Çift veya tek fonksiyonlar. Çift ve tek fonksiyonların grafiği

Herhangi biri ve eşitlik için bir fonksiyona çift (tek) denir

.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir
.

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Örnek 6.2. Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu inceleyin

1)
; 2)
; 3)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:
. Bulacağız
.

Onlar.
. Bu, bu fonksiyonun eşit olduğu anlamına gelir.

2) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:

Onlar.
. Dolayısıyla bu fonksiyon tuhaftır.

3) fonksiyon için tanımlanmıştır, yani. İçin

,
. Bu nedenle fonksiyon ne çift ne de tektir. Buna genel formun bir fonksiyonu diyelim.

3. Monotonluk fonksiyonunun incelenmesi.

İşlev
bu aralıkta argümanın her daha büyük değeri, fonksiyonun daha büyük (daha küçük) bir değerine karşılık geliyorsa, belirli bir aralıkta artan (azalan) olarak adlandırılır.

Belirli bir aralıkta artan (azalan) fonksiyonlara monoton denir.

Eğer fonksiyon
aralıkta türevlenebilir
ve pozitif (negatif) bir türevi vardır
, ardından fonksiyon
bu aralıkta artar (azalır).

Örnek 6.3. Fonksiyonların monotonluk aralıklarını bulun

1)
; 3)
.

Çözüm.

1) Bu fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlanmıştır. Türevini bulalım.

Türev sıfıra eşit ise
Ve
. Tanım alanı, noktalara bölünmüş sayı eksenidir
,
aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.

aralıkta
türev negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır.

aralıkta
türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artar.

2) Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır:
veya

.

Her aralıkta ikinci dereceden üç terimlinin işaretini belirleriz.

Böylece fonksiyonun tanım alanı

Türevini bulalım
,
, Eğer
, yani
, Ancak
. Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim
.

aralıkta
türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon aralıkta azalır
. aralıkta
türev pozitiftir, fonksiyon aralık boyunca artar
.

4. Fonksiyonun ekstremumdaki incelenmesi.

Nokta
fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir
eğer noktanın böyle bir mahallesi varsa bu herkes için
bu mahallede eşitsizlik devam ediyor

.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına ekstrem noktalar denir.

Eğer fonksiyon
noktada bir ekstremuma sahipse, bu durumda fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir veya mevcut değildir (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul).

Türevin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir.

5. Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar.

Kural 1. Kritik noktadan geçiş sırasında (soldan sağa) türev
işareti “+”dan “-”ye değiştirir, ardından noktada işlev
bir maksimumu vardır; “-” ile “+” arasında ise minimum; Eğer
işareti değişmiyorsa ekstremum yoktur.

Kural 2. Gelin bu noktada
bir fonksiyonun birinci türevi
sıfıra eşit
ve ikinci türev mevcuttur ve sıfırdan farklıdır. Eğer
, O – maksimum nokta, eğer
, O – fonksiyonun minimum noktası.

Örnek 6.4 . Maksimum ve minimum işlevleri keşfedin:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
.

Türevini bulalım
ve denklemi çöz
, yani
.Buradan
- kritik noktalar.

Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim,
.

Noktalardan geçerken
Ve
türevin işareti “–”den “+”ya değişir, dolayısıyla kural 1'e göre
– minimum puanlar.

Bir noktadan geçerken
türevin işareti “+”dan “-”ye değişir, yani
– maksimum nokta.

,
.

2) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Türevini bulalım
.

Denklemi çözdükten sonra
, bulacağız
Ve
- kritik noktalar. Payda ise
, yani
ise türev mevcut değildir. Bu yüzden,
– üçüncü kritik nokta. Türevin işaretini aralıklarda belirleyelim.

Bu nedenle fonksiyonun bu noktada minimumu vardır.
, puan cinsinden maksimum
Ve
.

3) Bir fonksiyon eğer tanımlanmış ve sürekli ise
, yani en
.

