Üstel büyüme. İş hayatında güç yasaları

Albert Einstein'a dünyadaki en güçlü gücün adı sorulduğunda tereddüt etmeden şu cevabı verdi: "Bileşik faiz."

Uzun bir büyüme döneminin doğasını ve sonuçlarını gerçekten anlamak bir deha gerektirir. Deneyler, matematikte iyi olan eğitimli kişilerin bile büyümenin etkilerini önemli ölçüde küçümseme eğiliminde olduklarını göstermiştir. Örneğin, bir çalışmada* deneklerden, 1976 yılında yıllık 1.000 traktör üretimiyle faaliyete geçen ve talebin her yıl yüzde 6 arttığı bir traktör fabrikasının gerekli verimliliğini tahmin etmeleri istendi. Onlara fabrikanın 1990, 2020, 2050 ve 2080'de kaç traktör üretmesi gerektiği soruldu. Tipik cevaplar kademeli doğrusal artışlara dayanıyordu ve bu nedenle 1990 öncesindeki talep tahminleri doğru cevaba oldukça yakındı. Ancak sonraki doğru yanıtların sayısı "katlanarak" artarken, yanıt verenlerin puanları istikrarlı bir artışa dayanmaya devam etti. Ankete katılanların çoğu, 2080 yılında talebin yaklaşık 30.000 traktör olacağını, doğru cevabın ise 350.000 civarında olacağını ve bunun 10 kattan fazla olduğunu söyledi!

Şimdi bilmeceyi tahmin edin. 13 bin metrekare alana sahip gölette. ayak, bir nilüfer yaprağı yüzer ve 1 karelik bir alanı kaplar. ayak. Bir hafta sonra zaten iki yaprak var. İki hafta içinde dört. Nilüferlerin tüm havuzu kaplamasının ne kadar süreceğini hesaplayın.

16 hafta içinde gölün yarısını kaplayacaklar. Şimdi söyle bana, göletin tamamının nilüferlerle kaplanması ne kadar sürer? Nilüferlerin gölün yarısını kaplaması 16 hafta sürdü. Ancak yaprak alanı her hafta iki katına çıktığı için ikinci yarıyı kapatmak için bir hafta yeterli olacaktır. Son cevap 17 haftadır.

* Santimetre.: ^ Dietrich Dörner. Başarısızlığın mantığı: işler neden ters gidiyor ve bunları iyileştirmek için neler yapabiliriz? (Dietrich Dorner. Başarısızlığın Mantığı: İşler Neden Yanlış Gidiyor ve Bunları Düzeltmek için Ne Yapabiliriz? 1996, Metropolitan Kitapları, New York). Orijinali 1989 yılında Almanya'da Rowohlt Verlag tarafından "Die Logik des Misslingcns" başlığı altında yayınlandı.

Satrancın mucidini ödüllendirmek isteyen Hint kralı hakkındaki masalı hatırlıyor musunuz? Mucit sadece birkaç pirinç tanesi istedi: bir hücreye bir tane, ikinciye iki tane, üçüncüye dört tane ve bu şekilde diğer tüm hücrelere koyun. Kral, bilgenin mütevazı davrandığını düşünüyordu - ta ki son bir hücrenin 9.223.372.036.000.000.000 tahıl veya yaklaşık 153 milyar ton veya iki buçuk milyondan fazla devasa (her biri 60.000 ton) kuru yük gemisini yüklemesi gerektiği ortaya çıkana kadar. yanlarına kadar pirinçle doldurulmuş. Ve bunların hepsi "üstel" büyümeden kaynaklanıyor, bu durumda her hücredeki pirinç tanelerinin ikiye katlanması.

^ Üstel büyümenin özü nedir?

Üs, bir miktarın kendisiyle kaç kez çarpılması gerektiğini gösteren sayıdır. Örneğin üs 3 ve büyüklük 4 ise 4 3 ifadesi 4 x 4x4 yani 64 anlamına gelir. Matematiksel ifade en 2 araç en X en, A 2 sayısı üstür.

Üstel büyümenin doğrusal büyümeden farkı nedir? Doğrusal büyüme ile değer her aşamada artar. aynı şey tamam ve açık değil çoklu sayı. Başlangıç ​​sermayem 1.000$ ise ve her yıl 100$ artarsa, 10 yıl içinde bunu ikiye katlayacağım ve 2.000$'a sahip olacağım. Bu, her yıl aynı miktarda doğrusal bir büyümedir. Ancak 1.000 $'lık başlangıç ​​sermayem her yıl yüzde 10 artarsa, on yıl sonra 2.594 $'a sahip olacağım. Bu, 1,1'in katı yıllık sabit bir artışla üstel büyümenin bir örneğidir. Eğer işime 10 yıl daha devam edersem, doğrusal büyüme bana toplam 3.000 $ kazandıracak, üstel büyüme ise bana toplam 6.727 $ kazandıracak.

Uzun bir süre boyunca yüzde 10 veya daha fazla büyüme oranını koruyan herhangi bir pazar veya işletme, sezgisel olarak tahmin ettiğimizden çok daha fazla değer yaratımı yaşayacaktır. 1950'den 1950'ye kadar olan dönemde IBM veya McDonald's gibi bazı şirketler

1985 ya da 1990'larda Microsoft - yılda yüzde 15'i aşan büyüme oranları yakalamayı başardılar ve sermayelerini defalarca artırdılar. 100 Dolar ile başlarsanız ve sermayenizi 15 yıl boyunca yılda yüzde 15 oranında artırırsanız, başladığınızın neredeyse 33 katı olan 3.292 Dolara ulaşırsınız. Büyüme yüzdesindeki küçük bir artış, sonuçlarda büyük bir fark yaratır.

Örneğin Amerikalı borsacı William O'Neill, sınıf arkadaşları için bir fon oluşturdu ve bunu 1961'den 1986'ya kadar yönetti. Bu süre zarfında başlangıçtaki 850 dolar, tüm vergiler ödendikten sonra 51.653 dolara dönüştü. 25 yıl boyunca ortalama artış 17,85 oldu. Yani, 25 yıl boyunca yüzde 15'lik bir büyüme sermayeyi 33 kat artırırsa, yıllık büyüme oranına yüzde 3'ten daha az bir artış eklenmesinin sermayeyi artırdığını görüyoruz. sonuç 33 kere 61 kere.

