është i barabartë me diferencën e potencialit U për njësi gjatësi të linjës së energjisë .

Është përgjatë vijës së fushës që ndodh ndryshimi maksimal në potencial. Prandaj, gjithmonë mund të përcaktoni midis dy pikave duke matur U mes tyre, dhe sa më afër të jenë pikat, aq më të sakta. Në një fushë elektrike uniforme linjat e energjisë– drejt. Prandaj, është më e lehtë të përcaktohet këtu:

Një paraqitje grafike e linjave të fushës dhe sipërfaqeve ekuipotenciale është paraqitur në figurën 3.4.

Kur lëviz përgjatë kësaj sipërfaqeje nga d l potenciali nuk do të ndryshojë:

Nga kjo rrjedh se projeksioni i vektorit më d l e barabartë me zero , pra Prandaj, në çdo pikë ai drejtohet përgjatë normales në sipërfaqen ekuipotenciale.

Mund të vizatoni sa më shumë sipërfaqe ekuipotenciale që dëshironi. Nga dendësia e sipërfaqeve ekuipotenciale mund të gjykohet vlera , kjo do të sigurohet që diferenca potenciale ndërmjet dy sipërfaqeve ekuipotenciale ngjitur të jetë e barabartë me një vlerë konstante.

Formula shpreh marrëdhënien midis potencialit dhe tensionit dhe lejon vlerat e njohuraφ gjeni forcën e fushës në çdo pikë. Ju gjithashtu mund të zgjidhni problem i anasjelltë, d.m.th. duke përdorur vlerat e njohura në çdo pikë të fushës, gjeni ndryshimin e mundshëm midis dy pika arbitrare fusha. Për ta bërë këtë, ne përfitojmë nga fakti se puna e bërë nga terreni detyron ngarkesën q kur e zhvendosni atë nga pika 1 në pikën 2, mund të llogaritet si:

Nga ana tjetër, puna mund të përfaqësohet si:

, Pastaj

Integrali mund të merret përgjatë çdo linje që lidh pikën 1 dhe pikën 2, sepse puna e forcave të fushës nuk varet nga rruga. Për të kapërcyer një lak të mbyllur, marrim:

ato. Arritëm në teoremën e njohur për qarkullimin e vektorit të tensionit: qarkullimi i vektorit të tensionit fushë elektrostatike përgjatë çdo konture të mbyllur është zero.

Një fushë që ka këtë veti quhet potencial.

Nga zhdukja e qarkullimit të vektorit rezulton se linjat e fushës elektrostatike nuk mund të mbyllen: ato fillojnë në ngarkesa pozitive(origjina) dhe me radhë ngarkesa negative mbaroj (mbytet) ose shkoj në pafundësi(Fig. 3.4).

Kjo lidhje është e vërtetë vetëm për fushën elektrostatike. Më pas, do të zbulojmë se fusha e lëvizjes së ngarkesave nuk është potenciale dhe për të kjo marrëdhënie nuk qëndron.

Marrëdhënia midis tensionit dhe potencialit.

Për fushë potenciale, ndërmjet forcës potenciale (konservatore) dhe energji potenciale ka një lidhje

ku ("nabla") është operatori Hamiltonian.

Që kur Se

Shenja minus tregon se vektori E është i drejtuar drejt zvogëlimit të potencialit.

Për imazh grafik Shpërndarjet potenciale përdorin sipërfaqe ekuipotenciale - sipërfaqe në të gjitha pikat e të cilave potenciali ka të njëjtën vlerë.

Sipërfaqet ekuipotenciale zakonisht kryhet në mënyrë që diferencat potenciale ndërmjet dy sipërfaqeve ekuipotenciale ngjitur të jenë të njëjta. Atëherë dendësia e sipërfaqeve ekuipotenciale karakterizon qartë forcën e fushës në pika të ndryshme. Aty ku këto sipërfaqe janë më të dendura, forca e fushës është më e madhe. Në figurë, vija me pika tregon linjat e forcës, vijat e ngurta tregojnë seksionet e sipërfaqeve ekuipotenciale për: pozitive tarifë pikë(a), dipol (b), dy ngarkesa me të njëjtin emër (c), përcjellës metalik i ngarkuar me konfigurim kompleks (d).

