Başlangıç koşullarını sağlayan bir diferansiyel denklemin özel çözümü. Diferansiyel denklemler

Başvuru

Öğrencilerin ele aldıkları konuyu pekiştirmeleri için diferansiyel denklemleri web sitesinde çevrimiçi olarak çözme. Ve pratik becerilerinizi geliştirin. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Difurs çevrimiçi, çevrimiçi matematik çözme. Çevrimiçi matematik problemlerine adım adım çözümler. Bir diferansiyel denklemin derecesi veya derecesi, içerdiği türevlerin en yüksek mertebesidir. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Diferansiyel denklem çözme işlemine entegrasyon denir. Bilinmeyen bir fonksiyonun bulunması, elde edilen integralin bilinen fonksiyonlar cinsinden son formda ifade edilip edilmediğine bakılmaksızın, karelemeye yol açabiliyorsa, bir diferansiyel denklemin integrali alınması sorunu çözülmüş sayılır. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Tüm diferansiyel denklemler, yalnızca bir argümanın fonksiyonlarını (ve türevlerini) içeren sıradan diferansiyel denklemlere (ODE) ve girdi fonksiyonlarının birçok değişkene bağlı olduğu kısmi diferansiyel denklemlere (PDE) bölünebilir. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Ayrıca rastgele süreçleri içeren stokastik diferansiyel denklemler (SDE'ler) de vardır. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Türevlerin, fonksiyonların ve bağımsız değişkenlerin kombinasyonlarına bağlı olarak diferansiyel denklemler doğrusal ve doğrusal olmayan, sabit veya değişken katsayılı, homojen veya homojen olmayan olarak ayrılır. Uygulamaların önemi nedeniyle yarı doğrusal (daha yüksek türevlere göre doğrusal) kısmi diferansiyel denklemler ayrı bir sınıfta sınıflandırılır. Diferansiyel denklemlerin çözümleri genel ve özel çözümlere ayrılır. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Genel çözümler, belirlenmemiş sabitleri ve kısmi diferansiyel denklemler için, ek entegrasyon koşullarından (normal diferansiyel denklemler için başlangıç koşulları, kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç ve sınır koşulları) iyileştirilebilen bağımsız değişkenlerin keyfi fonksiyonlarını içerir. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi adım adım çözümü. Belirtilen sabit ve belirsiz fonksiyonların tipi belirlendikten sonra çözümler özel hale gelir. Sıradan diferansiyel denklemlere yönelik çözüm arayışı, uygulamalarda sıklıkla karşılaşılan ve bilinen temel işlevlerle ifade edilemeyen işlevler olan özel işlevler sınıfının oluşturulmasına yol açtı. Diferansiyel denklemler çevrimiçi. Özellikleri detaylı olarak incelendi, değer tabloları derlendi, karşılıklı ilişkiler belirlendi vb. . Numaralandırılmış sayılar kümesi araştırılabilir. Verilen problemin en iyi cevabı. İlk yaklaşım olarak, Diferansiyel denklemlerde yakınsama bölgesine giden vektörün, bulunan üst limiti bulmadan nasıl bulunacağı. Artan matematiksel fonksiyonlar için seçim açıktır. Araştırma düzeyinin üzerinde ilerlemeci bir yöntem vardır. Problemin başlangıç koşulunu diferansiyel denklemlerin çözümüyle uyumlu hale getirmek, benzersiz bir şekilde seçilmiş bir değer bulmanıza yardımcı olacaktır. Bilinmeyeni anında tespit edebiliyor olabilir. Bir matematik problemine çözüm belirlemeye ilişkin önceki örnekte olduğu gibi, doğrusal diferansiyel denklemler, belirli bir problemin belirli bir zaman dilimi içindeki cevabıdır. Araştırma prosedürünün sürdürülmesi yerel olarak belirlenmemiştir. Her öğrenciye bir örnek bulunacak ve diferansiyel denklemlerin çözümü sorumlu kişiye atanan kişi tarafından en az iki değerden belirlenecektir. Belirli bir segmentte genel değere sahip bir fonksiyon alın ve hangi eksende boşluk olacağı konusunda uyarıda bulunun. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi inceleyerek, başlangıç koşulları sağlandığı takdirde sonucun ne kadar önemli olduğunu açıkça göstermek mümkündür. Görevin yerel olarak tanımı olmadığından, işlev tanımından bir alanı çıkarmak imkansızdır. Bir denklem sisteminden bulunan cevap, genel anlamda sayılabilir bir değişken içerir, ancak bir diferansiyel denklemi çevrimiçi olarak çözmek, söz konusu koşulu belirleme eylemi olmadan doğal olarak mümkün olacaktır. Segment aralığının yanında, diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin, öğrencilerin bilgilerinin kesildiği anda araştırma sonucunu nasıl olumlu yönde ilerletebileceğini görebilirsiniz. En iyisi her zaman genel kabul görmüş bir iş yaklaşımından gelmez. 2x düzeyinde, gerekli tüm doğrusal diferansiyel denklemleri doğal bir temsilde gözden geçirmek faydalıdır, ancak sayısal değeri hesaplayabilmek, bilginin gelişmesiyle sonuçlanacaktır. Matematikte her yönteme göre, homojen veya karmaşık gibi temelde farklı ifadelerle sunulan diferansiyel denklemler vardır. Fonksiyon çalışmasının genel bir analizini gerçekleştirdikten sonra, diferansiyelleri bir dizi olasılık olarak çözmenin değerlerde açık bir hatayı temsil ettiği açıkça ortaya çıkıyor. Buradaki gerçek apsis çizgilerinin üzerindeki boşlukta yatıyor. Karmaşık bir fonksiyonun tanım alanının bir yerinde, tanımının bir noktasında, doğrusal diferansiyel denklemler, cevabı analitik biçimde sunabilecektir. yani genel anlamda öz olarak. Değişkeni değiştirdiğinizde hiçbir şey değişmez. Ancak cevaba özel bir ilgiyle bakmanız gerekiyor. Esasen, hesap makinesi sonunda ilişkiyi, yani diferansiyel denklemlerin çözümünün global değerle nasıl orantılı olduğunu ve istenen çözümün sınırları dahilinde nasıl belirlendiğini değiştirir. Bazı durumlarda büyük bir hata uyarısı kaçınılmazdır. Çevrimiçi diferansiyel denklemler problemin genel bir fikrini hayata geçirir, ancak sonuçta vektör çarpımının olumlu yönlerinin mümkün olan en kısa sürede sağlanması gerekir. Matematikte sayılar teorisindeki kavram yanılgıları nadir değildir. Kesinlikle bir çek gerekli olacaktır. Doğal olarak, bu hakkı kendi alanlarındaki profesyonellere vermek daha iyidir ve deneyimleri muazzam ve olumlu olduğu için diferansiyel denklemi çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaklardır. Şekillerin yüzeyleri ve alanı arasındaki fark, görmenizi sağlayacak çevrimiçi diferansiyel denklemleri çözmek değil, kesişmeyen nesneler kümesi, çizginin eksene paralel olacağı şekildedir. Sonuç olarak iki kat daha fazla değer elde edebilirsiniz. Açık olmasa da, biçimsel gösterimin doğruluğuna ilişkin anlayışımız, hem görüş alanında hem de sonucun kalitesinin kasıtlı olarak fazla tahmin edilmesiyle ilişkili olarak doğrusal diferansiyel denklemleri içerir. Tüm öğrencilerin ilgisini çeken bir konu üzerine düzenlenen panel tartışması birkaç kez gözden geçirilir. Derslerin tamamı boyunca, eğer gerçekle çelişmiyorsa, dikkatimizi diferansiyel denklemlere ve ilgili bilimsel çalışma alanlarına yoğunlaştıracağız. Yolculuğun başında birçok adımdan kaçınılabilir. Diferansiyel denklemleri çözmek öğrenciler için temelde yeni bir şeyse, eskisi hiç unutulmuyor, aksine yüksek bir gelişme hızıyla geleceğe doğru ilerliyor. Başlangıçta matematikteki problemin koşulları birbirinden farklıdır, ancak bu sağdaki paragrafta belirtilmiştir. Tanım gereği belirlenen süre geçtikten sonra, vektör hareketinin çeşitli düzlemlerine orantılı bağımlı bir sonuç olasılığı göz ardı edilemez. Bu kadar basit bir durum, lineer diferansiyel denklemlerin hesap makinesinde genel formda anlatılmasıyla aynı şekilde düzeltilebilir, daha hızlı olur ve hesaplamaların mahsup edilmesi hatalı bir görüşe yol açmaz. Teoriye göre isimlendirilen yalnızca beş vaka, olup bitenlerin sınırlarını zorlayabilir. Diferansiyel denklem çözümümüz, fonksiyon uzayını ayrıştırmanın ilk aşamalarında sayılardaki değeri manuel olarak hesaplamanıza