y = sin x fonksiyonunun grafiği. Fonksiyonlar y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x

Trigonometrik fonksiyonların davranışlarını ve fonksiyonlarını öğrendik. y = günah x özellikle, sayı satırının tamamında (veya argümanın tüm değerleri için) X) tamamen aralıktaki davranışıyla belirlenir 0 < X < π / 2 .

Bu nedenle öncelikle fonksiyonun grafiğini çizeceğiz. y = günah x tam da bu aralıkta.

Fonksiyonumuzun aşağıdaki değer tablosunu yapalım;

Koordinat düzleminde karşılık gelen noktaları işaretleyip bunları düz bir çizgiyle birleştirerek şekilde gösterilen eğriyi elde ederiz.

Ortaya çıkan eğri, fonksiyon değerleri tablosu derlenmeden geometrik olarak da oluşturulabilir. y = günah x .

1. Yarıçapı 1 olan bir dairenin ilk çeyreğini 8 eşit parçaya bölün. Dairenin bölme noktalarının ordinatları, karşılık gelen açıların sinüsleridir.

2. Çemberin ilk çeyreği 0'dan 0'a kadar olan açılara karşılık gelir. π / 2 . Bu nedenle eksen üzerinde X Bir parçayı alıp 8 eşit parçaya bölelim.

3. Eksenlere paralel düz çizgiler çizelim X ve bölme noktalarından yatay çizgilerle kesişene kadar dikler oluşturuyoruz.

4. Kesişme noktalarını düzgün bir çizgiyle bağlayın.

Şimdi aralığa bakalım π / 2 < X < π .
Her argüman değeri X bu aralıktan şu şekilde temsil edilebilir:

X = π / 2 + φ

Nerede 0 < φ < π / 2 . İndirgeme formüllerine göre

günah( π / 2 + φ ) = çünkü φ = günah ( π / 2 - φ ).

Eksen noktaları X apsisli π / 2 + φ Ve π / 2 - φ eksen noktasına göre birbirine simetrik X apsisli π / 2 ve bu noktalardaki sinüsler aynıdır. Bu bize fonksiyonun grafiğini elde etmemizi sağlar y = günah x aralıkta [ π / 2 , π ] bu fonksiyonun grafiğini düz çizgiye göre aralıkta simetrik olarak görüntüleyerek X = π / 2 .

Şimdi özelliği kullanıyorum tek eşlik fonksiyonu y = günah x,

günah(- X) = - günah X,

bu fonksiyonu aralıkta çizmek kolaydır [- π , 0].

Y = sin x fonksiyonu 2π periyoduyla periyodiktir ;. Dolayısıyla bu fonksiyonun tüm grafiğini oluşturmak için şekilde gösterilen eğriyi periyodik olarak bir periyotla sola ve sağa devam ettirmek yeterlidir. 2π .

Ortaya çıkan eğri denir sinüzoid . Bu fonksiyonun grafiğidir y = günah x.

Şekil, fonksiyonun tüm özelliklerini iyi bir şekilde göstermektedir y = günah x bunu daha önce kanıtlamıştık. Bu özellikleri hatırlayalım.

1) İşlev y = günah x tüm değerler için tanımlanmış X , dolayısıyla tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.

2) İşlev y = günah x sınırlı. Bu iki sayı da dahil olmak üzere kabul ettiği tüm değerler -1 ile 1 arasındadır. Sonuç olarak, bu fonksiyonun varyasyon aralığı -1 eşitsizliği ile belirlenir. < en < 1. Ne zaman X = π / 2 + 2k π fonksiyon 1'e eşit en büyük değerleri alır ve x = - için π / 2 + 2k π - en küçük değerler - 1'e eşittir.

3) İşlev y = günah x tuhaftır (sinüsoid orijine göre simetriktir).

4) İşlev y = günah x periyot 2 ile periyodik π .

5) 2n aralıklarla π < X < π + 2n π (n herhangi bir tam sayıdır) pozitiftir ve aralıklarla π + 2k π < X < 2π + 2k π (k herhangi bir tamsayıdır) negatiftir. x = k'de π fonksiyon sıfıra gider. Dolayısıyla x argümanının bu değerleri (0; ± π ; ±2 π ; ...) fonksiyon sıfırları olarak adlandırılır y = günah x

6) Aralıklarla - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π işlev y = günah X monoton ve aralıklarla artar π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monoton olarak azalır.

