Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için.

Tebrikler: bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan köklere bakacağız :)

Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, bunun nedeni köklerin karmaşık olması değil (bunun nesi bu kadar karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha), çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir orman yoluyla tanımlanır ki, yalnızca ders kitaplarının yazarları bunu yapabilir. bu yazıyı kendileri anlayabilirler. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Sonra açıklayacağım: tüm bunlara neden ihtiyaç duyuluyor ve pratikte nasıl uygulanıyor.

Ancak öncelikle, birçok ders kitabı derleyicisinin bazı nedenlerden dolayı “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$, ayrıca her türlü $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (her türlü $\sqrt) olabilir (a)$, $\ sqrt(a)$, vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı çift olandan biraz farklıdır.

Muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i bu kahrolası "biraz farklı" da gizlidir. O halde terminolojiyi kesin olarak açıklığa kavuşturalım:

Tanım. Hatta kök N$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$b$ sayısı öyledir ki $((b)^(n))=a$. Ve aynı $a$ sayısının tek kökü genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.

Her durumda kök şu şekilde gösterilir:

\(A)\]

Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üssü, $a$ sayısına da köklü ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü alıyoruz (bu arada, bu çift dereceli bir kök) ve $n=3$ için kübik kökü (tek dereceli) alıyoruz; problemlerde ve denklemlerde de sıklıkla bulunur.

Örnekler. Klasik karekök örnekleri:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizala)\]

Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Küp kökleri de yaygındır - onlardan korkmanıza gerek yok:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizala)\]

Birkaç “egzotik örnek”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizala)\]

Çift derece ile tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamıyorsanız tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız, bu nedenle çift ve tek üslü sayılar için ayrı bir tanım yapmamız gerekti.

Neden köklere ihtiyaç var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci şu soruyu soracaktır: "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içiyordu?" Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyaç var?

Bu soruyu cevaplamak için bir anlığına ilkokula dönelim. Unutmayın: Ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. "Beş'e beş - yirmi beş" gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtlüler ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ancak konu bu değil. İşin püf noktası farklı: Matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şu şekilde yazmakta zorlanırlar:

Bu yüzden dereceler buldular. Neden faktör sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi bir şey:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltıldı ve 5.183 kadarını yazmak için bir sürü parşömen ve defter yaprağı harcamanıza gerek yok. Bu kayıt, bir sayının kuvvetleri olarak adlandırıldı; içinde bir dizi özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Sadece derecelerin "keşfi" için düzenlenen görkemli bir içki partisinden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden şunu sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisi bilinmiyorsa?" Şimdi, gerçekten de, eğer $b$ sayısının diyelim ki 5'inci kuvvetinin 243 olduğunu biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü çoğu "hazır" güç için böyle bir "başlangıç" rakamının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz karar verin:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizala)\]

Ya $((b)^(3))=50$ ise? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek belli bir sayı bulmamız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerde ama neye eşit olduğunu anlayamazsınız.

Matematikçilerin $n$'ıncı kökleri bulmalarının nedeni tam olarak budur. $\sqrt(*)$ radikal simgesinin tanıtılmasının nedeni tam olarak budur. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tartışmıyorum: çoğu zaman bu kökler kolayca hesaplanır - yukarıda bu tür birkaç örnek gördük. Ancak yine de çoğu durumda, eğer rastgele bir sayı düşünürseniz ve sonra da bundan rastgele bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, korkunç bir serseri ile karşı karşıya kalırsınız.

Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki biçimimizle (tamsayı veya kesir olarak) temsil edilemez. Ve bu sayıyı hesap makinesine girerseniz şunu göreceksiniz:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\[\sqrt(2)=1,4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]

Veya işte başka bir örnek:

\[\sqrt(3)=1,73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]

Ancak tüm bu yuvarlamalar öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir dizi bariz olmayan hata yakalayabilirsiniz (bu arada, Birleşik Devlet Sınavı profilinde karşılaştırma ve yuvarlama becerisinin kontrol edilmesi gerekir).

Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, bize uzun zamandır aşina olduğumuz kesirler ve tamsayılar gibi, $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Bir kökün $\frac(p)(q)$ formunun kesirli kısmı olarak temsil edilememesi, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, kuvvetler, sınırlar vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında daha fazlasını başka zaman anlatacağım.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örneği ele alalım.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(align)\]

Doğal olarak kökün görünümünden virgülden sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize irrasyonel bir sayının yalnızca ilk birkaç rakamını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.

İşte tam da bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.

Neden iki tanıma ihtiyaç var?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökler, ister pozitif ister negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakin bir şekilde çıkarılabilir.

Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$ değerini hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafik üzerinde parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ çizgisi çizilir (kırmızıyla işaretlenmiştir): $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı çünkü

İlk sayıyla ilgili her şey açık - pozitif, yani kök:

Peki o zaman ikinci noktayla ne yapmalı? Sanki dördünün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, eğer −2 sayısının karesini alırsak, aynı zamanda 4 elde ederiz. O halde neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Peki öğretmenler neden bu tür paylaşımlara sizi yemek istiyormuş gibi bakıyorlar :)

Sorun şu ki, eğer herhangi bir ek koşul dayatmazsanız, o zaman dörtlünün pozitif ve negatif olmak üzere iki karekökü olacaktır. Ve herhangi bir pozitif sayıda da bunlardan iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır; bu aynı grafikten de görülebilir, çünkü parabol hiçbir zaman eksenin altına düşmez. sen yani negatif değerleri kabul etmez.

Çift üslü tüm kökler için benzer bir sorun ortaya çıkar:

1. Açıkça konuşursak, her pozitif sayının $n$ üssü çift olan iki kökü olacaktır;
2. Negatif sayılardan $n$ çift olan kök hiçbir şekilde çıkarılmaz.

Bu nedenle $n$ çift dereceli bir kökün tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Belirsizlikten bu şekilde kurtuluruz.

Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, normal olanın aksine, hem yukarı hem de aşağı olmak üzere her iki yönde de sonsuza gider. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan alınabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kök olarak kabul edildiğini ve hangisini göz ardı edeceğinizi düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle tek derece için kökleri belirlemek çift derece için olduğundan daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında anlatılmaması üzücü. Bunun yerine beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kökün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor. Ve bunun hakkında ayrı bir derste detaylı olarak konuşacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü o olmasaydı $n$'ıncı çokluğun kökleri hakkındaki düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamalısınız. Aksi takdirde terimlerin çokluğundan dolayı kafanızda öyle bir karmaşa başlayacak ki sonunda hiçbir şey anlayamayacaksınız.

Tek yapmanız gereken çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Bu nedenle kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayalım:

1. Çift dereceli bir kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve kendisi de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan oluşur ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Apaçık? Evet, tamamen açık! Şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır; bu ayrı bir derste tartışılacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca çift indeksli kökler için geçerli olan en önemli "numara" yı ele alacağız. Bu özelliği formül olarak yazalım:

\[\sqrt(((x)^(2n))))=\left| x\sağ|\]

Yani bir sayıyı çift kuvvete yükseltip sonra aynı kuvvetin kökünü çıkarırsak orijinal sayıyı değil modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilecek basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'yi ayrı ayrı, ardından negatif olanları ayrı ayrı dikkate almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşuyor, her okul ders kitabında veriliyor. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani kök işareti içeren denklemleri) çözmeye gelince, öğrenciler oybirliğiyle bu formülü unutuyorlar.

Konuyu detaylı anlamak için bir dakikalığına tüm formülleri unutalım ve doğrudan iki sayıyı hesaplamaya çalışalım:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Bunlar çok basit örnekler. Çoğu kişi ilk örneği çözecektir ancak birçok kişi ikincide takılıp kalacaktır. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman aşağıdaki prosedürü göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak sayının dördüncü kuvvetine yükseltilir. Aslında bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edeceksiniz;
2. Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. Köklerde ve güçlerde "azalma" meydana gelmez - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeye bakalım: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, öncelikle kökün altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Daha sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarıyoruz:

Şimdi aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk olarak, −3 sayısını dördüncü kuvvetine yükseltiriz, bu da sayının 4 kez kendisiyle çarpılmasını gerektirir:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Pozitif bir sayı elde ettik, çünkü çarpımdaki toplam eksi sayısı 4 ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksiye eksi artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:

Prensipte bu satır yazılamazdı çünkü cevabın aynı olması hiç de akıllıca değil. Onlar. aynı eşit gücün eşit kökü eksileri “yakar” ve bu anlamda sonuç normal bir modülden ayırt edilemez:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4))))=\left| 3 \sağ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizala)\]

Bu hesaplamalar, çift dereceli bir kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayı içerir. Aksi takdirde kök tanımsızdır.

Prosedürle ilgili not

1. $\sqrt(((a)^(2))))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve sonra elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $((a)^(2))\ge 0$ olduğundan, kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan emin olabiliriz;
2. Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısının kökünü aldığımız ve ancak ondan sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz; bu, tanımda yer alan zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökler ve dereceler düşüncesizce azaltılmamalı, böylece orijinal ifadenin "basitleştirildiği" iddia edilmemelidir. Çünkü eğer kök negatif bir sayıya sahipse ve üssü çift ise bir sürü problemle karşı karşıya kalırız.

Ancak tüm bu sorunlar yalnızca çift göstergelerle ilgilidir.

Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma

Doğal olarak, tek üslü köklerin de kendi özellikleri vardır ve bu, prensipte çift üslerde mevcut değildir. Yani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kısacası tek dereceli köklerin işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz. Bu, tüm dezavantajları "ortadan kaldırmanıza" olanak tanıyan çok kullanışlı bir özelliktir:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizala)\]

Bu basit özellik birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Artık endişelenmenize gerek yok: Ya olumsuz bir ifade kökün altında gizlenmişse, ancak kökteki derecenin eşit olduğu ortaya çıkarsa? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genel olarak pek çok şüpheli şey yapılabilir, bu da "klasik" kökler durumunda bizi garanti altına alır. bir hata.

