Güvenilir teori. Temel sonuçların alanı

“Kazalar tesadüfi değildir”... Kulağa bir filozofun söylediği gibi gelebilir ama aslında rastlantısallığı incelemek büyük matematik biliminin kaderidir. Matematikte şans konusu olasılık teorisiyle ele alınır. Makalede formüller ve görev örnekleri ile bu bilimin ana tanımları sunulacak.

Olasılık teorisi nedir?

Olasılık teorisi rastgele olayları inceleyen matematik disiplinlerinden biridir.

Konuyu biraz daha açık hale getirmek için küçük bir örnek verelim: Eğer bir parayı havaya atarsanız, yazı veya tura gelebilir. Madeni para havadayken bu olasılıkların her ikisi de mümkündür. Yani olası sonuçların olasılığı 1:1'dir. 36 kartlık desteden bir kart çekerseniz olasılık 1:36 olarak gösterilecektir. Burada, özellikle matematiksel formüllerin yardımıyla keşfedilecek ve tahmin edilecek hiçbir şey yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, belirli bir eylemi birçok kez tekrarlarsanız, belirli bir modeli tanımlayabilir ve buna dayanarak diğer koşullardaki olayların sonucunu tahmin edebilirsiniz.

Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, klasik anlamda olasılık teorisi, olası olaylardan birinin sayısal bir değerde meydana gelme olasılığını inceler.

Tarihin sayfalarından

Olasılık teorisi, formüller ve ilk görevlerin örnekleri, kart oyunlarının sonucunu tahmin etme girişimlerinin ilk ortaya çıktığı uzak Orta Çağ'da ortaya çıktı.

Başlangıçta olasılık teorisinin matematikle hiçbir ilgisi yoktu. Pratikte yeniden üretilebilecek bir olayın ampirik gerçekleri veya özellikleriyle gerekçelendirildi. Bir matematik disiplini olarak bu alanda ilk çalışmalar 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kurucuları Blaise Pascal ve Pierre Fermat'tı. Uzun süre kumar üzerine çalıştılar ve belli kalıpları gördüler ve bunları halka anlatmaya karar verdiler.

Aynı teknik, Pascal ve Fermat'ın araştırmalarının sonuçlarına aşina olmamasına rağmen Christiaan Huygens tarafından icat edildi. Disiplinin tarihinde ilk sayılan “olasılık teorisi” kavramı, formülleri ve örnekleri onun tarafından ortaya atılmıştır.

Jacob Bernoulli'nin çalışmaları, Laplace ve Poisson teoremlerinin önemi de azımsanmayacak düzeydedir. Olasılık teorisini daha çok bir matematik disiplini haline getirdiler. Olasılık teorisi, formüller ve temel görev örnekleri Kolmogorov'un aksiyomları sayesinde bugünkü halini aldı. Tüm değişikliklerin sonucunda olasılık teorisi matematiğin dallarından biri haline geldi.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Olaylar

Bu disiplinin ana kavramı “olay”dır. Üç tür olay vardır:

Güvenilir. Zaten olacak olanlar (para düşecek).
İmkansız. Hiçbir koşulda gerçekleşmeyecek olaylar (paranın havada asılı kalması).
Rastgele. Olacak olanlar veya olmayacak olanlar. Tahmin edilmesi çok zor olan çeşitli faktörlerden etkilenebilirler. Bir madeni paradan bahsedersek, sonucu etkileyebilecek rastgele faktörler vardır: madalyonun fiziksel özellikleri, şekli, orijinal konumu, atış kuvveti vb.

Örneklerdeki tüm olaylar, farklı bir role sahip olan P hariç, büyük Latin harfleriyle gösterilmiştir. Örneğin:

A = “öğrenciler derse geldi.”
Ā = “öğrenciler derse gelmedi.”

Pratik görevlerde olaylar genellikle kelimelerle yazılır.

Olayların en önemli özelliklerinden biri olasılıklarının eşit olmasıdır. Yani, eğer bir parayı atarsanız, düşene kadar ilk düşüşün tüm çeşitleri mümkündür. Ancak olaylar da aynı derecede mümkün değildir. Bu, birisi kasıtlı olarak bir sonucu etkilediğinde meydana gelir. Örneğin, ağırlık merkezinin kaydırıldığı "işaretli" oyun kartları veya zarlar.

Etkinlikler aynı zamanda uyumlu ve uyumsuz olabilir. Uyumlu olaylar birbirinin oluşumunu dışlamaz. Örneğin:

A = “öğrenci derse geldi.”
B = “öğrenci derse geldi.”

Bu olaylar birbirinden bağımsızdır ve birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemez. Uyumsuz olaylar, birinin meydana gelmesinin diğerinin meydana gelmesini dışlaması gerçeğiyle tanımlanır. Aynı madeni paradan bahsedersek, "yazı" kaybı aynı deneyde "tura" çıkmasını imkansız hale getirir.

Etkinliklerle ilgili eylemler

Olaylar buna göre çoğaltılabilir ve toplanabilir; disipline mantıksal "VE" ve "VEYA" bağlaçları eklenir.

Tutar, A veya B olayının ya da ikisinin aynı anda meydana gelebilmesi gerçeğine göre belirlenir. Eğer uyumsuzlarsa son seçenek imkansızdır; A ya da B atılacaktır.

Olayların çoğalması A ve B'nin aynı anda ortaya çıkmasından ibarettir.

Artık temelleri, olasılık teorisini ve formülleri daha iyi hatırlamak için birkaç örnek verebiliriz. Aşağıda problem çözme örnekleri.

1. Egzersiz: Şirket üç tür iş için sözleşme almak üzere bir yarışmaya katılmaktadır. Meydana gelebilecek olası olaylar:

A = “Firma ilk sözleşmeyi alacak.”
A 1 = “Firma ilk sözleşmeyi alamayacak.”
B = “firma ikinci bir sözleşme alacak.”
B 1 = “firma ikinci bir sözleşme alamayacak”
C = “firma üçüncü bir sözleşme alacak.”
C 1 = “firma üçüncü bir sözleşme alamayacak.”

Olaylara ilişkin eylemleri kullanarak aşağıdaki durumları ifade etmeye çalışacağız:

K = “şirket tüm sözleşmeleri alacak.”

Matematiksel formda denklem şu forma sahip olacaktır: K = ABC.

M = “şirket tek bir sözleşme alamayacak.”

M = A 1 B 1 C 1.

Görevi karmaşıklaştıralım: H = “şirket bir sözleşme alacak.” Şirketin hangi sözleşmeyi (birinci, ikinci veya üçüncü) alacağı bilinmediğinden, olası olayların tamamının kaydedilmesi gerekir:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ve MÖ 1 1, firmanın birinci ve üçüncü sözleşmeyi almadığı, ancak ikinciyi aldığı bir dizi olaydır. Diğer olası olaylar uygun yöntem kullanılarak kaydedildi. Disiplindeki υ sembolü “OR” bağlacı anlamına gelir. Yukarıdaki örneği insan diline çevirirsek, şirket ya üçüncü sözleşmeyi ya ikinciyi ya da birinciyi alacaktır. Benzer şekilde “Olasılık Teorisi” disiplinindeki diğer koşulları da yazabilirsiniz. Yukarıda sunulan formüller ve problem çözme örnekleri, bunu kendi başınıza yapmanıza yardımcı olacaktır.

Aslında olasılık

Belki de bu matematik disiplininde bir olayın olasılığı merkezi kavramdır. Olasılığın 3 tanımı vardır:

klasik;
istatistiksel;
geometrik.

Her birinin olasılık çalışmasında yeri vardır. Olasılık teorisi, formüller ve örnekler (9. sınıf) esas olarak şuna benzeyen klasik tanımı kullanır:

A durumunun olasılığı, onun gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranına eşittir.

Formül şuna benzer: P(A)=m/n.

A aslında bir olaydır. A'nın tersi bir durum ortaya çıkarsa Ā veya A 1 olarak yazılabilir.

m olası olumlu durumların sayısıdır.

n - gerçekleşebilecek tüm olaylar.

Örneğin, A = “kalp renginden bir kart çek.” Standart bir destede 36 kart vardır ve bunların 9'u kupadır. Buna göre sorunu çözme formülü şöyle görünecektir:

P(A)=9/36=0,25.

Sonuç olarak desteden kalp renginde bir kartın çekilme olasılığı 0,25 olacaktır.

Yüksek matematiğe doğru

Artık olasılık teorisinin ne olduğu, okul müfredatında karşılaşılan problem çözme formülleri ve örnekleri çok az biliniyordu. Ancak üniversitelerde öğretilen yüksek matematikte olasılık teorisine de rastlanmaktadır. Çoğunlukla teorinin geometrik ve istatistiksel tanımları ve karmaşık formüllerle çalışırlar.

Olasılık teorisi çok ilginçtir. Olasılığın istatistiksel (veya frekans) tanımıyla formülleri ve örnekleri (yüksek matematik) küçük çapta çalışmaya başlamak daha iyidir.

İstatistiksel yaklaşım klasik yaklaşımla çelişmez ancak onu biraz genişletir. İlk durumda bir olayın hangi olasılıkla meydana geleceğini belirlemek gerekliyse, bu yöntemde olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğini belirtmek gerekir. Burada Wn(A) ile gösterilebilecek yeni bir “göreceli frekans” kavramı tanıtılmaktadır. Formül klasik olandan farklı değil:

Tahmin için klasik formül hesaplanırsa, deney sonuçlarına göre istatistiksel formül hesaplanır. Örneğin küçük bir görevi ele alalım.