Fonksiyonun davranışına özellikle dikkat etmelisiniz. y = günah x noktaya yakın X = 0 .

Örneğin, günah 0,012 ≈ 0,012; günah(-0,05) ≈ -0,05;

günah 2° = günah π 2 / 180 = günah π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Aynı zamanda, x'in herhangi bir değeri için şunu da belirtmek gerekir:

| günah X| < | x | . (1)

Nitekim şekilde gösterilen dairenin yarıçapı 1'e eşit olsun,
A / AOB = X.

O zaman günah X= AC. Ama klima< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Bu yayın uzunluğu açıkça eşittir X, çemberin yarıçapı 1 olduğundan. Yani 0'da< X < π / 2

günah x< х.

Dolayısıyla fonksiyonun tuhaflığı nedeniyle y = günah x bunu göstermek kolaydır - π / 2 < X < 0

| günah X| < | x | .

Nihayet ne zaman X = 0

| günah x | = | x |.

Böylece | X | < π / 2 eşitsizlik (1) kanıtlanmıştır. Aslında bu eşitsizlik | X | > π / 2 şundan dolayı | günah X | < 1 A π / 2 > 1

Egzersizler

1.Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x şunları belirleyin: a) günah 2; b) günah 4; c) günah (-3).

2. Fonksiyon grafiğine göre y = günah x aralıktan hangi sayıyı belirleyin
[ - π / 2 , π / 2 ]'nin sinüsü şuna eşittir: a) 0,6; b) -0,8.

3. Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x hangi sayıların sinüsü olduğunu belirleyin,
1/2'ye eşittir.

4. Yaklaşık olarak bulun (tablo kullanmadan): a) sin 1°; b) günah 0,03;
c) günah (-0,015); d) günah (-2°30").

“Fonksiyon y = sinx, ee özellikleri ve grafiği” video dersinde bu konuyla ilgili görsel materyal ve bununla ilgili yorumlar sunulmaktadır. Gösterim sırasında fonksiyonun türü, özellikleri dikkate alınır, koordinat düzleminin çeşitli bölümleri üzerindeki davranışı, grafiğin özellikleri ayrıntılı olarak açıklanır ve sinüs içeren trigonometrik denklemlerin grafiksel çözümünün bir örneği açıklanır. Bir video dersinin yardımıyla öğretmenin öğrencinin bu işleve ilişkin anlayışını formüle etmesi ve onlara problemleri grafiksel olarak çözmeyi öğretmesi daha kolaydır.

Video dersinde eğitimsel bilgilerin ezberlenmesini ve anlaşılmasını kolaylaştıracak araçlar kullanılır. Grafiklerin sunumunda ve problemlerin çözümünün anlatılmasında, fonksiyonun davranışını anlamaya ve çözümün ilerlemesini sıralı olarak sunmaya yardımcı olan animasyon efektleri kullanılır. Ayrıca materyalin seslendirilmesi, öğretmenin açıklamasının yerini alan önemli yorumlarla materyali tamamlar. Dolayısıyla bu materyal görsel yardımcı olarak da kullanılabilir. Ve öğretmenin yeni bir konuyu açıklaması yerine dersin bağımsız bir parçası olarak.

Gösterim dersin konusunun tanıtılmasıyla başlar. Tanımı ezberleme için bir kutuda vurgulanan sinüs fonksiyonu sunulur - s=sint, burada t argümanı herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu fonksiyonun özelliklerinin açıklaması, tanım alanıyla başlar. Fonksiyonun tanım bölgesinin, reel sayıların sayısal ekseninin tamamı olduğu, yani D(f)=(- ∞;+∞) olduğu belirtilmektedir. İkinci özellik sinüs fonksiyonunun tuhaflığıdır. Tek bir fonksiyon için f(-x)=-f(x) eşitliğinin sağlandığı fark edildiğinde öğrencilere bu özelliğin 9. sınıfta incelendiği hatırlatılır. Sinüs için, fonksiyonun tuhaflığının teyidi, dörde bölünmüş birim çember üzerinde gösterilir. Fonksiyonun koordinat düzleminin farklı çeyreklerinde hangi işareti aldığı bilindiğinde, L(t) ve N(-t) noktaları örneğini kullanarak zıt işaretli argümanlar için sinüs için tuhaflık koşulunun karşılandığı not edilir. Bu nedenle s=sint tek bir fonksiyondur. Bu, fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