Ve burada başka bir tanım sahneye çıkıyor; çoğu okulun irrasyonel ifadeler üzerine çalışmaya başladığı tanımla aynı. Ve bu olmadan akıl yürütmemiz eksik olurdu. Tanışmak!

Aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift/tek göstergeleri unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım; yalnızca negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?

Ve sonra bir aritmetik kök elde edeceğiz - bu, "standart" tanımlarımızla kısmen örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.

Tanım. Negatif olmayan bir sayı olan $a$'ın $n$'ıncı derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.

Gördüğümüz gibi artık pariteyle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: Radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden ne kadar farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:

Gördüğünüz gibi, bundan sonra yalnızca ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz - burada $x$ ve $y$ koordinatları pozitif (veya en azından sıfır). Kökün altına negatif bir sayı koyma hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmıyor.

Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden bu kadar kısırlaştırılmış bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Yukarıda verilen standart tanımı neden yapamıyoruz?"

Yeni tanımın uygun olmasını sağlayacak tek bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Lütfen unutmayın: Radikal ifadeyi herhangi bir kuvvete yükseltebilir ve aynı zamanda kök üssü aynı kuvvetle çarpabiliriz - sonuç aynı sayı olacaktır! İşte örnekler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4))))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Peki önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte nedeni. Basit bir ifadeyi ele alalım: $\sqrt(-2)$ - bu sayı klasik anlayışımıza göre oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Bunu dönüştürmeye çalışalım:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Gördüğünüz gibi, ilk durumda radikalin altındaki eksiyi kaldırdık (üs tek olduğu için her hakkımız var) ve ikinci durumda yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. Matematiksel açıdan bakıldığında her şey kurallara göre yapılır.

O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık üretmeye başlıyor.

Aritmetik kökler bu tür belirsizliklerden kurtulmak için icat edildi. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız ayrı bir büyük ders onlara ayrılmıştır. Bu yüzden şimdi bunların üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun oldu.

Cebirsel kök: daha fazlasını öğrenmek isteyenler için

Uzun süre bu konuyu ayrı bir paragrafa koysam mı, koymasam mı diye düşündüm. En sonunda onu burada bırakmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama "okul" seviyesinde değil, Olimpiyat seviyesine yakın bir seviyede.

Yani: bir sayının $n$th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek üslere bölünmeye ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkinlere uygun" bir tanım vardır. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$'inci kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayıları kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle en üste bir çizgi koyacağız:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme yalnızca üç türde gelir:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli cebirsel bir kök bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar;
2. Tek bir elemandan oluşan küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırın çift kuvvetlerinin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - yukarıda gördüğümüz $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ile aynı ikinci dereceden grafik fonksiyonu. Buna göre böyle bir düzenleme ancak pozitif bir sayıdan çift dereceli kökün çıkarılmasıyla mümkündür.

Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. İfadeleri değerlendirin:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Çözüm. İlk ifadeyle her şey basit:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört verir.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Burada tek sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üssü tek olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Son olarak son ifade:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Boş bir set aldık. Çünkü dördüncü (yani çift!) üssüne yükseltildiğinde bize -16 negatif sayısını verecek tek bir gerçek sayı yoktur.

Son not. Lütfen unutmayın: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Çünkü karmaşık sayılar da var - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok tuhaf şeyi hesaplamak oldukça mümkün.

Ancak karmaşık sayılara modern okul matematik derslerinde neredeyse hiç yer verilmez. Yetkililerimiz konunun "anlaşılmasının çok zor" olduğunu düşündüğü için çoğu ders kitabından çıkarıldılar.

Karekök nedir?

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Bu kavram çok basittir. Doğal diyebilirim. Matematikçiler her eyleme bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma da var. Çarpma var, bölünme de var. Kare alma var... Yani aynı zamanda var karekökünü alıyoruz! Bu kadar. Bu hareket ( kare kök) matematikte bu simgeyle gösterilir:

Simgenin kendisine güzel bir kelime denir " radikal".

Kök nasıl çıkarılır? Bakmak daha iyi örnekler.

9'un karekökü nedir? Hangi sayının karesi bize 9'u verir? 3'ün karesi bize 9'u verir! Onlar:

Peki sıfırın karekökü nedir? Sorun değil! Sıfır hangi sayının karesini yapar? Evet sıfır veriyor! Araç:

Anladım, karekök nedir? Sonra düşünürüz örnekler:

Cevaplar (karışıklık içinde): 6; 1; 4; 9; 5.

Karar verilmiş? Gerçekten, bu ne kadar kolay?

Ama... İnsan, kökleri olan bir görev gördüğünde ne yapar?

İnsan üzülmeye başlar... Köklerinin sadeliğine, hafifliğine inanmaz. Her ne kadar biliyor gibi görünse de karekök nedir...