Üstel büyüme her şeyi yalnızca niceliksel olarak değil niteliksel olarak da değiştirir. Örneğin sektörün hızlı büyümesiyle birlikte - Peter Drucker bu rakamın 10 yılda yüzde 40 olduğunu söylüyor - yapısı değişiyor ve yeni pazar liderleri öne çıkıyor. Pazarların hızlı büyümesi, inovasyondan, model eksikliğinden, yeni ürünlerden, teknolojilerden veya tüketicilerden kaynaklanmaktadır. Yenilikçiler, tanımları gereği işleri herkesten farklı yaparlar. Yeni yollar nadiren mevcut firmaların alışkanlıkları, fikirleri, prosedürleri ve yapılarıyla bir arada bulunur. Yenilikçilerin genellikle geleneksel liderler bir karşı saldırı başlatmaya karar verene kadar birkaç yıl boyunca kaçma fırsatı vardır, ancak o zaman çok geç olabilir.

^ Fibonacci Tavşanları

Üstel büyüme konusunda size ilginç bir bilmece sunmak istiyorum. 600 yıl sonra “Fibonacci” lakabını alan Pisalı Leonardo, 1220 yılında şu sonuca varmıştır:

* ^ William J. O'Neil. Borsalardan nasıl para kazanılır ( William J. "Neil. Hisse Senetlerinden Nasıl Para Kazanılır? 1991, McGraw-Hill, New York. S.132).

gerçek senaryo. Birkaç tavşanla başlayalım. Sonra her çiftin bir yıl sonra başka bir çift, bir yıl sonra da başka bir çift doğurduğunu hayal edin. Bundan sonra tavşanlar üremek için çok yaşlanırlar. Çift sayısı nasıl artacak ve bu modelde harika bir şey var mı?

İsterseniz yıllık çift sayısını kendiniz sıralayabilirsiniz, ancak cevaba hemen bakabilirsiniz:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Olağandışı bir şey fark ettiniz mi?

Açıkçası burada iki ilginç nokta var. Birincisi, üçüncüden başlayarak sonraki her rakamın önceki iki rakamın toplamı olmasıdır. İkincisi, her yılın sayısının (üçüncüden sonra) bir öncekinin sayısına oranının neredeyse sabit bir katsayı olması ve kısa sürede 1.618'e yaklaşmasıdır. Yani yüzde 60'ın biraz üzerinde sürekli bir büyüme oranı var.

Zamanla bir gizem ^ Tavşanlar Fibonacci Kapsamlı bir matematiksel açıklama aldım, ama neyse ki burada buna yer yok*. Bununla birlikte, bu tavşanlar üstel büyümenin yanı sıra görünüşte sınırlı bir büyümenin bile çok uzun süre devam edemeyeceği gerçeğinin harika bir örneğidir. 144 yıl içinde Fibonacci tavşanlarının hacmi Evrenin hacmini aşacak ve tüm insanlar kabarık kütlenin altında boğularak ölecek. Bu gerçekten çok uzak bir ihtimal!

^ Büyük Patlama

Üstel büyümenin daha aşırı bir başka biçimi, evrenin kökeninin altında yatıyor olabilir. Günümüzde neredeyse tüm gökbilimciler ve fizikçiler bu konuda hemfikirdir. Big bang teorisi, evrenin başladığı şeye göre

* Matematik meraklıları Peter M. Higgins'in "Meraklılar için Matematik" kitabına göz atmak isteyebilirler (Peter M. Higgins. Meraklısı için Matematik. 1998, Oxford University Press, Oxford).

hayal edilemeyecek kadar küçük bir hacimden geldi ve bir saniye içinde boyutunu 100 kat ikiye katlayarak küçük bir greyfurta benziyordu. Bu "şişkinlik" veya üstel büyüme dönemi sona erdi ve yerini doğrusal büyümeye bıraktı; bu sırada genişleyen bir ateş topu bugün Evreni yarattı.

Üstel büyüme her türlü yaratıcılığın ayrılmaz bir parçasıdır. İlginç ders şu ki, üstel büyümeyle büyük bir şeyle başlamak zorunda değilsiniz. Aslında en küçük şeylerle başlayabilirsiniz. Eğer Evren, hayal edemeyeceğimiz kadar küçük bir şeyle başlayıp, şimdiki hayal edilemeyecek kadar sonsuz boyutuna kadar genişleyebilseydi, o zaman yeni işin başlangıçtaki boyutu faktörünün tamamen alakasız olduğu düşünülmelidir. Temel gösterge, üstel bir büyüme döneminin ardından daha uzun bir doğrusal büyüme dönemidir.

^ Büyüme kavramından sonuçlar

Yaratıcılık ve büyüme için en iyi fırsatlar, dengesizlik dönemlerinde, başka bir deyişle, bir dönüm noktasına ulaşıldığında ve hemen sonrasında ortaya çıkar.

Dengesizlik ve devrilme noktaları aniden ortaya çıkmaz. Mevcut sistemin istikrarsızlık belirtileri gösterdiği ve yeni sistemin sessizce güç kazandığı, bazen oldukça uzun bir ön ısınma dönemi her zaman vardır. Yeni teknolojiler veya ürün türleri ile ilgili her şeyde, devrilme noktasına ancak yeniliğin kitlesel pazarda "kayıt" almasıyla ulaşılır. Bu, satışının geleneksel kâr kriterlerine dayanması gerektiği ve değişimin (eğer varsa) devrimci niteliğinin kamufle edilmesi gerektiği anlamına geliyor.

Hızlı değişim ve yüksek katlanarak büyüme dönemleri genellikle uzun sürmez. Yeni bir hakim teknoloji ve/veya yeni bir rekabet durumuyla yeni bir dengenin kurulması çok uzun sürmeyecek. Dengesizlik dönemleriyle ilişkili büyülenme hissi ve olağandışı belirsizlik bu nedenledir. Bu kısa sürede hakim konumları ele geçirmeyi başaranların elde ettiği olağanüstü faydalar da buradan kaynaklanmaktadır. Bu hakimiyet, teknolojinin üstünlüğünden çok, akıllı pazarlama ve konumlandırmanın bir sonucudur.

Yenilikçilerin çoğu başarısız olur. Başarıya ulaşmak için "uçurumu geçmeleri" veya devrilme noktasını geçmeleri ve kitlesel pazara girmeleri gerekiyor. Burada önemli olan hızlanmadır. Yeni bir ürün veya teknoloji hızla çoğalmaya başlayana kadar hayatta kalma şansı çok azdır.

^ Say'ın Ekonomik Tahkim Yasası

1803'te Fransız iktisatçı Jean-Baptiste Say (1767-1832), Politik Ekonomi Üzerine İnceleme adlı dikkat çekici bir çalışma yayınladı. Thomas Jefferson onun hakkında şunları söyledi:

"Mükemmel bir çalışma... zekice düzenlenmiş, fikirleri net, üslubu net ve tüm çalışma [Adam] Smith'in kitabından iki kat daha incelikli."*

İnceleme, "girişimci" terimi ve aynı cümlede formüle edilen ilk ekonomik arbitraj teorisi de dahil olmak üzere pek çok şaşırtıcı yenilik içeriyordu.