yardımcı olacaktır. Doğru yerlerde dört çizginin temas noktasını genel anlamda temsil etmek gerekir. Ancak görevi değiştirmek zorunda kalırsanız karmaşıklığı eşitlemek kolay olacaktır. Başlangıç verileri, bitişik ayağı tasarlamak için yeterlidir ve çevrimiçi diferansiyel denklemler sola hizalı görünür ve yüzey, vektörün rotoruna doğru tek taraflı yönlendirilir. Üst sınırın üzerinde belirlenen koşulun ötesinde sayısal değerler mümkündür. Oranın genel değerindeki üç bilinmeyeni kullanarak matematiksel formülü dikkate alıp diferansiyel denklemi çevrimiçi çözmek mümkündür. Yerel hesaplama yöntemi geçerli olarak kabul edilmektedir. Koordinat sistemi düzlemin bağıl hareketinde dikdörtgendir. Diferansiyel denklemlerin çevrimiçi genel çözümü, açıkça belirtilen bir fonksiyonun grafiğinin üzerinde bulunan tüm düz çizgi üzerinde matris tanımlarının hesaplamalı olarak yürütülmesi lehine açık bir şekilde bir sonuç çıkarmamıza olanak tanır. Hareket vektörünü üç yarım kürenin temas noktasına uygularsanız çözüm açıkça görülebilir. Silindir, dikdörtgenin kenar etrafında döndürülmesiyle elde edilir ve doğrusal diferansiyel denklemler, hareket yasasının verilen ifadelerine göre noktanın hareket yönünü gösterebilecektir. Başlangıç verileri doğrudur ve matematikteki problem tek bir basit koşul altında değiştirilebilir. Ancak koşullar nedeniyle, ortaya konulan alt görevin karmaşıklığı nedeniyle diferansiyel denklemler, sayısal uzayların üç boyutlu uzay düzeyinde hesaplanması sürecini basitleştirir. Aksini kanıtlamak kolaydır ancak verilen örnekte olduğu gibi bundan kaçınılabilir. Yüksek matematikte aşağıdaki noktalar sağlanır: Bir problem basitleştirilmiş bir forma indirgendiğinde, öğrenciler tarafından mümkün olan en büyük çaba gösterilmelidir. Üst üste bindirilmiş çizgiler dikkate alınır. Diferansiyellerin çözümü konusunda söz konusu yöntemin eğri bir çizgi üzerindeki avantajı halen devam etmektedir. İlk önce ihtiyacınız olmayan bir şeyi fark ederseniz, o zaman matematik formülü ifadeye yeni bir anlam yaratacaktır. Amaç, profesör tarafından belirlenen görevleri çözmek için en uygun yaklaşımdır. Basitleştirilmiş formdaki doğrusal diferansiyel denklemlerin beklenen sonucu aşacağını varsaymamalısınız. Sonlu bileşimli bir yüzeye üç vektör yerleştiriyoruz. birbirine dik. Ürünü hesaplayalım. Daha fazla sayıda sembol ekleyelim ve elde edilen ifadeden fonksiyonun tüm değişkenlerini yazalım. Bir orantı var. Hesaplamanın bitiminden önceki birkaç eylem, diferansiyel denklemlerin çözümüne hemen kesin bir cevap vermeyecek, ancak yalnızca y ekseni boyunca ayrılan süre geçtikten sonra verecektir. Fonksiyondan dolaylı olarak belirtilen süreksizlik noktasının soluna, en iyi artan vektöre dik bir eksen çizeriz ve çevrimiçi diferansiyel denklemleri matematiksel nesnenin alt yüzünün en küçük sınır değeri boyunca yerleştiririz. Ekstra argümanı fonksiyon kesme alanına ekliyoruz. Eğri çizginin bulunduğu noktaların sağında ortak paydaya indirgemek için yazdığımız formüller diferansiyel denklemi online çözmenize yardımcı olacaktır. Çözülemeyen sorunlara teoriden pratiğe ışık tutacak tek doğru yaklaşımı genel durumda net bir şekilde ele alacağız. Verilen noktaların koordinatları doğrultusundaki çizgiler karenin en uç noktasını asla kapatmaz, ancak diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmek öğrencilere, bize ve bu alana yeni başlayanlara matematik çalışma konusunda yardımcı olacaktır. Bir alanın tüm önemli satırlarına bir değer argümanı yerleştirme olasılığından bahsediyoruz. Prensip olarak, bekleneceği gibi, doğrusal diferansiyel denklemlerimiz, verilen anlama ilişkin tek bir kavram içinde izole edilmiş bir şeydir. Öğrencilere yardımcı olmak için benzer hizmetler arasında en iyi hesaplayıcılardan biri. Tüm kursları alın ve kendiniz için en iyisini seçin.