Teknolojik kontrol departmanı ürünleri kalite açısından kontrol eder. 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. Kaliteli bir ürünün sıklık olasılığı nasıl bulunur?

A = “kaliteli bir ürünün görünümü.”

Wn(A)=97/100=0,97

Yani kaliteli bir ürünün frekansı 0,97’dir. 97'yi nereden buldun? Kontrol edilen 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. 100'den 3'ü çıkarırsak 97 elde ederiz, bu kaliteli mal miktarıdır.

Kombinatorik hakkında biraz

Olasılık teorisinin başka bir yöntemine kombinatorik denir. Temel prensibi şudur: Eğer belirli bir A seçimi m farklı şekilde yapılabiliyorsa ve bir B seçimi de n farklı şekilde yapılabiliyorsa, o zaman A ve B'nin seçimi çarpma yoluyla yapılabilir.

Örneğin A şehrinden B şehrine giden 5 yol vardır. B şehrinden C şehrine 4 yol vardır. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidebilirsiniz?

Çok basit: 5x4=20 yani A noktasından C noktasına yirmi farklı yoldan ulaşabilirsiniz.

Görevi karmaşıklaştıralım. Solitaire'de kartları yerleştirmenin kaç yolu vardır? Destede 36 kart var; bu başlangıç noktasıdır. Yol sayısını bulmak için, başlangıç noktasından her seferinde bir kartı "çıkarmanız" ve çarpmanız gerekir.

Yani 36x35x34x33x32...x2x1= sonuç hesap makinesi ekranına sığmadığından basitçe 36! olarak belirtilebilir. İmza "!" sayının yanındaki sayı dizisinin tamamının birbiriyle çarpıldığını gösterir.

Kombinatorikte permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon gibi kavramlar vardır. Her birinin kendine has formülü var.

Bir kümenin elemanlarının sıralı bir kümesine düzenleme denir. Yerleştirmeler tekrarlanabilir, yani bir öğe birkaç kez kullanılabilir. Ve tekrarlama olmadan, öğeler tekrarlanmadığında. n tüm öğelerdir, m yerleştirmeye katılan öğelerdir. Tekrarlama olmadan yerleştirme formülü şöyle görünecektir:

A n m =n!/(n-m)!

Yalnızca yerleştirme sırası farklılık gösteren n elemanın bağlantılarına permütasyon denir. Matematikte şöyle görünür: P n = n!

M'nin n elementinin kombinasyonları, hangi elementlerin olduğu ve toplam sayılarının ne olduğunun önemli olduğu bileşiklerdir. Formül şöyle görünecek:

a n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli'nin formülü

Olasılık teorisinde, her disiplinde olduğu gibi, kendi alanında onu yeni bir seviyeye taşıyan seçkin araştırmacıların çalışmaları bulunmaktadır. Bu çalışmalardan biri, belirli bir olayın bağımsız koşullar altında meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlayan Bernoulli formülüdür. Bu, bir deneyde A'nın ortaya çıkmasının, aynı olayın daha önceki veya sonraki denemelerde meydana gelip gelmemesine bağlı olmadığını göstermektedir.

Bernoulli denklemi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

(A) olayının gerçekleşme olasılığı (p) her deneme için sabittir. N sayıda deneyde durumun tam olarak m kez ortaya çıkma olasılığı yukarıda sunulan formülle hesaplanacaktır. Buna göre q sayısının nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkıyor.

A olayı p sayıda meydana gelirse, buna göre gerçekleşmeyebilir. Birim, bir disiplindeki bir durumun tüm sonuçlarını belirtmek için kullanılan bir sayıdır. Dolayısıyla q, bir olayın gerçekleşmeme olasılığını gösteren bir sayıdır.

Artık Bernoulli'nin formülünü (olasılık teorisi) biliyorsunuz. Aşağıda problem çözme örneklerini (birinci seviye) ele alacağız.

Görev 2: Bir mağaza ziyaretçisi 0,2 olasılıkla satın alma işlemi gerçekleştirecektir. Mağazaya bağımsız olarak 6 ziyaretçi girdi. Bir ziyaretçinin satın alma işlemi gerçekleştirme olasılığı nedir?

Çözüm: Kaç ziyaretçinin (biri veya altısı) alışveriş yapması gerektiği bilinmediğinden, olası tüm olasılıkları Bernoulli formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

A = “ziyaretçi alışveriş yapacak.”

Bu durumda: p = 0,2 (görevde belirtildiği gibi). Buna göre q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (mağazada 6 müşteri olduğu için). m sayısı 0'dan (tek bir müşteri satın alma işlemi yapmayacak) 6'ya (mağazaya gelen tüm ziyaretçiler bir şey satın alacak) kadar değişecektir. Sonuç olarak çözüme ulaşıyoruz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Hiçbir alıcı 0,2621 olasılıkla alım yapmayacak.

Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi) başka nasıl kullanılır? Aşağıda problem çözme örnekleri (ikinci seviye) yer almaktadır.

Yukarıdaki örnekten sonra C ve r'nin nereye gittiğine dair sorular ortaya çıkıyor. P'ye göre, 0'ın üssü bir sayı bire eşit olacaktır. C'ye gelince, aşağıdaki formülle bulunabilir:

C n m = n! /m!(n-m)!

İlk örnekte sırasıyla m = 0 olduğundan, C = 1 olup bu prensipte sonucu etkilemez. Yeni formülü kullanarak iki ziyaretçinin ürün satın alma olasılığının ne olduğunu bulmaya çalışalım.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Olasılık teorisi o kadar da karmaşık değil. Örnekleri yukarıda sunulan Bernoulli formülü bunun doğrudan kanıtıdır.

Poisson formülü

Poisson denklemi düşük olasılıklı rastgele durumları hesaplamak için kullanılır.

Temel formül:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

Bu durumda λ = n x p. İşte basit bir Poisson formülü (olasılık teorisi). Aşağıda problem çözme örneklerini ele alacağız.

Görev 3: Fabrika 100.000 parça üretti. Arızalı parçanın meydana gelmesi = 0,0001. Bir partide 5 hatalı parçanın olma olasılığı nedir?

Gördüğünüz gibi evlilik pek olası olmayan bir olaydır ve bu nedenle hesaplama için Poisson formülü (olasılık teorisi) kullanılır. Bu tür problemleri çözme örnekleri disiplindeki diğer görevlerden farklı değildir; gerekli verileri verilen formüle yerleştiriyoruz:

A = “Rastgele seçilen bir parça kusurlu olacaktır.”

p = 0,0001 (görev koşullarına göre).

n = 100000 (parça sayısı).

m = 5 (kusurlu parçalar). Verileri formülde değiştiririz ve şunu elde ederiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Yukarıda yazılan çözüm örnekleri olan Bernoulli formülü (olasılık teorisi) gibi, Poisson denkleminin de bilinmeyen bir e'si vardır. Aslında şu formülle bulunabilir:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Ancak e'nin hemen hemen tüm değerlerini içeren özel tablolar vardır.

De Moivre-Laplace teoremi

Bernoulli şemasında deneme sayısı yeterince büyükse ve A olayının tüm şemalarda meydana gelme olasılığı aynıysa, o zaman A olayının bir dizi testte belirli sayıda meydana gelme olasılığı şu şekilde bulunabilir: Laplace'ın formülü:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplace formülünü (olasılık teorisi) daha iyi hatırlamak için aşağıda sorun örnekleri verilmiştir.

Öncelikle X m'yi bulalım, verileri (hepsi yukarıda listelenmiştir) formülde yerine koyalım ve 0,025 elde edelim. Tabloları kullanarak değeri 0,3988 olan ϕ(0,025) sayısını buluruz. Artık tüm verileri formülde değiştirebilirsiniz:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Yani uçucunun tam olarak 267 kez çalışma olasılığı 0,03'tür.

Bayes formülü

Aşağıda yardımı ile problem çözme örnekleri verilecek olan Bayes formülü (olasılık teorisi), bir olayın olasılığını, kendisiyle ilişkilendirilebilecek koşullara göre tanımlayan bir denklemdir. Temel formül aşağıdaki gibidir:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ve B kesin olaylardır.

P(A|B) koşullu bir olasılıktır, yani B olayının doğru olması koşuluyla A olayı gerçekleşebilir.

P (B|A) - B olayının koşullu olasılığı.

Dolayısıyla, “Olasılık Teorisi” adlı kısa dersin son kısmı Bayes formülüdür, aşağıda problemlerin çözüm örnekleri yer almaktadır.

Görev 5: Depoya üç firmanın telefonları getirildi. Aynı zamanda ilk tesiste üretilen telefonların payı %25, ikinci tesiste %60, üçüncü tesiste ise %15'tir. Ayrıca ilk fabrikada kusurlu ürün oranının ortalama %2, ikinci fabrikada %4 ve üçüncü fabrikada %1 olduğu da bilinmektedir. Rastgele seçilen bir telefonun arızalı olma olasılığını bulmanız gerekiyor.

A = “rastgele seçilen telefon.”

B 1 - ilk fabrikanın ürettiği telefon. Buna göre tanıtım B 2 ve B 3 görünecektir (ikinci ve üçüncü fabrikalar için).

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

P(B1) = %25/%100 = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - böylece her seçeneğin olasılığını bulduk.

