Normal dağılım yasasına pratikte en sık rastlanır. Onu diğer yasalardan ayıran temel özellik, diğer dağıtım yasalarının çok yaygın tipik koşullar altında yaklaştığı sınırlayıcı bir yasa olmasıdır (bkz. Bölüm 6).

Tanım. Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğunormal dağılım kanunu (Gauss yasası)a ve parametreleriyle bir 2, olasılık yoğunluğu şu şekle sahipse

"Normal" tabiri pek uygun değil. Bir kişinin boyu, bir merminin menzili vb. gibi birçok işaret normal yasaya uygundur. Ancak herhangi bir karakteristik, normalden farklı bir dağılım yasasına uyuyorsa, bu, o karakteristikle ilişkilendirilen olgunun "anormal" olduğu anlamına gelmez.

Normal dağılım eğrisi denir normal, veya Gaussian, çarpık.İncirde. 4.6, A, 6 normal eğri fd, (x) io 2 parametreleriyle verilmiştir, yani. ben a 2) ve rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği X, normal bir kanuna sahiptir. Normal eğrinin düz çizgiye göre simetrik olmasına dikkat edelim. x = a, noktada maksimum var X= A,

eşit yani

Ve iki dönüm noktası x = a±

ordinat ile

Normal yasa yoğunluğu ifadesinde parametrelerin harflerle belirtildiği belirtilebilir. A ve matematiksel beklentiyi belirtmek için kullandığımız st 2 M(X) ve varyans AH). Bu tesadüf tesadüfi değildir. Normal yasanın parametrelerinin olasılıksal teorik anlamını belirleyen bir teoremi ele alalım.

Teorem. Normal bir yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, bu yasanın a parametresine eşittir, onlar.

A dağılımı - parametreye a 2, yani

Rastgele bir değişkenin beklentisi X:

Değişkeni koyarak değiştirelim

Daha sonra entegrasyonun sınırları değişmez

ve bu nedenle

(birinci integral, tek bir fonksiyonun orijine göre simetrik bir aralıkta integrali olarak sıfıra eşittir ve ikinci integral, - Euler - Poisson integrali).

Rastgele bir değişkenin varyansı X:

Aynı değişken değişikliğini yapalım x = a + o^2 t,önceki integralin hesaplanmasında olduğu gibi. Daha sonra

Parçalara göre entegrasyon yöntemini uygulayarak şunu elde ederiz:

Parametreler değiştiğinde normal eğrinin nasıl değişeceğini bulalım A ve 2 (veya a) ile. a = const ise parametre değişir a (a x a 3), yani dağılımın simetri merkezi, daha sonra normal eğri, şeklini değiştirmeden apsis ekseni boyunca kayacaktır (Şekil 4.7).

Eğer bir = const ve a 2 (veya a) parametresi değişir, ardından ordinat değişir

maksimum eğri Arttıkça maksimumun ordinatı

eğri azalır, ancak herhangi bir dağılım eğrisinin altındaki alanın bire eşit kalması gerektiğinden, eğri daha düz hale gelir ve x ekseni boyunca uzanır; azalırken su, tam tersine, normal eğri yukarıya doğru uzanırken aynı zamanda yanal olarak daralır. İncirde. Şekil 4.8 a 1 (o 2 ve a 3, burada o, A(matematiksel beklenti olarak da bilinir) merkezin konumunu karakterize eder ve a2 parametresi (diğer adıyla dağılım) normal eğrinin şeklini karakterize eder.

Rasgele değişkenin normal dağılım yasası X parametrelerle A= 0, st 2 = 1, yani. X ~ N( 0; 1), denir standart veya normalleştirilmiş ve buna karşılık gelen normal eğri standart veya normalize edildi.

Normal yasaya göre formül (3.23)'e göre dağıtılan bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu doğrudan bulmanın zorluğu ve formül (3.22)'ye göre belirli bir aralığa düşme olasılığı, integralin (4.26) fonksiyonu temel fonksiyonlarda “toplanamaz”. Bu nedenle fonksiyon aracılığıyla ifade edilirler.

- işlev (olasılık integrali) Laplace, tablolar bunun için derlenmiştir. Moivre-Laplace integral teoremini ele alırken Laplace fonksiyonuyla daha önce karşılaştığımızı hatırlayalım (bkz. bölüm 2.3). Özellikleri de orada tartışıldı. Geometrik olarak Laplace fonksiyonu Ф(.с), segment üzerindeki standart normal eğrinin altındaki alanı temsil eder [-X; X] (Şek. 4.9) 1 .

Pirinç. 4.10

Pirinç. 4.9

Teorem. Normal yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu Laplace fonksiyonu aracılığıyla ifade edilir.Ф(х) formüle göre

Formül (3.23)'e göre dağılım fonksiyonu:

Değişkende bir değişiklik yapalım, ayarlayalım X-> -oo? -» -00, dolayısıyla

1 Ф(х) fonksiyonunu temsil eden (4.29) formunun olasılık integralinin yanı sıra, bunun ifadeleri de literatürde diğer tablolanmış fonksiyonlar şeklinde kullanılmaktadır:

standart normal eğrinin iyot alanlarını sırasıyla (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Chl/2) aralıklarında temsil eder .

İlk integral

(integrandın paritesi ve Euler - Poisson integralinin şuna eşit olması nedeniyle: [İle).

Formül (4.29) dikkate alınarak ikinci integral şu ​​şekildedir:

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu (-co, x) aralığında normal eğrinin altındaki alanı temsil eder (Şekil 4.10). Gördüğümüz gibi iki bölümden oluşuyor: birincisi, aralıkta (-oo, A), 1/2'ye eşit, yani normal eğrinin altındaki tüm alanın yarısı ve ikincisi (i, x) aralığında,

eşittir

Normal bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin özelliklerini ele alalım.

1. Normal bir yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkenine çarpma olasılığı V aralık[x 1(x 2 ], eşittir

(3.20) özelliğine göre P(x) olasılığı dikkate alındığında,

burada ve Г 2 formül (4.33) ile belirlenir (Şekil 4.11). ?

2. Normal bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in matematiksel beklenti a'dan sapmasının değeri aşmama olasılığı bir > 0 ( mutlak değerde) eşittir

ve ayrıca Laplace fonksiyonunun tuhaflık özelliğini elde ederiz

Nerede? =D/o (Şekil 4.12). ?

İncirde. 4.11 ve 4.12, normal yasanın özelliklerinin geometrik bir yorumunu sağlar.

Yorum. Bölüm'de tartışıldı. Şekil 2'de Moivre - Laplace (2.10)'un yaklaşık integral formülü, normal dağılmış bir rastgele değişkenin özelliğinden (4.32) çıkar. x ( = a, x 2 = b ) a = pr Ve Bu yüzden

rastgele bir değişkenin binom dağılım yasası olarak X = t parametrelerle P Ve R, bu formülün elde edildiği n -> İşletim sistemi normal yasaya eğilimlidir (bkz. Bölüm 6).

Sayı için Moivre-Laplace integral formülünün (2.13), (2.14) ve (2.16) sonuçları benzerdir. X = t bir olayın meydana gelmesi P bağımsız testler ve sıklığı t/n normal yasanın (4.32) ve (4.34) özelliklerinden kaynaklanır.

(4.34) formülünü kullanarak olasılıkları hesaplayalım. P(X-a e) D'nin çeşitli değerlerinde (eklerdeki Tablo II'yi kullanıyoruz). Aldık

“Üç sigma kuralı” buradan geliyor.

Bir X rastgele değişkeninin a parametreleriyle normal dağılım yasası varsa ve bir 2, yani M(a; bir 2), o zaman değerlerinin aralıkta olduğu neredeyse kesindir(a - İçin, A+ İçin).

“Üç sigma kuralının” ihlali, ör. normal dağılmış bir rastgele değişkenin sapması X 3'ten fazlası (ancak mutlak değer), olasılığı çok düşük olduğundan neredeyse imkansız bir olaydır:

D in sapmasına dikkat edin; , isminde

muhtemel sapma.« 0.675a'daki normal yasa D için, yani. aralık başına (A - 0.675a, A+ 0,675a) normal eğrinin altındaki toplam alanın yarısını oluşturur.

Bir rastgele değişkenin çarpıklık katsayısını ve basıklığını bulalım X, normal kanuna göre dağıtılır.

Açıkçası, normal eğrinin dikey çizgiye göre simetrisinden dolayı x = a, Dağıtım merkezinden geçen a = M(X), normal dağılımın asimetri katsayısı A = 0.

Normal dağılmış bir rastgele değişkenin basıklığı X(3.37) formülünü kullanarak buluyoruz, yani

burada tanım (4.26) dikkate alınarak formül (3.30) ile bulunan 4. derecenin merkezi momentini hesaba kattık, yani.

(İntegral hesaplamasını atlıyoruz).