Për një pikë ngarkoni potencialin prandaj sipërfaqet ekuipotenciale janë sfera koncentrike. Nga ana tjetër, linjat e tensionit janë linja të drejta radiale. Rrjedhimisht, linjat e tensionit janë pingul me sipërfaqet ekuipotenciale.

Mund të tregohet se në të gjitha rastet vektori E është pingul me sipërfaqet ekuipotenciale dhe gjithmonë është i drejtuar në drejtim të potencialit në rënie.

Shembuj të llogaritjeve të fushave elektrostatike simetrike më të rëndësishme në vakum.

1. Fusha elektrostatike dipol elektrik në vakum.

Një dipol elektrik (ose pol elektrik i dyfishtë) është një sistem prej dy ngarkesash pikash të kundërta të barabarta në madhësi (+q,-q), distanca l ndërmjet të cilave është dukshëm më e vogël se distanca me pikat e fushës në shqyrtim (l<< r).

Krahu i dipolit l është një vektor i drejtuar përgjatë boshtit të dipolit nga ngarkesa negative në pozitive dhe e barabartë me distancën ndërmjet tyre.

Momenti elektrik i dipolit re është një vektor që përkon në drejtim me krahun e dipolit dhe i barabartë me produktin e modulit të ngarkesës |q| mbi supe I:

Le të jetë r distanca në pikën A nga mesi i boshtit të dipolit. Pastaj, duke pasur parasysh atë

2) Forca e fushës në pikën B në pingul e rivendosur në boshtin e dipolit nga qendra e tij në

Pika B është e barabartë nga ngarkesat +q dhe -q të dipolit, kështu që potenciali i fushës në pikën B është zero. Vektori Ёв është i drejtuar përballë vektorit l.

3) Në një fushë elektrike të jashtme, një palë forcash veprojnë në skajet e dipolit, e cila tenton të rrotullojë dipolin në atë mënyrë që momenti elektrik re i dipolit të kthehet përgjatë drejtimit të fushës E (Fig. a)).

Në një fushë uniforme të jashtme, momenti i një çifti forcash është i barabartë me M = qElsin a ose Në një fushë të jashtme johomogjene (Fig. (c)), forcat që veprojnë në skajet e dipolit nuk janë identike dhe rezultanti i tyre tenton të lëvizë dipolin në një rajon fushe me intensitet më të lartë - dipoli tërhiqet në një rajon të një fushe më të fortë.

2. Fusha e një rrafshi të pafund të ngarkuar në mënyrë uniforme.

Një plan i pafundëm është i ngarkuar me një konstante dendësia e sipërfaqes Linjat e tensionit janë pingul me rrafshin në shqyrtim dhe drejtohen prej tij në të dy drejtimet.

Si sipërfaqe Gaussian, marrim sipërfaqen e një cilindri, gjeneratorët e të cilit janë pingul me rrafshin e ngarkuar, dhe bazat janë paralele me planin e ngarkuar dhe shtrihen përgjatë anët e ndryshme prej tij në distanca të barabarta.

Meqenëse gjeneratorët e cilindrit janë paralel me linjat e tensionit, fluksi i vektorit të tensionit përmes sipërfaqe anësore cilindri është zero, dhe fluksi i përgjithshëm përmes cilindrit është i barabartë me shumën e flukseve nëpër bazat e tij 2ES. Ngarkesa që gjendet brenda cilindrit është e barabartë me . Nga teorema e Gausit ku:

E nuk varet nga gjatësia e cilindrit, d.m.th. Forca e fushës në çdo distancë është e njëjtë në madhësi. Një fushë e tillë quhet homogjene.

Diferenca potenciale midis pikave që shtrihen në distancat x1 dhe x2 nga rrafshi është e barabartë me

3. Fusha e dy rrafsheve të pafundme paralele të ngarkuar në mënyrë të kundërt me densitet të ngarkesës sipërfaqësore me vlerë absolute të barabartë σ>0 dhe - σ.

Nga shembulli i mëparshëm rezulton se vektorët e tensionit E 1 dhe E 2 të planit të parë dhe të dytë janë të barabartë në madhësi dhe kudo janë të drejtuar pingul me rrafshet. Prandaj, në hapësirën jashtë planeve ato kompensojnë njëra-tjetrën, dhe në hapësirën ndërmjet planeve tensionin total . Prandaj, midis avionëve

(në dielektrikë.).