Girişimci ekonomik kaynakları daha düşük verimliliğe sahip bir alandan daha yüksek verimliliğe sahip bir alana taşır ve bundan faydalanır.

Sermaye getirisi kavramı popülerleşmeden çok önce Say, bunu ekonomik yaratıcılığın ve ilerlemenin en önemli motorlarından biri olarak tanımlamıştı. Kaynaklar tanım gereği sınırlıdır, dolayısıyla büyüme, doğal kaynakların keşfedilmesine ve kullanılmasından çok, bunları daha tam olarak kullanma becerisine bağlıdır.

* Thomas Jefferson'un Joseph Milligan'a yazdığı mektup, 6 Nisan 1816. Bu mükemmel bir makale ve bunu raporumda kullandım.

Her bir kaynak biriminin verimli kullanılması. Bu kısmen daha iyi teknoloji ve tekniklerin bir fonksiyonudur, ancak girişimcinin bu kaynakları en üretken olacakları yere ulaştırma yeteneği göz ardı edilemez.

^ Freud'un gerçeklik ilkesi

1900 yılında Sigmund Freud (1856-1939) Rüyaların Yorumu'nu yayınladı ve yeni psikanaliz biliminin kurucusu oldu. Onun temel kavramlarından biri şuydu: Gerçeklik ilkesi Bizi diğer insanları bencil amaçlar için kullanmaktan alıkoyan tek şeyin, onların da aynısını bize yapmaya çalışmaları olduğunu ileri sürüyor. Gerçekle (gerçeklik) karşı karşıya kaldığımızda, kendi içgüdülerimizi tatmin edebilmek için diğer insanların ihtiyaçlarına ve dış dünyanın taleplerine uyum sağlamak zorunda kalırız.

Freud'un kavramı kesinlikle büyük bir değere sahiptir, ancak çağdaşı oyun yazarı George Bernard Shaw aynı fikri oldukça beklenmedik bir şekilde farklılaştırmıştır:

“Rasyonel insan kendini dünyaya uyarlar (Freud'un gerçeklik ilkesine göre): mantıksız adam ısrarla dünyayı kendine uyarlamaya çalışır. Sonuç olarak, herhangi bir ilerleme, mantıksız kişiye bağlıdır."

Yaratıcılığın ve girişimciliğin yeni fikirlerle, yeni yöntemlerle ve akılsız yaklaşımlarla beslenmesi gerekiyor. Henry Ford, otomobillerin çalışanlar için ulaşılabilir olması konusunda ısrar ederken makul mü davrandı? Arabalara olan talep yalnızca zenginler arasında mevcut olduğundan, açıkça talebi takip etmedi. Ford, çevresinde var olan dünyayı kabul etmeyi reddetti; dünyayı kendi vizyonuna göre ayarlamaya çalışmaya devam etti. Ford, bir montaj hattı ve maksimum standardizasyon kullanarak Model T'nin maliyetini 1908'de 850 dolardan 1922'de 300 dolara düşürdü ve "otomobili demokratikleştirme" misyonunu başardı.

^ Başarılı Girişimci

Yaratılış kitabı ve Büyük Patlama teorisi tek bir konuda hemfikirdir: Dünyanın yalnızca tek bir orijinal yaratımı vardı. Bu nedenle ilerleme sadece terimlerin yeniden düzenlenmesinden ibarettir. Güneşin altında yeni bir şey yok.

Bu bakış açısı kesinlikle karamsar değil, cesaret verici. İnsan refahının tek ihtiyacı, belirli bir dizi kaynağı alıp, bunları düşük üretkenlik alanlarından yüksek üretkenlik alanlarına taşımaktır.

Tüm ekonomik ilerlemeler bu tür ekonomik arbitrajlara dayanmaktadır. Bu iyi bir haber. Arbitraj yapmak yaratıcılıktan daha kolaydır. Herkes ekonomik arbitrajdan, daha verimli kullanılabilecek kaynakların belirlenmesinden yararlanabilecek bir şeyler bulabilmelidir.

Gerçek girişimciler pazar araştırmacılarının onlara ne yapmaları gerektiğini söylemesini beklemezler. Bir şeyin nasıl daha iyi ve farklı yapılacağına dair kendi vizyonları var. Daha az çabayla daha fazlasını başarmanın yollarını geliştirirler. Kaynakların daha az karlı kullanımlarını daha karlı olanlarla değiştiriyorlar ve dünya onların bakış açısını kabul edene kadar ısrarcı ve mantıksız olmaya devam ediyorlar.

^ Azalan Verimler Kanunu

Piyasaların ve işletmelerin nasıl çalıştığına dair en etkili ve popüler kavramlardan biri Azalan Verimler Kanunu, 1767 yılı civarında Fransız iktisatçı Robert Jacques Turgot tarafından formüle edilmiştir.

Kanun, belli bir noktadan sonra ilave emeğin veya yatırımın getirisinin azaldığını, yani değer artışının azaldığını belirtiyor. Aç bir insan için bir somun ekmek çok değerlidir. İkinci ekmeğin değeri daha azdır. Onuncu artık neredeyse hiçbir değere sahip olmayacak. Bir toprak parçasını işlemek için birden fazla çiftçiyi işe alırsanız, belli bir noktadan sonra azalan getiriler kanunu devreye girecektir.

Yüz yıl sonra Alfred Marshall liderliğindeki İngiliz klasik iktisatçılar bu fikri piyasalara ve firmalara genişletti. Pazar lideri ürünler veya şirketler azalan getirilerin tuzağına düşüyor. İşletmelerde büyük boyutun (büyük pazar payı, büyük fabrika, geniş çeşitlilik) fiyatı zirve yapar ve sonra düşer. Bu oldukça mantıklı görünüyor.

Ancak klasik iktisatçılar daha da ileri gittiler. Fiyatlar ve pazar payı arasında er ya da geç öngörülebilir bir dengeye ulaşılacağını ve azalan getiriler kanunu ile işbirliği içinde adil rekabetin sonuçta aşırı kar elde etmenin imkansızlığına yol açacağını belirttiler. Bu teori, piyasaların hükümet tarafından düzenlenmesini haklı çıkardı; eğer kârlar çok yüksekse, bu tek bir anlama gelir: tekelciler yapay olarak fiyatları şişiriyor ve adil rekabeti engelliyor.