Bunun nedeni kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu modalar sınavlardan ve sınavlardan acımasızca intikam alıyor...

Birinci nokta. Kökleri görerek tanımalısınız!

49'un karekökü nedir? Yedi? Sağ! Yedi olduğunu nasıl bildin? Yedinin karesi ve 49 mu aldın? Sağ! Lütfen bunu not al kökü çıkar 49'dan ters işlemi yapmak zorunda kaldık - 7. kare! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da gözden kaçırmış olabilirler...

Bu zorluk kök çıkarma. Kareİstediğiniz numarayı sorunsuzca kullanabilirsiniz. Bir sayıyı kendisiyle bir sütunla çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma Bu kadar basit ve hatasız bir teknoloji yoktur. Zorundayız toplamak cevaplayın ve karesini alarak doğru olup olmadığını kontrol edin.

Bu karmaşık yaratıcı süreç (bir yanıtın seçilmesi) büyük ölçüde basitleştirilir. Unutma popüler sayıların kareleri. Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki 4'ü 6 ile çarpmanız gerekiyorsa, 4'ü 6 kez toplamazsınız, değil mi? Cevap 24 hemen çıkıyor. Her ne kadar bunu herkes anlayamıyorsa da, evet...

Köklerle özgürce ve başarılı bir şekilde çalışmak için 1'den 20'ye kadar sayıların karelerini bilmek yeterlidir. Orası Ve geri. Onlar. Hem 11'in karesini, hem de 121'in karekökünü kolaylıkla okuyabilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. İlki kareler tablosunu öğrenmek. Bu, örnekleri çözmede çok yardımcı olacaktır. İkincisi ise daha fazla örnek çözmek. Bu, kareler tablosunu hatırlamanıza büyük ölçüde yardımcı olacaktır.

Ve hesap makinesi yok! Yalnızca test amaçlıdır. Aksi takdirde sınav sırasında acımasızca yavaşlarsınız...

Bu yüzden, karekök nedir Ve nasıl kökleri çıkarmak- Bence açık. Şimdi bunları NEYDEN çıkarabileceğimizi bulalım.

İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!

Hangi sayılardan karekök alınabilir? Evet, neredeyse hepsi. Neyden geldiğini anlamak daha kolay yasaktır onları çıkarın.

Bu kökü hesaplamaya çalışalım:

Bunu yapmak için karesi bize -4 verecek bir sayı seçmeliyiz. Biz seçiyoruz.

Ne, uymuyor mu? 2 2 +4 verir. (-2) 2 yine +4 verir! İşte bu... Karesi alındığında bize negatif sayı verecek hiçbir sayı yoktur! Gerçi bu numaraları biliyorum. Ama sana söylemeyeceğim). Üniversiteye git ve kendin öğreneceksin.

Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı için de yaşanacaktır. Dolayısıyla sonuç:

Karekök işaretinin altında negatif bir sayı bulunan bir ifade - mantıklı değil! Bu yasak bir operasyondur. Sıfıra bölmek kadar yasaktır. Bu gerçeği kesinlikle unutmayın! Veya başka bir deyişle:

Negatif sayılardan karekök çıkaramazsınız!

Ama diğerleri arasında bu mümkün. Örneğin, hesaplamak oldukça mümkün

İlk bakışta bu çok zordur. Kesirleri seçip karelerini almak... Merak etmeyin. Köklerin özelliklerini anladığımızda bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!

Tamam, kesirler. Ancak yine de şu tür ifadelerle karşılaşıyoruz:

Önemli değil. Hepsi aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize iki değerini veren sayıdır. Sadece bu sayı tamamen eşitsizdir... İşte:

İlginç olan bu kesrin hiç bitmemesi... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde bu en yaygın şeydir. Bu arada köklü ifadelere bu nedenle denir. mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle sonsuz kesir yerine şu şekilde bırakıyorlar:

Bir örneği çözerken çıkarılamayan bir şeyle karşılaşırsanız, örneğin:

sonra bu şekilde bırakıyoruz. Cevap bu olacak.

Simgelerin ne anlama geldiğini açıkça anlamalısınız

Tabii sayının kökü alınırsa düz, bunu yapmalısın. Görevin cevabı formdadır, örneğin

Oldukça eksiksiz bir cevap.

Ve elbette, hafızadaki yaklaşık değerleri bilmeniz gerekir:

Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmeye büyük ölçüde yardımcı olur.

Üçüncü nokta. En kurnaz.

Köklerle çalışmadaki asıl karışıklık bu noktadan kaynaklanmaktadır. Kendi yeteneklerine güven veren odur... Gelin bu noktayı doğru ele alalım!

Öncelikle yine dördünün karekökünü alalım. Seni bu kökle zaten rahatsız ettim mi?) Boşver, şimdi ilginç olacak!

4'ün karesi hangi sayıdır? Peki, iki, iki - tatminsiz cevaplar duyuyorum...

