Kriptografideki en son gelişmelerin özeti. İlk konu

Örnek 13.13

Hangi n değeri için grubun ilkel kökleri vardır: 17, 20, 38 ve 50?

Çözüm

A. 17 bir asal sayı olduğundan (pt t, t 1'dir) ilkel köklere sahiptir.

B. ilkel kökleri yoktur.

C. ve 19 bir asal sayıdır.

D. ilkel kökleri var çünkü ve 5 bir asal sayıdır.

Bir grubun ilkel bir kökü varsa, genellikle bu tür birkaç kökü vardır. İlkel köklerin sayısı - olarak hesaplanabilir. Örneğin, ilkel köklerin sayısı - Bu - . Kök sayısını bulmadan önce grubun herhangi bir ilkel köke sahip olup olmadığını kontrol etmeniz gerektiğini lütfen unutmayın.

Eğer grup G =< Z N* , x > en az bir temel köke sahipse, bu durumda ilkel köklerin sayısı ((n)) olur

Üç soruyu ele alalım:

1. Bir a elementi ve bir grup verildiğinde, a'nın G'nin ilkel kökü olup olmadığı nasıl belirlenebilir? Bu o kadar kolay bir iş değil.

A. Bu görevin karmaşıklığı açısından n sayısını çarpanlara ayırma görevine benzer olduğunu bulmalıyız.

B. Bulmak zorundayız .

2. Bir grup verildiğinde tüm ilkel kökler nasıl bulunur? Bu problem ilk problemden daha zordur çünkü adım 1.b'deki hesaplamaları tüm grup için tekrarlamamız gerekir.

3. Bir grup verilmişse, ilkel kök G nasıl seçilir? Kriptografide bir grupta en az bir ilkel kök bulmalıyız. Ancak bu durumda n değeri kullanıcı tarafından seçilir ve kullanıcı bilir. Kullanıcı, ilkini bulana kadar birkaç öğeyi art arda dener.

Döngüsel grup. Döngüsel gruplar zaten 5-6. derslerde tartışılmıştı. Bir grubun ilkel kökleri varsa, bunların döngüsel olarak tekrarlandığını lütfen unutmayın. Her ilkel kök bir oluşturucudur ve bütün bir kümeyi oluşturmak için kullanılabilir. Başka bir deyişle, eğer g bir grupta ilkel bir kök ise, Zn* kümesini şu şekilde üretebiliriz:

Örnek 13.14

Grup iki ilkel kökü vardır, çünkü ve . İlkel kökleri bulabilirsiniz - bunlar 3 ve 7'dir. Aşağıda, her bir ilkel kökü kullanarak tam bir Z 10* kümesini nasıl oluşturabileceğiniz açıklanmaktadır.

g = 3 -> g 1 mod 10 = 3 g 2 mod 10 = 9 g 3 mod 10 = 7 g 4 mod 10 = 1 g = 7 -> g 1 mod 10 = 7 g 2 mod 10 = 9 g 3 mod 10 = 3 g 4 mod 10 = 1

Lütfen grubun p asal olduğundan her zaman döngüseldir.

Grup G =< Z n * , x >ilkel köklere sahipse döngüsel bir gruptur. Grup G =< Z p * , x >her zaman döngüseldir.

Ayrık logaritma fikri. Grup birçok ilginç özelliğe sahiptir.

Ayrık logaritmalar kullanarak modüler logaritmayı çözme

Şimdi y = a x (mod n) gibi problemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım, yani y verildiğinde ve x'i bulmamız gerekiyor.

Ayrık logaritmaların tablolaştırılması. Yukarıdaki problemi çözmenin bir yolu, her Z p* ve çeşitli tabanlar için bir tablo kullanmaktır. Bu tür bir tablo önceden hesaplanabilir ve kaydedilebilir. Örneğin Tablo 13.4'te değerler gösterilmektedir ayrık logaritma Z 7* için. Bu kümede iki ilkel kök veya bazın bulunduğunu biliyoruz.

Başkaları için masa hazırlamak ayrık logaritmalar tüm gruplar ve tüm olası tabanlar için herhangi bir ayrık logaritmik problemi çözebiliriz. Bu yaklaşım geçmişte çalışılan geleneksel logaritmalara benzer. Hesap makineleri ve bilgisayarların ortaya çıkmasından önce, 10 tabanına göre logaritma hesaplamak için tablolar kullanılıyordu.

