.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

- (nga latinishtja extremum ekstrem) vlera e një funksioni të vazhdueshëm f (x), i cili është ose një maksimum ose një minimum. Më saktësisht: një funksion f (x) që është i vazhdueshëm në një pikë x0 ka një maksimum (minimum) në x0 nëse ka një fqinjësi (x0 + δ, x0 δ) të kësaj pike,... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Ky term ka kuptime të tjera, shih Extremum (kuptimet). Extremum (lat. extremum ekstrem) në matematikë është vlera maksimale ose minimale e një funksioni në një grup të caktuar. Pika në të cilën arrihet ekstremi... ... Wikipedia

Një funksion i përdorur në zgjidhjen e problemeve në ekstremin e kushtëzuar të funksioneve të shumë variablave dhe funksionalëve. Me ndihmën e L.f. shënohen kushtet e nevojshme për optimalitetin në problemet në një ekstrem të kushtëzuar. Në këtë rast, nuk është e nevojshme të shprehen vetëm variablat... Enciklopedia Matematikore

Një disiplinë matematikore e përkushtuar për gjetjen e vlerave ekstreme (më të mëdha dhe më të vogla) të funksioneve të variablave që varen nga zgjedhja e një ose më shumë funksioneve. V. dhe. është një zhvillim i natyrshëm i atij kapitulli... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Variablat, me ndihmën e të cilave ndërtohet funksioni Lagranzh kur studiohen problemet në një ekstrem të kushtëzuar. Përdorimi i metodave lineare dhe funksioni Lagranzh na lejon të marrim kushtet e nevojshme të optimalitetit në problemet që përfshijnë një ekstrem të kushtëzuar në mënyrë uniforme... Enciklopedia Matematikore

Llogaritja e variacioneve është një degë e analizës funksionale që studion variacionet e funksioneve. Problemi më tipik në llogaritjen e variacioneve është gjetja e një funksioni në të cilin një funksion i caktuar arrin... ... Wikipedia

Një pjesë e matematikës kushtuar studimit të metodave për gjetjen e ekstremeve të funksioneve që varen nga zgjedhja e një ose disa funksioneve nën lloje të ndryshme kufizimesh (faza, diferenciale, integrale, etj.) të vendosura mbi këto... ... Enciklopedia Matematikore

Llogaritja e variacioneve është një degë e matematikës që studion variacionet e funksioneve. Problemi më tipik në llogaritjen e variacioneve është gjetja e funksionit në të cilin funksioni arrin një vlerë ekstreme. Metodat... ...Wikipedia

librat

• Leksione mbi teorinë e kontrollit. Vëllimi 2. Kontrolli optimal, V. Boss. Janë marrë në konsideratë problemet klasike të teorisë së kontrollit optimal. Prezantimi fillon me konceptet bazë të optimizimit në hapësirat me dimensione të fundme: ekstremi i kushtëzuar dhe i pakushtëzuar,...