“Üstel büyüme” tabiri, hızlı ve genellikle kontrol edilemeyen artış anlamında sözlüğümüze girmiştir. Örneğin şehirlerin hızlı büyümesini veya nüfus artışını tanımlamak için sıklıkla kullanılır. Ancak matematikte bu terimin kesin bir anlamı vardır ve belirli bir tür büyümeyi ifade eder.

Üstel büyüme, nüfustaki artışın (doğum sayısı eksi ölüm sayısı) nüfustaki birey sayısıyla orantılı olduğu popülasyonlarda meydana gelir. Örneğin bir insan popülasyonu için doğum oranı yaklaşık olarak üreme çiftlerinin sayısıyla orantılıdır ve ölüm oranı da yaklaşık olarak popülasyondaki insan sayısıyla orantılıdır (bunu belirtiyoruz). N). Daha sonra makul bir yaklaşımla,

nüfus artışı = doğum sayısı - ölüm sayısı

(Burada R- Lafta orantılılık faktörü Orantılılık ifadesini bir denklem olarak yazmamızı sağlar.)

bırak d N— d zamanı boyunca popülasyona eklenen bireylerin sayısı T, o zaman toplam popülasyonda ise N bireyler, o zaman üstel büyüme koşulları şu şekilde karşılanacaktır:

D N = rN D T

Isaac Newton 17. yüzyılda diferansiyel hesabı icat ettiğinden bu denklemi nasıl çözeceğimizi biliyoruz. N— herhangi bir zamandaki nüfus büyüklüğü. (Referans olarak: bu denklem denir diferansiyel.) İşte onun çözümü:

N=Hayır e rt

Nerede N 0, geri sayımın başlangıcında popülasyondaki bireylerin sayısıdır ve T- şu andan bu yana geçen zaman. E sembolü öyle özel bir sayıyı ifade eder ki buna denir doğal logaritmanın tabanı(ve yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir) ve denklemin sağ tarafının tamamı denir üstel fonksiyon.

Üstel büyümenin ne olduğunu daha iyi anlamak için başlangıçta tek bir bakteriden oluşan bir popülasyon hayal edin. Belirli bir süre sonra (birkaç saat veya dakika) bakteri ikiye bölünür ve böylece popülasyon büyüklüğü iki katına çıkar. Bir sonraki sürenin sonunda bu iki bakterinin her biri tekrar ikiye bölünecek ve popülasyon büyüklüğü tekrar iki katına çıkacak; artık dört bakteri olacak. Bu tür on katlamadan sonra binden fazla bakteri olacak, yirmiden sonra bir milyonun üzerinde vb. Nüfus her bölünmede iki katına çıkarsa, büyüme süresiz olarak devam edecektir.

Satrancı icat eden adamın, padişahına, herhangi bir isteğini yerine getireceğine söz verecek kadar zevk verdiğine dair bir efsane vardır (büyük olasılıkla doğru değildir). Adam, padişahtan satranç tahtasının birinci karesine bir, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört buğday tanesi koymasını istedi. Padişah, bu talebi, verdiği hizmetin yanında önemsiz bularak tebaasından başka bir talepte bulunmasını istedi ancak o reddetti. Doğal olarak, 64'üncü katlanmayla birlikte tahıl sayısı o kadar arttı ki, tüm dünyada bu isteği karşılayacak kadar buğday kalmayacaktı. Efsanenin benim bildiğim versiyonunda padişah o anda mucidin kafasının kesilmesini emretmiştir. Öğrencilerime söylediğim gibi ders şu: bazen çok akıllı olmamalısın!

Satranç tahtası örneği (aynı zamanda hayali bakteriler de) bize hiçbir popülasyonun sonsuza kadar büyüyemeyeceğini gösteriyor. Er ya da geç kaynakları tükenecek; uzay, enerji, su, her ne ise. Bu nedenle popülasyonlar yalnızca bir süreliğine katlanarak büyüyebilir ve er ya da geç büyümelerinin yavaşlaması gerekir. Bunu yapmak için denklemi, nüfus büyüklüğü mümkün olan maksimuma yaklaştığında (dış çevre tarafından desteklenebilir) büyüme hızı yavaşlayacak şekilde değiştirmeniz gerekir. Buna maksimum nüfus büyüklüğü diyelim k. Daha sonra değiştirilmiş denklem şöyle görünecektir:

D N = rN(1 — (N/k)) D T

Ne zaman N daha az k, üye Yok ihmal edilebilir ve sıradan üstel büyümenin orijinal denklemine geri döneriz. Ancak ne zaman N maksimum değerine yaklaşıyor k, değer 1 - ( N/k) sıfıra yöneliyor ve buna bağlı olarak nüfus artışı da sıfıra yaklaşıyor. Bu durumda toplam nüfus büyüklüğü sabitlenir ve aynı seviyede kalır. k. Bu denklemle tanımlanan eğrinin ve denklemin kendisinin birkaç adı vardır: S eğrisi, lojistik denklem, Volterra denklemi, Lotka-Volterra denklemi. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - seçkin İtalyan matematikçi ve öğretmen; Alfred Lotka, 1880-1949 - Amerikalı matematikçi ve sigorta analisti.) Adı ne olursa olsun, bu, hızla katlanarak büyüyen ve daha sonra bir sınıra yaklaştıkça yavaşlayan bir nüfusun büyüklüğünün oldukça basit bir ifadesidir. Ve gerçek nüfus artışını olağan üstel fonksiyondan çok daha iyi yansıtıyor.

DOĞAL SÜREÇLERDE ÜSTSEL BAĞIMLILIK

Stoykov Dmitry

10 “A” sınıfı MBOU ortaokul No. 177, g. Kazan

Habibullina Alfiya Yakubovna

bilimsel danışman, en yüksek kategorideki matematik öğretmeni, MBOU Ortaokulu No. 177, Kazan

giriiş

Doğada ve insan yaşamında, bazı miktarların, belirli aralıklarla belirli bir miktarın oranının zamana bağlı olmayacak şekilde değiştiği çok sayıda süreç vardır. Bunlar arasında maddelerin radyoaktif bozunması, banka hesabındaki miktarın artması vb. yer alır. Tüm bu süreçler üstel bir fonksiyonla tanımlanır. Bu süreçlerin ortaya çıkmasının neden zamana bağlı olmadığı sorusu ilgimi çekti. Sonuçta, mantıksal olarak, herhangi bir değişen süreç bağımsız bir miktarla - zamanla - ilişkilendirilmelidir. Gerçekte bu kural her zaman işe yaramaz.

Araştırma çalışmasının amacı : Arrhenius denklemi tarafından açıklanan üstel bağımlılığa uygun olarak belirli kimyasal süreçlerin oluşumunu deneysel olarak doğrulayın.