Böylece, normal dağılımın basıklığı sıfırdır ve diğer dağılımların dikliği normal olana göre belirlenir (bunu paragraf 3.7'de zaten belirtmiştik).

Örnek 4.9. Belirli bir yaş grubundaki erkeklerin boyunun normal dağılımlı bir rastgele değişken olduğunu varsayarak X parametrelerle A= 173 ve a 2 =36:

• 1) Bul: a) Rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun ve dağılım fonksiyonunun ifadesini X; b) Belirli bir yaş grubu için toplam üretim hacmine dahil edilmesi gereken 4. boy (176-182 cm) ve 3. boy (170-176 cm) takım elbiselerin payı; c) niceliksel x 07 ve rastgele değişkenin %10 noktası X.
• 2) Bir rastgele değişken için “üç sigma kuralını” formüle edin X. Çözüm. 1, a) (4.26) ve (4.30) formüllerini kullanarak yazıyoruz

1, b) 4. yükseklikteki (176-182 cm) takım elbiselerin toplam üretim hacmi içindeki payı olasılık olarak (4.32) formülü ile belirlenecektir.

(Şekil 4.14), çünkü formüllere (4.33) göre

3. boydaki takım elbiselerin payı (170-176 cm) formül (4.32)'ye benzer şekilde belirlenebilir, ancak bu aralığın matematiksel beklentiye göre simetrik olduğu göz önüne alındığında bunu formül (4.34) kullanarak yapmak daha kolaydır. A = M(X) = 173, yani eşitsizlik 170 X X -173|

(bkz. Şekil 4.14;.

1, c) Nicel x 07(bkz. paragraf 3.7) rastgele değişken X Formül (4.30)'u dikkate alarak denklem (3.29)'dan şunu buluruz:

Neresi

Tabloya göre 11 başvuru bulduk BEN- 0,524 ve

Bu, bu yaş grubundaki erkeklerin %70'inin boyunun 176 cm'ye kadar olduğu anlamına gelir.

• %10'luk nokta egonun yüzdelik dilimi x 09 = 181 cm'dir (benzer şekilde konumlandırılmıştır), yani. Erkeklerin %10'u en az 181 cm boyundadır.
• 2) Bu yaş grubundaki erkeklerin boylarının yaş sınırları içerisinde olduğu neredeyse kesindir. A- Z = 173 - 3 6 = 155 ila bir + Zet = 173 + 3 - 6 = = 191 (cm), yani. 155

  Bölümün başında (ve Bölüm 6'da) belirtilen normal dağılım yasasının özellikleri nedeniyle, olasılıksal istatistiksel yöntemlerin teori ve uygulamasında merkezi bir yer tutar. Normal yasanın büyük teorik önemi onun yardımıyla aşağıda tartışılan bir takım önemli dağılımların elde edilmesidir.

  • Şekil 2'deki oklar 4.11-4.13'te konvansiyonel alanlar ve normal eğrinin altındaki karşılık gelen şekiller işaretlenmiştir.
  • Laplace fonksiyonunun değerleri Ф(х) tablodan belirlenir. II uygulamaları.

Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yasaları

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasası, ayrık bir değişkenle aynı şekilde belirlenemez. Sonsuz sayılamayan değer kümesinin tamamını listelemenin imkansız olması ve sürekli bir rastgele değişkenin her bir bireysel değerinin olasılığının sıfıra eşit olması nedeniyle uygulanamaz.

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını açıklamak X başka bir yaklaşım öneriliyor: olayların olasılıklarını dikkate almamak X=x farklı için X ve olayın olasılığı X<х . Bu durumda olasılıkP( X< X) mevcut değişkene bağlıdır, yani bir fonksiyonudur X.

Dağıtım işlevi rastgele değişken Xçağrılan fonksiyonF( X) , her biri için ifade X rastgele değişkenin olasılığı X daha düşük bir değer alacaktır X:

İşlev F( X) isminde kümülatif dağılım fonksiyonu veya integral dağılım yasası.

Dağılım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirleme yöntemi tek yöntem değildir. Sürekli bir rastgele değişkenin olası değerleri aralığının farklı bölümlerine düşen rastgele bir noktanın olasılığını yansıtan bazı fonksiyonları tanımlamak gerekir. Yani, olasılıkların yerine bir miktar ikame sağlamak için ben sürekli durumda ayrık bir rastgele değişken için.

Bu fonksiyon olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Olasılık yoğunluğu (dağıtım yoğunluğu, diferansiyel fonksiyon) rastgele değişken Xçağrılan fonksiyonF( X), integral dağılım fonksiyonunun birinci türevi olan:

.

Rastgele bir değişken hakkında X yoğunluğa sahip bir dağılıma (dağılmış) sahip olduğu söylenirF( X) x ekseninin belirli bir bölümünde.

Düzgün dağıtım kanunu. Sürekli rastgele değişken X segment üzerinde düzgün bir dağılım yasası (sabit yoğunluk yasası) vardır [A; B], eğer bu segmentte rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu sabitse, yaniF( X) şu forma sahiptir:

Beklenen değer
. Bir segment üzerinde eşit olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi(a, b), bu parçanın ortasına eşittir.

Dağılım:

Değere Sheppard düzeltmesi denir.

Düzgün dağılıma sahip bir rastgele değişkenin değerinin tamamen segmente ait (a, b) aralığına düşme olasılığı [a, b]:

Geometrik olarak bu olasılık, gölgeli dikdörtgenin alanıdır. Sayılar A VeBarandı dağıtım parametreleri Ve tekdüze bir dağılımı benzersiz bir şekilde belirler.

Örnek 4. Bir telefon görüşmesine cevap için bekleme süresi, 0 ila 2 dakika aralığında tekdüze dağılım yasasına uyan rastgele bir değişkendir. Bu rastgele değişkenin integral ve diferansiyel dağılım fonksiyonlarını bulun.

Normal dağılım kanunu (Gauss yasası). Sürekli rastgele değişken X parametrelerle normal bir dağılım yasası vardır ve (belirtin ), eğer olasılık yoğunluğu şu şekle sahipse:

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin dağılım merkezini karakterize eder ve değişirken eğri apsis ekseni boyunca kayacaktır (bkz. Şekil 2 ve ). Eğer sabit bir matematiksel beklenti ile rastgele bir değişkenin varyansı değişirse, o zaman eğri sıkıştırılarak veya gerilerek şeklini değiştirecektir (bkz. Şekil 2: ; ; ). Böylece parametre konumu karakterize eder ve parametre olasılık yoğunluk eğrisinin şeklini karakterize eder.

Rasgele değişkenin normal dağılım yasası X parametrelerle ve (belirtilen)N(0;1)) denir standart veya normalleştirilmiş ve karşılık gelen normal eğri standarttır veya normalleştirilmiştir.

Tanıma göre olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu birbiriyle ilişkilidir:

, Nerede .

Bu tür bir integral "imkansızdır", bu nedenle onu bulmak için sözde özel bir fonksiyon kullanılır. olasılık integrali veya Laplace işlevi, hangi tablolar derlenmiştir (bkz. Ek 1).

Laplace fonksiyonunu kullanarak normal yasanın dağılım fonksiyonunu aşağıdaki formülü kullanarak ifade edebilirsiniz:

, Nerede .

Pratik amaçlar açısından çok önemlidir özellikler normal dağılım yasasına sahip rastgele değişken.

1. Eğer ise bu değerin belirli bir aralığa düşme olasılığını bulmak için ( x 1;) formülü kullanılır:

2. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının değeri (mutlak değer olarak) aşmama olasılığı şuna eşittir:

.

3. "Üç Sigma Kuralı" . Rastgele bir değişken ise, değerlerinin aralıkta yer alması neredeyse kesindir ( ). (Bu sınırların ötesine geçme olasılığı 0,0027'dir.) Kural, parametreleri ( ve ) bilerek, rastgele değişkenin pratik değerlerinin aralığını yaklaşık olarak belirlemeye izin verir.

Örnek 5. Rastgele değişken normal olarak parametrelerle dağıtılır. Deney sonucunda rastgele değişkenin (12.5; 14) aralığında yer alan bir değeri alma olasılığını bulun.

Örnek 6. Rastgele ölçüm hatası, parametrelerle normal dağılım yasasına tabidir. Üç bağımsız ölçüm alınır. En az bir ölçümün hatasının mutlak değer olarak 3 mm'yi aşmama olasılığını bulun.

Bir testteki ölçüm hatasının 3 mm'yi aşmama olasılığı:

Bir testte bu ölçüm hatasının 3 mm'yi aşma olasılığı:

Her üç testte de ölçüm hatasının 3 mm'den büyük olma olasılığı:

.

Gerekli olasılık: .

NORMIDIST işlevi

Belirtilen ortalama ve standart sapma için normal dağılım fonksiyonunu döndürür. Bu işlev, hipotez testleri de dahil olmak üzere istatistiklerde çok yaygın olarak kullanılmaktadır.