Le të përcaktohet funksioni z - /(x, y) në një fushë D dhe le të jetë Mo(xo, Vo) një pikë e brendshme e këtij domeni. Përkufizimi. Nëse ka një numër të tillë që për të gjitha që plotësojnë kushtet pabarazia është e vërtetë, atëherë pika Mo(xo, y) quhet pika maksimale lokale e funksionit /(x, y); nëse për të gjitha Dx, Du, që plotësojnë kushtet | atëherë pika Mo(xo,yo) quhet minimum lokal i hollë. Me fjalë të tjera, pika M0(x0, y0) është një pikë maksimale ose minimale e funksionit f(x, y) nëse ekziston një fqinjësi 6 e pikës A/o(x0, y0) e tillë që fare pikat M(x, y) të kësaj në fqinjësi, rritja e funksionit ruan shenjën e tij. Shembuj. 1. Për pikën e funksionit - pika minimale (Fig. 17). 2. Për funksionin, pika 0(0,0) është pika maksimale (Fig. 18). 3. Për një funksion, pika 0(0,0) është një pikë maksimale lokale. 4 Në fakt, ekziston një fqinjësi e pikës 0(0, 0), për shembull, një rreth me rreze j (shih Fig. 19), në çdo pikë të së cilës, ndryshe nga pika 0(0,0), vlera e funksionit /(x,y) më e vogël se 1 = Ne do të marrim parasysh vetëm pikat e maksimumit dhe minimumit të rreptë të funksioneve kur pabarazia strikte ose pabarazia strikte plotësohet për të gjitha pikat M(x) y) nga disa lagje 6 të shpuara të pikës Mq. Vlera e një funksioni në pikën maksimale quhet maksimum, dhe vlera e funksionit në pikën minimale quhet minimumi i këtij funksioni. Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen pikat ekstreme të funksionit, dhe maksimalet dhe minimumet e vetë funksionit quhen ekstreme të tij. 18 Fig. 20 derivatet immt të cilat kthehen në zero në. Por ky funksion është i hollë në imvat e strumit.< 0. Если же то в точке Мо(жо> Ekstremi i funksionit f(x, y) mund të ekzistojë ose të mos ekzistojë. Në këtë rast, kërkohet hulumtim i mëtejshëm. m Le të kufizohemi në vërtetimin e pohimeve 1) dhe 2) të teoremës. Le të shkruajmë formulën e Taylor-it të rendit të dytë për funksionin /(i, y): ku. Sipas kushtit, shihet se shenja e rritjes D/ përcaktohet me shenjën e trinomit në anën e djathtë të (1), d.m.th., me shenjën e diferencialit të dytë d2f. Le ta shënojmë për shkurtësi. Atëherë barazia (l) mund të shkruhet si vijon: Le të kemi në pikën MQ(pra, V0)... Meqenëse, sipas kushtit, derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të funksionit f(s, y) janë të vazhdueshme, atëherë pabarazia (3) do të jetë gjithashtu në një afërsi të pikës M0(s0,yo). Nëse kushti është i plotësuar (në pikën А/0, dhe për shkak të vazhdimësisë, derivati ​​/,z(s,y) do të ruajë shenjën e tij në një lagje të caktuar të pikës Af0. Në rajonin ku А Ф 0, Nga kjo është e qartë se nëse ЛС - В2 > 0 në ndonjë lagje të pikës M0(x0) y0), atëherë shenja e trinomit AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 përkon me shenjën e A në pikë. (pra, V0) (si dhe me shenjën e C, pasi për AC - B2 > 0 A dhe C nuk mund të kenë shenja të ndryshme). Meqenëse shenja e shumës AAs2 + 2BAxAy + CAy2 në pikën (s0 + $ Ax, y0 + 0 Dyn) përcakton shenjën e diferencës, arrijmë në përfundimin e mëposhtëm: nëse për funksionin /(s,y) në gjendja e pikës së palëvizshme (s0, V0), atëherë për || mjaft të vogla pabarazia do të plotësohet. Kështu, në pikën (sq, V0) funksioni /(s, y) ka një maksimum. Nëse kushti është i plotësuar në pikën e palëvizshme (s0, y0), atëherë për të gjitha mjaftueshëm të vogla |Dr| dhe |Du| pabarazia është e vërtetë, që do të thotë se në pikën (so,yo) funksioni /(s, y) ka një minimum. Shembuj. 1. Hulumtoni funksionin për një ekstremum 4 Duke përdorur kushtet e nevojshme për një ekstremum, kërkojmë pika stacionare të funksionit. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatet e pjesshëm u dhe i barazojmë me zero. Ne marrim një sistem ekuacionesh nga ku - një pikë e palëvizshme. Le të përdorim tani Teoremën 12. Ne kemi Kjo do të thotë se ka një ekstrem në pikën Ml. Sepse ky është minimumi. Nëse e transformojmë funksionin r në formë, është e lehtë të shihet se ana e djathtë (“) do të jetë minimale kur është minimumi absolut i këtij funksioni. 2. Hulumtoni funksionin për ekstremin Ne gjejmë pika të palëvizshme të funksionit, për të cilat hartojmë një sistem ekuacionesh, në mënyrë që pika të jetë e palëvizshme. Meqenëse, në bazë të Teoremës 12, nuk ka asnjë ekstrem në pikën M. * 3. Hulumtoni ekstremumin e funksionit Gjeni pikat e palëvizshme të funksionit. Nga sistemi i ekuacioneve e marrim atë, pra pika është e palëvizshme. Më tej, kemi se teorema 12 nuk i përgjigjet pyetjes në lidhje me praninë ose mungesën e një ekstremi. Le ta bëjmë në këtë mënyrë. Për një funksion rreth të gjitha pikave të ndryshme nga pika pra, sipas përkufizimit, dhe pika A/o(0,0) funksioni r ka një minimum absolut. Me llogaritje të ngjashme vërtetojmë se funksioni ka një maksimum në pikë, por funksioni nuk ka një ekstrem në pikë. Le të jetë i diferencueshëm një funksion prej n variablash të pavarur në një pikë Pika Mo quhet pikë e palëvizshme e funksionit nëse teorema 13 (deri në kushte të mjaftueshme për një ekstrem). Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe të ketë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë në ndonjë fqinjësi të gjobës Mt(xi..., e cila është një funksion i palëvizshëm i imët nëse forma kuadratike (diferenciali i dytë i funksionit f në fine është pozitiv Përcaktuar (përcaktuar negativ), pika minimale (përkatësisht, maksimumi i imët) i funksionit f është i mirë Nëse forma kuadratike (4) është e alternuar, atëherë nuk ka ekstrem në gjobën LG0 Forma kuadratike (4) është definitive pozitive ose negative, mund të përdorni, për shembull, kriterin e Sylvesterit për sigurinë e formës kuadratike 15.2 Ekstremat e kushtëzuara Deri më tani, ne kemi kërkuar ekstreme lokale funksioni në të gjithë domenin e përkufizimit të tij, kur argumentet e funksionit nuk janë të lidhura me ndonjë kusht shtesë. x, y) të përcaktohen në domenin D. Le të supozojmë se një kurbë L është dhënë në këtë fushë dhe duhet të gjejmë ekstremet e funksionit f(x> y) vetëm midis atyre vlerave të tij që korrespondojnë te pikat e kurbës L. Të njëjtat ekstreme quhen ekstreme të kushtëzuara të funksionit z = f(x) y) në lakoren L. Përkufizim Ata thonë se në një pikë të shtrirë në lakoren L, funksioni f(x, y) ka një maksimum të kushtëzuar (minimum) nëse pabarazia plotësohet në të gjitha pikat M (s, y) y) kurba L, që i përket një lagjeje të pikës M0(x0, V0) dhe e ndryshme nga pika M0 (nëse lakorja L jepet nga një ekuacion, atëherë problemi është gjetja e ekstremumit të kushtëzuar të funksionit r - f(x,y) në kurbë! mund të formulohet si më poshtë: gjeni ekstremin e funksionit x = /(z, y) në rajonin D, me kusht që kështu, kur të gjejmë ekstremet e kushtëzuara të funksionit z = y), argumentet e gnu nuk mund të të konsiderohen si variabla të pavarur: ato lidhen me njëra-tjetrën me relacionin y ) = 0, që quhet ekuacion i bashkimit. Për të sqaruar dallimin midis ekstremit të pakushtëzuar dhe atij të kushtëzuar, le të shohim një shembull, maksimumi i pakushtëzuar i një funksioni (Fig. 23) është e barabartë me një dhe arrihet në pikën (0,0). I përgjigjet pikës M - kulmi i pvvboloidit Le të shtojmë ekuacionin e lidhjes y = j. Atëherë maksimumi i kushtëzuar do të jetë padyshim i barabartë me të Ajo arrihet në pikën (o,|), dhe i përgjigjet kulmit Afj të topit, që është drejtëza e prerjes së topit me rrafshin y = j. Në rastin e një mvksimumi të pakushtëzuar, kemi një aplikim mvximum midis të gjitha vpplicvt të sipërfaqes * = 1 - l;2 ~ y1; summvv kushtëzuar - vetëm ndër pikat vllikvt pvraboloidv, që i korrespondon pikës* të drejtëzës y = j jo rrafshit xOy. Një nga metodat për gjetjen e ekstremit të kushtëzuar të një funksioni në prani dhe lidhje është si më poshtë. Çështja e ekzistencës dhe natyrës së ekstremit të kushtëzuar zgjidhet në bazë të studimit të shenjës së diferencialit të dytë të funksionit Lagranzh për sistemin e konsideruar të vlerave x0, V0, A, të marra nga (8) me kusht që nëse , atëherë në pikën (x0, V0) funksioni /(x, y ) ka një maksimum të kushtëzuar; nëse d2F > 0 - atëherë një minimum i kushtëzuar. Në veçanti, nëse në një pikë të palëvizshme (xo, J/o) përcaktorja D për funksionin F(x, y) është pozitive, atëherë në pikën (®o, V0) ekziston një maksimum i kushtëzuar i funksionit f( x, y), nëse dhe minimumi i kushtëzuar i funksionit /(x, y), nëse Shembull. Le t'i kthehemi përsëri kushteve të shembullit të mëparshëm: gjeni ekstremin e funksionit me kushtin që x + y = 1. Do ta zgjidhim problemin duke përdorur metodën e shumëzuesit të Lagranzhit. Funksioni i Lagranzhit në këtë rast ka formën Për të gjetur pika të palëvizshme, ne hartojmë një sistem nga dy ekuacionet e para të sistemit, marrim se x = y. Pastaj nga ekuacioni i tretë i sistemit (ekuacioni i lidhjes) gjejmë se x - y = j janë koordinatat e pikës së mundshme ekstreme. Në këtë rast (tregohet se A = -1. Pra, funksioni Lagranzh. është pika minimale e kushtëzuar e funksionit * = x2 + y2 nën kushtin Nuk ka ekstrem të pakushtëzuar për funksionin Lagranzh. P(x, y ) nuk do të thotë ende mungesë e një ekstremi të kushtëzuar për funksionin /(x, y) në prani të një lidhjeje Shembull: Gjeni ekstremin e një funksioni nën kushtin y 4 Ne hartojmë funksionin e Lagranzhit dhe shkruajmë një sistem për përcaktimi i A dhe koordinatave të pikave ekstreme të mundshme: Nga dy ekuacionet e para