Fusha midis avionëve është uniforme. Dallimi i mundshëm midis avionëve.
(në dielektrikë ).

4.Fusha e një sipërfaqeje sferike të ngarkuar në mënyrë uniforme.

Sipërfaqja sferike rrezja R me ngarkesë totale q ngarkuar në mënyrë të njëtrajtshme me dendësinë e sipërfaqes

Meqenëse sistemi i ngarkesave dhe, rrjedhimisht, vetë fusha është qendrore simetrike në lidhje me qendrën e sferës, linjat e tensionit drejtohen në mënyrë radiale.

Si sipërfaqe Gaussian zgjedhim një sferë me rreze r që ka qendra e përgjithshme me një sferë të ngarkuar. Nëse r>R, atëherë e gjithë ngarkesa q futet brenda sipërfaqes. Nga teorema e Gausit, prej nga

Në r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Dallimi i mundshëm midis dy pikave që shtrihen në distancat r 1 dhe r 2 nga qendra e sferës

(r1 >R,r2 >R), është e barabartë me

Jashtë sferës së ngarkuar, fusha është e njëjtë me fushën e një ngarkese pika q ndodhet në qendër të sferës. Nuk ka fushë brenda sferës së ngarkuar, kështu që potenciali është i njëjtë kudo dhe i njëjtë si në sipërfaqe

> Linjat ekuipotenciale

Karakteristikat dhe vetitë linjat sipërfaqësore ekuipotenciale: gjendja e potencialit elektrik të fushës, ekuilibri statik, formula e ngarkesës pikësore.

Linjat ekuipotenciale fushat janë zona njëdimensionale ku potencial elektrik mbetet e pandryshuar.

Objektivi mësimor

• Karakterizoni formën e linjave ekuipotenciale për disa konfigurime ngarkese.

Pikat kryesore

• Për një ngarkesë të veçantë pikë të izoluar, potenciali bazohet në distancën radiale. Prandaj, linjat ekuipotenciale shfaqen të rrumbullakëta.
• Nëse disa ngarkesa diskrete vijnë në kontakt, fushat e tyre kryqëzohen dhe shfaqin potencial. Si rezultat, linjat ekuipotenciale bëhen të shtrembëruara.
• Kur ngarkesat shpërndahen në dy pllaka përcjellëse në ekuilibër statik, linjat ekuipotenciale janë në thelb të drejta.

Kushtet

• Ekuipotencial - një seksion ku çdo pikë ka të njëjtin potencial.
• Bilanci statik - gjendjen fizike, ku të gjithë komponentët janë në qetësi, dhe fuqi e pastër barazohet me zero.

Linjat ekuipotenciale paraqesin rajone njëdimensionale ku potenciali elektrik mbetet i pandryshuar. Kjo do të thotë, për një ngarkesë të tillë (pa marrë parasysh se ku është në linjën ekuipotenciale) nuk është e nevojshme të kryhet punë për të lëvizur nga një pikë në tjetrën brenda një linje të caktuar.

Vijat e sipërfaqes ekuipotenciale mund të jenë të drejta, të lakuara ose të parregullta. E gjithë kjo bazohet në shpërndarjen e tarifave. Ato janë të vendosura në mënyrë radiale rreth trupit të ngarkuar, kështu që ato mbeten pingul me vijat fushë elektrike.

Ngarkesa me një pikë

Për një ngarkesë të vetme pikë, formula e mundshme është:

Këtu ekziston një varësi radiale, domethënë, pavarësisht nga distanca në ngarkesën e pikës, potenciali mbetet i pandryshuar. Prandaj, linjat ekuipotenciale marrin formë e rrumbullakët me një ngarkesë pikë në qendër.

Ngarkesa me pikë e izoluar me linja të fushës elektrike (blu) dhe linja ekuipotenciale (jeshile)

Tarifa të shumta

Nëse disa ngarkesa diskrete janë në kontakt, atëherë ne shohim se si fushat e tyre mbivendosen. Kjo mbivendosje bën që potenciali të kombinohet dhe linjat ekuipotenciale të anohen.

