Talimatlar
Bir dairenin bilinen bir alanının yarıçapını bulmak için Pi'yi kullanın. Bu sabit, bir dairenin çapı ile sınırının (daire) uzunluğu arasındaki oranı belirler. Bir dairenin uzunluğu, onun yardımıyla kaplanabilen düzlemin maksimum alanıdır ve çap iki yarıçapa eşittir, dolayısıyla alan ve yarıçap da birbiriyle ifade edilebilecek bir oranla ilişkilidir. Pi numarası. Bu sabit (π), dairenin alanı (S) ve kare yarıçapı (r) olarak tanımlanır. Bundan, yarıçapın, alanın Pi'ye bölümünün karekökü olarak ifade edilebileceği sonucu çıkar: r=√(S/π).
Erastothenes, antik dünyanın en ünlü kütüphanesi olan İskenderiye Kütüphanesi'nin uzun süre başkanlığını yaptı. Gezegenimizin büyüklüğünü hesaplamanın yanı sıra çok sayıda önemli icat ve keşif yaptı. Asal sayıları belirlemek için artık "Erasstophenes Eleği" adı verilen basit bir yöntem icat etti.
O dönemde eski Yunanlıların bildiği dünyanın tüm bölgelerini gösteren bir “dünya haritası” çizdi. Harita, zamanının en iyilerinden biri olarak kabul edildi. Bir boylam ve enlem sistemi ve artık yılları içeren bir takvim geliştirdi. İlk gökbilimciler tarafından gökyüzündeki yıldızların görünen hareketini göstermek ve tahmin etmek için kullanılan mekanik bir cihaz olan halkalı küreyi icat etti. Ayrıca 675 yıldızdan oluşan bir yıldız kataloğu da derledi.
Kaynaklar:
- Yunan bilim adamı Cyrene'li Eratosthenes, Dünya'nın yarıçapını hesaplayan dünyada ilk kişiydi.
- Eratosthenes "Dünyanın Çevresinin Hesaplanması"
- Eratostenes
Daireler daha dikkatli bir yaklaşım gerektirir ve B5 görevlerinde çok daha az yaygındır. Aynı zamanda, genel çözüm şeması çokgenlere göre daha basittir (bkz. “Koordinat ızgarasındaki çokgenlerin alanları” dersi).
Bu tür görevlerde gerekli olan tek şey R çemberinin yarıçapını bulmaktır. Daha sonra S = πR 2 formülünü kullanarak dairenin alanını hesaplayabilirsiniz. Ayrıca bu formülden, bunu çözmek için R2'yi bulmanın yeterli olduğu sonucu çıkar.
Belirtilen değerleri bulmak için daire üzerinde ızgara çizgilerinin kesişiminde bulunan bir noktayı belirtmeniz yeterlidir. Ve sonra Pisagor teoremini kullanın. Yarıçapı hesaplamanın belirli örneklerine bakalım:
Görev. Şekilde gösterilen üç dairenin yarıçaplarını bulun:
Her dairede ek yapılar yapalım:
Her durumda, daire üzerinde ızgara çizgilerinin kesişiminde yer alacak şekilde B noktası seçilir. 1 ve 3 numaralı dairelerin içindeki C noktası, şekli bir dik üçgene tamamlar. Yarıçapı bulmak için kalır:
İlk çemberdeki ABC üçgenini düşünün. Pisagor teoremine göre: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
İkinci daire için her şey açıktır: R = AB = 2.
Üçüncü durum da birinciye benzer. Pisagor teoremini kullanarak ABC üçgeninden: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Artık bir dairenin yarıçapını (veya en azından karesini) nasıl bulacağımızı biliyoruz. Bu nedenle alanı bulabiliriz. Çemberin tamamını değil, bir sektörün alanını bulmanız gereken sorunlar var. Böyle durumlarda bu sektörün dairenin hangi parçası olduğunu bulmak ve dolayısıyla alanı bulmak kolaydır.