fitojmë x + y = 0 dhe vijmë në sistemin nga ku x = y = A = 0. Kështu, funksioni përkatës i Lagranzhit ka formën Në pikën (0,0), funksioni F(x, y; 0) nuk ka një ekstrem të pakushtëzuar, megjithatë, ekziston një ekstrem i kushtëzuar i funksionit r = xy kur y = x në të vërtetë, në këtë rast r = x2. Nga këtu është e qartë se në pikën (0,0) ekziston një minimum i kushtëzuar "Metoda e shumëzuesve të Lagranzhit shtrihet në rastin e funksioneve të çdo numri argumentesh. Le të kërkojmë ekstremin e funksionit në prani Të ekuacioneve të lidhjes Le të hartojmë funksionin e Lagranzhit ku A|, Az,..., janë faktorë të pacaktuar. Duke barazuar me zero të gjithë derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksionit F dhe duke shtuar ekuacionet e lidhjes (9) në ekuacionet rezultuese, marrim një sistem n + m ekuacionesh, nga i cili përcaktojmë Ab A3|..., At dhe koordinatat x \) x2). » xn e pikave të mundshme të ekstremit të kushtëzuar. Çështja nëse pikat e gjetura duke përdorur metodën e Lagranzhit janë në të vërtetë pika të një ekstremi të kushtëzuar shpesh mund të zgjidhet bazuar në konsiderata të një natyre fizike ose gjeometrike. 15.3. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme Le të jetë e nevojshme të gjendet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni z = /(x, y), e vazhdueshme në një fushë të mbyllur të kufizuar D. Sipas Teoremës 3, në këtë rajon ekziston një pikë (xo, V0) në të cilën funksioni merr vlerën më të madhe (më të vogël). Nëse pika (xo, y0) ndodhet brenda domenit D, atëherë funksioni / ka një maksimum (minimum) në të, kështu që në këtë rast pika e interesit për ne përmbahet midis pikave kritike të funksionit /(x, y). Megjithatë, funksioni /(x, y) mund të arrijë vlerën e tij më të madhe (më të vogël) në kufirin e rajonit. Prandaj, për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të marrë nga funksioni z = /(x, y) në një zonë të kufizuar të mbyllur 2), duhet të gjeni të gjitha maksimumet (minimumi) të funksionit të arritur brenda kësaj zone. si dhe vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit në kufi të kësaj zone. Më i madhi (më i vogli) nga të gjithë këta numra do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e dëshiruar e funksionit z = /(x,y) në rajonin 27. Le të tregojmë se si bëhet kjo në rastin e një funksioni të diferencueshëm. Prmmr. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit të rajonit 4. Ne gjejmë pikat kritike të funksionit brenda rajonit D. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë një sistem ekuacionesh Nga këtu marrim x = y «0, në mënyrë që pika 0 (0,0) është pika kritike e funksionit x. Meqenëse Le të gjejmë tani vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në kufirin Г të rajonit D. Në një pjesë të kufirit kemi që y = 0 është një pikë kritike, dhe meqë = atëherë në këtë pikë funksioni z = 1 + y2 ka një minimum të barabartë me një. Në skajet e segmentit Г", në pikat (, kemi. Duke përdorur konsideratat e simetrisë, marrim të njëjtat rezultate për pjesët e tjera të kufirit. Në fund fitojmë: vlerën më të vogël të funksionit z = x2+y2 në rajon. "B është e barabartë me zero dhe arrihet në rajonin e pikës së brendshme 0( 0, 0), dhe vlera maksimale e këtij funksioni, e barabartë me dy, arrihet në katër pika të kufirit (Fig. 25) Fig. 25 Ushtrime Gjeni domenin e përcaktimit të funksioneve: Ndërtoni vijat e nivelit të funksioneve: 9 Gjeni sipërfaqet e nivelit të funksioneve të tre ndryshoreve të pavarura: Llogaritni funksionet kufitare: Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve dhe diferencialet totale të tyre: Gjeni derivatet e kompleksit. funksionet: 3 Gjeni J. Ekstremumi i një funksioni të disa ndryshoreve Koncepti i ekstremit të një funksioni të disa ndryshoreve Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem Ekstrem i kushtëzuar Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme 34. Përdorimi i formulës për derivatin e një funksion kompleks, gjeni dhe funksione: 35. Duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks të dy ndryshoreve, gjeni |J dhe funksionet: Gjeni funksionet jj të dhëna në mënyrë implicite: 40. Gjeni pjerrësinë e lakores tangjente. pika e prerjes së saj me drejtëzën x = 3. 41. Gjeni pikat në të cilat tangjentja e lakores x është paralele me boshtin Ox. . Në problemat e mëposhtme gjeni dhe T: Shkruani ekuacionet e planit tangjent dhe normales së sipërfaqes: 49. Shkruani ekuacionet e rrafsheve tangjente të sipërfaqes x2 + 2y2 + 3z2 = 21, paralel me rrafshin x + 4y. + 6z = 0. Gjeni tre ose katër termat e parë të zgjerimit duke përdorur formulën e Taylor-it: 50. y në afërsi të pikës (0, 0).