Şimdi istenen olayın koşullu olasılıklarını, yani şirketlerdeki kusurlu ürün olasılığını bulmanız gerekiyor:

P(A/B1) = %2/%100 = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Şimdi verileri Bayes formülünde yerine koyalım ve şunu elde edelim:

P(A) = 0,25x0,2 + 0,6x0,4 + 0,15x0,01 = 0,0305.

Makale olasılık teorisini, formülleri ve problem çözme örneklerini sunuyor, ancak bu geniş bir disiplinin buzdağının yalnızca görünen kısmı. Ve yazılanlardan sonra hayatta olasılık teorisine ihtiyaç olup olmadığı sorusunu sormak mantıklı olacaktır. Sıradan bir insanın cevap vermesi zordur; ikramiyeyi birden fazla kez kazanan birine sormak daha iyidir.

Sözdeyi yöneten yasaların doktrini. rastgele fenomenler. Rus dilinde yer alan yabancı kelimeler sözlüğü. Chudinov A.N., 1910 ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

olasılık teorisi- - [L.G. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Genel olarak konular bilgi teknolojisi EN olasılık teorisi şansolasılık hesaplama teorisi ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Olasılık teorisi- çeşitli olayların olasılıkları (bkz. Olasılık ve İstatistik) arasındaki ilişkileri inceleyen matematiğin bir parçasıdır. Bu bilimle ilgili en önemli teoremleri sıralayalım. Birkaç uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı eşittir... ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron

OLASILIK TEORİSİ- matematiksel Bazı rastgele olayların olasılıklarından (bkz.), k.l. ile ilişkili rastgele olayların olasılıklarını bulmayı sağlayan bir bilim. ilkleriyle aynı şekilde. Modern T.v. A. N. Kolmogorov'un aksiyomatiklerine dayanmaktadır (bkz. Aksiyomatik yöntem). Üzerinde… … Rus Sosyoloji Ansiklopedisi

Olasılık teorisi- Bazı rastgele olayların verilen olasılıklarına dayanarak, birinciyle bir şekilde ilişkili diğer olayların olasılıklarının bulunduğu bir matematik dalı. Olasılık teorisi aynı zamanda rastgele değişkenleri ve rastgele süreçleri de inceler. Analardan biri... ... Modern doğa biliminin kavramları. Temel terimler sözlüğü

olasılık teorisi- tikimybių teori durumu T sritis fizika atitikmenys: engl. olasılık teorisi vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. olasılık teorisi, f pranc. olasılık teorisi, f … Fizikos terminų žodynas

Olasılık teorisi- ... Vikipedi

Olasılık teorisi- Rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik disiplini... Modern doğa biliminin başlangıcı

OLASILIK TEORİSİ- (olasılık teorisi) bkz. Olasılık... Büyük açıklayıcı sosyolojik sözlük

Olasılık teorisi ve uygulamaları- (“Olasılık Teorisi ve Uygulamaları”), SSCB Bilimler Akademisi Matematik Bölümü'nün bilimsel dergisi. Olasılık teorisi, matematiksel istatistiğin genel konuları ve bunların doğa bilimlerindeki uygulamaları üzerine orijinal makaleler ve kısa bildiriler yayınlar ve... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitabın

Olasılık teorisi. , Ventzel E.S.. Kitap, normal üniversite dersleri kapsamında matematiğe aşina olan ve olasılık teorisinin teknik uygulamalarıyla ilgilenen kişilere yönelik bir ders kitabıdır. 1993 UAH (yalnızca Ukrayna) için satın alın
Olasılık teorisi. , Ventzel E.S.. Bu kitap, Print-on-Demand teknolojisi kullanılarak siparişinize uygun olarak üretilecektir. Kitap, sıradan kapsamda matematiğe aşina olan kişilere yönelik bir ders kitabıdır...

Annem çerçeveyi yıkadı

Uzun yaz tatillerinin sonunda, yavaş yavaş yüksek matematiğe dönmenin ve yeni bir bölüm oluşturmaya başlamak için boş Verdov dosyasını ciddiyetle açmanın zamanı geldi - . İtiraf ediyorum, ilk satırlar kolay değil ama ilk adım yolun yarısı, bu yüzden herkesin giriş makalesini dikkatlice incelemesini öneriyorum, bundan sonra konuya hakim olmak 2 kat daha kolay olacak! Hiç abartmıyorum. …Önümüzdeki 1 Eylül arifesinde, birinci sınıfı ve ilkokulu hatırlıyorum…. Harfler heceleri, heceler kelimeleri, kelimeler kısa cümleleri oluşturur - Annem çerçeveyi yıkadı. Turnver ve matematik istatistiklerinde ustalaşmak, okumayı öğrenmek kadar kolaydır! Ancak bunun için anahtar terimleri, kavramları ve tanımları ve ayrıca bu dersin konusu olan bazı özel kuralları bilmeniz gerekir.

Ama önce, lütfen okul yılının başlangıcı (devam etmesi, tamamlanması, uygun şekilde işaretlenmesi) için tebriklerimi kabul edin ve hediyeyi kabul edin. En iyi hediye bir kitaptır ve bağımsız çalışma için aşağıdaki literatürü öneriyorum:

1) Gmurman V.E. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik

Ondan fazla yeniden basımı yapılmış efsanevi bir ders kitabı. Anlaşılırlığı ve materyalin son derece basit sunumuyla öne çıkıyor ve ilk bölümlerin 6-7. Sınıflardaki öğrenciler için zaten tamamen erişilebilir olduğunu düşünüyorum.

2) Gmurman V.E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki problemleri çözme kılavuzu

Aynı Vladimir Efimovich'in ayrıntılı örnekler ve problemlerle dolu bir çözüm kitabı.

GEREKLİ OLARAK Her iki kitabı da internetten indirin veya kağıt orijinallerini alın! 60'lı ve 70'li yılların versiyonu da işe yarayacak, bu aptallar için daha da iyi. Her ne kadar "kuklalar için olasılık teorisi" ifadesi oldukça saçma gelse de, neredeyse her şey temel aritmetik işlemlerle sınırlı olduğundan. Ancak bazı yerlerde atlıyorlar türevler Ve integraller, ancak bu yalnızca bazı yerlerde geçerlidir.

Sunumda da aynı netliği yakalamaya çalışacağım ancak kursumun şuna yönelik olduğu konusunda uyarmalıyım: problem çözme ve teorik hesaplamalar minimumda tutulur. Bu nedenle, ayrıntılı bir teoriye, teoremlerin kanıtlarına (teoremler-teoremler!) ihtiyacınız varsa, lütfen ders kitabına bakın. Peki kim ister sorunları çözmeyi öğren olasılık teorisi ve matematiksel istatistikte mümkün olan en kısa sürede, beni takip et!

Başlangıç için bu kadar yeterli =)

Makaleleri okurken, dikkate alınan türlerdeki ek görevlerle (en azından kısaca) tanışmanız tavsiye edilir. Sayfada Yüksek matematik için hazır çözümlerÇözüm örneklerini içeren ilgili pdf'ler yayınlanacaktır. Önemli yardımlar da sağlanacak IDZ 18.1 Ryabushko(daha basit) ve IDZ'yi Chudesenko'nun koleksiyonuna göre çözdü(daha zor).

1) Miktar iki olay ve olaya bunun olacağı denir veya etkinlik veya etkinlik veya her iki olay da aynı anda. Olayların gerçekleşmesi durumunda uyumsuz, son seçenek kaybolur, yani ortaya çıkabilir veya etkinlik veya etkinlik .

Kural ayrıca daha fazla sayıda terim için de geçerlidir; örneğin etkinlik ne olacak en az bir olaylardan , A olaylar uyumsuzsa – o zaman tek bir şey ve tek bir şey bu miktardan olay: veya etkinlik , veya etkinlik , veya etkinlik , veya etkinlik , veya etkinlik .

Pek çok örnek var:

Olaylar (zar atarken 5 puan görünmeyecek) ortaya çıkacak olanlardır veya 1, veya 2, veya 3, veya 4, veya 6 puan.

Etkinlik (düşecek daha fazla yok iki nokta) 1'in görüneceğidir veya 2puan.

Etkinlik (çift sayıda nokta olacak) görünen şey veya 2 veya 4 veya 6 puan.

Olay şu ki desteden kırmızı kart (kalp) çekilecek veya tef) ve olay – “resim”in çıkarılacağını (jack veya bayan veya kral veya as).

Ortak etkinliklerde durum biraz daha ilginç:

Olay şu: Desteden bir sopa çekilecek veya Yedi veya yedi sinek Yukarıda verilen tanıma göre, En azından bir şey- veya herhangi bir kulüp veya herhangi bir yedi veya bunların "kesişimi" - yedi kulüp. Bu olayın 12 temel sonuca (9 sinek kartı + 3 kalan yedili) karşılık geldiğini hesaplamak kolaydır.

Olay şu ki yarın saat 12.00'de gelecek Toplanabilir ortak etkinliklerden EN AZ BİRİ, yani:

– veya yalnızca yağmur / yalnızca fırtına / yalnızca güneş olacak;
– veya yalnızca bazı olay çiftleri meydana gelecektir (yağmur + fırtına / yağmur + güneş / fırtına + güneş);
– veya üç olayın tümü aynı anda görünecektir.

Yani olay 7 olası sonucu içermektedir.

Olay cebirinin ikinci ayağı:

2) İş iki olay ve bu olayların ortaklaşa gerçekleşmesinden oluşan bir olayı çağırmak, diğer bir deyişle çarpma, bazı koşullar altında meydana geleceği anlamına gelir. Ve etkinlik , Ve etkinlik . Benzer bir ifade daha fazla sayıda olay için de geçerlidir; örneğin bir iş, belirli koşullar altında gerçekleşeceğini ima eder. Ve etkinlik , Ve etkinlik , Ve etkinlik , …, Ve etkinlik .