Görev. Taralı sektörün S alanını bulun. Lütfen cevabınızda S/π'yi belirtin.
Açıkçası, sektör bir dairenin dörtte biri. Bu nedenle S = 0,25 S çemberi.
Çemberin S'sini - çemberin alanını bulmak için kalır. Bunu yapmak için ek bir inşaat gerçekleştiriyoruz:
ABC üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor teoremine göre elimizde: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Şimdi dairenin alanını ve sektörü buluyoruz: S daire = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S dairesi = 2π.
Son olarak istenilen değer S /π = 2’dir.
Bilinmeyen yarıçaplı sektör alanı
Bu tamamen yeni bir görev; 2010-2011'de buna benzer bir şey yoktu. Koşula göre bize belirli bir alana sahip bir daire verilir (yani alan, yarıçap değil!). Daha sonra bu dairenin içinde alanının bulunması gereken bir sektör seçilir.
İyi haber şu ki, bu tür problemler matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan tüm alan problemleri arasında en kolay olanlardır. Ayrıca daire ve sektör her zaman bir koordinat ızgarasına yerleştirilir. Bu nedenle, bu tür sorunların nasıl çözüleceğini öğrenmek için resme bakın:
Orijinal dairenin alanı S = 80 olsun. Daha sonra her birinin alanı S = 40 olan iki sektöre bölünebilir (bkz. adım 2). Benzer şekilde, bu "yarım" sektörlerin her biri tekrar ikiye bölünebilir - her birinin alanı S = 20 olan dört sektör elde ederiz (bkz. adım 3). Son olarak, bu sektörlerin her birini iki parçaya daha bölebiliriz - 8 "hurda" sektör elde ederiz. Bu “hurdaların” her birinin alanı S = 10 olacaktır.
Lütfen unutmayın: Herhangi bir USE matematik probleminde daha ince bir bölüm yoktur! Dolayısıyla Problem B-3'ü çözme algoritması aşağıdaki gibidir:
- Orijinal daireyi 8 "artık" sektöre ayırın. Her birinin alanı tüm dairenin alanının tam olarak 1/8'idir. Örneğin, koşula göre dairenin alanı S = 240 ise, o zaman “artıklar”ın alanı S = 240: 8 = 30;
- Alanının bulunması gereken orijinal sektöre kaç tane "hurda" sığdığını öğrenin. Örneğin sektörümüz alanı 30 olan 3 “hurda” içeriyorsa o zaman istenilen sektörün alanı S = 3 · 30 = 90 olur. Cevap bu olacaktır.
Bu kadar! Sorun pratik olarak sözlü olarak çözülür. Hala bir şey net değilse, bir pizza alın ve onu 8 parçaya bölün. Bu tür parçaların her biri, daha büyük parçalar halinde birleştirilebilecek aynı sektör "hurdaları" olacaktır.
Şimdi Birleşik Devlet Sınavı denemesinden örneklere bakalım:
Görev. Kareli kağıda alanı 40 olan bir daire çizilir. Gölgeli şeklin alanını bulun.
Yani dairenin alanı 40'tır. Her birinin alanı S = 40: 5 = 8 olan 8 sektöre bölün. Şunu elde ederiz:
Açıkçası, gölgeli sektör tam olarak iki "hurda" sektörden oluşuyor. Dolayısıyla alanı 2 · 5 = 10'dur. Bütün çözüm bu!
Görev. Kareli kağıda alanı 64 olan bir daire çizilir. Gölgeli şeklin alanını bulun.
Yine tüm daireyi 8 eşit sektöre bölün. Açıkçası bunlardan birinin alanı tam olarak bulunması gereken şey. Dolayısıyla alanı S = 64: 8 = 8'dir.
Görev. Kareli kağıda alanı 48 olan bir daire çizilir. Gölgeli şeklin alanını bulun.
