Teğet neye eşittir? Teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Ders Hedefleri

• Eğitimsel – “Bir daireye teğet” konusundaki bilgilerin tekrarlanması, genelleştirilmesi ve test edilmesi; temel becerilerin geliştirilmesi.
• Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini, mantıksal düşünmesini, matematiksel konuşmasını geliştirmek.
• Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı dikkatli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.
• Teğet, temas noktası kavramını tanıtın.
• Teğetin özelliğini ve işaretini düşünün ve doğadaki ve teknolojideki problemlerin çözümünde bunların uygulanmasını gösterin.

Ders Hedefleri

• Ölçek cetveli, iletki ve çizim üçgeni kullanarak teğet oluşturma becerilerini geliştirin.
• Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.
• Bir daireye teğet oluşturmak için temel algoritmik tekniklerde ustalık sağlayın.
• Teorik bilgiyi problem çözmeye uygulama becerisini geliştirmek.
• Öğrencilerin düşünme ve konuşmalarını geliştirin.
• Gözlemleme, kalıpları fark etme, genelleme yapma ve benzetme yoluyla akıl yürütme becerilerini geliştirmeye çalışın.
• Matematiğe ilgi uyandırmak.

Ders Planı

1. Teğet kavramının ortaya çıkışı.
2. Teğetin tarihi.
3. Geometrik tanımlar.
4. Temel teoremler.
5. Bir daireye teğet oluşturma.
6. Konsolidasyon.

Teğet kavramının ortaya çıkışı

Teğet kavramı matematikteki en eski kavramlardan biridir. Geometride bir daireye teğet, o daireyle tam olarak bir kesişme noktasına sahip olan bir çizgi olarak tanımlanır. Eski insanlar pergel ve cetvel kullanarak bir daireye ve daha sonra konik bölümlere teğetler çizebildiler: elipsler, hiperboller ve paraboller.

Teğetin tarihi

Teğetlere olan ilgi modern zamanlarda yeniden canlandı. Daha sonra eski bilim adamlarının bilmediği eğriler keşfedildi. Örneğin Galileo sikloidi tanıttı ve Descartes ve Fermat ona bir teğet oluşturdu. 17. yüzyılın ilk üçte birinde. Teğetin, belirli bir noktanın küçük bir mahallesindeki bir eğriye "en yakın bitişik" olan düz bir çizgi olduğunu anlamaya başladılar. Belirli bir noktada (şekil) eğriye teğet oluşturmanın imkansız olduğu bir durumu hayal etmek kolaydır.

Geometrik tanımlar

Daire- Belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan düzlem üzerindeki noktaların geometrik yeri, merkez olarak adlandırılır.

daire.

İlgili tanımlar

• Bir dairenin merkezini üzerindeki herhangi bir noktaya (ve bu parçanın uzunluğuna) bağlayan doğru parçasına ne ad verilir? yarıçap daireler.
• Düzlemin çemberle sınırlanan kısmına denir her yerde.
• Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına denir akor. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap.
• Bir daire üzerindeki herhangi iki farklı nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir yay daireler. Bir yayın ölçüsü, ona karşılık gelen merkez açısının ölçüsü olabilir. Uçlarını birleştiren parçanın çapı varsa yay yarım daire olarak adlandırılır.
• Bir daire ile tam olarak bir ortak noktası olan düz çizgiye ne ad verilir? teğet bir çembere bağlanır ve bunların ortak noktasına doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.
• Çember üzerindeki iki noktadan geçen doğruya denir sekant.
• Bir dairedeki merkezi açı, merkezinde bir tepe noktası bulunan düzlemsel bir açıdır.
• Tepe noktası bir çemberin üzerinde olan ve kenarları bu çemberi kesen açıya denir. Yazılı açı.
• Merkezi ortak olan iki çembere denir eşmerkezli.

Teğet çizgisi- Bir eğri üzerindeki bir noktadan geçen ve bu noktada birinci dereceye kadar onunla çakışan düz bir çizgi.

Bir daireye teğet daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgidir.

Aynı düzlemde bulunan ve bu noktaya çizilen yarıçapa dik olan bir daire üzerindeki bir noktadan geçen düz çizgi teğet denir. Bu durumda çember üzerindeki bu noktaya teğetlik noktası denir.

Bizim durumumuzda "a" belirli bir daireye teğet olan düz bir çizgi olduğunda, "A" noktası teğet noktasıdır. Bu durumda a⊥OA (düz çizgi a, OA yarıçapına diktir).

Bunu söylüyorlar iki daire dokunuyor eğer tek bir ortak noktaları varsa. Bu noktaya denir dairelerin temas noktası. Temas noktasından dairelerden birine, aynı zamanda diğer daireye de teğet olan bir teğet çizebilirsiniz. Dokunma daireleri iç veya dış olabilir.

Çemberlerin merkezleri teğetin aynı tarafında yer alıyorsa buna iç teğet denir.

Çemberlerin merkezleri teğetin zıt taraflarında bulunuyorsa buna dış teğet denir.

a iki çemberin ortak teğeti, K ise teğet noktasıdır.

Temel teoremler

Teorem teğet ve sekant hakkında

Çemberin dışında bulunan bir noktadan bir teğet ve bir kesen çizilirse, teğetin uzunluğunun karesi kesen ile dış kısmının çarpımına eşittir: MC 2 = MA MB.

Teorem.Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Teorem. Yarıçap bir daireyle kesiştiği noktada bir doğruya dik ise bu doğru bu daireye teğettir.

Kanıt.

Bu teoremleri kanıtlamak için bir noktadan bir çizgiye dik olanın ne olduğunu hatırlamamız gerekir. Bu, bu noktadan bu çizgiye olan en kısa mesafedir. OA'nın teğete dik olmadığını, ancak teğete dik bir düz çizgi OS olduğunu varsayalım. OS uzunluğu, yarıçapın uzunluğunu ve yarıçaptan kesinlikle daha büyük olan belirli bir BC segmentini içerir. Böylece herhangi bir doğru için bunu kanıtlayabiliriz. Temas noktasına çizilen yarıçapın, O noktasından teğete en kısa mesafe olduğu sonucuna varıyoruz; OS teğete diktir. Ters teoremin ispatında ise teğetin çemberle tek bir ortak noktası olduğu gerçeğinden hareket edeceğiz. Bu düz çizginin çemberle ortak bir B noktası daha olsun. AOB üçgeni dikdörtgendir ve iki kenarı da yarıçap olarak eşittir, bu söz konusu olamaz. Böylece, bu düz çizginin çemberle A noktası dışında başka ortak noktasının olmadığını buluyoruz; teğettir.

Teorem. Bir noktadan çembere çizilen teğet parçalar eşittir ve bu noktayı çemberin merkezine bağlayan düz çizgi, teğetler arasındaki açıyı böler.

Kanıt.

Kanıt çok basit. Önceki teoremi kullanarak OB'nin AB'ye ve OS'nin AC'ye dik olduğunu iddia ediyoruz. ABO ve ACO dik üçgenlerinin kenar ve hipotenüsleri eşittir (OB=OS - yarıçap, AO - toplam). Dolayısıyla AB=AC kenarları ve OAC ile OAB açıları eşittir.

Teorem. Bir daire üzerinde ortak bir noktaya sahip bir teğet ve bir kirişin oluşturduğu açının büyüklüğü, kenarları arasında bulunan yayın açısal büyüklüğünün yarısına eşittir.

Kanıt.

Bir teğet ve bir kirişin oluşturduğu NAB açısını düşünün. AC'nin çapını çizelim. Teğet temas noktasına çizilen çapa dik olduğundan ∠CAN=90 o olur. Teoremi bildiğimizde, alfa (a) açısının BC yayının açısal değerinin yarısına veya BOS açısının yarısına eşit olduğunu görüyoruz. ∠NAB=90 o -a, buradan ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB veya = BA yayının açısal değerinin yarısı elde edilir. vesaire.

Teorem. Bir noktadan bir daireye bir teğet ve bir sekant çizilirse, belirli bir noktadan teğet noktasına kadar olan teğet bölümünün karesi, belirli bir noktadan teğet noktalarına kadar sekant bölümlerinin uzunluklarının çarpımına eşittir. çemberle kesişimi.

Kanıt.

Şekilde bu teorem şu şekilde görünmektedir: MA 2 = MV * MC. Hadi kanıtlayalım. Önceki teoreme göre MAC açısı, AC yayının açısal değerinin yarısına eşittir, fakat aynı zamanda ABC açısı da teoreme göre AC yayının açısal değerinin yarısına eşittir, dolayısıyla bu açılar birbirine eşittir. diğer. AMC ve BMA üçgenlerinin M köşesinde ortak açıya sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak bu üçgenlerin iki açıdaki benzerliğini (ikinci işaret) belirtiyoruz. Sahip olduğumuz benzerlikten: MA/MB=MC/MA, bundan MA 2 =MB*MC sonucunu elde ederiz.

Bir daireye teğet oluşturma

Şimdi bunu anlamaya çalışalım ve bir daireye teğet oluşturmak için ne yapılması gerektiğini öğrenelim.

Bu durumda kural olarak problem bir daire ve bir nokta verir. Ve sen ve ben, bu teğetin belirli bir noktadan geçmesi için daireye bir teğet oluşturmamız gerekiyor.