İki madeni paranın atıldığı bir test düşünün ve aşağıdaki olaylar:

– 1. madeni paranın üzerinde turalar görünecektir;
– 1. para tura gelecek;
– 2. madalyonun üzerinde turalar görünecektir;
– 2. para tura gelecek.

Daha sonra:
Ve 2'de) kafalar görünecek;
– olay şu ki her iki madeni parada da (1. Ve 2'sinde) tura olacak;
– olay şu ki 1. madalyonun tura gelmesi Ve 2. para yazıdır;
– olay şu ki 1. madalyonun tura gelmesi Ve 2. madeni paranın üzerinde kartal bulunmaktadır.

Olayları görmek kolaydır uyumsuz (çünkü örneğin aynı anda 2 tura ve 2 yazı olamaz) ve biçim tam grup (dikkate alındığından beri Tüm iki madeni para atmanın olası sonuçları). Bu olayları özetleyelim: . Bu girdi nasıl yorumlanır? Çok basit - çarpma mantıksal bağ anlamına gelir VE ve ekleme – VEYA. Böylece miktarın anlaşılır insan dilinde okunması kolaydır: “iki kafa görünecek veya iki kafa veya ilk para tura gelecek Ve 2. kuyrukta veya ilk para tura gelecek Ve 2. madeni paranın üzerinde bir kartal var"

Bu bir örnekti bir testte birden fazla nesne söz konusu, bu durumda iki madeni para. Pratik problemlerdeki diğer bir yaygın şema ise yeniden test etme Örneğin aynı zar art arda 3 kez atıldığında. Gösterim olarak aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:

– 1. atışta 4 puan alacaksınız;
– 2. atışta 5 puan alacaksınız;
– 3. atışta 6 puan alacaksınız.

Daha sonra olay yani ilk atışta 4 puan alacaksın Ve 2. atışta 5 puan alacaksınız Ve 3. atışta 6 puan alacaksınız. Açıktır ki, küp söz konusu olduğunda, yazı tura atmamızdan önemli ölçüde daha fazla kombinasyon (sonuç) olacaktır.

...Anlıyorum ki, analiz edilen örnekler belki çok ilgi çekici değil ama bunlar problemlerde sıklıkla karşılaşılan şeyler ve bunlardan kaçış yok. Bir madeni paranın yanı sıra, bir küp ve bir deste kart, rengarenk topların olduğu kutular, hedefe ateş eden birkaç isimsiz kişi ve sürekli bazı detayları taşlayan yorulmak bilmez bir işçi sizi bekliyor =)

Olayın olasılığı

Olayın olasılığı olasılık teorisinin merkezi kavramıdır. ...Çok mantıklı bir şey ama bir yerden başlamamız gerekiyordu =) Tanımına birkaç yaklaşım var:

;
Olasılığın geometrik tanımı ;
Olasılığın istatistiksel tanımı .

Bu makalede, eğitim görevlerinde en yaygın olarak kullanılan olasılığın klasik tanımına odaklanacağım.

Tanımlar. Belirli bir olayın olasılığı büyük bir Latin harfiyle gösterilir ve olayın kendisi bir tür argüman olarak parantez içine alınır. Örneğin:

Ayrıca küçük harf olasılığı belirtmek için yaygın olarak kullanılır. Özellikle olayların ve bunların olasılıklarının hantal tanımlarından vazgeçebilirsiniz. aşağıdaki tarzın lehine::

– yazı tura atıldığında yazı gelme olasılığı;
– bir zar atışının 5 puanla sonuçlanma olasılığı;
– desteden kulüp rengindeki bir kartın çekilme olasılığı.

Bu seçenek, çözümün kaydını önemli ölçüde azaltmanıza olanak tanıdığı için pratik sorunları çözerken popülerdir. İlk durumda olduğu gibi burada da “konuşan” alt simgeler/üst simgeler kullanmak uygundur.

Herkes yukarıda yazdığım rakamları uzun zamandır tahmin etti ve şimdi bunların nasıl ortaya çıktığını öğreneceğiz:

Olasılığın klasik tanımı:

Belirli bir testte bir olayın meydana gelme olasılığına oran denir; burada:

– hepsinin toplam sayısı eşit derecede mümkün, temel bu testin sonuçları, tam bir etkinlik grubu;

- miktar temel sonuçlar, uygun etkinlik.

Yazı tura atıldığında yazı veya tura düşebilir; bu olaylar tam grup dolayısıyla toplam sonuç sayısı; aynı zamanda her biri temel Ve eşit derecede mümkün. Olay sonuç (kafalar) tarafından tercih edilir. Olasılığın klasik tanımına göre: .

Benzer şekilde, bir zarın atılmasının bir sonucu olarak, tam bir grup oluşturan temel eşit derecede olası sonuçlar ortaya çıkabilir ve olay tek bir sonuç (beş atılması) tarafından desteklenir. Bu yüzden: BU YAPILMASI KABUL EDİLMEZ (her ne kadar kafanızdan yüzdeleri tahmin etmek yasak olmasa da).

Bir birimin kesirlerini kullanmak gelenekseldir ve açıkçası, olasılık içinde değişebilir. Ayrıca eğer öyleyse olay şu şekildedir: imkansız, Eğer - güvenilir ve eğer , o zaman bahsediyoruz rastgele etkinlik.

! Herhangi bir problemi çözerken başka bir olasılık değeri alırsanız hatayı arayın!

Olasılığın belirlenmesine yönelik klasik yaklaşımda, uç değerler (sıfır ve bir) tamamen aynı mantıkla elde edilir. İçinde 10 kırmızı top bulunan bir torbadan rastgele 1 top çekilsin. Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:

tek bir denemede düşük olasılıklı bir olay meydana gelmeyecektir.

Bu nedenle, bu olayın olasılığı diyelim ki 0,00000001 ise, piyangoda büyük ikramiyeyi tutturamayacaksınız. Evet, evet, belirli bir dolaşımdaki tek bilete sahip olan sizsiniz. Ancak daha fazla sayıda biletin ve daha fazla sayıda çekilişin size pek bir faydası olmayacaktır. ...Başkalarına bundan bahsettiğimde neredeyse her zaman şu yanıtı duyuyorum: "ama biri kazanıyor." Tamam, o zaman şu deneyi yapalım: lütfen bugün veya yarın herhangi bir piyango için bir bilet alın (gecikmeyin!). Ve eğer kazanırsanız... en azından 10 kilorubleden fazla kazanırsanız, kaydolduğunuzdan emin olun - bunun neden olduğunu açıklayacağım. Yüzde olarak elbette =) =)

Ancak üzülmeye gerek yok, çünkü bunun tersi bir prensip var: Eğer bir olayın olasılığı bire çok yakınsa, o zaman tek bir denemede gerçekleşecektir. neredeyse kesin olacak. Bu nedenle paraşütle atlamadan önce korkmanıza gerek yok; aksine gülümseyin! Sonuçta her iki paraşütün de arızalanması için tamamen düşünülemez ve fantastik koşulların ortaya çıkması gerekir.

Bütün bunlar lirizm olmasına rağmen, olayın içeriğine bağlı olarak, ilk prensip neşeli, ikincisi üzücü olabilir; hatta her ikisi de paraleldir.

Belki şimdilik bu kadar yeter sınıfta Klasik olasılık problemleri Formülden en iyi şekilde yararlanacağız. Bu makalenin son bölümünde önemli bir teoremi ele alacağız:

Tam bir grubu oluşturan olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir. Kabaca söylemek gerekirse, eğer olaylar tam bir grup oluşturuyorsa, o zaman %100 olasılıkla bunlardan biri gerçekleşecektir. En basit durumda, tam bir grup zıt olaylardan oluşur, örneğin:

– yazı tura atılması sonucunda tura gelecektir;
– yazı tura atmanın sonucu yazı olacaktır.

Teoreme göre:

Bu olayların eşit derecede mümkün olduğu ve olasılıklarının aynı olduğu kesinlikle açıktır. .

Olasılıkların eşitliğinden dolayı, eşit olasılıklı olaylara sıklıkla denir. eşit derecede muhtemel . Ve işte sarhoşluğun derecesini belirlemek için bir tekerleme =)

Küp örneği: olaylar zıttır, dolayısıyla .

Söz konusu teorem, ters olayın olasılığını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlaması açısından uygundur. Yani, beşin gelme olasılığı biliniyorsa, atılmama olasılığını hesaplamak kolaydır:

Bu, beş temel sonucun olasılıklarını özetlemekten çok daha basittir. Bu arada, temel sonuçlar için bu teorem de doğrudur:
. Örneğin, atıcının hedefi vurma olasılığı ise ıskalama olasılığıdır.

! Olasılık teorisinde harflerin başka amaçlarla kullanılması istenmeyen bir durumdur.

Bilgi Günü şerefine ödev vermeyeceğim =), ancak aşağıdaki soruları cevaplayabilmeniz çok önemli:

– Ne tür etkinlikler var?
– Bir olayın şansı ve eşit olasılığı nedir?
– Olayların uyumluluğu/uyumsuzluğu kavramını nasıl anlıyorsunuz?
– Karşıt olaylardan oluşan tam bir grup nedir?
– Olayların toplanması ve çarpımı ne anlama geliyor?
– Olasılığın klasik tanımının özü nedir?
– Tam bir grup oluşturan olayların olasılıklarını toplama teoremi neden faydalıdır?