Yine daireyi 8 eşit sektöre bölün. Her birinin alanı S = 48: 8 = 6'ya eşittir. Gerekli sektör tam olarak üç sektör içerir - “hurdalar” (şekle bakın). Dolayısıyla gerekli sektörün alanı 3 6 = 18'dir.
Daire hesaplayıcı, şekillerin geometrik boyutlarını çevrimiçi olarak hesaplamak için özel olarak tasarlanmış bir hizmettir. Bu hizmet sayesinde daireye dayalı bir şeklin herhangi bir parametresini kolayca belirleyebilirsiniz. Örneğin: Bir topun hacmini biliyorsunuz ama alanını bulmanız gerekiyor. Hiçbir şey daha kolay olamaz! Uygun seçeneği seçin, sayısal bir değer girin ve Hesapla düğmesini tıklayın. Hizmet yalnızca hesaplamaların sonuçlarını görüntülemekle kalmıyor, aynı zamanda bunların yapıldığı formülleri de sağlıyor. Hizmetimizi kullanarak yarıçapı, çapı, çevreyi (dairenin çevresi), dairenin ve topun alanını ve topun hacmini kolayca hesaplayabilirsiniz.
Yarıçapı hesapla
Yarıçap değerini hesaplama sorunu en yaygın sorunlardan biridir. Bunun nedeni oldukça basittir, çünkü bu parametreyi bilerek bir dairenin veya topun diğer herhangi bir parametresinin değerini kolayca belirleyebilirsiniz. Sitemiz tam olarak bu şema üzerine inşa edilmiştir. Hangi başlangıç parametresini seçmiş olursanız olun, öncelikle yarıçap değeri hesaplanır ve sonraki tüm hesaplamalar buna göre yapılır. Hesaplamaların daha doğru olması için site, 10. ondalık basamağa yuvarlanan Pi'yi kullanır.
Çapı hesapla
Çapın hesaplanması, hesap makinemizin gerçekleştirebileceği en basit hesaplama türüdür. Çap değerini manuel olarak almak hiç de zor değil, bunun için internete başvurmanıza hiç gerek yok. Çap, yarıçap değerinin 2 ile çarpımına eşittir. Çap, günlük yaşamda çok sık kullanılan bir dairenin en önemli parametresidir. Kesinlikle herkesin doğru hesaplayabilmesi ve kullanabilmesi gerekir. Web sitemizin yeteneklerini kullanarak, çapı saniyeden çok daha kısa bir sürede büyük bir doğrulukla hesaplayacaksınız.
Çevreyi öğrenin
Çevremizde ne kadar çok yuvarlak nesne bulunduğunu ve bunların hayatımızda ne kadar önemli bir rol oynadığını hayal bile edemezsiniz. Çevreyi hesaplama yeteneği, sıradan bir sürücüden önde gelen bir tasarım mühendisine kadar herkes için gereklidir. Çevreyi hesaplama formülü çok basittir: D=2Pr. Hesaplama bir kağıt parçası üzerinde veya bu çevrimiçi asistanı kullanarak kolayca yapılabilir. İkincisinin avantajı tüm hesaplamaları resimlerle göstermesidir. Ve her şeyin ötesinde, ikinci yöntem çok daha hızlıdır.
Bir dairenin alanını hesaplayın
Bu makalede listelenen tüm parametreler gibi dairenin alanı da modern uygarlığın temelidir. Bir dairenin alanını hesaplayabilmek ve bilmek, istisnasız nüfusun tüm kesimleri için faydalıdır. Bir dairenin alanını bilmenin gerekli olmadığı bir bilim ve teknoloji alanını hayal etmek zordur. Hesaplama formülü yine zor değil: S=PR 2. Bu formül ve çevrimiçi hesap makinemiz, herhangi bir dairenin alanını fazladan çaba harcamadan bulmanıza yardımcı olacaktır. Sitemiz hesaplamaların yüksek doğruluğunu ve ışık hızında yürütülmesini garanti eder.