Bir noktanın konumunu bilmiyorsak, noktaların olası konumlarını ele alalım.

İlk olarak, bir nokta belirli bir çember tarafından sınırlanan bir çemberin içinde olabilir. Bu durumda bu çembere teğet çizmek mümkün değildir.

İkinci durumda nokta bir daire üzerinde bulunur ve bildiğimiz noktaya çizilen yarıçapa dik bir çizgi çizerek bir teğet oluşturabiliriz.

Üçüncü olarak noktanın çember tarafından sınırlanan çemberin dışında yer aldığını varsayalım. Bu durumda teğet oluşturmadan önce çember üzerinde teğetin geçmesi gereken bir nokta bulmak gerekir.

İlk durumda, umarım her şey sizin için açıktır, ancak ikinci seçeneği çözmek için yarıçapın bulunduğu düz çizgi üzerinde bir parça oluşturmamız gerekir. Bu parça yarıçapa ve karşı taraftaki daire üzerinde bulunan parçaya eşit olmalıdır.

Burada bir daire üzerindeki bir noktanın, yarıçapın iki katına eşit bir doğru parçasının ortası olduğunu görüyoruz. Bir sonraki adım iki daire oluşturmak olacaktır. Bu dairelerin yarıçapları, orijinal dairenin yarıçapının iki katına eşit olacak ve segmentin uçlarındaki merkezler, yarıçapın iki katına eşit olacaktır. Artık bu dairelerin herhangi bir kesişim noktasından ve belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi çizebiliriz. Böyle bir düz çizgi, başlangıçta çizilen dairenin yarıçapına dik olan ortancadır. Böylece bu doğrunun çembere dik olduğunu ve bundan da çembere teğet olduğunu görüyoruz.

Üçüncü seçenekte çemberin dışında kalan ve çemberle sınırlandırılmış bir noktamız var. Bu durumda öncelikle verilen dairenin merkezini verilen noktaya bağlayacak bir doğru parçası oluşturuyoruz. Sonra ortasını buluyoruz. Ancak bunun için dikey bir açıortay inşa etmek gerekir. Ve onu nasıl inşa edeceğinizi zaten biliyorsunuz. O zaman bir daire veya en azından bir kısmını çizmemiz gerekiyor. Şimdi verilen daire ile yeni oluşturulan dairenin kesişme noktasının teğetin geçtiği nokta olduğunu görüyoruz. Ayrıca problemin şartlarına göre belirlenen noktadan geçer. Ve son olarak bildiğiniz iki noktadan teğet bir çizgi çizebilirsiniz.

Ve son olarak çizdiğimiz doğrunun teğet olduğunu kanıtlamak için çemberin yarıçapının oluşturduğu açı ile koşulun bildiği ve çemberlerin kesişme noktasını birleştiren doğru parçasına dikkat etmemiz gerekiyor. Sorunun koşulunun verdiği nokta ile. Şimdi ortaya çıkan açının yarım daireye dayandığını görüyoruz. Ve bundan bu açının doğru olduğu sonucu çıkıyor. Sonuç olarak, yarıçap yeni inşa edilen çizgiye dik olacaktır ve bu çizgi teğettir.

Teğet inşaatı.

Teğet doğruların inşası diferansiyel hesabın doğuşuna yol açan problemlerden biridir. Leibniz tarafından yazılan, diferansiyel hesapla ilgili yayınlanan ilk çalışma, "Ne kesirli ne de irrasyonel niceliklerin veya özel bir hesap türünün engel teşkil etmediği yeni bir maksimum ve minimum yöntemi ve teğetler" başlığını taşıyordu.

Eski Mısırlıların geometrik bilgisi.

Dicle ve Fırat ile Küçük Asya arasındaki vadinin eski sakinlerinin çok mütevazı katkılarını hesaba katmazsak, geometrinin M.Ö. 1700'den önce Eski Mısır'da ortaya çıktığı söylenebilir. Tropikal yağmur mevsimi sırasında Nil, su rezervlerini doldurdu ve taştı. Su, ekili arazileri kaplıyordu ve vergi açısından ne kadar arazinin kaybolduğunun belirlenmesi gerekiyordu. Haritacılar ölçüm aracı olarak sıkıca gerilmiş bir halat kullandılar. Mısırlıların geometrik bilgi birikimini teşvik eden bir diğer teşvik de piramit inşası ve güzel sanatlar gibi faaliyetleriydi.

Geometrik bilgi düzeyi, özellikle matematiğe ayrılmış ve ders kitapları gibi bir şey olan veya daha doğrusu çeşitli pratik problemlerin çözümlerinin verildiği problem kitapları olan eski el yazmalarından değerlendirilebilir.

Mısırlıların en eski matematik el yazması 1800-1600 yılları arasında bir öğrenci tarafından kopyalanmıştır. M.Ö. daha eski bir metinden. Papirüs, Rus Mısırbilimci Vladimir Semenoviç Golenişçev tarafından bulundu. Moskova'da - A.S.'nin adını taşıyan Güzel Sanatlar Müzesi'nde tutuluyor. Puşkin'e ait ve Moskova papirüsü olarak adlandırılıyor.

Moskova'nınkinden iki ila üç yüz yıl sonra yazılan bir başka matematik papirüsü Londra'da saklanıyor. Adı: "Tüm karanlık şeylerin, nesnelerin kendi içinde sakladığı tüm sırların bilgisine nasıl ulaşılacağına dair talimat... Eski anıtlara göre bunu katip Ahmes yazmıştı." El yazmasının adı "Ahmes papirüsü" veya Rhind papirüsü - Mısır'da bu papirüsü bulan ve satın alan İngiliz'in adından gelmektedir. Ahmes papirüsü pratikte ihtiyaç duyulabilecek çeşitli hesaplamaları içeren 84 probleme çözüm sunmaktadır.

Tanım. Bir daireye teğet, daire ile tam olarak bir ortak noktası olan bir düzlemdeki düz bir çizgidir.

İşte birkaç örnek:

Burada bitirebiliriz, ancak uygulama gösteriyor ki sadece tanımı ezberlemek yeterli değil; çizimlerde teğetleri görmeyi öğrenmeniz, özelliklerini bilmeniz ve ayrıca gerçek problemleri çözerek bu özellikleri uygulamada doğru şekilde pratik yapmanız gerekir. Bunların hepsini bugün yapacağız.

Teğetlerin temel özellikleri

Herhangi bir sorunu çözmek için dört temel özelliği bilmeniz gerekir. Bunlardan ikisi herhangi bir referans kitabında/ders kitabında anlatılıyor, ancak son ikisi bir şekilde unutuluyor, ama boşuna.

1. Bir noktadan çizilen teğet doğru parçaları eşittir

Biraz daha yukarıda, bir M noktasından çizilen iki teğetten bahsetmiştik. Yani:

Bir noktadan çizilen çembere teğet doğru parçaları eşittir.

2. Teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir

Yukarıdaki resme tekrar bakalım. Yarıçapları çizelim O.A. Ve O.B., bundan sonra açıların olduğunu buluyoruz OAM Ve O.B.M.- dümdüz.

Temas noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Bu gerçek herhangi bir problemde kanıt olmadan kullanılabilir:

Bu arada şunu not edin: Bir parça çizerseniz OM sonra iki eşit üçgen elde ederiz: OAM Ve O.B.M..

3. Teğet ve sekant arasındaki ilişki

Ancak bu daha ciddi bir gerçektir ve çoğu okul çocuğu bunu bilmemektedir. Aynı ortak noktadan geçen bir teğet ve bir sekant düşünün M. Doğal olarak sekant bize iki parça verecektir: dairenin içi (bölüm) M.Ö.- buna akor da denir) ve dışarısı (ona buna denir - dış kısım) M.C.).

Tüm sekantın ve dış kısmının çarpımı teğet parçanın karesine eşittir

4. Teğet ile kiriş arasındaki açı

Karmaşık sorunları çözmek için sıklıkla kullanılan daha da gelişmiş bir gerçek. Servise götürmenizi şiddetle tavsiye ederim.

Teğet ile kiriş arasındaki açı, bu kirişin gördüğü yazılı açıya eşittir.

Bu nokta nereden geliyor? B? Gerçek problemlerde genellikle durumun bir yerinde “ortaya çıkar”. Bu nedenle çizimlerde bu konfigürasyonu tanımayı öğrenmek önemlidir.

Makale, tanımların ayrıntılı bir açıklamasını, türevin geometrik anlamını grafik gösterimlerle sunmaktadır. Teğet doğrunun denklemi örneklerle ele alınacak, 2. mertebeden eğrilere teğet denklemler bulunacak.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

y = k x + b düz çizgisinin eğim açısına α açısı denir ve bu açı, x ekseninin pozitif yönünden pozitif yönde y = k x + b düz çizgisine kadar ölçülür.

Şekilde x yönü yeşil ok ve yeşil yay ile, eğim açısı ise kırmızı yay ile gösterilmiştir. Mavi çizgi düz çizgiyi ifade eder.

Tanım 2

y = k x + b düz çizgisinin eğimine sayısal katsayı k denir.

Açısal katsayı düz çizginin tanjantına eşittir, başka bir deyişle k = t g α.

• Düz bir çizginin eğim açısı yalnızca x'e göre paralelse ve eğim sıfıra eşitse 0'a eşittir çünkü sıfırın tanjantı 0'a eşittir. Bu, denklemin formunun y = b olacağı anlamına gelir.
• Eğer y = k x + b düz çizgisinin eğim açısı dar ise, o zaman 0 koşulu sağlanır< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 ve grafikte bir artış var.
• Eğer α = π 2 ise doğrunun konumu x'e diktir. Eşitlik x = c ile belirtilir ve c değeri bir gerçek sayıdır.
• Düz çizginin eğim açısı y = k x + b genişse, o zaman π 2 koşullarına karşılık gelir< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Kesen, f(x) fonksiyonunun 2 noktasından geçen bir çizgidir. Başka bir deyişle sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki noktadan çizilen düz bir çizgidir.

Şekil A B'nin bir sekant olduğunu ve f(x)'in siyah bir eğri olduğunu, α'nın ise sekantın eğim açısını gösteren kırmızı bir yay olduğunu göstermektedir.

Düz bir çizginin açısal katsayısı eğim açısının tanjantına eşit olduğunda, bir A B C dik üçgeninin tanjantının karşı tarafın bitişik olana oranıyla bulunabileceği açıktır.

Tanım 4

Formun bir sekantını bulmak için bir formül elde ederiz:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, burada A ve B noktalarının apsisleri x A, x B ve f (x A), f (x) değerleridir B) bu noktalardaki değer fonksiyonlarıdır.

Açıkçası, sekantın açısal katsayısı k = f (x B) - f (x A) x B - x A veya k = f (x A) - f (x B) x A - x B eşitliği kullanılarak belirlenir. ve denklem şu şekilde yazılmalıdır: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) veya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant, grafiği görsel olarak 3 parçaya böler: A noktasının solunda, A'dan B'ye ve B'nin sağında. Aşağıdaki şekil, çakıştığı düşünülen üç sekantın olduğunu, yani bunların bir kullanılarak ayarlandığını göstermektedir. benzer denklem.

Tanım gereği, bu durumda düz çizginin ve onun keseninin çakıştığı açıktır.

Bir sekant belirli bir fonksiyonun grafiğini birden çok kez kesebilir. Bir sekant için y = 0 şeklinde bir denklem varsa, sinüzoidle kesişme noktalarının sayısı sonsuzdur.

Tanım 5

f(x) fonksiyonunun grafiğine x 0 noktasında teğet; f (x 0), belirli bir x 0 noktasından geçen düz bir çizgidir; f (x 0), x 0'a yakın birçok x değerine sahip bir segmentin varlığıyla.

Örnek 1

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım. O zaman y = x + 1 fonksiyonuyla tanımlanan doğrunun (1; 2) koordinatlı noktada y = 2 x'e teğet olduğu kabul edilir. Netlik sağlamak için (1; 2)'ye yakın değerlere sahip grafikleri dikkate almak gerekir. Y = 2 x fonksiyonu siyahla gösterilmiştir, mavi çizgi teğet çizgidir ve kırmızı nokta kesişme noktasıdır.

Açıkçası, y = 2 x, y = x + 1 doğrusuyla birleşiyor.

Teğeti belirlemek için, B noktası A noktasına sonsuz yaklaşırken A B teğetinin davranışını düşünmeliyiz. Açıklık sağlamak için bir çizim sunuyoruz.

Mavi çizgiyle gösterilen sekant A B, teğetin kendisinin konumuna yönelir ve sekant α'nın eğim açısı, teğetin kendisinin αx eğim açısına yönelmeye başlayacaktır.

Tanım 6

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğeti, B'nin A'ya yönelmesiyle, yani B → A'yla kesişen A B'nin sınırlayıcı konumu olarak kabul edilir.

Şimdi bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamını ele almaya geçelim.

F (x) fonksiyonu için A B sekantını ele almaya devam edelim; burada x 0, f (x 0) ve x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ve ∆ x koordinatlarına sahip A ve B, argümanın artışı olarak gösterilir. Artık fonksiyon ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) formunu alacaktır. Açıklık sağlamak için bir çizim örneği verelim.

Ortaya çıkan A B C dik üçgenini düşünün. Çözmek için teğet tanımını kullanırız, yani ∆ y ∆ x = t g α ilişkisini elde ederiz. Teğetin tanımından şu sonuç çıkar: lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Bir noktadaki türev kuralına göre, x 0 noktasındaki f (x) türevine, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir, burada ∆ x → 0 ise bunu f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x olarak gösteririz.

Bundan f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x olduğu sonucu çıkar; burada k x, teğetin eğimi olarak gösterilir.

Yani, f' (x)'in x 0 noktasında var olabileceğini ve fonksiyonun belirli bir grafiğine teğetinin x 0, f 0 (x 0)'a eşit olduğu noktada var olabileceğini bulduk; Teğetin bu noktadaki eğimi, x 0 noktasındaki türevine eşittir. O zaman şunu elde ederiz: k x = f " (x 0) .

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı, grafiğin aynı noktada bir teğetinin varlığı kavramını vermesidir.

Düzlemdeki herhangi bir doğrunun denklemini yazabilmek için içinden geçtiği noktanın açısal katsayısının bulunması gerekir. Kesişme noktasında gösterimi x 0 olarak alınır.

Y = f (x) fonksiyonunun grafiğine x 0, f 0 (x 0) noktasındaki teğet denklemi y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) formunu alır.

Bu, f "(x 0) türevinin son değerinin, lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ ve lim x → x 0 - şartıyla dikey olarak teğetin konumunu belirleyebileceği anlamına gelir - 0 f "(x ) = ∞ veya lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) koşulu altında hiç yokluk.

Teğetin konumu açısal katsayısının değerine bağlıdır k x = f "(x 0). O x eksenine paralel olduğunda, yaklaşık y - k x = ∞'a paralel olduğunda k k = 0 olduğunu ve formunu elde ederiz. tanjant denklemi x = x 0 k x > 0 ile artar, k x olarak azalır< 0 .

Örnek 2

y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 fonksiyonunun grafiğine (1; 3) koordinatlı noktada teğet için bir denklem derleyin ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar için tanımlandığını biliyoruz. Koordinatları (1; 3) koşuluyla belirtilen noktanın bir teğet noktası olduğunu, bu durumda x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 olduğunu buluruz.

-1 değerine sahip noktanın türevini bulmak gerekir. Bunu anlıyoruz

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

f'(x)'in teğet noktasındaki değeri, eğimin tanjantına eşit olan teğetin eğimidir.

O zaman k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Bundan şu sonuç çıkar: α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cevap: teğet denklem şu şekli alır

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Açıklık sağlamak için grafiksel bir örnekte bir örnek veriyoruz.

Orijinal fonksiyonun grafiğinde siyah renk kullanılmış, mavi renk teğetin görüntüsü, kırmızı nokta ise teğet noktasıdır. Sağdaki şekil büyütülmüş bir görünümü göstermektedir.

Örnek 3

Belirli bir fonksiyonun grafiğine bir teğetin varlığını belirleme
y = 3 · x - 1 5 + 1 koordinatları (1 ; 1) olan noktada. Bir denklem yazın ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak, belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesinin tüm gerçek sayılar kümesi olarak kabul edildiğini biliyoruz.

Türevi bulmaya geçelim

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Eğer x 0 = 1 ise f' (x) tanımsızdır ancak limitler şu şekilde yazılır: lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ve lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, bu şu anlama gelir: (1; 1) noktasında dikey teğetin varlığı.

Cevap: denklem x = 1 formunu alacaktır, burada eğim açısı π 2'ye eşit olacaktır.

Açıklık sağlamak için, bunu grafiksel olarak gösterelim.

Örnek 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 fonksiyonunun grafiğindeki noktaları bulun; burada

1. Teğet yoktur;
2. Teğet x'e paraleldir;
3. Teğet y = 8 5 x + 4 doğrusuna paraleldir.

Çözüm

Tanımın kapsamına dikkat etmek gerekir. Koşullu olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlı olduğunu biliyoruz. Modülü genişletip sistemi x ∈ - ∞ aralıklarıyla çözüyoruz; 2 ve [-2; + ∞) . Bunu anlıyoruz

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Fonksiyonu ayırt etmek gerekiyor. Bizde buna sahibiz

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = − 2 olduğunda türev mevcut değildir çünkü o noktada tek taraflı limitler eşit değildir:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Fonksiyonun değerini x = - 2 noktasında hesaplıyoruz, buradan şunu elde ediyoruz:

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, yani () noktasındaki teğet - 2; - 2) mevcut olmayacak.
2. Eğim sıfır olduğunda teğet x'e paraleldir. O zaman k x = t g α x = f "(x 0). Yani, fonksiyonun türevi onu sıfıra getirdiğinde böyle bir x'in değerlerini bulmak gerekir. Yani f' değerleri (x), teğetin x'e paralel olduğu teğet noktaları olacaktır.

x ∈ - ∞ olduğunda; - 2, o zaman - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ve x ∈ (- 2; + ∞) için 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 elde ederiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

İlgili fonksiyon değerlerini hesaplayın

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dolayısıyla - 5; 8 5, -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 fonksiyon grafiğinin gerekli noktaları olarak kabul edilir.

Çözümün grafiksel gösterimine bakalım.

Siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, kırmızı noktalar ise teğet noktalarıdır.

1. Doğrular paralel olduğunda açısal katsayılar eşittir. Daha sonra fonksiyon grafiği üzerinde eğimin 8 5 değerine eşit olacağı noktaları aramak gerekir. Bunu yapmak için, y "(x) = 8 5 formundaki bir denklemi çözmeniz gerekir. Daha sonra, eğer x ∈ - ∞; - 2 ise, şunu elde ederiz: - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 ve eğer x ∈ ( - 2 ; + ∞), o zaman 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Diskriminant sıfırdan küçük olduğundan birinci denklemin kökleri yoktur. Bunu bir kenara yazalım

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başka bir denklemin iki gerçek kökü vardır, o zaman

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Fonksiyonun değerlerini bulmaya geçelim. Bunu anlıyoruz

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Değerleri olan puanlar - 1; 4 15, 5; 8 3, teğetlerin y = 8 5 x + 4 doğrusuna paralel olduğu noktalardır.

Cevap: siyah çizgi - fonksiyonun grafiği, kırmızı çizgi - y = 8 5 x + 4'ün grafiği, mavi çizgi - - 1 noktalarındaki teğetler; 4 15, 5; 8 3.

Verilen fonksiyonlar için sonsuz sayıda teğet olabilir.

Örnek 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 fonksiyonunun y = - 2 x + 1 2 düz çizgisine dik olan tüm mevcut teğetlerinin denklemlerini yazın.

Çözüm

Teğet denklemini derlemek için doğruların diklik durumuna göre teğet noktasının katsayısını ve koordinatlarını bulmak gerekir. Tanım şu şekildedir: Düz çizgilere dik açısal katsayıların çarpımı -1'e eşittir, yani k x · k ⊥ = - 1 şeklinde yazılır. Açısal katsayının çizgiye dik olması ve k ⊥ = - 2'ye eşit olması durumunda k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 olur.

Şimdi temas noktalarının koordinatlarını bulmanız gerekiyor. Belirli bir fonksiyon için x'i ve ardından değerini bulmanız gerekir. Noktadaki türevin geometrik anlamından
x 0 bunu elde ederiz k x = y "(x 0). Bu eşitlikten temas noktaları için x'in değerlerini buluruz.

Bunu anlıyoruz

y " (x 0) = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ günah 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu trigonometrik denklem, teğet noktaların koordinatlarını hesaplamak için kullanılacaktır.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk veya x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z bir tamsayılar kümesidir.

x temas noktası bulundu. Şimdi y'nin değerlerini aramaya devam etmeniz gerekiyor:

y 0 = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 veya y 0 = - 4 5 + 1 3

Bundan 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 teğetlik noktalarıdır.

Cevap: gerekli denklemler şu şekilde yazılacaktır:

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Görsel bir gösterim için, bir fonksiyonu ve bir koordinat çizgisi üzerinde bir teğeti düşünün.

Şekilde fonksiyonun [-10; 10 ], burada siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, mavi çizgiler ise y = - 2 x + 1 2 formunun verilen çizgisine dik olan teğetlerdir. Kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

2. dereceden eğrilerin kanonik denklemleri tek değerli fonksiyonlar değildir. Onlar için teğet denklemler bilinen şemalara göre derlenmiştir.

Bir daireye teğet

Merkezi x c e n t e r noktasında olan bir daire tanımlamak için; y c e n t e r ve yarıçap R ise x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formülünü uygulayın.

Bu eşitlik iki fonksiyonun birleşimi olarak yazılabilir:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

İlk fonksiyon şekilde gösterildiği gibi üstte, ikincisi ise altta bulunur.

x 0 noktasındaki bir çemberin denklemini derlemek için; Üst veya alt yarım daire içinde bulunan y 0, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r veya y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formundaki bir fonksiyonun grafiğinin denklemini bulmalısınız. belirtilen noktada y merkezi.

X merkez noktalarındayken; y merkezi + R ve x merkezi; y c e n t e r - R teğetleri, y = y c e n t e r + R ve y = y c e n t e r - R denklemleriyle ve x c ​​e n t e r + R noktalarında verilebilir; y merkez ve
x merkezi r - R ; y c e n t e r, y'ye paralel olacaktır, o zaman x = x c e n t e r + R ve x = x c e n t e r - R biçiminde denklemler elde ederiz.

Bir elipse teğet

Elipsin xmerkezde bir merkezi olduğunda; y c e n t e r yarı eksenleri a ve b ile, bu durumda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 denklemi kullanılarak belirtilebilir.

Bir elips ve bir daire, üst ve alt yarım elips olmak üzere iki fonksiyonun birleştirilmesiyle gösterilebilir. O zaman bunu anlıyoruz

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Teğetler elipsin köşelerinde bulunuyorsa, x veya y civarında paraleldirler. Aşağıda, netlik sağlamak için şekli düşünün.

Örnek 6

X değerlerinin x = 2'ye eşit olduğu noktalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 elipsine teğet denklemini yazın.

Çözüm

x = 2 değerine karşılık gelen teğet noktaları bulmak gerekir. Elipsin mevcut denklemini yerine koyarız ve şunu buluruz:

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 ve 2; - 5 3 2 + 5 üst ve alt yarım elipse ait teğet noktalardır.

Elipsin denklemini y'ye göre bulma ve çözmeye geçelim. Bunu anlıyoruz

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Açıkçası, üst yarı elips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ve alt yarı elips y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 formundaki bir fonksiyon kullanılarak belirtilir.

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet için bir denklem oluşturmak üzere standart bir algoritma uygulayalım. 2 noktasındaki ilk teğet için denklemi yazalım; 5 3 2 + 5 şöyle görünecek

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

İkinci teğetin denkleminin bu noktada bir değerle olduğunu buluyoruz.
2; - 5 3 2 + 5 formunu alır

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiksel olarak teğetler aşağıdaki gibi gösterilir:

Abartıya teğet

Bir hiperbolün merkezi xmerkezde olduğunda; y merkezi ve köşeler x merkezi + α ; y merkezi ve x merkezi - α ; y c e n t e r eşitsizliği x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, köşeleri x c e n t e r ise; y merkezi + b ve x merkezi; y c e n t e r - b , bu durumda x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 eşitsizliği kullanılarak belirtilir .

Bir hiperbol, formun iki birleşik fonksiyonu olarak temsil edilebilir

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r veya y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y ce n t e r y = - b a · (x - x merkezi) 2 + a 2 + y merkezi

İlk durumda teğetlerin y'ye paralel olduğunu, ikinci durumda ise x'e paralel olduklarını görüyoruz.

Bir hiperbolün teğet denklemini bulmak için teğet noktasının hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir. Bunu belirlemek için denklemlerde yerine koyma ve özdeşliği kontrol etmek gerekir.

Örnek 7

7 noktasında x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolüne teğet için bir denklem yazın; - 3 3 - 3 .

Çözüm

Bir hiperbolün bulunması için çözüm kaydını 2 fonksiyon kullanarak dönüştürmek gerekir. Bunu anlıyoruz

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ve y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Koordinatları 7 olan belirli bir noktanın hangi fonksiyona ait olduğunu belirlemek gerekir; - 3 3 - 3 .

Açıkçası, ilk fonksiyonu kontrol etmek için y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 gereklidir, bu durumda nokta grafiğe ait değildir, çünkü eşitlik sağlanmıyor.

İkinci fonksiyon için elimizde y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 bulunur, bu da noktanın verilen grafiğe ait olduğu anlamına gelir. Buradan eğimi bulmalısınız.

Bunu anlıyoruz

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cevap: teğet denklem şu şekilde temsil edilebilir:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Açıkça şu şekilde tasvir edilmiştir:

Bir parabole teğet

X 0, y (x 0) noktasında y = a x 2 + b x + c parabolüne teğet için bir denklem oluşturmak için standart bir algoritma kullanmanız gerekir, o zaman denklem y = y "(x) formunu alacaktır 0) x - x 0 + y ( x 0) Tepe noktasındaki böyle bir teğet x'e paraleldir.

x = a y 2 + b y + c parabolünü iki fonksiyonun birleşimi olarak tanımlamalısınız. Bu nedenle denklemi y için çözmemiz gerekiyor. Bunu anlıyoruz

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiksel olarak şu şekilde tasvir edilmiştir:

Bir x 0, y (x 0) noktasının bir fonksiyona ait olup olmadığını bulmak için standart algoritmaya göre yavaşça ilerleyin. Böyle bir teğet, parabole göre y'ye paralel olacaktır.

Örnek 8

Teğet açımız 150° olduğunda x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafiğine teğetin denklemini yazın.

Çözüm

Çözüme parabolü iki fonksiyon olarak temsil ederek başlıyoruz. Bunu anlıyoruz

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Eğimin değeri bu fonksiyonun x 0 noktasındaki türevinin değerine ve eğim açısının tanjantına eşittir.

Şunu elde ederiz:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Buradan temas noktaları için x değerini belirliyoruz.

İlk fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Açıkçası, negatif bir değere sahip olduğumuz için gerçek kökler yok. Böyle bir fonksiyon için 150° açıya sahip bir teğetin olmadığı sonucuna varıyoruz.

İkinci fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temas noktalarımızın 23 4 olduğunu biliyoruz; - 5 + 3 4 .

Cevap: teğet denklem şu şekli alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafiksel olarak şu şekilde gösterelim:

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.