Eğitim kurumu "Belarus Devleti

Tarım Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

BİRİNCİ DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Muhasebe öğrencileri için ders notları

yazışmalı eğitim şekli (NISPO)

Gorki, 2013

Birinci dereceden diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklem kavramı. Genel ve özel çözümler

Çeşitli olguları incelerken, bağımsız değişken ile istenen fonksiyonu doğrudan birbirine bağlayan bir yasa bulmak çoğu zaman mümkün değildir, ancak istenen fonksiyon ile türevleri arasında bir bağlantı kurmak mümkündür.

Bağımsız değişkeni, istenen fonksiyonu ve türevlerini birbirine bağlayan ilişkiye denir. diferansiyel denklem :

Burada X- bağımsız değişken, sen– gerekli fonksiyon,
- istenilen fonksiyonun türevleri. Bu durumda (1) bağıntısının en az bir türevinin olması gerekir.

Diferansiyel denklemin sırası denklemde yer alan en yüksek türevin mertebesine denir.

Diferansiyel denklemi düşünün

. (2)

Bu denklem yalnızca birinci dereceden bir türev içerdiğinden buna denir. birinci dereceden bir diferansiyel denklemdir.

Denklem (2) türeve göre çözülebilir ve şeklinde yazılabilirse

, (3)

bu durumda böyle bir denkleme normal formda birinci dereceden diferansiyel denklem denir.

Çoğu durumda formdaki bir denklemin dikkate alınması tavsiye edilir.

buna denir diferansiyel formda yazılmış birinci dereceden diferansiyel denklem.

Çünkü
ise denklem (3) şu şekilde yazılabilir:
veya
, nerede sayabiliriz
Ve
. Bu, denklem (3)'ün denklem (4)'e dönüştürüldüğü anlamına gelir.

Denklem (4)’ü formda yazalım.
. Daha sonra
,
,
, nerede sayabiliriz
, yani (3) formundaki bir denklem elde edilir. Dolayısıyla denklemler (3) ve (4) eşdeğerdir.

Diferansiyel denklem çözme (2) veya (3)'e herhangi bir fonksiyon denir
, denklem (2) veya (3)'te değiştirildiğinde onu bir kimliğe dönüştürür:

veya
.

Bir diferansiyel denklemin tüm çözümlerini bulma sürecine denir entegrasyon ve çözüm grafiği
diferansiyel denklem denir integral eğrisi bu denklem.

Diferansiyel denklemin çözümü örtülü biçimde elde edilirse
, o zaman denir integral verilen diferansiyel denklem.

Genel çözüm birinci dereceden bir diferansiyel denklemin bir fonksiyonu ailesidir
keyfi bir sabite bağlı olarak İLE her biri keyfi bir sabitin kabul edilebilir herhangi bir değeri için belirli bir diferansiyel denklemin çözümüdür İLE. Dolayısıyla diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Özel karar diferansiyel denklem, keyfi bir sabitin belirli bir değeri için genel çözüm formülünden elde edilen bir çözümdür İLE, içermek
.

Cauchy problemi ve geometrik yorumu

Denklemin (2) sonsuz sayıda çözümü vardır. Özel olarak adlandırılan bu setten bir çözüm seçebilmek için bazı ek koşullar belirlemeniz gerekir.

Verilen koşullar altında denklem (2)'ye özel bir çözüm bulma problemine denir. Cauchy sorunu . Bu problem diferansiyel denklemler teorisindeki en önemli problemlerden biridir.

Cauchy problemi şu şekilde formüle edilir: Denklemin (2) tüm çözümleri arasında böyle bir çözüm bulun
, burada fonksiyon
verilen sayısal değeri alır bağımsız değişken ise X verilen sayısal değeri alır , yani

,
, (5)

Nerede D– fonksiyonun tanım alanı
.

Anlam isminde fonksiyonun başlangıç değeri , A – bağımsız değişkenin başlangıç değeri . Durum (5) denir başlangıç koşulu veya Cauchy durumu .

