Trigonometride çift açılı formüller. Trigonometri formülleri

Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.

Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.

Sayfada gezinme.

Temel trigonometrik kimlikler

Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanmaktadır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.

Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.

Azaltma formülleri

Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.

Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.

Toplama formülleri

Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.

İkili, üçlü vb. formüller. açı

İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.

Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı

Yarım açı formülleri

Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.

Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.

Derece azaltma formülleri

Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller trigonometrik fonksiyonların doğal kuvvetlerinden birinci dereceden ancak çok açılı sinüs ve kosinüslere geçişi kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller

Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.

Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller

Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.site'nin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.

En Sık Sorulan Sorular

Verilen örneğe göre bir belgeye damga basmak mümkün müdür? Cevap Evet mümkün. Taranmış bir kopyayı veya kaliteli bir fotoğrafı e-posta adresimize gönderin, gerekli kopyayı oluşturalım.

Ne tür ödemeleri kabul ediyorsunuz? Cevap Diplomanın tamamlanma doğruluğunu ve uygulanma kalitesini kontrol ettikten sonra, kurye tarafından teslim alındıktan sonra belgenin ödemesini yapabilirsiniz. Bu aynı zamanda teslimatta nakit ödeme hizmeti sunan posta şirketlerinin ofislerinde de yapılabilir.
Belgelere ilişkin tüm teslimat ve ödeme koşulları “Ödeme ve Teslimat” bölümünde açıklanmıştır. Belgenin teslimat ve ödeme koşullarıyla ilgili önerilerinizi de dinlemeye hazırız.

Sipariş verdikten sonra paramla birlikte ortadan kaybolmayacağınızdan emin olabilir miyim? Cevap Diploma üretimi alanında oldukça uzun bir deneyime sahibiz. Sürekli güncellenen birçok web sitemiz var. Uzmanlarımız ülkenin farklı yerlerinde çalışıyor ve günde 10'dan fazla belge üretiyor. Yıllar geçtikçe belgelerimiz birçok kişinin istihdam sorunlarını çözmesine veya daha yüksek maaşlı işlere geçmesine yardımcı oldu. Müşteriler arasında güven ve tanınma kazandık, dolayısıyla bunu yapmamız için kesinlikle hiçbir neden yok. Üstelik bunu fiziksel olarak yapmak kesinlikle imkansızdır: Siparişinizi elinize aldığınızda ödersiniz, ön ödeme yoktur.

Herhangi bir üniversiteden diploma sipariş edebilir miyim? Cevap Genel olarak evet. Yaklaşık 12 yıldır bu alanda çalışıyoruz. Bu süre zarfında, ülkedeki hemen hemen tüm üniversiteler tarafından ve farklı yayınlanma yılları için yayınlanan neredeyse eksiksiz bir belge veri tabanı oluşturuldu. Tek ihtiyacınız olan üniversiteyi, uzmanlık alanını, belgeyi seçip sipariş formunu doldurmak.

Bir belgede yazım hataları ve hatalar bulursanız ne yapmalısınız? Cevap Kurye veya posta şirketimizden belge alırken tüm detayları dikkatlice kontrol etmenizi öneririz. Bir yazım hatası, hata veya yanlışlık tespit edilmesi durumunda diplomayı teslim almama hakkına sahipsiniz ancak tespit edilen kusurları kuryeye bizzat veya yazılı olarak e-posta göndererek bildirmeniz gerekir.
Belgeyi en kısa sürede düzeltip belirtilen adrese tekrar göndereceğiz. Kargo ücreti elbette firmamız tarafından ödenecektir.
Bu tür yanlış anlaşılmaları önlemek için, orijinal formu doldurmadan önce, nihai versiyonun kontrol edilmesi ve onaylanması için müşteriye e-posta yoluyla gelecekteki belgenin bir modelini gönderiyoruz. Belgeyi kurye veya posta yoluyla göndermeden önce, sonunda ne alacağınıza dair net bir fikriniz olması için ek fotoğraf ve videolar da çekiyoruz (ultraviyole ışık dahil).

Şirketinizden diploma siparişi vermek için ne yapmalıyım? Cevap Bir belge (sertifika, diploma, akademik sertifika vb.) sipariş etmek için web sitemizdeki çevrimiçi sipariş formunu doldurmanız veya size doldurup geri göndermeniz gereken başvuru formunu gönderebilmemiz için e-posta adresinizi vermeniz gerekir. bize.
Sipariş formunun/anketin herhangi bir alanında ne belirtmeniz gerektiğini bilmiyorsanız boş bırakın. Bu nedenle tüm eksik bilgileri telefonla netleştireceğiz.