Sağ. İki. Ama aynı zamanda eksi iki 4'ün karesini verecek... Bu arada cevap

doğru ve cevap

büyük hata. Bunun gibi.

Peki sorun nedir?

Aslında (-2) 2 = 4. Ve karekök dört tanımına göre eksi iki oldukça uygun... Bu aynı zamanda dördün karekökü.

Ancak! Okul matematik dersinde karekökleri dikkate almak gelenekseldir. yalnızca negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi pozitif. Özel bir terim bile icat edildi: numaradan A- Bu negatif olmayan karesi olan sayı A. Aritmetik bir karekök çıkarırken negatif sonuçlar basitçe atılır. Okulda her şey kareköktür - aritmetik. Her ne kadar bundan özellikle bahsedilmese de.

Tamam, bu anlaşılabilir. Olumsuz sonuçlarla uğraşmamak daha da iyidir... Bu henüz kafa karışıklığı değil.

İkinci dereceden denklemleri çözerken kafa karışıklığı başlar. Örneğin aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekiyor.

Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):

Bu cevap (bu arada kesinlikle doğru) sadece kısaltılmış bir versiyondur. iki Yanıtlar:

Dur dur! Hemen yukarıda karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman negatif olmayan! Ve işte cevaplardan biri: olumsuz! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ancak son değil) sorundur... Gelin bu sorunu çözelim. Cevapları (sadece anlamak için!) şu şekilde yazalım:

Parantezler cevabın özünü değiştirmez. Sadece parantezle ayırdım işaretler itibaren kök. Artık kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğunu açıkça görebilirsiniz! Ve işaretler denklem çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken şunu yazmalıyız: Tüm Orijinal denklemde yerine konulduğunda doğru sonucu verecek olan X'ler. Beşin kökü (pozitif!) hem artı hem de eksi ile denklemimize uyuyor.

Bunun gibi. Eğer sen sadece karekökünü al her şeyden, sen Her zaman alırsın negatif olmayan bir sonuç. Örneğin:

Çünkü bu - aritmetik karekök.

Ancak ikinci dereceden bir denklem çözüyorsanız, örneğin:

O Her zamançıkıyor iki cevap (artı ve eksi ile):

Çünkü denklemin çözümü bu.

Umut, karekök nedir Görüşlerinizi net bir şekilde anladınız. Şimdi köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmaya devam ediyor. Ve püf noktaları ve tuzaklar nelerdir... pardon, taşlar!)

Bütün bunlar aşağıdaki derslerde.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Belediye devlet eğitim kurumu - 31 numaralı ortaokul
Biyoloji ders notları, 6. sınıf
Öğretmen: Purtova E.V., biyoloji öğretmeni 1. aday.
2012, Sredneuralsk
Bir bitkinin neden bir köke ihtiyacı vardır?
Görevler:
1. Bitki organizmasının beslenme özellikleri hakkında bilgi geliştirmeye devam edin.
2. Öğrencilere kökün fonksiyonlarını tanıtın.
3. Grup halinde çalışma ve sunum yapma yeteneğini geliştirmek; metinle çalışın (soruların yanıtlarını bulun, başkalarını bilgilendirin); Deneylerin sonuçlarını açıklar.
4. Nesneleri karşılaştırma, bilgileri analiz etme, sonuç çıkarma ve kendi bakış açınızı tartışma yeteneğini geliştirin.
5. Bir bitkinin yapısı ve işleyişine ilişkin bilginin pratik önemini gösterin.
6. Bitkileri, diğer canlı organizmaların yaşamında küresel bir rol oynayan bir grup organizma olarak sunarak ekolojik düşüncenin oluşumuna katkıda bulunmak. ve adam.
Dersler sırasında.
Bilginin güncellenmesi.
Gösteri masasında un, karabuğday, çay, meyve suyu vb. var.
Konuşma:
Bir insan neden bu yiyeceklere ihtiyaç duyar? (onlardan kişi büyümek, hareket etmek vb. için besin maddeleri (proteinler, yağlar, karbonhidratlar) alır)
Bu yiyeceklerin kökeni nedir? Neyden yapildilar? (cevap verirken herbaryumlar veya bitki fotoğrafları gösterilir)
Yaşamak için insanlar ve hayvanlar, birisinin (bitkiler veya diğer hayvanlar) zaten yarattığı besinlerden aldıkları enerjiye ihtiyaç duyarlar. Ve bitkilerin kendisi de inorganik maddelerden organik maddeler oluşturur. Bu sürece ne dendiğini hatırlıyor musunuz? (fotosentez)
Fotosentez bitkilerin hangi kısımlarında gerçekleşir?
Fotosentezin gerçekleştiği hücre organellerinin adları nelerdir? (kloroplastlar)
Fotosentez sonucunda neler üretilir? Bitki ürettiği organik maddeleri nasıl kullanıyor?
Bir bitkide glikoz hangi maddelerden oluşur?
Yapraktaki karbondioksit nereden gelir?
Yapraktaki su nereden gelir?