Geometrik açıdan bakıldığında, diferansiyel denklem (2) için Cauchy problemi şu şekilde formüle edilebilir: Denklemin (2) integral eğrileri kümesinden, belirli bir noktadan geçeni seçin
.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklemlerin en basit türlerinden biri, istenen fonksiyonu içermeyen birinci dereceden diferansiyel denklemdir:

. (6)

Hesaba katıldığında
denklemi formda yazıyoruz
veya
. Son denklemin her iki tarafını da entegre edersek şunu elde ederiz:
veya

. (7)

Dolayısıyla (7), denklem (6)'nın genel bir çözümüdür.

örnek 1 . Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun
.

Çözüm . Denklemi formda yazalım.
veya
. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da entegre edelim:
,
. Sonunda yazacağız
.

Örnek 2 . Denklemin çözümünü bulun
verilen
.

Çözüm . Denklemin genel çözümünü bulalım:
,
,
,
. Koşullara göre
,
. Genel çözümü yerine koyalım:
veya
. Keyfi bir sabitin bulunan değerini genel çözüm formülüne koyarız:
. Bu, diferansiyel denklemin verilen koşulu karşılayan özel bir çözümüdür.

Denklem

(8)

İsminde bağımsız değişken içermeyen birinci dereceden diferansiyel denklem . Bunu formda yazalım.
veya
. Son denklemin her iki tarafını da entegre edelim:
veya
- denklemin (8) genel çözümü.

Örnek . Denklemin genel çözümünü bulun
.

Çözüm . Bu denklemi şu şekilde yazalım:
veya
. Daha sonra
,
,
,
. Böylece,
bu denklemin genel çözümüdür.

Formun denklemi

(9)

değişkenlerin ayrılması kullanılarak bütünleştirilir. Bunu yapmak için denklemi forma yazıyoruz.
ve sonra çarpma ve bölme işlemlerini kullanarak onu öyle bir forma getiriyoruz ki, bir kısmı yalnızca işlevi içeriyor X ve diferansiyel dx ve ikinci bölümde – işlevi en ve diferansiyel ölmek. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafının da çarpılması gerekir. dx ve şuna böl:
. Sonuç olarak denklemi elde ederiz

, (10)

değişkenlerin olduğu X Ve en ayrılmış. Denklemin (10) her iki tarafını da entegre edelim:
. Ortaya çıkan ilişki denklem (9)'un genel integralidir.

Örnek 3 . Denklemi Entegre Et
.

Çözüm . Denklemi dönüştürelim ve değişkenleri ayıralım:
,
. İntegral alalım:
,
veya bu denklemin genel integralidir.
.

Denklem formda verilsin

Bu denklem denir Ayrılabilir değişkenli birinci dereceden diferansiyel denklem simetrik bir formda.

Değişkenleri ayırmak için denklemin her iki tarafını da bölmeniz gerekir.
:

. (12)

Ortaya çıkan denklem denir ayrılmış diferansiyel denklem . Denklemin (12) integralini alalım:

.(13)

İlişki (13), diferansiyel denklemin (11) genel integralidir.

Örnek 4 . Bir diferansiyel denklemin integralini alın.

Çözüm . Denklemi formda yazalım.

ve her iki parçayı da bölün
,
. Ortaya çıkan denklem:
ayrılmış değişkenli bir denklemdir. İntegralleyelim:

,
,

,
. Son eşitlik bu diferansiyel denklemin genel integralidir.

Örnek 5 . Diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun
, koşulu karşılayan
.

Çözüm . Hesaba katıldığında
denklemi formda yazıyoruz
veya
. Değişkenleri ayıralım:
. Bu denklemin integralini alalım:
,
,
. Ortaya çıkan ilişki bu denklemin genel integralidir. Koşullara göre
. Bunu genel integralin yerine koyalım ve bulalım. İLE:
,İLE=1. Daha sonra ifade
verilen bir diferansiyel denklemin kısmi integral olarak yazılan kısmi çözümüdür.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Denklem

(14)

isminde birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem . Bilinmeyen işlev
ve türevi bu denkleme doğrusal olarak girer ve fonksiyonlar
Ve
sürekli.

Eğer
, o zaman denklem

(15)

isminde doğrusal homojen . Eğer
, o zaman denklem (14) çağrılır doğrusal homojen olmayan .

Denklem (14)'e bir çözüm bulmak için genellikle kullanılır ikame yöntemi (Bernoulli) özü aşağıdaki gibidir.

Denklem (14)'e iki fonksiyonun çarpımı şeklinde bir çözüm arayacağız.

, (16)

Nerede
Ve
- bazı sürekli işlevler. Hadi değiştirelim
ve türev
denklem (14)'e:

İşlev v koşulu sağlayacak şekilde seçim yapacağız
. Daha sonra
. Dolayısıyla denklem (14)'e bir çözüm bulmak için diferansiyel denklem sistemini çözmek gerekir.