En son incelemeler

Valentina:

Oğlumuzu kovulmaktan kurtardınız! Gerçek şu ki oğlum üniversiteyi bıraktıktan sonra orduya katıldı. Ve geri döndüğünde iyileşmek istemedi. Diplomasız çalıştı. Ancak son zamanlarda “kabuğu” olmayan herkesi kovmaya başladılar. Bu yüzden sizinle iletişime geçmeye karar verdik ve pişman olmadık! Artık sakince çalışıyor ve hiçbir şeyden korkmuyor! Teşekkür ederim!

– Kesinlikle trigonometri ile ilgili görevler olacak. Trigonometri, sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlarla dolu çok sayıda zor formülü doldurma ihtiyacı nedeniyle çoğu zaman sevilmez. Site zaten bir zamanlar Euler ve Peel formülleri örneğini kullanarak unutulmuş bir formülün nasıl hatırlanacağı konusunda tavsiyeler vermişti.

Ve bu makalede, yalnızca beş basit trigonometrik formülü kesin olarak bilmenin ve geri kalanı hakkında genel bir anlayışa sahip olmanın ve ilerledikçe bunları türetmenin yeterli olduğunu göstermeye çalışacağız. Tıpkı DNA'da olduğu gibi: Molekül, tamamlanmış bir canlı yaratığın tüm planlarını saklamaz. Aksine, mevcut amino asitlerden bir araya getirilmesi için talimatlar içerir. Yani trigonometride bazı genel prensipleri bilerek, akılda tutulması gereken küçük bir formül kümesinden gerekli tüm formülleri alacağız.

Aşağıdaki formüllere güveneceğiz:

Sinüs ve kosinüs toplamları formüllerinden, kosinüs fonksiyonunun paritesini ve sinüs fonksiyonunun tuhaflığını bilerek, b yerine -b'yi koyarak, farklar için formüller elde ederiz:

1. Farkın sinüsü: günah(a-b) = günahAçünkü(-B)+çünküAgünah(-B) = günahAçünküB-çünküAgünahB
2. Farkın kosinüsü: çünkü(a-b) = çünküAçünkü(-B)-günahAgünah(-B) = çünküAçünküB+günahAgünahB

a = b'yi aynı formüllere yerleştirerek çift açıların sinüs ve kosinüs formüllerini elde ederiz:

1. Çift açının sinüsü: günah2a = günah(a+a) = günahAçünküA+çünküAgünahA = 2günahAçünküA
2. Çift açının kosinüsü: çünkü2a = çünkü(a+a) = çünküAçünküA-günahAgünahA = çünkü2 bir-günah2 bir

Diğer çoklu açıların formülleri de benzer şekilde elde edilir:

1. Üçlü açının sinüsü: günah3 A = günah(2a+a) = günah2açünküA+çünkü2agünahA = (2günahAçünküA)çünküA+(çünkü2 bir-günah2 bir)günahA = 2günahAçünkü2 bir+günahAçünkü2 bir-günah 3 bir = 3 günahAçünkü2 bir-günah 3 bir = 3 günahA(1-günah2 bir)-günah 3 bir = 3 günahA-4günah 3 A
2. Üçlü açının kosinüsü: çünkü3 A = çünkü(2a+a) = çünkü2açünküA-günah2agünahA = (çünkü2 bir-günah2 bir)çünküA-(2günahAçünküA)günahA = çünkü 3 A- günah2 birçünküA-2günah2 birçünküA = çünkü 3 a-3 günah2 birçünküA = çünkü 3 a-3(1- çünkü2 bir)çünküA = 4çünkü 3 a-3 çünküA

Devam etmeden önce bir soruna bakalım.
Verilen: açı dardır.
Eğer kosinüsünü bulun
Bir öğrencinin verdiği çözüm:
Çünkü , O günahA= 3,a çünküA = 4.
(Matematik mizahından)

Dolayısıyla tanjantın tanımı bu fonksiyonu hem sinüs hem de kosinüs ile ilişkilendirir. Ancak teğeti yalnızca kosinüsle ilişkilendiren bir formül elde edebilirsiniz. Bunu türetmek için ana trigonometrik özdeşliği alıyoruz: günah 2 A+çünkü 2 A= 1 ve bunu böl çünkü 2 A. Şunu elde ederiz:

Yani bu sorunun çözümü şöyle olacaktır:

(Açı dar olduğundan kök çıkartılırken + işareti alınır)

Bir toplamın tanjant formülü hatırlanması zor olan başka bir formüldür. Şu şekilde çıktısını alalım:

Hemen görüntülenir ve

Çift açı için kosinüs formülünden yarım açı için sinüs ve kosinüs formüllerini elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için çift açılı kosinüs formülünün sol tarafına uygulayın:
çünkü2 A = çünkü 2 A-günah 2 A
bir tane ekliyoruz ve sağa - bir trigonometrik birim, yani. sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı.
çünkü2a+1 = çünkü2 bir-günah2 bir+çünkü2 bir+günah2 bir
2çünkü 2 A = çünkü2 A+1
İfade etme çünküA başından sonuna kadar çünkü2 A ve değişkenleri değiştirerek şunu elde ederiz:

İşaret çeyreğe bağlı olarak alınır.