Ekstrem i kushtëzuar.

Ekstrema e një funksioni të disa ndryshoreve

Metoda e katrorëve më të vegjël.

Ekstremi lokal i FNP

Le të jepet funksioni Dhe= f(P), РÎDÌR n dhe leni pikën P 0 ( A 1 , A 2 , ..., një fq) –e brendshme pika e grupit D.

Përkufizimi 9.4.

1) Pika P 0 quhet pikë maksimale funksionet Dhe= f(P), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike U(P 0) M D të tillë që për çdo pikë P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , kushti është i kënaqur f(P) £ f(P 0) . Kuptimi f Funksioni (P 0) në pikën maksimale thirret maksimumi i funksionit dhe është caktuar f(P0) = maksimumi f(P) .

2) Pika P 0 quhet pikë minimale funksionet Dhe= f(P), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike U(P 0)Ì D të tillë që për çdo pikë P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , kushti është i kënaqur f(P)³ f(P 0) . Kuptimi f Funksioni (P 0) në pikën minimale quhet funksioni minimal dhe është caktuar f(P 0) = min f(P).

Pikat minimale dhe maksimale të një funksioni thirren pika ekstreme, quhen vlerat e funksionit në pikat ekstreme ekstreme të funksionit.

Siç del nga përkufizimi, pabarazitë f(P) £ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) duhet të plotësohet vetëm në një lagje të caktuar të pikës P 0, dhe jo në të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit, që do të thotë se funksioni mund të ketë disa ekstreme të të njëjtit lloj (disa minima, disa maksimum) . Prandaj, ekstremet e përcaktuara më sipër quhen lokale ekstreme (lokale).

Teorema 9.1 (kusht i domosdoshëm për ekstremin e FNP)

Nëse funksioni Dhe= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ka një ekstrem në pikën P 0 , atëherë derivatet e tij të pjesshme të rendit të parë në këtë pikë janë ose të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

Dëshmi. Lere ne piken P 0 ( A 1 , A 2 , ..., një fq) funksion Dhe= f(P) ka një ekstrem, për shembull, një maksimum. Le të rregullojmë argumentet X 2 , ..., x n, duke vënë X 2 =A 2 ,..., x n = një fq. Pastaj Dhe= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., një fq) është funksion i një ndryshoreje X 1. Meqenëse ky funksion ka X 1 = A 1 ekstrem (maksimumi), pastaj f 1 ¢=0 ose nuk ekziston kur X 1 =A 1 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi të një funksioni të një ndryshoreje). Por, kjo do të thotë ose nuk ekziston në pikën P 0 - pika ekstreme. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë derivate të pjesshëm në lidhje me variablat e tjerë. CTD.

Pikat në domenin e një funksioni në të cilat derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë quhen pikat kritike këtë funksion.

Siç vijon nga teorema 9.1, pikat ekstreme të FNP duhet të kërkohen midis pikave kritike të funksionit. Por, sa i përket funksionit të një ndryshoreje, jo çdo pikë kritike është një pikë ekstreme.

Teorema 9.2 (kusht i mjaftueshëm për ekstremin e FNP)

Le të jetë P 0 pika kritike e funksionit Dhe= f(P) dhe është diferenciali i rendit të dytë të këtij funksioni. Pastaj

a) nëse d 2 u(P 0) > 0 në , atëherë P 0 është një pikë minimale funksionet Dhe= f(P);

b) nëse d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimale funksionet Dhe= f(P);

c) nëse d 2 u(P 0) nuk përcaktohet me shenjë, atëherë P 0 nuk është një pikë ekstreme;

Ne do ta shqyrtojmë këtë teoremë pa prova.

Vini re se teorema nuk merr parasysh rastin kur d 2 u(P 0) = 0 ose nuk ekziston. Kjo do të thotë që çështja e pranisë së një ekstremi në pikën P 0 në kushte të tilla mbetet e hapur - nevojiten kërkime shtesë, për shembull, një studim i rritjes së funksionit në këtë pikë.