Nëse ka disa ngarkesa, atëherë linjat ekuipotenciale formohen në mënyrë të parregullt. Në pikën ndërmjet ngarkesave, kontrolli është në gjendje të ndiejë efektet e të dy ngarkesave.

Ngarkimi i vazhdueshëm

Nëse ngarkesat ndodhen në dy pllaka përcjellëse në kushte të ekuilibrit statik, ku ngarkesat nuk ndërpriten dhe janë në vijë të drejtë, atëherë vijat ekuipotenciale drejtohen. Fakti është se vazhdimësia e tarifave shkakton veprime të vazhdueshme në çdo moment.

Nëse ngarkesat janë tërhequr në një vijë dhe nuk ndërpriten, atëherë linjat ekuipotenciale shkojnë drejtpërdrejt para tyre. Si përjashtim, ne mund të kujtojmë vetëm kthesën pranë skajeve të pllakave përçuese

Vazhdimësia prishet më afër skajeve të pllakave, kjo është arsyeja pse në këto zona krijohet lakimi - efekti i skajit.

Sipërfaqe ekuipotenciale sipërfaqe ekuipotenciale

një sipërfaqe në të cilën të gjitha pikat kanë të njëjtin potencial. Sipërfaqja ekuipotenciale është ortogonale me vijat e fushës. Sipërfaqja e një përcjellësi në elektrostatikë është një sipërfaqe ekuipotenciale.

SIPËRFAQJA EKUPOTENCIALE, një sipërfaqe në të gjitha pikat e së cilës potenciali (cm. POTENCIALI (në fizikë)) fushë elektrike ka të njëjtën vlerë j= konst. Në një rrafsh, këto sipërfaqe përfaqësojnë linja të fushës barazpotenciale.
Përdoret për të shfaqur grafikisht shpërndarjen e mundshme.
Sipërfaqet ekuipotenciale janë të mbyllura dhe nuk kryqëzohen. Imazhi i sipërfaqeve ekuipotenciale kryhet në mënyrë të tillë që diferencat potenciale ndërmjet sipërfaqeve të baraspotencialeve ngjitur të jenë të njëjta. Në këtë rast, në ato zona ku linjat e sipërfaqeve ekuipotenciale janë më të dendura, forca e fushës është më e madhe. (cm. Midis çdo dy pikash në një sipërfaqe ekuipotenciale, diferenca potenciale është zero. Kjo do të thotë se vektori i forcës në çdo pikë të trajektores së ngarkesës përgjatë sipërfaqes së barazpotencialit është pingul me vektorin e shpejtësisë. Prandaj, linjat e tensionit FORCA E FUSHËS ELEKTRIKE) (cm. fusha elektrostatike janë pingul me sipërfaqen ekuipotenciale. Me fjalë të tjera: sipërfaqja ekuipotenciale është ortogonale me vijat e fushës fusha, dhe vektori i fuqisë së fushës elektrike E është gjithmonë pingul me sipërfaqet ekuipotenciale dhe është gjithmonë i drejtuar në drejtim të potencialit në rënie. Puna e bërë nga forcat e fushës elektrike për çdo lëvizje të një ngarkese përgjatë një sipërfaqe ekuipotenciale është e barabartë me zero, pasi?j = 0.
Sipërfaqet ekuipotenciale të një fushe pikë ngarkesë elektrike janë sfera në qendër të të cilave ndodhet një ngarkesë. Sipërfaqet ekuipotenciale të një fushe elektrike uniforme janë plane pingul me vijat e tensionit. Sipërfaqja e një përcjellësi në një fushë elektrostatike është një sipërfaqe ekuipotenciale.

Fjalor Enciklopedik. 2009 .

Shihni se çfarë është "sipërfaqja ekuipotenciale" në fjalorë të tjerë:

Një sipërfaqe në të cilën të gjitha pikat kanë të njëjtin potencial. Një sipërfaqe ekuipotenciale është ortogonale me vijat e fushës. Sipërfaqja e një përcjellësi në elektrostatikë është një sipërfaqe ekuipotenciale... Fjalori i madh enciklopedik