Sözdizimi

NORMDAĞ(X;ortalama;standart_kapalı;integral )

X - dağıtımın oluşturulduğu değer.

Ortalama

Standart_kapalı

İntegral- fonksiyonun biçimini belirleyen mantıksal bir değer. Kümülatif DOĞRU ise NORMDAĞ, kümülatif dağılım işlevini döndürür; bu bağımsız değişken YANLIŞ ise yoğunluk işlevi döndürülür.

Notlar

· Bağımsız değişken "ortalama" veya " ise standart_kapalı" bir sayı değildir; NORMDAĞ işlevi #DEĞER! hata değerini döndürür.

· Eğer standart_kapalı≤ 0 ise NORMIDIST işlevi #SAYI hata değerini döndürür.

· Ortalama = 0 ise, standart_kapalı= 1 ve kümülatif = DOĞRU ise, NORMDAĞ işlevi standart normal dağılımı, yani NORMDAĞ'ı döndürür.

· Normal dağılımın yoğunluğuna ilişkin denklem (“kümülatif” argümanı YANLIŞ değerini içerir) aşağıdaki gibidir:

· İntegral DOĞRU ise formül eksi sonsuzdan x'e kadar sınırları olan bir integrali tanımlar.

NORMDAĞ işlevi

Standart normal kümülatif dağılımı döndürür. Bu dağılımın ortalaması sıfır, standart sapması ise birdir. Bu fonksiyon standart normal eğri alanı tablosu yerine kullanılır.

Sözdizimi

NORMDAĞ(z )

Z- dağıtımın oluşturulduğu değer.

Notlar

· Eğer z bir sayı değildir; NORMDAĞ işlevi #DEĞER hata değerini döndürür.

· Standart normal dağılımın yoğunluk denklemi aşağıdaki gibidir:

NORMINV işlevi

Belirtilen ortalama ve standart sapma için ters normal dağılımı döndürür.

Sözdizimi

NORMOBRE(;ortalama;standart_kapalı )

Olasılık- normal dağılıma karşılık gelen olasılık.

Ortalama- dağılımın aritmetik ortalaması.

Standart_kapalı - dağılımın standart sapması.

Notlar

· Bağımsız değişkenlerden herhangi biri sayı değilse, NORMINV #DEĞER hata değerini döndürür.

· Olasılık< 0 или вероятность >1'de NORMINV işlevi #SAYI hata değerini döndürür.

· Eğer standart_kapalı≤ 0, NORMINV işlevi #SAYI hata değerini döndürür.

· Ortalama = 0 ise ve standart_kapalı= 1 ise, NORMSTERS işlevi standart normal dağılımı kullanır (bkz. NORMSTERS).

Bir olasılık değeri verilirse NORMIDST işlevi, NORMIDST(x, ortalama, standart_kapalı, DOĞRU) = olasılık. Ancak NORMINV fonksiyonunun doğruluğu NORMIDST'nin doğruluğuna bağlıdır. NORMINV işlevi arama için yineleme yöntemini kullanır. Arama 100 yinelemeden sonra sona ermediyse işlev #YOK hata değerini döndürür.

Üç sigma kuralı.

Değeri yerine koyalım mı? (*) formülüne girersek şunu elde ederiz:

Dolayısıyla, keyfi birliğe yakın bir olasılıkla, normal dağılmış bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma modülünün standart sapmanın üç katını aşmadığını söyleyebiliriz.

Merkezi Limit Teoremi.

Merkezi limit teoremi, normal dağılım yasasının ortaya çıktığı koşulları belirlemeye yönelik bir grup teoremdir. Bu teoremler arasında en önemli yer Lyapunov teoremine aittir.

Rastgele değişken ise X büyük bir sayının karşılıklı toplamını temsil eder mi? bağımsız rastgele değişkenler, yani her birinin toplam miktar üzerindeki etkisi ihmal edilebilir düzeydeyse, o zaman rastgele değişken X Normal dağılıma sonsuza kadar yaklaşan bir dağılıma sahiptir.

Sürekli bir rastgele değişkenin başlangıç ​​ve merkezi momentleri, çarpıklık ve basıklık. Mod ve medyan.

Uygulamalı problemlerde, örneğin matematiksel istatistikte, normal dağılımdan farklı olan deneysel dağılımları teorik olarak incelerken, bu farklılıkların niceliksel tahminlerine ihtiyaç vardır. Bu amaçla özel boyutsuz özellikler tanıtılmıştır.

Tanım. Sürekli rastgele değişkenin modu (Mo (X)) p olasılığının en olası değeridir Ben veya olasılık yoğunluğu f(x) maksimuma ulaşır.

Tanım. Sürekli bir rastgele değişkenin medyanı X (Ben(X)) – eşitliğin geçerli olduğu değer budur:

Geometrik olarak x = Me (X) dikey çizgisi, şeklin eğri altındaki alanını iki eşit parçaya böler.

X = Me (X) noktasında, dağılım fonksiyonu F (Me (X)) =

x I [ 0; 1 ]

Olasılık yoğunluğu f(x), x = 1'de maksimumdur, yani. f(1) = 3, dolayısıyla [ 0; aralığında Mo (X) = 1; 1 ]

Medyanı bulmak için Me (X) = b olsun.

Me (X) P (X 3 = .

b3 =; b = "0,79

M(X) =+ =

Ortaya çıkan 3 değeri Mo (x), Me (X), M (X) Ox ekseninde not edelim:

Tanım. Asimetri Teorik dağılıma üçüncü dereceden merkezi momentin standart sapmanın küpüne oranı denir:

Tanım. Aşırı teorik dağılım eşitlikle tanımlanan miktardır:

Nerede ? dördüncü dereceden merkezi an.

Normal dağılım için. Normal dağılımdan sapıldığında, dağılım eğrisinin "uzun" ve daha düz kısmı moda karşılık gelen x ekseni üzerindeki noktanın sağında yer alıyorsa asimetri pozitiftir; eğrinin bu kısmı modun solunda yer alıyorsa asimetri negatiftir (Şekil 1, a, b).

Basıklık, normal eğriye kıyasla dağılım eğrisindeki artışın "dikliğini" karakterize eder: basıklık pozitifse, eğri daha yüksek ve daha keskin bir zirveye sahiptir; Negatif basıklık durumunda, karşılaştırılan eğri daha düşük ve daha düz bir zirveye sahiptir.

Belirtilen karşılaştırma özelliklerini kullanırken, normal ve teorik dağılımlar için aynı matematiksel beklenti ve dağılım değerlerine ilişkin varsayımların referans olduğu unutulmamalıdır.

Örnek. Ayrık rastgele değişken olsun X dağıtım kanunu tarafından verilir:

Bulgular: Teorik dağılımın çarpıklığı ve basıklığı.

Önce rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulalım:

Daha sonra 2., 3. ve 4. mertebelerin başlangıç ​​ve merkez momentlerini hesaplıyoruz ve:

Şimdi formülleri kullanarak gerekli miktarları buluyoruz:

Bu durumda, dağılım eğrisinin "uzun" kısmı modun sağında bulunur ve eğrinin kendisi, aynı matematiksel beklenti ve dağılım değerlerine sahip normal eğriden biraz daha sivridir.

Teorem. Keyfi bir rastgele değişken için X ve herhangi bir sayı

?>0 aşağıdaki eşitsizlikler doğrudur:

Ters eşitsizliğin olasılığı.

Bir hayvancılık çiftliğinde ortalama su tüketimi günde 1000 litredir ve bu rastgele değişkenin standart sapması 200 litreyi geçmez. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak herhangi bir günde çiftliğin su akışının 2000 L'yi aşmama olasılığını tahmin edin.

İzin vermek X– bir hayvancılık çiftliğinde su tüketimi (l).

Dağılım D(X) = . Aralığın sınırları 0 olduğundan X 2000 matematiksel beklentiye göre simetriktir M(X) = 1000 ise, istenen olayın olasılığını tahmin etmek için Chebyshev eşitsizliğini uygulayabiliriz:

Yani 0,96'dan az değil.

Binom dağılımı için Chebyshev eşitsizliği şu şekli alır:

RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMI YASALARI

RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMI YASALARI - bölüm Matematik, OLASILIK TEORİSİ VE MATEMATİKSEL İSTATİSTİK En yaygın Yasalar Düzgün, Normal ve Üsteldir.

En yaygın yasalar, sürekli rastgele değişkenlerin tekdüze, normal ve üstel olasılık dağılımlarıdır.

Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımına, X'in tüm olası değerlerinin ait olduğu (a,b) aralığında dağılım yoğunluğunun sabit bir değeri (6.1) muhafaza etmesi durumunda, tekdüze denir.

Dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

Normal, yoğunluğu şu şekilde olan sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımıdır:

X rastgele değişkeninin (?; ?) aralığına ait bir değer alma olasılığı:

Laplace fonksiyonu nerede ve

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir sayıdan küçük olma olasılığı?:

Özellikle a = 0 için . (6.7)

Üstel, yoğunlukla tanımlanan sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımıdır:

Nerede? – sabit pozitif değer.

Üstel yasa dağıtım fonksiyonu:

Üstel yasaya göre dağıtılan, sürekli bir rastgele değişken X'in (a, b) aralığına düşme olasılığı:

1. Rastgele değişken X, (-2;N) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılır. Bul: a) X rastgele değişkeninin diferansiyel fonksiyonunu; b) integral fonksiyonu; c) rastgele bir değişkenin (-1;) aralığına düşme olasılığı; d) X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, dağılımı ve standart sapması.

2. Aşağıdaki aralıkta düzgün şekilde dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun: a) (5; 11); b) (-3; 5). Bu fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

3. Rastgele değişken X, D(x) = 12 ile (2; 6) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılır. X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonlarını bulun. Fonksiyonların grafiklerini çizin.

4. Rastgele değişken X, (0; a) aralığında dik üçgen yasasına (Şekil 1) göre dağıtılır. Bul: a) X rastgele değişkeninin diferansiyel fonksiyonunu; b) integral fonksiyonu; c) muhtemelen

rastgele bir değişkenin isabet olasılığı

int()'ye; d) matematiksel

beklenti, varyans ve ortalama kare

Rasgeleliğin oransal sapması

5. Rastgele değişken X, Simpson yasasına (“ikizkenar üçgen yasası”) (Şekil 2) göre (-a; a) aralığına dağıtılır. Bul: a) rastgele değişken X'in diferansiyel olasılık dağılım fonksiyonunu;

b) integral fonksiyonu ve grafiğini oluşturmak; c) rastgele bir değişkenin (-) aralığına düşme olasılığı; d) X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, dağılımı ve standart sapması.

6. Belirli bir kümes hayvanı türünün verimliliğini incelemek için yumurtaların çapı ölçülür. Yumurtaların en büyük enine çapı, ortalama değeri 5 cm ve standart sapması 0,3 cm olan normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkendir: a) Rastgele alınan bir yumurtanın çapının 4,7 arasında olması olasılığını bulun. ve 6,2 cm; b) Çapın ortalamadan sapması mutlak değer olarak 0,6 cm'yi geçmeyecektir.

7. Bir havuzda yakalanan balığın ağırlığı, 150 g standart sapma ve matematiksel beklenti a = 1000 g ile normal dağılım yasasına uymaktadır. Yakalanan balığın ağırlığının: a) 900'den 1300 g'a kadar olma olasılığını bulun. ; b) en fazla 1500 g; c) 800 g'dan az olmamak üzere; d) ortalama ağırlık modülünden 200 g'dan fazla farklılık göstermemesi; e) X rastgele değişkeninin diferansiyel fonksiyonunun grafiğini çizin.

8. Bir dizi parsel üzerindeki kışlık buğday verimi, normal yasaya göre şu parametrelerle dağıtılır: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Aşağıdakileri belirleyin: a) parsellerin yüzde kaçının 40 c/ha'nın üzerinde verime sahip olacağını; b) verimi 45 ila 60 c/ha olan parsellerin yüzdesi.

9. Tahıl kirliliği seçici bir yöntem kullanılarak ölçülür; rastgele ölçüm hataları, 0,2 g standart sapma ve matematiksel beklenti a = 0 ile normal dağılım yasasına tabidir. Dört bağımsız ölçümden en az birinin hatasının olasılığını bulun. bunların mutlak değeri 0,3 g'ı geçmeyecektir.

10. Deney alanının her parselinden toplanan tahıl miktarı, matematiksel beklentisi a = 60 kg ve standart sapması 1,5 kg olan normal dağılımlı bir rastgele değişken X'tir. X değerinin 0,9906 olasılıkla içerileceği aralığı bulun. Bu rastgele değişkenin diferansiyel fonksiyonunu yazın.

11. 0,9973 olasılıkla, rastgele seçilen bir büyükbaş hayvanın canlı ağırlığının, tüm sürü için hayvanın ortalama ağırlığından mutlak sapmasının 30 kg'ı geçmediği tespit edilmiştir. Hayvanların canlı ağırlığa göre dağılımının normal yasaya uygun olduğunu varsayarak, canlı ağırlığın standart sapmasını bulun.

12. Parsele göre sebze verimi, matematiksel beklentisi 300 c/ha ve standart sapması 30 c/ha olan normal dağılımlı bir rastgele değişkendir. 0,9545 olasılıkla parsellerdeki ortalama sebze veriminin olacağı sınırları belirleyin.

13. Normal olarak dağıtılan bir rastgele değişken X, bir diferansiyel fonksiyonla belirtilir:

Aşağıdakileri belirleyin: a) rastgele bir değişkenin aralığa düşme olasılığı

(3; 9); b) X rastgele değişkeninin modu ve medyanı.

14. Bir ticaret şirketi iki üreticinin benzer ürünlerini satmaktadır. Ürünlerin hizmet ömrü normal yasalara tabidir. İlk üreticiden gelen ürünlerin ortalama hizmet ömrü 5,5 bin saat, ikinci üreticiden itibaren ise 6 bin saattir. İlk üretici, 0,95 olasılıkla ilk üreticinin hizmet ömrünün 5 ila 6 bin saat arasında, ikincisi ise 0,9 olasılıkla 5 ila 7 bin saat arasında olduğunu iddia ediyor. Hangi üreticinin ürünlerin hizmet ömründe daha fazla değişkenliği vardır.

15. İşletme çalışanlarının aylık ücretleri normal yasaya göre a = 10 bin ruble matematiksel beklentisiyle dağıtılır. İşletme çalışanlarının %50'sinin 8 ila 12 bin ruble arasında ücret aldığı biliniyor. İşletme çalışanlarının yüzde kaçının aylık maaşının 9 ila 18 bin ruble arasında olduğunu belirleyin.

16. Üstel yasanın yoğunluk ve dağılım fonksiyonunu aşağıdaki durumlarda yazın: a) parametre; B) ; V) . Fonksiyonların grafiklerini çizin.

17. X rastgele değişkeni üstel yasaya göre dağıtılır ve. X rastgele değişkeninin şu aralığa düşme olasılığını bulun: a) (0; 1); b) (2; 4). M(X), D(X), (X).

18. Rastgele değişken X'in üstel dağılım yasasını M(X), D(X), (X)'i verilen fonksiyona göre bulun:

19. Birbirinden bağımsız çalışan iki eleman test edilmektedir. Birincisinin arızasız çalışma süresi ikinciye göre daha açıklayıcı bir dağılıma sahiptir. 20 saatlik bir süre boyunca: a) her iki elemanın da çalışma olasılığını bulun; b) yalnızca bir eleman arızalanacaktır; c) en az bir eleman arızalanacaktır; d) her iki eleman da arızalanır.

20. Her iki bağımsız elemanın da 10 gün içinde çalışma olasılığı 0,64'tür. Fonksiyonlar aynı ise her bir eleman için güvenilirlik fonksiyonunu belirleyin.

21. Bir operatörün bir saatlik çalışma sırasında yaptığı ortalama hata sayısı 2'dir. Operatörün 3 saatlik çalışma sırasında şunları yapma olasılığını bulun: a) 4 hata; b) en az iki hata; c) en az bir hata.

22. Telefon santralinin dakikada aldığı ortalama çağrı sayısı üçtür. 2 dakika içinde aşağıdakileri alma olasılığını bulun: a) 4 çağrı; b) en az üç çağrı.

23. Rastgele değişken X, Cauchy yasasına göre dağıtılır

Sürekli rastgele değişkenler

6. Sürekli rastgele değişkenler

6.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Sürekli, tüm değerleri sonlu veya sonsuz bir aralıktan alabilen rastgele bir değişkendir.

Dağıtım fonksiyonuna F(x) fonksiyonu denir? Test sonucunda rastgele değişken X'in x'ten küçük bir değer alma olasılığının belirlenmesi, yani.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. Dağıtım fonksiyonunun değerleri segmente aittir, yani.

2. F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani. eğer öyleyse.

· X rastgele değişkeninin aralıkta yer alan bir değeri alma olasılığı şuna eşittir:

· Sürekli bir rastgele değişken X'in belirli bir değeri alma olasılığı sıfırdır.

Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğuna fonksiyon denir - dağılım fonksiyonunun ilk türevi.

Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı:

Bilinen bir dağıtım yoğunluğunu kullanarak dağıtım fonksiyonunu bulma:

Dağıtım yoğunluğunun özellikleri

1. Dağıtım yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur:

2. Normalleştirme koşulu:

Standart sapma

6.2. Üniforma dağıtımı

Rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin ait olduğu aralıkta dağılım yoğunluğu sabit kalırsa, olasılık dağılımına tekdüze denir.

Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu

Standart sapma

6.3. Normal dağılım

Normal, bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğuyla tanımlanan olasılık dağılımıdır.

a-matematiksel beklenti

standart sapma

dağılım

Aralığa düşme olasılığı

Laplace fonksiyonu nerede? Bu fonksiyon tablo halinde verilmiştir; tabloyu kullanmanız gereken integrali hesaplamanıza gerek yoktur;

Rastgele bir değişken x'in matematiksel beklentiden sapma olasılığı

Üç sigma kuralı

Rastgele bir değişken normal olarak dağılıyorsa, matematiksel beklentiden sapmasının mutlak değeri standart sapmanın üç katını aşmaz.

Daha kesin olmak gerekirse, belirtilen aralığın dışına çıkma olasılığı %0,27'dir.

Normal dağılım olasılığı çevrimiçi hesaplayıcı

6.4. Üstel dağılım

Rastgele değişken X, dağılım yoğunluğunun şu şekilde olması durumunda üstel yasaya göre dağıtılır:

Standart sapma

Bu dağılımın ayırt edici özelliği matematiksel beklentinin standart sapmaya eşit olmasıdır.

Olasılık teorisi. Rastgele Etkinlikler (sayfa 6)

12. Rastgele değişkenler X , Eğer , , , .

13. Kusurlu ürün çıkma olasılığı 0,0002'dir. 5000 ürünün kalitesini kontrol eden bir denetçinin 4 hatalı ürün bulma olasılığını hesaplayın.

X X aralığına ait bir değer alacaktır. Fonksiyonların grafiklerini oluşturun ve .

15. Bir elemanın hatasız çalışma olasılığı üstel yasaya göre dağıtılır (). Elemanın 50 saat boyunca hatasız çalışma olasılığını bulun.

16. Cihaz birbirinden bağımsız çalışan 10 adet elemandan oluşmaktadır. Her bir elemanın zamanla arızalanma olasılığı T 0,05'e eşit. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, başarısız olan öğelerin sayısı ile zaman içindeki başarısızlıkların ortalama sayısı (matematiksel beklenti) arasındaki farkın mutlak değerinin olasılığını tahmin edin. T ikiden az olacaktır.

17. Hedefe sistematik hata olmadan () üç bağımsız atış yapıldı (Şekil 4.1 m, m) ve beklenen isabet yayılımı m. Hedefe en az bir isabet olasılığını bulun.

1. 0,1,2,3,4,5 sayılarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?

2. Koro 10 kişiden oluşmaktadır. Her gün farklı bir koro oluşturulacak şekilde 3 gün boyunca 6 katılımcı kaç farklı şekilde seçilebilir?

3. 52 adet karıştırılmış karttan oluşan bir deste, yarısında üç as olacak şekilde ikiye bölünebilir?

4. Çekilişe katılanlar, 1'den 40'a kadar sayıların yer aldığı jetonların bulunduğu bir kutudan jeton çekerler. Rastgele çekilen ilk jeton sayısının 2 sayısını içermeme olasılığını belirleyin.

5. Bir test tezgahında 250 cihaz belirli koşullar altında test edilir. Bu cihazlardan birinin bir saat içinde arızalanma olasılığının 0,04 olduğu ve tüm cihazlar için aynı olduğu biliniyorsa, teste tabi tutulan cihazlardan en az birinin bir saat içinde arızalanma olasılığını bulun.

6. Piramitte 4'ü optik görüşle donatılmış 10 tüfek bulunmaktadır. Atıcının teleskopik görüşlü bir tüfekle ateş ederken hedefi vurma olasılığı 0,95; optik nişangahı olmayan tüfekler için bu olasılık 0,8'dir. Atıcı, rastgele aldığı tüfekle hedefi vurdu. Atıcının teleskopik görüşlü bir tüfekle ateş etme olasılığını bulun.

7. Cihaz 10 düğümden oluşur. Güvenilirlik (zaman içinde hatasız çalışma olasılığı) T her düğüm için eşittir. Düğümler birbirinden bağımsız olarak başarısız olur. Zaman içinde olasılığını bulun T: a) en az bir düğüm arızalanacak; b) tam olarak iki düğüm başarısız olacaktır; c) tam olarak bir düğüm başarısız olacaktır; d) en az iki düğüm başarısız olacaktır.

8. Belirli bir cihazın 16 öğesinin her biri test edilir. Elemanın testi geçme olasılığı 0,8'dir. Testi geçebilecek en olası eleman sayısını bulun.

9. Olayın olasılığını bulun A 243 kilometrelik bir otoyolda her kilometrede vites değiştirme olasılığı 0,25 ise 70 kez (vites değiştirme) meydana gelecektir.

10. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. 100 atışla hedefin en az 75, en fazla 90 kez vurulma olasılığını bulun.

X.

12. Rastgele değişkenler X ve bağımsız. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun , Eğer , , , .

13. 1000 sayfalık daktiloyla yazılmış bir metinde 100 yazım hatası vardır. Rastgele alınan bir sayfada tam olarak 2 yazım hatası bulunma olasılığını bulun.

14. Sürekli rastgele değişken X sabit bir olasılık yoğunluğuyla eşit şekilde dağıtılır; 1) parametreyi bulun ve dağıtım yasasını yazın; 2) Bul , ; 3) Olasılığı bulun X aralığına ait bir değer alacaktır.

15. Bir elemanın hatasız çalışma süresi üstel bir dağılıma sahiptir (). olasılığını bulun T= 24 saat boyunca eleman arızalanmayacaktır.

16. Sürekli rastgele değişken X normal dağılım . Bulmak , . Test sonucunda olasılığı bulun X aralığın içerdiği değeri alacaktır.

17. Ayrık iki boyutlu bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı verilmiştir:

Bileşenlerin dağılım yasasını bulun X Ve ; matematiksel beklentileri ve; varyanslar ve; korelasyon katsayısı .

1. 1,2, 3, 4, 5 rakamlarından her biri birden fazla kullanılmamak şartıyla kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?

2. Verilen N 3'ü aynı doğru üzerinde olmayan noktalar. Noktaları çiftler halinde birleştirerek kaç tane düz çizgi çizilebilir?

0'dan 9'a kadar olan sayıları kullanarak kaç tane domino yapabilirsiniz?

3. Yeni bir takvimden rastgele yırtılmış bir kağıt parçasının ayın ilk gününe denk gelme olasılığı nedir? (Yıl artık yıl olarak kabul edilmez).

4. Atölyede birbirinden bağımsız çalışan 3 adet telefon bulunmaktadır.

5. Her birinin istihdam olasılıkları sırasıyla aşağıdaki gibidir: ; ; . En az bir telefonun ücretsiz olma olasılığını bulun.

6. Üç tane birbirinin aynısı kavanoz var. İlk torbada 20 beyaz top, ikincisinde 10 beyaz ve 10 siyah top, üçüncüsünde ise 20 siyah top var. Rastgele seçilen bir torbadan beyaz bir top çekiliyor. İlk torbadan bir topun çekilme olasılığını bulunuz.

7. Yaz aylarında bazı bölgelerde günlerin ortalama %20'si yağmurludur. Bir hafta boyunca: a) en az bir yağmurlu günün olması; b) tam olarak bir yağmurlu gün olacak; c) Yağmurlu günlerin sayısı dörtten fazla olmayacak; d) Yağmurlu günler olmayacak.

8. Cihazın montajında ​​​​doğruluğun ihlal edilme olasılığı 0,32'dir. 9 parçadan oluşan bir partideki en olası hassas alet sayısını belirleyin.

9. Hedefi tek atışta vurma olasılığı 0,4 ise, bir tüfekle 150 atışta hedefin 70 kez vurulma olasılığını belirleyin.

10. Erkek çocuk doğma olasılığı 0,515 ise, doğan 1000 çocuktan 455'inin en az 555'inin erkek olma olasılığını belirleyin.

11. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir. X:

Bul: 1) değerine karşılık gelen olasılık değeri; 2) , , ; 3) dağıtım işlevi; grafiğini oluşturun. Rastgele değişken dağıtım poligonu oluşturun X.

12. Rastgele değişkenler X ve bağımsız. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun , Eğer , , , .

13. Standart olmayan bir parçanın çıkma olasılığı 0,004'tür. 1000 parça arasında 5 standart olmayan parçanın bulunma olasılığını bulun.

14. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen Bulgular: 1) yoğunluk fonksiyonu; 2) , , ; 3) deney sonucunda rastgele bir değişkenin olma olasılığı X aralığına ait bir değer alacaktır. Fonksiyonların ve .km, km grafiklerini oluşturun. Hedefe iki vuruş olasılığını belirleyin.

1. Toplantıda konuşmacıların bulunması zorunludur A, İÇİNDE, İLE, D. Buna göre konuşmacılar listesine kaç farklı şekilde yerleştirilebilirler? İÇİNDE konuşmacının ardından konuştu A?

2. 14 özdeş top 8 kutuya kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

3. 1'den 9'a kadar olan rakamlardan kaç tane beş basamaklı sayı oluşturulabilir?

4. Öğrenci programdaki 32 sorudan sadece 24'ünü bilerek sınava girmiştir. Sınav görevlisi ona 3 soru sordu. Öğrencinin tüm soruları cevaplama olasılığını bulun.

5. Günün sonunda mağazada 50'si olgun olmak üzere 60 karpuz kalmıştı. Alıcı 2 karpuz seçer. Her iki karpuzun da olgun olma olasılığı nedir?

6. Bir grup sporcuda 20 koşucu, 6 atlayıcı ve 4 çekiç atıcı bulunmaktadır. Bir koşucunun spor ustası standardını karşılama olasılığı 0,9'dur; atlayan - 0,8 ve atıcı - 0,75. Rastgele seçilen bir sporcunun spor ustası normunu yerine getirme olasılığını belirleyin.

7. Kiralanan bir eşyanın sağlam bir şekilde iade edilme ihtimali 0,8'dir. Alınan beş şeyden aşağıdakilerin olasılığını belirleyin: a) üçünün iyi durumda iade edilmesi; b) beş öğenin tümü iyi durumda iade edilecektir; c) en az iki ürün iyi durumda iade edilecektir.

8. 500 parçalık bir partide kusur oluşma olasılığı 0,035'tir. Bu partideki en olası kusurlu parça sayısını belirleyin.

9. Elektrik ampulü üretiminde birinci sınıf lamba üretme olasılığı 0,64 olarak kabul edilmiştir. Rastgele alınan 100 elektrik lambasından 70'inin birinci sınıf olma olasılığını belirleyin.

10. 400 cevher numunesi incelemeye tabi tutuluyor. Her numunedeki endüstriyel metal içeriği olasılığı aynı ve 0,8'e eşittir. Endüstriyel metal içerikli numune sayısının 290 ile 340 arasında olma olasılığını bulun.

11. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir. X ise X X Ve ; 4) Bu büyüklüklerin bağımlı olup olmadığını bulun.

1. 8 misafir yuvarlak bir masaya iki ünlü misafir yan yana oturacak şekilde kaç farklı şekilde oturabilir?

2. “Kombinatorik” kelimesinin harflerini yeniden düzenleyerek kaç farklı “kelime” oluşturabilirsiniz?

3. Kenar uzunlukları 4, 5, 6, 7 cm olan kaç üçgen vardır?

4. Zarf bölünmüş alfabenin harflerini içerir: HAKKINDA, P, R, İLE, T. Harfler iyice karıştırılmıştır. Bu harfleri alıp yan yana koyduğunuzda “” kelimesini elde etme olasılığını belirleyin. SPOR‘.

5. İlk makineden parçaların% 20'si, ikinci% 30'undan, üçüncüsünden -% 50'si montaja sağlanır. İlk makine ortalama olarak %0,2 kusur verir, ikinci makine %0,3, üçüncü makine ise %1 kusur verir. Montaj için alınan bir parçanın kusurlu olma olasılığını bulun.

6. Üç atıcıdan biri atış hattına çağrılır ve ateş eder. Hedef vuruldu. İlk atıcı için hedefi tek atışla vurma olasılığı 0,3, ikinci atıcı için - 0,5, üçüncü için - 0,8'dir. Atışın ikinci atıcı tarafından yapılmış olma olasılığını bulun.

7. Atölyede 6 adet motor bulunmaktadır. Her motor için o anda açık olma olasılığı 0,8'dir. Şu anda aşağıdakilerin olasılığını bulun: a) 4 motorun açık olması; b) en az bir motorun açık olması; c) tüm motorlar açıktır.

8. Televizyonun 12 lambası vardır. Her biri 0,4 olasılıkla garanti süresi içerisinde arızalanabilir. Garanti süresi içinde arızalanması muhtemel lamba sayısını bulun.

9. Erkek çocuk sahibi olma olasılığı 0,515'tir. Doğan 200 çocuktan eşit sayıda erkek ve kız çocuğunun doğma olasılığını bulun.

10. Parçanın kalite kontrol muayenesinden geçmeme olasılığı. Rastgele seçilen 400 parça arasında 70 ile 100 arasında test edilmemiş parçanın olma olasılığını bulun.

11. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir. X:

• Rastgele bir değişkenin dağılımının temel yasaları Muhasebe fakültesi yazışma eğitimi (NISPO) öğrencileri tarafından “Rastgele bir değişkenin dağılımının temel yasaları” konusunun incelenmesi için “Belarus Devleti Yüksek Matematik Bölümü” Eğitim kurumu rastgele bir değişkenin [...]
• Trafik polisi Leninogorsk'a para cezası veriyor Geç, itiraz etmediyseniz devlet para cezalarınızı tahsil etmek için önlemler alacaktır. Leninogorsk'un Sembollere ihtiyacı var. Kayıt belgeleri ve zorunlu trafik sigortası poliçesi olmadan, bu makaleye bir köprünün maliyeti 500 olacaktır. Yetkililer trafik polisine para cezası verdi Leninogorsk [...]
• Çernobil mağdurları için kıdem tazminatı: (3 + 1) mi yoksa sadece 3 mü? 796* Sayılı Kanun, Çernobil felaketi sonucu mağdur olan vatandaşlar (bundan sonra Çernobil mağdurları olarak anılacaktır) için belirli faydalar ve garantiler getirmiştir. Böylece, Kategori 1 olarak sınıflandırılan Çernobil kurbanlarına, diğer şeylerin yanı sıra, ayrıcalıklı bir konaklama hakkı veriliyor […]
• Yazlık vergisi. Bilmelisin. Kocam ve ben gelip, yatakları biraz kazabileceğimiz, akşamları ateşin yanında sallanan sandalyede oturup hiçbir şey düşünemeyeceğimiz bir yazlık ev düşünüyoruz. Rahatla. Bahçe işlerinin ucuz olmadığını (gübre, gübre, fide), vergilerin... Hangi vergilerin […]
• İpucu 1: Dağıtım kanunu nasıl belirlenir Dağıtım kanunu nasıl belirlenir Pareto diyagramı nasıl oluşturulur Varyans biliniyorsa matematiksel beklenti nasıl bulunur - matematiksel bir referans kitabı; - basit bir kalem; - not defteri; - dolma kalem. 2018'deki normal dağılım yasası İpucu 2: Nasıl […]
• 3. RASTGELE DEĞİŞKENLER. RASTGELE DEĞİŞKEN KAVRAMI Rastgele değişken, aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda, dikkate alınmayan rastgele faktörlere bağlı olarak, genel anlamda farklı değerler alan bir niceliktir. Rastgele değişken örnekleri: başına çekilen puan sayısı […]
• Geçişin ortadan kaldırılması Nesnenin Stotal alanı, km 2; N gözenek, nesnenin etkilenen elemanlarının sayısıdır (binalar, atölyeler, yapılar, sistemler); Ntoplam nesnenin toplam eleman sayısıdır. Mağdur sayısını belirlemek için şu ifadeyi kullanabilirsiniz: Burada Spor, ani bir patlamada hayatını kaybedenlerin sayısını; Lс belirli bir alandaki işçi sayısıdır […]
• Stefan Boltzmann'ın radyasyon yasaları Gerçek cisimler için Stefan-Boltzmann yasası yalnızca niteliksel olarak karşılanır, yani sıcaklığın artmasıyla tüm cisimlerin enerjik parlaklıkları artar. Bununla birlikte, gerçek cisimler için enerjik parlaklığın sıcaklığa bağımlılığı artık basit ilişki (16.7) ile açıklanmamaktadır, ancak […]

Bölüm 6. Sürekli rastgele değişkenler.

§ 1. Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk ve dağılım fonksiyonu.

Sürekli bir rastgele değişkenin değerleri kümesi sayılamaz ve genellikle sonlu veya sonsuz bir aralığı temsil eder.

Bir olasılık uzayında (W, S, P) tanımlanan bir rastgele değişken x(w) olarak adlandırılır sürekli(mutlak sürekli) W, herhangi bir x için Fx(x) dağılım fonksiyonunun bir integral olarak temsil edilebildiği negatif olmayan bir fonksiyon varsa

Fonksiyona fonksiyon denir olasılık dağılım yoğunlukları.

Tanım, dağıtım yoğunluk fonksiyonunun özelliklerini ima eder:

1..gif" genişlik = "97" yükseklik = "51">

3. Süreklilik noktalarında dağıtım yoğunluğu, dağıtım fonksiyonunun türevine eşittir: .

4. Dağılım yoğunluğu, rastgele bir değişkenin dağılım yasasını belirler, çünkü rastgele bir değişkenin aralığa düşme olasılığını belirler:

5. Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı sıfırdır: . Bu nedenle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği denir dağıtım eğrisi ve dağılım eğrisinin ve x ekseninin sınırladığı alan birliğe eşittir. O halde geometrik olarak Fx(x) dağılım fonksiyonunun x0 noktasındaki değeri, dağılım eğrisi ve apsis ekseni tarafından sınırlanan ve x0 noktasının solunda kalan alandır.

Görev 1. Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

C sabitini belirleyin, Fx(x) dağılım fonksiyonunu oluşturun ve olasılığı hesaplayın.

Çözüm. C sabiti elimizdeki koşuldan bulunur:

dolayısıyla C=3/8.

Fx(x) dağıtım fonksiyonunu oluşturmak için aralığın, x argümanının değer aralığını (sayısal eksen) üç parçaya böldüğünü unutmayın: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" genişlik = "264 " yükseklik = "49">

yarı eksendeki yoğunluk x sıfır olduğundan. İkinci durumda

Son olarak son durumda x>2 olduğunda,

Yoğunluk yarı eksende kaybolduğu için. Böylece dağıtım fonksiyonu elde edilir

Olasılık Formülü kullanarak hesaplayalım. Böylece,

§ 2. Sürekli rastgele değişkenin sayısal özellikleri

Beklenen değer sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> formülüyle belirlenir.

sağdaki integral mutlak yakınsaksa.

Dağılım x aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir ve ayrıca ayrı durumda olduğu gibi https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> formülüne göre.

Bölüm 5'te kesikli rastgele değişkenler için verilen matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerinin tümü, sürekli rastgele değişkenler için de geçerlidir.

Sorun 2. Problem 1'deki rastgele değişken x için matematiksel beklentiyi ve varyansı hesaplayın .

Çözüm.

Ve bu demek ki

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" genişlik = "184" yükseklik = "69 src = ">

Düzgün bir dağılım yoğunluğu grafiği için bkz. .

Şekil 6.2. Dağıtım fonksiyonu ve dağıtım yoğunluğu. tek tip yasa

Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu Fx(x) şuna eşittir:

Fx(x)=

Beklenti ve varyans; .

Üstel dağılım. Negatif olmayan değerler alan sürekli bir rastgele değişken x, eğer rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu eşitse, parametre l>0 olan üstel bir dağılıma sahiptir.

рx(x)=

Pirinç. 6.3. Üstel yasanın dağılım fonksiyonu ve dağılım yoğunluğu.

Üstel dağılımın dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width = "17" height = "41">.gif" width = "13" height = "15"> ve dağıtım yoğunluğu eşitse

.

Through, parametreler ve parametreleriyle normal bir yasaya göre dağıtılan tüm rastgele değişkenlerin kümesini belirtir.

Normal dağılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şuna eşittir:

.

Pirinç. 6.4. Dağıtım fonksiyonu ve normal dağılım yoğunluğu

Normal dağılımın parametreleri matematiksel beklentidir https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Özel durumda ne zaman https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width = "44" height = "21 src = "> normal dağılıma denir standart ve bu tür dağıtımların sınıfı https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> ile gösterilir,

ve dağıtım fonksiyonu

Böyle bir integral analitik olarak hesaplanamayacağından (“karelemelerde” alınmaz) bu nedenle fonksiyona yönelik tablolar derlenmiştir. İşlev, Bölüm 4'te tanıtılan Laplace işleviyle ilgilidir.

,

aşağıdaki ilişkiyle . Rastgele parametre değerleri durumunda https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width = "21" height = "21 src = "> rastgele bir değişkenin dağıtım işlevi, aşağıdaki ilişkiyi kullanarak Laplace işleviyle ilişkilidir:

.

Bu nedenle normal dağılmış bir rastgele değişkenin bir aralığa düşme olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

.

Negatif olmayan bir x rastgele değişkeni, eğer logaritması h=lnx normal yasaya uyuyorsa, lognormal dağılımlı olarak adlandırılır. Lognormal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve varyansı Mx= ve Dx='dir.

Görev 3. https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> rastgele bir değişken verilsin.

Çözüm.İşte https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplace dağılımı fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> fonksiyonu tarafından verilir ve basıklık gx=3'tür.

Şekil 6.5. Laplace dağılım yoğunluk fonksiyonu.

Rastgele değişken x dağıtılır Weibull yasası, https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> değerine eşit bir dağıtım yoğunluğu işlevine sahipse

Weibull dağıtımı birçok teknik cihazın hatasız çalışma sürelerini yönetir. Bu profildeki problemlerde önemli bir özellik, l(t)= ilişkisiyle belirlenen, t yaşındaki incelenen unsurların başarısızlık oranıdır (ölüm oranı) l(t). Eğer a=1 ise, Weibull dağılımı üstel bir dağılıma dönüşür ve eğer a=2 ise sözde dağılıma dönüşür. Rayleigh.

Weibull dağılımının matematiksel beklentisi: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width = "219" height = "45 src = ">, burada Г(а) Euler'dir işlev. .

Uygulamalı istatistiğin çeşitli problemlerinde “kesilmiş” dağılımlar olarak adlandırılan dağılımlarla sıklıkla karşılaşılmaktadır. Örneğin vergi makamları, yıllık gelirleri vergi kanunları tarafından belirlenen belirli bir c0 eşiğini aşan bireylerin gelir dağılımıyla ilgilenmektedir. Bu dağılımlar yaklaşık olarak Pareto dağılımına denk gelmektedir. Pareto dağılımı fonksiyonlar tarafından verilen

Fx(x)=P(x .gif" width = "44" height = "25"> rastgele bir x değişkeni ve monotonik türevlenebilir bir fonksiyona ait ..gif" width = "200" yükseklik = "51">

İşte https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Görev 4. Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Rasgele bir değişkenin yoğunluğunu bulun.

Çözüm. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor:

Daha sonra fonksiyon bir aralıkta monoton ve türevlenebilir bir fonksiyondur ve ters fonksiyona sahiptir türevi eşittir Bu nedenle,

§ 5. Sürekli rastgele değişken çifti

İki sürekli rastgele değişken x ve h verilsin. Daha sonra (x, h) çifti düzlemde “rastgele” bir nokta tanımlar. (x, h) çiftine denir rastgele vektör veya iki boyutlu rastgele değişken.

Ortak dağıtım fonksiyonu rastgele değişkenler x ve h'dir ve fonksiyona F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> adı verilir. eklem yoğunluğu Rastgele değişkenler x ve h'nin olasılık dağılımına öyle bir fonksiyon denir ki .

Ortak dağılım yoğunluğunun bu tanımının anlamı aşağıdaki gibidir. Bir "rastgele noktanın" (x, h) düzlemdeki bir bölgeye düşme olasılığı, https://pandia.ru/ yüzeyiyle sınırlanan "eğrisel" bir silindir olan üç boyutlu bir şeklin hacmi olarak hesaplanır. text/78/107/images/image098_3.gif" genişlik = "211" yükseklik = "39 src = ">

İki rastgele değişkenin ortak dağılımının en basit örneği iki boyutludur. sette düzgün dağılımA. Sınırlı bir M kümesinin alanı ile verilebilmesine izin verin. Bu, aşağıdaki eklem yoğunluğu ile tanımlanan (x, h) çiftinin dağılımı olarak tanımlanır:

Görev 5.İki boyutlu rastgele bir vektörün (x, h) üçgenin içinde düzgün şekilde dağıldığını varsayalım. x>h eşitsizliğinin olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Belirtilen üçgenin alanı eşittir (bkz. Şekil No.?). İki boyutlu tekdüze dağılım tanımı gereği, x, h rastgele değişkenlerinin ortak yoğunluğu şuna eşittir:

Bir olay bir diziye karşılık gelir bir düzlemde, yani yarım düzlemde. O halde olasılık

Yarım düzlem B'de, bağlantı yoğunluğu https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> kümesinin dışında sıfırdır. yarım düzlem B iki kümeye bölünmüştür ve https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ve ikinci integral şuna eşittir: sıfır, çünkü oradaki eklem yoğunluğu sıfıra eşit. Bu yüzden

Bir (x, h) çifti için ortak dağılım yoğunluğu verilirse, hem x hem de h bileşenlerinin yoğunlukları denir. özel yoğunluklar ve aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" genişlik = "224" yükseklik = "23 src = ">

Yoğunlukları рx(х), рh(у) olan sürekli dağıtılmış rastgele değişkenler için bağımsızlık şu anlama gelir:

Görev 6.Önceki problemin koşullarında, x ve h rastgele vektörünün bileşenlerinin bağımsız olup olmadığını belirleyin?

Çözüm. Kısmi yoğunlukları ve hesaplayalım. Sahibiz:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width = "283" height = "61 src = ">

Açıkçası, bizim durumumuzda https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x ve h miktarlarının ortak yoğunluğudur ve j( x, y) iki bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur, o halde

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" genişlik = "184" yükseklik = "152 src = ">

Görev 7.Önceki problemin koşullarında hesaplayın.