Bir kürenin alanını hesaplayın
Bir topun alanını hesaplama formülü, önceki paragraflarda açıklanan formüllerden daha karmaşık değildir. S=4Pr2. Bu basit harf ve rakamlar dizisi, insanların uzun yıllardır bir topun alanını oldukça doğru bir şekilde hesaplamasına olanak tanıyor. Bu nerede uygulanabilir? Evet her yerde! Mesela biliyorsunuz dünyanın alanı 510.100.000 kilometrekare. Bu formülün bilgisinin nerede uygulanabileceğini listelemek faydasız. Kürenin alanını hesaplamak için formülün kapsamı çok geniştir.
Topun hacmini hesaplayın
Topun hacmini hesaplamak için V = 4/3 (Pr 3) formülünü kullanın. Çevrimiçi hizmetimizi oluşturmak için kullanıldı. Web sitesi, aşağıdaki parametrelerden herhangi birini biliyorsanız, bir topun hacmini saniyeler içinde hesaplamayı mümkün kılar: yarıçap, çap, çevre, bir dairenin alanı veya bir topun alanı. Ayrıca bunu ters hesaplamalar için de kullanabilirsiniz; örneğin bir topun hacmini bilmek ve yarıçapının veya çapının değerini bulmak için. Daire hesaplayıcımızın özelliklerine hızlıca göz attığınız için teşekkür ederiz. Umarız sitemizi beğenmişsinizdir ve siteyi favorilerinize eklemişsinizdir.
- Çapın uzunluğu, dairenin merkezinden geçen ve dairenin iki zıt noktasını birleştiren bir segmenttir veya yarıçap, uç noktalarından biri dairenin merkezinde olan ve ikincisi olan bir segmenttir. dairenin yayında. Böylece çap, yarıçapın uzunluğunun ikiyle çarpımına eşittir.
- π sayısının değeri. Bu değer bir sabittir; sonu olmayan irrasyonel bir kesirdir. Ancak periyodik değildir. Bu sayı oranı ifade eder çevre yarıçapına kadar. Okul ders ödevlerinde bir dairenin alanını hesaplamak için, yüzde bir doğrulukla verilen π değeri kullanılır - 3.14.
Bir dairenin alanını, parçasını veya sektörünü bulmak için formüller
Geometrik problemin özel koşullarına bağlı olarak iki bir dairenin alanını bulmak için formüller:
Bir dairenin alanını bulmanın en kolay yolunu belirlemek için görevin koşullarını dikkatlice analiz etmeniz gerekir.
Okul geometrisi kursu ayrıca özel formüllerin kullanıldığı bölümlerin veya sektörlerin alanının hesaplanmasına ilişkin görevleri de içerir:
- Sektör, bir daire ve merkezde bulunan tepe noktasıyla bir açıyla sınırlanan bir dairenin parçasıdır. Sektör alanı şu formül kullanılarak hesaplanır: S = (π*r 2 /360)*A;
- r – yarıçap;
- A açının derece cinsinden büyüklüğüdür.
- r – yarıçap;
- p – yay uzunluğu.
- Segment, bir dairenin (akor) ve bir dairenin bir bölümü ile sınırlı bir kısımdır. Alanı S=(π*r 2 /360)*A formülü kullanılarak bulunabilir. ± S ∆ ;
Ayrıca ikinci bir seçenek daha vardır: S = 0,5*p*r;
- r – yarıçap;
- A – derece cinsinden açı değeri;
- S ∆ – kenarları dairenin yarıçapı ve akoru olan bir üçgenin alanı; bu durumda köşelerinden biri dairenin merkezinde, diğer ikisi ise daire yayının kirişle temas noktalarında bulunur. Önemli bir nokta, A'nın değeri 180 dereceden küçükse eksi işareti, 180 dereceden büyükse artı işareti konulmasıdır.
