Bu derste denklem sistemlerini çözme yöntemini, yani cebirsel toplama yöntemini incelemeye devam edeceğiz. Öncelikle doğrusal denklemler örneğini ve özünü kullanarak bu yöntemin uygulanmasına bakalım. Denklemlerdeki katsayıların nasıl eşitleneceğini de hatırlayalım. Ve bu yöntemi kullanarak bir takım problemleri çözeceğiz.

Konu: Denklem sistemleri

Ders: Cebirsel toplama yöntemi

1. Örnek olarak doğrusal sistemleri kullanan cebirsel toplama yöntemi

Hadi düşünelim cebirsel toplama yöntemi doğrusal sistemler örneğini kullanarak.

Örnek 1. Sistemi çözün

Bu iki denklemi toplarsak y birbirini götürür ve geriye x için bir denklem kalır.

Birinci denklemden ikinciyi çıkarırsak x'ler birbirini götürür ve y için bir denklem elde ederiz. Cebirsel toplama yönteminin anlamı budur.

Sistemi çözdük ve cebirsel toplama yöntemini hatırladık. Özünü tekrarlayalım: Denklemleri toplayıp çıkarabiliriz, ancak yalnızca bir bilinmeyenli bir denklem elde ettiğimizden emin olmalıyız.

2. Katsayıların ön eşitlenmesiyle cebirsel toplama yöntemi

Örnek 2. Sistemi çözün

Terim her iki denklemde de mevcut olduğundan cebirsel toplama yöntemi uygundur. Birinci denklemden ikinciyi çıkaralım.

Cevap: (2; -1).

Böylece denklem sistemini inceledikten sonra cebirsel toplama yöntemine uygun olduğunu görebilir ve uygulayabilirsiniz.

Başka bir doğrusal sistemi ele alalım.

3. Doğrusal olmayan sistemlerin çözümü

Örnek 3. Sistemi çözün

Y'den kurtulmak istiyoruz ama iki denklemde y'nin katsayıları farklı. Bunları eşitleyelim; bunun için birinci denklemi 3, ikincisini 4 ile çarpalım.

Örnek 4. Sistemi çözün

x'in katsayılarını eşitleyelim

Bunu farklı şekilde yapabilirsiniz; y'nin katsayılarını eşitleyebilirsiniz.

Cebirsel toplama yöntemini iki kez uygulayarak sistemi çözdük.

Cebirsel toplama yöntemi aynı zamanda doğrusal olmayan sistemlerin çözümüne de uygulanabilir.

Örnek 5. Sistemi çözün

Bu denklemleri toplayalım ve y'den kurtulalım.

Aynı sistem cebirsel toplama yöntemi iki kez uygulanarak çözülebilir. Bir denklemden diğerine ekleme ve çıkarma yapalım.

Örnek 6. Sistemi çözün

Cevap:

Örnek 7. Sistemi çözün

Cebirsel toplama yöntemini kullanarak xy teriminden kurtulacağız. İlk denklemi ile çarpalım.

İlk denklem değişmeden kalır, ikincisi yerine cebirsel toplamı yazarız.

Cevap:

Örnek 8. Sistemi çözün

Mükemmel bir kareyi yalnız bırakmak için ikinci denklemi 2 ile çarpın.

Görevimiz dört basit sistemi çözmeye indirgenmişti.

4. Sonuç

Doğrusal ve doğrusal olmayan sistemlerin çözümü örneğini kullanarak cebirsel toplama yöntemini inceledik. Bir sonraki derste yeni değişkenleri tanıtma yöntemine bakacağız.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar.- 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Makarychev N. Cebir. 9. sınıf: eğitici. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu., Sidorov V. Cebir. 9. sınıf. 16. baskı. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. baskı, silindi. - M.: 2010. - 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf. 2 bölüm halinde Bölüm 2. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. baskı, rev. - M.: 2010.-223 s.: hasta.

1. Üniversite bölümü. matematikte ru.

2. İnternet projesi “Görevler”.

3. Eğitim portalı “Birleşik Devlet Sınavını ÇÖZECEĞİM”.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 125 - 127 numara.

Konuyla ilgili bir ders planı indirmeniz gerekiyor » Cebirsel toplama yöntemi?

Cebirsel toplama yöntemi

İki bilinmeyenli bir denklem sistemini çeşitli şekillerde (grafiksel olarak veya bir değişkeni değiştirerek) çözebilirsiniz.

Bu derste muhtemelen beğeneceğiniz başka bir sistem çözme yöntemiyle tanışacağız - bu cebirsel toplama yöntemidir.