Hayır, hiçbir şeyi sıkıştırmanıza gerek yok, bunlar yalnızca olasılık teorisinin temelleridir - kafanıza hızla sığacak bir tür başlangıç kitabı. Ve bunun bir an önce gerçekleşmesi için derslere alışmanızı öneririm.

Nizhny Novgorod Devlet Teknik Üniversitesi

onlara. A.E. Alekseeva

Disiplin olasılık teorisinin özeti

Tamamlayan: Ruchina N.A gr 10MEnz

Kontrol eden: Gladkov V.V.

Nijniy Novgorod, 2011

Olasılık teorisi……………………………………

Olasılık teorisinin konusu……………………………

Olasılık teorisinin temel kavramları……………

Rastgele olaylar, olayların olasılıkları………………………………………………………………

Limit teoremleri……………………………………

Rastgele süreçler………………………………………………………

Tarihsel referans…………………………………

Kullanılmış Kitaplar……………………………………………

Olasılık teorisi

Olasılık teorisi - Bazı rastgele olayların olasılıklarından, birinciyle bir şekilde ilişkili olan diğer rastgele olayların olasılıklarını bulmayı sağlayan bir matematik bilimi.

Bir olayın olasılık dahilinde gerçekleştiğini belirten ifade , Örneğin 0,75'e eşit olması tek başına nihai bir değeri temsil etmez, çünkü güvenilir bilgi için çabalıyoruz. Nihai bilişsel değer, olasılık teorisinin, herhangi bir olayın meydana gelme olasılığını belirtmemize olanak tanıyan sonuçlarıdır. A birliğe çok yakın veya (ki bu aynı şeydir) olayın gerçekleşmeme olasılığı Açok küçük. "Yeterince küçük olasılıkların ihmal edilmesi" ilkesi uyarınca böyle bir olayın pratikte kesin olduğu kabul edilir. Bilimsel ve pratik önemi olan bu tür sonuçlar genellikle bir olayın meydana gelip gelmediği varsayımına dayanır. Açok sayıda rastgele, az ilişkili faktöre bağlıdır . Dolayısıyla olasılık teorisinin çok sayıda rastgele faktörün etkileşimi sırasında ortaya çıkan örüntüleri aydınlatan bir matematik bilimi olduğunu da söyleyebiliriz.

Olasılık teorisinin konusu

Olasılık teorisinin konusu. Belirli koşullar arasındaki doğal ilişkiyi tanımlamak S ve olay A, Belirli koşullar altında oluşup oluşmaması kesin olarak belirlenebilen doğa bilimleri genellikle aşağıdaki iki şemadan birini kullanır:

a) Koşullar karşılandığında S bir olay geliyor A.Örneğin bu form, başlangıç koşulları ve bir cisim veya cisimler sistemi üzerine etki eden kuvvetler verildiğinde, hareketin benzersiz şekilde tanımlanmış bir şekilde gerçekleşeceğini belirten klasik mekaniğin tüm yasalarına sahiptir.

b) Koşullar altında S etkinlik A belli bir olasılık var P(GİBİ), eşittir R.Örneğin, radyoaktif radyasyon yasaları, her radyoaktif madde için, belirli bir zaman diliminde belirli miktardaki maddeden bazılarının bozunma olasılığının belirli olduğunu belirtir. N atomlar.

Buna olayın sıklığı diyelim A bu seride N testler (yani N koşulların tekrar tekrar uygulanması S) davranış h = m/n sayılar M hangi testler A toplam sayılarına ulaştılar N. Etkinliğin kullanılabilirliği A koşullar altında S belirli bir olasılık eşittir R, hemen hemen her yeterince uzun test serisinde olayın sıklığının artmasıyla kendini gösterir. A yaklaşık olarak eşit R.

İstatistiksel modeller, yani (b) tipi bir şemayla tanımlanan modeller, ilk olarak zar gibi kumar oyunlarında keşfedildi. Doğum ve ölüme ilişkin istatistiksel kalıplar da çok uzun zamandır bilinmektedir (örneğin, yeni doğmuş bir bebeğin erkek olma olasılığı 0,515'tir). 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın 1. yarısı. fizik, kimya, biyoloji vb. alanlarda çok sayıda istatistiksel yasanın keşfiyle işaretlenmiştir.

Olasılık teorisi yöntemlerinin birbirinden çok uzak bilim alanlarıyla ilgili istatistiksel modellerin incelenmesine uygulanma olasılığı, olayların olasılıklarının her zaman belirli basit ilişkileri sağlaması gerçeğine dayanmaktadır. Olay olasılıklarının özelliklerinin bu basit ilişkiler temelinde incelenmesi olasılık teorisinin konusudur.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisinin temel kavramları. Matematiksel bir disiplin olarak olasılık teorisinin temel kavramları, en basit şekilde, temel olasılık teorisi olarak adlandırılan çerçeve içerisinde tanımlanır. Her test T, Temel olasılık teorisinde dikkate alınan olaylardan yalnızca biriyle sonuçlanacak şekildedir. e 1 , E 2 ,..., E S (duruma bağlı olarak öyle ya da böyle). Bu olaylara deneme sonuçları denir. Her sonuçla e k pozitif sayı ilişkili R İle - bu sonucun olasılığı. Sayılar P k bire kadar eklemelisiniz. Daha sonra olaylar değerlendirilir A,“meydana gelir veya e Ben , veya e J ,..., veya e k" Sonuçlar e Ben , E J ,..., E k uygun denir A, ve tanım gereği olasılığı varsayıyorlar R(A) olaylar A, kendisi için uygun olan sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A) =P Ben +P S +… +P k . (1)

Özel durum P 1 =P 2 =...P s = 1/S formüle yol açar

R(A) =r/s.(2)

Formül (2), bir olayın olasılığının buna göre klasik olasılık tanımını ifade eder. A sayının oranına eşit R olumlu sonuçlar A, numaraya S tüm “eşit derecede mümkün” sonuçlar. Olasılığın klasik tanımı, “olasılık” kavramını sadece “eşit olasılık” kavramına indirgemekte ve net bir tanım yapılmamaktadır.

Örnek. İki zar atıldığında 36 olası sonucun her biri () ile gösterilebilir. Ben,J), Nerede Ben- ilk zarda atılan puanların sayısı, J-İkincisinde. Sonuçların eşit derecede olası olduğu varsayılmaktadır. Etkinlik A -“puanların toplamı 4” ise üç sonuç olumludur (1; 3), (2; 2), (3; 1). Buradan, R(A) = 3/36= 1/12.

Verilen herhangi bir olaya dayanarak iki yeni olay belirlenebilir: bunların birleşimi (toplam) ve kombinasyonu (çarpım).

Etkinlik İÇİNDE olay havuzu denir A 1 , A 2 ,...,A R ,-, şu şekilde ise: “gelir veya A 1 , veya A 2 ,..., veya A R ».

C olayına olayların birleşimi denir A 1 , A. 2 ,...,A R , eğer şu şekildeyse: “gelir ve A 1 , Ve A 2 ,..., Ve A R » . Olayların birleşmesi  işaretiyle, birleşimi ise  işaretiyle gösterilir. Böylece şunu yazıyorlar:

B =A 1  A 2  …  A R , C = A 1  A 2  …  A R .

Olaylar A Ve İÇİNDE Eş zamanlı uygulanması imkansızsa, yani test sonuçları arasında tek bir olumlu sonuç yoksa uyumsuz olarak adlandırılır ve A Ve İÇİNDE.

Olayları birleştirme ve birleştirmeyle ilgili tanıtılan işlemler, olasılık teorisinin iki ana teoremi ile ilişkilidir - olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremleri.

Olasılık toplama teoremi: Eğer olaylar A 1 ,A 2 ,...,A R her ikisi de uyumsuz ise birleşme olasılıkları olasılıklarının toplamına eşittir.

Yani, yukarıdaki iki zar atma örneğinde olay İÇİNDE -“puanların toplamı 4'ü geçmiyor”, birbiriyle bağdaşmayan üç olayın birleşimi var A 2 ,A 3 ,A 4, puanların toplamının sırasıyla 2, 3, 4'e eşit olması gerçeğinden oluşur. Bu olayların olasılığı 1/36'dır; 2/36; 3/36. Toplama teoremine göre olasılık R(İÇİNDE) eşittir

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Olaylar A 1 ,A 2 ,...,A Bunlardan her birinin koşullu olasılığı, diğerlerinden herhangi birinin gerçekleşmesi koşuluyla, "koşulsuz" olasılığına eşitse bağımsız olarak adlandırılır.

Olasılık çarpım teoremi: Olayları birleştirme olasılığı A 1 ,A 2 ,...,A r olayın olasılığına eşittir A 1 , olayın olasılığı ile çarpılır A 2 şu şartla alındı A 1 meydana geldi,..., olayın olasılığı ile çarpıldı Aşu şartla ki A 1 ,A 2 ,...,A r-1 geldi. Bağımsız olaylar için çarpma teoremi şu formüle yol açar:

P(A 1 A 2 …A R) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A R), (3)

yani bağımsız olayların bir araya gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Formül (3) her iki kısmında da bazı olayların karşıtlarıyla değiştirilmesi durumunda geçerliliğini korur.

Örnek. Atış başına isabet olasılığı 0,2 olan hedefe 4 atış yapılır. Farklı atışlardan elde edilen hedef isabetlerinin bağımsız olaylar olduğu varsayılır. Hedefi tam olarak üç kez vurma olasılığı nedir?

Her test sonucu dört harften oluşan bir diziyle gösterilebilir [örneğin, (y, n, n, y), birinci ve dördüncü atışların isabet ettiği (başarılı) ve ikinci ve üçüncü atışların isabet etmediği (başarısız) anlamına gelir). Toplam 2·2·2·2 = 16 sonuç olacaktır. Bireysel atış sonuçlarının bağımsızlığı varsayımına uygun olarak, bu sonuçların olasılıklarını belirlemek için formül (3) ve buna ilişkin bir not kullanılmalıdır. Bu nedenle, sonucun olasılığı (y, n. n, n) 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024'e eşit olarak ayarlanmalıdır; burada 0,8 = 1-0,2 tek atışta ıskalama olasılığıdır. “Hedefe üç kez vurulması” olayı (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) sonuçları tarafından tercih edilmektedir. (n, y, y, y), her birinin olasılığı aynıdır:

0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;

bu nedenle gerekli olasılık eşittir

4·0,0064 = 0,0256.

Analiz edilen örneğin mantığını özetleyerek olasılık teorisinin temel formüllerinden birini türetebiliriz: eğer olaylar A 1 , A 2 ,...,A N bağımsızdır ve her olasılığa sahiptir R, o zaman gerçekleşme olasılığı tam olarak M hangisi eşittir

P N (M)= C N M P M (1 - s) n-m ; (4)

Burada C N M kombinasyon sayısını ifade eder N tarafından elemanlar M. Genel olarak N formül (4) kullanılarak yapılan hesaplamalar zorlaşır.

Temel olasılık teorisinin temel formülleri arasında aynı zamanda sözde toplam olasılık formülü: eğer olaylar A 1 , A 2 ,...,A R ikili olarak uyumsuzdur ve birleşmeleri güvenilir bir olaydır, o zaman herhangi bir olay için İÇİNDE olasılığı bunların toplamına eşittir.

Olasılık çarpım teoremi özellikle bileşik testler dikkate alındığında faydalıdır. Bunun bir test olduğunu söylüyorlar T testlerden oluşan T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N, Eğer her test sonucu T bazı sonuçların bir kombinasyonu var A Ben , B J ,..., X k ,Y ben ilgili testler T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N. Şu ya da bu nedenle olasılıklar sıklıkla bilinir

P(A Ben), P(B J /A Ben), …,P(e ben /A Ben B J …X k). (5)

Çarpma teoremi kullanılarak olasılıklardan (5) olasılıklar belirlenebilir R(e) tüm sonuçlar için e bileşik test ve aynı zamanda bu testle ilişkili tüm olayların olasılığı. Pratik açıdan bakıldığında, iki tür bileşik test en önemlileri gibi görünmektedir:

a) Testin bileşenleri bağımsızdır, yani olasılıklar (5) koşulsuz olasılıklara eşittir P(A Ben), P(B J),..., P(e ben);

b) herhangi bir testin sonuçlarının olasılıkları yalnızca hemen önceki testin sonuçlarından etkilenir, yani olasılıklar (5) sırasıyla eşittir: P(A Ben), P(B J /A Ben),..., P(e Ben /X k). Bu durumda Markov zincirine bağlı testlerden bahsediyoruz. Bileşik bir testle ilgili tüm olayların olasılıkları burada tamamen başlangıç olasılıkları tarafından belirlenir. R(A Ben) ve geçiş olasılıkları P(B J /A Ben),..., P(e ben /X k).

Olasılık teorisindeki temel formüller

Olasılık teorisinin formülleri.

1. Kombinatoriklerin temel formülleri

a) permütasyonlar.

\b) yerleştirme

c) kombinasyonlar .

2. Olasılığın klasik tanımı.

Olay için olumlu sonuçların sayısı nerede, eşit derecede olası tüm temel sonuçların sayısıdır.

3. Olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılıklarını eklemek için teorem:

Ortak olayların olasılıklarını eklemek için teorem:

4. Olayların gerçekleşme olasılığı

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak için teorem:

Bağımlı olayların olasılıklarını çarpmak için teorem:

Olayın meydana geldiği göz önüne alındığında, bir olayın koşullu olasılığı

Olayın meydana geldiği göz önüne alındığında, bir olayın koşullu olasılığı.

Kombinatorik, verilen nesnelerden belirli koşullara bağlı olarak kaç farklı kombinasyonun yapılabileceğiyle ilgili soruları inceleyen bir matematik dalıdır. Kombinatoriğin temelleri rastgele olayların olasılıklarını tahmin etmek için çok önemlidir, çünkü Olayların gelişimi için temelde mümkün olan farklı seçeneklerin sayısını hesaplamamıza izin verenler onlardır.

Kombinatoriklerin temel formülü

K tane element grubu olsun ve i'inci grup ni elementten oluşsun. Her gruptan bir öğe seçelim. Daha sonra böyle bir seçimin yapılabileceği yolların toplam sayısı N, N=n1*n2*n3*...*nk ilişkisi ile belirlenir.

Örnek 1. Bu kuralı basit bir örnekle açıklayalım. İki element grubu olsun ve ilk grup n1 elementten, ikincisi ise n2 elementten oluşsun. Bu iki gruptan, her gruptan bir eleman bulunacak şekilde kaç farklı eleman çifti oluşturulabilir? Diyelim ki birinci gruptan ilk elemanı aldık ve onu değiştirmeden tüm olası çiftleri inceledik, yalnızca ikinci grubun elemanlarını değiştirdik. Bu eleman için böyle n2 çift var. Daha sonra birinci gruptan ikinci elemanı alıyoruz ve onun için mümkün olan tüm çiftleri de oluşturuyoruz. Ayrıca bu tür n2 tane çift olacaktır. İlk grupta yalnızca n1 eleman bulunduğundan toplam olası seçenekler n1*n2 olacaktır.

Örnek 2. Eğer rakamlar tekrarlanabiliyorsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından kaç tane üç basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

Çözüm: n1=6 (çünkü ilk rakam olarak 1, 2, 3, 4, 5, 6'dan herhangi bir sayıyı alabilirsiniz), n2=7 (çünkü ikinci rakam olarak 0'dan herhangi bir sayıyı alabilirsiniz, 1, 2) , 3, 4, 5, 6), n3=4 (çünkü 0, 2, 4, 6'dan herhangi bir sayı üçüncü rakam olarak alınabilir).

Yani N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Tüm grupların aynı sayıda öğeden oluşması durumunda; n1=n2=...nk=n her seçimin aynı gruptan yapıldığını ve seçimden sonraki elemanın gruba geri döndüğünü varsayabiliriz. O halde tüm seçim yöntemlerinin sayısı nk'ye eşittir. Bu seçim yöntemine geri dönüşlü örnekleme adı verilir.

Örnek. 1, 5, 6, 7, 8 rakamlarından kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir?

Çözüm. Dört basamaklı bir sayının her basamağı için beş olasılık vardır, bu da N=5*5*5*5=54=625 anlamına gelir.

N elemandan oluşan bir küme düşünün. Bu kümeye genel popülasyon adını vereceğiz.

Tanım 1. n öğenin m'ye göre düzenlenmesi, n öğeden oluşan bir popülasyondan seçilen m farklı öğeden oluşan herhangi bir sıralı kümedir.

Örnek. Üç elemanın (1, 2, 3) ikişer ikişer farklı düzenlemeleri (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) kümeleri olacaktır. , 2 ). Yerleşimler hem öğeler hem de sıralama açısından birbirinden farklı olabilir.

Yerleştirme sayısı A, n'den m ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Not: n!=1*2*3*...*n (okuyun: "en faktöriyel"), ayrıca 0!=1 olduğu varsayılır.

Örnek 5. Onlar basamağı ile birler basamağı farklı ve tek olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Çözüm: çünkü Beş tek rakam varsa, yani 1, 3, 5, 7, 9, o zaman bu görev, beş farklı rakamdan ikisini seçip iki farklı konuma yerleştirmekten ibarettir; belirtilen sayılar şöyle olacaktır:

Tanım 2. m'nin n öğesinin birleşimi, n öğeden oluşan bir popülasyondan seçilen m farklı öğeden oluşan herhangi bir sırasız kümedir.

Örnek 6. Bir (1, 2, 3) kümesi için kombinasyonlar (1, 2), (1, 3), (2, 3)'tür.

Kombinasyonların sayısı Cnm ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Tanım 3. N elemanlı bir permütasyon, bu elemanların herhangi bir sıralı kümesidir.

Örnek 7a. Üç elemandan (1, 2, 3) oluşan bir kümenin tüm olası permütasyonları şunlardır: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elemanın farklı permütasyonlarının sayısı Pn ile gösterilir ve Pn=n! formülüyle hesaplanır.

Örnek 8. Farklı yazarların yedi kitabı bir rafta tek sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: Bu problem yedi farklı kitabın permütasyon sayısı ile ilgilidir. Kitapları düzenlemenin P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 yolu vardır.

Tartışma. Olası kombinasyon sayısının farklı kurallara (permütasyonlar, kombinasyonlar, yerleşimler) göre hesaplanabileceğini ve sonucun farklı olacağını görüyoruz çünkü Hesaplama prensibi ve formüllerin kendisi farklıdır. Tanımlara dikkatlice baktığınızda sonucun aynı anda birçok faktöre bağlı olduğunu fark edeceksiniz.

