İnsanlara küre ile top arasındaki fark sorulduğunda, çoğu kişi aslında aynı şey olduklarını düşünerek omuz silkiyor (daire ve daire benzetmesi). Gerçekten de hepimiz geometriyi okul müfredatından iyi biliyor muyuz ve bu soruyu hemen cevaplayabilir miyiz? Kürenin, kanıtlanmış bilgilerinden iyi bir not almak için yalnızca okul çocuklarının bilmesi gereken değil, aynı zamanda, örneğin çalışmaları doğrudan çizimlerle ilgili olan diğer birçok insanın da bilmesi gereken toptan bazı farklılıkları vardır.

Tanım

Top– uzaydaki tüm noktaların kümesi. Tüm bu noktalar geometrik gövdenin merkezinden belirli bir mesafeden daha fazla olmayan bir mesafede bulunur. Bu mesafenin kendisine yarıçap denir. Geometrik bir gövde olarak bir top şu şekilde oluşturulur: bir yarım daire, çapının yakınında döner. Küreye gelince, bu topun yüzeyidir (örneğin, kapalı bir top onu içerir, açık bir top içermez). Bir topun alanını veya hacmini hesaplamak, geometrik şeklin görünürdeki basitliğine rağmen, çok karmaşık olan tüm geometrik formülleri içerir.

Küre Yukarıda belirtildiği gibi topun yüzeyi, kabuğudur. Uzaydaki tüm noktalar kürenin merkezine eşit uzaklıktadır. Geometrik bir cismin yarıçapına gelince, buna bir noktası doğrudan kürenin merkezi olan, diğeri ise yüzeyin herhangi bir noktasına yerleştirilebilen herhangi bir segment denir. Kürenin herhangi bir içeriği olmayan topun kabuğu olduğunu söyleyebiliriz (aşağıda daha spesifik örnekler verilecektir). Tıpkı bir top gibi, küre de bir devrim cismidir. Bu arada, birçok kişi bir daire ile bir daire ile bir küre ve bir top arasındaki farkın ne olduğunu da merak ediyor. Burada her şey basit: ilk durumda bunlar düzlemdeki, ikincisinde ise uzaydaki rakamlardır.

Karşılaştırmak

Kürenin topun yüzeyi olduğu zaten söylenmişti, bu da zaten önemli bir fark belirtisinden bahsetmeyi mümkün kılıyor. İki geometrik cisim arasındaki fark diğer bazı yönlerde de görülmektedir:

Topun tüm noktaları merkeze aynı uzaklıkta olup, gövdesi yüzey (içerisi boş olan bir küre) ile sınırlıdır. Başka bir deyişle kürenin içi boştur. Genellikle anlaşılmasını kolaylaştırmak için bir balon ve bilardo topuyla basit bir örnek verilir. Bu nesnelerin her ikisine de top denir, ancak ilk durumda bir küreyle, ikincisinde ise içinde kendi içeriği olan tam teşekküllü bir topla uğraşıyoruz.
Kürenin kendi alanı vardır ancak hacmi yoktur. Küre ise tam tersidir: Alanı olmamasına rağmen hacmi hesaplanabilir. Bazıları bunun farklılığın ana işareti olduğunu söyleyebilir, ancak bu yalnızca bazı hesaplamaların (karmaşık geometrik formüller) yapılması gerektiğinde ortaya çıkar. Bu nedenle temel fark, kürenin içi boş olması ve topun, içinde içerik bulunan bir gövde olmasıdır.
Başka bir fark yarıçapta yatmaktadır. Örneğin bir kürenin yarıçapı yalnızca noktaların merkeze olan uzaklığı değildir. Yarıçap, bir küre üzerindeki bir noktayı merkezine bağlayan herhangi bir parça olabilir. Bu bölümlerin tümü birbirine eşittir. Topa gelince, içinde bulunan noktalar merkezden yarıçaptan daha az bir mesafe kadar uzaklaşır (tam olarak onu sınırlayan küre nedeniyle).

Sonuçlar web sitesi

Kürenin içi boştur, top ise içi dolu bir gövdedir. Örneğin balon bir küredir, bilardo topu ise tam teşekküllü bir toptur.
Kürenin alanı vardır ve hacmi yoktur, ancak küre bunun tersini yapar.
Üçüncü fark, iki geometrik cismin yarıçapının ölçülmesidir.

Tanım.

Küre (top yüzeyi), üç boyutlu uzayda bir noktadan aynı uzaklıkta olan tüm noktaların toplamına denir. kürenin merkezi(HAKKINDA).

Küre, bir dairenin çapı etrafında 180° veya yarım dairenin çapı etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan üç boyutlu bir şekil olarak tanımlanabilir.

Tanım.

Topüç boyutlu uzayda, adı verilen bir noktaya olan uzaklığı belirli bir mesafeyi aşmayan tüm noktaların toplamıdır. topun merkezi(O) (bir küre ile sınırlanan üç boyutlu uzayın tüm noktalarının kümesi).

Top, çapı etrafında bir dairenin 180° veya çapı etrafında yarım dairenin 360° döndürülmesiyle oluşan üç boyutlu bir şekil olarak tanımlanabilir.

Tanım. Kürenin yarıçapı (top)(R) kürenin (top) merkezinden olan mesafedir Ö kürenin (topun yüzeyi) herhangi bir noktasına.

Tanım. Küre (top) çapı(D), bir kürenin (topun yüzeyi) iki noktasını birleştiren ve merkezinden geçen bir segmenttir.

