Kuptimi i ligjit numra të mëdhenj Chebyshev është si më poshtë. Ndërsa një ndryshore individuale e rastësishme mund të marrë vlera shumë larg nga ajo pritje matematikore, mesatarja aritmetike e një numri të madh ndryshoresh të rastësishme me një probabilitet afër unitetit merr një vlerë që ndryshon pak nga mesatarja aritmetike e pritjeve të tyre matematikore.
Një rast i veçantë i ligjit Chebyshev të numrave të mëdhenj. Le - një sekuencë e variablave të rastësishme të pavarura në çift që kanë varianca të kufizuara së bashku, d.m.th.
dhe të njëjtat pritshmëri matematikore . Pastaj, çfarëdo që të jetë , relacioni është i vlefshëm
Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga formula (), pasi 
Komentoni. Ata thonë se një ndryshore e rastësishme konvergon në probabilitet tek numri A, nëse për një probabilitet të vogël arbitrarisht të pabarazisë me rritje n i afrohet unitetit pa kufi. Konvergjenca në probabilitet nuk do të thotë se . Në të vërtetë, në rastin e fundit pabarazia vlen për të gjithë mjaftueshëm vlera të mëdha n. Në rastin e konvergjencës në probabilitet, kjo pabarazi për vlerat individuale arbitrarisht të mëdha n Ndoshta nuk ekzekutohet. Megjithatë, dështimi për të kënaqur pabarazinë për vlera të mëdha n Ka një ngjarje shumë të rrallë (të pamundur). Duke marrë parasysh këtë, rast i veçantë Ligji i numrave të mëdhenj të Chebyshev mund të formulohet si më poshtë.
Mesatarja aritmetike 
variabla të rastësishme të pavarura në çift
, duke pasur së bashku varianca të kufizuara dhe pritshmëri matematikore identike
, konvergjon në probabilitet në a.
Le të shpjegojmë kuptimin e një rasti të veçantë të ligjit të numrave të mëdhenj të Chebyshev. Supozoni se duam të gjejmë vlerën e vërtetë A disa sasi fizike(për shembull, madhësia e një pjese). Për ta bërë këtë, ne do të bëjmë një sërë matjesh të pavarura nga njëra-tjetra. Çdo matje shoqërohet me ndonjë gabim (). Prandaj, çdo rezultat i mundshëm i matjes është një ndryshore e rastësishme (indeks i- numri i matjes). Le të supozojmë se në çdo dimension nuk ka gabim sistematik, pra devijimet nga kuptimin e vërtetë A të sasisë së matur në të dy drejtimet janë njësoj të mundshme. Në këtë rast, pritshmëritë matematikore të të gjitha variablave të rastit janë të njëjta dhe të barabarta me vlerën e matur A, d.m.th.
Së fundi, le të supozojmë se matjet janë bërë me njëfarë saktësie të garantuar. Kjo do të thotë se për të gjitha matjet. Kështu, ne jemi në kushtet e ligjit të Chebyshev të numrave të mëdhenj, dhe për këtë arsye, nëse numri i dimensioneve është mjaft i madh, atëherë me siguri praktike mund të themi se sido që të jetë, mesatarja rezultatet aritmetike matja ndryshon nga vlera e vërtetë A më pak se
Në fillim të kursit ne folëm tashmë për faktin se ligjet matematikore teoritë e probabilitetit përftohen duke abstraktuar modele reale statistikore të qenësishme në dukuritë e rastësishme masive. Prania e këtyre modeleve lidhet pikërisht me natyrën masive të fenomeneve, pra me një numër të madh eksperimentesh homogjene të kryera ose me një numër të madh ndikimesh kumulative të rastësishme, të cilat në tërësinë e tyre gjenerojnë një variabël të rastësishëm që i nënshtrohet një ligj të mirëpërcaktuar. Vetia e qëndrueshmërisë së fenomeneve të rastësishme masive ka qenë e njohur për njerëzimin që nga kohërat e lashta. Cilado qoftë zona që shfaqet, thelbi i saj zbret në sa vijon: veçori specifikeçdo fenomen i rastësishëm individual nuk ka pothuajse asnjë ndikim në rezultatin mesatar të masave dhe fenomeneve të tilla; Devijimet e rastësishme nga mesatarja, të pashmangshme në çdo fenomen individual, anulohen reciprokisht, rrafshohen, rrafshohen në masë. Është ky stabilitet i mesatareve që përfaqëson përmbajtjen fizike të "ligjit të numrave të mëdhenj", të kuptuar në kuptimin e gjerë të fjalës: me një numër shumë të madh fenomenesh të rastësishme, rezultati mesatar i tyre praktikisht pushon së qeni i rastësishëm dhe mund të parashikohet. me një shkallë të lartë sigurie.
NË në kuptimin e ngushtë fjala "ligji i numrave të mëdhenj" në teorinë e probabilitetit do të thotë një seri teorema matematikore, në secilën prej të cilave, për kushte të caktuara, vërtetohet fakti që karakteristikat mesatare të një numri të madh eksperimentesh i afrohen konstanteve të caktuara.
Në 2.3 ne kemi formuluar tashmë më të thjeshtën nga këto teorema - teorema e J. Bernoulli. Ajo pretendon se me një numër të madh eksperimentesh, frekuenca e një ngjarjeje i afrohet (më saktë, konvergjon në probabilitet) me probabilitetin e kësaj ngjarjeje. Me të tjerët, më shumë forma të përgjithshme Ne do të prezantojmë ligjin e numrave të mëdhenj në këtë kapitull. Të gjithë ata përcaktojnë faktin dhe kushtet e konvergjencës në probabilitetin e disa variablave të rastësishëm në variabla konstante, jo të rastësishme.
Ligji i numrave të mëdhenj luan një rol të rëndësishëm në aplikime praktike teoria e probabilitetit. Vetia e variablave të rastësishëm, në kushte të caktuara, të sillen praktikisht si ato jo të rastësishme, lejon që njeriu të operojë me besim me këto sasi dhe të parashikojë rezultatet e fenomeneve të rastësishme masive me pothuajse siguri të plotë.
Mundësitë e parashikimeve të tilla në fushën e dukurive të rastësishme masive zgjerohen më tej nga prania e një grupi tjetër teoremash kufitare, të cilat nuk kanë të bëjnë me vlerat kufizuese të ndryshoreve të rastit, por me ligjet kufizuese të shpërndarjes. Bëhet fjalë për rreth një grupi teoremash të njohura si "teorema e kufirit qendror". Ne kemi thënë tashmë se kur përmbledhim një numër mjaft të madh të ndryshoreve të rastit, ligji i shpërndarjes së shumës i afrohet në mënyrë të pacaktuar normales, duke iu nënshtruar kushteve të caktuara. Këto kushte, të cilat mund të formulohen matematikisht në mënyra të ndryshme - në një formë pak a shumë të përgjithshme - në thelb zbresin në kërkesën që ndikimi në shumën e termave individualë të jetë uniformisht i vogël, domethënë që shuma të mos përfshijë anëtarët që dominojnë qartë tërësinë pjesa tjetër sipas ndikimit të tyre në shpërndarjen e shumës. Format e ndryshme të teoremës së kufirit qendror ndryshojnë nga njëra-tjetra në kushtet për të cilat krijohet kjo veti kufizuese e shumës së ndryshoreve të rastit.
Forma të ndryshme të ligjit të numrave të mëdhenj së bashku me forma të ndryshme Teorema e kufirit qendror formon një grup të ashtuquajturave teorema kufitare të teorisë së probabilitetit. Teoremat kufitare bëjnë të mundur jo vetëm kryerjen e parashikimeve shkencore në fushën e dukurive të rastësishme, por edhe vlerësimin e saktësisë së këtyre parashikimeve.
Në këtë kapitull do të shqyrtojmë vetëm disa nga më forma të thjeshta teorema kufizuese. Së pari, ne do të shqyrtojmë teoremat që lidhen me grupin "ligji i numrave të mëdhenj", pastaj teoremat që lidhen me grupin "teorema e kufirit qendror".
"Ligji i numrave të mëdhenj" në teorinë e probabilitetit kuptohet si një seri teoremash matematikore, secila prej të cilave, për kushte të caktuara, përcakton faktin se karakteristikat mesatare të një numri të madh eksperimentesh i afrohen konstanteve të caktuara.
Ai bazohet në pabarazinë e Chebyshev:
Probabiliteti që devijimi i një variabli të rastësishëm X nga pritshmëria e tij matematikore në vlerë absolute është më i vogël numër pozitivε, jo më pak se:
E vlefshme për r.v diskrete dhe të vazhdueshme.
53. Teorema e Chebyshev.
Le të ketë një sekuencë të pafundme variablash të rastësishëm të pavarur 
me të njëjtat pritshmëri matematikore dhe varianca të kufizuara nga e njëjta konstante C:
Atëherë, cilido qoftë numri pozitiv, probabiliteti i ngjarjes priret në një.
54. Teorema e Bernulit.
Le të prodhohet n teste të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A është i barabartë me p.
55. Koncepti i teoremës së kufirit qendror të Lyapunov.
Shpërndarja e shumës së një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura në kushte shumë të përgjithshme është afër shpërndarjes normale.
Dihet se variablat e rastësishëm të shpërndarë normalisht janë të shpërndara gjerësisht në praktikë. Një shpjegim për këtë u dha nga A.M Lyapunov në qendër teorema e kufirit: nëse një ndryshore e rastësishme është shuma e një numri shumë të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura reciprokisht, ndikimi i secilës prej të cilave në të gjithë shumën është i papërfillshëm, atëherë ajo ka një shpërndarje afër normales.
56. Popullata e përgjithshme dhe kampioni: përkufizimet dhe konceptet bazë.
Statistikat matematikore janë një shkencë që merret me zhvillimin e metodave për marrjen, përshkrimin dhe përpunimin e të dhënave eksperimentale me qëllim të studimit të modeleve të dukurive masive të rastësishme.
Problemet e statistikave matematikore:
Vlerësimi i një funksioni të panjohur të shpërndarjes bazuar në rezultatet e matjes.
Gradë parametra të panjohur shpërndarjet.
Testimi i hipotezave statike.
Le të studiojmë disa karakteristikë sasiore x.
Pastaj nën popullata e përgjithshme kuptohet tërësia e të gjitha kuptimeve të mundshme të saj.
Për të studiuar pronat të kësaj karakteristike Nga popullata e përgjithshme, një pjesë e elementeve zgjidhet rastësisht nga variantet Xi, të cilat formojnë një popullatë ose kampion kampion.
Numri i elementeve të një koleksioni quhet objekti i tij n.
Kampionimi: 1) kampionimi i përsëritur, në të cilin objekti i përzgjedhur (para se të zgjidhni atë të radhës) i kthehet popullatës së përgjithshme.
2) kampionim jo-përsëritës, në të cilin objekti i përzgjedhur i kthehet popullatës së përgjithshme.
Për të përdorur të dhënat e kampionit për të gjykuar me besim të mjaftueshëm për karakteristikat e popullatës së përgjithshme që na interesojnë, është e nevojshme që kampioni të jetë përfaqësues)
Në bazë të ligjit të numrave të mëdhenj, mund të argumentohet se një kampion do të jetë përfaqësues nëse kryhet në mënyrë të rastësishme: çdo objekt në popullatë duhet të ketë të njëjtën probabilitet për t'u përfshirë në kampion.
Nëse objekti i popullsisë është mjaft i madh, dhe kampioni përbën vetëm një pjesë të vogël të kësaj popullate, atëherë dallimi midis mostrave të përsëritura dhe jo-përsëritëse fshihet.
Një listë opsionesh të renditura në rend rritës quhet një seri variacionesh.
Numri i vëzhgimeve të një opsioni të caktuar quhet frekuenca e tij ni, dhe raporti i frekuencës ni me objektin e mostrës është n-frekuenca relative wi.
Nëse dukuria e stabilitetit mesatare ndodh në realitet, pastaj në modeli matematik me të cilin studiojmë dukuritë e rastësishme, duhet të ketë një teoremë që pasqyron këtë fakt.
Në kushtet e kësaj teoreme, ne vendosim kufizime për ndryshoret e rastësishme X 1 , X 2 , …, Xn:
a) çdo ndryshore e rastësishme Xi ka një pritshmëri matematikore
M(Xi) = a;
b) varianca e secilit ndryshore e rastësishmeështë e fundme ose, mund të themi se variancat kufizohen nga lart me të njëjtin numër, për shembull ME, d.m.th.
D(Xi) < C, i = 1, 2, …, n;
c) variablat e rastësishëm janë të pavarura në çift, pra çdo dy X i Dhe Xj në i¹ j të pavarur.
Pastaj padyshim
D(X 1 + X 2 + … + Xn)=D(X 1) +D(X 2) + ... + D(Xn).
Le të formulojmë ligjin e numrave të mëdhenj në formën Chebyshev.
Teorema e Chebyshev: me rritje të pakufizuar në numër n teste të pavarura " mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme konvergjon në probabilitet me pritshmërinë e saj matematikore “, pra për çdo pozitiv ε
R(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)
Kuptimi i shprehjes "mesatarja aritmetike = konvergjon sipas probabilitetit në një" është se probabiliteti që do të ndryshojnë sa më pak nga a, i afrohet 1 pa kufi ndërsa numri rritet n.
Dëshmi. Për numër i kufizuar n teste të pavarura, ne aplikojmë pabarazinë e Chebyshev për variablin e rastësishëm = :
R(|– M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)
Duke marrë parasysh kufizimet a – b, ne llogarisim M( ) Dhe D( ):
M( ) = = = = = = A;
D(
) = = 
= = = = .
Zëvendësimi M( ) Dhe D( ) në pabarazi (4.1.2), marrim
R(| –a| < ε )≥1 – .
Nëse në pabarazi (4.1.2) marrim arbitrarisht të vogël ε >0i n® ¥, atëherë marrim
= 1,
që vërteton teoremën e Chebyshev.
Nga teorema e shqyrtuar rrjedh një e rëndësishme përfundim praktik: kemi të drejtë të zëvendësojmë vlerën e panjohur të pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme me mesataren vlera aritmetike, të marra nga mjaftueshëm një numër i madh eksperimente. Për më tepër, sa më shumë eksperimente të ketë për të llogaritur, aq më shumë më shumë gjasa(besueshmëria) mund të presim që gabimi i lidhur me këtë zëvendësim ( - A) nuk do të kalojë vlerën e specifikuar ε .
Përveç kësaj, ju mund të zgjidhni të tjera probleme praktike. Për shembull, sipas vlerave të probabilitetit (besueshmërisë). R=R(| – a|< ε ) dhe gabimi maksimal i lejuar ε përcaktoni numrin e kërkuar të eksperimenteve n; Nga R Dhe P përcaktojnë ε; Nga ε Dhe P përcaktoni kufirin e probabilitetit të një ngjarjeje | – a |< ε.
Rast special. Le në n testet e vëzhguara n vlerat e ndryshoreve të rastësishme X, duke pasur një pritshmëri matematikore M(X) dhe variancës D(X). Vlerat e marra mund të konsiderohen si variabla të rastit X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xn,. Kjo duhet kuptuar si më poshtë: një seri e P testet kryhen në mënyrë të përsëritur, kështu që si rezultat i-testi i= l, 2, 3, ..., P, në çdo seri testesh do të shfaqet një ose një vlerë tjetër e një ndryshoreje të rastësishme X, nuk dihet paraprakisht. Prandaj, i-e vlerë x i ndryshore e rastësishme e marrë në i-testi, ndryshon rastësisht nëse kaloni nga një seri testesh në tjetrën. Pra çdo vlerë x i mund të konsiderohet si një ndryshore e rastësishme Xi.
Le të supozojmë se testet plotësojnë kërkesat e mëposhtme:
1. Testet janë të pavarura. Kjo do të thotë se rezultatet X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., Xn teste – variabla të pavarura të rastësishme.
2. Testet kryhen në të njëjtat kushte - kjo do të thotë, nga pikëpamja e teorisë së probabilitetit, se secili nga variablat e rastësishëm X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xn ka të njëjtin ligj të shpërndarjes me vlerën origjinale X, Kjo është arsyeja pse M(X i) = M(X) Dhe D(X i) = D(X), i = 1, 2, .... P.
Duke marrë parasysh kushtet e mësipërme, marrim
R(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)
Shembulli 4.1.1. Xështë e barabartë me 4. Sa eksperimente të pavarura kërkohen në mënyrë që, me një probabilitet prej të paktën 0,9, mund të pritet që vlera mesatare aritmetike e kësaj ndryshoreje të rastësishme të ndryshojë nga pritshmëria matematikore me më pak se 0,5?
Zgjidhje.Sipas kushteve të problemit ε = 0,5; R(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. Zbatimi i formulës (4.1.3) për variablin e rastësishëm X, marrim
P(|– M(X)| < ε ) ≥ 1 – .
Nga marrëdhënia
1 – = 0,9
le të përcaktojmë
P= = = 160.
Përgjigju: Kërkohen 160 eksperimente të pavarura.
Nëse supozojmë se mesatarja aritmetike shpërndahet normalisht, marrim:
R(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.
Nga ku, duke përdorur tabelën e funksionit Laplace, marrim ≥
≥
1,645, ose ≥ 6,58, d.m.th. n ≥49.
Shembull 4.1.2. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme X barazohet me D( X) = 5. Janë kryer 100 eksperimente të pavarura, nga të cilat është llogaritur . Në vend të vlerës së panjohur të pritjes matematikore A pranuar . Përcaktoni vlerën maksimale të gabimit të lejuar me një probabilitet prej të paktën 0.8.
Zgjidhje. Sipas kushteve të problemit n= 100, R(| –a|< ε ) ≥0.8. Le të zbatojmë formulën (4.1.3)
R(| –a|< ε ) ≥1 – .
Nga marrëdhënia
1 – = 0,8
le të përcaktojmë ε :
ε 2 = = = 0,25.
Prandaj, ε = 0,5.
Përgjigju: vlera maksimale e gabimit ε = 0,5.
4.2. Ligji i numrave të mëdhenj në formën e Bernulit
Megjithëse baza e të gjitha konkluzioneve statistikore është koncepti i probabilitetit, ka vetëm disa raste në të cilat ne mund të përcaktojmë drejtpërdrejt probabilitetin e një ngjarjeje. Ndonjëherë kjo probabilitet mund të përcaktohet bazuar në konsideratat e simetrisë, mundësive të barabarta, etj., por nuk ka asnjë metodë universale që do të lejonte dikë që të tregojë probabilitetin e saj për një ngjarje arbitrare. Teorema e Bernulit bën të mundur përafrimin e probabilitetit nëse për ngjarjen me interes për ne A mund të kryhen teste të pavarura të përsëritura. Le të prodhohet P prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ndonjë ngjarjeje Aështë konstante dhe e barabartë R.
Teorema e Bernulit. Me një rritje të pakufizuar të numrit të testeve të pavarura P frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje A konvergon në probabilitet në probabilitet fq ndodhja e një ngjarjeje A,T. e.
P(½ - fq½≤ ε) = 1, (4.2.1)
Ku ε – një numër pozitiv arbitrarisht i vogël.
Për finalen n me kusht që 
, pabarazia Chebyshev për një ndryshore të rastësishme do të ketë formën:
P(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)
Dëshmi. Le të zbatojmë teoremën e Chebyshev. Le X i– numri i dukurive të ngjarjes A V i- testi i saj, i= 1, 2, . . . , n. Secila nga sasitë X i mund të marrë vetëm dy vlera:
X i= 1 (ngjarje A ka ndodhur) me probabilitet fq,
X i= 0 (ngjarje A nuk ka ndodhur) me probabilitet q= 1– fq.
Le Y n= . Shuma X 1 + X 2 + … + Xn e barabartë me numrin m dukuritë e ngjarjes A V n teste (0 m n), që do të thotë Y n= – frekuenca relative e ndodhjes së ngjarjes A V n testet. Pritshmëria dhe varianca X i janë të barabartë përkatësisht:
M( ) = 1∙fq + 0∙q = fq,