Sistemin ilk denklemi doğrusal homojen bir denklemdir ve değişkenlerin ayrılması yöntemiyle çözülebilir:
,
,
,
,
. İşlev olarak
homojen denklemin kısmi çözümlerinden birini alabilirsiniz; en İLE=1:
. Sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:
veya
.Daha sonra
. Böylece birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:
.

Örnek 6 . Denklemi çözün
.

Çözüm . Formdaki denklemin çözümünü arayacağız
. Daha sonra
. Denklemde yerine koyalım:

veya
. İşlev v eşitliği sağlayacak şekilde seçim yapın
. Daha sonra
. Bu denklemlerden ilkini değişkenlere ayırma yöntemini kullanarak çözelim:
,
,
,
,. İşlev vİkinci denklemde yerine koyalım:
,
,
,
. Bu denklemin genel çözümü
.

Bilginin öz kontrolüne yönelik sorular

Diferansiyel denklem nedir?

Bir diferansiyel denklemin mertebesi nedir?

Hangi diferansiyel denkleme birinci dereceden diferansiyel denklem denir?

Birinci dereceden diferansiyel denklem diferansiyel formda nasıl yazılır?

Diferansiyel denklemin çözümü nedir?

İntegral eğrisi nedir?

Birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü nedir?

Diferansiyel denklemin kısmi çözümüne ne denir?

Cauchy problemi birinci dereceden diferansiyel denklem için nasıl formüle edilir?

Cauchy probleminin geometrik yorumu nedir?

Simetrik biçimde ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem nasıl yazılır?

Hangi denkleme birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem denir?

Birinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemi çözmek için hangi yöntem kullanılabilir ve bu yöntemin özü nedir?

Bağımsız çalışma için görevler

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemleri çözün:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemleri çözün:

A)
; B)
; V)
;

G)
; D)
.

Adi diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni, bu değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve onun çeşitli derecelerdeki türevlerini (veya diferansiyellerini) ilişkilendiren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Sıradan olanlara ek olarak kısmi diferansiyel denklemler de incelenmektedir. Bunlar bağımsız değişkenlerle ilgili denklemler, bu değişkenlerin bilinmeyen bir fonksiyonu ve aynı değişkenlere göre kısmi türevleridir. Ama biz sadece dikkate alacağız adi diferansiyel denklemler ve bu nedenle konuyu kısaltmak adına "sıradan" kelimesini çıkaracağız.

Diferansiyel denklem örnekleri:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Denklem (1) dördüncü dereceden, denklem (2) üçüncü dereceden, denklemler (3) ve (4) ikinci dereceden, denklem (5) birinci derecedendir.

Diferansiyel denklem N Bu mertebenin mutlaka açık bir fonksiyon içermesi gerekmez; birinciden ikinciye tüm türevleri N-inci dereceden ve bağımsız değişken. Belirli derecelerin açık türevlerini, bir fonksiyonu veya bağımsız bir değişkeni içeremez.

Örneğin, denklem (1)'de açıkça üçüncü ve ikinci dereceden türevler ve bir fonksiyon yoktur; denklem (2)'de - ikinci dereceden türev ve fonksiyon; denklem (4)'te - bağımsız değişken; denklemde (5) - fonksiyonlar. Yalnızca denklem (3) açıkça tüm türevleri, fonksiyonu ve bağımsız değişkeni içerir.

Diferansiyel denklem çözme her fonksiyon çağrılır y = f(x) denklemde yerine konulduğunda bir kimliğe dönüşür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine denir entegrasyon.

Örnek 1. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Çözüm. Bu denklemi formda yazalım. Çözüm, fonksiyonu türevinden bulmaktır. İntegral hesabından bilindiği gibi orijinal fonksiyon, bir antiderivatiftir;

İşte bu bu diferansiyel denklemin çözümü . İçinde değişiklik C farklı çözümler elde edeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu öğrendik.

Diferansiyel denklemin genel çözümü N sıra, bilinmeyen fonksiyona göre açıkça ifade edilen ve aşağıdakileri içeren çözümdür: N bağımsız keyfi sabitler, yani

Örnek 1'deki diferansiyel denklemin çözümü geneldir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin belirli sayısal değerlerin verildiği bir çözüme denir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü ve özel çözümünü bulun. .

Çözüm. Denklemin her iki tarafının diferansiyel denklemin mertebesine eşit sayıda integralini alalım.

Sonuç olarak genel bir çözüm elde ettik -

Verilen bir üçüncü dereceden diferansiyel denklemin

Şimdi belirtilen koşullar altında belirli bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için keyfi katsayılar yerine değerlerini değiştirin ve elde edin

Diferansiyel denkleme ek olarak başlangıç koşulu da verilirse, böyle bir problem denir. Cauchy sorunu . Değerleri ve denklemin genel çözümüne yerleştirin ve keyfi bir sabitin değerini bulun C ve sonra bulunan değer için denklemin özel bir çözümü C. Cauchy sorununun çözümü bu.

Örnek 3.Örnek 1'deki diferansiyel denklem için Cauchy problemini çözün.

Çözüm. Başlangıç koşulundaki değerleri genel çözüme koyalım sen = 3, X= 1. Bunu elde ederiz

Bu birinci mertebeden diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

Diferansiyel denklemleri çözmek, en basit olanları bile, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere iyi entegrasyon ve türev becerileri gerektirir. Bu, aşağıdaki örnekte görülebilir.

Örnek 4. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. Denklem öyle bir biçimde yazılmıştır ki, her iki tarafı da hemen entegre edebilirsiniz.

Değişkeni değiştirerek (ikame) entegrasyon yöntemini uyguluyoruz. O zaman öyle olsun.

Almak için gerekli dx ve şimdi - dikkat - bunu karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kurallarına göre yapıyoruz, çünkü X ve karmaşık bir işlev vardır ("elma" bir karekökün çıkarılmasıdır veya aynı şey olan, "yarım"ın kuvvetine yükseltilir ve "kıyma" kökün altındaki ifadenin ta kendisidir):

İntegrali buluyoruz:

Değişkene geri dönelim X, şunu elde ederiz:

Bu, birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde yalnızca yüksek matematiğin önceki bölümlerinden alınan beceriler değil, aynı zamanda ilkokul, yani okul matematiği becerileri de gerekli olacaktır. Daha önce de belirtildiği gibi, herhangi bir mertebeden bir diferansiyel denklemde bağımsız bir değişken, yani bir değişken olmayabilir. X. Okuldan unutulmamış (ancak kime bağlı olarak) oranlar hakkında bilgi sahibi olmak bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bu bir sonraki örnek.

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemi ele alalım; denklem

ve çözümlerinin bazı özelliklerini belirleyin.

Özellik 1
Doğrusal homojen bir denklemin çözümü ise, o zaman C, Nerede C- keyfi bir sabit, aynı denklemin bir çözümüdür.
Kanıt.
Söz konusu denklemin sol tarafında yerine koyma C, şunu elde ederiz: ,
ama çünkü
orijinal denklemin bir çözümüdür.

Buradan,

ve bu özelliğin geçerliliği kanıtlanmıştır.
Özellik 2
Kanıt.
Söz konusu denklemin çözümleri ve çözümleri olsun, o zaman
Ve .
Şimdi söz konusu denklemde + yerine koyarsak:
, yani + orijinal denklemin çözümüdür.
Kanıtlanmış özelliklerden, ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin iki özel çözümünü bilerek çözümü elde edebileceğimiz sonucu çıkar. , iki keyfi sabite bağlı olarak, yani. Sabitlerin sayısından ikinci dereceden denklemin genel bir çözüm içermesi gerektiği sonucuna varılır. Ancak bu karar genel mi olacak? Rastgele verilen başlangıç koşullarını keyfi sabitler seçerek karşılamak mümkün müdür?
Bu soruyu cevaplarken aşağıdaki gibi tanımlanabilecek fonksiyonların doğrusal bağımsızlığı kavramını kullanacağız.

İki fonksiyon denir Doğrusal bağımsız belirli bir aralıkta, eğer bu aralıktaki oranları sabit değilse; Eğer
.
Aksi takdirde işlevler çağrılır doğrusal bağımlı.
Başka bir deyişle, iki fonksiyonun belirli bir aralığa veya aralığın tamamına doğrusal olarak bağımlı olduğu söylenir.

Örnekler

1. İşlevler ve 1 = e X ve sen 2 = e - X x'in tüm değerleri için doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü
.
2. İşlevler 1 = e X ve sen 2 = 5 e X doğrusal bağımlı, çünkü
.

Teorem 1.

Eğer ve fonksiyonları belli bir aralığa doğrusal olarak bağımlı ise determinant denir. Vronsky'nin determinantı verilen fonksiyonlar bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir.

Kanıt.

Eğer
,
nerede , sonra ve .
Buradan,
.
Teorem kanıtlandı.

Yorum.
Ele alınan teoremde görünen Wronski determinantı genellikle harfle gösterilir. W veya semboller .
Fonksiyonlar ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin çözümleriyse, o zaman aşağıdaki ters ve üstelik daha güçlü teorem onlar için geçerlidir.

Teorem 2.

Çözümler ve ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklem için derlenen Wronski determinantı en az bir noktada sıfırsa, bu çözümler doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

Wronski determinantının bu noktada sıfır olmasına izin verin, yani. =0,
ve izin ver ve .
Doğrusal homojen bir sistem düşünün

nispeten bilinmiyor ve .
Bu sistemin determinantı Wronski determinantının değeriyle örtüşmektedir.
x=, yani ile çakışır ve bu nedenle sıfıra eşittir. Bu nedenle sistemin sıfırdan farklı bir çözümü vardır ve ( ve sıfıra eşit değildir). Bu değerleri kullanarak ve fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyon ve fonksiyonlarıyla aynı denklemin çözümüdür. Ayrıca bu fonksiyon sıfır başlangıç koşullarını da karşılar: , çünkü Ve .
Öte yandan, sıfır başlangıç koşullarını sağlayan denklemin çözümünün fonksiyon olduğu açıktır. sen=0.
Çözümün benzersizliği nedeniyle elimizde: . Buradan şu sonuç çıkıyor
,
onlar. fonksiyonlardır ve doğrusal olarak bağımlıdır. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

1. Teoremlerde yer alan Wronski determinantı herhangi bir değer için sıfıra eşitse x=, o zaman herhangi bir değer için sıfıra eşittir Xdikkate alınan aralıktan.

2. Eğer çözümler doğrusal olarak bağımsızsa, Wronski determinantı incelenen aralığın hiçbir noktasında kaybolmaz.

3. Wronski determinantı en az bir noktada sıfırdan farklıysa çözümler doğrusal olarak bağımsızdır.

Teorem 3.

Eğer ve bir homojen ikinci dereceden denklemin doğrusal olarak bağımsız iki çözümü ise, o zaman ve'nin keyfi sabitler olduğu fonksiyon bu denklemin genel bir çözümüdür.

Kanıt.

Bilindiği gibi fonksiyon, ve'nin herhangi bir değeri için söz konusu denklemin bir çözümüdür. Şimdi başlangıç koşulları ne olursa olsun bunu kanıtlayalım.
Ve ,
keyfi sabitlerin değerlerini seçmek mümkündür ve böylece karşılık gelen özel çözüm, verilen başlangıç koşullarını karşılar.
Başlangıç koşullarını eşitliklerin yerine koyarak bir denklem sistemi elde ederiz
.
Bu sistemden ve belirlemek mümkündür, çünkü bu sistemin belirleyicisi

için bir Wronski determinantı var x= ve bu nedenle sıfıra eşit değildir (çözümlerin doğrusal bağımsızlığından dolayı ve ).

; .

Elde edilen değerlere sahip ve verilen başlangıç koşullarını karşılayan özel bir çözüm. Böylece teorem kanıtlanmıştır.

Örnekler

Örnek 1.

Denklemin genel çözümü çözümdür.
Gerçekten mi,
.

Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonları doğrusal olarak bağımsızdır. Bu, şu işlevlerin ilişkisi dikkate alınarak doğrulanabilir:

Örnek 2.

Çözüm y = C 1 e X +C 2 e -X denklem geneldir çünkü .

Örnek 3.

Denklem , katsayıları ve
x = 0 noktasını içermeyen herhangi bir aralıkta süreklidir, kısmi çözümleri kabul eder

(değiştirerek kontrol etmek kolaydır). Bu nedenle genel çözümü şu şekildedir:
.

Yorum

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin genel çözümünün, bu denklemin doğrusal olarak bağımsız herhangi iki kısmi çözümünün bilinmesiyle elde edilebileceğini tespit ettik. Ancak değişken katsayılı denklemler için bu tür kısmi çözümleri son formda bulmanın genel bir yöntemi yoktur. Sabit katsayılı denklemler için böyle bir yöntem mevcuttur ve daha sonra tartışılacaktır.

Başlangıç ​​koşullarını sağlayan bir diferansiyel denklemin özel çözümü. Diferansiyel denklemler

Başvuru

Başlangıç koşullarını sağlayan bir diferansiyel denklemin özel çözümü. Diferansiyel denklemler