Benzer şekilde eşitliğin sol tarafından bir ve sağdan sinüs ve kosinüs karelerinin toplamından bir çıkardığımızda şunu elde ederiz:
çünkü2a-1 = çünkü2 bir-günah2 bir-çünkü2 bir-günah2 bir
2günah 2 A = 1-çünkü2 A

Son olarak trigonometrik fonksiyonların toplamını çarpıma dönüştürmek için aşağıdaki tekniği kullanıyoruz. Diyelim ki sinüslerin toplamını bir çarpım olarak temsil etmemiz gerekiyor günahA+günahB. a = x+y, b+x-y olacak şekilde x ve y değişkenlerini tanıtalım. Daha sonra
günahA+günahB = günah(x+y)+ günah(x-y) = günah X çünkü y+ çünkü X günah y+ günah X çünkü y- çünkü X günah y=2 günah X çünkü y. Şimdi x ve y'yi a ve b cinsinden ifade edelim.

a = x+y, b = x-y olduğundan, o zaman . Bu yüzden

Hemen geri çekilebilirsiniz

1. Bölümlendirme formülü sinüs ve kosinüs çarpımları V miktar: günahAçünküB = 0.5(günah(a+b)+günah(a-b))

Sinüslerin farkını ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpıma dönüştürmek, sinüs ve kosinüslerin çarpımlarını toplama bölmek için kendi başınıza pratik yapmanızı ve formüller türetmenizi öneririz. Bu alıştırmaları tamamladıktan sonra, trigonometrik formülleri türetme becerisinde iyice ustalaşacak ve en zor testlerde, olimpiyatlarda veya testlerde bile kaybolmayacaksınız.

Trigonometri, çalışmaları açılara ve aralarındaki ilişkilere odaklanan matematik dallarından biridir. Bilimin temelleri okul yıllarında açı fonksiyonlarının tanımlarının öğrenilmesiyle atılır. Gelecekte ortaya çıkan temel astronomi, alet yapımı, mimari ve diğer bilgi alanlarının geliştirilmesinde kullanılacak. Herhangi bir kesin bilim gibi trigonometri de formüller olmadan yapamaz. Çift argümanı belirlemeye yönelik ifadeler pratik uygulama buldu. Örneğin uygun denklemi kullanarak çift sinüs açısını kolayca bulabilirsiniz.

Hesaplama için trigonometrik ifade

İfade basitçe yazılır ve hatırlanır: Çift açının sinüsü, tek bir argümanın sinüs ve kosinüsünün çift çarpımı olarak hesaplanır.

Bu formül, açıların toplamının sinüsü ifadesinden türetilmiştir ( Q 1 + Q 2 ) :

günah( Q 1 + Q 2) = günah Q 1*çünkü Q 1 + günah Q 2*çünkü Q 2 .

Verilen açıların birbirine eşit olduğu varsayılarak formül alışılmış biçimde yazılır.

İfade, işlev bağımsız değişkeninin herhangi bir değeri için kullanılabilir. Buradan çift sinüs açısını hesaplamak oldukça basittir; aşağıdaki örnekler bunu doğrulamanıza yardımcı olacaktır.

Kullanım örneği

Ortaya çıkan formülün uygulanmasına ilişkin bazı resimler aşağıda verilmiştir. 60 dereceye eşit bir açının sinüsünün trigonometrik fonksiyonunun değerini hesaplamanız gereksin. Karşılık gelen tek açı 30 derece olacaktır. 30 derecelik bir açının sinüs ve kosinüs değerleri bilindiğinden çift sinüs açısı sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30 olacaktır.

Formül yalnızca manuel hesaplamalar için kullanılmaz; değerler matematik paketleri veya MS Excel tabloları kullanılarak da bulunabilir.

Trigonometrik özdeşlik basitliğine rağmen okul mezunları için zorluklara neden olmaktadır. Bu, Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin geliştiricilerinin, temel formülleri kontrol etmek için testler sunduklarında tam olarak güvendikleri şeydir. Sonuç - çift sinüs açısını hesaplamak için bunu ezbere bilmeniz gerekir!