Sinüsün üçüncü özelliği artan ve azalan fonksiyonlar arasındaki aralıkları gösterir. Bu fonksiyonun segmentte arttığını ve [π/2;π] segmentinde azaldığını belirtir. Bu özellik, birim çemberi gösteren şekilde gösterilmektedir ve A noktasından saat yönünün tersine hareket edildiğinde ordinat artar, yani fonksiyonun değeri π/2'ye yükselir. B noktasından C noktasına giderken yani açı π/2'den π'ye değiştiğinde ordinat değeri azalır. Çemberin üçüncü çeyreğinde C noktasından D noktasına giderken ordinat 0'dan -1'e düşer, yani sinüs değeri azalır. Son çeyrekte D noktasından A noktasına gidildiğinde ordinat değeri -1'den 0'a yükselir. Böylece fonksiyonun davranışı hakkında genel bir sonuç çıkarabiliriz. Ekran, [-(π/2)+2πk; segmentinde sint'in arttığı çıkışı görüntüler; (π/2)+2πk], [(π/2)+2πk aralığında azalır; (3π/2)+2πk] herhangi bir k tamsayısı için.

Sinüs'ün dördüncü özelliği, fonksiyonun sınırlılığını dikkate alır. Sint fonksiyonunun hem yukarıdan hem de aşağıdan sınırlı olduğu belirtilmektedir. Öğrencilere bir fonksiyonun sınırlılığı kavramı tanıtıldığında 9. sınıf cebirindeki bilgiler hatırlatıldı. Yukarıdan sınırlı bir fonksiyonun durumu, fonksiyonun herhangi bir noktasında f(x)>=M eşitsizliğinin geçerli olduğu belirli bir sayının bulunduğu ekranda görüntülenir. Ayrıca, fonksiyonun her noktasından m daha küçük bir sayının bulunduğu, aşağıda sınırlı bir fonksiyonun koşulunu da hatırlıyoruz. Sint için -1 koşulu sağlandı<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Beşinci özellik, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini dikkate alır. Her t=-(π/2)+2πk noktasında en küçük değer -1'in ve t=(π/2)+2πk noktalarında en büyük değerin elde edilmesi not edilir.

Dikkate alınan özelliklere dayanarak, segment üzerinde sint fonksiyonunun bir grafiği oluşturulur. Fonksiyonu oluşturmak için sinüsün karşılık gelen noktalardaki tablo değerleri kullanılır. Koordinat düzleminde π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π noktalarının koordinatları işaretlenmiştir. Fonksiyonun tablo değerlerini bu noktalara işaretleyip düzgün bir çizgiyle bağlayarak bir grafik oluşturuyoruz.

Sint fonksiyonunun grafiğini [-π;π] segmenti üzerinde çizmek için, fonksiyonun koordinatların orijinine göre simetri özelliği kullanılır. Şekil, inşaat sonucunda elde edilen çizginin, koordinatların kökenine göre simetrik olarak [-π;0] segmentine nasıl düzgün bir şekilde aktarıldığını göstermektedir.

İndirgeme formülü sin(x+2π) = sin x ile ifade edilen sint fonksiyonunun özelliği kullanılarak, sinüs grafiğinin her 2π'de tekrarlandığı not edilir. Böylece, [π; 3π] grafiği [-π;π] ile aynı olacaktır. Dolayısıyla, bu fonksiyonun grafiği tüm tanım alanı boyunca tekrarlanan [-π;π] parçalarını temsil eder. Bir fonksiyonun böyle bir grafiğinin sinüzoid olarak adlandırıldığı ayrıca belirtilmektedir. Sinüs dalgası kavramı da tanıtılmıştır - [-π;π] segmenti üzerine inşa edilmiş bir grafiğin bir parçası ve segment üzerine inşa edilmiş bir sinüzoidal yay. Bu parçalar ezberlenmesi için tekrar gösterilmektedir.

Sint fonksiyonunun tüm tanım alanı boyunca sürekli bir fonksiyon olduğu ve ayrıca fonksiyonun değer aralığının [-1;1] segmentinin değer kümesinde yer aldığı belirtilmektedir.