Öncelikle kümelerini kaç elementten birleştirebiliriz (elemanların toplamı ne kadar büyük).

İkinci olarak sonuç, ihtiyacımız olan eleman setlerinin boyutuna bağlıdır.

Son olarak kümedeki elemanların sırasının bizim için önemli olup olmadığını bilmek önemlidir. Son faktörü aşağıdaki örnekle açıklayalım.

Örnek. Veli toplantısında 20 kişi bulunuyor. Eğer 5 kişiden oluşması gerekiyorsa veli komitesinin oluşumu için kaç farklı seçenek vardır?

Çözüm: Bu örnekte komite listesindeki isimlerin sırası ile ilgilenmiyoruz. Sonuç olarak aynı kişilerin bu işin bir parçası olduğu ortaya çıkarsa, o zaman bizim açımızdan bu da aynı seçenektir. Bu nedenle 5'in 20 elementinin kombinasyon sayısını saymak için bir formül kullanabiliriz.

Her komite üyesinin başlangıçta belirli bir çalışma alanından sorumlu olması durumunda işler farklı olacaktır. O halde, komitenin aynı liste bileşimine sahip olması durumunda, içinde muhtemelen 5 kişi vardır! önemli olan permütasyonlar. Farklı (hem kompozisyon hem de sorumluluk alanı açısından) seçeneklerin sayısı bu durumda 20 elementin 5'lik yerleşim sayısına göre belirlenir.

Olasılığın geometrik tanımı

Rastgele bir testin, bir G geometrik bölgesine (düz bir çizgi, düzlem veya uzay üzerinde) rastgele bir nokta atılması olarak hayal edilsin. Temel sonuçlar G'nin bireysel noktalarıdır, herhangi bir olay bu alanın bir alt kümesidir, G'nin temel sonuçların uzayıdır. G'nin tüm noktalarının “eşit” olduğunu varsayabiliriz ve bu durumda bir noktanın belirli bir alt kümeye düşme olasılığı şöyledir: ölçüsüyle (uzunluk, alan, hacim) orantılıdır ve konumuna ve şekline bağlı değildir.

A olayının geometrik olasılığı aşağıdaki ilişkiyle belirlenir: burada m(G), m(A), temel sonuçların ve A olayının tüm uzayının geometrik ölçümleridir (uzunluklar, alanlar veya hacimler).

Örnek. Yarıçapı r () olan bir daire, grafiği 2d genişliğinde paralel şeritlerle çizilen ve eksen çizgileri arasındaki mesafe 2D'ye eşit olan bir düzlem üzerine rastgele atılıyor. Çemberin belirli bir şeritle kesişme olasılığını bulun.

Çözüm. Bu testin temel sonucu olarak, dairenin merkezinden daireye en yakın şeridin merkez çizgisine kadar olan x mesafesini dikkate alacağız. O zaman temel sonuçların tüm uzayı bir segmenttir. Bir dairenin bir şeritle kesişmesi, merkezi şeridin içine düşerse, yani veya şeridin kenarından yarıçaptan daha az bir mesafede bulunursa, yani.

İstenilen olasılık için şunu elde ederiz: .

Olayların olası, olası ve rastgele olarak sınıflandırılması. Basit ve karmaşık temel olay kavramları. Olaylara ilişkin işlemler. Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı ve özellikleri. Olasılık teorisinde kombinatorik unsurları. Geometrik olasılık. Olasılık teorisinin aksiyomları.

1. Olayların sınıflandırılması

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Bir olay, bir deneyim veya test sonucunda ortaya çıkabilecek herhangi bir olgudur. Deneyim veya test derken, belirli bir dizi koşulun uygulanmasını kastediyoruz.

Olay örnekleri:

- silahla ateş edildiğinde hedefi vurmak (deneyim - atış yapmak; olay - hedefi vurmak);

– üç kez yazı tura atıldığında iki amblemin kaybı (deneyim - üç kez yazı tura atma; olay - iki amblemin kaybı);

– bir hedefe olan mesafeyi ölçerken, belirlenen sınırlar dahilinde bir ölçüm hatasının ortaya çıkması (deneyim - menzil ölçümü; olay - ölçüm hatası).

Buna benzer sayısız örnek verilebilir. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle vb. gösterilir.

Ortak ve ortak olmayan olaylar arasında bir ayrım yapılır. Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi halde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay - ilk zara düşen üç puan, olay - ikinci zara düşen üç puan ve - ortak olaylar. Mağazanın aynı stil ve bedende ancak farklı renklerde bir grup ayakkabı almasına izin verin. Etkinlik - Rastgele alınan bir kutunun siyah ayakkabılar içerdiği ortaya çıkar, bir etkinlik - kutunun kahverengi ayakkabılar içerdiği ortaya çıkar ve - uyumsuz olaylar.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşeceği kesin olan bir olaya güvenilir denir.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşemeyen bir olaya imkansız denir. Örneğin, standart parçalardan oluşan bir partiden standart bir parçanın alınması durumu güvenilirdir ancak standart olmayan bir parçanın alınması imkansızdır.

Bir olay, deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabiliyor ancak görünmeyebilirse, olası veya rastgele olarak adlandırılır. Rastgele bir olaya örnek olarak, bir bitmiş ürün grubunun denetimi sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenmiş ürünün boyutu ile belirtilen ürün arasında bir tutarsızlık veya otomatik kontrol sistemindeki bağlantılardan birinin arızası verilebilir. .

Test koşullarına göre bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha olası değilse, olaylara eşit derecede mümkün denir. Örneğin, birkaç üretim tesisinin bir mağazaya (ve eşit miktarlarda) ampul tedarik ettiğini varsayalım. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren etkinlikler de aynı derecede mümkündür.

Önemli kavram olayların tam grubudur. Belirli bir deneydeki birçok olay, eğer deney sonucunda bunlardan en az birinin ortaya çıkacağından eminse, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir kavanozda altısı kırmızı, dördü beyaz ve beşi sayılara sahip on top vardır. - bir çekilişte kırmızı bir topun ortaya çıkması, - beyaz bir topun ortaya çıkması, - üzerinde rakam bulunan bir topun ortaya çıkması. Etkinlikler, ortak etkinliklerin tam bir grubunu oluşturur.

Karşıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Zıt bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka gerçekleşmesi gereken bir olaydır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Örneğin, eğer üretilmiş bir ürün grubu iyi ve kusurlu ürünlerden oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bunun ya iyi bir olay, ya da kusurlu bir olay olduğu ortaya çıkabilir.

2. Olaylara ilişkin işlemler

Olasılık teorisinde rastgele olayları incelemek için bir aparat ve metodoloji geliştirirken, olayların toplamı ve çarpımı kavramı çok önemlidir.

Olay sınıflandırması

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Altında etkinlik Bir deneyim ya da test sonucunda ortaya çıkabilecek her türlü gerçeği anlayabilir. Altında deneyim, veya Ölçek, belirli bir dizi koşulun uygulanmasını ifade eder.

Olay örnekleri:

Buna benzer sayısız örnek verilebilir. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle vb. gösterilir.

Ayırt etmek ortak etkinlikler Ve uyumsuz. Birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini engellemiyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay ilk zarda üç puan kaybı, ikinci zarda üç puan kaybı olayıdır. ve - ortak etkinlikler. Mağazanın aynı stil ve bedende ancak farklı renklerde bir grup ayakkabı almasına izin verin. Etkinlik - rastgele alınan bir kutuda siyah ayakkabılar bulunur, bir etkinlik - kutuda kahverengi ayakkabılar bulunur ve - uyumsuz etkinlikler.

Olayın adı güvenilir Belirli bir deneyin koşulları altında meydana geleceği kesin ise.

Olayın adı olası, veya rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak görünebilirse de görünmeyebilir. Rastgele bir olaya örnek olarak, bir bitmiş ürün grubunun denetimi sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenmiş ürünün boyutu ile belirtilen ürün arasında bir tutarsızlık veya otomatik kontrol sistemindeki bağlantılardan birinin arızası verilebilir. .

Olaylar denir eşit derecede mümkün, eğer test koşullarına göre bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha mümkün değilse. Örneğin, birkaç üretim tesisinin bir mağazaya (ve eşit miktarlarda) ampul tedarik ettiğini varsayalım. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren etkinlikler de aynı derecede mümkündür.

Önemli bir kavram tam bir etkinlik grubu. Belirli bir deneydeki birçok olay, eğer deney sonucunda bunlardan en az birinin ortaya çıkacağından eminse, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir kavanozda altısı kırmızı, dördü beyaz ve beşi sayılara sahip on top vardır. - bir çekilişte kırmızı bir topun ortaya çıkması, - beyaz bir topun ortaya çıkması, - üzerinde rakam bulunan bir topun ortaya çıkması. Etkinlikler, ortak etkinliklerin tam bir grubunu oluşturur.

Karşıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Altında zıt Bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka meydana gelmesi gereken bir olay olarak anlaşılmaktadır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Örneğin, üretilen ürünlerin bir partisi iyi ve kusurlu ürünlerden oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bunun ya iyi bir olay ya da kusurlu bir olay olduğu ortaya çıkabilir.

Olaylara ilişkin işlemler

Olasılık teorisinde rastgele olayları incelemek için bir aparat ve metodoloji geliştirirken, olayların toplamı ve çarpımı kavramı çok önemlidir.