Formül. Küre hacmi:

v=	4	πR3 =	1	πD 3
	3		6

Formül. Bir kürenin yüzey alanı yarıçap veya çap boyunca:

S = 4π R 2 = π D 2

Küre denklemi

1. R yarıçaplı ve Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasındaki merkezi olan bir kürenin denklemi:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Kartezyen koordinat sisteminde koordinatları (x 0, y 0, z 0) olan bir noktada R yarıçaplı ve merkezi olan bir kürenin denklemi:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Tanım. Taban tabana zıt noktalar bir topun (kürenin) yüzeyinde bir çapla birbirine bağlanan herhangi iki noktadır.

Küre ve topun temel özellikleri

1. Kürenin tüm noktaları merkeze eşit uzaklıkta bulunmaktadır.

2. Bir kürenin düzleme göre herhangi bir bölümü bir dairedir.

3. Bir topun düzleme göre herhangi bir bölümü bir dairedir.

4. Küre, aynı yüzey alanına sahip tüm uzaysal şekiller arasında en büyük hacme sahiptir.

5. Taban tabana zıt herhangi iki noktadan küre için çok sayıda büyük daire veya top için daire çizebilirsiniz.

6. Taban tabana zıt noktalar hariç herhangi iki noktadan, bir küre için yalnızca bir büyük daire veya bir top için büyük bir daire çizebilirsiniz.

7. Bir topun herhangi iki büyük dairesi, topun merkezinden geçen düz bir çizgi boyunca kesişir ve daireler taban tabana zıt iki noktada kesişir.

8. Herhangi iki topun merkezleri arasındaki mesafe, yarıçaplarının toplamından küçük ve yarıçapları farkının modülünden büyükse, bu tür toplar kesişmek ve kesişim düzleminde bir daire oluşur.

Bir kürenin sekant, kiriş, sekant düzlemi ve özellikleri

Tanım. Küre sekant küreyi iki noktada kesen düz bir çizgidir. Kesişme noktalarına denir delici noktalar yüzeyler veya yüzeydeki giriş ve çıkış noktaları.

Tanım. Bir kürenin akoru (top)- bu, bir küre üzerindeki (bir topun yüzeyi) iki noktayı birleştiren bir segmenttir.

Tanım. Kesme düzlemi küreyi kesen düzlemdir.

Tanım. Çap düzlemi- bu bir kürenin veya topun merkezinden geçen bir kesen düzlemdir, kesit buna göre oluşur büyük daire Ve büyük daire. Büyük daire ve büyük dairenin kürenin (topun) merkezine denk gelen bir merkezi vardır.

Bir kürenin (topun) merkezinden geçen herhangi bir kiriş bir çaptır.

Akor, sekant çizgisinin bir parçasıdır.

Kürenin merkezinden sekant noktasına kadar olan d mesafesi her zaman kürenin yarıçapından küçüktür:

D< R

Kesme düzlemi ile kürenin merkezi arasındaki m mesafesi her zaman R yarıçapından küçüktür:

M< R

Kesme düzleminin kesitinin küre üzerindeki konumu her zaman şu şekilde olacaktır: küçük daire ve topun üzerinde bölüm olacak küçük daire. Küçük daire ve küçük dairenin, kürenin (top) merkeziyle çakışmayan kendi merkezleri vardır. Böyle bir dairenin yarıçapı r aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

r = √R 2 - m2,

R, kürenin (topun) yarıçapı olduğunda, m, topun merkezinden kesme düzlemine olan mesafedir.

Tanım. Yarımküre (yarımküre)- bu, çapsal bir düzlem tarafından kesildiğinde oluşan bir kürenin (top) yarısıdır.

Küreye teğet, teğet düzlem ve özellikleri

Tanım. Bir küreye teğet küreye yalnızca bir noktada değen düz bir çizgidir.

Tanım. Bir küreye teğet düzlem küreye yalnızca bir noktada değen bir düzlemdir.

Teğet çizgisi (düzlem) her zaman temas noktasına çizilen kürenin yarıçapına diktir

Kürenin merkezinden teğet çizgisine (düzlem) olan mesafe, kürenin yarıçapına eşittir.

Tanım. Top segmenti- bu, topun bir kesme düzlemi tarafından toptan kesilen kısmıdır. Segmentin temeli bölümün yerinde oluşan daire denir. Segment yüksekliği h, parçanın tabanının ortasından parçanın yüzeyine çizilen dikmenin uzunluğudur.

Formül. Küre segmentinin dış yüzey alanı R küresinin yarıçapı boyunca h yüksekliğinde:

S = 2πRh

Küre, özellikleri okul geometri dersinde incelenen yüksek simetriye sahip ilk cisimlerden biridir. Bu makale kürenin formülünü, toptan farkını tartışıyor ve ayrıca gezegenimizin yüzey alanının hesaplanmasını sağlıyor.

Küre: geometride kavram

Aşağıda verilen yüzey formülünü daha iyi anlamak için küre kavramına aşina olmanız gerekir. Geometride belirli bir hacimde boşluk içeren üç boyutlu bir cisimdir. Kürenin matematiksel tanımı şu şekildedir: Merkez adı verilen sabit bir noktadan belirli bir eşit uzaklıkta bulunan noktaların toplamıdır. İşaretli mesafe, r veya R ile gösterilen ve metre (kilometre, santimetre ve diğer uzunluk birimleri) cinsinden ölçülen kürenin yarıçapıdır.

Aşağıdaki şekil açıklanan şekli göstermektedir. Çizgiler yüzeyinin hatlarını gösterir. Siyah nokta kürenin merkezidir.

Bir daire alıp onu çaptan geçen eksenlerden herhangi birinin etrafında döndürmeye başlarsanız bu rakamı elde edebilirsiniz.

Küre ve top: fark nedir ve benzerlik nedir?