Sorunun formülasyonu.
Veya kök başka işlevleri de yerine getirebilir mi?
(cevapların dinlenmesi, ana fikirlerin tahtaya yazılması)
Varsayımlarınızı nasıl test edebilirsiniz?
(literatür çalışmak, deneyler yapmak, doğal nesneleri incelemek)
Ders konusu: Bir bitkinin neden bir köke ihtiyacı vardır?
Yeni materyal öğrenme.
4 kişilik gruplar halinde çalışın. Gruptaki rollerin dağılımı, görevlerin tamamlanması (5-7 dakika). Sonuçların tartışılması:
Grup No. Ana çıkış
1 Kökler bitkiye su sağlar
2 Kök besinleri depolar
3 Kök besinleri depolar
4 Kök bitkiyi toprakta tutar
5 Kökler mineralleri emer
Kök bitkilerde hangi işlevleri yerine getirir? (bitkiyi toprakta tutar, su ve mineralleri emer, besin maddelerini depolar)
Beden eğitimi dakikası.
Her çocuğa belirli bir renkteki kağıt üzerinde bir cümle parçası verilir. Bu cümleleri tahtaya yazmanız gerekiyor.
Tahtadaki sonuç:
- Bitkiyi toprakta tutar
-mineralli suyu emer
- Besin maddelerini depolar.
Bu kayıtlar (kökün ana işlevleri) sorunlu sorunun cevabıdır. Öğrenciler bunları defterlerine yazarlar.
Malzemenin sabitlenmesi.
Ivan Andreevich Krylov ismini biliyor musunuz? (Rus fabülisti).
"Yapraklar ve Kökler" adında bir masalı vardır.
Güzel bir yaz gününde,
Vadiye gölge düşüren,
Şekerlemeli ağacın yaprakları fısıldadı,
Kalınlıkları ile övündüler
Zefirler kendileri hakkında şöyle yorumladılar:
“Tüm vadinin güzelliği olduğumuz doğru değil mi?
Ağacı o kadar gür ve kıvırcık yaptık ki,
Geniş ve görkemli mi?
Biz olmasaydık nasıl olurdu? Peki, doğru.
Günah işlemeden de kendimizi övebiliriz!
Çoban sıcağından değil miyiz?
Ve gezgini serin gölgede mi saklayacağız?
Güzelliğimizin yanında değil miyiz?
Çobanları burada dans etmeye mi çekiyoruz?
Erken ve geç şafak vaktimiz var
Bülbül ıslık çalar.
Evet siz şekerlemeler, tek başınızasınız
Bizden neredeyse hiç ayrılmıyorsun.”
"Burada da teşekkür edebiliriz"
Yeraltından bir ses alçakgönüllülükle onlara cevap verdi.
“Kim bu kadar küstahça ve kibirli konuşmaya cesaret edebilir!
Sen kimsin orada?
Neden bize böyle davranmaya bu kadar cüret ediyorlar?”
Yapraklar ahşabın üzerinde hışırdamaya ve hışırdamaya başladı.
Yapraklarla konuşmaya kim girdi?
Köklerin bitkiye ne anlatabileceğini düşünüyorsunuz?
"Biz yegane kişileriz"
Onlara aşağıdan cevap verildi:
"Burada karanlığı karıştırırken,
Seni besliyoruz. Gerçekten tanımıyor musun?
Bizler, üzerinde çiçek açtığın ağacın kökleriyiz.
İyi zamanda gösteriş yapın!
Aramızdaki farkı unutma,
Yeni baharla birlikte yeni bir yaprağın doğacağını;
Ve eğer kök kurursa, -
Ağaç yok olacak, sen de yok olacaksın."
Kökler yapraklara doğru cevap verdi mi? Neden?
Bir bitki, tüm parçalarının (organlarının) birbirine bağlı olduğu bütün bir canlı organizmadır. Yapraklarda, gövde boyunca bitkinin tüm organlarına, her hücresine gönderilen, hatta meyve, tohum ve köklerde depolanabilen organik (besin) maddeler oluşur. Kök, büyüme için gerekli mineralleri ve organik maddenin oluşumu için suyu sağlar. Her bir bitki organının nasıl çalıştığı, tüm bitkinin nasıl hissedeceğini belirler.
Bir bitkinin yapraklarının, köklerinin veya gövdesinin zarar görmesinin sebepleri nelerdir? Bitkinin bu konuda ne düşündüğünü düşünüyorsun?
Böyle bir durumu anlatmaya çalışın ve bitkinin duygularını ifade etmeye çalışın. Mutlu sonla biten bir hikaye yaratabilirsiniz. Hikaye bitkinin kendi bakış açısından anlatılabilir. Bu senin ödevin olacak.
Ev ödevi.
Paragrafı oku. Kökün fonksiyonlarını bilir. Bir makale yazın (isteğe bağlı).
Sınav.
Atasözlerinin anlamını açıklayın: “Yeni diyarda ekmek ekerler, eski diyarda gübre taşırlar.”
- Kökleri olmadan pelin büyümez
- Yabani otları yenmek isteyen, kökleriyle savaşmalıdır.
2. Bitkilerde kökler hangi işlevleri yerine getirebilir?
3. Gübreler toprağa hangi amaçla uygulanır?
4. İnsanlar hangi kültür bitkilerinin kökünü yiyecek olarak kullanıyor? Bu köklere ne denir?
Edebiyat:
1. Biyoloji: Bitkiler. Bakteriler. Mantarlar. Likenler: Genel eğitim kurumlarında 6. sınıf öğrencileri için ders kitabı./ Ed. prof. I.N. Ponomareva - M.: Ventana-Graf2. Biyoloji okuma kitabı: Bitkiler: 6-7. Sınıf öğrencileri için/Comp. DI. Trytak. – M.: Eğitim, 1996.