Görevler :

·Üstel fonksiyonu inceleyin;

·Üstel bağımlılığı bir üstel fonksiyonun özel bir durumu olarak inceleyin;

· Üstel bağımlılığı tanımlayan Arrhenius denklemini inceleyin;

·Üstel bağımlılığa göre meydana gelen kimyasal süreç örneklerinin incelenmesi;

· Bir dizi deney yapın ve Arrhenius denklemiyle tanımlanan üstel bağımlılığa uygun olarak belirli kimyasal süreçlerin oluşumunu pratikte doğrulayın.

Araştırma hipotezi : Arrhenius denklemini kullanarak bazı kimyasal süreçleri tanımlayabilirsiniz.

Çalışmanın amacı : uygulamalı matematiğin bir unsuru olarak üstel fonksiyon.

Araştırma Yöntemleri :

1. Araştırma konusuyla ilgili literatür ve elektronik kaynakların incelenmesi.

2. Üstel bağımlılığın uygulanmasının analizi

3. Arrhenius denklemini doğrulamak için kimyasal deneyler.

Üstel fonksiyon

İzin vermek X R, a ≠ 0, (r n ), şuna yakınsayan rasyonel sayılar dizisidir X. a sayısını tanımlayalım X sınır olarak. Tabanı a > 0 ve a ≠ 1 olan üstel bir fonksiyon, y=a formundaki bir fonksiyondur X, X R

Bu sınır, sayıya giden r n dizisinin seçimine bağlı değildir. X. Üstel fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır. Bu fonksiyon süreklidir ve > 1 süreyle monoton olarak artar. ve 0'da monoton olarak azalır< a < 1 . Функция никогда не обращается в ноль, но имеет горизонтальную асимптоту sen = 0.

Üstel fonksiyonun grafiği y=0,5 x

Üstel bağımlılık

Uygulamalarda özellikle önemli olan, tabanı e sayısı olan ve şu şekilde tanımlanan üstel fonksiyondur:

Sayısal olarak eşittir e= 2,71828182845904523536'dır ve Euler sabiti olarak adlandırılır.

Bu şekilde tanımlanan bir fonksiyona üstel veya basitçe üstel denir ve şöyle gösterilir: en= e x ≡ exp X.

y = e x üstel fonksiyonunun grafiğini düşünün. 2'den beri< e < 3, то функция en= e x tüm tanım alanı boyunca monoton olarak artıyor. (0;1) noktasında teğet apsis eksenine 45 o (π/4) açıyla eğimlidir. Bu fonksiyonun sıfırdaki türevi 1'e eşittir. Bu, türevi ve antitürevi kendisiyle çakışan tek fonksiyondur.

Arrhenius denklemi

İsveçli fizikçi ve kimyager Svante Arrhenius, elektrolitik ayrışma teorisi nedeniyle 1903'te Nobel Kimya Ödülü'nü aldı. Doktora tezinde (Uppsala Üniversitesi) Arrhenius, sodyum klorür gibi "moleküllerin" çözelti içinde kendiliğinden parçalandığını ve elektrolizde reaktan görevi gören iyonlar oluşturduğunu öne sürdü. Ancak Arrhenius, reaksiyon hız sabitinin sıcaklığa bağımlılığını belirleyen denklemiyle tanınır.

Arrhenius, reaksiyon hızları ile sıcaklık arasındaki kesin ilişkiyi ilk olarak 1889'da kurdu. Arrhenius denklemi adı verilen bu ilişki şu şekildedir:

,

Nerede: İle- reaksiyon hızı sabiti;

A— her spesifik reaksiyonu karakterize eden sabit (Arrhenius sabiti);

e— üs;

Ea- her reaksiyonun karakteristiği olan ve aktivasyon enerjisi olarak adlandırılan başka bir sabit;

R- Gaz sabiti;

T— Kelvin derece cinsinden mutlak sıcaklık.

Bu denklemin sıcaklığı reaksiyon hızıyla değil hız sabitiyle ilişkilendirdiğine dikkat edin.

Reaksiyon hızı ve sıcaklık arasındaki ilişki, 1880-1884'teki ilk kinetik çalışmaların sonuçlarından elde edildi. ve adını aldım Hoff'un kuralları değil: 10 o C'ye ısıtıldığında birçok reaksiyonun hızı 2-4 kat artar. Bu kural, çözeltilerdeki nispeten yavaş reaksiyonlar için geçerlidir ve bu nedenle evrensel değildir. Bazı problemleri çözerken Van't Hoff formülünü kullanabilirsiniz:

Nerede: γ — van't Hoff katsayısı (= 2–4),

T- Santigrat veya Kelvin ölçeğinde derece cinsinden sıcaklık (fark kullanıldığı için ölçek önemli değildir).

Arrhenius denklemi b reaksiyon hızı sabitinin sıcaklığa bağımlılığını daha doğru ve daha evrensel olarak ifade eder. Faktör A Bu denklemde parçacık çarpışmalarının sıklığı ve çarpışma sırasındaki yönelimleri ile ilgilidir.

Arrhenius denklemine göre meydana gelen doğal süreç örnekleri

Örnek 1. Cırcır böceklerinin bip sesinin hızı (frekansı), tam olarak katı olmasa da, Arrhenius denklemine uyar ve etkili bir aktivasyon enerjisiyle birlikte sıcaklık aralığı 14,2°C'den 27°C'ye kademeli olarak artar. e a = 51 kJ/mol. Cıvıltıların sıklığına bağlı olarak sıcaklığı oldukça doğru bir şekilde belirleyebilirsiniz: 15 saniyede sayılarını saymanız ve 40 eklemeniz gerekir, sıcaklığı Fahrenheit (F) cinsinden elde edersiniz (Amerikalılar hala bu sıcaklık ölçeğini kullanıyor). Yani, 55 F'de (12,8°C) cıvıltı frekansı 1 cıvıltı/sn'dir ve 100 F'de (37,8°C) 4 cıvıltı/sn'dir.

Örnek 2. 18°C ila 34°C sıcaklık aralığında deniz kaplumbağasının kalp atış hızı, aktivasyon enerjisini veren Arrhenius denklemiyle tutarlıdır. e a = 76,6 kJ/mol, ancak daha düşük sıcaklıklarda aktivasyon enerjisi keskin bir şekilde artar. Bunun nedeni, düşük sıcaklıklarda kaplumbağanın kendisini pek iyi hissetmemesi ve kalp atış hızının diğer biyokimyasal reaksiyonlar tarafından kontrol edilmeye başlaması olabilir.

Örnek 3. Arrhenius'u insanın psikolojik süreçlerine bağımlı kılmaya yönelik girişimler özellikle ilginçtir. Böylece farklı vücut sıcaklıklarına sahip (36,4°C'den 39°C'ye) kişilerden saniyeleri saymaları istendi. Sıcaklık ne kadar yüksek olursa sayımın o kadar hızlı olduğu ortaya çıktı ( e a = 100,4 kJ/mol). Böylece öznel zaman algımız Arrhenius denklemine uyar. Sosyolojik çalışmanın yazarı G. Hoagland, bunun insan beynindeki bazı biyokimyasal süreçlerden kaynaklandığını öne sürdü.

Alman araştırmacı H. von Foerstler, farklı vücut sıcaklıklarına sahip kişilerde unutma oranını ölçtü. İnsanlara bir dizi farklı işaret verdi ve insanların bu diziyi hatırladıkları süreyi ölçtü. Sonuç Hoagland'ınkiyle aynıydı: Arrhenius'un bağımlı olması e a = 100,4 kJ/mol.

Zengin halk deneyimi, bilimsel olarak doğrulanan birçok sonucu ortaya koymaktadır. Rusya'da uzun zamandır bir söz vardır: "Ayaklarınızı sıcak, başınızı soğuk tutun." Arrhenius denklemi bu ifadeyi doğrulamaktadır.

Kimyasal reaksiyon hızının sıcaklığa bağlılığı

Sıcaklıktaki bir değişimin hız sabiti ve dolayısıyla kimyasal reaksiyonun hızı üzerinde dramatik bir etkisi vardır. Vakaların büyük çoğunluğunda, kimyasal reaksiyonun hızı ısıtmayla birlikte artar.

Van't Hoff kuralına göre sıcaklıktaki her 10 derecelik artışla kimyasal reaksiyonun hızı ortalama 2-4 kat artar:

v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10,

burada: γ aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilen sıcaklık katsayısıdır:

γ = k T +10 /k T ,

Nerede: k T T;

kT+10- sıcaklıkta reaksiyon hızı sabiti (T+10).

Deneyler

Deney No.1: Çinkonun seyreltik sülfürik asitle reaksiyonu.

Kütlesi kesin olarak bilinen birkaç parça çinko alıp bunları farklı sıcaklıklardaki eşit hacimlerdeki seyreltik sülfürik asit çözeltilerine yerleştirdiler. Reaksiyona uygun olarak çinkonun tamamen çözünme süresini ölçtük:

Zn + H2S04 = ZnS04 + H2

Reaksiyon hızı µmol/s cinsinden hesaplandı (mol başına madde miktarı, kütlenin çinkonun atomik kütlesine bölünmesiyle hesaplandı). Sonuçlar tabloda ve reaksiyon hızının sıcaklığa karşı grafiği şeklinde sunulur.

Tablo 1.

Çinkonun seyreltik sülfürik asit ile etkileşim oranının sülfürik asidin sıcaklığına bağlılığı:

Deney No.2: İÇİNDESıcaklığın enzimatik reaksiyon hızı üzerindeki etkisi.

Model bir enzimatik reaksiyon olarak, bütirilkolinesteraz enzimi tarafından katalize edilen bütirilkolinin hidroliz reaksiyonunu aldık:

(CH3)3 N + -CH2-CH2-O-C(O)-C3H7 + H2O → (CH3)3 N-CH2-CH2-OH + HO-C(O)- C3H7

Butirilkolinesteraz molekülünün üç boyutlu modeli.

Reaksiyonu gerçekleştirmek için immünokimyasal çalışmalara yönelik bir plaka kullanıldı (bkz. Ek 1, Şekil 1). Substrat - bütirilkolin ve enzim - bütirilkolinesteraz çözeltileri, maddenin doğru şekilde tartılmış bir kısmının pH = 8 olan asit-baz göstergesi bromotimol mavisi içeren 0,002 mol/1 fosfat tampon çözeltisi içinde çözülmesiyle hazırlandı. Gösterge mavidir. alkali bir ortam (pH>7) ve asidik bir ortamda sarı renktedir. Enzimatik hidroliz reaksiyonu sonucu asit oluştuğundan çözeltinin pH'ı düşer ve indikatörün rengi maviden yeşile ve sarıya döner. Böylece, bir kimyasal reaksiyonun hızı, göstergenin rengindeki değişimin hızıyla tahmin edilebilir.

Reaksiyonun gerçekleştirilmesi. Substrat ve enzim çözeltileri, kar ve su banyosu kullanılarak istenen sıcaklığa (5°C, 15°C, 25°C, 35°C) soğutuldu veya ısıtıldı. Kolinesteraz enziminin optimum sıcaklığı 37°C (enzim aktivitesinin maksimum olduğu sıcaklık) olduğundan, seçilen maksimum sıcaklık 35°C'dir. 100 ul'lik bir dağıtıcı kullanılarak plaka hücresine belirli bir sıcaklıktaki bir enzim çözeltisi, ardından 100 ul bir substrat çözeltisi eklendi ve süre bir kronometre kullanılarak kaydedildi. Reaksiyonun başlangıcından (substratın enzime eklendiği an) indikatörün renginin sarıya dönüşmesine kadar geçen süre ölçüldü. Her sıcaklıkta deney üç kopya halinde gerçekleştirildi, ardından ortalama renk değişimi süresi hesaplandı.

Göstergenin rengindeki değişim zamanının çözeltilerin sıcaklığına bağlılığı:

Reaksiyon hızını değerlendirmeye yönelik bu yöntem, katalitik analiz yönteminin (sabit konsantrasyon yöntemi) bir çeşididir. Bu, indikatör maddenin kesin olarak tanımlanmış (sabit) konsantrasyonuna kadar reaksiyonun gerçekleştirildiği ve bu konsantrasyona ulaşma süresinin ölçüldüğü bir yöntemdir. Bu reaksiyonda gösterge maddesi, konsantrasyonu göstergenin rengini belirleyen bütirik asittir. Belirli bir konsantrasyona ulaşma süresi reaksiyon hızının bir ölçüsüdür. Grafik koordinatlar halinde çizilmiştir: Sabit bir konsantrasyona ulaşmak için geçen sürenin tersi, incelenen parametredir (sıcaklık).

Göstergenin renk değişim oranının sıcaklığa bağlılığı:

Deney No.3(hesaplama problemi): Etil alkol dehidrasyon oranı.

Problem: Reaksiyonun sıcaklık katsayısı üç ise sıcaklık 180 o C'den 200 o C'ye çıktığında etil alkolün dehidrasyon hızı kaç kat artar?

Çözüm: Van't Hoff kuralına göre v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10, dolayısıyla

V 2 /v 1 = γ (T 2- T 1)/10, burada γ = 3, T1= 180, T2= 200. Böylece v 2 /v 1 = 3 (200-180)/10 = 9 yani sıcaklık 20 derece arttığında hız 9 kat artacaktır.

Elde edilen verilere dayanarak, etil alkolün dehidrasyon hızının sıcaklığa grafiksel bir bağımlılığını oluşturmak mümkündür (sıcaklığın her 10 derece artmasıyla reaksiyon hızı 3 kat artar).

Reaksiyon hızının sıcaklığa bağımlılığı:

Sonuçlar. Çözüm

Araştırma konusu üzerinde çalışma sürecinde üstel fonksiyon, üstel fonksiyonun özel bir durumu olarak üstel bağımlılık ve üstel bağımlılığı açıklayan Arrhenius denklemi incelenmiştir.

Üstel bağımlılığa uygun olarak meydana gelen doğal süreç örnekleri dikkate alındıktan sonra, bir dizi kimyasal deney yapıldı ve Arrhenius denklemiyle tanımlanan üstel bağımlılığa uygun bazı kimyasal süreçlerin varlığı pratikte doğrulandı.

"Arrhenius denkleminin kullanılması bazı kimyasal süreçleri açıklayabilir" araştırma hipotezinin doğrulandığına inanıyoruz. Böylece Zn, sülfürik asitte farklı sıcaklıklarda çözündüğünde kimyasal reaksiyonun hızı üstel olarak değişir. Ayrıca insan beynindeki nöronlardaki enzimatik reaksiyon hızı da Arrhenius denklemine göre sıcaklıkla birlikte değişir.

Böylece üstel bağımlılıkla tanımlanan Arrhenius denklemine uygun bazı kimyasal süreçlerin varlığı deneysel olarak doğrulandı.

Kaynakça:

1. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin yöntemleri. M.: Nauka, 1987. - 688 s.

2.Leenson I.A. Kural neden güncelliğini yitirdi? Çocuklar için ansiklopedi. T. 17. Kimya. - M.: Avanta+, 2000. - 640 s.

3.Leenson I.A. Kimyasal reaksiyonlar neden ve nasıl meydana gelir? - M.: MIROS, 1994. - 176 s.

4. Khaplanov M.G. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi (kısa süreç). M.: Eğitim, 1965. - 209 s.

Üstel büyüme

“Üstel büyüme” tabiri, hızlı ve genellikle kontrol edilemeyen artış anlamında sözlüğümüze girmiştir. Örneğin şehirlerin hızlı büyümesini veya nüfus artışını tanımlamak için sıklıkla kullanılır. Ancak matematikte bu terimin kesin bir anlamı vardır ve belirli bir tür büyümeyi ifade eder.

Üstel büyüme, nüfustaki artışın (doğum sayısı eksi ölüm sayısı) nüfustaki birey sayısıyla orantılı olduğu popülasyonlarda meydana gelir. Örneğin bir insan popülasyonu için doğum oranı yaklaşık olarak üreme çiftlerinin sayısıyla orantılıdır ve ölüm oranı da yaklaşık olarak popülasyondaki insan sayısıyla orantılıdır (bunu belirtiyoruz). ) . Daha sonra makul bir yaklaşımla,

nüfus artışı = doğum sayısı - ölüm sayısı

Zaman içinde popülasyona eklenen bireylerin sayısı olsun, o zaman popülasyonda toplam birey varsa, üstel büyüme koşulları şu şekilde karşılanacaktır:

Üstel büyümenin ne olduğunu daha iyi anlamak için başlangıçta tek bir bakteriden oluşan bir popülasyon hayal edin. Belirli bir süre sonra (birkaç saat veya dakika) bakteri ikiye bölünür ve böylece popülasyon büyüklüğü iki katına çıkar. Bir sonraki sürenin sonunda bu iki bakterinin her biri tekrar ikiye bölünecek ve popülasyon büyüklüğü tekrar iki katına çıkacak; artık dört bakteri olacak. Bu tür on katlamadan sonra binden fazla bakteri olacak, yirmiden sonra bir milyonun üzerinde vb. Nüfus her bölünmede iki katına çıkarsa, büyüme süresiz olarak devam edecektir.

Satrancı icat eden adamın, padişahına, herhangi bir isteğini yerine getireceğine söz verecek kadar zevk verdiğine dair bir efsane vardır (büyük olasılıkla doğru değildir). Adam, padişahtan satranç tahtasının birinci karesine bir, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört buğday tanesi koymasını istedi. Padişah, bu talebi, verdiği hizmetin yanında önemsiz bularak tebaasından başka bir talepte bulunmasını istedi ancak o reddetti. Doğal olarak, 64'üncü katlanmayla birlikte tahıl sayısı o kadar arttı ki, tüm dünyada bu isteği karşılayacak kadar buğday kalmayacaktı. Efsanenin benim bildiğim versiyonunda padişah o anda mucidin kafasının kesilmesini emretmiştir. Öğrencilerime söylediğim gibi ders şu: bazen çok akıllı olmamalısın!

Satranç tahtası örneği (aynı zamanda hayali bakteriler de) bize hiçbir popülasyonun sonsuza kadar büyüyemeyeceğini gösteriyor. Er ya da geç kaynaklar tükenecek; uzay, enerji, su vb. Bu nedenle popülasyonlar yalnızca bir süreliğine katlanarak büyüyebilir ve er ya da geç büyümelerinin yavaşlaması gerekir. Bunu yapmak için denklemi, nüfus büyüklüğü mümkün olan maksimuma yaklaştığında (dış çevre tarafından desteklenebilir) büyüme hızı yavaşlayacak şekilde değiştirmeniz gerekir. Buna maksimum nüfus büyüklüğü diyelim. Daha sonra değiştirilmiş denklem şöyle görünecektir:

Yırtıcı-av ilişkisi

Bazen basit bir matematiksel model karmaşık bir biyolojik sistemi iyi tanımlayabilir. Bunun bir örneği, bir ekosistemdeki yırtıcı ve av türleri arasındaki uzun vadeli ilişkidir. Tek bir türün popülasyon artışına ilişkin matematiksel hesaplamalar (yukarıya bakınız), popülasyon yoğunluğunun sınırlarının, karakteristik bir S-şekilli eğri üreten basit denklemlerle tanımlanabileceğini göstermektedir. Bu, küçükken katlanarak büyüyen ve ekosistemin onu destekleme yeteneğinin sınırlarına ulaştıkça dengelenen bir nüfus eğrisidir. Bu kavramın basit bir şekilde genişletilmesi, iki türün (avcı ve yırtıcı) etkileşime girdiği bir ekosistemi anlamamızı sağlar.