Video dersinin sonunda sin x=x+π denkleminin grafiksel çözümü ele alınıyor. Açıkçası, denklemin grafiksel çözümü, sol taraftaki ifadeyle verilen fonksiyonun grafiği ile sağ taraftaki ifadeyle verilen fonksiyonun grafiğinin kesişimi olacaktır. Sorunu çözmek için, üzerinde karşılık gelen sinüzoid y=sin x'in ana hatlarıyla çizildiği bir koordinat düzlemi oluşturulur ve y=x+π fonksiyonunun grafiğine karşılık gelen düz bir çizgi oluşturulur. Oluşturulan grafikler tek bir B(-π;0) noktasında kesişir. Bu nedenle x=-π denklemin çözümü olacaktır.

“Fonksiyon y = sinx, ee özellikleri ve grafiği” video dersi, okuldaki geleneksel matematik dersinin etkililiğini artırmaya yardımcı olacaktır. Uzaktan eğitim gerçekleştirirken görsel materyallerden de yararlanabilirsiniz. Kılavuz, materyali daha derinlemesine anlamak için ek derslere ihtiyaç duyan öğrencilerin konuya hakim olmalarına yardımcı olabilir.

METİN KOD ÇÖZME:

Dersimizin konusu “y = sin x fonksiyonu, özellikleri ve grafiği.”

Daha önce, tϵR'nin (es, sinüs te'ye eşit olduğu, burada te'nin gerçek sayılar kümesine ait olduğu) s = sin t fonksiyonu hakkında bilgi sahibi olmuştuk. Bu fonksiyonun özelliklerini inceleyelim:

ÖZELLİKLER 1. Tanımın alanı, R(er) gerçek sayıları kümesidir, yani D(f) = (- ; +) (de'den ef, eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar olan aralığı temsil eder).

ÖZELLİK 2. s = sin t fonksiyonu tektir.

9.sınıf derslerinde y = f(x), x ϵX (y eşittir ef of x, burada x büyük x kümesine aittir) fonksiyonuna, kümedeki herhangi bir x değeri için tek sayı denildiğini öğrendik. X eşitliği

f (- x) = - f (x) (eksi x'ten eff eşittir eksi x'ten ef).

Apsis eksenine göre simetrik olan L ve N noktalarının ordinatları zıt olduğundan sin(- t) = -sint olur.

Yani, s = sin t tek bir fonksiyondur ve s = sin t fonksiyonunun grafiği dikdörtgen koordinat sistemindeki orijine göre simetriktir. Hizmet Şartları(te o es).

ÖZELLİK 3'ü ele alalım. [ 0; ] (sıfırdan pi'ye ikişer) s = sin t fonksiyonu [ parçası üzerinde artar ve azalır; ](pi'den ikiye iki'ye pi'ye).

Bu şekillerde açıkça görülmektedir: bir nokta sayı çemberi boyunca sıfırdan pi'ye iki birim hareket ettiğinde (A noktasından B noktasına), koordinat yavaş yavaş 0'dan 1'e artar ve pi'den iki birim pi'ye hareket ettiğinde ('den B noktasından C noktasına), ordinat kademeli olarak 1'den 0'a azalır.

Bir nokta üçüncü çeyrek boyunca hareket ettiğinde (C noktasından D noktasına), hareketli noktanın koordinatı sıfırdan eksi bire azalır ve dördüncü çeyrek boyunca hareket ederken koordinat eksi birden sıfıra artar. Dolayısıyla genel bir sonuç çıkarabiliriz: s = sin t fonksiyonu aralıkta artar

(eksi pi iki artı iki pi ka'dan pi iki artı iki pi ka'ya) ve [; (pi x iki artı iki pi ka'dan üç pi x iki artı iki pi ka'ya), burada

(ka tamsayılar kümesine aittir).

ÖZELLİK 4. s = sint fonksiyonu yukarıdan ve aşağıdan sınırlıdır.

9. sınıf dersinden sınırlılığın tanımını hatırlayın: eğer fonksiyonun tüm değerleri belirli bir sayıdan az değilse, y = f (x) fonksiyonuna alttan sınırlı denir M Möyle ki, fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir x değeri için eşitsizlik f(x) ≥ M(x'ten ef, em'den büyük veya ona eşittir). Bir fonksiyonun tüm değerleri belirli bir sayıdan büyük değilse, y = f(x) fonksiyonuna yukarıdan sınırlandığı söylenir M, bu bir sayı olduğu anlamına gelir Möyle ki, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x değeri için eşitsizlik f(x) ≤ M(x'ten gelen eff, em'den küçük veya ona eşittir) Bir fonksiyon, hem altından hem de üstünden sınırlıysa sınırlı olarak adlandırılır.