Birkaç olayın toplamı veya birleşimi, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların toplamı şu şekilde gösterilir:

Örneğin, bir olay hedefi ilk atışla vuruyorsa, bir olay - ikinciyle, o zaman olay genel olarak hedefi vuruyorsa, hangi atışla olduğu önemli değildir - birinci, ikinci veya her ikisi.

Birkaç olayın ürünü veya kesişimi, tüm bu olayların ortaklaşa meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların üretimi belirtilir

Örneğin, ilk atışta hedefin vurulması olayı ise, ikinci atışta hedefin vurulması olayı ise, her iki atışta hedefin vurulması olayıdır.

Olayların toplamı ve çarpımı kavramlarının açık bir geometrik yorumu vardır. Olay, alana giren bir noktadan oluşsun, olay, alana giren noktadan oluşsun, o halde olay, Şekil 2'de gölgelenen alana giren noktadan oluşsun. Şekil 1'de gösterilen olay, bir noktanın Şekil 2'de gölgelenen alana çarpmasıdır. 2.

Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı

Olayları, meydana gelme olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçüm uygulanır.

Bir olayın olasılığı, bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının ölçüsünü ifade eden bir sayıdır.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.

Bir olayın olasılığı, benzersiz biçimde mümkün, eşit derecede mümkün ve bağdaşmaz durumların toplam sayısı içinden kendisi için uygun olan durumların sayısına oranına eşittir. yani.

Bu olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurarak, benzersiz bir şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, bunların toplam sayısını, belirli bir durum için uygun olan durumların sayısını hesaplamak gerekir. olayı belirleyin ve ardından formül (1.1)'i kullanarak hesaplamayı yapın.

Formül (1.1)'den, bir olayın olasılığının negatif olmayan bir sayı olduğu ve olumlu vaka sayısının toplam vaka sayısına oranına bağlı olarak sıfırdan bire değişebileceği sonucu çıkar:

Olasılığın Özellikleri

Mülk 1. Belirli bir olay için tüm durumlar uygunsa, o zaman bu olayın gerçekleşmesi kesindir. Sonuç olarak, söz konusu olay güvenilirdir ve gerçekleşme olasılığı da bu durumda olduğundan

Mülk 2. Bir olayın tek bir olumlu durumu yoksa bu olayın tecrübe sonucu meydana gelmesi mümkün değildir. Sonuç olarak, söz konusu olay imkânsızdır ve meydana gelme olasılığı şudur: Bu durumda:

Mülk 3. Tam bir grubu oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Mülk 4. Ters olayın meydana gelme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir:

zıt olayın meydana gelmesine elverişli vakaların sayısı nerede? Dolayısıyla zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile olayın meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütmeye dayanarak belirlenebilmesidir.

Örnek 1. Abone, telefon numarasını çevirirken bir rakamı unutup rastgele çevirmiştir. Doğru numaranın çevrilme olasılığını bulun.

Çözüm. İstenilen numaranın çevrilmesi olayını belirtelim. Abone 10 rakamdan herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar tek olasıdır (rakamlardan biri çevrilmelidir) ve eşit derecede mümkündür (rakam rastgele aranır). Olayı destekleyen yalnızca bir sonuç vardır (gerekli yalnızca bir sayı vardır). Gerekli olasılık, olay için olumlu sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranına eşittir:

Kombinatorik elemanları

Olasılık teorisinde yerleşimler, permütasyonlar ve kombinasyonlar sıklıkla kullanılır. Bir set verilirse, o zaman yerleştirme (kombinasyon) elemanların by kümesinin elemanlarının herhangi bir sıralı (sırasız) alt kümesidir. Yerleştirildiğinde çağrılır yeniden düzenleme elementlerden.

Örneğin bir küme verilmiş olsun. Bu ikili kümenin üç elemanının yerleşimleri , , , , , ; kombinasyonlar - , , .

İki kombinasyon en az bir öğe açısından farklılık gösterir ve yerleşimler ya öğelerin kendisinde ya da göründükleri sıraya göre farklılık gösterir. Elementlerin kombinasyonlarının sayısı formülle hesaplanır.

elemanların yerleşim sayısıdır; - elemanların permütasyon sayısı.

Örnek 2. 10 parçalık bir partide 7 standart parça vardır. Rastgele alınan 6 parçadan tam olarak 4 tanesinin standart parça olma olasılığını bulun.

Çözüm. Olası test sonuçlarının toplam sayısı, 10 parçadan 6 parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına, yani 6'nın 10 öğesinin kombinasyon sayısına eşittir. Olay için uygun olan sonuçların sayısı (6 parça arasında) alınan parçalardan tam 4 adet standart parça vardır) şu şekilde belirlenir: 7 standart parçadan farklı şekillerde 4 standart parça alınabilir; bu durumda geri kalan parçalar standart dışı olmalıdır; Standart olmayan parçalardan standart olmayan 2 parçayı çıkarmanın yolları vardır. Bu nedenle, olumlu sonuçların sayısı eşittir. Başlangıç olasılığı, olaya uygun sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranına eşittir:

Olasılığın istatistiksel tanımı

Formül (1.1), yalnızca deneyimin bir vaka modeline indirgenmesi durumunda olayların olasılıklarını doğrudan hesaplamak için kullanılır. Pratikte, olasılığın klasik tanımı genellikle iki nedenden dolayı uygulanamaz: Birincisi, olasılığın klasik tanımı, toplam vaka sayısının sonlu olması gerektiğini varsayar. Aslında çoğu zaman sınırlı değildir. İkincisi, bir deneyin sonuçlarını eşit derecede olası ve uyumsuz olaylar biçiminde sunmak çoğu zaman imkansızdır.

Tekrarlanan Deneyler sırasında olayların meydana gelme sıklığı, bazı sabit değerler etrafında istikrar kazanma eğilimindedir. Böylece, frekansların etrafında gruplandığı ve deneylerin gerçekleştirildiği koşullar kümesi ile olay arasındaki nesnel bağlantının bir özelliği olan, ele alınan olayla belirli bir sabit değer ilişkilendirilebilir.

Rastgele bir olayın olasılığı, deneme sayısı arttıkça bu olayın frekanslarının etrafında gruplandırıldığı sayıdır.

Olasılığın bu tanımına denir istatistiksel.

Olasılığı belirlemeye yönelik istatistiksel yöntemin avantajı, gerçek bir deneye dayanmasıdır. Bununla birlikte, önemli dezavantajı, olasılığı belirlemek için çok sayıda deney yapılmasının gerekli olmasıdır ve bunlar sıklıkla malzeme maliyetleriyle ilişkilidir. Bir olayın olasılığının istatistiksel tanımı, bu kavramın içeriğini tam olarak ortaya koysa da, olasılığın fiilen hesaplanmasını mümkün kılmaz.

Olasılığın klasik tanımı, sonlu sayıda eşit derecede olası olayların tam grubunu dikkate alır. Uygulamada olası test sonuçlarının sayısı genellikle sonsuzdur. Bu gibi durumlarda klasik olasılık tanımı geçerli değildir. Ancak bazen bu gibi durumlarda başka bir olasılık hesaplama yöntemi kullanabilirsiniz. Kesinlik sağlamak için kendimizi iki boyutlu durumla sınırlandırıyoruz.

Düzlemde başka bir alan bölgesini içeren belirli bir alan bölgesi verilsin (Şekil 3). Bu alana rastgele bir nokta atılıyor. Bölgeye bir noktanın düşme olasılığı nedir? Rastgele atılan bir noktanın bölgedeki herhangi bir noktaya çarpabileceği, bölgenin herhangi bir yerine çarpma olasılığının parçanın alanıyla orantılı olduğu, konumuna ve şekline bağlı olmadığı varsayılmaktadır. Bu durumda alana girme olasılığı

Dolayısıyla genel durumda, bir noktanın belirli bir alan içindeki bir çizgi, düzlem veya uzayda rastgele görünme olasılığı, bu alanın konumu ve sınırları ile değil, yalnızca boyutuyla, yani uzunluğuyla belirlenirse. , alan veya hacim, ardından Rastgele bir noktanın belirli bir bölgeye düşme olasılığı, bu bölgenin boyutunun, belirli bir noktanın görünebileceği tüm bölgenin boyutuna oranı olarak tanımlanır. Bu olasılığın geometrik tanımıdır.

Örnek 3. Yuvarlak bir hedef sabit açısal hızla dönmektedir. Hedefin beşte biri yeşile, geri kalanı beyaza boyanmıştır (Şek. 4). Hedefe öyle bir atış yapılır ki, hedefi vurmak güvenilir bir olaydır. Yeşil renkli hedef sektörü vurma olasılığını belirlemeniz gerekiyor.

Çözüm. "Atış yeşil renkli sektöre çarptı" ifadesini kullanalım. Daha sonra . Olasılık, hedefin herhangi bir kısmını vurmak eşit derecede mümkün olduğundan, hedefin yeşil boyalı kısmının alanının hedefin tüm alanına oranı olarak elde edilir.

Olasılık teorisinin aksiyomları

Rastgele bir olayın olasılığının istatistiksel tanımından, bir olayın olasılığının, bu olayın deneysel olarak gözlemlenen frekanslarının etrafında gruplandırıldığı sayı olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle olasılık teorisinin aksiyomları, bir olayın olasılığının frekansın temel özelliklerine sahip olmasını sağlayacak şekilde tanıtılmıştır.

Aksiyom 1. Her olay, koşulu karşılayan ve olasılığı adı verilen belirli bir sayıya karşılık gelir.