Sipërfaqja dhe të gjitha pikat në tufë kanë të njëjtin potencial. Për shembull, sipërfaqja e një përcjellësi në elektrostatikë E. fq fjalor enciklopedik. M.: Enciklopedia Sovjetike. Kryeredaktor A. M. Prokhorov. 1983... Enciklopedi fizike

sipërfaqe ekuipotenciale- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Fjalori anglisht-rusisht i inxhinierisë elektrike dhe inxhinierisë së energjisë, Moskë, 1999] Temat e inxhinierisë elektrike, konceptet themelore EN sipërfaqja e potencialit të barabartëSipërfaqja e barabartë e energjisë ekuipotenciale... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Sipërfaqet ekuipotenciale të një dipoli elektrik (seksionet e tyre përshkruhen në errësirë ​​nga rrafshi i vizatimit; ngjyra në mënyrë konvencionale përcjell vlerën e potencialit në pika të ndryshme vlera të larta vjollcë dhe e kuqe, n... Wikipedia

sipërfaqe ekuipotenciale- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. sipërfaqe ekuipotenciale vok. Ekuipotencial fläche, f rus. sipërfaqe barazpotenciale, f pranc. konstanta e sipërfaqes së fuqisë, f; sipërfaqe d'égal potentiel, f; sipërfaqe… … Fizikos terminų žodynas

Një sipërfaqe me potencial të barabartë është një sipërfaqe në të cilën të gjitha pikat kanë të njëjtin potencial. Për shembull, sipërfaqja e një përcjellësi në elektrostatikë është një fushë elektrike Në një fushë force, linjat e forcës janë normale (pingule) me energjinë elektrike. I madh Enciklopedia Sovjetike

- (nga latinishtja aequus barabartë dhe potencial) gjeom. vendi i pikave në fushë, në Krime korrespondon me të njëjtën vlerë potenciale. E. vijat janë pingul me vijat e forcës. Ekuipotenciali është, për shembull, sipërfaqja e një përcjellësi që ndodhet në një elektrostatik... ... Fjalori i madh enciklopedik politeknik

Për qartësi më të madhe, fusha elektrike shpesh përshkruhet duke përdorur linjat e fushës dhe sipërfaqet ekuipotenciale.

Linjat e energjisë – këto janë vija të vazhdueshme, tangjentet në të cilat në secilën pikë nëpër të cilën kalojnë përputhen me vektorin e forcës së fushës elektrike (Fig. 1.5). Dendësia e vijave të fushës (numri i vijave të fushës që kalojnë nëpër një sipërfaqe njësi) është proporcionale me forcën e fushës elektrike.

Sipërfaqet ekuipotenciale (ekuipotencialet) – sipërfaqe me potencial të barabartë. Këto janë sipërfaqe (vija) në të cilat potenciali nuk ndryshon kur lëviz. Përndryshe, diferenca potenciale midis çdo dy pikash ekuipotenciale është zero. Vijat e forcës janë pingul me ekuipotencialet dhe të drejtuara në drejtim të zvogëlimit të potencialit. Kjo rrjedh nga ekuacioni (1.10).

Le të shqyrtojmë si shembull një fushë elektrike të krijuar në distancë nga një ngarkesë pikë. Sipas (1.11,b) vektori i intensitetit përkon me drejtimin e vektorit , nëse ngarkesa është pozitive, dhe e kundërta me të nëse ngarkesa është negative. Rrjedhimisht, linjat e fushës ndryshojnë në mënyrë radiale nga ngarkesa (Fig. 1.6, a, b). Dendësia e vijave të fushës, si tensioni, është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës (
) për të ngarkuar. Ekuipotencialet e fushës elektrike të një ngarkese pika janë sfera të përqendruara në vendndodhjen e ngarkesës.

1.6. Teorema e Gausit për fushën elektrike në vakum

Detyra kryesore e elektrostatikës është problemi i gjetjes së intensitetit dhe potencialit të fushës elektrike në çdo pikë të hapësirës. Në seksionin 1.4, ne zgjidhëm problemin e fushës së një ngarkese pika, dhe gjithashtu morëm në konsideratë fushën e një sistemi ngarkesash pikash. Në këtë seksion do të flasim për një teoremë që ju lejon të llogaritni fushën elektrike të objekteve më komplekse të ngarkuara. Për shembull, një fije e gjatë e ngarkuar (e drejtë), një aeroplan i ngarkuar, një sferë e ngarkuar dhe të tjera. Pasi të kemi llogaritur forcën e fushës elektrike në çdo pikë të hapësirës duke përdorur ekuacionet (1.12) dhe (1.13), ne mund të llogarisim potencialin në secilën pikë ose diferencën potenciale midis çdo dy pikash, d.m.th. zgjidh problemin bazë të elektrostatikës.