Në lëndët më të detajuara të matematikës vërtetohet se, në veçanti për funksionin z = f(x,y) të dy ndryshoreve, diferenciali i rendit të dytë i të cilave është një shumë e formës

mund të thjeshtohet studimi i pranisë së një ekstremi në pikën kritike P 0.

Le të shënojmë , , . Le të hartojmë një përcaktor

.

Rezulton:

d 2 z> 0 në pikën P 0, d.m.th. P 0 – pikë minimale, nëse A(P 0) > 0 dhe D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

nëse D(P 0)< 0, то d 2 z në afërsi të pikës P 0 ndryshon shenjë dhe nuk ka ekstrem në pikën P 0;

nëse D(Р 0) = 0, atëherë kërkohen edhe studime shtesë të funksionit në afërsi të pikës kritike Р 0.

Kështu, për funksionin z = f(x,y) nga dy ndryshore kemi algoritmin e mëposhtëm (le ta quajmë "algoritmi D") për gjetjen e një ekstremi:

1) Gjeni domenin e përkufizimit D( f) funksionet.

2) Gjeni pikat kritike, d.m.th. pikë nga D( f), për të cilat dhe janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

3) Në çdo pikë kritike P 0, kontrolloni kushtet e mjaftueshme për ekstremin. Për ta bërë këtë, gjeni , ku , , dhe llogaritni D(P 0) dhe A(P 0). Pastaj:

nëse D(P 0) >0, atëherë në pikën P 0 ka një ekstrem, dhe nëse A(P 0) > 0 - atëherë ky është minimumi, dhe nëse A(P 0)< 0 – максимум;

nëse D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Nëse D(P 0) = 0, atëherë nevojiten kërkime shtesë.

4) Në pikat ekstreme të gjetura, llogaritni vlerën e funksionit.

Shembulli 1.

Gjeni ekstremin e funksionit z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Zgjidhje. Fusha e përcaktimit të këtij funksioni është i gjithë plani koordinativ. Le të gjejmë pikat kritike.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Le të kontrollojmë nëse janë plotësuar kushtet e mjaftueshme për ekstremin. Ne do të gjejmë

6X, = -3, = 48në Dhe = 288xy – 9.

Atëherë D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – në pikën Р 1 ka një ekstrem, dhe meqë A(P 1) = 3 >0, atëherë ky ekstrem është një minimum. Pra min z=z(P 1) = .

Shembulli 2.

Gjeni ekstremin e funksionit .

Zgjidhja: D( f) =R 2. Pikat kritike: ; nuk ekziston kur në= 0, që do të thotë P 0 (0,0) është pika kritike e këtij funksioni.

2, = 0, = , = , por D(P 0) nuk është i përcaktuar, kështu që studimi i shenjës së tij është i pamundur.

Për të njëjtën arsye, është e pamundur të zbatohet drejtpërdrejt teorema 9.2 - d 2 z nuk ekziston në këtë pikë.

Le të shqyrtojmë rritjen e funksionit f(x, y) në pikën P 0 . Nëse D f =f(P) - f(P 0)> 0 "P, atëherë P 0 është pika minimale, por nëse D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Në rastin tonë kemi

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Në D x= 0.1 dhe D y= -0,008 marrim D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 dhe D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, d.m.th. në afërsi të pikës P 0 nuk plotësohet as kushti D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) dhe prandaj P 0 nuk është një pikë maksimale), as kushti D f>0 (d.m.th. f(x, y) > f(0, 0) dhe pastaj P 0 nuk është një pikë minimale). Kjo do të thotë, sipas përkufizimit të një ekstremi, ky funksion nuk ka ekstreme.

Ekstrem i kushtëzuar.

Ekstremumi i konsideruar i funksionit quhet pa kushte, pasi nuk vendosen kufizime (kushte) në argumentet e funksionit.

Përkufizimi 9.2. Ekstremi i funksionit Dhe = f(X 1 , X 2 , ... , x n), gjendet me kusht që argumentet e saj X 1 , X 2 , ... , x n plotësoni ekuacionet j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ku P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), thirri ekstremi i kushtëzuar .

Ekuacionet j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, quhen ekuacionet e lidhjes.

Le të shohim funksionet z = f(x,y) dy variabla. Nëse ekuacioni i lidhjes është një, d.m.th. , atëherë gjetja e një ekstremi të kushtëzuar do të thotë që ekstremi nuk kërkohet në të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit, por në një kurbë që shtrihet në D( f) (d.m.th., nuk janë pikat më të larta ose më të ulëta të sipërfaqes që kërkohen z = f(x,y), dhe pikat më të larta ose më të ulëta midis pikave të kryqëzimit të kësaj sipërfaqeje me cilindrin, Fig. 5).