Genellikle okul çocukları birbirine benzeyen ancak tamamen farklı fiziksel özelliklere sahip olan bu iki figürü karıştırır. Bir küre ve bir top, öncelikle kütleleriyle ayırt edilir: Küre, sonsuz derecede ince bir katmandır, top ise, küresel yüzeyle sınırlanan tüm noktalarında aynı olan, sonlu yoğunluğa sahip hacimsel bir cisimdir. Yani topun sonlu bir kütlesi vardır ve tamamen gerçek bir nesnedir. Küre, gerçekte var olmayan, kütlesi olmayan ideal bir figürdür, ancak özellikleri incelenirken geometride başarılı bir idealleştirmedir.

Şekli pratik olarak bir küreye karşılık gelen gerçek nesnelerin örnekleri, bir Noel ağacını veya bir sabun köpüğünü süslemek için top şeklinde bir Yeni Yıl oyuncağıdır.

Söz konusu rakamlar arasındaki benzerliklere gelince, aşağıdaki özellikleri sayabiliriz:

her ikisi de aynı simetriye sahiptir;
her ikisi için de yüzey alanı formülü aynıdır, üstelik yarıçapları eşitse eşit yüzey alanına sahiptirler;
eşit yarıçapa sahip her iki figür de uzayda aynı hacmi kaplar, yalnızca top onu tamamen doldurur ve küre onu yalnızca yüzeyiyle sınırlar.

Aşağıdaki şekilde eşit yarıçaplı bir küre ve bir top gösterilmektedir.

Topun, tıpkı küre gibi, dönen bir cisim olduğunu, dolayısıyla çapının etrafında bir dairenin (daire değil!) döndürülmesiyle elde edilebileceğini unutmayın.

Küre elemanları

Bunlar, bilgisi ya şeklin tamamını ya da tek tek parçalarını tanımlamamıza izin veren geometrik niceliklerin adlarıdır. Ana unsurları şunlardır:

Daha önce bahsedilen yarıçap r. Şeklin merkezinden küresel yüzeye olan mesafedir. Aslında bu, bir kürenin tüm özelliklerini tanımlayan tek niceliktir.
Çap d veya D. Bu, uçları küresel bir yüzey üzerinde bulunan ve ortası şeklin merkez noktasından geçen bir segmenttir. Bir kürenin çapı sonsuz sayıda yolla çizilebilir, ancak ortaya çıkan tüm parçalar aynı uzunluğa sahip olacaktır; bu da yarıçapın iki katına eşittir, yani D = 2*R.
Yüzey alanı S iki boyutlu bir özelliktir ve formülü aşağıda verilecektir.
Bir küreyle ilişkili üç boyutlu açılar steradyan cinsinden ölçülür. Bir steradyan, tepe noktası kürenin merkezinde bulunan ve R2 alanına sahip küresel yüzeyin bir kısmına dayanan bir açıdır.

Bir kürenin geometrik özellikleri

Bu şeklin verilen açıklamasından bu özellikleri bağımsız olarak tahmin edebilirsiniz. Bunlar aşağıdaki gibidir:

Küreyi kesen ve merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi, şeklin simetri eksenidir. Küreyi bu eksen etrafında herhangi bir açıda döndürmek onu kendine dönüştürür.
Söz konusu şekli merkezinden kesen düzlem, küreyi iki eşit parçaya böler, yani yansıma düzlemidir.

Bir şeklin yüzey alanı

Bu miktar Latin harfi S ile gösterilir. Kürenin alanını hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

S = 4*pi*R2, burada pi ≈ 3,1416.

Formül, şeklin yarıçapının bilinmesi koşuluyla S alanının hesaplanabileceğini göstermektedir. Çapı D biliniyorsa kürenin formülü şu şekilde yazılabilir:

Dört ondalık basamağı verilen pi irrasyonel sayısı, yüzde birlik doğrulukla yani 3,14 doğrulukla bir takım matematiksel hesaplamalarda kullanılabilir.

Söz konusu şeklin tüm yüzeyinin kaç steradyana karşılık geldiği sorusunun dikkate alınması da ilginçtir. Bu değerin tanımına dayanarak şunu elde ederiz:

Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi steradyan.

Herhangi bir hacimsel açıyı hesaplamak için, S alanının karşılık gelen değerini yukarıdaki ifadeye koymalısınız.

Dünya gezegeninin yüzeyi

Küre formülü hangisinde yaşadığımızı belirlemek için kullanılabilir. Hesaplamalara başlamadan önce birkaç uyarımız var:

Birincisi, Dünya mükemmel bir küresel yüzeye sahip değildir. Ekvator ve kutup yarıçapları sırasıyla 6378 km ve 6357 km'dir. Bu rakamlar arasındaki fark %0,3'ü geçmediğinden hesaplama için ortalama 6371 km'lik yarıçapı alabiliriz.
İkincisi, kabartma üç boyutludur, yani üzerinde çöküntüler ve dağlar vardır. Gezegenin bu karakteristik özellikleri yüzey alanında bir artışa yol açmaktadır, ancak en büyük dağ olan Everest bile Dünya'nın yarıçapının %0,1'ini (8.848/6371) oluşturduğundan bunları hesaplamada dikkate almayacağız.

Küre formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 milyon km2.

Resmi verilere göre Rusya, gezegen yüzeyinin %3,36'sı olan 17,125 milyon km2'lik bir alanı kaplıyor. Sadece 150.387 milyon km2'nin kara olduğunu dikkate alırsak, ülkemizin sularla kaplı olmayan yüzölçümü %11,4 olacaktır.