Fonksiyonumuza geri dönelim: sınırlılık, herhangi bir te için eşitsizliğin doğru olması gerçeğinden kaynaklanır - 1 ≤ sint≤ 1. (te'nin sinüsü eksi birden büyük veya eşittir, fakat küçük veya bire eşittir).

ÖZELLİK 5. Bir fonksiyonun en küçük değeri eksi bire eşittir ve fonksiyon bu değere t = (te eksi pi'ye iki artı iki tepe noktasına eşittir ve fonksiyonun en büyük değeri eşittir) formunun herhangi bir noktasında ulaşır. t = (te eşittir pi çarpı iki artı iki pi ka) formunun herhangi bir noktasındaki fonksiyonla elde edilir.

S = sin t fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerleri en çok olanı ifade eder. ve maks. .

Elde edilen özellikleri kullanarak, y = sin x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız (y, sinüs x'e eşittir), çünkü s = f (t) yerine y = f (x) yazmaya daha alışkınız.

Başlangıç ​​olarak bir ölçek seçelim: Ordinat ekseni boyunca iki hücreyi birim segment olarak alalım ve apsis ekseni boyunca iki hücre pi x üç (≈ 1 olduğundan) olsun. Öncelikle parça üzerinde y = sin x fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. Bu segmentte bir fonksiyon değerleri tablosuna ihtiyacımız var; bunu oluşturmak için karşılık gelen kosinüs ve sinüs açıları için değer tablosunu kullanacağız:

Bu nedenle, bir argüman ve fonksiyon değerleri tablosu oluşturmak için şunu hatırlamanız gerekir: X(x) bu sayı, sıfırdan pi'ye kadar olan aralıktaki açıya karşılık gelir ve en(Yunanca) bu açının sinüsünün değeri.

Bu noktaları koordinat düzleminde işaretleyelim. Segmentteki PROPERTY 3'e göre

[ 0; ] (sıfırdan pi'ye ikişer ikişer) y = sin x fonksiyonu [ parçası üzerinde artar ve azalır; ](pi'den ikiye pi'ye) ve elde edilen noktaları düz bir çizgiyle birleştirerek grafiğin bir kısmını elde ederiz (Şekil 1).

Tek bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrisini kullanarak, halihazırda segmentte bulunan y = sin x fonksiyonunun bir grafiğini elde ederiz.

[-π; π ] (eksi pi'den pi'ye) (Şek. 2)

sin(x + 2π)= sinx olduğunu hatırlayın

(sinüs x artı iki pi eşittir sinüs x). Bu, x + 2π noktasında y = sin x fonksiyonunun x noktasındaki ile aynı değeri aldığı anlamına gelir. Ve (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x artı iki pi pi'den üç pi'ye kadar olan parçaya aittir), eğer xϵ[-π; π ], sonra [π; 3π ] fonksiyonun grafiği, [-π; π]. Benzer şekilde , , [-3π; -π ] ve benzeri, y = sin x fonksiyonunun grafiği segmentteki ile aynı görünür

[-π; π].(Şek.3)

y = sin x fonksiyonunun grafiği olan çizgiye sinüs dalgası denir. Şekil 2'de gösterilen sinüs dalgasına sinüs dalgası denir, Şekil 1'de ise sinüs dalgası veya yarım dalga denir.

Oluşturulan grafiği kullanarak, bu fonksiyonun birkaç özelliğini daha yazacağız.

ÖZELLİK 6. y = sin x fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Bu, fonksiyonun grafiğinin sürekli olduğu, yani hiçbir sıçrama veya delinmenin olmadığı anlamına gelir.

ÖZELLİK 7. y = sin x fonksiyonunun değer aralığı [-1; 1] (eksi birden bire) veya şu şekilde yazılabilir: (ef'den e, eksi birden bire olan segmente eşittir).

Bir ÖRNEK'e bakalım. Sin x = x + π (sinüs x eşittir x artı pi) denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm. Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım y = günah X Ve y = x + π.

y = sin x fonksiyonunun grafiği bir sinüzoiddir.

y = x + π, grafiği (0; π) ve (- π ; 0) koordinatlarına sahip noktalardan geçen düz bir çizgi olan doğrusal bir fonksiyondur.

Oluşturulan grafiklerin bir kesişme noktası vardır - B(- π;0) noktası (koordinatları eksi pi, sıfır olmalıdır). Bu, bu denklemin yalnızca bir kökü olduğu anlamına gelir - B - -π noktasının apsisi. Cevap: X = - π.

>>Matematik: Fonksiyonlar y = sin x, y = cos x, özellikleri ve grafikleri

Fonksiyonlar y = sin x, y = cos x, özellikleri ve grafikleri

Bu bölümde y = sin x, y = cos x fonksiyonlarının bazı özelliklerini tartışacağız ve grafiklerini oluşturacağız.

1. Fonksiyon y = sin X.

Yukarıda, § 20'de, her t sayısının bir maliyet numarasıyla ilişkilendirilmesine izin veren bir kural formüle ettik; y = sin t fonksiyonunu karakterize etti. Bazı özelliklerine dikkat edelim.

u = sin t fonksiyonunun özellikleri.

Tanım alanı, gerçek sayıların K kümesidir.
Bu, herhangi bir 2 sayısının, sayı çemberi üzerinde iyi tanımlanmış bir ordinatına sahip bir M(1) noktasına karşılık geldiği gerçeğinden kaynaklanır; bu koordinat cos t'dir.

u = sin t tek bir fonksiyondur.

Bu, § 19'da kanıtlandığı gibi, herhangi bir t eşitliği için
Bu, u = sin t fonksiyonunun grafiğinin, herhangi bir tek fonksiyonun grafiği gibi, tOi dikdörtgen koordinat sistemindeki orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

u = sin t fonksiyonu aralıkta artar
Bu, bir nokta sayı çemberinin ilk çeyreği boyunca hareket ettiğinde ordinatın kademeli olarak artması (0'dan 1'e - bkz. Şekil 115) ve nokta sayı çemberinin ikinci çeyreği boyunca hareket ettiğinde, koordinat yavaş yavaş azalır (1'den 0'a - bkz. Şekil 116).

u = sint fonksiyonu hem alttan hem de üstten sınırlıdır. Bu, § 19'da gördüğümüz gibi, herhangi bir t için eşitsizliğin geçerli olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

(fonksiyon formun herhangi bir noktasında bu değere ulaşır (fonksiyon formun herhangi bir noktasında bu değere ulaşır
Elde edilen özellikleri kullanarak ilgilendiğimiz fonksiyonun bir grafiğini oluşturacağız. Ama (dikkat!) u - sin t yerine y = sin x yazacağız (sonuçta biz u = f(t) değil, y = f(x) yazmaya daha alışığız). Bu, olağan xOy koordinat sisteminde (toy değil) bir grafik oluşturacağımız anlamına gelir.

Y - sin x fonksiyonunun değerlerinin bir tablosunu yapalım:

Yorum.

“Sinüs” teriminin kökeninin versiyonlarından birini verelim. Latince'de sinüs, bükülme (yay ipi) anlamına gelir.

Oluşturulan grafik bir dereceye kadar bu terminolojiyi haklı çıkarmaktadır.

y = sin x fonksiyonunun grafiği olarak hizmet veren çizgiye sinüs dalgası denir. Şekil 2'de gösterilen sinüzoidin kısmı. 118 veya 119'a sinüs dalgası adı verilir ve sinüs dalgasının Şekil 2'de gösterilen kısmına denir. 117, yarım dalga veya sinüs dalgasının yayı olarak adlandırılır.

2. Fonksiyon y = cos x.

y = cos x fonksiyonunun incelenmesi, yaklaşık olarak yukarıda y = sin x fonksiyonu için kullanılan şemaya göre gerçekleştirilebilir. Ama hedefe daha hızlı giden yolu seçeceğiz. İlk olarak, kendi başlarına önemli olan (bunu lisede göreceksiniz), ancak şimdilik amaçlarımız açısından yalnızca yardımcı öneme sahip olan iki formülü kanıtlayacağız.

Herhangi bir t değeri için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Kanıt. T sayısının, n sayısal çemberinin M noktasına ve * + - P noktasının sayısına karşılık gelmesine izin verin (Şekil 124; basitlik adına, ilk çeyrekte M noktasını aldık). AM ve BP yayları eşittir ve OKM ve OLBP dik üçgenleri de buna karşılık olarak eşittir. Bu, OK = Ob, MK = Pb anlamına gelir. Bu eşitliklerden ve OCM ve OBP üçgenlerinin koordinat sistemindeki konumundan iki sonuç çıkarıyoruz:

1) P noktasının koordinatı hem büyüklük hem de işaret olarak M noktasının apsisi ile çakışır; Bu demektir

2) P noktasının apsisi mutlak değer olarak M noktasının ordinatına eşittir, ancak işareti ondan farklıdır; Bu demektir

M noktasının ilk çeyreğe ait olmadığı durumlarda da yaklaşık olarak aynı mantık yürütülür.
Formülü kullanalım (Bu yukarıda kanıtlanmış formüldür, ancak t değişkeni yerine x değişkenini kullanırız). Bu formül bize ne veriyor? Fonksiyonların olduğunu iddia etmemizi sağlar.

aynıdır, bu da grafiklerinin çakıştığı anlamına gelir.
Fonksiyonun grafiğini çizelim Bunu yapmak için, orijini bir noktada olan yardımcı koordinat sistemine geçelim (Şekil 125'te noktalı çizgi çizilmiştir). Y = sin x fonksiyonunu yeni koordinat sistemine bağlayalım - bu fonksiyonun grafiği olacaktır (Şekil 125), yani. y - cos x fonksiyonunun grafiği. Buna, y = sin x fonksiyonunun grafiği gibi, sinüs dalgası denir (bu oldukça doğaldır).

y = cos x fonksiyonunun özellikleri.

y = çünkü x çift bir fonksiyondur.

Yapım aşamaları Şekil 2'de gösterilmektedir. 126:

1) y = cos x (daha kesin olarak bir yarım dalga) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun;
2) oluşturulan grafiği x ekseninden 0,5 faktörüyle uzatarak gerekli grafiğin bir yarım dalgasını elde ederiz;
3) Ortaya çıkan yarım dalgayı kullanarak y = 0,5 cos x fonksiyonunun tüm grafiğini oluştururuz.

Bu dersimizde y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı bir şekilde bakacağız. Dersin başında koordinat çemberi üzerinde y = sin t trigonometrik fonksiyonunun tanımını verip, fonksiyonun çember ve doğru üzerindeki grafiğini ele alacağız. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir fonksiyonu değerlendirirken her argüman değerini tek bir fonksiyon değeriyle ilişkilendirmek önemlidir. Bu yazışma kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı, birim çember üzerindeki tek bir noktaya karşılık gelir. Bir noktanın, sayının sinüsü adı verilen tek bir koordinatı vardır (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından kaynaklanmaktadır.

Şekil şunu gösteriyor Çünkü birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatıdır.

Fonksiyonun grafiğini düşünün. Argümanın geometrik yorumunu hatırlayalım. Tartışma, radyan cinsinden ölçülen merkezi açıdır. Eksen boyunca gerçek sayıları veya açıları radyan cinsinden, eksen boyunca fonksiyonun karşılık gelen değerlerini çizeceğiz.

Örneğin birim çember üzerindeki bir açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Bölgedeki fonksiyonun bir grafiğini elde ettik ancak sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı boyunca gösterebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu Bu, grafiğin bir segment üzerinde elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanı boyunca devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Tek fonksiyon:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari işlevler:

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun özelliklerine ve grafiğine baktık. Özellikler problemleri çözerken tekrar tekrar kullanılacaktır.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (ileri düzey matematik eğitimi olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir el kitabı). - M .: Prosveshchenie, 2003.

8.Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Fonksiyon y=sin(x). Tanımlar ve özellikler"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:

• Y=sin(X) fonksiyonunun özellikleri.
• Fonksiyon grafiği.
• Bir grafik ve ölçeği nasıl oluşturulur?
• Örnekler.

Sinüsün özellikleri. Y=sin(X)

Arkadaşlar, sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları hakkında zaten bilgi sahibi olduk. Onları hatırlıyor musun?

Y=sin(X) fonksiyonuna daha yakından bakalım

Bu fonksiyonun bazı özelliklerini yazalım:
1) Tanım alanı gerçel sayılar kümesidir.
2) Fonksiyon tektir. Tek fonksiyonun tanımını hatırlayalım. Eşitlik sağlanıyorsa bir fonksiyona tek denir: y(-x)=-y(x). Hayalet formüllerden hatırladığımız gibi: sin(-x)=-sin(x). Tanım yerine getirilmiştir, yani Y=sin(X) tek bir fonksiyondur.
3) Y=sin(X) fonksiyonu, [π/2; π]. İlk çeyrekte (saat yönünün tersine) hareket ettiğimizde koordinat artar, ikinci çeyrekte ilerlediğimizde ise azalır.

4) Y=sin(X) fonksiyonu aşağıdan ve yukarıdan sınırlıdır. Bu özellik şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Fonksiyonun en küçük değeri -1'dir (x = - π/2+ πk'de). Fonksiyonun en büyük değeri 1'dir (x = π/2+ πk'de).

Y=sin(X) fonksiyonunu çizmek için 1-5 arasındaki özellikleri kullanalım. Özelliklerimizi uygulayarak grafiğimizi sırayla oluşturacağız. Segment üzerinde bir grafik oluşturmaya başlayalım.

Ölçeğe özellikle dikkat edilmelidir. Ordinat ekseninde 2 hücreye eşit bir birim bölüm almak daha uygundur ve apsis ekseninde π/3'e eşit bir birim bölüm (iki hücre) almak daha uygundur (şekle bakın).

Sinüs fonksiyonunun grafiğini çizme x, y=sin(x)

Fonksiyonun segmentimizdeki değerlerini hesaplayalım:

Üçüncü özelliği dikkate alarak noktalarımızı kullanarak bir grafik oluşturalım.

Hayalet formüller için dönüşüm tablosu

Fonksiyonumuzun tek olduğunu, yani orijine göre simetrik olarak yansıtılabileceğini söyleyen ikinci özelliği kullanalım:

sin(x+ 2π) = sin(x) olduğunu biliyoruz. Bu, [- π; π] grafiği [π] segmentindekiyle aynı görünüyor; 3π] veya veya [-3π; - π] vb. Tek yapmamız gereken önceki şekildeki grafiği tüm x ekseni boyunca dikkatlice yeniden çizmek.

Y=sin(X) fonksiyonunun grafiğine sinüzoid denir.

Oluşturulan grafa göre birkaç özellik daha yazalım:
6) Y=sin(X) fonksiyonu formun herhangi bir parçasında artar: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k bir tam sayıdır ve formun herhangi bir bölümünde azalır: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – tamsayı.
7) Y=sin(X) fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Fonksiyonun grafiğine bakalım ve fonksiyonumuzun hiç kesinti olmadığından emin olalım, bu süreklilik demektir.
8) Değer aralığı: bölüm [- 1; 1]. Bu durum fonksiyonun grafiğinden de açıkça görülmektedir.
9) Fonksiyon Y=sin(X) - periyodik fonksiyon. Grafiğe tekrar bakalım ve fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri aldığını görelim.

Sinüs ile ilgili problem örnekleri

1. sin(x)= x-π denklemini çözün

Çözüm: Fonksiyonun 2 grafiğini oluşturalım: y=sin(x) ve y=x-π (şekle bakın).
Grafiklerimiz bir A(π;0) noktasında kesişiyor, cevap şu: x = π

2. y=sin(π/6+x)-1 fonksiyonunun grafiğini çizin

Çözüm: y=sin(x) π/6 fonksiyonunun grafiği sola ve 1 birim aşağıya kaydırılarak istenilen grafik elde edilecektir.

Çözüm: Fonksiyonun grafiğini çizelim ve [π/2; 5π/4].
Fonksiyonun grafiği, en büyük ve en küçük değerlerin segmentin uçlarında sırasıyla π/2 ve 5π/4 noktalarında elde edildiğini gösterir.
Cevap: sin(π/2) = 1 – en büyük değer, sin(5π/4) = en küçük değer.

Bağımsız çözüm için sinüs problemleri

• Denklemi çözün: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• y=sin(π/3+x)-2 fonksiyonunun grafiğini çizin
• y=sin(-2π/3+x)+1 fonksiyonunun grafiğini çizin
• Parçadaki y=sin(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun
• y=sin(x) fonksiyonunun [- π/3; aralığındaki en büyük ve en küçük değerini bulun. 5π/6]