Sistemlere bir şeyler koyma fikri nereden geldi? Sistemleri çözerken asıl sorun iki değişkenin varlığıdır çünkü iki değişkenli denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmiyoruz. Bu, bunlardan birinin yasal bir şekilde hariç tutulması gerektiği anlamına gelir. Ve bu tür meşru yollar matematiksel kurallar ve özelliklerdir.

Bu özelliklerden biri şudur: Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Bu, eğer değişkenlerden birinin katsayıları zıtsa, bunların toplamı sıfıra eşit olacak ve bu değişkeni denklemin dışında tutabileceğiz anlamına gelir. İhtiyacımız olan değişkenle sadece terimleri ekleme hakkımızın olmadığı açıktır. Denklemlerin tamamını eklemeniz gerekir; benzer terimleri ayrı ayrı sol tarafa, sonra sağ tarafa ekleyin. Sonuç olarak tek değişken içeren yeni bir denklem elde ederiz. Spesifik örneklerle söylenenlere bakalım.

İlk denklemde bir y değişkeninin, ikincisinde ise tam tersi -y sayısının olduğunu görüyoruz. Bu, bu denklemin toplama işlemiyle çözülebileceği anlamına gelir.

Denklemlerden biri olduğu gibi bırakılmıştır. En çok sevdiğin herhangi biri.

Ancak bu iki denklemin terim terim toplanmasıyla ikinci denklem elde edilecektir. Onlar. 2x ile 3x'i, -y ile y'yi, 7 ile 8'i ekliyoruz.

Bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemin ikinci denklemi tek değişkenli basit bir denklemdir. Buradan x = 3'ü buluruz. Bulunan değeri ilk denklemde yerine koyarsak y = -1'i buluruz.

Cevap: (3; - 1).

Örnek tasarım:

Cebirsel toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme

Bu sistemde katsayıları zıt olan değişkenler yoktur. Ancak denklemin her iki tarafının da aynı sayıyla çarpılabileceğini biliyoruz. Sistemin ilk denklemini 2 ile çarpalım.

O zaman ilk denklem şu şekli alacaktır:

Şimdi x değişkeninin zıt katsayılara sahip olduğunu görüyoruz. Bu, ilk örnektekinin aynısını yapacağımız anlamına gelir: denklemlerden birini değiştirmeden bırakacağız. Mesela 2y + 2x = 10. Ve ikinciyi toplayarak elde ediyoruz.

Artık bir denklem sistemimiz var:

İkinci denklemden y = 1'i ve ardından ilk denklemden x = 4'ü kolayca buluruz.

Örnek tasarım:

Özetleyelim:

Cebirsel toplama yöntemini kullanarak iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini nasıl çözeceğimizi öğrendik. Böylece artık bu tür sistemleri çözmek için üç ana yöntem biliyoruz: grafiksel, değişken değiştirme yöntemi ve toplama yöntemi. Bu yöntemler kullanılarak hemen hemen her sistem çözülebilir. Daha karmaşık durumlarda bu tekniklerin bir kombinasyonu kullanılır.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 1, Genel eğitim kurumları için ders kitabı / A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, gözden geçirilmiş – Moskova, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 2, Eğitim kurumları için problem kitabı / [A.G. Mordkovich ve diğerleri]; A.G. tarafından düzenlendi. Mordkovich - 10. baskı, revize edilmiş - Moskova, “Mnemosyne”, 2007.
3. O. Tulchinskaya, Cebir 7. sınıf. Blitz araştırması: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bir el kitabı, 4. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş, Moskova, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Cebir 7. sınıf. A.G. tarafından düzenlenen, genel eğitim kurumlarının öğrencileri için yeni bir formda tematik test kağıtları. Mordkovich, Moskova, “Mnemosyne”, 2011.
5. Alexandrova L.A. Cebir 7. sınıf. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bağımsız çalışmalar, A.G. Mordkovich - 6. baskı, basmakalıp, Moskova, “Mnemosyne”, 2010.

OGBOU "Smolensk'te Özel Eğitim İhtiyaçları Olan Çocuklara Yönelik Eğitim Merkezi"

Uzaktan Eğitim Merkezi

7. sınıfta cebir dersi

Ders konusu: Cebirsel toplama yöntemi.

1. 1. Ders türü: Yeni bilginin ilk sunumu dersi.

Dersin amacı: yerine koyma yöntemini kullanarak denklem sistemlerini çözmede bilgi ve becerilerin kazanılma düzeyini kontrol etmek; Toplama yöntemini kullanarak denklem sistemlerini çözme beceri ve yeteneklerini geliştirmek.

Dersin Hedefleri:

Konu: İki değişkenli denklem sistemlerini toplama yöntemini kullanarak çözmeyi öğrenmek.