Yani, eğer otçul avların sayısı ve etobur avcıların sayısı ise, o zaman bir yırtıcının bir otoburla karşılaşma olasılığı ürünle orantılıdır. Yani bir türün bolluğu ne kadar yüksekse, bu tür karşılaşmaların olasılığı da o kadar yüksek olur. Yırtıcı hayvanların yokluğunda av popülasyonu katlanarak artacak (en azından başlangıçta) ve avın yokluğunda yırtıcı popülasyonu açlık veya göç nedeniyle sıfıra düşecek. Şimdi, otçulların popülasyonundaki zaman içindeki değişim ve aynı zaman aralığında etobur popülasyonundaki değişim ise, o zaman iki popülasyon aşağıdaki denklemlerle tanımlanır:

Bu denklemlerin çözülmesi, her iki popülasyonun da döngüsel olarak geliştiğini gösterir. Otçul popülasyonu artarsa ​​yırtıcı-av karşılaşma olasılığı artar ve buna bağlı olarak (bir süre sonra) yırtıcı hayvan popülasyonu da artar. Ancak yırtıcı hayvanların popülasyonundaki bir artış, otçulların popülasyonunda bir azalmaya yol açar (yine bir miktar gecikmeden sonra), bu da yırtıcı hayvanların yavrularının sayısında bir azalmaya yol açar ve bu da otçulların sayısını artırır, vb. Bu iki popülasyon zaman içinde vals yapıyor gibi görünüyor; biri değiştiğinde diğeri de değişiyor.

James Trefil'in Ansiklopedisi “Bilimin Doğası. Evrenin 200 kanunu."
James Trefil, popüler bilim kitaplarının en ünlü Batılı yazarlarından biri olan George Mason Üniversitesi'nde (ABD) fizik profesörüdür.

Üstel büyüme

Üstel büyüme- Büyüme oranı miktarın değeriyle orantılı olduğunda, miktardaki artış. Böyle bir büyümenin itaat ettiğini söylüyorlar üstel yasa. Üstel büyüme, daha yavaş (yeterince uzun bir süre boyunca) doğrusal, güçlü veya geometrik bağımlılıklarla tezat oluşturur.

Özellikler

Üstel olarak büyüyen herhangi bir miktar için, aldığı değer ne kadar büyükse, o kadar hızlı büyür. Bu aynı zamanda bağımlı değişkenin büyüklüğü ile büyüme hızının doğru orantılı olduğu anlamına da gelir. Ancak aynı zamanda hiperbolik bir eğrinin aksine, üstel bir eğri asla sonlu bir zaman diliminde sonsuza gitmez.

Üstel büyümenin sonuçta herhangi bir geometrik ilerlemeden, herhangi bir güç ilerlemesinden ve hatta herhangi bir doğrusal büyümeden daha hızlı olduğu ortaya çıkıyor.

Matematiksel gösterim

Üstel büyüme diferansiyel denklemle tanımlanır:

Bu diferansiyel denklemin çözümü üsteldir:

Örnekler

Üstel büyümeye bir örnek, kaynak sınırlaması ortaya çıkmadan önce bir kolonideki bakteri sayısının artması olabilir. Üstel büyümenin bir başka örneği de bileşik faizdir.

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Üstel büyümenin” ne olduğunu görün:

Değeriyle orantılı bir oranda büyüyen bir miktardaki artış (geometrik ilerlemedeki artış). Böyle bir büyümenin üstel yasaya uyduğunu söylüyorlar. Bu, katlanarak artan herhangi bir miktar için... ... İş terimleri sözlüğü

üstel büyüme- eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. üstel yükselen vok. Üstel anstieg, m rus. üstel büyüme, m pranc. accroissement üs, m … Fizikos terminų žodynas

ÜSTEL BÜYÜME- nispeten sabit bir oranda büyüme... Botanik terimleri sözlüğü

Zaman içinde kaliteyi artırma süreci. Nitelikler hem fiziksel (örneğin boy uzaması) hem de soyut (örneğin insanın olgunlaşması, sistemin genişlemesi) olabilir: Hücresel büyüme veya çoğalma Nüfus artışı Büyüme ... ... Vikipedi

YÜKSEKLİK- gelişmekte olan organizmanın boyutunda bir artış anlamına gelir. Tipik durumlarda, R. ağırlık artışıyla ilişkilidir, ancak vücut ağırlığındaki her artışı R. olarak tanımlamıyoruz (örneğin, bazı hayvanlarda yağ birikmesi, üreme ürünlerinin birikmesi, ... ... Büyük Tıp Ansiklopedisi

Matematikte üstel büyüme, değeriyle orantılı bir oranda büyüyen bir miktardaki (geometrik ilerlemedeki artış) üstel bir artıştır. Böyle bir büyümenin üstel yasaya uyduğunu söylüyorlar. Burası... ... Vikipedi

- [algoritmadan!; algorismus, aslen Lat. İsmin harf çevirisi bkz. Asya. 9. yüzyıl bilim adamı Khorezmi (Muhammed bin Musa al Khorezmi)], davranış yöntemini (hesaplama) belirleyen bir program; etkili olması için kurallar (reçeteler) sistemi... ... Felsefi Ansiklopedi

Zaman içinde değişen derecelerde tekrarlanabilirliğe sahip hareketler veya süreçler. K. tüm doğal olayların karakteristik özelliğidir: yıldızların radyasyonu titreşir ve içlerinde döngüsel olaylar meydana gelir. BEN. reaksiyonlar; Gezegenler yüksek derecede periyodiklikle dönüyorlar. Fiziksel ansiklopedi

Herhangi bir Diophantine denkleminden bir çözümü olup olmadığını anlamak için bir algoritma bulma problemi. Sorunu ortaya koyarken esas olan, herhangi bir denklem için uygun olması gereken evrensel bir yöntem bulma gerekliliğidir (hepsi bilinmektedir... ... Matematik Ansiklopedisi

Üç çıkışlı bir algılayıcının mantıksal devresi Perceptron veya algılayıcı (İngilizce algılayıcı ... Wikipedia'dan)

Kitabın

• Dünyanın Büyük Gölleri, V.A. Rumyantsev, V. G. Drabkova, A. V. Izmailova. Nüfusun katlanarak artması ve buna bağlı olarak sanayi ve tarımın büyümesi, yalnızca tatlı su rezervlerinde felaket niteliğinde bir kıtlığa değil, aynı zamanda bunların bozulmasına da yol açıyor...