Örnek 13.15

Aşağıdaki durumların her birinde x'i bulun:

A.

B.

Tablo 13.4'ü rahatlıkla kullanabiliriz. ayrık logaritma.

Ayrık logaritma

Ayrık logaritma(DLOG) - işlevi tersine çevirme görevi G X bazı sonlu çarpımsal grupta G .

Çoğu zaman, disket logaritma problemi, kalıntı halkasının ters çevrilebilir elemanları grubunda, sonlu bir alanın çarpımsal grubunda veya sonlu bir alan üzerinde eliptik bir eğri üzerindeki noktalar grubunda dikkate alınır. Disket logaritma problemini çözmek için etkili algoritmalar genellikle bilinmemektedir.

verilen için G Ve Açözüm X denklemler G X = A isminde ayrık logaritma eleman A dayalı G. Durumunda G kalıntı halka modulosunun ters çevrilebilir elemanlarının grubudur Mçözüme de denir indeks sayılar A dayalı G. Sayı dizini A dayalı G eğer varolması garanti edilir G ilkel bir kök modulodur M.

Ayrık logaritma probleminin çözümü, negatif olmayan bir tamsayı bulmaktır. X, tatmin edici denklem (1). Çözülebilirse grubun mertebesini aşmayan en az bir doğal çözümü olmalıdır. Bu, yukarıdan çözüm bulmaya yönelik algoritmanın karmaşıklığı hakkında hemen kaba bir tahmin verir; kapsamlı bir arama algoritması, verilen grubun düzeyinden daha yüksek olmayan birkaç adımda bir çözüm bulacaktır.

Çoğu zaman bu durum, yani grubun eleman tarafından döngüsel olarak oluşturulduğu durumlarda dikkate alınır. G. Bu durumda denklemin her zaman bir çözümü vardır. Keyfi bir grup durumunda, ayrık logaritma probleminin çözülebilirliği sorunu, yani denklem (1)'in çözümlerinin varlığı sorunu ayrı bir değerlendirme gerektirir.

Örnek

En kolay yol, kalıntı halka modulosundaki ayrık logaritma problemini bir asal sayı olarak düşünmektir.

Karşılaştırmanın verilmesine izin verin

Sorunu kaba kuvvet yöntemini kullanarak çözeceğiz. 3 sayısının tüm kuvvetlerini gösteren bir tablo yazalım. Her seferinde 17'ye bölümün geri kalanını hesaplıyoruz (örneğin, 3 3 ≡27 - 17'ye bölümün geri kalanı 10'dur).

Artık söz konusu karşılaştırmanın çözümünün şu olduğunu görmek kolaydır: x=4, 3 4 ≡13'ten beri.

Uygulamada modül genellikle kaba kuvvet yönteminin çok yavaş olmasına yetecek kadar büyük bir sayıdır, dolayısıyla daha hızlı algoritmalara ihtiyaç vardır.

Çözüm algoritmaları

Rasgele bir çarpımsal grupta

Makale, keyfi sonlu bir Abel grubundaki ayrık logaritma probleminin çözülebilirliğine ve çözümüne ayrılmıştır. BuchmannJ., Jacobson M.J., Teske E. Sonlu değişmeli gruplardaki bazı hesaplama problemleri üzerine. Algoritma, öğe çiftlerinden oluşan bir tablo kullanır ve çarpma işlemlerini gerçekleştirir. Bu algoritma yavaştır ve pratik kullanıma uygun değildir. Belirli grupların kendilerine ait, daha etkili algoritmaları vardır.

Ayrık logaritmayı hesaplama problemini verimli bir şekilde çözmenin bir başka olasılığı kuantum hesaplamayı içerir. Bunları kullanarak ayrık logaritmanın polinom zamanında hesaplanabileceği teorik olarak kanıtlanmıştır. Her durumda, ayrık logaritmayı hesaplamak için polinom algoritması uygulanırsa, bu, buna dayalı şifreleme sistemlerinin pratik olarak uygun olmadığı anlamına gelecektir.

