Er ya da geç okuldaki tüm çocuklar kesirleri öğrenmeye başlar: toplama, bölme, çarpma ve kesirlerle yapılabilecek tüm olası işlemler. Çocuğa uygun yardımı sağlamak için ebeveynlerin kendileri tam sayıları kesirlere nasıl böleceklerini unutmamalıdır, aksi takdirde ona hiçbir şekilde yardım edemezsiniz, sadece kafasını karıştırırsınız. Bu eylemi hatırlamanız gerekiyorsa ancak kafanızdaki tüm bilgileri tek bir kurala sığdıramıyorsanız, bu makale size yardımcı olacaktır: bir sayıyı kesire nasıl böleceğinizi öğrenecek ve net örnekler göreceksiniz.
Bir sayı kesre nasıl bölünür
Örneğinizi kaba bir taslak olarak yazın, böylece notlar alabilir ve silebilirsiniz. Tam sayıların hücrelerin arasına, kesişme noktalarına, kesirli sayıların ise her birinin kendi hücresine yazıldığını unutmayın.
- Bu yöntemde kesri ters çevirmeniz yani payın içine paydayı, paydanın içine de payı yazmanız gerekiyor.
- Bölme işareti çarpma olarak değiştirilmelidir.
- Şimdi tek yapmanız gereken daha önce öğrendiğiniz kurallara göre çarpma işlemini yapmak: pay bir tamsayı ile çarpılır, ancak paydaya dokunmazsınız.
Elbette bu işlemin sonucunda payda çok büyük bir sayı elde edeceksiniz. Bu durumda bir kesir bırakamazsınız - öğretmen bu cevabı kesinlikle kabul etmeyecektir. Payı paydaya bölerek kesri azaltın. Ortaya çıkan tam sayıyı hücrelerin ortasındaki kesrin soluna yazın, geri kalan yeni pay olacaktır. Payda değişmeden kalır.
Bu algoritma bir çocuk için bile oldukça basittir. Çocuk bunu beş veya altı kez tamamladıktan sonra işlemi hatırlayacak ve bunu herhangi bir kesire uygulayabilecektir.
Bir sayı ondalık sayıya nasıl bölünür
Başka kesir türleri de vardır - ondalık sayılar. Onlara bölünme tamamen farklı bir algoritmaya göre gerçekleşir. Böyle bir örnekle karşılaşırsanız talimatları izleyin:
- Öncelikle her iki sayıyı da ondalık sayıya dönüştürün. Bunu yapmak kolaydır: böleniniz zaten kesir biçiminde sunulmuştur ve doğal sayıyı virgülle bölerek ondalık kesir elde edersiniz. Yani, eğer temettü 5 ise, 5,0 kesirini elde edersiniz. Bir sayıyı virgül ve bölenden sonra kalan rakam sayısı kadar ayırmanız gerekir.
- Bundan sonra her iki ondalık kesri de doğal sayı haline getirmelisiniz. İlk başta biraz kafa karıştırıcı görünebilir, ancak bölmenin en hızlı yoludur ve birkaç pratik seansından sonra saniyeler sürecektir. 5.0 kesri 50, 6.23 kesri 623 olacak.
- Bölmeyi yapın. Sayılar büyükse veya bölme kalanla yapılacaksa bunu bir sütunda yapın. Bu şekilde bu örneğin tüm eylemlerini açıkça görebilirsiniz. Uzun bölme işlemi sırasında kendiliğinden ortaya çıkacağı için bilerek virgül koymanıza gerek yoktur.
Bu tür bir bölme işlemi başlangıçta çok kafa karıştırıcı görünebilir, çünkü böleni ve böleni kesire, ardından tekrar doğal sayılara dönüştürmeniz gerekir. Ancak kısa bir uygulamadan sonra, sadece birbirinize bölmeniz gereken sayıları hemen görmeye başlayacaksınız.
Kesirleri ve tam sayıları onlara göre doğru bir şekilde bölme yeteneğinin hayatta birçok kez işe yarayabileceğini unutmayın, bu nedenle bir çocuğun bu kuralları ve basit ilkeleri mükemmel bir şekilde bilmesi gerekir, böylece daha yüksek sınıflarda tökezleyen bir blok haline gelmezler. çocuk daha karmaşık görevleri çözemez.
§ 87. Kesirlerin eklenmesi.
Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.
Üç durumu sırasıyla ele alacağız:
1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
3. Karışık sayıların eklenmesi.
1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.
AB segmentini alalım (Şekil 17), bir olarak alalım ve 5 eşit parçaya bölelim, sonra bu segmentin AC kısmı AB segmentinin 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD segmentinin kısmı şuna eşit olacaktır: 2/5 AB.
Çizimden AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı görülmektedir; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu terimler ve ortaya çıkan toplam dikkate alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın ise değişmeden kaldığını görüyoruz.
Bundan aşağıdaki kuralı elde ederiz: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Bir örneğe bakalım:
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
Kesirleri toplayalım: 3/4 + 3/8 Öncelikle en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekiyor:
6/8 + 3/8 ara bağlantısı yazılamadı; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.
Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için öncelikle bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı etiketlemelisiniz.
Bir örneğe bakalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörler yazacağız):
3. Karışık sayıların eklenmesi.
Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.
Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:
Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:
§ 88. Kesirlerin çıkarılması.
Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:
1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.
1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
Bir örneğe bakalım:
13 / 15 - 4 / 15
AB parçasını alalım (Şekil 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.
4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:
Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.
Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
Örnek. 3/4 - 5/8
Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:
Ara madde 6/8 - 5/8 netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır, ancak daha sonra atlanabilir.
Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.
Bir örneğe bakalım:
3. Karışık sayılarda çıkarma.
Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.
Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:
Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ancak çıkarılanın kesirli kısmının eksilenin kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:
§ 89. Kesirlerin çarpımı.
Kesir çarpmasını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:
1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.
1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her bir terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.
Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:
Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,
Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayının içerdiği birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için
veya paydasını azaltarak 
, eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.
Buradan kuralı anlıyoruz:
Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.
Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür sorunlara örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.
Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların fiyatı ne kadardı?
Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?
Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda kaç tane tuğla ev var?
Bunlar, belirli bir sayının bir kısmını bulmakta karşılaştığımız birçok sorundan bazılarıdır. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.
Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:
Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:
300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).
300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü ikiye katlamanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:
100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).
Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,
400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).
400'ün dörtte üçünü hesaplamak için elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:
100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).
Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:
Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.
Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.
Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.
Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıkça anlaşılmaktadır: bir tamsayıyı (çarpan) bir kesirle (çarpan) çarpmak, çarpımın bu kesirini bulmak anlamına gelir.
Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.
Ancak şimdi ilginç ve önemli bir soru ortaya çıkıyor: Eşit sayıların toplamını bulmak ve bir sayının kesirini bulmak gibi görünüşte farklı olan işlemlere neden aritmetikte aynı "çarpma" kelimesi denir?
Bunun nedeni, önceki eylemin (bir sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (bir sayının kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden hareket ettiğimiz anlamına gelir.
Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?
Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).
Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 metresi ne kadara mal olur?”
Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.
Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.
Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.
Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?
Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:
Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.
50'nin 1/4'ü 50/4;
50 sayısının 3/4'ü
Buradan.
Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?
12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,
12 sayısının 5/8'i .
Buradan,
Buradan kuralı anlıyoruz:
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.
Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:
Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.
Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir, yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden itibaren faktörde yer alan kesri (çarpan) bulmanız gerekir.
Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.
Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?
Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.
3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:
5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:
Böylece,
Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.
5/8'in 1/9'u,
5/8 sayısının 4/9'u .
Böylece, 
Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:
Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.
Bu kural genel şekliyle şu şekilde yazılabilir:
Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:
5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı sayıların çarpılmasında kullanılır. Bu, çarpanın veya çarpanın veya her ikisinin de karışık sayı olarak ifade edildiği durumlarda bunların yerine bileşik kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini uygunsuz bir kesire dönüştürelim ve sonra elde edilen kesirleri bir kesirle bir kesirle çarpma kuralına göre çarpalım:
Kural. Tam sayılı sayıları çarpmak için, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:
6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi bir bölünmeye değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yedide birine bölünmemiş.
Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.
Genel olarak (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.
Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.
1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.
Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek
2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mevduat sahiplerine öder.
Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.
3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.
ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.
Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.
"Yüzde" kelimesi Latince'den alınmıştır ve "yüzde" kökü yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Bu ifadenin anlamı, başlangıçta eski Roma'da borçlunun borç verene "yüz başına" ödediği paraya verilen isim olmasından kaynaklanmaktadır. "Yüzde" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).
Örneğin, geçen ay fabrikanın ürettiği tüm ürünlerin 1/100'ünün kusurlu olduğunu söylemek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusur üretti. Fabrika belirlenen plandan 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine fabrika planı yüzde 4 oranında aştı diyeceğiz.
Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:
1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.
2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.
3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.
Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.
Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.
Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:
Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.
Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?
Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).
Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.
Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.
Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. 11 yaşındaki çocuklar %21, 12 yaşındaki çocuklar %61 ve 13 yaşındaki çocuklar ise %18'i oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?
Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.
Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi şunu yapalım:
1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?
2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?
3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?
Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:
63 + 183 + 54 = 300
Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu durum kamptaki toplam çocuk sayısının %100 olarak alındığını göstermektedir.
3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Sorunda belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?
Bu problemi çözmek için 1.200'ün kesrini 5 kere bulmanız gerekiyor.
1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Şimdi hesaplamayı yapalım:
2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:
3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?
4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?
5) İşçi ne kadar para biriktirdi?
Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.
Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.
§ 90. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:
1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.
Bunları sırasıyla ele alalım.
1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
Tamsayılar bölümünde belirtildiği gibi bölme, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan eylemdir.
Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle, tamsayılar alanında tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölen her zaman tamsayıya göre bölünen ürün değildir. Bir kesirle çarpma işlemini başlattıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün olarak değerlendirebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).
Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.
Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek.
6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.
Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:
Bu durumda pay 6 3'e bölünebildiğinden payın 3 katına çıkarılması gerekir.
Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını aynı payda bırakarak bu sayıyla çarpın.
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1/2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.
Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.
Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10
Kontrol edelim: 
Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmek istiyorsunuz. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şekil 19).
Şekil 19
6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak sonuçta ortaya çıkan 2'lik 18 parçayı birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,
Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 6'da 2/3'ün kaç katı var sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Önce şunu bulalım: 6'da 1/3'ün kaç katı var? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:
Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.
Kuralı harfleri kullanarak yazalım:
Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.
Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesrinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).
Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacaktır. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:
Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 bilinmeyen numara X 15/16
Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X öyle,
32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .
Buradan,
Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.
Kuralı harfleri kullanarak yazalım:
Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
5. Karışık sayıların bölümü.
Karışık sayıları bölerken, önce uygunsuz kesirlere dönüştürülmeli, daha sonra elde edilen kesirler kesirleri bölme kurallarına göre bölünmelidir. Bir örneğe bakalım:
Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:
Şimdi bölelim:
Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
Çeşitli kesir problemleri arasında bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği ve bu sayıyı bulmanız gereken problemler vardır. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesirinin bulunması gerekiyordu, burada bir sayının bir kesri veriliyordu ve bu sayının kendisinin bulunması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.
Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü kadar olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?
Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.
Evin 150 penceresi vardı.
Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?
Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; Bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:
1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).
Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,
500 8 = 4.000 (kg).
Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.
Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural türetilebilir.
Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.
Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, sonuncusunda özellikle açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).
Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.
Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:
Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.
Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.
Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)
Sorunun asıl noktası, bir tasarruf bankasına belli bir miktar para yatırıp orada bir yıl kalmamdır. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?
Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:
Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.
Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı yüzde 64 oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?
Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.
Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:
Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.
Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu cevabı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?
Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:
§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.
2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.
Belirli bir kesrin tersi olan bir kesir elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:
3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5
Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.
Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:
1/3, ters 3; 1/5, ters 5
Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılardan bahsedeceğiz.
Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: payın yerine paydayı koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının tersini de alabilirsiniz. Bu da 7'nin tersinin 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1
Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının karşılığı, birinin belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilir. Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Hatta 5/9 kesrinin tersini yazmamız gerekirse 1 alıp 5/9'a bölebiliriz yani.
Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:
Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.
Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .
Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.
6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:
İfadeye özellikle dikkat edin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .
İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılarak değiştirilebilir.
Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.
Bölme dahil kesirlerle her şeyi yapabilirsiniz. Bu makale sıradan kesirlerin bölünmesini göstermektedir. Tanımlar verilecek ve örnekler tartışılacaktır. Kesirleri doğal sayılara bölme ve bunun tersini ayrıntılı olarak ele alalım. Ortak bir kesrin tam sayılı bir sayıya bölünmesi tartışılacaktır.
Kesirleri bölme
Bölme çarpma işleminin tersidir. Bölme işleminde bilinmeyen faktör, başka bir faktörün bilinen çarpımı ile bulunur ve sıradan kesirlerle verilen anlamı korunur.
Ortak bir kesir a b'yi c d'ye bölmek gerekiyorsa, o zaman böyle bir sayıyı belirlemek için c d böleni ile çarpmanız gerekir, bu sonuçta a b temettüsünü verecektir. Bir sayı alalım ve bunu a b · d c olarak yazalım; burada d c, c d sayısının tersidir. Eşitlikler çarpmanın özellikleri kullanılarak yazılabilir, yani: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, burada a b · d c ifadesi a b'nin c d'ye bölünmesinin bölümüdür.
Buradan sıradan kesirleri bölme kuralını elde edip formüle ediyoruz:
Tanım 1
Ortak bir kesir a b'yi c d'ye bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.
Kuralı bir ifade biçiminde yazalım: a b: c d = a b · d c
Bölme kuralları çarpma işlemine bağlıdır. Buna bağlı kalabilmek için kesirlerle çarpma konusunda iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir.
Sıradan kesirlerin bölünmesini düşünmeye devam edelim.
Örnek 1
9 7'yi 5 3'e bölün. Sonucu kesir olarak yazın.
Çözüm
5 3 sayısı, 3 5'in karşılıklı kesridir. Sıradan kesirleri bölmek için kuralı kullanmak gerekir. Bu ifadeyi şu şekilde yazıyoruz: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Cevap: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Kesirleri azaltırken pay paydadan büyükse tüm kısmı ayırın.
Örnek 2
8 15'i böl: 24 65. Cevabı kesirli olarak yazın.
Çözüm
Çözmek için bölme işleminden çarpma işlemine geçmeniz gerekir. Şu şekilde yazalım: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Azaltma yapılması gerekir ve bu şu şekilde yapılır: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Parçanın tamamını seçin ve 13 9 = 1 4 9 elde edin.
Cevap: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Olağanüstü bir kesri doğal bir sayıya bölmek
Bir kesri doğal sayıya bölme kuralını kullanırız: a b'yi doğal sayı n'ye bölmek için paydayı n ile çarpmanız yeterlidir. Buradan şu ifadeyi elde ederiz: a b: n = a b · n.
Bölme kuralı çarpma kuralının bir sonucudur. Bu nedenle, bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek şu türden bir eşitliği verecektir: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Bir kesrin bu sayıya bölünmesini düşünün.
Örnek 3
16 45 kesrini 12 sayısına bölün.
Çözüm
Bir kesri bir sayıya bölme kuralını uygulayalım. 16 45: 12 = 16 45 · 12 formunda bir ifade elde ederiz.
Kesri azaltalım. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 elde ederiz.
Cevap: 16 45: 12 = 4 135 .
Doğal bir sayıyı kesre bölme
Bölme kuralı benzer O bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle bölme kuralı: bir doğal sayı n'yi sıradan bir kesir a b'ye bölmek için, n sayısını a b kesirinin tersi ile çarpmak gerekir.
Kurala göre elimizde n: a b = n · b a bulunur ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı sayesinde ifademizi n: a b = n · b a biçiminde elde ederiz. Bu ayrımı bir örnekle ele almak gerekir.
Örnek 4
25'i 15 28'e bölün.
Çözüm
Bölme işleminden çarpma işlemine geçmemiz gerekiyor. 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 ifadesi şeklinde yazalım. Kesri azaltalım ve sonucu 46 2 3 kesri şeklinde elde edelim.
Cevap: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek
Ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya bölerken, ortak kesirleri kolayca bölmeye başlayabilirsiniz. Karışık bir sayıyı yanlış kesire dönüştürmeniz gerekir.
Örnek 5
35 16 kesrini 3 1 8'e bölün.
Çözüm
3 1 8 karışık bir sayı olduğundan, bunu bileşik kesir olarak gösterelim. O zaman 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 elde ederiz. Şimdi kesirleri bölelim. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 elde ederiz
Cevap: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Karışık bir sayının bölünmesi normal sayılarla aynı şekilde yapılır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
En son kesirlerde toplama ve çıkarma yapmayı öğrendik (“Kesirlerde toplama ve çıkarma” dersine bakın). Bu eylemlerin en zor kısmı kesirleri ortak paydada buluşturmaktı.
Şimdi çarpma ve bölmeyle uğraşmanın zamanı geldi. İyi haber şu ki bu işlemler toplama ve çıkarma işlemlerinden bile daha basit. İlk olarak, ayrılmış bir tam sayı parçası olmayan iki pozitif kesirin olduğu en basit durumu ele alalım.
İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi ise paydası olacaktır.
İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.
Tanım:
Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpma işlemine indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri "çevirmek" için pay ve paydanın yerini değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle ders boyunca ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.
Çarpmanın bir sonucu olarak, indirgenebilir bir kesir ortaya çıkabilir (ve sıklıkla ortaya çıkar) - elbette azaltılması gerekir. Tüm azaltmalardan sonra kesirin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısım vurgulanmalıdır. Ancak çarpma işleminde kesinlikle gerçekleşmeyecek olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çapraz yöntem yok, en büyük çarpanlar ve en küçük ortak katlar.
Tanım gereği elimizde:
Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması
Kesirler bir tamsayı kısmı içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.
Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:
- Artı eksi eksi verir;
- İki olumsuz bir olumlu yapar.
Şimdiye kadar bu kurallarla ancak negatif kesirlerde toplama ve çıkarma yaparken, bütünden kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir iş için, birkaç dezavantajı aynı anda "yakmak" amacıyla genelleştirilebilirler:
- Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
- Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksi, herhangi bir çift olmadığı için üzeri çizilmemişse, onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.
Görev. İfadenin anlamını bulun:
Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları alışılmış kurallara göre çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:
Tam kısmı vurgulanmış bir kesirin önünde görünen eksi işaretinin, yalnızca kesrin tamamına değil, özellikle kesrin tamamına atıfta bulunduğunu bir kez daha hatırlatmama izin verin (bu, son iki örnek için geçerlidir).
Negatif sayılara da dikkat edin: çarparken parantez içine alınırlar. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.
Kesirlerin anında azaltılması
Çarpma işlemi oldukça emek yoğun bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük çıkıyor ve sorunu basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz çarpmadan önce. Aslında kesirlerin payları ve paydaları aslında sıradan faktörlerdir ve bu nedenle kesirin temel özelliği kullanılarak azaltılabilirler. Örneklere bir göz atın:
Görev. İfadenin anlamını bulun:
Tanım gereği elimizde:
Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.
Lütfen unutmayın: İlk durumda çarpanlar tamamen azaltıldı. Bunların yerine genel anlamda yazılması gerekmeyen birimler kalmıştır. İkinci örnekte tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.
Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:
Bunu yapamazsın!
Hata, bir kesrin payını eklerken sayıların çarpımı değil toplamın görünmesi nedeniyle oluşur. Sonuç olarak kesrin temel özelliğini uygulamak imkansızdır çünkü bu özellik özellikle sayıların çarpımı ile ilgilidir.
Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, bu nedenle önceki problemin doğru çözümü şöyle görünür:
Doğru çözüm:
Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.
Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çağındaki çocuklarla tanışır ve onlara hayatları boyunca eşlik eder, çünkü günlük yaşamda çoğu zaman bir nesneyi bir bütün olarak değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konuyu incelemeye başlayın - paylaşımlar. Hisseler eşit parçadır, şu veya bu nesnenin bölündüğü. Sonuçta, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; bir miktar ölçünün parçaları veya payları dikkate alınmalıdır. "Bölmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olan "kesir" kelimesinin kendisi 8. yüzyılda Rus dilinde ortaya çıktı.
Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor dalı olarak kabul ediliyor. 17. yüzyılda matematikle ilgili ilk ders kitapları ortaya çıktığında bunlara “kırık sayılar” adı veriliyordu ve bu durum insanların anlaması oldukça zordu.
Parçaları yatay bir çizgiyle ayrılan basit kesirli kalıntıların modern biçimi ilk olarak Fibonacci - Pisa Leonardo tarafından desteklendi. Eserleri 1202 yılına tarihlenmektedir. Ancak bu makalenin amacı okuyucuya farklı paydalara sahip karışık kesirlerin nasıl çarpıldığını basit ve net bir şekilde anlatmaktır.
Paydaları Farklı Kesirlerle Çarpma
Başlangıçta belirlemeye değer kesir türleri:
- doğru;
- yanlış;
- karışık.
Daha sonra, aynı paydalara sahip kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek zor değildir: basit kesirleri aynı paydalarla çarpmanın sonucu, payı payların çarpımı olan kesirli bir ifadedir ve payda bu kesirlerin paydalarının çarpımıdır. . Yani aslında yeni payda, başlangıçta var olanlardan birinin karesidir.
Çarpma sırasında farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Tek fark, kesir çizgisinin altında oluşan sayının farklı sayıların çarpımı olacağı ve doğal olarak tek bir sayısal ifadenin karesi olarak adlandırılamayacağıdır.
Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Örneklerde kesirli ifadelerin azaltılmasına yönelik yöntemler kullanılmaktadır. Pay sayılarını yalnızca payda sayılarıyla azaltabilirsiniz; kesir çizgisinin üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.
Basit kesirlerin yanı sıra karışık kesirler kavramı da vardır. Karışık sayı bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Çarpma nasıl çalışır?
Dikkate alınması için çeşitli örnekler verilmiştir.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Örnekte bir sayının çarpımı kullanılıyor sıradan kesirli kısım Bu eylemin kuralı şu şekilde yazılabilir:
A* B/C = a*b /C.
Aslında böyle bir çarpım aynı kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bu doğal sayıyı gösterir. Özel durum:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Bir sayıyı kesirli bir kalanla çarpmanın başka bir çözümü daha var. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:
D* e/F = e/f: d.
Bu teknik, paydanın kalansız bir doğal sayıya veya dedikleri gibi bir tam sayıya bölünmesi durumunda kullanışlıdır.
Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak temsil etmenin bir yolunu içerir ve aynı zamanda genel bir formül olarak da temsil edilebilir:
A BC = a*b+ c / c, burada yeni kesrin paydası, tüm parçanın paydayla çarpılması ve orijinal kesirli kalanın payı ile eklenmesiyle oluşturulur ve payda aynı kalır.
Bu süreç aynı zamanda ters yönde de çalışır. Tam parçayı ve kesirli kalanı ayırmak için, uygunsuz bir kesrin payını bir “köşe” kullanarak paydasına bölmeniz gerekir.
Bilinmeyen Kesirlerin Çarpılması genel kabul görmüş bir şekilde üretilir. Tek kesir çizgisi altında yazarken bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak ve sonucu hesaplamayı kolaylaştırmak için kesirleri gerektiği kadar azaltmanız gerekir.
İnternette, çeşitli program varyasyonlarındaki karmaşık matematik problemlerini bile çözmek için birçok yardımcı vardır. Bu tür hizmetlerin yeterli sayıda olması, paydalarda farklı sayılara sahip kesirlerin çarpımının hesaplanmasında yardım sunar - kesirlerin hesaplanması için çevrimiçi hesap makineleri denir. Sadece çarpmakla kalmayıp, aynı zamanda sıradan kesirler ve karışık sayılarla diğer tüm basit aritmetik işlemleri de gerçekleştirebilirler. Bununla çalışmak kolaydır; web sitesi sayfasındaki uygun alanları doldurursunuz, matematiksel işlemin işaretini seçersiniz ve "hesapla"ya tıklarsınız. Program otomatik olarak hesaplama yapar.
Kesirlerle aritmetik işlemler konusu ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri dikkate almıyorlar, ancak tamsayı kesirli ifadeler ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kurallarının bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi derecede hakim olunan temel bilgi, en karmaşık sorunları başarıyla çözme konusunda tam bir güven sağlar.
Sonuç olarak, Lev Nikolaevich Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - meziyetlerini - arttırmak insanın elinde değildir, ancak herkes paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalmayla mükemmelliğine yaklaşabilir.