Ekstrem i kushtëzuar i një funksioni z = f(x,y) e dy variablave mund të gjenden në mënyrën e mëposhtme ( metoda e eliminimit). Nga ekuacioni, shprehni një nga variablat në funksion të një tjetri (për shembull, shkruani ) dhe, duke zëvendësuar këtë vlerë të ndryshores në funksion, shkruani këtë të fundit si funksion të një ndryshoreje (në rastin e konsideruar ). Gjeni ekstremin e funksionit rezultues të një ndryshoreje.

Ekstrema e funksioneve të disa variablave. Një kusht i domosdoshëm për një ekstrem. Kusht i mjaftueshëm për një ekstrem. Ekstrem i kushtëzuar. Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit. Gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla.

Leksioni 5.

Përkufizimi 5.1. Pika M 0 (x 0, y 0) thirrur pikë maksimale funksionet z = f (x, y), Nëse f (x o , y o) > f(x,y) për të gjitha pikat (x, y) M 0.

Përkufizimi 5.2. Pika M 0 (x 0, y 0) thirrur pikë minimale funksionet z = f (x, y), Nëse f (x o , y o) < f(x,y) për të gjitha pikat (x, y) nga ndonjë lagje e një pike M 0.

Shënim 1. Pikët maksimale dhe minimale quhen pika ekstreme funksionet e disa variablave.

Vërejtje 2. Pika ekstreme për një funksion të çdo numri variablash përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Teorema 5.1(kushtet e nevojshme për një ekstrem). Nëse M 0 (x 0, y 0)– pika ekstreme e funksionit z = f (x, y), atëherë në këtë pikë derivatet e pjesshme të rendit të parë të këtij funksioni janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

Dëshmi.

Le të rregullojmë vlerën e ndryshores në, duke numëruar y = y 0. Pastaj funksioni f (x, y 0) do të jetë funksion i një ndryshoreje X, për të cilën x = x 0është pika ekstreme. Prandaj, sipas teoremës së Fermatit, ose nuk ekziston. E njëjta deklaratë vërtetohet në mënyrë të ngjashme për .

Përkufizimi 5.3. Pikat që i përkasin domenit të një funksioni të disa ndryshoreve në të cilat derivatet e pjesshme të funksionit janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë quhen pika të palëvizshme këtë funksion.

Koment. Kështu, ekstremi mund të arrihet vetëm në pika të palëvizshme, por nuk vërehet domosdoshmërisht në secilën prej tyre.

Teorema 5.2(kushte të mjaftueshme për një ekstrem). Lëreni në ndonjë lagje të pikës M 0 (x 0, y 0), e cila është një pikë e palëvizshme e funksionit z = f (x, y), ky funksion ka derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në renditjen e tretë përfshirëse. Le të shënojmë Atëherë:

1) f(x,y) ka në pikën M 0 maksimale nëse AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ka në pikën M 0 minimale nëse AC–B² > 0, A > 0;

3) nuk ka ekstrem në pikën kritike nëse AC–B² < 0;

4) nëse AC–B² = 0, nevojiten kërkime të mëtejshme.

Dëshmi.

Le të shkruajmë formulën Taylor të rendit të dytë për funksionin f(x,y), duke kujtuar se në një pikë të palëvizshme derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero:

Ku Nëse këndi ndërmjet segmentit M 0 M, Ku M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ në), dhe boshti O X shënojmë φ, pastaj Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Në këtë rast, formula e Taylor-it do të marrë formën: . Le Atëherë ne mund të pjesëtojmë dhe shumëzojmë shprehjen në kllapa me A. Ne marrim:

Le të shqyrtojmë tani katër raste të mundshme:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и në Δρ mjaftueshëm të vogël. Prandaj, në disa lagje M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0) dmth M 0- pikë maksimale.

2) Le AC–B² > 0, A > 0. Pastaj , Dhe M 0- pikë minimale.

3) Le AC-B² < 0, A> 0. Konsideroni shtimin e argumenteve përgjatë rrezes φ = 0. Pastaj nga (5.1) rezulton se , domethënë kur lëviz përgjatë kësaj rreze, funksioni rritet. Nëse lëvizim përgjatë një rreze të tillë që tg φ 0 = -A/B, Se , pra, kur lëviz përgjatë kësaj rreze, funksioni zvogëlohet. Pra, periudha M 0 nuk është një pikë ekstreme.

3`) Kur AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

ngjashëm me atë të mëparshëm.

3``) Nëse AC–B² < 0, A= 0, atëherë . Në të njëjtën kohë. Pastaj për φ mjaft të vogël shprehja 2 B cosφ + C sinφ është afër 2 NË, domethënë ruan një shenjë konstante, por sinφ ndryshon shenjën në afërsi të pikës M 0. Kjo do të thotë se rritja e funksionit ndryshon shenjën në afërsi të një pike të palëvizshme, e cila për rrjedhojë nuk është një pikë ekstreme.

4) Nëse AC–B² = 0, dhe , , pra, shenja e rritjes përcaktohet me shenjën 2α 0. Në të njëjtën kohë, kërkime të mëtejshme janë të nevojshme për të sqaruar çështjen e ekzistencës së një ekstremi.

Shembull. Le të gjejmë pikat ekstreme të funksionit z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Për të gjetur pika të palëvizshme, ne zgjidhim sistemin . Pra, pika e palëvizshme është (-2,-1). Në të njëjtën kohë A = 2, NË = -2, ME= 4. Pastaj AC–B² = 4 > 0, pra, në një pikë të palëvizshme arrihet një ekstrem, domethënë një minimum (pasi A > 0).

Përkufizimi 5.4. Nëse argumentet e funksionit f (x 1 , x 2 ,…, x n) janë të lidhura me kushte shtesë në formular m ekuacionet ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

ku funksionet φ i kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme, atëherë thirren ekuacionet (5.2). ekuacionet e lidhjes.

Përkufizimi 5.5. Ekstremi i funksionit f (x 1 , x 2 ,…, x n) kur plotësohen kushtet (5.2), quhet ekstremi i kushtëzuar.

Koment. Ne mund të ofrojmë interpretimin gjeometrik të mëposhtëm të ekstremit të kushtëzuar të një funksioni të dy ndryshoreve: leni argumentet e funksionit f(x,y) lidhur me ekuacionin φ (x,y)= 0, duke përcaktuar një lakore në rrafshin O xy. Rindërtimi i pinguleve në rrafshin O nga çdo pikë e kësaj lakore xy derisa të kryqëzohet me sipërfaqen z = f (x,y), marrim një kurbë hapësinore të shtrirë në sipërfaqen mbi kurbë φ (x,y)= 0. Detyra është të gjesh pikat ekstreme të lakores që rezulton, të cilat, natyrisht, në rastin e përgjithshëm nuk përkojnë me pikat ekstreme të pakushtëzuara të funksionit. f(x,y).

Le të përcaktojmë kushtet e nevojshme për një ekstrem të kushtëzuar për një funksion të dy variablave duke paraqitur fillimisht përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizimi 5.6. Funksioni L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Ku λi - disa janë konstante, të quajtura Funksioni i Lagranzhit, dhe numrat λ i– shumëzuesit e pacaktuar të Lagranzhit.

Teorema 5.3(kushtet e nevojshme për një ekstrem të kushtëzuar). Ekstrem i kushtëzuar i një funksioni z = f (x, y) në prani të ekuacionit të bashkimit φ ( x, y)= 0 mund të arrihet vetëm në pikat stacionare të funksionit Lagranzh L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Dëshmi. Ekuacioni i bashkimit specifikon një varësi të nënkuptuar në nga X, prandaj do të supozojmë se në ka një funksion nga X: y = y(x). Pastaj z ekziston një funksion kompleks nga X, dhe pikat e tij kritike përcaktohen nga kushti: . (5.4) Nga ekuacioni i bashkimit rezulton se . (5.5)

Le të shumëzojmë barazinë (5.5) me një numër λ dhe ta mbledhim atë me (5.4). Ne marrim:

, ose .

Barazia e fundit duhet të plotësohet në pikat e palëvizshme, nga të cilat rrjedh:

(5.6)

Përftohet një sistem prej tre ekuacionesh për tre të panjohura: x, y dhe λ, dhe dy ekuacionet e para janë kushtet për pikën e palëvizshme të funksionit të Lagranzhit. Duke eliminuar të panjohurën ndihmëse λ nga sistemi (5.6), gjejmë koordinatat e pikave në të cilat funksioni origjinal mund të ketë një ekstrem të kushtëzuar.

Vërejtje 1. Prania e një ekstremumi të kushtëzuar në pikën e gjetur mund të kontrollohet duke studiuar derivatet e pjesshme të rendit të dytë të funksionit të Lagranzhit në analogji me teoremën 5.2.

Vërejtje 2. Pikat në të cilat mund të arrihet ekstremi i kushtëzuar i funksionit f (x 1 , x 2 ,…, x n) kur plotësohen kushtet (5.2), mund të përkufizohen si zgjidhje të sistemit (5.7)

Shembull. Le të gjejmë ekstremumin e kushtëzuar të funksionit z = xy duke pasur parasysh se x + y= 1. Le të kompozojmë funksionin Lagranzh L(x, y) = xy + λ (x + y - 1). Sistemi (5.6) duket si ky:

Ku -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Në të njëjtën kohë L(x,y) mund të paraqitet në formë L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, pra në pikën stacionare të gjetur L(x,y) ka një maksimum, dhe z = xy - maksimumi i kushtëzuar.