Ayrık logaritma probleminin karmaşıklığına dayanan klasik şifreleme şemaları, Diffie-Hellman genel anahtar oluşturma şeması, El-Gamal elektronik imza şeması ve mesaj iletimi için Massey-Omura şifreleme sistemidir.

Bağlantılar

• Vasilenko O.N. Kriptografide Sayı Teorik Algoritmaları. - Moskova: MTsNMO, 2003. - 328 s. - ISBN 5-94057-103-4
• Koblitz N. Sayı teorisi ve kriptografi dersi. - Moskova: TVPb, 2001. - 254 s. - ISBN 5-85484-014-6
• Odlyzko A.M. Sonlu alanlarda ayrık logaritmalar ve bunların kriptografik önemi // LNC'ler. - 1984. - T. 209. - S. 224-316.
• Buchmann J., Jacobson M.J., Teske E. Sonlu değişmeli gruplardaki bazı hesaplama problemleri üzerine // Hesaplama Matematiği. - 1997. - T. 66. - No. 220. - S. 1663-1687.
• Makale Scientific Network web sitesinde ayrık logaritma
• Ayrık logaritmaların hesaplanmasına yönelik yöntemlerin gözden geçirilmesi (İngilizce)
• Nechaev V.I. Ayrık bir logaritma için deterministik bir algoritmanın karmaşıklığı sorusu üzerine // Matematik Notları. - 1994. - V. 2. - T. 55. - S. 91-101.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Ayrık logaritma”nın ne olduğuna bakın:

ayrık logaritma- Grupta iki element d vardır; g, gr = d koşulunu karşılayan bir r tamsayısı olacak şekildedir; r'ye d'nin g tabanına ayrık logaritması denir. Genel olarak bilgi teknolojisi konuları TR ayrık logaritma ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Polig'in Hellman algoritması (aynı zamanda Silver Polig'in Hellman algoritması olarak da bilinir), bir asal sayı modulo kalıntı halkasında deterministik bir ayrık logaritma algoritmasıdır. Algoritmanın özelliklerinden biri de... ... Vikipedi

- (İngilizce: Bebek adımı dev adımı; aynı zamanda büyük ve küçük adımların algoritması olarak da adlandırılır) grup teorisinde, bir asal sayının kalıntı halkası modulosundaki ayrık logaritma için deterministik bir algoritma. Özel türdeki modüller için bu ... ... Vikipedi

Yani iki gücümüz var. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı gücünü artırmanız gerekir. Bu tablodan görülebilmektedir.

Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı:

x'in logaritması tabanı, x'i elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken kuvvettir.

Tanım: log a x = b, burada a tabandır, x argümandır, b ise logaritmanın gerçekte eşit olduğu şeydir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı günlüğü ile 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64.

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmayı deneyin. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın parça üzerinde bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırıyor. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bakın:

Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.

Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç ​​olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:

1. Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, bir derecenin rasyonel bir üsle tanımlanmasından kaynaklanır ve logaritmanın tanımı buna indirgenir.
2. Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalara denir kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şu şekilde göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2 −1.

Ancak şimdi yalnızca logaritmanın VA'sını bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DL gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.

Şimdi logaritmaları hesaplamak için genel şemaya bakalım. Üç adımdan oluşur:

1. A tabanını ve x argümanını mümkün olan minimum tabanı birden büyük olacak şekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
2. b değişkeninin denklemini çözün: x = a b ;
3. Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde de durum aynıdır: Bunları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.

Belirli örnekleri kullanarak bu şemanın nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25

1. Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;

Denklemi oluşturup çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Cevabını aldık: 2.

Görev. Logaritmayı hesaplayın:

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64

1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
2. Denklemi oluşturup çözelim:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Cevabını aldık: 3.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Denklemi oluşturup çözelim:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Cevabını aldık: 0.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

1. Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
2. Önceki paragraftan logaritmanın sayılmadığı anlaşılmaktadır;
3. Cevap değişiklik yok: log 7 14.

Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; bunu asal çarpanlara ayırmanız yeterli. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.

Görev. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;

Ayrıca asal sayıların her zaman kendilerinin tam kuvvetleri olduğuna dikkat edin.

Ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.

X'in ondalık logaritması, 10 tabanına göre logaritmasıdır; X sayısını elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanım: lg x.

Örneğin log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Artık bir ders kitabında “Lg 0.01'i bul” gibi bir ifade çıktığında bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu bir ondalık logaritmadır. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.

Doğal logaritma

Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. Doğal logaritmadan bahsediyoruz.

X'in doğal logaritması e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .

Birçoğu şunu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır; kesin değeri bulunup yazılamaz. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...

Bu sayının ne olduğu ve neden ihtiyaç duyulduğu konusunda detaya girmeyeceğiz. E'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x

Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette biri hariç: ln 1 = 0.

Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.

En Sık Sorulan Sorular

Verilen örneğe göre bir belgeye damga basmak mümkün müdür? Cevap Evet mümkün. Taranmış bir kopyayı veya kaliteli bir fotoğrafı e-posta adresimize gönderin, gerekli kopyayı oluşturalım.

Ne tür ödemeleri kabul ediyorsunuz? Cevap Diplomanın tamamlanma doğruluğunu ve uygulanma kalitesini kontrol ettikten sonra, kurye tarafından teslim alındıktan sonra belgenin ödemesini yapabilirsiniz. Bu aynı zamanda teslimatta nakit ödeme hizmeti sunan posta şirketlerinin ofislerinde de yapılabilir.
Belgelere ilişkin tüm teslimat ve ödeme koşulları “Ödeme ve Teslimat” bölümünde açıklanmıştır. Belgenin teslimat ve ödeme koşullarıyla ilgili önerilerinizi de dinlemeye hazırız.

Sipariş verdikten sonra paramla birlikte ortadan kaybolmayacağınızdan emin olabilir miyim? Cevap Diploma üretimi alanında oldukça uzun bir deneyime sahibiz. Sürekli güncellenen birçok web sitemiz var. Uzmanlarımız ülkenin farklı yerlerinde çalışıyor ve günde 10'dan fazla belge üretiyor. Yıllar geçtikçe belgelerimiz birçok kişinin istihdam sorunlarını çözmesine veya daha yüksek maaşlı işlere geçmesine yardımcı oldu. Müşteriler arasında güven ve tanınma kazandık, dolayısıyla bunu yapmamız için kesinlikle hiçbir neden yok. Üstelik bunu fiziksel olarak yapmak kesinlikle imkansızdır: Siparişinizi elinize aldığınız anda ödersiniz, ön ödeme yoktur.

Herhangi bir üniversiteden diploma sipariş edebilir miyim? Cevap Genel olarak evet. Yaklaşık 12 yıldır bu alanda çalışıyoruz. Bu süre zarfında, ülkedeki hemen hemen tüm üniversiteler tarafından ve farklı yayınlanma yılları için yayınlanan neredeyse eksiksiz bir belge veri tabanı oluşturuldu. Tek ihtiyacınız olan üniversiteyi, uzmanlık alanını, belgeyi seçip sipariş formunu doldurmak.

Bir belgede yazım hataları ve hatalar bulursanız ne yapmalısınız? Cevap Kurye veya posta şirketimizden belge alırken tüm detayları dikkatlice kontrol etmenizi öneririz. Bir yazım hatası, hata veya yanlışlık tespit edilirse diplomayı teslim almama hakkına sahipsiniz ancak tespit edilen kusurları kuryeye bizzat veya yazılı olarak e-posta göndererek bildirmeniz gerekir.
Belgeyi en kısa sürede düzeltip belirtilen adrese tekrar göndereceğiz. Kargo ücreti elbette firmamız tarafından ödenecektir.
Bu tür yanlış anlamaları önlemek için, orijinal formu doldurmadan önce, nihai versiyonun kontrol edilmesi ve onaylanması için müşteriye gelecekteki belgenin bir modelini e-postayla gönderiyoruz. Belgeyi kurye veya posta yoluyla göndermeden önce, sonunda ne alacağınıza dair net bir fikriniz olması için ek fotoğraf ve videolar da çekiyoruz (ultraviyole ışık dahil).

Şirketinizden diploma siparişi vermek için ne yapmalıyım? Cevap Bir belge (sertifika, diploma, akademik sertifika vb.) sipariş etmek için web sitemizdeki çevrimiçi sipariş formunu doldurmanız veya size doldurup geri göndermeniz gereken başvuru formunu gönderebilmemiz için e-posta adresinizi vermeniz gerekir. bize.
Sipariş formunun/anketin herhangi bir alanında ne belirtmeniz gerektiğini bilmiyorsanız boş bırakın. Bu nedenle tüm eksik bilgileri telefonla netleştireceğiz.

En son incelemeler

Valentina:

Oğlumuzu kovulmaktan kurtardınız! Gerçek şu ki oğlum üniversiteyi bıraktıktan sonra orduya katıldı. Ve geri döndüğünde iyileşmek istemedi. Diplomasız çalıştı. Ancak son zamanlarda “kabuğu” olmayan herkesi kovmaya başladılar. Bu yüzden sizinle iletişime geçmeye karar verdik ve pişman olmadık! Artık sakince çalışıyor ve hiçbir şeyden korkmuyor! Teşekkür ederim!

Ayrık logaritma(DLOG) - işlevi tersine çevirme görevi gx (\displaystyle g^(x)) bazı sonlu çarpımsal grupta G (\displaystyle G).

Çoğu zaman, ayrık logaritma problemi, bir kalıntı halkasının veya sonlu bir alanın çarpımsal grubunda ve ayrıca sonlu bir alan üzerindeki eliptik bir eğrinin nokta grubunda dikkate alınır. Ayrık logaritma problemini çözmek için etkili algoritmalar genellikle bilinmemektedir.

verilen için G Ve Açözüm X denklem denir ayrık logaritma eleman A dayalı G. Durumunda G kalıntı halka modulosunun çarpımsal grubudur Mçözüme de denir indeks sayılar A dayalı G. Sayı dizini A dayalı G eğer varolması garanti edilir G ilkel bir kök modulodur M.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Ayrık logaritmayı hesaplama görevi

✪ Ayrık logaritma (bölüm 11)| Kriptografi | Programlama

✪ Diffie-Hellman Protokolü (bölüm 12) | Kriptografi | Programlama

✪ Taşınabilir şifreleme makinesi "Enigma" (bölüm 6) | Kriptografi | Programlama

✪ Vernam Şifresi (bölüm 4) | Kriptografi | Programlama

Altyazılar

Bir yönde yapılması kolay, diğer yönde yapılması çok daha zor olan sayısal bir işleme ihtiyacımız var. Bu bizi "saat aritmetiği" (veya "kalanlar") olarak da bilinen modüler aritmetiğe getiriyor. Örneğin 46 modülo 12'yi bulmak için 46 birim uzunluğunda bir ip alıp bunu modül adı verilen bir saatin etrafına sarabilirsiniz. İpin bittiği yer çözümdür. Yani 46 modulo 12, 10'a eşdeğerdir. Basit. Şimdi bunu yapmak için basit bir modül alalım. Örneğin 17. Sonra 17'nin ilkel kökünü buluyoruz, bu durumda 3. Farklı güçlere yükseltildiğinde çok önemli bir özelliği vardır - değerler günün her saatine eşit olarak dağıtılır. 3'e üretici eleman veya jeneratör denir. 3'ün herhangi bir x kuvvetine yükseltirseniz, sonuç eşit olasılıkla 1'den 16'ya kadar herhangi bir sayı olacaktır. Yani, bunun tersi prosedür oldukça karmaşıktır. Diyelim ki 3'ün hangi kuvveti 12 sonucunu verir? Bu ayrık logaritmanın hesaplanması problemidir. Ve artık tek yönlü bir fonksiyonumuz var. Doğrudan yürütme için basit, tersine yürütme için zordur. Belirli bir 12 sayısı için doğru üssü bulmak amacıyla birçok hatalı seçeneği denemek zorundayız. Peki ne kadar zor? Eh, küçük değerlerle bu kolaydır, ancak yüzlerce karakter uzunluğunda basit bir modül kullanılırsa sorun neredeyse aşılamaz hale gelir. Dünyanın tüm bilgi işlem gücüne erişiminiz olsa bile, tüm seçenekleri denemek binlerce yıl alabilir. Bu nedenle, tek yönlü bir fonksiyonun gücü, dönüşümün tersine çevrilmesi için gereken süreye bağlıdır.

Sorunun formülasyonu

Bazı sonlu çarpımsal Abel gruplarını ele alalım G (\displaystyle G) denklem verilmiştir

Ayrık logaritma probleminin çözümü, negatif olmayan bir tamsayı bulmaktır. x (\displaystyle x), tatmin edici denklem (1). Çözülebilirse grubun mertebesini aşmayan en az bir doğal çözümü olmalıdır. Bu, yukarıdan çözüm bulmaya yönelik algoritmanın karmaşıklığı hakkında hemen kaba bir tahmin verir; kapsamlı bir arama algoritması, verilen grubun düzeyinden daha yüksek olmayan birkaç adımda bir çözüm bulacaktır.

En sık dikkate alınan durum, G = ⟨ g ⟩ (\displaystyle G=\langle g\rangle ) yani grup eleman tarafından döngüsel olarak üretilir g (\displaystyle g). Bu durumda denklemin her zaman bir çözümü vardır. Keyfi bir grup durumunda, ayrık logaritma probleminin çözülebilirliği sorunu, yani denklem (1)'in çözümlerinin varlığı sorunu, ayrı bir değerlendirme gerektirir.

Örnek

Bir asal sayının kalıntı halkası modulosundaki ayrık logaritma problemini ele alalım. Karşılaştırmanın verilmesine izin verin

Özel türdeki sayılar için sonuç iyileştirilebilir. Bazı durumlarda sabitlerin kullanılacağı bir algoritma oluşturmak mümkündür. c ≈ 1,00475 (\displaystyle c\yaklaşık 1,00475), d = 2 5 (\displaystyle d=(\frac (2)(5))). Çünkü sürekli c (\displaystyle c) 1'e yeterince yakınsa, benzer algoritmalar algoritmadan daha iyi performans gösterebilir. d = 1 3 (\displaystyle d=(\frac (1)(3))).

Keyfi bir sonlu alanda

Sorun sahada değerlendiriliyor  GF(q), Nerede q = p n (\displaystyle q=p^(n)), p (\displaystyle p)- basit.

Eliptik bir eğri üzerindeki bir grup noktada

Sonlu bir alan üzerinde eliptik bir eğrinin bir grup noktası dikkate alınır. Bu grup iki noktanın eklenmesi işlemini tanımlar. Daha sonra m P (\displaystyle mP)- Bu P + … + P ⏟ m (\displaystyle \underbrace (P+\ldots +P) \limits _(m)). Eliptik bir eğri üzerindeki ayrık logaritma probleminin çözümü böyle bir doğal sayı bulmaktır. m (\displaystyle m), Ne m P = A (\displaystyle mP=A) verilen puanlar için P (\displaystyle P) Ve A.

(\displaystyle A.) 1990'dan önce eliptik bir eğri üzerindeki bir grup noktanın yapısal özelliklerini hesaba katan ayrık logaritma algoritmaları yoktu. Daha sonra Alfred J. Menezes, Tatsuaki Okamoto ve Scott A. Vanstone, Weyl eşleştirmesini kullanan bir algoritma önerdiler. Bir alan üzerinde tanımlanan eliptik bir eğri için G F (q) (\displaystyle GF(q)) , bu algoritma ayrık logaritma problemini alandaki benzer bir probleme indirger G F (q k) (\displaystyle GF(q^(k))) . Bununla birlikte, bu bilgi yalnızca derecenin olması durumunda faydalıdır. k (\displaystyle k)

küçük Bu koşul temel olarak tekil olmayan eliptik eğriler için sağlanır. Diğer durumlarda, böyle bir azalma neredeyse hiçbir zaman alt üstel algoritmalara yol açmaz.

Ayrık logaritma problemi, açık anahtar kriptografisinin dayandığı temel problemlerden biridir. Buna dayalı klasik şifreleme şemaları, Diffie-Hellman genel anahtar şeması, El-Gamal elektronik imza şeması ve mesaj iletimi için Massey-Omura şifreleme sistemidir. Kriptografik güçleri, üstel fonksiyonun tersine çevrilmesinin sözde yüksek hesaplama karmaşıklığına dayanmaktadır. Üstel fonksiyonun kendisi oldukça verimli bir şekilde hesaplanmasına rağmen, ayrık logaritmayı hesaplamak için kullanılan en modern algoritmalar bile çok yüksek bir karmaşıklığa sahiptir; bu, en hızlı algoritmaların karmaşıklığıyla karşılaştırılabilecek düzeydedir.