Top, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan, uzaydaki tüm noktalardan oluşan bir cisimdir. Bu noktaya topun merkezi, bu mesafeye de topun yarıçapı denir. Bir topun sınırına küresel yüzey veya küre denir. Kürenin noktaları, topun merkezden yarıçapa eşit uzaklıkta uzaklaştırılan noktalarıdır. Bir topun merkezini küresel yüzey üzerindeki bir noktaya bağlayan herhangi bir parçaya da yarıçap denir. Topun merkezinden geçen ve küresel yüzey üzerindeki iki noktayı birleştiren parçaya çap denir. Herhangi bir çapın uçlarına topun taban tabana zıt noktaları denir.

Top, tıpkı koni ve silindir gibi, dönen bir cisimdir. Bir yarım dairenin çapı etrafında eksen olarak döndürülmesiyle bir top elde edilir.

Topun yüzey alanı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

burada r topun yarıçapıdır, d topun çapıdır.

Topun hacmi aşağıdaki formülle bulunur:

V = 4/3 πr3,

burada r topun yarıçapıdır.

Teorem. Bir topun düzleme göre her bölümü bir dairedir. Bu dairenin merkezi, topun merkezinden kesme düzlemine çizilen dikmenin tabanıdır.

Bu teoreme göre, O merkezli ve R yarıçaplı bir topun α düzlemiyle kesişmesi durumunda kesit, r yarıçaplı ve K merkezli bir daireyle sonuçlanır. Topun kesitinin düzleme göre yarıçapı şu şekilde olabilir: formülle bulunan

Formülden, merkezden eşit uzaklıktaki düzlemlerin topla eşit dairelerde kesiştiği açıktır. Kesitin yarıçapı daha büyüktür, kesme düzlemi bilyenin merkezine ne kadar yakınsa, yani OK mesafesi o kadar küçüktür. En büyük yarıçap, topun merkezinden geçen bir düzlemin kesitine sahiptir. Bu dairenin yarıçapı topun yarıçapına eşittir.

Topun merkezinden geçen düzleme merkez düzlemi denir. Bir topun çap düzlemine göre kesitine büyük daire, kürenin kesitine büyük daire ve kürenin kesitine büyük daire denir.

Teorem. Bir topun herhangi bir çapsal düzlemi onun simetri düzlemidir. Topun merkezi simetri merkezidir.

Küresel yüzeyin A noktasından geçen ve A noktasına çizilen yarıçapa dik olan düzleme teğet düzlem denir. A noktasına teğet nokta denir.

Teorem. Teğet düzlemin topla tek bir ortak noktası vardır; temas noktası.

Küresel bir yüzeyin A noktasından bu noktaya çizilen yarıçapa dik olarak geçen düz çizgiye teğet denir.

Teorem. Küresel yüzey üzerindeki herhangi bir noktadan sonsuz sayıda teğet geçer ve bunların hepsi topun teğet düzleminde yer alır.

Küresel bir bölüm, bir topun kendisinden bir düzlemle kesilen kısmıdır. ABC Çemberi küresel parçanın tabanıdır. ABC dairesinin N merkezinden küresel yüzeyle kesişme noktasına çizilen MN dik parçası, küresel parçanın yüksekliğidir. M noktası küresel parçanın tepe noktasıdır.

Küresel bir segmentin yüzey alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Küresel bir parçanın hacmi aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

V = πh 2 (R – 1/3h),

burada R büyük dairenin yarıçapıdır, h ise küresel parçanın yüksekliğidir.

Küresel bir segment ve bir koniden aşağıdaki gibi küresel bir sektör elde edilir. Küresel bir bölüm yarım küreden daha küçükse, o zaman küresel bölüm, tepe noktası topun merkezinde olan ve tabanı bölümün tabanı olan bir koni ile tamamlanır. Segment yarım küreden daha büyükse, belirtilen koni ondan çıkarılır.

Küresel bir sektör, küresel bir parçanın (şeklimizde bu AMCB'dir) kavisli bir yüzeyi ve tabanı kürenin tabanı olan konik bir yüzey (şeklimizde bu OABC'dir) ile sınırlanan bir topun parçasıdır. segment (ABC) ve tepe noktası O topunun merkezidir.

Küresel sektörün hacmi aşağıdaki formülle bulunur:

V = 2/3 πR2H.

Küresel katman, küresel yüzeyle kesişen iki paralel düzlem (şekilde ABC ve DEF düzlemleri) arasında yer alan bir topun parçasıdır. Küresel katmanın kavisli yüzeyine küresel kuşak (bölge) adı verilir. ABC ve DEF çemberleri küresel kuşağın tabanlarıdır. Küresel kayışın tabanları arasındaki NK mesafesi yüksekliğidir.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

‌‌‌Öğrencilerin araştırma, tasarım ve yaratıcı çalışmalarının V‌ bölgesel bilimsel ve uygulamalı konferansı “Bilimde ilk adımlar”

Konuyla ilgili araştırma çalışmaları:

"Küre ve top sıradan geometrik cisimlerdir."

Tamamlayan: MBOU 9. sınıf öğrencisi

“Kochetovskaya ortaokulu” Dima Romanov.

Başkan: matematik ve fizik öğretmeni Tremaskina V.S.

Giriş _________________________________________________________________3

1. Geometrik cisimlerin incelenmesinin tarihi: top, küre_______________________3

2. Küre ve top.

2.1. Küre ve top kavramı_________________________________________________3-4

2.2. Küre denklemi_______________________________________________4

2.3. Kürenin ve düzlemin göreceli konumu______________________________4-6

2.4. Küreye teğet düzlem__________________________________________6-7

2.5. Kürenin alanı ve topun hacmi__________________________________________ 7

2.6. Küreyi alma_______________________________________________ 7-8

2.7. Doğada bir küre ve top bulma______________________________ 9-13

2.8.Günlük yaşamda küre ve top___________________________________14-15

2.9.Mimaride küre ve topun kullanımı____________________________16-22

2.10. Jeodezide küre ve topun uygulanması______________________________23

2.11 Küre ve topun astronomi ve coğrafyada uygulanması_________________24

2.12. Sanatta küre ve top_______________________________________________25

Sonuç_________________________________________________________________25

Edebiyat_________________________________________________________________26

Seçilen konunun alaka düzeyi.