Uygulamalar.
№ 1.
Tablo verilerini inceleyin.
Kök sistemlerinin en büyük derinliği
Bitki adı Derinlik, m Oxalis 0,05
Karahindiba 0.3
Buğday 2.8
Kaktüsler 6 – 8
Deve dikeni 20
Hangi bitki en uzun köke sahiptir?
Bu bitki nerede yetişiyor?
Kökleri neden toprağın bu kadar derinlerine iniyor?
№ 2.
Bir meyvenin bitkinin diğer kısımlarından hangi özellikleriyle ayırt edilebileceğini hatırlıyor musunuz?
Önerilen setten meyveleri ve değiştirilmiş kökleri - kök sebzeleri seçin.
Hangi bitkilerin kökleri kök bitkilerine dönüştü?
Kök sebzelerin sıradan köklerden farkı nedir?
Bu tür kökler hangi işlevi yerine getirir?
Gruptaki rolleri dağıtın:
1 kişi görevi okur
1 kişi herkesin sırayla soruların cevaplarının tartışılmasına katılmasını sağlar
1 kişi sınıfın önünde soruları cevaplayacak
1 kişi grupta düzeni sağlar (böylece herkes birbirini dinler, çok yüksek sesle konuşmaz, diğer grupların çalışmalarını kesmez ve karışmaz)
№ 3.
Metni oku ve soruları yanıtla.
Havuç.
Havucun sulu ve etli kök sebzesi, büyük miktarda şekerin yanı sıra insan vücudu için gerekli olan çeşitli maddeleri içerdiğinden çok besleyicidir.
Kök sebzeler, vücutta A vitaminine dönüştürülen, vücudun büyümesi ve düzgün gelişimi için gerekli olan özel bir madde olan karoten açısından zengindir. A vitamini ayrıca insan vücudunun çeşitli hastalıklara karşı direncini artırır.
Havuç iki yıllık bir bitkidir. İlk yıl, kısaltılmış gövdeden yemyeşil bir yaprak rozeti gelişir ve kök mahsulde yedek besinler biriktirilir. İkinci yılda, kök mahsul bir metre yüksekliğe ulaşan bir gövdeyi fırlatır. Üzerinde çiçek salkımları gelişiyor - karmaşık şemsiyeler.
Sorular:
Havuç kaç yıl yaşar?
Havuç yaşamının ilk yılında neler oluşur? İkincisinde mi?
Kök sebzelerde hangi maddeler birikmektedir?
Neden bazı bitkiler kök üretir?
№ 5.
Aynı uzunlukta ve aynı sayıda yaprak içeren iki çelik (her biri 6 adet) bir bardak suya yerleştirildi. Mineral gübreler suya bir bardakta (“Deneysel tesis”) eklendi, diğerinde (“Kontrol tesisi”) eklenmedi.
Bu bitkileri düşünün, karşılaştırın.
Bu bitkilerden hangisi daha büyük? Hangisinin daha fazla yaprağı ve daha gelişmiş bir kök sistemi var?
Hangi bitki daha iyi büyüdü - mineral gübre alan mı yoksa sade suda büyüyen mi?
Mineraller tesise nasıl girdi?
Kökün bir bitkinin yaşamında oynadığı rol nedir?

Bitkilerin ve dişlerin kökleri olduğu biliniyor fakat Rusçada bir kelimenin kökü nedir? Bunu doğadan bir örnekle anlayabilirsiniz.

İkinci sınıf öğrencileri öncelikle şu soruyu sorabilirler: Bir çiçeğin neden köke ihtiyacı vardır? Bu temeldir, destektir, özdür, onsuz yaşayamayacağı bir şeydir. Yani Rus dilinde kelimelerin anlamlarını oluşturan bir temeli vardır.

Bir kelimenin kökünü çevrimiçi olarak belirleme

Rusça'da kök nedir

Konuya dönersek, bir tanım çıkarabiliriz: Kök, bir kelimenin ilgili kelimeleri birleştiren, ana anlamı içeren ortak paydasını birleştiren önemli bir parçasıdır. Kelimeler aynı köke sahipse aynı köktürler.

Aynı yazılan ancak farklı anlamlara gelen köklerin olduğunu bilmelisiniz. Söz konusu morfemi vurgulamak için kelimenin üzerine kökün ilk harfinden son harfine kadar bir yay çizilmelidir.

Bir kelimenin kökü nasıl belirlenir

Kelimelerin akrabalığı nasıl fark edilir ve ortak bir temele sahip oldukları nasıl belirlenir? Bir kelime seçmeniz ve onun için mümkün olduğu kadar çok "akraba" bulmanız gerekiyor.

Bu durumda ana kural, ortak kökün kelimelerin aynı anlamını göstermesi gerektiğidir. Yani bu kelimeleri kök kullanarak açıklamak mümkün olacaktır. Örneğin: bal, ballı kek, bal likörü, bal.

Bir kelimenin mutlaka bir kökü olması gerekmez, ancak iki kökü olması mümkündür. Bu tür kelimelere “karmaşık” denir ve diğerleri arasında tanınması zor değildir ( şelale, dona dayanıklı). Kökler sadece kelimenin diğer kısımlarıyla birlikte değil, ayrı ayrı da etkileşime girebilir.

Örneğin: kök -koymak kelimelerle ayrılık sözleri, üst geçitönekler, sonekler, sonlar ve kelimeyle birlikte sunulur yol zaten bağımsızdır.

Çevrimiçi bir kelimenin kökünü belirleme

Özel sitelerde kelimenin bileşik analizi yapılır ve bu da kelimenin kökenini çevrimiçi olarak belirlemenin zor olmayacağı anlamına gelir.

İnternetteki çoğu Rusça kelimenin morfemlerinin ayrıntılı bir analizini ve açıklamasını birçok kaynakta bulabilirsiniz, örneğin:

• http://udarenieru.ru/index.php?word=on&morph_word=online - vurgu.ru;
• http://wikislovo.ru/morphemic/ - wikislovo.ru;
• http://morphemeonline.ru/О/online - morphemaonline.ru ve diğerleri.

Her yerde gerekli kelimeyi girmeniz yeterlidir; program sizin için her şeyi yapacaktır. Bu tür bir yardım bazen çok faydalıdır, ancak genellikle kökü kendiniz izole etmek zor değildir.

Çocuklara ilkokulda yani 2. sınıfta bu öğretilir ve doğru anlatımla bir kelimenin kökünü belirleme becerisi genellikle uzun yıllar ısrarla korunur.

Kelimelerde kök bulma örnekleri

Örnek olarak birkaç morfemik analiz yapalım. Bir kelimenin kökünün ne olduğunu belirlemek için onunla ilgili kelimeleri seçeriz.

Bundan sonra ihtiyacımız olan morfem mutlaka belli olacaktır:

Tarla - tarlalar, tarla, direk, tarla faresi, Chistopol. Kök -Paul, bitirme -e.

Daha fazlası - çoğunluk, büyük, Bolşevik, büyük. Kök - Harika, son ek -e.

Yeşiller - yeşil, yeşillikler, manav, yeşillikler, yeşil, yeşile döner. Kök -yeşillik, boş son.

Etrafında - daire, daire, ilçeler, çevre, yuvarlak, dairesel. Kök - daire, konsol - içinde.

Yaz - yazdı, yazdı, yazdı, yaz, yaz. Kök -pis, sonek -A, bitirme -th.

Su - gölet, şelale, Deniz yosunu, damlacık, sulu, suda yaşayan, su kuşları, su taşıyan. Kök -su, bitirme -A.

Kısa - kısa, kısalt, kısalt, kısa saçlı, kısa. Kök -kısa, bitirme -y.

Özgürce - özgürce, özgürce, özgürce, özgürce. Konsol -at, kök -irade, son ekler -N Ve -Ö.

Kendine ait - kendine ait, kendine ait, kendine ait, kendi iradesiyle. Burada kelime iki kökten oluşuyor -onun Ve -onların, boş ek ve bitiş vardır.

Ağır - ağır, ağır, ağır, dava, ağırlık. Kök - kordon, sonek - yemek yedi, bitirme - y.

Bu konuda kafanızın karışmaması için bir başka önemli noktayı ele alalım: Köklerde ses değişimlerine izin verilir. Örneğin sesli harfler: parlak - parlak.Ünlüler akıcı olabilir: keten - keten.Ünsüzler: genç - genç.

Çözüm

Rusça'da bir kökün amacı nedir? Bunun kelime için çok şey ifade ettiğini görüyoruz - kelime dağarcığı açısından kökenini, anlamını anlamaya ve doğru yazımı kontrol etmeye yardımcı oluyor.

Kökü ararken, kelimenin kendi kendine ortaya çıkmadığını anlıyoruz, ancak sanki bir ailesi, bütün bir akraba ordusu var gibi görünüyor. Bu konuyu incelemek kelimelerin nasıl oluştuğunu daha iyi anlamanıza ve kelime dağarcığınızı genişletmenize yardımcı olacaktır.