Për një përshkrim matematikor, ne prezantojmë konceptin e rrjedhës vektoriale të intensitetit ose rrjedhës së fushës elektrike. Vektori i fluksit (F). fushë elektrike nëpër një sipërfaqe të sheshtë
sasia quhet:

, (1.16)

. (1.15,a)

Në rastin kur sipërfaqja jo e sheshtë, për të llogaritur rrjedhën duhet të ndahet në pjesë të vogla
, të cilat përafërsisht mund të konsiderohen të sheshta, dhe më pas shkruani shprehjen (1.16) ose (1.16,a) për secilën pjesë të sipërfaqes dhe shtoni ato. Në kufirin kur sipërfaqja S i shume i vogel (
), një shumë e tillë quhet integral sipërfaqësor dhe shënohet
. Kështu, rrjedha e vektorit të forcës së fushës elektrike nëpër një sipërfaqe arbitrare përcaktohet nga shprehja:

. (1.17)

Si shembull, merrni parasysh një sferë me rreze , qendra e së cilës është një ngarkesë pikë pozitive , dhe përcaktoni rrjedhën e fushës elektrike nëpër sipërfaqen e kësaj sfere. Linjat e forcës (shih, për shembull, Fig. 1.6, a) që dalin nga ngarkesa janë pingul me sipërfaqen e sferës dhe në secilën pikë të sferës moduli i forcës së fushës është i njëjtë

.

Zona e një sfere
,

Pastaj


.

Madhësia
dhe paraqet rrjedhën e fushës elektrike nëpër sipërfaqen e sferës. Kështu, marrim
. Mund të shihet se rrjedha e fushës elektrike nëpër sipërfaqen e sferës nuk varet nga rrezja e sferës, por varet vetëm nga vetë ngarkesa. . Prandaj, nëse vizatoni një seri sferash koncentrike, atëherë rrjedha e fushës elektrike nëpër të gjitha këto sfera do të jetë e njëjtë. Natyrisht, numri i linjave të forcës që kalojnë këto sfera do të jetë gjithashtu i njëjtë. U ra dakord që numri i linjave të forcës që dalin nga ngarkesa duhet të jetë i barabartë me rrjedhën e fushës elektrike:
.

Nëse sfera zëvendësohet nga ndonjë sipërfaqe tjetër e mbyllur, atëherë fluksi i fushës elektrike dhe numri i vijave të fushës që kalojnë atë nuk do të ndryshojnë. Përveç kësaj, fluksi i fushës elektrike nëpër një sipërfaqe të mbyllur, dhe kështu numri i vijave të fushës që depërtojnë në këtë sipërfaqe, është i barabartë me
jo vetëm për fushën e një ngarkese pikë, por edhe për fushën e krijuar nga çdo koleksion ngarkesash pikësh, veçanërisht nga një trup i ngarkuar. Pastaj vlera duhet të konsiderohet si shuma algjebrike e të gjithë grupit të ngarkesave të vendosura brenda një sipërfaqe të mbyllur. Ky është thelbi i teoremës së Gausit, i cili formulohet si më poshtë.

Fluksi i vektorit të forcës së fushës elektrike përmes një sipërfaqe të mbyllur arbitrare, brenda së cilës ka një sistem ngarkesash, është i barabartë me
, Ku
është shuma algjebrike e këtyre ngarkesave.

Matematikisht, teorema mund të shkruhet si

. (1.18)

Vini re se nëse në ndonjë sipërfaqe S vektoriale konstante dhe paralele me vektorin , pastaj rrjedha nëpër një sipërfaqe të tillë. Duke transformuar integralin e parë, fillimisht kemi përfituar nga fakti se vektorët Dhe paralele, që do të thotë
. Pastaj ata hoqën vlerën për shenjën e integralit për faktin se ai është konstant në çdo pikë të sferës . Kur aplikojnë teoremën e Gausit për të zgjidhur probleme specifike, ata përpiqen në mënyrë specifike të zgjedhin një sipërfaqe për të cilën kushtet e përshkruara më sipër plotësohen si një sipërfaqe e mbyllur arbitrare.

Le të japim disa shembuj të zbatimit të teoremës së Gausit.

Zgjidhje. Le të supozojmë për saktësi se filli është i ngarkuar pozitivisht. Për shkak të simetrisë së problemit, mund të argumentohet se vijat e forcës do të jenë vija të drejta që rrezatojnë nga boshti i fillit (Fig. 1.9), dendësia e të cilave zvogëlohet sipas disa ligjeve ndërsa largohen nga filli. . Sipas të njëjtit ligj, do të ulet edhe madhësia e fushës elektrike . Sipërfaqet ekuipotenciale do të jenë sipërfaqet cilindrike me një bosht që përkon me fillin.

Le të jetë e barabartë ngarkesa për njësi të gjatësisë së fillit . Kjo sasi quhet dendësia lineare e ngarkesës dhe matet në njësi SI [C/m]. Për të llogaritur forcën e fushës, zbatojmë teoremën e Gausit. Për ta bërë këtë, si një sipërfaqe e mbyllur arbitrare zgjidhni një cilindër me rreze dhe gjatësia , boshti i të cilit përkon me fillin (Fig. 1.9). Le të llogarisim fluksin e fushës elektrike përmes sipërfaqes së cilindrit. Rrjedha totale është shuma e rrjedhës nëpër sipërfaqen anësore të cilindrit dhe rrjedhës nëpër bazat

Megjithatë,
, pasi në çdo pikë në bazat e cilindrit
.
Kjo do të thotë se
në këto pika. Rrjedhni nëpër sipërfaqen anësore
. Sipas teoremës së Gausit, ky fluks total është

.

. Kështu, ne morëm :
Shuma e ngarkesave të vendosura brenda cilindrit mund të shprehet përmes densitetit linear të ngarkesës
. Duke marrë parasysh atë

,

, (1.19)

, marrim
).

ato. intensiteti dhe dendësia e linjave të fushës elektrike të një filli pafund të ngarkuar në mënyrë uniforme zvogëlohet në proporcion të zhdrejtë me distancën ( Dhe Le të gjejmë ndryshimin potencial midis pikave të vendosura në distanca Dhe nga filli (që i përkasin sipërfaqeve cilindrike ekuipotenciale me rreze
). Për ta bërë këtë, ne përdorim marrëdhënien midis forcës së fushës elektrike dhe potencialit në formën (1.9, c):

.

Zgjidhje. Shembulli 1.3. Llogaritni forcën e fushës elektrike të një rrafshi të ngarkuar uniformisht. Përcaktoni ndryshimin potencial midis dy pikave në një fushë të tillë.

Fusha elektrike e një rrafshi të ngarkuar uniformisht është paraqitur në Fig. 1.10. Për shkak të simetrisë, vijat e forcës duhet të jenë pingul me rrafshin. Prandaj, mund të konkludojmë menjëherë se dendësia e linjave dhe, rrjedhimisht, forca e fushës elektrike nuk do të ndryshojë me distancën nga rrafshi. Sipërfaqet ekuipotenciale janë rrafshe paralele me një plan të caktuar të ngarkuar. Le të jetë ngarkesa për njësi sipërfaqe të aeroplanit . Kjo sasi quhet dendësia e ngarkesës sipërfaqësore dhe matet në njësi SI [C/m2]. Le të zbatojmë teoremën e Gausit. Për ta bërë këtë, si një sipërfaqe e mbyllur arbitrare
zgjidhni një cilindër me gjatësi
, boshti i të cilit është pingul me rrafshin, dhe bazat janë të barabarta nga ai (Fig. 1.10). Fluksi total i fushës elektrike
.

.

Fluksi nëpër sipërfaqen anësore është zero. Fluksi nëpër secilën prej bazave është , Kjo është arsyeja pse :
.

. (1.20)

Nga formula që rezulton është e qartë se forca e fushës së një rrafshi të ngarkuar uniformisht nuk varet nga distanca në planin e ngarkuar, d.m.th. në çdo pikë të hapësirës (në një gjysmë rrafsh) është i njëjtë si në madhësi ashtu edhe në drejtim. Kjo fushë quhet homogjene. Linjat e energjisë fushë uniforme paralelisht, dendësia e tyre nuk ndryshon.

