Ayrık bir rastgele değişken x, bir dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir. "Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik" modüllerine ilişkin teorik materyal

Ayrık rastgele Değişkenler yalnızca birbirinden uzak olan ve önceden listelenebilen değerleri alan rastgele değişkenlerdir.
Dağıtım kanunu
Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi, olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların listesidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu fonksiyondur:
,
bağımsız değişken x'in her değeri için rastgele değişken X'in bu x'ten daha küçük bir değer alma olasılığının belirlenmesi.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
,
ayrık bir rastgele değişkenin değeri nerede; - rastgele bir değişkenin X değerlerini kabul etme olasılığı.
Eğer bir rastgele değişken sayılabilir bir olası değerler kümesini alıyorsa, o zaman:
.
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi:
,

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı ve standart sapması
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı:
veya .
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısındaki varyans
,
burada p olayın meydana gelme olasılığıdır.
Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması:
.

Örnek 1
Ayrık bir rastgele değişken (DRV) X için bir olasılık dağılımı kanunu çizin - bir çift zarın n = 8 atışında en az bir "altı"nın k kez gerçekleşme sayısı. Bir dağıtım poligonu oluşturun. Dağılımın sayısal özelliklerini bulun (dağılım modu, matematiksel beklenti M(X), dağılım D(X), standart sapma s(X)). Çözüm: Gösterimi tanıtalım: A olayı – “bir çift zar atıldığında en az bir kez altı ortaya çıkar.” A olayının P(A) = p olasılığını bulmak için, öncelikle karşıt olay olan Ā'nin P(Ā) = q olasılığını bulmak daha uygundur - "bir çift zar atıldığında asla altı gelmemiştir."
Bir zar atıldığında altının gelmeme olasılığı 5/6 olduğuna göre olasılık çarpım teoremine göre
P(Ā) = q = = .
Sırasıyla,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemdeki testler Bernoulli şemasını takip ediyor, dolayısıyla d.s.v. büyüklük X- sayı kİki zar atıldığında en az bir altının oluşması, binom olasılık dağılımı yasasına uyar:

burada = kombinasyonların sayısıdır Nİle k.

Bu problem için yapılan hesaplamalar rahatlıkla bir tablo şeklinde sunulabilir:
Olasılık dağılımı d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının çokgeni (çokgen) Xşekilde gösterilmiştir:

Pirinç. Olasılık dağılım poligonu d.s.v. X=k.
Dikey çizgi, dağılımın matematiksel beklentisini gösterir M(X).

D.s.v'nin olasılık dağılımının sayısal özelliklerini bulalım. X. Dağıtım modu 2'dir (burada P 8(2) = 0,2932 maksimum). Tanım gereği matematiksel beklenti şuna eşittir:
M(X) = = 2,4444,
Nerede xk = k– d.s.v tarafından alınan değer X. Varyans D(X) aşağıdaki formülü kullanarak dağılımı buluruz:
D(X) = = 4,8097.
Standart sapma (RMS):
S( X) = = 2,1931.

Örnek2
Ayrık rastgele değişken X dağıtım kanunu tarafından verilen

Çözüm. If , o zaman (üçüncü özellik).
Eğer öyleyse. Gerçekten mi, X 0,3 olasılıkla 1 değerini alabilir.
Eğer öyleyse. Aslında eşitsizliği sağlıyorsa
, o zaman meydana gelebilecek bir olayın olasılığına eşittir X 1 değerini (bu olayın olasılığı 0,3) veya 4 değerini (bu olayın olasılığı 0,1) alacaktır. Bu iki olay uyumsuz olduğundan toplama teoremine göre bir olayın olasılığı 0,3 + 0,1 = 0,4 olasılıklarının toplamına eşittir. Eğer öyleyse. Aslında olay kesindir, dolayısıyla olasılığı bire eşittir. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu fonksiyonun grafiği:
Bu değerlere karşılık gelen olasılıkları bulalım. Koşullu olarak, cihazların arızalanma olasılıkları eşittir: bu durumda cihazların garanti süresi boyunca çalışma olasılıkları eşittir:




Dağıtım kanunu şu şekildedir:

DAĞILIM VE ÖZELLİKLER KANUNU

RASTGELE DEĞİŞKENLER

Rastgele değişkenler, sınıflandırılması ve açıklama yöntemleri.

Rastgele bir miktar, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen, ancak önceden bilinmeyen bir miktardır. Bu nedenle, bir rastgele değişken için yalnızca deney sonucunda kesinlikle alacağı değerleri belirtebilirsiniz. Aşağıda bu değerlere rastgele değişkenin olası değerleri adını vereceğiz. Rastgele bir değişken, bir deneyin rastgele sonucunu niceliksel olarak karakterize ettiğinden, rastgele bir olayın niceliksel bir özelliği olarak düşünülebilir.

Rastgele değişkenler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle (örneğin X..Y..Z) ve bunların olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Üç tür rastgele değişken vardır:

Ayrık; Sürekli; Karışık.

ayrık olası değerlerin sayısı sayılabilir bir küme oluşturan rastgele bir değişkendir. Elemanları numaralandırılabilen kümeye ise sayılabilir küme denir. "Ayrık" kelimesi, "süreksiz, ayrı parçalardan oluşan" anlamına gelen Latince Discretus'tan gelir.

Örnek 1. Ayrık bir rastgele değişken, n üründen oluşan bir partideki hatalı X parçalarının sayısıdır. Aslında bu rastgele değişkenin olası değerleri 0'dan n'ye kadar bir tam sayı dizisidir.

Örnek 2. Ayrık bir rastgele değişken, hedefe ilk vuruştan önceki atışların sayısıdır. Burada Örnek 1'de olduğu gibi olası değerler numaralandırılabilir, ancak sınırlayıcı durumda olası değer sonsuz büyük bir sayıdır.

Sürekli olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin belirli bir aralığını dolduran, bazen bu rastgele değişkenin varoluş aralığı olarak adlandırılan rastgele bir değişkendir. Dolayısıyla, herhangi bir sonlu varoluş aralığında, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuz derecede büyüktür.

Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişken, bir işletmenin aylık elektrik tüketimidir.

Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişken, bir altimetre kullanılarak yüksekliğin ölçülmesindeki hatadır. Altimetrenin çalışma prensibinden hatanın 0 ila 2 m aralığında olduğu bilinmelidir. Dolayısıyla bu rastgele değişkenin varoluş aralığı 0 ila 2 m aralığıdır.

Rasgele değişkenlerin dağılım kanunu.

Olası değerleri sayısal eksende belirtilmişse ve dağıtım yasası oluşturulmuşsa, rastgele bir değişkenin tam olarak belirlenmiş olduğu kabul edilir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.

Rastgele bir değişkenin belirli bir yasaya göre dağıtıldığı veya belirli bir dağıtım yasasına tabi olduğu söylenir. Dağıtım yasaları olarak bir takım olasılıklar, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon kullanılır.

Dağılım kanunu bir rastgele değişkenin tam olası tanımını verir. Dağılım yasasına göre, deneyden önce, rastgele bir değişkenin hangi olası değerlerinin daha sık ve hangisinin daha az görüneceği yargısına varılabilir.

Ayrık bir rasgele değişken için dağılım yasası, analitik (formül biçiminde) ve grafiksel olarak bir tablo biçiminde belirtilebilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli, rastgele değişkenin tüm olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları artan sırada listeleyen bir tablodur (matris), yani.

Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir. 1

X 1, X 2,..., X n olayları, test sonucunda rastgele değişken X'in sırasıyla x 1, x 2,...x n değerlerini alacağı gerçeğinden oluşur: tutarsız ve mümkün olan tek şey (tablo rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini listelediği için), yani. tam bir grup oluşturuyoruz. Dolayısıyla olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Dolayısıyla herhangi bir ayrık rastgele değişken için

(Bu birim bir şekilde rastgele değişkenin değerleri arasında dağıtılır, dolayısıyla "dağılım" terimi de kullanılır).

Rastgele değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilirse ve bunlara karşılık gelen olasılıklar ordinat ekseni boyunca çizilirse, dağılım serisi grafiksel olarak gösterilebilir. Elde edilen noktaların bağlantısı, olasılık dağılımının çokgeni veya çokgeni adı verilen kesikli bir çizgiyi oluşturur (Şekil 1).

Örnek Piyango şunları içerir: 5.000 den değerinde bir araba. üniteler, 250 den'e mal olan 4 TV. üniteler, 200 den değerinde 5 video kayıt cihazı. birimler 7 gün boyunca toplam 1000 bilet satılıyor. birimler Bir bilet satın alan bir piyango katılımcısının elde ettiği net kazançlar için bir dağıtım kanunu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X'in olası değerleri - bilet başına net kazanç - 0-7 = -7 paraya eşittir. birimler (bilet kazanmadıysa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birimler (bilette sırasıyla VCR, TV veya araba kazancı varsa). 1000 biletten kazanamayanların sayısının 990 olduğunu ve belirtilen kazançların sırasıyla 5, 4 ve 1 olduğunu düşünürsek klasik olasılık tanımını kullanarak elde ederiz.

X; Anlam F(5); rastgele değişkenin olasılığı X segmentten değerler alacaktır. Bir dağıtım poligonu oluşturun.

1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu F(x) bilinmektedir X:

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını belirleyin X bir tablo şeklinde.

1. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası verilmiştir X:

1. Mağazanın tüm ürün yelpazesi için kalite sertifikalarına sahip olma olasılığı 0,7'dir. Komisyon bölgedeki dört mağazada sertifikaların bulunup bulunmadığını kontrol etti. Dağıtım kanununu çizin, denetim sırasında kalite belgesi bulunamayan mağaza sayısının matematiksel beklentisini ve dağılımını hesaplayın.

1. 350 özdeş kutudan oluşan bir partideki elektrik lambalarının ortalama yanma süresini belirlemek için, test için her kutudan bir elektrik lambası alındı. Elektrik lambalarının yanma süresinin standart sapmasının şu şekilde olduğu biliniyorsa, seçilen elektrik lambalarının ortalama yanma süresinin tüm partinin ortalama yanma süresinden mutlak değer olarak 7 saatten daha az farklı olma olasılığını aşağıdan tahmin edin. her kutu 9 saatten azdır.

1. Bir telefon santralinde 0,002 olasılıkla yanlış bağlantı meydana gelir. 500 bağlantı arasında aşağıdakilerin meydana gelme olasılığını bulun:

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun X. Fonksiyonların grafiklerini oluşturun ve . Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını, modunu ve medyanını hesaplayın X.

1. Otomatik bir makine silindirler yapar. Çaplarının ortalama değeri 10 mm olan normal dağılımlı bir rastgele değişken olduğuna inanılmaktadır. Çap 0,99 olasılıkla 9,7 mm ila 10,3 mm aralığındaysa standart sapma nedir?

Örnek A: 6 9 7 6 4 4

Örnek B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Seçenek 17.

1. 35 parçadan 7'si standart değildir. Rastgele alınan iki parçanın standart çıkma olasılığını bulun.

1. Üç zar atılıyor. Bırakılan taraflardaki noktaların toplamının 9'un katı olma olasılığını bulun.

1. “MAcera” kelimesi, her birinin üzerinde bir harfin yazılı olduğu kartlardan oluşur. Kartlar karıştırılır ve geri dönmeden birer birer çıkarılır. Görünüm sırasına göre alınan harflerin aşağıdaki kelimeyi oluşturma olasılığını bulun: a) MACERA; b) MAHKUM.

1. Bir kavanozda 6 siyah ve 5 beyaz top bulunmaktadır. Rastgele 5 top çekiliyor. Bunların arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:
1. 2 beyaz top;
2. 2'den az beyaz top;
3. en az bir siyah top.

1. A bir testte 0,4'e eşittir. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun:
1. etkinlik A 7 bağımsız denemeden oluşan bir seride 3 kez ortaya çıktı;
2. etkinlik A 400 denemelik bir dizide en az 220, en fazla 235 kez görünecektir.

1. Tesis üsse 5.000 kaliteli ürün gönderdi. Taşıma sırasında her ürünün hasar görme olasılığı 0,002'dir. Yolculuk sırasında en fazla 3 ürünün hasar görmesi olasılığını bulun.

1. Birinci torbada 4 beyaz ve 9 siyah top, ikinci torbada ise 7 beyaz ve 3 siyah top bulunmaktadır. Birinci torbadan rastgele 3 top, ikinci torbadan ise 4 top çekiliyor. Çekilen topların hepsinin aynı renk olma olasılığını bulun.

1. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası verilmiştir X:

Matematiksel beklenti ve varyansını hesaplayın.

1. Kutuda 10 adet kalem bulunmaktadır. Rastgele 4 kalem çekiliyor. Rastgele değişken X– seçilenler arasındaki mavi kalemlerin sayısı. Dağılım yasasını, 2. ve 3. mertebelerin başlangıç ​​ve merkezi momentlerini bulun.

1. Teknik kontrol departmanı 475 ürünü kusur açısından kontrol ediyor. Ürünün kusurlu olma olasılığı 0,05'tir. Test edilenler arasında kusurlu ürün sayısının içerileceği sınırları 0,95 olasılıkla bulun.

1. Bir telefon santralinde 0,003 olasılıkla yanlış bağlantı meydana gelir. 1000 bağlantı arasında aşağıdakilerin meydana gelme olasılığını bulun:
1. en az 4 yanlış bağlantı;
2. ikiden fazla yanlış bağlantı.

1. Rastgele değişken dağılım yoğunluğu fonksiyonu ile belirlenir:

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun X. Fonksiyonların grafiklerini oluşturun ve . X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini, varyansını, modunu ve medyanını hesaplayın.

1. Rastgele değişken dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir:

1. Örnekle A aşağıdaki sorunları çözün:
1. bir varyasyon serisi oluşturun;

· örnek ortalaması;

· örnek varyansı;

Mod ve medyan;

Örnek A: 0 0 2 2 1 4

1. varyasyon serisinin sayısal özelliklerini hesaplayın:

· örnek ortalaması;

· örnek varyansı;

standart numune sapması;

· mod ve medyan;

Örnek B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Seçenek 18.

1. 10 piyango biletinden 2'si kazanandır. Rastgele alınan beş biletten birinin kazanma olasılığını bulun.

1. Üç zar atılıyor. Yuvarlanan noktaların toplamının 15'ten büyük olma olasılığını bulun.

1. “ÇEVRE” kelimesi her birinin üzerinde bir harfin yazılı olduğu kartlardan oluşur. Kartlar karıştırılır ve geri dönmeden birer birer çıkarılır. Çıkarılan harflerin aşağıdaki kelimeden oluşma olasılığını bulun: a) ÇEVRE; b) METRE.

1. Bir kavanozda 5 siyah ve 7 beyaz top bulunmaktadır. Rastgele 5 top çekiliyor. Bunların arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:
1. 4 beyaz top;
2. 2'den az beyaz top;
3. en az bir siyah top.

1. Bir olayın meydana gelme olasılığı A bir denemede 0,55'e eşittir. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun:
1. etkinlik A 5 mücadeleden oluşan bir seride 3 kez ortaya çıkacak;
2. etkinlik A 300 denemelik bir dizide en az 130, en fazla 200 kez görünecektir.

1. Bir kutu konservenin kırılma olasılığı 0,0005'tir. 2000 kutudan ikisinde sızıntı olma olasılığını bulun.

1. Birinci torbada 4 beyaz ve 8 siyah top, ikinci torbada ise 7 beyaz ve 4 siyah top bulunmaktadır. Birinci torbadan rastgele iki top, ikinci torbadan rastgele üç top çekiliyor. Çekilen topların hepsinin aynı renkte olma olasılığını bulunuz.

1. Montaj için gelen parçaların %0,1'i birinci makineden, %0,2'si ikinci makineden, %0,25'i üçüncü makineden ve %0,5'i dördüncü makineden hatalıdır. Makine verimlilik oranları sırasıyla 4:3:2:1'dir. Rastgele alınan parçanın standart olduğu ortaya çıktı. Parçanın ilk makinede üretilme olasılığını bulun.

1. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası verilmiştir X:

Matematiksel beklenti ve varyansını hesaplayın.

1. Bir elektrikçinin her biri 0,1 olasılıkla arızalı olan üç ampulü vardır. Ampuller prize vidalanarak akım verilmektedir. Akım verildiğinde arızalı ampul hemen yanar ve yerine bir başkası gelir. Test edilen ampul sayısının dağılım yasasını, matematiksel beklentisini ve dağılımını bulun.

1. Bir hedefi vurma olasılığı, 900 bağımsız atışın her biri için 0,3'tür. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak hedefin en az 240, en fazla 300 kez vurulma olasılığını tahmin edin.

1. Bir telefon santralinde 0,002 olasılıkla yanlış bağlantı meydana gelir. 800 bağlantı arasında aşağıdakilerin meydana gelme olasılığını bulun:
1. en az üç yanlış bağlantı;
2. dörtten fazla yanlış bağlantı.

1. Rastgele değişken dağılım yoğunluğu fonksiyonu ile belirlenir:

X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonunu bulun. ve fonksiyonlarının grafiklerini çizin. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını, modunu ve medyanını hesaplayın X.

1. Rastgele değişken dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir:

1. Örnekle A aşağıdaki sorunları çözün:
1. bir varyasyon serisi oluşturun;
2. bağıl ve birikmiş frekansları hesaplamak;
3. ampirik bir dağılım fonksiyonu oluşturun ve grafiğini çizin;
4. varyasyon serisinin sayısal özelliklerini hesaplayın:

· örnek ortalaması;

· örnek varyansı;

standart numune sapması;

· mod ve medyan;

Örnek A: 4 7 6 3 3 4

1. B örneğini kullanarak aşağıdaki problemleri çözün:
1. gruplandırılmış bir varyasyon serisi oluşturun;
2. bir histogram ve frekans poligonu oluşturun;
3. varyasyon serisinin sayısal özelliklerini hesaplayın:

· örnek ortalaması;

· örnek varyansı;

standart numune sapması;

· mod ve medyan;

Örnek B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Seçenek 19.

1. Sahada 16 kadın ve 5 erkek çalışmaktadır. Personel numaraları kullanılarak rastgele 3 kişi seçildi. Seçilen kişilerin tamamının erkek olma olasılığını bulun.

2. Dört madeni para atılıyor. Yalnızca iki madeni paranın "arması" olma olasılığını bulun.

3. “PSİKOLOJİ” kelimesi, her birinin üzerinde bir harfin yazılı olduğu kartlardan oluşur. Kartlar karıştırılır ve geri dönmeden birer birer çıkarılır. Çıkarılan harflerin bir kelimeden oluşma olasılığını bulun: a) PSİKOLOJİ; b) PERSONEL.

4. Vazoda 6 siyah ve 7 beyaz top bulunmaktadır. Rastgele 5 top çekiliyor. Bunların arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:

A. 3 beyaz top;

B. 3'ten az beyaz top;

C. en az bir beyaz top.

5. Bir olayın meydana gelme olasılığı A bir denemede 0,5'e eşittir. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun:

A. etkinlik A 5 bağımsız denemeden oluşan bir seride 3 kez ortaya çıktı;

B. etkinlik A 50 denemelik bir dizide en az 30, en fazla 40 kez görünecektir.

6. Sürücüleri 0,8 çalışma saati boyunca açık olan, aynı modda birbirinden bağımsız olarak çalışan, aynı güçte 100 makine vardır. Herhangi bir anda 70'den 86'ya kadar makinenin açık olma olasılığı nedir?

7. Birinci torbada 4 beyaz ve 7 siyah top, ikinci torbada ise 8 beyaz ve 3 siyah top bulunmaktadır. Birinci torbadan rastgele 4 top, ikinci torbadan ise 1 top çekiliyor. Çekilen toplardan sadece 4 tanesinin siyah olma olasılığını bulunuz.

8. Araba satış showroom'una günlük olarak üç markanın arabaları hacim olarak kabul edilmektedir: “Moskvich” – %40; "Tamam" -% 20; "Volga" - ithal edilen tüm arabaların% 40'ı. Moskvich arabalarının %0,5'inde hırsızlık önleme cihazı bulunurken, Oka'da %0,01, Volga'da ise %0,1 yer alıyor. Muayene için alınan arabada hırsızlık önleme cihazının bulunma olasılığını bulun.

9. Sayılar ve segment üzerinde rastgele seçilir. Bu sayıların eşitsizlikleri karşılama olasılığını bulun.

10. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası verilmiştir X:

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun X; Anlam F(2); rastgele değişkenin olasılığı X aralıktaki değerleri alacaktır. Bir dağıtım poligonu oluşturun.

“Rastgele değişkenler” konusundaki problem çözme örnekleri.

Görev 1 . Piyango için 100 bilet basıldı. 50 USD değerinde bir kazanç elde edildi. ve her biri 10 USD değerinde on galibiyet. X değerinin dağıtım yasasını bulun - olası kazançların maliyeti.

Çözüm. X için olası değerler: x 1 = 0; X 2 = 10 ve x 3 = 50. 89 adet “boş” bilet olduğuna göre p 1 = 0,89, 10$ kazanma olasılığı. (10 bilet) – p 2 = 0,10 ve 50 USD kazanmak için -P 3 = 0,01. Böylece:

Kontrolü kolay: .

Görev 2. Alıcının ürün reklamını önceden okumuş olma olasılığı 0,6'dır (p=0,6). Reklamın kalitesinin seçici kontrolü, reklamı önceden inceleyen ilk kişiden önce alıcılara anket yapılarak gerçekleştirilir. Ankete katılan alıcıların sayısına göre bir dağıtım serisi hazırlayın.

Çözüm. Problem koşullarına göre p=0,6. Gönderen: q=1 -p = 0,4. Bu değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz: ve bir dağıtım serisi oluşturun:

Görev 3. Bir bilgisayar bağımsız olarak çalışan üç öğeden oluşur: sistem birimi, monitör ve klavye. Gerilimdeki tek bir keskin artışla, her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bernoulli dağılımına dayanarak, ağdaki bir güç dalgalanması sırasında arızalanan elemanların sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. düşünelim Bernoulli dağılımı(veya binom): olasılık N testlerde A olayı tam olarak görünecek k bir kere: , veya:

İÇİNDE Göreve geri dönelim.

X için olası değerler (arıza sayısı):

x 0 =0 – öğelerin hiçbiri başarısız oldu;

x 1 =1 – bir elemanın arızası;

x 2 =2 – iki elemanın arızası;

x 3 =3 – tüm elemanların arızası.

Koşullu olarak p = 0,1 olduğundan, q = 1 – p = 0,9 olur. Bernoulli formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

, ,

, .

Kontrol: .

Bu nedenle gerekli dağıtım kanunu:

Sorun 4. 5.000 mermi üretildi. Kartuşlardan birinin arızalı olma olasılığı . Tüm partide tam olarak 3 adet hatalı fişek olma olasılığı nedir?

Çözüm. Uygulanabilir Poisson dağılımı: Bu dağılım çok büyük olasılıkları belirlemek için kullanılır.

Her birinde A olayının olasılığı çok küçük olan test sayısı (toplu testler), A olayı k kez meydana gelecektir: , Nerede .

Burada n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Bulduğumuzda istenilen olasılık: .

Sorun 5. Vuruş olasılığı p olan ilk vuruşa kadar ateş ederken = 0,6 atış yaparken üçüncü atışta isabet olma olasılığını bulmanız gerekir.

Çözüm. Geometrik bir dağılım uygulayalım: her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı p olan (ve gerçekleşmeme q = 1 – p) olan bağımsız denemeler yapılsın. Test, A olayı meydana gelir gelmez sona erer.

Bu koşullar altında, A olayının k. denemede meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir: . Burada p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Dolayısıyla .

Sorun 6. Bir X rastgele değişkeninin dağılım yasası verilsin:

Matematiksel beklentiyi bulun.

Çözüm. .

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamının bir rastgele değişkenin ortalama değeri olduğuna dikkat edin.

Sorun 7. Rastgele değişken X'in varyansını aşağıdaki dağıtım yasasıyla bulun:

Çözüm. Burada .

X'in kare değeri için dağıtım yasası 2 :

Gerekli varyans: .

Dağılım, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının (dağılımının) ölçüsünü karakterize eder.

Sorun 8. Dağılım tarafından rastgele bir değişken verilsin:

Sayısal özelliklerini bulun.

Çözüm: m, m 2 ,

M 2 , M.

X rastgele değişkeni hakkında şunu söyleyebiliriz: Matematiksel beklentisi 6,4 m ve varyansı 13,04 m'dir. 2 veya – matematiksel beklentisi m sapmayla 6,4 m'dir. İkinci formülasyon açıkça daha açıktır.

Görev 9. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilir:
.

Test sonucunda X değerinin aralıkta yer alan değeri alma olasılığını bulun .

Çözüm. X'in belirli bir aralıktan değer alma olasılığı, bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşittir; . Bizim durumumuzda ve dolayısıyla

.

Görev 10. Ayrık rastgele değişken X Dağıtım kanunu tarafından verilen:

Dağıtım fonksiyonunu bulun F(x ) ve grafiğini çizin.

Çözüm. Dağıtım fonksiyonundan beri,

İçin , O

;

;

;

;

İlgili grafik:

Sorun 11. Sürekli rastgele değişken X diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir: .

İsabet olasılığını bulun Aralık başına X

Çözüm. Bunun üstel dağılım yasasının özel bir durumu olduğunu unutmayın.

Formülü kullanalım: .

Görev 12. Dağılım yasasıyla belirtilen ayrık bir rastgele değişken X'in sayısal özelliklerini bulun:

Bilindiği üzere rastgele değişken duruma göre belirli değerleri alabilen değişken miktara denir. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z), değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (kesikli) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık rastgele değişken sıfırdan farklı olasılıklara sahip yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) değerler kümesini alan rastgele bir değişkendir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini bunlara karşılık gelen olasılıklarla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım kanunu aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1 . Dağıtım kanunu tablo tarafından verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) kullanarak dağılım fonksiyonu F(x) , her bir x değeri için X rastgele değişkeninin x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak belirtilebilir – dağıtım çokgeni (çokgen) (bkz. sorun 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birkaç rakamı bilmek yeterlidir. Bu, bir rastgele değişkenin “ortalama değeri” anlamına gelen bir sayı olabileceği gibi, bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı da olabilir.

Bu tür sayılara rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir. :

• Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri Matematiksel beklenti ayrık bir rastgele değişkenin (ortalama değeri).
  M(X)=Σ x ben p ben
• Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ Dağılım ayrık rastgele değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2)− 2
  . X – M(X) farkı, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması olarak adlandırılır.
• Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ Standart sapma (standart sapma).

σ(X)=√D(X)

“Ayrık rastgele değişkenin dağılım yasası” konulu problem çözme örnekleri

Görev 1.

Çözüm. 1000 piyango bileti düzenlendi: 5'i 500 ruble, 10'u 100 ruble, 20'si 50 ruble, 50'si 10 ruble kazanacak. Rastgele değişken X - bilet başına kazançların olasılık dağılımı yasasını belirleyin.

Problemin koşullarına göre X rastgele değişkeninin şu değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.

Kazanılmayan bilet sayısı 1000 – (5+10+20+50) = 915, bu durumda P(X=0) = 915/1000 = 0,915 olur.

Benzer şekilde diğer tüm olasılıkları da buluruz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı tablo halinde sunalım:

X değerinin matematiksel beklentisini bulalım: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Cihaz birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur.

Çözüm. 1. Bir deneyde her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bir deneydeki başarısız elemanların sayısı için bir dağıtım kanunu çizin, bir dağıtım poligonu oluşturun. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.

Ayrık rastgele değişken X = (bir deneydeki başarısız öğelerin sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 =0 (cihaz öğelerinin hiçbiri başarısız olmadı), x 2 =1 (bir öğe başarısız oldu), x 3 =2 ( iki öğe başarısız oldu) ve x 4 =3 (üç öğe başarısız oldu). Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arıza olasılıkları eşittir, dolayısıyla uygulanabilir Bernoulli formülü
. n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 koşuluna göre değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P3(1) = C31 p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;

Kontrol edin: ∑p ben = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dolayısıyla, X'in istenen binom dağılım yasası şu şekildedir:

3. X i'nin olası değerlerini apsis ekseni boyunca ve karşılık gelen p i olasılıklarını ordinat ekseni boyunca çizeriz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları düz çizgi parçalarıyla birleştirerek istenilen dağıtım poligonunu elde ederiz.

x > 3 için F(x) = 1 olacaktır çünkü olay güvenilirdir.

4. F(x) fonksiyonunun grafiği
Binom dağılımı X için:
- matematiksel beklenti M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varyans D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;