Yüzyıllar boyunca insanlık, bilimsel bilgisini şu veya bu bilim alanında genişletmeyi bırakmadı. Birçok bilimsel geometri ve hatta sıradan insanlar, top gibi bir figür ve onun küre adı verilen "kabuğu" ile ilgileniyordu. Fizik, astronomi, biyoloji ve diğer doğa bilimlerindeki birçok gerçek nesne küreseldir. Bu nedenle topun özelliklerinin incelenmesine çeşitli tarihsel dönemlerde önemli bir rol verilmiş ve zamanımızda da önemli bir rol verilmiştir.

Bu çalışmanın amacı: Top ve kürenin geometrik cisimlerini inceleyin, bilimin çeşitli alanlarında, günlük yaşamda, doğada uygulamalarını düşünün, "Küre ve top - sıradan geometrik cisimler" sunumu oluşturun.

Görevler:

1. İnternet kaynakları da dahil olmak üzere çeşitli bilgi kaynaklarını kullanarak top ve küre hakkında materyal toplayın.

2. Top ve küre ile ilgili materyali sistematize edin.

4. Bir sunum oluşturun" Küre ve top sıradan geometrik cisimlerdir».

5. “Küre ve Top” konusunu çalışırken çalışmayı geometri dersinde sunun.

Çalışmanın amacı : küre ve top

Çalışma konusu : küre ve topun elemanları ve özellikleri

Hipotez: Dünyamızı daha çeşitli ve hacimli kılmak için toplara ihtiyacımız var.

Yöntemler: kısmen araştırma, araştırma, karşılaştırmalı analiz, sentez, pratik.

Araştırma sonucu: Elde edilen bilgiye yalnızca koordinatlarını yıldızlara göre belirleyen gökbilimciler, deniz gemileri, uçaklar, uzay aracı gezginleri değil, aynı zamanda maden, metro, tünel inşaatçıları, mimarlar ve ayrıca geniş alanların jeodezik araştırmaları sırasında ihtiyaç duyulur. Günlük yaşamda küresel şeklini hesaba katmak gerektiğinde Dünya'nın yüzeyi.

Bilimsel yenilik: teorik materyal lise öğrencilerinin anlayabileceği bir biçimde sunulmaktadır.

Pratik önemi: bu materyal, fizik ve matematik derslerinde, “Küre ve Top” konularının çalışıldığı derslerde seçmeli bir dersin temeli olarak kullanılabilir.

giriiş

Yüzyıllar boyunca insanlık, bilimsel bilgisini şu veya bu bilim alanında genişletmeyi bırakmadı. Stereometri, uzaydaki figürlerin bilimi olarak birçok bilimsel disiplinle bütünleşik olarak bağlantılıdır. Bu disiplinler şunları içerir: matematik, fizik, bilgisayar bilimi ve programlamanın yanı sıra kimya ve biyoloji. İkincisi, uzaydaki çeşitli parçacıkların birbirine göre karmaşık bir birleşimi olan mikrokozmozun incelenmesi sorununu ortaya çıkarmaktadır. Stereometrinin teoremleri ve sonuçları mimaride sürekli olarak kullanılmaktadır.

Pek çok bilimsel geometri uzmanı ve hatta sıradan insanlar, top gibi bir figür ve onun küre adı verilen "kabuğu" ile ilgileniyordu. Şaşırtıcı bir şekilde top, küp, prizma veya diğer çeşitli çokyüzlüler gibi diğer karşılaştırılabilir cisimlerin hacmine eşit bir hacme sahip daha geniş bir yüzey alanına sahip olan tek cisimdir. Her gün toplarla uğraşıyoruz. Örneğin, hemen hemen her kişi, yeniden doldurmanın ucuna monte edilmiş, kendisi ile kağıt arasındaki sürtünmenin etkisi altında dönen metal bir bilyeli bir tükenmez kalem kullanır ve dönme sürecinde top başka bir kısmı "çıkarır". yüzeyinde mürekkep var. Otomotiv sektöründe, bir otomobilin çok önemli bir parçası olan, tekerleklerin doğru dönüşünü ve otomobilin yol stabilitesini sağlayan rotiller üretilmektedir. Arabaların, uçakların, roketlerin, motosikletlerin, mermilerin ve gemilerin sürekli suya veya havaya maruz kalan elemanları esas olarak kaporta adı verilen bir tür küresel yüzeylere sahiptir.

Geometrik cisimlerin incelenmesinin tarihi: top, küre

Bir topa genellikle bir küre ile sınırlanmış bir cisim denir, yani. bir top ve bir küre farklı geometrik cisimlerdir. Ancak hem top hem de küre kelimeleri aynı Yunanca sphaira - top kelimesinden gelir. Üstelik “top” kelimesi sf ünsüzlerinin sh'ye geçişinden oluşmuştur.

Elementlerin XI. Kitabında Öklid, topu, sabit bir çap etrafında dönen yarım daireyle tanımlanan bir şekil olarak tanımlar. Antik çağda küre büyük saygı görüyordu. Gökkubbenin astronomik gözlemleri her zaman bir küre görüntüsünü çağrıştırıyordu.

Küre her zaman bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır.

2.1. Küre ve top kavramı

Küre, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan uzaydaki tüm noktalardan oluşan bir yüzeydir.

Küre ile sınırlanan cisimlere top denir.

Bu noktaya kürenin merkezi, bu mesafeye de kürenin yarıçapı denir.

Bir küre üzerindeki iki noktayı birleştiren ve geçen bir doğru parçası

merkezinden geçen mesafeye kürenin çapı denir.

Bir kürenin merkezi, yarıçapı, çapı aynı zamanda topun merkezi, yarıçapı ve çapı olarak da adlandırılır.

2.2. Küre denklemi

Dikdörtgen bir koordinat sistemi kuralım HAKKINDAxyz

Merkezi C (x 0;y 0;z 0) noktasında olan bir küre oluşturalım.

ve R yarıçapı

MC = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

MC = R veya MC2 = R2

dolayısıyla denklem

küre şu şekle sahiptir:

(x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R 2

2.3. Kürenin ve düzlemin göreceli konumu

Verilen:

Kürenin üzerinde, merkezi C (x 0; y 0; z 0), M (x; y; z) noktası olan R yarıçaplı bir küre bulunmaktadır.

MC mesafesi nedir?

Çünkü MS = R, o zaman

İle

İLE İLESS

Verilen: α düzlemi, küre (C; R),

d - C merkezinden α düzlemine olan mesafe.

C noktasının (x 0 ;y 0 ;z 0) olduğu bir koordinat sistemi tanıtalım. Küre ve α düzleminin denklemlerini oluşturalım.

P
C noktası z ekseni üzerinde olsun. O halde koordinatları (0; 0; d).

Küre denklemi:

α düzleminin denklemi: z = 0

Denklem sistemini inceleyelim:

z = 0

Daha sonra

D ve R oranına bağlı olarak 3 durum mümkündür...

1
)D< R .

Daha sonra

bir dairenin denklemi (O; r)

Kürenin düzlem - daireye göre kesiti

2
) d = R.

Daha sonra

İÇİNDE tam .... da

x = 0 ve y = 0

Küre ve düzlemin ortak bir noktası vardır.

3
) d > R.

Daha sonra

hiçbir çözümü yok.

Küre ile düzlemin ortak noktaları yoktur.

2.4. Bir küreye teğet düzlem

Küre ile tek ortak noktası olan düzleme küreye teğet düzlem, ortak noktalarına da düzlem ile küre arasındaki teğet nokta adı verilir.

Teorem. Küre ile düzlem arasındaki temas noktasına çizilen kürenin yarıçapı teğet düzleme diktir.

Verilen: merkezi olan küreHAKKINDA ve yarıçapR , α - küreye bir noktada teğetA uçak.

Kanıtlamak: O.A. A .

Kanıt: Let O.A. düzleme dik değil A , Daha sonra O.A. düzleme eğimlidir, bu da merkezden düzleme olan mesafe anlamına gelir D < R . Onlar. kürenin daire boyunca düzlemle kesişmesi gerekir, ancak bu teoremin koşullarını karşılamaz. Araç, O.A. A .

Ters teoremi kanıtlayalım.

Bir kürenin yarıçapı, kürenin üzerinde bulunan ucundan geçen düzleme dik ise, o zaman bu düzlem küreye teğettir.

Verilen: merkezi olan küreHAKKINDA ve yarıçap O.A. , A, O.A. A .

Kanıtlamak:A – teğet düzlem.

Kanıt: Çünkü O.A. A ise kürenin merkezinden düzleme olan mesafe yarıçapa eşittir. Bu, küre ve düzlemin tek bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir. Tanım gereği, bir düzlem bir küreye teğettir.

2.5. Kürenin alanı ve topun hacmi

Ve top yarıçapı formüllerle belirlenir:

Kanıt

Merkezi noktada olan R yarıçaplı bir dairenin dörtte birini alın. Bu dairenin çevresinin denklemi:, Neresi.

Fonksiyon süreklidir, artandır ve negatif değildir. Bir dairenin dörtte biri Öküz ekseni etrafında döndüğünde, bir yarım küre oluşur, bu nedenle:

Ch vb. nereden geliyor?

Kanıt

Vesaire.

Topun bir kısmı, [ ] ondan bir uçak tarafından kesilen şeye denir küresel veya küresel bölüm. Küresel bir parçanın tabanına daire denir ABCD. Küresel bir parçanın yüksekliği segmenttir N.M. yani merkezden geri alınan dik uzunluğu N topun yüzeyiyle kesişene kadar taban. Nokta M küresel parçanın tepe noktası denir.

Bilya segmenti hacmi formülle ifade edilir:

V = π H 2 ( R − 1/3 H)

Top katmanı - bu topun bir parçası [ ], iki kesen paralel düzlem arasında yer alır. Bilyalı kemer veya Top bölgesi küresel tabakanın kavisli yüzeyidir. Çevreler ABC Ve DEF bunlar küresel kuşağın tabanlarıdır. Bazlar arasındaki mesafe AÇIK küresel katmanın yüksekliğidir.

Top hacmi formülle ifade edilir:

V = 1/6 π H 3 + 1/2 π( R 1 2 + R 2 2 ) H

Top sektörü- bu topun bir parçası [ ], küresel parçanın kavisli yüzeyi ve tabanı parçanın tabanı olan konik yüzey ile sınırlanmıştır ve tepe noktası topun merkezidir.

Top sektörü hacmi eşittir Tabanı, küresel yüzeyin sektör tarafından kesilen kısmı ile aynı alana sahip olan ve yüksekliği yarıçapa eşit olan

V = 1/3 RS = 2/3 π R 2 H

2.6. Küreyi almak

ACB yarım dairesinin AB çapı etrafında döndürülmesiyle bir küre elde edilebilir.

2.7. Doğada bir küre ve top bulma

Z doğanın bilmeceleri - Balonlar-mesajlar.Bu gizemli mükemmel yuvarlak kaya oluşumları 1940'ların sonlarında Orta Amerika Cumhuriyeti Kosta Rika'nın ormanlarında keşfedildi. Topların boyutları 10 cm'den 3-4 metreye kadar değişmektedir. Hava fotoğrafçılığı sırasında bunların dünya yüzeyine rastgele dağılmadıkları, geometrik şekiller oluşturdukları ortaya çıktı. Hatta topların dağılmaması, devasa bir yıldız haritası şeklinde düzenlenmesi bile mümkündür; her top, karşılık gelen bir açıklamaya sahip bir yıldızdır.

Topların kökenine ilişkin hipotezler arasında yalnızca egzotik versiyonlar var: uzaylılardan Atlantis heykeltıraşlarına kadar. Ayrıca "Üçüncü Reich" ın çöküşünden sonra Latin Amerika'yı sular altında bırakan sıkılmış Nazi göçmenleri tarafından balonların kesildiğine dair bir versiyon da var (turizmden gelecekteki temettülere güvenerek). Topların çokluğunu ve üzerlerindeki tuhaf tasarımları doğal nedenler açıklayamıyordu. Kazakistan'da oldukça derin bir kum ocağının geliştirilmesi sırasında, bu tür kayaların birkaç büyük örneği de keşfedildi... Bu keşif, “Fenomen” komisyonu tarafından rapor edildi; ne yazık ki buluntuların hiçbir fotoğrafı hayatta kalmadı.

Kristal top. Makro fotoğrafçılık. Bir ağacın dalının üzerinde duran camdan bir top var; etrafındaki doğa ona yansıyor. Çok güzel sarı çiçekler ve yeşil yemyeşil çimenler.

İLE Çırpınan toplar

fotoğrafta güç yerlerinde - uranyumun veya plazmoid bir yaşam formunun çürümesinin sonucu mu?

Kutsal Kabir Kilisesi ve İsrail'deki diğer yerler

VE
ilginç doğa olayı Michigan gölünün kıyısında binlerce düzenli buz topu oluştu

Alışılmadık toplar şeklinde deniz yosunu

Garip toplar Haziran 2002'de Amerika Birleşik Devletleri'nin doğu kıyısındaki Hampton sahilinde ortaya çıktı. Gelgit dalgası bu yeşilimsi toplardan sayısız sayıda taşımaya başladı - yumuşak, belli belirsiz bir süngeri andıran ve tenis veya golf topu büyüklüğünde. Yaklaşık 300 metre veya daha fazla bir mesafede, kumsalın tamamı tam anlamıyla bu tür toplarla doluydu. Anlaşmazlıklar hemen başladı - nedir ve nereden geliyor? Tartışmaya deniz biyologları, sahildeki tatilciler ve yoldan geçenler de katıldı. Daha önce hiç kimse burada buna benzer bir şey görmemişti.

Doğa simetriden korkar; doğa ideal geometrik şekilleri bilmez. Ancak insan, doğayı kendisine yabancı olan bu formları edinmeye zorlayabilir. Bunun açık bir örneği Koreli sanatçı Lee Jae-Hyo'nun çalışmasıdır.ağaç gövdeleri mükemmel kürelerdir

T

Binlerce küçük mor top, garip bir şekilde ABD'nin Arizona eyaletinde çölün ortasında sona erdi. Tucson sakinleri Geraldine Vargas ve kocası, birkaç hafta önce mahallede dolaşırken açıklanamayan bir grup tuhaf top keşfettiler. Geraldine gazetecilere "Bu tuhaf yere rastladığımızda çölün doğasını fotoğraflıyorduk... Bunu nasıl hemen fark etmedik anlamıyorum." dedi. Fotoğrafçılar zoolog arkadaşlarına garip nesnelerin fotoğraflarını göndermişler ama o bunun ne olduğunu söyleyememiş, bu konuda herhangi bir varsayımı bile yokmuş.

Mineral topları.

Ametist.Brezilya.

Kaya kristali. Güney.

Amazonit Kola Yarımadası Satıldı.

2.8 Günlük yaşamda küre ve top

N
ve geometrik top benzer Küre, futbol topu, yılbaşı oyuncakları.

DIY köpük topu

Zorbing – bu günümüzün en moda ekstrem eğlencelerinden biridir. Zorbing, yeni, alışılmadık derecede parlak ve güçlü hisler deneyimlemenize ve kendinizi günlük yaşamın sıradanlığından kurtarmanıza olanak tanıyacak.

Zorb topu nedir

Z küre (ZORB)İçinde 1,8 metre çapında bir küre bulunan, 3,2 metre çapında şeffaf bir küredir (top). zorbonaut (zorba yolcusu). Bu küreler arasındaki boşluk, basıncı küreleri birbirinden ayıran ve tam tersine askılar tarafından yerinde tutulan hava ile doldurulur. Bu sistem çok iyi emer, engebeli yolları düzeltir ve kayak yapmayı güvenli hale getirir.

2.9.Küre ve topun mimaride uygulanması

Bu evin adı WIGWAM. Böyle evler yapıyorlar Hintliler.

Paslanmaz çelik bilyalar ve yarım küreler

Çeşme "Döner"top "St.

St.Petersburg -

Modern evler

Ve eğerev sadece bir ağaç üzerinde değil, aynı zamanda bir top şeklinde.

Burası gerçek bir köyyuvarlak evler .

İLE
modern yuvarlak evler

Montreal Biyosfer - Kanada'daki Expo 67'deki ABD sergi pavyonu,

Mimar Richard Fuller tarafından tasarlandı.

Şeffaf toplar şeklinde otel

İÇİNDE
Fransız şehri Roubaix hakkında, parklardan birinde Hotel Bolha'nın taşınabilir otel odaları açıldı. Bunu özellikle şehir ormanının merkezinde bile doğaya daha yakın olmak isteyen insanlar için yaptık.Balon konsepti tasarımcı Pierre Stéphane Dumas tarafından icat edildi. Bu gelişmiş tasarım, konukları geçici olarak bilinmeyenle buluşturmak amacıyla oluşturuldu. Sonuçta pek çok insan yuvarlak bir tavanın altında uyumayı göze alamaz.

Balonlu elbise.

Ülke ofisi Yakında bahar (ve sonra yaz) gelecek ve çoğu kişi dinlenmek için kulübelerine gitmeye başlayacak.
Ama bazen kulübede çalışman gerekir (lanet olsun sana!). Emekli olacak yeriniz yok mu?
Aşağıdaki gibi küçük küresel bir yapıda bir “Archipod” oluşturabilirsiniz:

ENERJİ VERİMLİLİĞİmimari . Akıllı Ev bir moleküldür.

Paris'in doğu eteklerindeki bir mezbahanın arazisine inşa edilen La Vilette bilim ve teknoloji parkında, ayna yüzeyi Paris gökyüzünü ve çevredeki manzarayı yansıtan dev bir top göze çarpıyor. Bugün bu bina dünyadaki en mükemmel küresel yapı olarak kabul ediliyor. Parisliler buna "Géode" diyor. Bu panoramik

Avrupa'nın en büyük ekranına sahip sinema. top evi aynası

Tatiliniz açık havada yapılıyorsa bu iplik yumakları ağaç dallarına veya tavana asılabilir. Kompozisyonu mumlar ve çiçeklerle tamamlayarak bir ziyafet masasını süslemek için de kullanılabilirler.

2.10. Jeodezide küre ve topun uygulanması.

Harita projeksiyonları

Dünyanın elipsoidinin tüm yüzeyini gösteren (Bkz. ) veya herhangi bir parçasını, esas olarak bir harita oluşturmak amacıyla elde edilen bir düzlem üzerine.

Ölçek.Kontrol istasyonları belli bir ölçekte inşa edilir. Dünyanın elipsoidini zihinsel olarak azaltarakMkez, örneğin 10.000.000 kez, geometrik modelini elde ederiz - Gerçek boyutlu görüntüsü bir düzlem üzerinde bu elipsoidin yüzeyinin bir haritasını verir. Değer 1:M(örnek 1: 10.000.000) haritanın ana veya genel ölçeğini belirler. Bir elipsoidin ve bir topun yüzeyleri, kırılmalar ve kıvrımlar olmadan bir düzlem üzerinde geliştirilemeyeceğinden (geliştirilebilir yüzeyler sınıfına ait değildirler (Bkz. ))), herhangi bir harita, herhangi bir haritanın karakteristik özelliği olan çizgilerin uzunluklarındaki, açılardaki vb. bozulmalarla karakterize edilir. Bir uzay sisteminin herhangi bir noktadaki temel özelliği kısmi ölçek μ'dir. Bu sonsuz küçük parçanın oranının tersidirdsdünyanın elipsoidinin görüntüsüne göredσ yüzeyde: μ dk. ≤ μ ≤ μ maksimumve burada eşitlik haritanın yalnızca belirli noktalarında veya belirli çizgileri boyunca mümkündür. Bu nedenle, haritanın ana ölçeği onu yalnızca genel anlamda, ortalama bir biçimde karakterize eder. Davranış μ/M bağıl ölçek olarak adlandırılır veya uzunluktaki artışa, fark M = 1.

1. Küresel koordinat çizgilerinin ağları.

2.11. Küre ve kürenin astronomi ve coğrafyada uygulanması.

İLE eski zamanlarda küre ve topun yanı sıra daire ve daire de düşünülüyordu. Dünyanın küresel şeklinin keşfi ve göksel küre hakkındaki fikirlerin ortaya çıkışı, küre üzerinde yer alan rakamları inceleyen özel bir bilim olan SPHERE'nin geliştirilmesine ivme kazandırdı.

Denizciler dünyayı dolaşırken aynı yere döndüklerinde tüm gün boyunca bir kayıp veya kazanç olduğunu fark ettiler; Dünya disk şeklinde olsaydı bu tamamen imkansız olurdu.

Yani, şu anda Dünya'nın küreselliğine dair kanıtlar şunlardır:

Okyanusta ve açık ovalarda veya platolarda her zaman ufkun dairesel bir şekli;

Dünyayı gezmek.

Kademeli yaklaşma veya nesnelerin kaldırılması;

VE
Çeşitli coğrafi haritaları incelerken coğrafyada topla ilişkilendirilen yer adlarının olduğunu keşfettik. Örneğin, Novaya Zemlya'nın Kuzey ve Güney adaları arasında Barents ve Kara denizlerini birbirine bağlayan, Matochkin Shar adı verilen bir boğaz veya Vaigach Adası kıyıları ile Avrasya anakarası Yugorsky Shar arasında bir boğaz vardır. Boyutlarının ve dip şeklinin küresel bir yüzeye benzemesinden dolayı bu boğazlara top denildiğini düşünüyoruz.

2.12. Sanatta küre ve top

Escher'in matematiği

Ayrıca Escher'in çeşitli "imkansız figürleri" tasvir eden resimleri, mekanın mantığıyla "oynuyor"; Escher bunları hem ayrı ayrı hem de konu taşbaskı ve gravürlerinde tasvir etti.

Üç küre. 1946

Yansıtıcı küre ile el. 1935

Çözüm

Topladığım materyalin ve yapılan çalışma sırasında edinilen bilgilerin geometri derslerinde, emek derslerinde, günlük yaşamda, fizik ve matematik derslerinde seçmeli bir dersin temeli olarak ve ders dışı olarak kullanılabileceğini düşünüyorum. Öğrencilerin ufkunu genişletecek etkinlikler.