Le të gjejmë ndryshimin potencial midis dy pikave të një fushe uniforme (që i përkasin planeve ekuipotenciale Dhe , i shtrirë në të njëjtin gjysmërrafsh në raport me rrafshin e ngarkuar (Fig. 1.10)). Le të drejtojmë boshtin vertikalisht lart, atëherë projeksioni i vektorit të tensionit në këtë bosht është i barabartë me modulin e vektorit të tensionit
. Le të përdorim ekuacionin (1.9):

.

Vlera konstante (fusha është homogjene) mund të nxirret nga nën shenjën integrale:
. Duke u integruar, marrim: . Pra, potenciali i një fushe uniforme varet në mënyrë lineare nga koordinata.

Dallimi potencial midis dy pikave të fushës elektrike është tensioni midis këtyre pikave ( ). Le të shënojmë distancën midis planeve ekuipotenciale
. Atëherë mund të shkruajmë se në një fushë elektrike uniforme:

. (1.21)

Le të theksojmë edhe një herë se kur përdorim formulën (1.21) duhet të kujtojmë se sasia - jo distanca ndërmjet pikave 1 dhe 2, por distanca ndërmjet rrafsheve ekuipotenciale të cilave u përkasin këto pika.

Shembulli 1.4. Llogaritni forcën e fushës elektrike të dy rrafsheve paralele të ngarkuar në mënyrë të njëtrajtshme me densitetin e ngarkesës sipërfaqësore
Dhe
.

Zgjidhje. Le të përdorim rezultatin e Shembullit 1.3 dhe parimin e mbivendosjes. Sipas këtij parimi, fusha elektrike rezulton në çdo pikë të hapësirës
, Ku Dhe - fuqitë e fushës elektrike të planit të parë dhe të dytë. Në hapësirën ndërmjet planeve vektoriale Dhe drejtohen në një drejtim, pra moduli i fuqisë së fushës që rezulton. Dhe Në hapësirën e jashtme të vektorit

Zgjidhje., dhe rrezja e sferës është

Për shkak të simetrisë së shpërndarjes së ngarkesës, linjat e fushës duhet të drejtohen përgjatë rrezeve të sferës. Le të shqyrtojmë një zonë brenda një sfere. Si një sipërfaqe arbitrare
zgjidhni një sferë me rreze S:
, qendra e së cilës përkon me qendrën e sferës së ngarkuar. Pastaj fusha elektrike rrjedh nëpër sferë . Shuma e ngarkesave brenda sferës është e barabartë me zero, pasi të gjitha ngarkesat janë të vendosura në sipërfaqen e një sfere me rreze
. Pastaj, nga teorema e Gausit:
. Që kur
, Kjo
. Kështu, nuk ka fushë brenda një sfere të ngarkuar në mënyrë uniforme.

Le të shqyrtojmë një rajon jashtë sferës. Si një sipërfaqe arbitrare Le të shqyrtojmë një zonë brenda një sfere. Si një sipërfaqe arbitrare
, qendra e së cilës përkon me qendrën e sferës së ngarkuar. Fusha elektrike rrjedh nëpër një sferë :
. Shuma e ngarkesave brenda sferës është e barabartë me ngarkesën totale rrezja e sferës së ngarkuar . Pastaj, nga teorema e Gausit:
.
Duke marrë parasysh atë

.

, marrim:
Le të llogarisim potencialin e fushës elektrike. Është më i përshtatshëm për të filluar nga zona e jashtme , pasi e dimë se në një distancë të pafundme nga qendra e sferës merret potenciali e barabartë me zero

.

. Duke përdorur ekuacionin (1.11,a) marrim një ekuacion diferencial me ndryshore të ndashme:
Konstante
, sepse
në
):
.

. Kështu, në hapësirën e jashtme (
Pikat në sipërfaqen e një sfere të ngarkuar (
.

) do të ketë potencial
Merrni parasysh zonën
. Në këtë zonë


, pra nga ekuacioni (1.11,a) marrim:
. Për shkak të vazhdimësisë së funksionit konstante
duhet të jetë e barabartë me vlerën potenciale në sipërfaqen e sferës së ngarkuar:
.