Türevini bulalım

.

Kritik noktaları bulalım:

Noktaların mahalleleri
tanım alanına ait değildir, dolayısıyla ekstrema değildirler. O halde kritik noktaları inceleyelim
Ve
.

4) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Kural 2'yi kullanalım. Türevi bulun
.

Kritik noktaları bulalım:

İkinci türevi bulalım
ve noktalardaki işaretini belirleyin

noktalarda
fonksiyonun minimumu vardır.

noktalarda
fonksiyonun bir maksimumu vardır.

Hatta işlev.

Eşit işareti değiştiğinde işareti değişmeyen bir fonksiyondur X.

X eşitlik geçerlidir F(–X) = F(X). İmza X işareti etkilemez sen.

Çift fonksiyonun grafiği koordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 1).

Çift fonksiyon örnekleri:

sen=çünkü X

sen = X 2

sen = –X 2

sen = X 4

sen = X 6

sen = X 2 + X

Açıklama:
Fonksiyonu ele alalım sen = X 2 veya sen = –X 2 .
Herhangi bir değer için X fonksiyon pozitiftir. İmza X işareti etkilemez sen. Grafik koordinat eksenine göre simetriktir. Bu eşit bir fonksiyondur.

Tek işlev.

Garip işareti değiştiğinde işareti değişen bir fonksiyondur X.

Başka bir deyişle, herhangi bir değer için X eşitlik geçerlidir F(–X) = –F(X).

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 2).

Tek fonksiyon örnekleri:

sen= günah X

sen = X 3

sen = –X 3

Açıklama:

y = – fonksiyonunu alalım X 3 .
Tüm anlamlar en eksi işareti olacaktır. Bu bir işaret X işareti etkiler sen. Bağımsız değişken pozitif bir sayı ise fonksiyon pozitiftir, bağımsız değişken negatif bir sayı ise fonksiyon negatiftir: F(–X) = –F(X).
Fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Bu garip bir fonksiyon.

Çift ve tek fonksiyonların özellikleri:

NOT:

Tüm işlevler çift veya tek değildir. Böyle bir derecelendirmeye uymayan işlevler vardır. Örneğin kök işlevi en = √Xçift ​​veya tek işlevler için geçerli değildir (Şekil 3). Bu tür fonksiyonların özellikleri listelenirken uygun bir açıklama verilmelidir: ne çift ne tek.

Periyodik fonksiyonlar.

Bildiğiniz gibi periyodiklik, belirli süreçlerin belirli aralıklarla tekrarlanmasıdır. Bu süreçleri tanımlayan fonksiyonlara denir. periyodik fonksiyonlar. Yani bunlar, grafiklerinde belirli sayısal aralıklarla tekrar eden elemanların bulunduğu fonksiyonlardır.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• çift ​​ve tek fonksiyonlar kavramını formüle etmek, fonksiyonları incelerken ve grafikleri oluştururken bu özellikleri belirleme ve kullanma becerisini öğretmek;
• öğrencilerin yaratıcı aktivitelerini, mantıksal düşünmelerini, karşılaştırma ve genelleme yeteneklerini geliştirmek;
• sıkı çalışmayı ve matematik kültürünü geliştirmek; iletişim becerilerini geliştirmek .

Teçhizat: multimedya kurulumu, interaktif beyaz tahta, bildiriler.

Çalışma biçimleri: arama ve araştırma faaliyetlerinin unsurları ile ön ve grup.

Bilgi kaynakları:

1. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Ders kitabı.
2. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Sorun kitabı.
3. Cebir 9. sınıf. Öğrenci öğrenmesi ve gelişimi için görevler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyon anı

Ders için amaç ve hedeflerin belirlenmesi.

2. Ödev kontrol ediliyor

10.17 (9. sınıf problem kitabı. A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fonksiyon şu durumlarda artar: X € [– 2; + ∞)
6. Fonksiyon aşağıdan sınırlandırılmıştır.
7. en isim = – 3, en naib mevcut değil
8. Fonksiyon süreklidir.

(Bir işlev keşfetme algoritması kullandınız mı?) Slayt.

2.Slayttan size sorulan tabloyu kontrol edelim.

Tabloyu doldurun
	İhtisas	Fonksiyon sıfırları	İşaret sabitliği aralıkları		Grafiğin Oy ile kesişme noktalarının koordinatları
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilgiyi güncelleme

– Fonksiyonlar verilmiştir.
– Her fonksiyonun tanım kapsamını belirtin.
– Her bir bağımsız değişken değeri çifti için her fonksiyonun değerini karşılaştırın: 1 ve – 1; 2 ve – 2.
– Tanım alanındaki bu işlevlerden hangisi için eşitlikler geçerlidir? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (elde edilen verileri tabloya girin) Slayt

4. Yeni malzeme

– Bu çalışmayı yaparken arkadaşlar, fonksiyonun size tanıdık gelmeyen ama diğerlerinden daha az önemli olmayan başka bir özelliğini belirledik - bu, fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığıdır. Dersin konusunu yazın: "Çift ve tek fonksiyonlar", görevimiz bir fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini belirlemeyi öğrenmek, bu özelliğin fonksiyonların incelenmesinde ve grafiklerin çizilmesinde önemini bulmaktır.
O halde ders kitabındaki tanımları bulalım ve okuyalım (s. 110) . Slayt

Def. 1İşlev en = F (X X kümesinde tanımlanan ), X olarak adlandırılır eşit herhangi bir değer için ise XЄ X yürütülür eşitlik f(–x)= f(x). Örnekler ver.

Def. 2İşlev y = f(x) X kümesinde tanımlanan , denir garip herhangi bir değer için ise X? X f(–х)= –f(х) eşitliği geçerlidir. Örnekler ver.

“Çift” ve “tek” terimlerini nerede karşıladık?
Bu işlevlerden hangisinin çift olacağını düşünüyorsunuz? Neden? Hangileri tuhaf? Neden?
Formun herhangi bir işlevi için en= xn, Nerede N– bir tamsayı olduğunda fonksiyonun tek olduğu iddia edilebilir. N– tek ve fonksiyon çift olduğunda N- eşit.
– İşlevleri görüntüle en= ve en = 2X– 3 ne çift ne de tektir çünkü eşitlikler tatmin edici değil F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine fonksiyonun eşlik çalışması denir. Slayt

Tanım 1 ve 2'de fonksiyonun x ve –x'deki değerlerinden bahsediyorduk, dolayısıyla fonksiyonun aynı zamanda değerde de tanımlandığı varsayılıyor. X ve – X.

Def 3. Bir sayısal küme, x öğelerinin her biri ile birlikte, karşıt öğe olan -x'i de içeriyorsa, o zaman küme X simetrik küme denir.

Örnekler:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] asimetriktir.

– Fonksiyonların bile simetrik bir küme olan bir tanım alanı var mı? Garip olanlar mı?
– Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) – çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Tersi ifade doğru mu: Bir fonksiyonun tanım tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi?
– Bu, tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığının gerekli bir koşul olduğu ancak yeterli olmadığı anlamına gelir.
– Peki parite için bir fonksiyon nasıl incelenir? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.

Slayt

Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına geçin.

2. için bir ifade yazın F(–X).

3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):

• Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
• Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
• Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.

Örnekler:

Eşlik açısından a) fonksiyonunu inceleyin en= x 5 +; B) en= ; V) en= .

Çözüm.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonksiyonu h(x)= x 5 + tek.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik bir kümedir; bu, fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

V) F(X) = , y = f(x),

1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

seçenek 2

1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Karşılıklı kontrol açık slayt.

6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;

Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.

***(Birleşik Devlet Sınavı seçeneğinin atanması).

1. y = f(x) tek fonksiyonu sayı doğrusunda tanımlıdır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.

7. Özetleme

Tanım 1. Fonksiyon çağrılır eşit (garip ), eğer her değişken değeriyle birlikte ise
Anlam - X aynı zamanda ait
ve eşitlik geçerlidir

Dolayısıyla, bir fonksiyon ancak tanım bölgesi sayı doğrusundaki koordinatların (sayı) orijinine göre simetrikse çift veya tek olabilir. X Ve - X aynı zamanda ait
). Örneğin, fonksiyon
tanım alanı olduğundan ne çift ne de tektir
orijine göre simetrik değildir.

İşlev
hatta çünkü
orijine göre simetriktir ve.

İşlev
tuhaf çünkü
Ve
.

İşlev
çift ​​ve tek değil, çünkü
ve orijine göre simetrik olduğundan eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir kuruluş birimiçünkü eğer amaç

aynı zamanda programa da aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer
grafiğe aitse, o zaman nokta
aynı zamanda programa aittir.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu kanıtlarken aşağıdaki ifadeler faydalıdır.

Teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur.

b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur.

c) Çift ve tek bir fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyondur.

d) Eğer F– sette eşit işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, ardından fonksiyon
- eşit.

d) Eğer F– setteki tek işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
ve çift (tek), o zaman fonksiyon
- tek çift).

Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi kanıtlayalım.

b) izin ver
Ve
– hatta işlevler. O zaman bu nedenle. Tek fonksiyonların durumu da benzer şekilde ele alınır
Ve
.

d) izin ver F eşit bir fonksiyondur. Daha sonra.

Teoremin geri kalan ifadeleri benzer şekilde kanıtlanabilir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 2. Herhangi bir işlev
, sette tanımlanmış X Orijine göre simetrik olan , çift ve tek fonksiyonların toplamı olarak temsil edilebilir.

Kanıt. İşlev
şeklinde yazılabilir

.

İşlev
– hatta çünkü
ve fonksiyon
– tuhaf çünkü. Böylece,
, Nerede
– hatta ve
– garip işlevler. Teorem kanıtlandı.

Tanım 2. İşlev
isminde periyodik bir sayı varsa
, öyle ki herhangi biri için
sayılar
Ve
aynı zamanda tanım alanına da aittir
ve eşitlikler sağlanıyor

Böyle bir sayı T isminde dönem işlevler
.

Tanım 1'den şu sonuç çıkıyor: T– fonksiyonun süresi
, ardından sayı – T Aynı fonksiyonun periyodu
(değiştirildiğinden beri T Açık - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyonun süresi F, Daha sonra
, aynı zamanda bir dönemdir. Buradan, eğer bir fonksiyonun bir periyodu varsa, o zaman sonsuz sayıda periyodu olduğu sonucu çıkar.

Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne denir ana dönem.

Teorem 3. Eğer T– işlevin ana dönemi F, bu durumda kalan periyotlar bunun katlarıdır.

Kanıt. Bunun tersini varsayalım, yani bir periyot var işlevler F (>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme Açık T geri kalanıyla şunu elde ederiz
, Nerede
. Bu yüzden

yani – fonksiyonun süresi F, Ve
ve bu şu gerçekle çelişiyor: T– işlevin ana dönemi F. Teoremin ifadesi sonuçta ortaya çıkan çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlandı.

Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana dönem
Ve
eşittir
,
Ve
. Fonksiyonun periyodunu bulalım
. İzin vermek
- bu işlevin süresi. Daha sonra

(Çünkü
.

yada yada
.

Anlam T Birinci eşitlikten belirlenen , aşağıdakilere bağlı olduğundan bir nokta olamaz: X, yani bir fonksiyonudur X ve sabit bir sayı değil. Dönem ikinci eşitlikten belirlenir:
. Sonsuz sayıda dönem vardır
en küçük pozitif periyot elde edilir
:
. Bu fonksiyonun ana dönemidir
.

Daha karmaşık bir periyodik fonksiyonun örneği Dirichlet fonksiyonudur

şunu unutmayın: T bir rasyonel sayıdır o zaman
Ve
rasyonel sayılar rasyoneldir X ve mantıksızken mantıksız X. Bu yüzden

herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Sıfıra keyfi olarak yakın olan pozitif rasyonel sayılar olduğundan (örneğin, seçimle bir rasyonel sayı yapılabilir) bu fonksiyonun bir ana periyodu olmadığı açıktır. N keyfi olarak sıfıra yakın).

Teorem 4. Eğer fonksiyon F sette tanımlanmış X ve bir dönemi var T ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, o zaman karmaşık bir fonksiyon
bir de dönemi var T.

Kanıt. Bu nedenle elimizde

yani teoremin ifadesi kanıtlanmıştır.

Örneğin, o zamandan beri çünkü X bir dönemi var
, ardından işlevler
bir dönemim var
.

Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlar çağrılır düzenli olmayan .

Gösteriyi Gizle

Bir işlevi belirtme yöntemleri

Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.

Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:

Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.

Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Bir grafik kullanılarak, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeriyle ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.

Çift ve tek fonksiyon

İşlev eşit işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

İşlev Tek işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.

İşlev bile, ne tuhaf ve denir genel fonksiyon eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.

Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

Orijine göre simetrik tanım alanına sahip D(f)=(-\infty ; +\infty) . f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.

Periyodik fonksiyon

Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin geçerli olduğu tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna denir periyodik fonksiyon T \neq 0 periyodu ile.

Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.

Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.

f(x) > 0 açık (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Sınırlı işlev

Aşağıdan sınırlanmış Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Yukarıdan sınırlanmış f(x) \neq B eşitsizliğinin herhangi bir x \in X için geçerli olduğu bir B sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonu çağrılır.

Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1]çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 \in [-1;1] .

Sınırlı\left | eşitsizliğinin olduğu K > 0 sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .

Sınırlı bir fonksiyon örneği: y=\sin x tüm sayı ekseninde sınırlıdır, çünkü \sol | \sin x \sağ | \neq 1.

Arttırma ve azaltma fonksiyonu

Söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan şu şekilde bahsetmek gelenekseldir: artan fonksiyon o zaman, daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde. Buradan, x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan x_(1) ve x_(2) bağımsız değişkeninin iki keyfi değeri alınırsa sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).

Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona denir azalan fonksiyon x'in daha büyük bir değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde. Söz konusu aralıktan, x_(1) ve x_(2) ve x_(1) > x_(2) argümanlarının iki keyfi değeri alındığında, sonuç y(x_(1)) olacaktır.< y(x_{2}) .

Fonksiyon Kökleri F=y(x) fonksiyonunun apsis ekseniyle kesiştiği noktaları çağırmak gelenekseldir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesi sonucunda elde edilir).

a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0

b) Bir çift fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, x için artar< 0

c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0

d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Fonksiyonun minimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve bunlar için f(x) > f eşitsizliği şu şekilde olur: memnun (x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında belirlenmesi.

Fonksiyonun maksimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve onlar için f(x) eşitsizliği o zaman karşılanır< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Önkoşul

Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.

Yeterli koşul

1. Türevin işareti artıdan eksiye değiştiğinde, x_(0) minimum nokta olacaktır;
2. x_(0) - yalnızca sabit x_(0) noktasından geçerken türevin işareti eksiden artıya değiştiğinde maksimum nokta olacaktır.

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri

Hesaplama adımları:

1. f"(x) türevi aranır;
2. Fonksiyonun durağan ve kritik noktaları bulunarak segmente ait olanlar seçilir;
3. f(x) fonksiyonunun değerleri segmentin durağan ve kritik noktalarında ve uçlarında bulunur. Elde edilen sonuçlardan daha küçük olanı fonksiyonun en küçük değeri, ve dahası - en büyük.