Geometrik bir problemin çözümünü basitleştirmek için hesaplayabilirsiniz. bir dairenin alanı çevrimiçi. Özel bir program, hesaplamayı birkaç saniye içinde hızlı ve doğru bir şekilde yapacaktır. Çevrimiçi şekillerin alanı nasıl hesaplanır? Bunu yapmak için bilinen ilk verileri girmeniz gerekir: yarıçap, çap, açı.
merkezden eşit uzaklıktaki bir dizi noktayı temsil eden düz bir şekildir. Hepsi aynı uzaklıkta ve bir daire oluşturuyor.
Bir dairenin merkezini çevresindeki noktalara birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? yarıçap. Her dairede tüm yarıçaplar birbirine eşittir. Bir çember üzerinde iki noktayı birleştiren ve merkezden geçen doğruya ne denir çap. Bir dairenin alanı formülü matematiksel bir sabit - π sayısı kullanılarak hesaplanır.
Bu ilginç : Sayı π. bir dairenin çevresinin çapının uzunluğuna oranını temsil eder ve sabit bir değerdir. π = 3,1415926 değeri L. Euler'in 1737'deki çalışmasından sonra kullanılmıştır.
Bir dairenin alanı π sabiti kullanılarak hesaplanabilir. ve dairenin yarıçapı. Bir dairenin alanının yarıçap cinsinden formülü şöyle görünür:
Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını hesaplamanın bir örneğine bakalım. Bize yarıçapı R = 4 cm olan bir daire verilsin. Şeklin alanını bulalım.
Dairemizin alanı 50,24 metrekare olacaktır. santimetre.
Bir formül var çap boyunca bir dairenin alanı. Ayrıca gerekli parametreleri hesaplamak için yaygın olarak kullanılır. Bu formüller bulmak için kullanılabilir.
Yarıçapını bilerek bir dairenin alanını çapı boyunca hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Bize yarıçapı R = 4 cm olan bir daire verilsin. Öncelikle bilindiği gibi yarıçapın iki katı olan çapı bulalım.
Şimdi verileri yukarıdaki formülü kullanarak bir dairenin alanını hesaplama örneği için kullanıyoruz:
Gördüğünüz gibi sonuç, ilk hesaplamalardaki cevabın aynısıdır.
Bir dairenin alanını hesaplamak için standart formüller bilgisi gelecekte kolayca belirlemenize yardımcı olacaktır sektör alanı ve eksik miktarları kolayca bulun.
Bir dairenin alanı formülünün, π sabit değerinin dairenin yarıçapının karesiyle çarpılmasıyla hesaplandığını zaten biliyoruz. Yarıçap, çevre cinsinden ifade edilebilir ve formüldeki ifadeyi, dairenin alanı yerine çevre cinsinden değiştirebilir:
Şimdi bu eşitliği dairenin alanını hesaplama formülünde yerine koyalım ve çevreyi kullanarak dairenin alanını bulma formülünü elde edelim.
Çevreyi kullanarak bir dairenin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Uzunluğu l = 8 cm olan bir daire verilsin ve değeri türetilmiş formülde yerine koyun: 
Dairenin toplam alanı 5 metrekare olacaktır. santimetre.
Bir karenin çevrelediği dairenin alanı
Bir karenin çevrelediği dairenin alanını bulmak çok kolaydır.
Bunu yapmak için sadece karenin kenarına ve basit formül bilgisine ihtiyacınız var. Karenin köşegeni, çevrelenen dairenin köşegenine eşit olacaktır. a tarafını bilerek Pisagor teoremini kullanarak bulunabilir: buradan.
Köşegeni bulduktan sonra yarıçapı hesaplayabiliriz: .
Ve sonra her şeyi bir karenin çevrelediği dairenin alanı için temel formülde değiştireceğiz:
