Derece bir açı ölçüsüdür. Merkezi açı - iki yarıçap arasındaki açı

Açının derece ölçüsü. Radyan açı ölçüsü. Dereceyi radyana veya tersini dönüştürme.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Önceki dersimizde trigonometrik çemberdeki açıların nasıl ölçüleceğini öğrendik. Pozitif ve negatif açıların nasıl sayılacağını öğrendim. 360 dereceden büyük açının nasıl çizileceğini öğrendik. Açıların nasıl ölçüleceğini bulmanın zamanı geldi. Hele ki zor görevlerde kafamızı karıştırmaya çalışan "Pi" sayısıyla, evet...

Trigonometride "Pi" sayısıyla ilgili standart problemler iyi bir şekilde çözüldü. Görsel hafıza yardımcı olur. Ancak şablondan herhangi bir sapma felakettir! Düşmeyi önlemek için - anlamak gerekli. Şimdi bunu başarıyla yapacağız. Demek istediğim, her şeyi anlayacağız!

Bu yüzden, Ne açılar sayılır mı? Okul trigonometri dersinde iki ölçü kullanılır: derece açı ölçüsü Ve radyan açı ölçüsü. Şimdi bu önlemlere bakalım. Bu olmadan trigonometrinin hiçbir yeri yoktur.

Açının derece ölçüsü.

Bir şekilde derecelere alıştık. En azından geometriyi geçtik... Ve hayatta sık sık "180 derece döndü" ifadesiyle karşılaşırız, örneğin. Kısaca diploma basit bir şeydir...

Evet? O zaman bana cevap ver derece nedir? Ne, hemen işe yaramıyor mu? Bu kadar...

Dereceler Antik Babil'de icat edildi. Uzun zaman önceydi... 40 asır önceydi... Ve aklına basit bir fikir geldi. Çemberi alıp 360 eşit parçaya böldüler. 1 derece bir dairenin 1/360'ıdır. Bu kadar. 100 parçaya bölebilirlerdi. Veya 1000. Ama bunu 360'a bölmüşler. Bu arada neden tam olarak 360? 360 nasıl 100'den daha iyidir? 100 bir şekilde daha yumuşak görünüyor... Bu soruyu cevaplamaya çalışın. Veya Antik Babil'e karşı zayıf mısınız?

Aynı zamanda bir yerlerde, Eski Mısır'da başka bir soruyla işkence görüyorlardı. Bir dairenin uzunluğu çapının uzunluğunun kaç katıdır? Ve bunu şu şekilde ölçtüler, şu şekilde... Her şeyin üçten biraz fazla olduğu ortaya çıktı. Ama bir şekilde tüylü, düzensiz çıktı... Ama onlar, Mısırlılar suçlanacak değil. Onlardan sonra 35 yüzyıl daha acı çektiler. Sonunda bir daireyi eşit parçalara ne kadar ince keserseniz kesebileceğinizi kanıtlayana kadar, bu parçalardan yapabileceğinizi kanıtladılar. düzçapın uzunluğu imkansızdır... Prensip olarak imkansızdır. Çevrenin çaptan kaç kat daha büyük olduğu elbette belirlendi. Yaklaşık olarak. 3,1415926... kez.

Bu "Pi" sayısıdır. Çok tüylü, çok tüylü. Virgülden sonra sıralanamayan sonsuz sayıda sayı vardır... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Bu arada bu, bir dairenin eşit parçalarından çapın olduğu anlamına gelir düz katlamayın. Asla.

Pratik kullanım için, virgülden sonra yalnızca iki rakamı hatırlamak gelenekseldir. Hatırlamak:

Çevrenin çaptan “Pi” katı kadar büyük olduğunu anladığımız için çevre formülünü hatırlamak mantıklı olacaktır:

Nerede L- çevre ve D- çapı.

Geometride faydalıdır.

Genel eğitim için şunu da ekleyeyim ki “Pi” sayısı sadece geometride bulunmuyor… Matematiğin çeşitli dallarında ve özellikle olasılık teorisinde bu sayı sürekli karşımıza çıkıyor! Kendi kendine. Arzularımızın ötesinde. Bunun gibi.

Ama derecelere dönelim. Eski Babil'de dairenin neden 360 eşit parçaya bölündüğünü anladınız mı? Örneğin 100'e kadar değil mi? HAYIR? TAMAM. Sana bir versiyon vereceğim. Eski Babillilere soramazsınız... İnşaat için veya örneğin astronomi için daireyi eşit parçalara bölmek uygundur. Şimdi hangi sayılara bölünebileceğini bulun tamamen 100 ve hangileri - 360? Ve bu bölenlerin hangi versiyonunda tamamen- Daha? Bu bölünme insanlar için çok uygundur. Ancak...

Antik Babil'den çok daha sonra ortaya çıktığı gibi, herkes diplomalardan hoşlanmaz. Yüksek matematik onları sevmiyor... Yüksek matematik, doğa kanunlarına göre düzenlenmiş ciddi bir hanımefendidir. Ve bu hanım diyor ki: “Çemberi bugün 360 parçaya böldün, yarın 100 parçaya, yarın ertesi gün 245 parçaya böleceksin... Peki ne yapmalıyım?” Dinlemek zorundaydım. Doğayı kandıramazsınız...

İnsan icatlarına dayanmayan bir açı ölçüsü getirmek zorundaydık. Tanışmak - radyan!

Radyan açı ölçüsü.

Radyan nedir? Radyanın tanımı hala bir daireye dayanmaktadır. 1 radyanlık açı, uzunluğu () olan bir daireden bir yay kesen açıdır. L) yarıçapın uzunluğuna eşittir ( R). Resimlere bakalım.

O kadar küçük bir açı ki neredeyse yok... İmleci resmin üzerine getiriyoruz (ya da tabletteki resme dokunuyoruz) ve yaklaşık bir tane görüyoruz radyan. L = R

Farkı hissediyor musun?

Bir radyan bir dereceden çok daha fazladır. Kaç sefer?

Bir sonraki resme bakalım. Üzerine yarım daire çizdim. Açılmamış açı doğal olarak 180°'dir.

Şimdi bu yarım daireyi radyanlara böleceğim! İmleci resmin üzerine getirdiğimizde 180°'nin 3 buçuk radyana uyduğunu görüyoruz.

Bu kuyruğun neye eşit olduğunu kim tahmin edebilir?

Evet! Bu kuyruk 0.1415926.... Merhaba "Pi" numarası, seni henüz unutmadık!

Aslında 180° derece 3,1415926... radyan içerir. Sizin de anladığınız gibi, her zaman 3.1415926 yazmak... sakıncalıdır. Bu nedenle bu sonsuz sayı yerine her zaman basitçe şunu yazarlar:

Ama internette numara

Yazmak sakıncalı... Bu yüzden adını metinde yazıyorum - “Pi”. Kafanız karışmasın, tamam mı?

Artık yaklaşık bir eşitliği tamamen anlamlı bir şekilde yazabiliriz:

Veya tam eşitlik:

Bir radyanın kaç derece olduğunu belirleyelim. Nasıl? Kolayca! 3,14 radyanda 180° derece varsa, 1 radyanda 3,14 kat daha az vardır! Yani, ilk denklemi (formül de bir denklemdir!) 3,14'e bölüyoruz:

Bu oranın hatırlanması faydalıdır. Bir radyan yaklaşık 60°'dir. Trigonometride genellikle durumu tahmin etmeniz ve değerlendirmeniz gerekir. Bu bilginin çok yardımcı olduğu yer burasıdır.

Ancak bu konunun temel becerisi dereceleri radyana veya tam tersini dönüştürmek.

Açı radyan cinsinden "Pi" sayısıyla verilirse her şey çok basittir. "Pi" radyanının = 180° olduğunu biliyoruz. Bu nedenle “Pi” - 180° yerine radyan koyarız. Açıyı derece cinsinden elde ederiz. Azaltılmış olanı azaltıyoruz ve cevap hazır. Örneğin kaç tane olduğunu bulmamız gerekiyor. derece"Pi"/2 açısında radyan? O halde şunu yazıyoruz:

Veya daha egzotik bir ifade:

Kolay değil mi?

Tersine çeviri biraz daha karmaşıktır. Ama çok değil. Açı derece olarak verilmişse, bir derecenin radyan cinsinden kaça eşit olduğunu bulmamız ve bu sayıyı derece sayısıyla çarpmamız gerekir. Radyan cinsinden 1° neye eşittir?

Formüle bakıyoruz ve 180° = “Pi” radyan ise 1°'nin 180 kat daha küçük olduğunu fark ediyoruz. Veya başka bir deyişle denklemi (formül de denklemdir!) 180'e böleriz. Pi sayısını 3,14 olarak göstermemize gerek yok zaten her zaman harfle yazılır. Bir derecenin şuna eşit olduğunu buluyoruz:

Bu kadar. Derece sayısını bu değerle çarpıyoruz ve açıyı radyan cinsinden elde ediyoruz. Örneğin:

Veya benzer şekilde:

Gördüğünüz gibi, lirik ara sözlerle yapılan yavaş bir sohbette radyanların çok basit olduğu ortaya çıktı. Üstelik çeviri de sorun değil... Ve “Pi” de tamamen tolere edilebilir bir şey… Peki bu karışıklık nereden geliyor!?

Sırrı açığa çıkaracağım. Gerçek şu ki, trigonometrik fonksiyonlarda derece sembolü yazılmıştır. Her zaman. Örneğin sin35°. Bu sinüs 35 derece . Ve radyan simgesi ( memnun) - yazılı değil! Bu ima ediliyor. Ya matematikçiler tembellikten bunalmıştı ya da başka bir şey... Ama yazmamaya karar verdiler. Sinüs kotanjantının içinde herhangi bir sembol yoksa açı şu şekildedir: radyan cinsinden ! Örneğin cos3 üçün kosinüsüdür radyan .

Bu durum kafa karışıklığına neden olur... Kişi “Pi”yi görür ve onun 180° olduğuna inanır. Her zaman ve her yerde. Bu arada, bu işe yarıyor. Şimdilik örnekler standarttır. Ama "Pi" bir sayıdır! Sayı 3,14 ama derece değil! Bu "Pi" radyan = 180°!

Bir kez daha: “Pi” bir sayıdır! 3.14. Mantıksız ama bir sayı. 5 veya 8 ile aynı. Örneğin "Pi" adımlarını yapabilirsiniz. Üç adım ve biraz daha fazlası. Veya "Pi" kilogram şeker satın alın. Eğitimli bir satıcı karşınıza çıkarsa...

"Pi" bir sayıdır! Ne, bu cümleyle seni rahatsız mı ettim? Her şeyi uzun zaman önce anladın mı? TAMAM. Hadi kontrol edelim. Söyle bana, hangi sayı daha büyük?

Veya daha az olan nedir?

Bu, sizi şaşkınlığa sürükleyebilecek, standart dışı bir dizi sorudan biridir...

Siz de şaşkına döndüyseniz şu büyüyü hatırlayın: "Pi" bir sayıdır! 3.14. İlk sinüste açının olduğu açıkça belirtiliyor derece olarak! Bu nedenle “Pi”yi 180° ile değiştirmek mümkün değildir! "Pi" derecesi yaklaşık 3,14°'dir. Bu nedenle şunu yazabiliriz:

İkinci sinüste herhangi bir gösterim yoktur. Bu yüzden orada - radyan! Burası “Pi”yi 180° ile değiştirmek gayet işe yarayacaktır. Yukarıda yazıldığı gibi radyanları dereceye çevirdiğimizde şunu elde ederiz:

Geriye bu iki sinüsü karşılaştırmak kalıyor. Ne. nasıl unuttun? Elbette trigonometrik bir daire kullanarak! Bir daire çizin, yaklaşık 60° ve 1,05° açıları çizin. Bakalım bu açıların sinüsleri neler? Kısaca trigonometrik çember ile ilgili konunun sonunda her şey anlatılıyor. Bir daire üzerinde (çarpık olanda bile!) açıkça görülecektir ki günah60°önemli ölçüde daha fazla günah1,05°.

Aynı şeyi kosinüslerle de yapacağız. Dairenin üzerine yaklaşık 4 derecelik açılar çizin derece ve 4 radyan(1 radyanın yaklaşık olarak neye eşit olduğunu unuttunuz mu?). Çember her şeyi söyleyecek! Elbette cos4, cos4°'den küçüktür.

Açı ölçülerini kullanmayı deneyelim.

Bu açıları dereceden radyana dönüştürün:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Bu değerleri radyan cinsinden (farklı bir sırayla!) Almalısınız.

Bu arada cevapları özellikle iki satırda vurguladım. Peki, ilk satırdaki köşelerin ne olduğunu bulalım mı? En azından derece olarak, en azından radyan olarak?

Evet! Bunlar koordinat sisteminin eksenleridir! Trigonometrik daireye bakarsanız, açının bu değerlerle hareketli tarafı eksenlere tam olarak uyar. Bu değerlerin bilinmesi gerekiyor. Ve 0 derecelik (0 radyan) açıyı iyi bir nedenden dolayı not ettim. Ve sonra bazı insanlar bu açıyı bir daire üzerinde bulamıyorlar... Ve buna bağlı olarak sıfırın trigonometrik fonksiyonlarında kafaları karışıyor... Başka bir şey de, hareketli tarafın sıfır derecedeki konumunun konumla çakışmasıdır. 360°'de olduğundan yakınlardaki çemberde her zaman tesadüfler vardır.

İkinci sırada da özel açılar var... Bunlar 30°, 45° ve 60°. Peki onları bu kadar özel kılan ne? Özel birşey yok. Bu açılar ile diğerleri arasındaki tek fark, bu açıları bilmeniz gerektiğidir. Tüm. Ve nerede bulundukları ve bu açıların hangi trigonometrik fonksiyonlara sahip olduğu. Değer diyelim günah100° Bilmene gerek yok. A günah45°- lütfen çok nazik ol! Bu, trigonometride onsuz yapılacak hiçbir şeyin olmadığı zorunlu bilgidir... Ancak bunun hakkında daha fazlası bir sonraki derste.

Bu arada eğitime devam edelim. Bu açıları radyandan dereceye dönüştürün:

Bunun gibi sonuçlar almalısınız (karışıklık içinde):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Olmuş? O zaman şunu varsayabiliriz Dereceleri radyana ve geriye dönüştürme- artık sizin sorununuz değil.) Ancak açıları çevirmek trigonometriyi anlamanın ilk adımıdır. Orada ayrıca sinüs ve kosinüslerle çalışmanız gerekir. Ve teğetler ve kotanjantlarla da...

İkinci güçlü adım ise trigonometrik bir daire üzerindeki herhangi bir açının konumunu belirleme yeteneği. Hem derece hem de radyan cinsinden. Trigonometri boyunca size bu beceriyle ilgili sıkıcı ipuçları vereceğim, evet...) Trigonometrik çember ve trigonometrik çemberdeki açıların ölçümü hakkında her şeyi biliyorsanız (ya da her şeyi bildiğinizi düşünüyorsanız), buna göz atabilirsiniz. Bu basit görevleri çözün:

1. Açılar hangi çeyreğe düşüyor:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Kolayca? Devam edelim:

2. Köşeler hangi çeyreğe düşüyor:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Sorun yok mu? Peki, bakın...)

3. Köşeleri dörde bölebilirsiniz:

Yapabildin mi? Peki sen ver..)

4. Köşe hangi eksenlere düşecek:

ve köşe:

O da kolay mı? Hım...)

5. Köşeler hangi çeyreğe düşüyor:

Ve işe yaradı!? O zaman gerçekten bilmiyorum...)

6. Köşelerin hangi çeyreğe düştüğünü belirleyin:

1, 2, 3 ve 20 radyan.

Sadece son görevin son sorusuna (biraz zor) cevap vereceğim. İlk çeyrekte 20 radyanlık bir açı düşecek.

Cevapların geri kalanını vermeyeceğim, açgözlülükten değil.) Basitçe, eğer karar vermedim bir şey bundan şüphe duyuyorsun sonuç olarak veya 4 numaralı göreve harcandı 10 saniyeden fazla, bir daire içinde kötü yönlendirilmişsin. Bu, tüm trigonometride sorununuz olacaktır. Ondan hemen kurtulmak daha iyidir (problem, trigonometri değil!). Bu konu başlığı altında yapılabilir: Bölüm 555'teki trigonometrik çemberle pratik çalışma.

Bu tür görevleri basit ve doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi anlatır. Elbette bu görevler çözüldü. Ve dördüncü görev 10 saniyede çözüldü. Evet, herkesin bunu yapabileceğine karar verildi!

Cevaplarınıza kesinlikle güveniyorsanız ve radyanlarla çalışmanın basit ve sorunsuz yöntemleriyle ilgilenmiyorsanız 555’i ziyaret etmenize gerek yok. Israr etmiyorum.)

İyi bir anlayış, devam etmek için yeterince iyi bir nedendir!)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Talimatlar

Yay, bu daire üzerinde bulunan iki nokta arasında kalan bir dairenin parçasıdır. Herhangi bir yay sayısal değerlerle ifade edilebilir. Uzunlukla birlikte ana özelliği derece ölçüsünün değeridir.

Ancak bir yay bir daire üzerinde izole edildiğinde bir diğeri oluşur. Bu nedenle hangi yaydan bahsettiğimizi kesin olarak anlamak için seçilen yay üzerinde başka bir noktayı, örneğin C'yi işaretleyin. Daha sonra ABC şeklini alacaktır.

Yayı sınırlayan iki noktanın oluşturduğu parça bir akordur.

Bir yayın derece ölçüsü, dairenin kendisinde bir tepe noktasına sahip olan ve verilen yayın üzerinde duran yazılı açının değeri aracılığıyla bulunabilir. Böyle bir açıya yazılı açı denir ve derecesi, dayandığı yayın yarısına eşittir.

Çemberin bir de merkezi açısı vardır. Aynı zamanda istenen yayın üzerinde durur ve tepesi artık dairenin üzerinde değil merkezdedir. Ve sayısal değeri artık yayın derece ölçüsünün yarısına değil, tam değerine eşittir.

Bir yayın, üzerine gelen açıya göre nasıl hesaplandığını anladıktan sonra, bu yasayı ters yönde uygulayabilir ve çapa dayanan yazılı açının dik olduğu kuralını türetebilirsiniz. Çap, daireyi iki eşit parçaya böldüğü için bu, yaylardan herhangi birinin 180 derecelik bir değere sahip olduğu anlamına gelir. Bu nedenle yazılı açı 90 derecedir.

Ayrıca bir yayın derece değerini arama yöntemine göre, bir yayı temel alan açıların eşit değere sahip olması kuralı doğrudur.

Bir yayın derece ölçüsü genellikle bir dairenin uzunluğunu veya yayın kendisini hesaplamak için kullanılır. Bunu yapmak için L= π*R*α/180 formülünü kullanın.

"" kelimesinin farklı anlamları vardır. Geometride açı, bir noktadan (tepe noktasından) çıkan iki ışınla sınırlanan bir düzlemin parçasıdır. Düz, dar ve açık açılardan bahsettiğimizde geometrik açıları kastediyoruz.

Geometrideki herhangi bir şekil gibi açılar da karşılaştırılabilir. Açıların eşitliği hareket kullanılarak belirlenir. Açıyı iki eşit parçaya bölmek kolaydır. Üç parçaya bölmek biraz daha zor ama yine de cetvel ve pergel kullanılarak yapılabilir. Bu arada bu görev oldukça zor görünüyordu. Bir açının diğerinden daha büyük veya daha küçük olduğunu açıklamak geometrik olarak basittir.

Açıların ölçü birimi gelişmiş açının 1/180'idir. Açının büyüklüğü, ölçü birimi olarak seçilen açının söz konusu şekle ne kadar uyduğunu gösteren bir sayıdır.

Her açının sıfırdan büyük bir derece ölçüsü vardır. Doğru açı 180 derecedir. Bir açının derece ölçüsü, kenarlarıyla sınırlanan düzlem üzerindeki herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşit kabul edilir.

Herhangi bir ışından belirli bir düzleme ölçüsü 180°'yi aşmayan bir açı çizilebilir. Üstelik böyle tek bir açı olacak. Yarım düzlemin parçası olan düzlem açının ölçüsü, kenarları benzer olan açının derece ölçüsüdür. Yarım düzlem içeren bir açının düzleminin ölçüsü 360 – α değeridir; burada α, tamamlayıcı düzlem açısının derece ölçüsüdür.

Bir açının derece ölçüsü geometrik bir tanımlamadan sayısal bir tanımlamaya geçmeyi mümkün kılar. Yani dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır, geniş açı 180 dereceden küçük ancak 90 dereceden büyük bir açıdır, dar açı 90 dereceyi aşmaz.

Dereceye ek olarak açının radyan ölçüsü de vardır. Planimetride uzunluk L, yarıçap r ve karşılık gelen merkez açı α'dır. Ayrıca bu parametreler α = L/r ilişkisiyle ilişkilidir. Bu, açıların radyan ölçüsünün temelidir. Eğer L=r ise α açısı bir radyana eşit olacaktır. Dolayısıyla, bir açının radyan ölçüsü, keyfi bir yarıçapla çizilen ve bu açının kenarları arasına alınmış bir yayın uzunluğunun, yayın yarıçapına oranıdır. Derece (360 derece) cinsinden tam bir dönüş, radyan cinsinden 2π'ye karşılık gelir. Biri 57.2958 derece.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• açıların derece ölçüsü formülü

Düz niceliklerin derece cinsinden ölçümü, çağımızın başlangıcından çok önce eski Babil'de icat edildi. Bu eyaletin sakinleri altmışlık gösterim sistemini tercih ediyordu, bu nedenle açıları 180 veya 360 birime bölmek bugün biraz tuhaf görünüyor. Bununla birlikte, modern SI sisteminde önerilen ölçü birimleri olan Pi'nin katları da daha az tuhaf değildir. Bu iki seçenek, günümüzde kullanılan açıların tanımlarıyla sınırlı değildir, bu nedenle değerlerini derece ölçülerine dönüştürme görevi oldukça sık ortaya çıkmaktadır.

Talimatlar

Radyan cinsinden bir açının büyüklüğünü derece ölçüsüne dönüştürmeniz gerekiyorsa, bir derecenin Pi sayısının 1/180'ine eşit bir radyan sayısına karşılık geldiği gerçeğinden yola çıkın. Bu matematiksel sabitin sonsuz sayıda ondalık basamağı vardır, dolayısıyla dönüşüm faktörü de sonsuz bir ondalık kesirdir. Bu, ondalık formatta kesinlikle kesin bir değer elde etmenin imkansız olduğu anlamına gelir; bu nedenle dönüştürme faktörünün yuvarlanması gerekir. Örneğin, bir birimin milyarda biri doğrulukla hesaplanan katsayı 0,017453293'e eşit olacaktır. Gerekli rakama yuvarladıktan sonra orijinal radyan sayısını bu faktöre bölün ve açının derece ölçüsünü bulun.

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.

Temel kurallar.

Çevreyle ilişkili tüm isimleri ne kadar iyi hatırlıyorsunuz? Her ihtimale karşı hatırlatalım - resimlere bakın - bilginizi tazeleyin.

İlk önce - Bir dairenin merkezi, daire üzerindeki tüm noktalara olan mesafelerin aynı olduğu bir noktadır.

İkincisi - yarıçap - çemberin merkezi ile bir noktayı birleştiren doğru parçası.

Çok fazla yarıçap var (çember üzerinde noktalar olduğu kadar), ancak Tüm yarıçaplar aynı uzunluğa sahiptir.

Bazen kısaca yarıçap aynen öyle diyorlar segmentin uzunluğu"merkez daire üzerindeki bir noktadır", parçanın kendisi değil.

Ve işte olanlar bir daire üzerinde iki noktayı birleştirirseniz? Ayrıca bir bölüm mü?

Yani bu segmente denir "akor".

Tıpkı yarıçapta olduğu gibi çap da genellikle bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren ve merkezden geçen bir parçanın uzunluğudur. Bu arada çap ve yarıçap arasında nasıl bir ilişki var? Dikkatli bak. Elbette, yarıçap çapın yarısına eşittir.

Akorların yanı sıra, sekantlar.

En basit şeyi hatırlıyor musun?

Merkezi açı iki yarıçap arasındaki açıdır.

Ve şimdi - yazılı açı

Yazılı açı - bir daire üzerinde bir noktada kesişen iki kiriş arasındaki açı.

Bu durumda, yazılı açının bir yay (veya bir akor) üzerinde durduğunu söylerler.

Resme bak:

Yay ve açı ölçümleri.

Çevre. Yaylar ve açılar derece ve radyan cinsinden ölçülür. İlk olarak dereceler hakkında. Açılarda sorun yok - yayın derece cinsinden nasıl ölçüleceğini öğrenmeniz gerekiyor.

Derece ölçüsü (yay boyutu), karşılık gelen merkez açının değeridir (derece cinsinden)

Burada "uygun" kelimesi ne anlama geliyor? Dikkatlice bakalım:

İki yay ve iki merkezi açı görüyor musunuz? Daha büyük bir yay daha büyük bir açıya karşılık gelir (ve daha büyük olması sorun değildir) ve daha küçük bir yay daha küçük bir açıya karşılık gelir.

Böylece anlaştık: Yay, karşılık gelen merkez açıyla aynı sayıda derece içeriyor.

Ve şimdi korkutucu şeye gelince; radyanlarla ilgili!

Bu “radyan” ne tür bir canavar?

Bunu hayal edin: Radyan, açıları yarıçap cinsinden ölçmenin bir yoludur!

Radyan açısı, yay uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan merkezi açıdır.

Sonra şu soru ortaya çıkıyor: Düz bir açıda kaç radyan var?

Başka bir deyişle: yarım daireye kaç tane yarıçap “sığar”? Veya başka bir deyişle: yarım dairenin uzunluğu yarıçaptan kaç kat daha büyüktür?

Bilim adamları bu soruyu Antik Yunan'da sordular.

Ve böylece, uzun bir araştırmadan sonra, çevrenin yarıçapa oranının, vb. gibi “insan” sayılarıyla ifade edilmek istenmediğini keşfettiler.

Ve bu tutumu kökten ifade etmek bile mümkün değil. Yani, yarım dairenin yarıçaptan kat veya kat daha büyük olduğunu söylemenin imkansız olduğu ortaya çıktı! İnsanların bunu ilk kez keşfetmesinin ne kadar şaşırtıcı olduğunu hayal edebiliyor musunuz? Yarım daire uzunluğunun yarıçapa oranı için “normal” sayılar yeterli değildi. Bir mektup girmem gerekiyordu.

Yani, bu yarım dairenin uzunluğunun yarıçapa oranını ifade eden bir sayıdır.

Şimdi şu soruyu cevaplayabiliriz: Düz açıda kaç radyan vardır? Radyan içerir. Tam da dairenin yarısının yarıçaptan kat kat daha büyük olması nedeniyle.

Yüzyıllar boyunca eski (ve o kadar da eski olmayan) insanlar (!) Bu gizemli sayıyı daha doğru hesaplamaya, onu (en azından yaklaşık olarak) “sıradan” sayılarla daha iyi ifade etmeye çalıştı. Ve şimdi inanılmaz derecede tembeliz - yoğun bir günün ardından iki işaret bizim için yeterli, alıştık

Bir düşünün, bu, örneğin yarıçapı bir olan bir dairenin uzunluğunun yaklaşık olarak eşit olduğu anlamına gelir, ancak bu tam uzunluğun "insan" bir sayı ile yazılması imkansızdır - bir mektuba ihtiyacınız vardır. Ve sonra bu çevre eşit olacaktır. Ve tabii ki yarıçapın çevresi eşittir.

Radyana geri dönelim.

Düz açının radyan içerdiğini zaten öğrenmiştik.

Neyimiz var:

Yani sevindim, yani sevindim. Aynı şekilde en popüler açılara sahip bir plaka elde edilir.

Yazılı ve merkezi açıların değerleri arasındaki ilişki.

Şaşırtıcı bir gerçek var:

Yazılı açı karşılık gelen merkez açının yarısı kadardır.

Bu ifadenin resimde nasıl göründüğüne bakın. "Karşılık gelen" bir merkezi açı, uçları yazılı açının uçlarıyla çakışan ve tepe noktası merkezde olan açıdır. Ve aynı zamanda, "karşılık gelen" merkezi açı, yazılı açıyla aynı akorda () "bakmalıdır".

Bu neden böyle? Önce basit bir duruma bakalım. Akorlardan birinin merkezden geçmesine izin verin. Bazen böyle olur, değil mi?

Burada ne oluyor? Hadi düşünelim. Sonuçta ikizkenar ve yarıçaplardır. Yani (onları etiketledi).

Şimdi bakalım. Burası dış köşe! Bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu hatırlıyoruz ve şunu yazıyoruz:

Yani! Beklenmeyen etki. Ancak yazılı olanın merkezi bir açısı da vardır.

Bu, bu durumda merkez açının yazılı açının iki katı olduğunu kanıtladıkları anlamına gelir. Ama bu acı verici derecede özel bir durum: akorun her zaman doğrudan merkezden geçmediği doğru değil mi? Ama sorun değil, şimdi bu özel vaka bize çok yardımcı olacak. Bakın: ikinci durum: merkezin içeride kalmasına izin verin.

Hadi şunu yapalım: çapı çizelim. Ve sonra... ilk durumda zaten analiz edilmiş olan iki resmi görüyoruz. Bu yüzden zaten buna sahibiz

Bu şu anlama gelir: (çizimde, a)

Geriye son durum kalıyor: merkez köşenin dışında.