En Sık Sorulan Sorular

Verilen örneğe göre bir belgeye damga basmak mümkün müdür? Cevap Evet mümkün. Taranmış bir kopyayı veya kaliteli bir fotoğrafı e-posta adresimize gönderin, gerekli kopyayı oluşturalım.

Ne tür ödemeleri kabul ediyorsunuz? Cevap Diplomanın tamamlanma doğruluğunu ve uygulanma kalitesini kontrol ettikten sonra, kurye tarafından teslim alındıktan sonra belgenin ödemesini yapabilirsiniz. Bu aynı zamanda teslimatta nakit ödeme hizmeti sunan posta şirketlerinin ofislerinde de yapılabilir.
Belgelere ilişkin tüm teslimat ve ödeme koşulları “Ödeme ve Teslimat” bölümünde açıklanmıştır. Belgenin teslimat ve ödeme koşullarıyla ilgili önerilerinizi de dinlemeye hazırız.

Sipariş verdikten sonra paramla birlikte ortadan kaybolmayacağınızdan emin olabilir miyim? Cevap Diploma üretimi alanında oldukça uzun bir deneyime sahibiz. Sürekli güncellenen birçok web sitemiz var. Uzmanlarımız ülkenin farklı yerlerinde çalışıyor ve günde 10'dan fazla belge üretiyor. Yıllar geçtikçe belgelerimiz birçok kişinin istihdam sorunlarını çözmesine veya daha yüksek maaşlı işlere geçmesine yardımcı oldu. Müşteriler arasında güven ve tanınma kazandık, dolayısıyla bunu yapmamız için kesinlikle hiçbir neden yok. Üstelik bunu fiziksel olarak yapmak kesinlikle imkansızdır: Siparişinizi elinize aldığınızda ödersiniz, ön ödeme yoktur.

Herhangi bir üniversiteden diploma sipariş edebilir miyim? Cevap Genel olarak evet. Yaklaşık 12 yıldır bu alanda çalışıyoruz. Bu süre zarfında, ülkedeki hemen hemen tüm üniversiteler tarafından ve farklı yayınlanma yılları için yayınlanan neredeyse eksiksiz bir belge veri tabanı oluşturuldu. Tek ihtiyacınız olan üniversiteyi, uzmanlık alanını, belgeyi seçip sipariş formunu doldurmak.

Bir belgede yazım hataları ve hatalar bulursanız ne yapmalısınız? Cevap Kurye veya posta şirketimizden belge alırken tüm detayları dikkatlice kontrol etmenizi öneririz. Bir yazım hatası, hata veya yanlışlık tespit edilmesi durumunda diplomayı teslim almama hakkına sahipsiniz ancak tespit edilen kusurları kuryeye bizzat veya yazılı olarak e-posta göndererek bildirmeniz gerekir.
Belgeyi en kısa sürede düzeltip belirtilen adrese tekrar göndereceğiz. Kargo ücreti elbette firmamız tarafından ödenecektir.
Bu tür yanlış anlaşılmaları önlemek için, orijinal formu doldurmadan önce, nihai versiyonun kontrol edilmesi ve onaylanması için müşteriye e-posta yoluyla gelecekteki belgenin bir modelini gönderiyoruz. Belgeyi kurye veya posta yoluyla göndermeden önce, sonunda ne alacağınıza dair net bir fikriniz olması için ek fotoğraf ve videolar da çekiyoruz (ultraviyole ışık dahil).

Şirketinizden diploma siparişi vermek için ne yapmalıyım? Cevap Bir belge (sertifika, diploma, akademik sertifika vb.) sipariş etmek için web sitemizdeki çevrimiçi sipariş formunu doldurmanız veya size doldurup geri göndermeniz gereken başvuru formunu gönderebilmemiz için e-posta adresinizi vermeniz gerekir. bize.
Sipariş formunun/anketin herhangi bir alanında ne belirtmeniz gerektiğini bilmiyorsanız boş bırakın. Bu nedenle tüm eksik bilgileri telefonla netleştireceğiz.

En son incelemeler

Valentina:

Oğlumuzu kovulmaktan kurtardınız! Gerçek şu ki oğlum üniversiteyi bıraktıktan sonra orduya katıldı. Ve geri döndüğünde iyileşmek istemedi. Diplomasız çalıştı. Ancak son zamanlarda “kabuğu” olmayan herkesi kovmaya başladılar. Bu yüzden sizinle iletişime geçmeye karar verdik ve pişman olmadık! Artık sakince çalışıyor ve hiçbir şeyden korkmuyor! Teşekkür ederim!