Meta konu: Bilişsel UUD: analiz edin (ana şeyi vurgulayın), kavramları tanımlayın, genelleyin, sonuç çıkarın. Düzenleyici UUD: Eğitim etkinliklerinde amacı, sorunu belirlemek. İletişimsel UUD: Fikrinizi gerekçelerini belirterek ifade edin. Kişisel UUD: föğrenmeye yönelik olumlu motivasyon oluşturmak, öğrencinin derse ve konuya karşı olumlu duygusal tutumunu oluşturmaktır.

Çalışma şekli: bireysel

Ders adımları:

1) Organizasyon aşaması.

Bu konuyu düşünme ve anlama bütünlüğüne yönelik bir tutum oluşturarak öğrencinin konuyla ilgili çalışmasını düzenler.

2. Öğrenciye ödev olarak verilen materyalle ilgili sorular sorulması, bilgilerin güncellenmesi.

Amaç: Öğrencinin ödev sırasında edindiği bilgileri test etmek, hataları belirlemek ve hatalar üzerinde çalışmak. Önceki dersteki materyali gözden geçirin.

3. Yeni materyalin incelenmesi.

1). toplama yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme becerisini geliştirmek;

2). yeni durumlarda mevcut bilgiyi geliştirmek ve iyileştirmek;

3). Kontrol ve öz kontrol becerilerini geliştirin, bağımsızlığı geliştirin.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Amaç: Görmeyi korumak, sınıfta çalışırken göz yorgunluğunu gidermek.

5. Çalışılan materyalin konsolidasyonu

Amaç: Derste edinilen bilgi, beceri ve yetenekleri test etmek

6. Ders özeti, ödev bilgisi, yansıma.

Dersin ilerlemesi (elektronik bir Google belgesinde çalışma):

1. Bugün derse Walter'ın felsefi bilmecesiyle başlamak istedim.

En hızlı ama aynı zamanda en yavaş, en büyük ama aynı zamanda en küçük, en uzun ve en kısa, en pahalı ama aynı zamanda bizim için ucuza değer verilen nedir?

Zaman

Konuyla ilgili temel kavramları hatırlayalım:

Önümüzde iki denklemden oluşan bir sistem var.

Son derste denklem sistemlerini nasıl çözdüğümüzü hatırlayalım.

İkame yöntemi

Bir kez daha çözülen sisteme dikkat edin ve sistemin her denklemini neden yerine koyma yöntemine başvurmadan çözemediğimizi söyleyin?

Çünkü bunlar iki değişkenli bir sistemin denklemleridir. Denklemleri tek değişkenli çözebiliriz.

Denklem sistemini ancak tek değişkenli bir denklem elde ederek çözebildik.

3. Aşağıdaki sistemi çözmeye devam ediyoruz:

Bir değişkeni diğeriyle ifade etmenin uygun olduğu bir denklem seçelim.

Böyle bir denklem yok.

Onlar. Bu durumda daha önce çalışılan yöntem bizim için uygun değildir. Bu durumdan çıkış yolu nedir?

Yeni bir yöntem bulun.

Dersin amacını formüle etmeye çalışalım.

Yeni bir yöntem kullanarak sistemleri çözmeyi öğrenin.

Sistemleri yeni bir yöntemle çözmeyi öğrenmek için ne yapmamız gerekiyor?

Bir denklem sistemini çözmek için kuralları (algoritmayı) bilmek, pratik görevleri tamamlamak

Yeni bir yöntem geliştirmeye başlayalım.

İlk sistemi çözdükten sonra çıkardığımız sonuca dikkat edin. Sistemi ancak tek değişkenli bir doğrusal denklem elde ettikten sonra çözmek mümkün oldu.

Denklem sistemine bakın ve verilen iki denklemden tek değişkenli bir denklemin nasıl elde edileceğini düşünün.

Denklemleri toplayın.

Denklem eklemek ne anlama geliyor?

Denklemlerin sol taraflarının toplamını, sağ taraflarının toplamını ayrı ayrı oluşturun ve elde edilen toplamları eşitleyin.

Hadi deneyelim. Benimle birlikte çalışıyoruz.

13x+14x+17y-17y=43+11

Tek değişkenli doğrusal bir denklem elde ettik.

Denklem sistemini çözdünüz mü?

Sistemin çözümü bir çift sayıdır.

Seni nasıl bulabilirim?

Bulunan x değerini sistem denkleminde değiştirin.

X'in değerini hangi denklemde yerine koyduğumuz önemli mi?

Bu, x'in bulunan değerinin şu şekilde değiştirilebileceği anlamına gelir:

Sistemin herhangi bir denklemi.

Yeni bir yöntemle tanıştık - cebirsel toplama yöntemi.

Sistemi çözerken bu yöntemi kullanarak sistemi çözmenin algoritmasını tartıştık.

Algoritmayı inceledik. Şimdi bunu problem çözmeye uygulayalım.

Denklem sistemlerini çözme yeteneği pratikte faydalı olabilir.

Sorunu ele alalım:

Çiftlikte tavuklar ve koyunlar var. Her ikisinin de 19 kafası ve 46 bacağı varsa, her ikisinden de kaç tane vardır?

Toplamda 19 tavuk ve koyun olduğunu bilerek ilk denklemi oluşturalım: x + y = 19

4x - koyunun bacak sayısı

2у - tavuklarda bacak sayısı

Sadece 46 ayak olduğunu bilerek ikinci denklemi oluşturalım: 4x + 2y = 46

Bir denklem sistemi oluşturalım:

Denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözüm algoritmasını kullanarak çözelim.

Sorun! X ve y'nin önündeki katsayılar eşit ve zıt değildir! Ne yapalım?

Başka bir örneğe bakalım!

Algoritmamıza bir adım daha ekleyip ilk sıraya koyalım: Değişkenlerin önündeki katsayılar aynı değilse ve zıt değilse o zaman bazı değişkenler için modülleri eşitlememiz gerekir! Daha sonra algoritmaya göre hareket edeceğiz.

4. Gözler için elektronik beden eğitimi: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Yeni materyali birleştirdikten sonra cebirsel toplama yöntemini kullanarak problemi tamamlıyoruz ve çiftlikte kaç tane tavuk ve koyun olduğunu öğreniyoruz.

Ek görevler:

6.

Refleks.

Sınıftaki çalışmalarıma not veririm...

6. Kullanılan İnternet kaynakları:

Eğitim için Google hizmetleri

Matematik öğretmeni Sokolova N. N.

Denklem sistemleri ekonomik sektörde çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.

Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemden oluşur. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal Denklem

ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. x, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.

Doğrusal denklem sistemi türleri

En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.

Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.

Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersinde permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemleri, Gauss yöntemiyle çözüm ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.

7. sınıf genel eğitim müfredatında yer alan doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak işlenir.

Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyen sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.

Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:

Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Bu örneği çözmek kolaydır ve Y değerini elde etmenizi sağlar. Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.

Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda yerine koyma yöntemiyle çözüm yapılması da uygun değildir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemler terim terim toplanır ve çeşitli sayılarla çarpılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.

Bu yöntemin uygulanması pratik ve gözlem gerektirir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm algoritması:

1. Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi

Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnek, yeni bir t değişkeninin eklenmesiyle sistemin 1. denkleminin standart ikinci dereceden üç terimliye indirgenmesinin mümkün olduğunu göstermektedir. Diskriminantını bularak bir polinomu çözebilirsiniz.

Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x = -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel yöntem

3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her denklemin koordinat ekseninde grafiğinin oluşturulmasından oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.

Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.

İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

Aşağıdaki örnek, bir doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmayı gerektirir: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.

Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu açıkça ortaya çıkar. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.

Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satıra sahip bir sütundan oluşan bir matristir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim denir.

Ters matris, çarpıldığında orijinalin birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için mevcuttur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemleriyle ilgili olarak denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matris sayıları olarak yazılır; bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, bir matris satırının sıfırdan farklı olduğu söylenir. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.

Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmaması durumunda sistemin bir çözümü vardır.

Determinant ikiye ikilik bir matris için kolayca hesaplanır; yalnızca köşegen elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girişleri azaltmanıza olanak tanır.

Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir x n vektörüdür ve değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme

Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilir. Bu yöntemler çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.

Gauss yöntemi, yerine koyma ve cebirsel toplama yoluyla çözümlere çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yöntemiyle çözüm kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.

7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini ortaokul öğrencilerinin anlaması zordur, ancak matematik ve fizik derslerinde ileri öğrenim programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.

Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:

Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris “ok” işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.

Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.

Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.

Bu matematik programını kullanarak, iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemini, yerine koyma yöntemini ve toplama yöntemini kullanarak çözebilirsiniz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm adımlarının açıklamalarıyla iki şekilde ayrıntılı bir çözüm sunuyor: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Denklem girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2

Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda ondalık sayılar ve sıradan kesirler biçimindeki kesirleri de kullanabilirsiniz.

Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık kesirlerdeki tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &

Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuyu yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. İkame yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayılarının zıt sayılara dönüşmesi için faktörleri seçerek sistem teriminin denklemlerini terimle çarpın;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistem denklemlerinde y'ye ait katsayıların zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin her biri yalnızca bir değişken içerir.