Aynı şeyi yapıyoruz: çapı noktanın içinden çiziyoruz. Her şey aynı ama toplam yerine fark var.

Bu kadar!

Şimdi yazılı açının merkez açının yarısı olduğu ifadesinden iki ana ve çok önemli sonuç oluşturalım.

Sonuç 1

Bir yayı temel alan tüm yazılı açılar birbirine eşittir.

Gösteriyoruz:

Aynı yayı temel alan sayısız yazılı açı vardır (bu yaya sahibiz), tamamen farklı görünebilirler, ancak hepsi aynı merkez açıya () sahiptir, bu da tüm bu yazılı açıların kendi aralarında eşit olduğu anlamına gelir.

Sonuç 2

Çapın gördüğü açı dik açıdır.

Bakın: hangi açı merkezidir?

Kesinlikle, . Ama o eşittir! Peki, bu nedenle (ve daha birçok yazılı açının dayandığı) ve eşittir.

İki akor ve sekant arasındaki açı

Peki ya ilgilendiğimiz açı yazılı değilse ve merkezi DEĞİLSE, örneğin şöyle:

yoksa bunun gibi mi?

Bunu bir şekilde merkezi açılardan ifade etmek mümkün mü? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Bakın: ilgileniyoruz.

a) (dış köşe olarak). Ancak - yazılı, yayın üzerinde duruyor -. - yazılı, yayın üzerinde duruyor - .

Güzellik için diyorlar ki:

Akorlar arasındaki açı, bu açının içine alınan yayların açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.

Bunu kısa olsun diye yazıyorlar ama tabi ki bu formülü kullanırken merkez açıları da aklınızda tutmanız gerekiyor.

b) Ve şimdi - “dışarıda”! Nasıl olunur? Evet, neredeyse aynı! Ancak şimdi (yine dış açı özelliğini uyguluyoruz). İşte şimdi.

Ve bu demek ki... Notalara ve üsluplara güzellik ve kısalık getirelim:

Sekantlar arasındaki açı, bu açının içine alınan yayların açısal değerlerindeki farkın yarısına eşittir.

Artık çemberle ilgili açılar hakkındaki tüm temel bilgilerle donanmış durumdasınız. Devam edin, zorlukların üstesinden gelin!

DAİRE VE İÇİ AÇI. ORTALAMA SEVİYE

Beş yaşındaki bir çocuk bile dairenin ne olduğunu biliyor değil mi? Matematikçilerin her zaman olduğu gibi bu konuda da anlaşılması güç bir tanımı var ama biz onu vermeyeceğiz (bkz.) Bunun yerine çemberle ilişkili noktaların, doğruların ve açıların ne dendiğini hatırlayalım.

Önemli Şartlar

İlk önce:

İkincisi:

Kabul edilen başka bir ifade daha var: "Akor yayı daraltır." Örneğin, buradaki şekilde akor yayı takip ediyor. Ve eğer bir akor aniden merkezden geçerse, özel bir adı vardır: "çap".

Bu arada çap ve yarıçap arasında nasıl bir ilişki var? Dikkatli bak. Elbette,

Ve şimdi köşelerin isimleri.

Doğal değil mi? Açının kenarları merkezden uzanır; bu, açının merkezi olduğu anlamına gelir.

Bazen zorlukların ortaya çıktığı yer burasıdır. Dikkat etmek - Bir dairenin içinde HERHANGİ bir açı yazılı DEĞİLDİR, ancak yalnızca tepe noktası çemberin üzerinde "oturan" kişi.

Şimdi resimlerdeki farkı görelim:

Başka bir şekilde şunu söylüyorlar:

Burada zor bir nokta var. "Karşılık gelen" veya "kendi" merkez açısı nedir? Tepe noktası dairenin merkezinde ve uçları yayın uçlarında olan bir açı mı? Kesinlikle bu şekilde değil. Çizime bakın.

Ancak bunlardan biri köşeye bile benzemiyor; daha büyük. Ancak bir üçgenin daha fazla açısı olamaz ama bir dairenin pekala açısı olabilir! Yani: daha küçük olan AB yayı daha küçük bir açıya (turuncu) karşılık gelir ve daha büyük olan yay daha büyük olana karşılık gelir. Aynen öyle değil mi?

Yazılı ve merkezi açıların büyüklükleri arasındaki ilişki

Bu çok önemli açıklamayı unutmayın:

Ders kitaplarında aynı gerçeği şöyle yazmayı seviyorlar:

Formülasyonun merkezi açıyla daha basit olduğu doğru değil mi?

Ama yine de, iki formülasyon arasında bir yazışma bulalım ve aynı zamanda çizimlerde "karşılık gelen" merkez açıyı ve yazılı açının "dayandığı" yayı bulmayı öğrenelim.

Bakın: işte bir daire ve yazılı bir açı:

"Karşılık gelen" merkez açısı nerede?

Tekrar bakalım:

Kural nedir?

Ancak! Bu durumda yazılı ve merkezi açıların yaya bir taraftan “bakması” önemlidir. Örneğin:

İşin garibi, mavi! Çünkü yay uzun, çemberin yarısından daha uzun! O yüzden asla kafanızı karıştırmayın!

Yazılı açının "yarımlığından" ne gibi bir sonuç çıkarılabilir?

Ancak örneğin:

Çapın kapsadığı açı

Matematikçilerin aynı şey hakkında farklı kelimelerle konuşmayı sevdiklerini zaten fark ettiniz mi? Buna neden ihtiyaç duyuyorlar? Görüyorsunuz, matematiğin dili resmi olmasına rağmen canlıdır ve bu nedenle, sıradan dilde olduğu gibi, her seferinde daha uygun bir şekilde söylemek istersiniz. "Bir açının bir yayın üzerinde durmasının" ne anlama geldiğini zaten görmüştük. Ve hayal edin, aynı resme "akorun üzerinde duran açı" deniyor. Ne üstüne? Evet, elbette bu yayı sıkılaştırana!

Bir yay yerine akora güvenmek ne zaman daha uygundur?

Özellikle bu akor bir çap olduğunda.

Böyle bir durum için şaşırtıcı derecede basit, güzel ve faydalı bir açıklama var!

Bakın: işte daire, çap ve ona dayanan açı.

DAİRE VE İÇİ AÇI. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Temel kavramlar.

3. Yay ve açı ölçümleri.

Radyan açısı, yay uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan merkezi açıdır.

Bu, yarım dairenin uzunluğunun yarıçapına oranını ifade eden bir sayıdır.

Yarıçapın çevresi eşittir.

4. Yazılı ve merkezi açıların değerleri arasındaki ilişki.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Açı, bir noktadan - açının tepe noktası ve bu noktadan çıkan iki farklı yarım çizgiden - açının yanlarından oluşan bir şekildir (Şekil 14). Bir açının kenarları birbirini tamamlayan yarım çizgiler ise bu açıya gelişmiş açı denir.

Bir açı, tepe noktası belirtilerek veya kenarları belirtilerek veya üç nokta belirtilerek belirtilir: tepe noktası ve açının yanlarındaki iki nokta. Bazen "açı" kelimesi değiştirilir

Şekil 14'teki Açı sembolü üç şekilde gösterilebilir:

Bir c ışınının, bir açının köşesinden geliyorsa ve uçları açının kenarlarında olan bir parçayla kesişiyorsa, açının kenarları arasından geçtiği söylenir.

Şekil 15'te c ışını doğru parçasıyla kesişirken açının kenarları arasından geçmektedir.

Düz açı durumunda, tepe noktasından çıkan ve kenarlarından farklı olan herhangi bir ışın, açının kenarları arasından geçer.

Açılar derece cinsinden ölçülür. Bir doğru açıyı alıp 180 eşit açıya bölerseniz bu açıların her birinin derece ölçüsüne derece denir.

Açı ölçümünün temel özellikleri aşağıdaki aksiyomda ifade edilir:

Her açının sıfırdan büyük belirli bir derece ölçüsü vardır. Döndürülmüş açı 180°'dir. Bir açının derece ölçüsü, kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşittir.

Bu, eğer bir c ışınının bir açının kenarları arasından geçmesi durumunda açının açıların toplamına eşit olacağı anlamına gelir.

Bir açının derece ölçüsü iletki kullanılarak bulunur.

Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir. Ölçüsü 90°'den küçük olan açılara dar açı denir. Ölçüsü 90°'den büyük, 180°'den küçük olan açılara geniş açı denir.

Köşeleri bir kenara bırakmanın ana özelliğini formüle edelim.

Herhangi bir yarım çizgiden belirli bir yarım düzleme, verilen derece ölçüsü 180°'den küçük ve yalnızca bir olan bir açı koyabilirsiniz.

Yarım çizgi a'yı düşünün. Bunu A başlangıç ​​noktasının ötesine uzatalım. Ortaya çıkan düz çizgi, düzlemi iki yarım düzleme böler. Şekil 16, bir iletki kullanarak, yarım çizgiden üst yarım düzleme kadar 60°'lik belirli bir derece ölçüsüyle bir açının nasıl çizileceğini göstermektedir.

T. 1. 2. Belirli bir yarım çizgiden gelen iki açı bir yarım düzleme yerleştirilirse, küçük açının verilen yarım çizgiden farklı olan tarafı, büyük açının kenarları arasından geçer.

Belirli bir yarım çizgi a'dan bir yarım düzleme uzanan açılar olsun ve açı, açıdan küçük olsun. Teorem 1.2, ışının açının kenarları arasından geçtiğini belirtir (Şekil 17).

Bir açının açıortayı, tepe noktasından çıkan, kenarlar arasından geçen ve açıyı ikiye bölen ışındır. Şekil 18'de ışın açının açıortayıdır

Geometride düzlem açısı kavramı vardır. Düzlem açısı, bir noktadan çıkan iki farklı ışın tarafından sınırlanan bir düzlemin parçasıdır. Bu ışınlara açının kenarları denir. Kenarları verilen iki düzlem açısı vardır. Bunlara ek denir. Şekil 19'da kenarları a ve olan düzlem açılarından biri