a düzlemine dik bir p düzleminin inşası iki şekilde yapılabilir: I) p düzlemi, a düzlemine dik bir düz çizgi boyunca çizilir; 2) p düzlemi, a düzleminde uzanan bir çizgiye dik veya bu düzleme paralel olarak çizilir. Benzersiz bir çözüm elde etmek için ek koşullar gereklidir. Şekil 148, CDE üçgeni tarafından tanımlanan düzleme dik bir düzlemin yapısını göstermektedir. Burada ek bir koşul, istenen düzlemin AB düz çizgisinden geçmesi gerektiğidir. Sonuç olarak, istenilen düzlem AB düz çizgisi ve üçgen düzlemine dik olan çizgi ile belirlenir. Bunu CDE düzlemine dik olarak çizmek için CN cepheleri ve yatay CM cepheleri alınır: B"F" ± C"N" ve B"G 1 CM\ ise CDF düzleminin BFX'i. Kesişerek oluşturulan düzlem. AB ve BF düz çizgileri CDE düzlemine diktir, bu düzleme dik olarak nasıl geçer? Düzlemlerin aynı isimli izlerinin dikliği, düzlemlerin dikliğinin bir işareti olabilir mi? Bu durum, yatay izlerin karşılıklı olarak dik olduğu, önden çıkıntı yapan düzlemlerin ön izlerinin karşılıklı olarak dik olduğu, yatay olarak çıkıntı yapan iki düzlemin karşılıklı dikliğini de içerir; a genel konum düzlemine dik çıkıntı yapan p düzlemi, i düzlemine ve a düzlemine dik ise, o zaman p 1, a düzlemi ile i düzleminin kesişme çizgisidir. р düzlemindeki düz çizgilerden birine göre "0a 1р ve dolayısıyla h"0u 1 р". Yani genel düzlemin yatay izlerinin ve yatay olarak çıkıntı yapan düzlemin dikliği, bu düzlemlerin karşılıklı dikliğine karşılık gelir. Açıkçası, önden çıkıntı yapan düzlemin ve genel konum düzleminin ön izlerinin dikliği aynı zamanda bu düzlemlerin karşılıklı dikliğine de karşılık gelir. Ancak genel konumdaki aynı isimli iki düzlemin izleri karşılıklı olarak dik ise, bu bölümün başında belirtilen koşulların hiçbiri karşılanmadığından düzlemlerin kendileri birbirine dik değildir. Kendi kendine test soruları 1. Çizimde düzlem nasıl tanımlanıyor? 2. Bir düzlemin izdüşüm düzlemindeki izi nedir? 3. Düzlemin yatay izinin ön izdüşümü ve ön izinin yatay izdüşümü nerede bulunur? L. Çizimde düz bir çizginin belirli bir düzleme ait olup olmadığı nasıl belirlenir? 5. Belirli bir düzleme ait bir çizim üzerinde bir nokta nasıl oluşturulur? 6. Sistemde nasıl yer alıyor? ve 713 genel konum düzlemi? 7. Önden projeksiyon, yatay projeksiyon ve profil projeksiyon düzlemleri nelerdir? 8. Çizimde genel konumda düz bir çizgi boyunca çizilen önden çıkıntılı düzlem nasıl gösterilmiştir? 9. İki düzlem hangi göreceli konumu işgal edebilir? 10. İki düzlemin paralelliğinin işareti nedir? 11. Birbirine paralel iki düzlemin aynı isimli izleri karşılıklı olarak nasıl konumlanmıştır? 12. Düz bir çizginin ve bir düzlemin göreceli konumu nasıl belirlenir? 13. İki düzlemin kesişim çizgisini oluşturmanın genel yöntemi nedir? 14. Bir doğrunun bir düzlemle kesişme noktasını oluşturmanın genel yöntemi nedir? 15. Bir çizgi bir düzlemle kesiştiğinde “görünürlük” nasıl belirlenir? 16. İki düzlemin karşılıklı paralelliğini ne belirler? 17. Belirli bir düzleme bir noktadan paralel bir düzlem nasıl çizilir? 18.Düzlemin izdüşümünün konumu nasıldır? 19. Karşılıklı dik düzlemler nasıl oluşturulur?
Karşılıklı dik çizgilerin ve düzlemlerin oluşturulması, metrik problemlerin çözümünde önemli bir grafik işlemidir.
Bir çizgiye veya düzleme dik olanın yapısı, aşağıdaki şekilde formüle edilen dik açının özelliğine dayanmaktadır: dik açının kenarlarından biri projeksiyon düzlemine paralel ise diğeri ona dik değilse, daha sonra açı bu düzleme tam boyutta yansıtılır.
Şekil 28
Şekil 28'de gösterilen ABC dik açısının BC kenarı P 1 düzlemine paraleldir. Sonuç olarak, ABC açısının bu düzleme izdüşümü bir A 1 B 1 C 1 =90 dik açısını temsil edecektir.
Bir doğru, bu düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, bu düzleme diktir. Düzleme ait bir dizi düz çizgiden bir dik oluştururken, yatay ve önden düz düz çizgiler seçin. Bu durumda dikeyin yatay izdüşümü yataya dik olarak gerçekleştirilir ve önden izdüşümü öne dik olur. Şekil 29'da gösterilen örnek, K noktasından ABC üçgeni ile tanımlanan düzleme dik olanın yapımını göstermektedir. Bunu yapmak için önce düzlemdeki yatay ve ön çizgileri çizin. Daha sonra, K noktasının ön izdüşümünden, ön tarafın ön izdüşümüne dik ve noktanın yatay izdüşümünden - yatayın yatay izdüşümüne dik bir çizeriz. Daha sonra yardımcı kesme düzlemi Σ'yi kullanarak bu dikmenin düzlemle kesişme noktasını oluştururuz. Gerekli nokta F'dir. Böylece elde edilen KF parçası ABC düzlemine diktir.
Şekil 29
Şekil 29 ABC düzlemine dik bir KF'nin yapısını göstermektedir.
Bir düzlemde yer alan bir doğru, diğer düzlemin kesişen iki çizgisine dik ise, iki düzlem birbirine diktir. Bu ABC düzlemine dik bir düzlemin yapısı Şekil 30'da gösterilmektedir. M noktasından ABC düzlemine dik bir MN düz çizgisi çizilir. Bu çizginin yatay izdüşümü AC'ye diktir, çünkü AC yataydır ve ön izdüşümü AB'ye diktir, çünkü AB öndendir. Daha sonra M noktasından geçen keyfi bir EF düz çizgisi çizilir. Dolayısıyla düzlem ABC'ye diktir ve kesişen iki doğru EF ve MN ile tanımlanır.
Şekil 30
Bu yöntem, bölümlerin genel konumdaki doğal değerlerinin yanı sıra projeksiyon düzlemlerine olan eğim açılarını belirlemek için kullanılır. Bu yöntemi kullanarak bir doğru parçasının doğal boyutunu belirlemek için, parçanın çıkıntılarından birine dik bir üçgen tamamlamak gerekir. Diğer bacak ise doğru parçasının uç noktalarının yükseklik veya derinlik farkı olacak ve hipotenüs doğal değer olacaktır.
Bir örnek düşünelim: Şekil 31 bir AB doğru parçasını genel konumda göstermektedir. Doğal boyutunun ve çıkıntıların ön ve yatay düzlemlerine olan eğim açılarının belirlenmesi gerekmektedir.
Yatay bir düzlemde parçanın uçlarından birine dik çiziyoruz. Segmentin uçlarının yükseklik farkını (ZA-ZB) üzerine çizip dik üçgenin yapımını tamamlıyoruz. Hipotenüsü, parçanın doğal değeridir ve doğal değer ile parçanın izdüşümü arasındaki açı, parçanın P 1 düzlemine eğim açısının doğal değeridir. Ön düzlemdeki yapım sırası aynıdır. Dikey boyunca segmentin uçlarının derinliklerindeki farkı (YA-YB) çiziyoruz. Segmentin doğal boyutu ile önden izdüşümü arasında ortaya çıkan açı, segmentin P2 düzlemine eğim açısıdır.
Şekil 31
1. Dik açıların özelliği ile ilgili bir teorem belirtin.
2. Düz bir çizgi hangi durumda bir düzleme dik olur?
3. Uzaydaki bir noktadan geçen kaç tane düz çizgi ve belirli bir düzleme dik kaç tane düzlem çizilebilir?
4. Dik üçgen yöntemi ne için kullanılır?
5. Genel konumdaki bir parçanın projeksiyonların yatay düzlemine olan eğim açısını belirlemek için bu yöntem nasıl kullanılır?
| Sözlü biçim | Grafik formu |
| 1. Bir düzleme dik bir düz çizgi çizmek için düzlemde bir yatay ve bir de ön çizgi çizmenin gerekli olduğu bilinmektedir. a) Q(D ABC) düzleminin kenarları düz düz çizgiler olduğundan dikmenin yapısının basitleştirildiğine dikkat edin: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – ön AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – yatay . b) Düz bir çizgi alın ben keyfi nokta K | |
| 2. Doğruya ait olan K noktasından ben, doğrudan yürütüyoruz N^Q, yani n 1 ^ A 1 C 1 ve n 2 ^ A 2 B 2 . İstenilen düzlem, biri verilen iki kesişen çizgiyle belirlenecektir - ben, ve diğer - N verilen düzleme diktir: P( ben n)^Q (D ABC) |  |
İş bitimi -
Bu konu şu bölüme aittir:
Tanımlayıcı geometri - T.V. Khrustaleva
Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:
Alınan materyalle ne yapacağız:
Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:
| Cıvıldamak |
Bu bölümdeki tüm konular:
AÇIKLAMALI GEOMETRİ
Uzak Doğu Bölgesel Eğitim ve Metodoloji Merkezi tarafından 210700 “Otomasyon, telemekanik ve demiryolu iletişimi” uzmanlık öğrencileri için ders kitabı olarak önerilmektedir.
Geometrik görseller
1. Projeksiyon düzlemi: p – isteğe bağlı; p1 – yatay; p2 – önden; p3 – profil; S – merkez projeksiyonu
Küme teorik gösterimi
Projeksiyon yönteminin özü, bazı geometrik görüntülerin Ap projeksiyonunun
Projeksiyon merkezi
Merkez, projeksiyon merkezi adı verilen bir S noktasından çıkan tüm ışınların çıktığı bir projeksiyondur. İncirde. 1.3, p'nin düz olduğu merkezi projeksiyonun bir örneğini verir
Paralel projeksiyon
Paralel projeksiyon, projeksiyon yapan tüm ışınların birbirine paralel olduğu bir projeksiyondur. Paralel çıkıntılar eğik (Şekil 1.7) ve dikdörtgen (Şekil 1.8) olabilir.
Ortogonal projeksiyonların özellikleri
1. Bir noktanın izdüşümü bir noktadır (Şekil 1.9). Pirinç. 1.9 2. Genel olarak bir çizginin izdüşümü
Çizimin tersine çevrilebilirliği. Monge yöntemi
§ 2 ve § 3'te tartışılan projeksiyonları bir düzleme yansıtma yöntemi, doğrudan problemin çözülmesini mümkün kılar (bir nesneye sahipseniz, onun projeksiyonunu bulabilirsiniz), ancak ters problemin çözülmesine izin vermez (bir nesneye sahipseniz, onun projeksiyonunu bulabilirsiniz)
Karşılıklı iki dik düzlemden oluşan sistem
Çizimin tersine çevrilebilirliği, daha önce de belirtildiği gibi, yani uzaydaki bir noktanın konumunun izdüşümlerine göre kesin olarak belirlenmesi, karşılıklı olarak dik iki noktaya izdüşümü ile sağlanabilir.
Karşılıklı üç dik düzlemden oluşan sistem
Uygulamada, araştırma ve görüntülemede, birbirine dik iki düzlemden oluşan bir sistem her zaman kesin bir çözüm olanağı sağlamaz. Örneğin, A noktasını eksen boyunca hareket ettirirseniz
I-IV oktantlarındaki bir noktanın karmaşık çizimi ve görsel temsili
Çeşitli oktantlarda A, B, C, D noktalarının oluşturulmasına ilişkin bir örneği ele alalım (Tablo 2.4). Tablo 2.4 Octant Görsel temsili
Genel Hükümler
Çizgi, uzunluğu olan tek boyutlu bir geometrik görüntüdür; Hareketli bir noktanın ardışık tüm konumlarının kümesi. Euclid'in tanımına göre: "Çizgi, genişliği olmayan uzunluktur." Zemin
Doğrudan seviyeler
Tanım Görsel temsil Karmaşık çizim Yatay çizgi, yatay çizgiye paralel herhangi bir çizgidir
Düz çizgiler yansıtma
Tanım Görsel temsil Karmaşık çizim Yatay olarak çıkıntı yapan bir çizgi, yüzeye dik olan düz bir çizgidir.
Verilen iki temele dayanarak bir segmentin üçüncü projeksiyonunun oluşturulması
Örneğimizde ilk çeyrekte genel hat yapımını ele alacağız (Tablo 3.3). Tablo 3.3 Sözlü biçim
Sağ üçgen yöntemi. Düz bir çizgi parçasının doğal boyutunun ve düz çizginin projeksiyon düzlemlerine eğim açılarının belirlenmesi
Genel olarak bir düz çizgi parçasının ve özel konumun projeksiyonlarının oluşturulması, yalnızca konumsal sorunların (projeksiyon düzlemlerine göre konum) değil, aynı zamanda metrik sorunların da çözülmesini mümkün kılar - uzunluğun belirlenmesi
Genel konumdaki bir çizgi parçasının doğal değerinin belirlenmesi
Genel konumdaki bir düz çizgi parçasının doğal değerini projeksiyonlarından belirlemek için dik açılı üçgen yöntemi kullanılır. Bu konumun sırasını ele alalım (Tablo.
Genel Hükümler
Uzayda iki düz çizgi farklı konumlara sahip olabilir: kesişir (aynı düzlemde uzanır). Özel bir kesişme durumu dik açıdır; paralel olabilir
Projeksiyon düzlemlerine göre çizgilerin görünürlüğünün belirlenmesi
Çizgilerin projeksiyon düzlemlerine göre görünürlüğünü belirlemek için yarışan noktalar kullanılır. Kesişen düz çizgiler a ve b'nin karmaşık bir çizimini ele alalım (Şekil 4.1 ve Şekil 4.2). hangisi olduğunu belirleyelim
Kesişen çizgiler oluşturmak için algoritma
Sözlü biçim Grafik biçimi 1. K noktasından geçen bir h|| düz çizgisi çizin p1 ve kesişen çizgi a
Projeksiyon uçakları
Tanım Görsel görüntü Karmaşık çizim Yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlem, dik bir düzlemdir
Seviye düzlemleri
Özellikler Görsel gösterim Diyagram Ön düzlem p2 düzlemine paralel bir düzlemdir. Bu
Düzlemde özel konumdaki düz çizgiler
Düzlemde özel konumdaki çizgiler yatay h, ön f ve projeksiyon düzlemlerine en büyük eğime sahip çizgilerdir. Bu çizgilerin grafiksel gösterimine bakalım (Tablo 5.6). Ta
Ön inşaat algoritması
Sözel biçim Grafik biçim Bir a (a|| b) düzlemi verildiğinde, dolayısıyla a1 || b1; a2
K noktasının ikinci projeksiyonunu oluşturmak için algoritma
Sözel biçim Grafik biçim Düzlem a – düz bir şekil a (D ABC) ile tanımlanır, K2 – K noktasının önden izdüşümü
Belirli bir düzleme paralel bir düzlem oluşturmak için algoritma
Sözlü biçim Grafik biçimi 1. Sorunu belirli bir P(D ABC) düzleminde çözmek için kesişen çizgiler alınır. Örneğin, AB
Kesişen düzlemler
İki düzlem düz bir çizgide kesişiyor. Kesişmelerinin bir çizgisini oluşturmak için bu çizgiye ait iki noktayı bulmak gerekir. Kesişen düzlemlerden biri meşgulse sorun basitleşir
Bir düzleme paralel düz bir çizgi oluşturmak için algoritma
Sözel biçim Grafik biçimi 1. P(D ABC) düzleminde, P düzlemine ait bir A1 düz çizgisi çizelim.
Düz bir çizginin genel bir düzlemle kesişimi için algoritma
Sözlü biçim Grafik biçimi 1. Düz bir l çizgisinin bir düzlemle kesişme noktasını oluşturmak
Bir düzleme dik oluşturmak için algoritma
Sözlü biçim Grafik biçimi 1. P(D ABC) düzlemine D noktasından geçen bir dik oluşturmak için önce şunları yapmalısınız:
3. Bölüme
1. AB çizgisinin izdüşümünü (Şekil 3) aşağıdaki durumlarda oluşturun: a) p1'e paralelse; b) p2'ye paralel; c) OX'a paralel; d) p1'e dik
5. Bölüme
İki paralel düz çizgiyle tanımlanan düzlemde ön kısmı p1'den 15 mm uzaklıkta oluşturun (Şekil 9):
6. Bölüme
1. Bir P(a|| b) düzlemi ve D noktasından geçen bir m çizgisinin önden izdüşümü m2 verilsin. m1 çizgisinin yatay izdüşümünü m çizgisi bu düzleme paralel olacak şekilde oluşturun.
3. Bölüm Testleri
AB segmentinin tanımı ile görüntüsü arasındaki yazışmayı seçin (Şekil 6): 1. AB || s. 1 2. AB || s 2 3. AB ^ s 1 4.
6. Bölüm Testleri
1. Çizimlerin hangisinde (Şekil 12), P(m Cn) düzlemine paralel olan S (D ABC) düzlemi bulunmaktadır.
Önerilen kaynakça
1. GOST 2.001-70. Genel hükümler // Koleksiyonda. Birleşik tasarım dokümantasyon sistemi. Temel hükümler. – M.: Standartlar Yayınevi, 1984. – S. 3–5. 2. GOST 2.104-68. Ana yazıtlar // B
Metrik problemlerin çözümünde iki nokta arasındaki mesafenin belirlenmesinin yanı sıra karşılıklı dik doğruların ve düzlemlerin oluşturulmasının ana grafik işlemleri olduğunu söylemek abartı olmayacaktır.
Monge diyagramında uzayda birbirine dik çizgilerin ve düzlemlerin izdüşümlerini oluşturmanın teorik ön koşulu, daha önce belirtilen özelliktir (bkz. § 6)
yanlarından biri herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olan dik açılı projeksiyonlar:
1. Karşılıklı dik çizgiler.
Belirtilen özelliği bir Monge diyagramında 90° açıyla kesişen iki düz çizgi oluşturmak için kullanabilmek için, bunlardan birinin bir projeksiyon düzlemine paralel olması gerekir. Söylenenleri örneklerle açıklayalım.
ÖRNEK 1. A noktasından yatay h çizgisiyle dik açıyla kesişen bir l düz çizgisi çizin (Şekil 249).
Dik açının h kenarlarından biri π 1 düzlemine paralel olduğundan, dik açı bu düzleme bozulma olmadan yansıtılacaktır. Bu nedenle, A" üzerinden l" ⊥ h" yatay bir izdüşümü çizeriz. M" = l" ∩ h" noktasını işaretleriz. M" (M" ∈ h")'yi buluruz. A" ve M" noktaları l"'yi belirler (bkz. Şekil 249, a).
Yatay bir çizgi yerine önden bir f verilirse, o zaman l ⊥ f düz çizgisini çizmeye yönelik geometrik yapılar, az önce ele alınanlara benzer, tek fark, bir dik açının bozulmamış izdüşümünün yapısının bir ile başlaması gerektiğidir. önden projeksiyon (bkz. Şekil 249, b).
ÖRNEK 2. A noktasından, [BC] doğru parçası tarafından tanımlanan a düz çizgisiyle 90° açıyla kesişen bir l düz çizgisi çizin (Şekil 250).
Bu parça projeksiyon düzlemlerine göre keyfi bir konum işgal ettiğinden, önceki örnekte olduğu gibi, dik açıyı yansıtmanın özel durumu hakkındaki özelliği kullanamayız, dolayısıyla ilk önce [BC]'yi paralel bir konuma aktarmamız gerekir. bazı projeksiyon düzlemleri.
İncirde. 250 [BC] π 3 düzlemine paralel bir konuma taşınır. Bu, π 1 → π 3 || düzlemini değiştirerek projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemi kullanılarak yapılır. [Güneş].
Yeni sistemde böyle bir değişikliğin sonucu olarak, x 1 π 2 /π 3 [BC] yatay bir çizgiyi tanımlar, bu nedenle diğer tüm yapılar önceki örnekte yapıldığı gibi gerçekleştirilir: M noktasından sonra "1 bulundu, M" ve M" konumlarındaki orijinal izdüşüm düzlemlerine çevrildi, bu noktalar A" ve A" ile birlikte l düz çizgisinin izdüşümlerini belirler.
ÖRNEK 3. Önden izdüşümü ∠A"B"C" ve [A"B"] tarafının yatay izdüşümü biliniyorsa, ABC dik açısının [BC] tarafının yatay izdüşümü gerçekleştirin (Şekil 251) .
1. [BA] açısının kenarını || konumuna getirin. π 3 xπ 2 /π 1 projeksiyon düzlemleri sisteminden yeni x 1 π 3 /π 2'ye geçerek
2. Yeni bir ön projeksiyon tanımlayın.
B" 1'den [B" 1 A" 1'e bir dik oluştururuz. Bu dikme üzerinde C" 1 noktasını belirleriz (C" 1, x 1 ekseninden |C x 1 C" 1 | mesafesi kadar uzaklaştırılır). = |C x C"| ).
4. Yatay projeksiyon C", (C" 1 C x 1) ∩ (C" C x) = C" doğrularının kesişme noktası olarak tanımlanır.
2. Karşılıklı olarak dik olan düz çizgi ve düzlem.
Stereometri kursundan, bir düz çizginin, bu düzleme ait kesişen en az iki çizgiye dik olması durumunda, bu düzleme dik olduğunu biliyoruz.
Düzlemde rastgele kesişen çizgileri değil, yatay ve ön çizgilerini alırsak, Örnek 1, Şekil 1'de yapıldığı gibi dik açılı projeksiyon özelliğini kullanmak mümkün hale gelir. 249.
Aşağıdaki örneği düşünün; A ∈ α noktasından α düzlemine dik bir noktayı geri getirmemiz gerektiğini varsayalım (Şekil 252).
A noktasından yatay h çizgisini ve α düzleminin ön f çizgisini çiziyoruz. O halde, (AB) tanımı gereği, α düzlemine dik olan, h ve f düz çizgilerine dik olmalıdır, yani. Ama AM tarafı ∠ SİZ || π 1 , bu nedenle ∠VAM, distorsiyon olmadan π 1 düzlemine yansıtılır, yani. 
. AK tarafı ∠ VAK || π 2 ve dolayısıyla bu açı aynı zamanda distorsiyon olmadan π 2 düzlemine de yansıtılır, yani. 
. Yukarıdaki mantık aşağıdaki teorem olarak formüle edilebilir: Uzayda bir düz çizginin bir düzleme dik olabilmesi için, diyagramda düz çizginin yatay izdüşümünün düzlemin yatayının yatay izdüşümüne ve ön izdüşümünün düzleme dik olması gerekli ve yeterlidir. bu düzlemin ön kısmının önden izdüşümü.
Düzlem izlerle veriliyorsa, teorem farklı şekilde formüle edilebilir: Uzayda bir doğrunun bir düzleme dik olabilmesi için bu doğrunun izdüşümlerinin düzlem üzerindeki aynı isimli izlere dik olması gerekli ve yeterlidir.
Düzleme dik uzayda bir çizgi ile bu çizginin düzlemin seviye çizgilerinin (izlerinin) çıkıntılarına izdüşümleri arasındaki teorem tarafından kurulan ilişkiler, düzleme dik bir çizgi çizme problemini çözmek için grafiksel algoritmanın temelini oluşturur, belirli bir çizgiye dik bir düzlem oluşturmanın yanı sıra.
ÖRNEK 1. AD dik açısını A köşesindeki ΔАВС düzlemine geri getirin (Şekil 253).
Dikliğin izdüşümlerinin yönünü belirlemek için, ΔABC düzleminin yatay h ve ön f'sinin izdüşümlerini çiziyoruz. Bundan sonra, A" noktasından h"ye ve A" - f"ye dik bir çizgiyi geri getiriyoruz.
ÖRNEK 2. α (m || n) düzlemine ait A noktasından bu düzleme dik bir çizgi çizin (Şekil 254).
ÇÖZÜM. Önceki örnekte olduğu gibi l" ve l" dik çizgilerinin çıkıntılarının yönünü belirlemek için, α düzlemine ait A (A", A") noktasından geçen h(h", h") yatay bir çizgi çizin . h" yönünü bilerek, dikey l" (l" ⊥ h")'nin yatay bir izdüşümünü oluştururuz. A (A", A") noktasına dik olan ön projeksiyonun yönünü belirlemek için, α düzleminin ön f (f", f") kısmını çizin. F'nin ön projeksiyon düzlemine paralelliği nedeniyle, l ve f arasındaki dik açı bozulma olmadan π 2'ye yansıtılır, dolayısıyla l" ⊥ f" çizeriz.
İncirde. 255 Aynı sorun, α düzleminin izlerle verildiği durum için de çözüldü. Dik çıkıntıların yönlerini belirlemek için yatay ve ön çizgilerin çizilmesine gerek yoktur.
bel, çünkü işlevleri h 0α ve f 0α düzleminin izleri tarafından gerçekleştirilir. Çizimden görülebileceği gibi çözüm, A" ve A" noktaları boyunca l" ⊥ h 0α ve l" ⊥ f 0α projeksiyonlarının çizilmesine indirgenir.
ÖRNEK 3. Belirli bir l çizgisine dik olan ve belirli bir A noktasından geçen bir γ düzlemini oluşturun (Şekil 256).
ÇÖZÜM. A noktasından yatay bir h çizgisi ve bir ön çizgi f çiziyoruz. Bu iki kesişen çizgi bir düzlemi tanımlar; l düz çizgisine dik olması için h ve f düz çizgilerinin l düz çizgisiyle 90° açı yapması gerekir. Bunu yapmak için h" ⊥ l" ve f" ⊥ l" çizeriz. Önden projeksiyon h" ve yatay projeksiyon f" x eksenine paraleldir.
Ele alınan durum, örnek 3'te verilen sorunu farklı bir şekilde çözmemize olanak sağlar (s. 175 Şekil 251). [BC] ∠ABC tarafı γ ⊥ [AB] düzlemine ait olmalı ve B noktasından geçmelidir (Şekil 257).
Bu durum problemin çözüm yolunu şu şekilde belirler: B noktasını γ ⊥ [AB] düzlemine dahil ederiz, bunun için B noktası üzerinden γ düzleminin yatay ve ön cephesini çizeriz, böylece h" ⊥ A olur "B" ve f" ⊥ A "B".
γ düzlemine ait olan C ∈ (BC) noktası, bu nedenle yatay izdüşümünü bulmak için, γ düzlemine ait 1"2" ila C" arası rastgele bir düz çizgi çizeriz; bu 1"2 çizgisinin yatay izdüşümünü belirleriz " ve üzerinde C noktasını işaretleyin" (C "bağlantı çizgisinin kesişimiyle belirlenir - C"den düşen dikey çizgi 1"2" düz çizgisinin yatay izdüşümü ile). C" ve B" yatay projeksiyonu (BC) ⊥ (AB) belirler.
3. Karşılıklı dik düzlemler..
İki düzlemden biri diğerine dik bir çizgi içeriyorsa bu düzlemler birbirine diktir.
Düzlemlerin diklik tanımına dayanarak, α düzlemine dik bir β düzlemi oluşturma problemini şu şekilde çözüyoruz: α düzlemine dik bir düz çizgi l çizin; l doğrusunu β düzlemine alıyoruz. β ⊃ l ⊥ α olduğundan β ⊥ α düzlemi.
l doğrusu üzerinden birçok düzlem çizilebilir, dolayısıyla problemin birçok çözümü vardır. Cevabı daha spesifik hale getirmek için ek koşulların belirtilmesi gerekir.
ÖRNEK 1. Belirli bir düz çizgi boyunca a düzlemine dik bir β düzlemi çizin (Şekil 258).
ÇÖZÜM. α düzlemine dik olan çıkıntıların yönünü belirleriz, bunun için yatayın yatay izdüşümünü (h") ve önden (f") ön izdüşümünü buluruz; Rastgele bir A ∈ α noktasının izdüşümlerinden l" ⊥ h" ve l" ⊥ f" dik izdüşümlerini çizeriz. β ⊃ l ⊥ α olduğundan β ⊥ α düzlemi.
ÖRNEK 2. Belirli bir A noktası boyunca, izler tarafından belirtilen α düzlemine dik, yatay olarak çıkıntı yapan bir γ düzlemi çizin (Şekil 259, a).
Gerekli γ düzlemi, α düzlemine dik bir çizgi içermeli veya α düzlemine ait bir çizgiye dik olmalıdır. γ düzleminin yatay olarak çıkıntı yapması gerektiğinden, ona dik olan düz çizgi π 1 düzlemine paralel olmalıdır, yani α düzleminin yatay çizgisi veya (aynı) bu düzlemin yatay izi - h 0α olmalıdır. Bu nedenle, yatay projeksiyon noktası A" boyunca yatay bir h 0γ ⊥ h 0α ön izi f 0γ ⊥ x ekseni çizin.
İncirde. Şekil 259, b, B noktasından geçen ve π 2 düzlemine dik olan, önden çıkıntı yapan γ düzlemini gösterir.
Çizimden açıkça görülmektedir ki, üzerinde biri önden çıkıntı yapan, karşılıklı olarak dik iki düzlemin belirtildiği diyagramın ayırt edici bir özelliği, bunların ön izlerinin dikliğidir f 0γ ⊥ f 0α , önden çıkıntı yapan yatay iz. düzlem x eksenine diktir.
Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işareti, karşılıklı dik çizgiler ve düzlemler oluşturmamıza, yani bu tür doğruların ve düzlemlerin varlığını kanıtlamamıza olanak sağlar. Belirli bir doğruya dik olan ve belirli bir noktadan geçen bir düzlem oluşturarak başlayalım. Belirli bir nokta ve belirli bir doğrunun konumunda iki olasılığa karşılık gelen iki inşaat problemini çözelim.
Problem 1. Belirli bir a doğrusu üzerindeki belirli bir A noktasından bu doğruya dik bir düzlem çizin.
A düz çizgisi boyunca herhangi iki düzlem çizelim ve bu düzlemlerin her birinde A noktasından geçerek a düz çizgisine dik bir düz çizgi çizelim ve bunları b ve c olarak gösterelim (Şekil 2.17). Bis düz çizgilerinden geçen a düzlemi A noktasını içerir ve a düz çizgisine diktir (düz çizgi ile düzlemin dikliğine bağlı olarak). Bu nedenle a düzlemi istenen düzlemdir. Problem çözüldü.
Sorunun yalnızca bir (yani benzersiz) çözümü vardır. Aslında tam tersini varsayalım. Daha sonra, a düzlemine ek olarak, a düz çizgisine dik olan başka bir P düzlemi A noktasından geçer (Şekil 2.18). A noktasından geçen ve a düzleminde yer almayan herhangi bir doğruyu P düzlemini alalım. a ve ile kesişen doğrulardan y düzlemini çizelim. Y düzlemi a düzlemini q düz çizgisi boyunca kesiyor. q çizgisi, çizgisiyle çakışmaz çünkü q, a'nın içinde yer alır ve yatmaz. Bu çizgilerin her ikisi de y düzleminde yer alır, A noktasından geçer ve ve'den bu yana ve benzer şekilde a doğrusuna diktir. Ancak bu, bir düzlemde belirli bir düz çizgiye dik olan her noktadan yalnızca bir düz çizginin geçtiğini söyleyen iyi bilinen planimetri teoremiyle çelişir.
Dolayısıyla, A noktasından geçen bir çizgiye dik iki düzlemin olduğunu varsayarak bir çelişkiye ulaştık. Bu nedenle sorunun benzersiz bir çözümü vardır.
Problem 2. Belirli bir a çizgisi üzerinde yer almayan belirli bir A noktası üzerinden, bu çizgiye dik bir düzlem çizin.
A noktasından a çizgisine dik bir b çizgisi çiziyoruz. a ve b'nin kesişme noktası B olsun. B noktasından geçerek a düz çizgisine dik bir c düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 2.19). Her iki çizilen çizgiden geçen bir düzlem, diklik kriterine göre (Teorem 2) a'ya dik olacaktır.
Problem 1'de olduğu gibi, inşa edilen düzlem benzersizdir. Aslında, A noktasından a düz çizgisine dik geçen herhangi bir düzlemi ele alalım. Böyle bir düzlemde a doğrusuna dik ve A noktasından geçen bir doğru vardır. Ancak böyle bir doğru vardır. Bu, B noktasından geçen b doğrusudur. Bu, A'dan geçen ve a doğrusuna dik olan düzlemin B noktasını içermesi gerektiği ve B noktasından a doğrusuna dik olan yalnızca bir düzlemin geçtiği anlamına gelir (problem 1). Böylece, bu inşaat problemlerini çözüp çözümlerinin benzersizliğini kanıtladıktan sonra aşağıdaki önemli teoremi kanıtlamış olduk.
Teorem 3 (bir çizgiye dik bir düzlem hakkında). Her noktadan belirli bir çizgiye dik bir düzlem geçer, üstelik yalnızca bir tane.
Sonuç (dik açıların düzlemi hakkında). Belirli bir noktada belirli bir çizgiye dik olan çizgiler aynı düzlemde bulunur ve onu kaplar.
A verilen bir doğru ve A da onun üzerindeki herhangi bir nokta olsun. İçinden bir uçak geçiyor. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin tanımı gereği,
A noktasındaki a düz çizgisine dik düz çizgilerle kaplıdır; a düzleminin her noktasından a doğrusuna dik bir doğru geçmektedir.
Düz bir çizginin A noktasından geçtiğini ve a düzleminde bulunmadığını varsayalım. Bunun içinden bir P düzlemi ve bir a düz çizgisi çizelim. P düzlemi a'yı belirli bir c düz çizgisi boyunca kesecektir (Şekil 2.20). Ve P düzlemindeki A noktasından a düz çizgisine dik iki b ve c düz çizgisinin olduğu ortaya çıktı. Bu imkansız. Bu, A noktasında a çizgisine dik olan ve a düzleminde yer almayan hiçbir çizginin olmadığı anlamına gelir. Hepsi bu düzlemde yatıyor.
Teorem 3'ün sonucunun bir örneği, bir tekerleğin kendi eksenine dik olan tekerlek telleri tarafından verilmektedir: dönerken, dönme eksenine dik tüm konumları alarak bir düzlem (daha kesin olarak bir daire) çizerler.
Teorem 2 ve 3, aşağıdaki probleme basit bir çözüm sağlamaya yardımcı olur.
Problem 3. Belirli bir düzlemdeki bir noktadan bu düzleme dik bir çizgi çizin.
Bir a düzlemi ve a düzleminde bir A noktası verilsin. a düzleminde A noktasından geçen bir a çizgisi çizelim. A noktasından a çizgisine dik bir düzlem çiziyoruz (problem 1). Düzlem a düzlemini düz bir b çizgisi boyunca kesecektir (Şekil 2.21). P düzleminde A noktasından b çizgisine dik bir c çizgisi çizelim. Çünkü (c düzlemde olduğundan
Ve), sonra Teorem 2'ye göre. Çözümünün benzersizliği bölüm 2.1'de belirtilmiştir.
Yorum. Uzaydaki yapılar hakkında. Bölüm 1'de “yapısal geometri”yi incelediğimizi hatırlayın. Ve bu noktada uzayda inşaatla ilgili üç problemi çözdük. Stereometride “inşa etmek”, “çizmek”, “yazmak” vb. terimleriyle ne kastedilmektedir? Öncelikle, bir düzlemdeki yapıları hatırlayalım. Örneğin, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin nasıl oluşturulacağını göstererek, böylece onun varlığını kanıtlarız. Genel olarak, bir inşaat problemini çözerken, belirli özelliklere sahip bir şeklin varlığına ilişkin bir teoremi kanıtlarız. İstenilen sonuca götüren en basit işlemleri gerçekleştirmek. En basit işlemler dairelerin çizilmesi ve bunların kesişme noktalarının bulunmasıdır. Daha sonra çizim araçları kullanılarak şekil doğrudan kağıt üzerinde veya tahta üzerinde oluşturulur.
Yani planimetride inşaat probleminin çözümünün iki tarafı vardır: teorik - inşaat algoritması - ve pratik - bu algoritmanın örneğin bir pusula ve cetvelle uygulanması.
Stereometrik inşaat görevinin yalnızca bir tarafı kaldı - teorik, çünkü uzayda inşaat için pusula ve cetvel gibi hiçbir araç yok.
Uzaydaki temel yapılar, düz çizgilerin ve düzlemlerin varlığına ilişkin aksiyomlar ve teoremlerin sağladığı yapılar olarak alınır. Bu, iki noktadan geçen bir çizgi çizmek, bir düzlem çizmek (madde 1.1'in önermeleri ve madde 1.4'ün aksiyom 1'i) ve aynı zamanda inşa edilmiş herhangi iki düzlemin kesişim hattını oluşturmaktır (madde 1.4'ün aksiyom 2'si). Ayrıca doğal olarak halihazırda inşa edilmiş düzlemlerde planimetrik yapıların gerçekleştirilmesinin mümkün olduğunu varsayacağız.
Uzayda bir inşaat problemini çözmek, istenen şekli veren temel inşaatların sırasını belirtmek anlamına gelir. Genellikle tüm temel yapılar açıkça belirtilmez, ancak halihazırda çözülmüş inşaat problemlerine atıflarda bulunulur; bu tür yapıların olasılığı hakkında zaten kanıtlanmış önermeler ve teoremler üzerine.
Stereometride yapılara (varlık teoremleri) ek olarak, yapılarla ilgili iki tür problem daha mümkündür.
İlk olarak görevler resimde veya çizimdedir. Bunlar çokyüzlülerin veya diğer cisimlerin kesilmesiyle ilgili sorunlardır. Aslında kesitin kendisini inşa etmiyoruz, sadece onu tasvir ediyoruz.
Zaten sahip olduğumuz çizim veya çizim. Bu tür yapılar, stereometri aksiyomları ve teoremleri ve görüntü kuralları dikkate alınarak planimetrik olarak gerçekleştirilir. Bu tür problemler çizim ve tasarım uygulamalarında sürekli olarak çözülmektedir.
İkincisi, yüzeylerde cisim inşa etme görevleri. Görev: "Bir küpün yüzeyinde belirli bir tepe noktasından belirli bir mesafede uzakta olan noktalar oluşturma" - bir pusula kullanılarak çözülebilir (nasıl?). Görev: "Bir topun yüzeyinde belirli bir noktadan belirli bir mesafedeki noktalar oluşturma" - pusula kullanılarak da çözülebilir (nasıl?). Bu tür problemler geometri derslerinde çözülmez - elbette, araçlarının elde etmesine izin verdiği doğrulukla, elbette kalem tarafından sürekli olarak çözülürler. Ancak bu tür problemleri çözerken geometriye güvenir.