Çözüm. Yukarıdaki formüle göre elimizde:

.

Üçgeni şu şekilde temsil etmek

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. İki sürekli rastgele değişkenin toplamının yoğunluğu

X ve h, https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25"> yoğunluklarına sahip bağımsız rastgele değişkenler olsun. Rastgele değişkenin yoğunluğu x + h formülle hesaplanır evrişim

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width = "39" height = "19 src = ">. Toplamın yoğunluğunu hesaplayın.

Çözüm. x ve h parametresi ile üstel yasaya göre dağıtıldıkları için yoğunlukları eşittir.

Buradan,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

eğer x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatiftir ve bu nedenle . Bu nedenle, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> ise

Böylece cevabı aldık:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normal olarak 0 ve 1 parametreleriyle dağıtılır. Rastgele değişkenler x1 ve x2 bağımsızdır ve normaldir Sırasıyla a1 ve a2 parametreli dağılımlar x1 + x2'nin normal dağılıma sahip olduğunu kanıtlayın. x1, x2, ... xn rastgele değişkenleri dağıtılmış ve bağımsızdır ve aynı dağılım yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.

.

Değerlerin dağılım fonksiyonunu ve dağılım yoğunluğunu bulun:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maksimum (x1,x2, ... xn)

Rastgele değişkenler x1, x2, ... xn bağımsızdır ve [a, b] aralığında düzgün bir şekilde dağılmıştır. Büyüklüklerin dağılımlarının dağılım fonksiyonlarını ve yoğunluk fonksiyonlarını bulun

x(1) = min (x1,x2, ... xn) ve x(2)= maks(x1, x2, ...xn).

Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> olduğunu kanıtlayın.

Rastgele değişken Cauchy yasasına göre dağıtılır Bul: a) katsayı a; b) dağıtım işlevi; c) (-1, 1) aralığına düşme olasılığı. X'in matematiksel beklentisinin olmadığını gösterin. Rastgele değişken l(l>0) parametresi ile Laplace yasasına tabidir: a katsayısını bulun; dağıtım yoğunluk grafikleri ve dağıtım fonksiyonlarını oluşturmak; Mx ve Dx'i bulun; olayların olasılıklarını bulun (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Dağıtım yoğunluğu için bir formül yazın, Mx ve Dx'i bulun.

Hesaplamalı görevler.

Rastgele bir A noktası, R yarıçaplı bir daire içinde düzgün bir dağılıma sahiptir. Noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı r'nin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun. r2 değerinin parça üzerinde düzgün dağıldığını gösterin.

Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu ve olasılığı hesaplayın Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu ve olasılığı hesaplayın Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir:
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu, varyansı ve olasılığı hesaplayın Bir rastgele değişkenin bir dağılım fonksiyonu vardır.

Rastgele bir değişkenin yoğunluğunu, matematiksel beklentiyi, varyansı ve olasılığı hesaplayın. Fonksiyonun = olup olmadığını kontrol edin
rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu olabilir. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun: Mx ve Dx. Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Dağıtım yoğunluğunu yazın. Dağıtım fonksiyonunu bulun. Bir rastgele değişkenin parçaya ve parçaya düşme olasılığını bulun. Dağıtım yoğunluğu x eşittir

.

Sabit c'yi, dağılım yoğunluğunu h = ve olasılığı bulun

P (0,25

Bir bilgisayarın hatasız çalışma süresi, l = 0,05 (saat başına arıza) parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır, yani bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.

p(x) = .

Belirli bir sorunun çözümü makinenin 15 dakika boyunca sorunsuz çalışmasını gerektirir. Bir problemi çözerken bir arıza meydana gelirse, hata ancak çözüm tamamlandıktan sonra tespit edilir ve problem tekrar çözülür. Bulgular: a) problemin çözümü sırasında tek bir arızanın meydana gelmeme olasılığı; b) Sorunun çözüleceği ortalama süre.

24 cm uzunluğundaki bir çubuk iki parçaya bölünüyor; Kırılma noktasının çubuğun tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağıldığını varsayacağız. Çubuğun çoğunun ortalama uzunluğu nedir? Uzunluğu 12 cm olan bir parça rastgele iki parçaya ayrılıyor. Kesim noktası, segmentin tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağıtılır. Segmentin küçük kısmının ortalama uzunluğu nedir? Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu bulun a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

X'in sürekli bir dağılım fonksiyonuna sahip olup olmadığını gösterin

F(x) = P(x)

Segmentler üzerinde tekdüze dağılım yasalarına sahip iki bağımsız x ve h büyüklüğünün toplamının yoğunluk fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler bağımsızdır ve yoğunluğa sahip üstel bir dağılıma sahiptir . Toplamlarının dağılım yoğunluğunu bulun. Bağımsız rasgele değişkenler x ve h'nin toplamının dağılımını bulun; burada x, aralıkta tekdüze bir dağılıma sahiptir ve h, l parametresi ile üstel bir dağılıma sahiptir. P'yi bul , eğer x aşağıdakilere sahipse: a) a ve s2 parametreleriyle normal dağılım; b) l parametresi ile üstel dağılım; c) [-1;1] segmentinde düzgün dağılım. x, h'nin ortak dağılımı kare düzgündür
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Olasılığı bul . x ve h bağımsız mıdır? Bir çift rastgele değişken x ve h, K= üçgeni içinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. x ve h yoğunluklarını hesaplayın. Bu rastgele değişkenler bağımsız mıdır? Olasılığı bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve segmentler ve [-1,1] üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Olasılığı bulun. İki boyutlu bir rastgele değişken (x, h), köşeleri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) olan bir kareye düzgün şekilde dağıtılır. (1, -1) noktasındaki ortak dağılım fonksiyonunun değerini bulun. Rastgele bir vektör (x, h), merkezi orijin olan 3 yarıçaplı bir dairenin içine eşit olarak dağıtılmıştır. Ortak dağılım yoğunluğu için bir ifade yazın. Bu rastgele değişkenlerin bağımlı olup olmadığını belirleyin. Olasılığı hesaplayın. Bir çift rastgele değişken x ve h, köşeleri (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) noktalarında olan bir yamuk içinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bu rastgele değişken çifti için ortak dağılım yoğunluğunu ve bileşenlerin yoğunluğunu bulun. X ve h bağımlı mıdır? Rastgele bir (x, h) çifti yarım daire içinde eşit şekilde dağılmıştır. X ve h yoğunluklarını bulun, bağımlılık sorununu araştırın. İki rastgele değişken x ve h'nin ortak yoğunluğu şuna eşittir: .
x, h yoğunluklarını bulun. X ve h'nin bağımlılığı sorusunu araştırın. Rastgele bir (x, h) çifti kümeye düzgün şekilde dağılmıştır. X ve h yoğunluklarını bulun, bağımlılık sorununu araştırın. M(xh)'yi bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve Bul parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır.

– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.

Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:

Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.

Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:

– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).

Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)

Ancak hipotezleriniz?

2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm bazı sonlu veya sonsuz aralıktaki sayısal değerler.

Not : DSV ve NSV kısaltmaları eğitim literatüründe popülerdir

İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası

- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır:

Terim oldukça sık karşımıza çıkıyor sıra dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" sadık kalacağım.

Ve şimdi çok önemli bir nokta: rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:

veya özet olarak yazılmışsa:

Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir:

Yorum yok.

Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:

örnek 1

Bazı oyunlarda aşağıdaki kazanan dağıtım yasası vardır:

...muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz :) Size bir sır vereceğim; ben de. Özellikle üzerinde çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.

Çözüm: Bir rastgele değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir:

“Partizanı” ifşa etmek:

– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.

Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.

Cevap:

Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:

Örnek 2

Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Rastgele bir değişkenin dağıtımı için bir yasa hazırlayın - kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın büyüklüğü.

Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.

Toplamda böyle 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.

Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:

Kontrol edin: – ve bu, bu tür görevlerin özellikle keyifli bir anıdır!

Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa:

Aşağıdaki görev kendi başınıza çözmeniz içindir:

Örnek 3

Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.

...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Basit bir ifadeyle bu ortalama beklenen değer Test birçok kez tekrarlandığında. Rastgele değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin sırasıyla. O zaman bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: ürünlerin toplamı tüm değerleri karşılık gelen olasılıklara göre:

veya çöktü:

Örneğin, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, yani bir zarın üzerine atılan puan sayısını hesaplayalım:

Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım:

Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:

Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.

Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!

Evet, burada arka arkaya 10, hatta 20-30 kez kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkımla karşı karşıya kalacağız. Ve sana bu tür oyunlar oynamanı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.

Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.

Bağımsız araştırma için yaratıcı görev:

Örnek 4

Bay X, Avrupa ruletini aşağıdaki sistemi kullanarak oynuyor: "kırmızı" üzerine sürekli olarak 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?

Referans : Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.

Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa veya tablosuna ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey