Rotor (matematik)

Rotor, veya girdap bir vektör alanı üzerinde bir vektör diferansiyel operatörüdür.

Belirlenmiş

(Rus dili edebiyatında) veya

(İngiliz edebiyatında),

ve ayrıca diferansiyel operatörün bir vektör alanıyla vektör çarpımı olarak:

Bu operatörün belirli bir vektör alanı üzerindeki eyleminin sonucu F isminde alan rotoru F veya kısacası sadece rotor F ve yeni bir vektör alanını temsil eder:

Rot alanı F(vektör çürümesinin uzunluğu ve yönü F uzaydaki her noktada) bir anlamda alanın dönme bileşenini karakterize eder F sırasıyla her noktada.

Sezgisel görüntü

Eğer v(x,y,z) gaz hızının (veya sıvı akışının) alanıdır, o zaman çürümek- akışta bulunan (ve gaz veya sıvının hareketi tarafından sürüklenen) çok küçük ve hafif bir toz zerresinin (veya topun) açısal hız vektörüyle orantılı bir vektör; ancak istendiğinde topun merkezi şu şekilde sabitlenebilir: etrafında serbestçe dönebildiği sürece).

özellikle çürümek = 2 ω , Nerede ω - bu açısal hız.

Bu gerçeğin basit bir örneği için aşağıya bakın.

Bu benzetme oldukça katı bir şekilde formüle edilebilir (aşağıya bakınız). Dolaşım yoluyla elde edilen temel tanımın (bir sonraki paragrafta verilen) bu şekilde elde edilene eşdeğer olduğu düşünülebilir.

Matematiksel tanım

Bir vektör alanının rotasyoneli, her yönde izdüşümü olan bir vektördür. N bir vektör alanının bir kontur boyunca dolaşım ilişkisinin sınırıdır L düz alanın kenarı olan Δ S, bu yöne dik, bu alanın boyutuna, alanın boyutları sıfıra yaklaştığında ve alanın kendisi bir noktaya daraldığında:

Konturun geçiş yönü, yöne bakıldığında konturun görüleceği şekilde seçilir. L saat yönünde yürüdü.

Üç boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde rotor (yukarıda tanımlandığı gibi) aşağıdaki şekilde hesaplanır (burada F- Kartezyen bileşenlere sahip belirli bir vektör alanını ve - Kartezyen koordinatların birim vektörlerini belirtir):

Kolaylık sağlamak için, rotoru resmi olarak nabla operatörünün (solda) ve vektör alanının bir vektör çarpımı olarak temsil edebiliriz:

(Son eşitlik resmi olarak vektör çarpımını determinant olarak temsil eder.)

İlgili tanımlar

Herhangi bir noktada rotasyoneli sıfır olan vektör alanına denir. dönmeyen ve bir potansiyel. Bu koşullar birbirleri için gerekli ve yeterli olduğundan, her iki terim de pratikte eş anlamlıdır. (Ancak bu yalnızca basit bağlantılı bir etki alanında tanımlanan alanlar için geçerlidir).

Potansiyelin karşılıklı koşulluluğu ve alanın dönüşsüz doğası hakkında biraz daha ayrıntılı bilgi için aşağıya bakın (Temel özellikler).

Aksine, rotasyoneli sıfıra eşit olmayan bir alana genellikle denir. girdap böyle bir alan potansiyel olamaz.

Genelleme

Rasgele boyuttaki uzaylarda tanımlanan vektör (ve sözde vektör) alanlarına uygulanan rotorun en doğrudan genellemesi (uzayın boyutunun alan vektörünün boyutuyla çakışması koşuluyla) aşağıdaki gibidir:

indeksli M Ve N 1'den uzay boyutuna kadar.

Bu aynı zamanda harici bir çarpım olarak da yazılabilir:

Bu durumda rotor, değerlik iki olan antisimetrik bir tensör alanıdır.

Boyut 3 durumunda, bu tensörün Levi-Civita sembolüyle evrişimi, yukarıdaki makalede verilen üç boyutlu rotorun olağan tanımını verir.

İki boyutlu bir uzay için, ek olarak, istenirse, sözde skaler çarpımlı benzer bir formül kullanılabilir (böyle bir rotor, geleneksel vektör çarpımının, verilen iki boyutluya dik bir eksen üzerindeki izdüşümüne denk gelen bir sözde skaler olacaktır). uzay - iki boyutlu uzayın üç boyutlu bir uzayın içine gömülü olduğunu düşünürsek, geleneksel vektör çarpımının bir anlamı olur).

Bir vektör alanının en önemli özellikleri rotor ve sapmadır. Bu bölümde vektör alanlarının bu özelliklerinin matematiksel tanımını ve bunları diferansiyel işlemler kullanarak hesaplama yöntemlerini ele alacağız. Bu durumda sadece Kartezyen koordinat sistemini kullanacağız. Bir sonraki bölümde diverjans ve rotorun daha kapsamlı bir tanımını ve bunların fiziksel anlamlarını ele alacağız. Bu büyüklüklerin eğrisel koordinat sistemlerinde hesaplanmasını daha sonra ele alacağız.

Üç boyutlu uzayda tanımlanan bir vektör alanını düşünelim.

Tanım 1. Bir vektör alanının diverjansı, şu ifadeyle tanımlanan bir sayıdır:

Karşılık gelen kısmi türevlerin söz konusu noktada mevcut olduğu varsayılmaktadır. Bir vektör alanının diverjansı, tıpkı gradyan gibi, nabla operatörü kullanılarak yazılabilir.

Burada diverjans, vektörlerin skaler çarpımı olarak temsil edilir ve F. Diverjansın, alanı oluşturan kaynakların yoğunluğunu tanımladığını kanıt olmadan belirtelim.

Örnek 1. Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansını hesaplayın.

Tanım 2. Bir vektör alanının rotasyoneli, şu ifadeyle tanımlanan bir vektördür:

Sunulan toplamda, bitişik terimlerdeki endekslerin, kural dikkate alınarak dairesel permütasyon kuralına göre değiştiğini unutmayın.

Bir vektör alanının rotasyoneli nabla operatörü kullanılarak yazılabilir.

Rotor, bir vektör alanının dönme veya girdap yapma eğilimini karakterize eder, bu nedenle bazen girdap olarak adlandırılır ve kıvrılmaF.

Örnek 1. Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyonelini hesaplayın.

Bazen bir vektör alanının gradyanını hesaplamak gerekli olabilir. Bu durumda vektör alanının her bir bileşeninin gradyanı hesaplanır. Sonuç, vektörün gradyanını belirleyen ikinci dereceden bir tensördür. Bu tensör matris ile tanımlanabilir

Bu tür nesneleri tanımlamak için tensör gösterimini kullanmak uygundur.

inanmak. Tensör yöntemlerinin kullanılması bu tür nesneler üzerindeki matematiksel işlemleri basitleştirir. Tensör hesabı aparatının ayrıntılı bir sunumu, “Yüksek Matematiğin Ek Bölümleri” dersine paralel olarak öğretilen “Tensör Analizinin Temelleri” dersinde verilmektedir.

Örnek 1. Bir vektör alanının gradyanını hesaplayın.

Çözüm. Hesaplamalar için tensör gösterimini kullanırız. Sahibiz

Burada Kronecker sembolü birim matristir.

Örnek 2. Skaler alanın gradyanını hesaplayın ve ve ifadelerini karşılaştırın.

Nabla operatörünün bazı özellikleri

Daha önce vektör farklılaşma operatörünü tanıtmıştık

Bu operatörü kullanarak tensör alanlarındaki ana diferansiyel işlemleri yazdık:

Operatör, farklılaşma operatörünün bir genellemesidir ve türevin karşılık gelen özelliklerine sahiptir:

1) Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

2) sabit çarpan operatör işaretinden çıkarılabilir

Vektör fonksiyonları diline çevrildiğinde bu özellikler şu şekle sahiptir:

Bu formüller, tek değişkenli bir fonksiyonun türevleri için karşılık gelen formüllerle aynı şekilde türetilir.

Hamilton operatörünü kullanmak, tensör alanlarındaki türevle ilgili birçok işlemi basitleştirmemize olanak tanır. Ancak bu operatörün bir vektör operatörü olduğunu ve dikkatli kullanılması gerektiğini unutmayın. Bu operatörün bazı uygulamalarına bakalım. Bu durumda karşılık gelen formüller hem Hamilton operatörü kullanılarak hem de geleneksel gösterimle yazılır.

Bir vektör alanının yerel bir özelliği olarak diverjans kavramı, bir vektör alanının kapalı bir yüzey üzerindeki akışı dikkate alındığında ortaya atılmıştır. Benzer şekilde, bir vektör alanının dolaşımı dikkate alındığında karşılık gelen karakteristik tanıtılabilir.

Bir noktayı düşünelim M ve vektör alanı A . Birim vektörle karakterize edilen bir yön seçelim N ve vektöre dik bir düzlem N ve noktadan geçerken M. Hadi noktayı çevreleyelim M taslak L, belirli bir düzlemde yatıyor. Bu kontur boyunca vektör alanının dolaşımını hesaplayalım ve bu dolaşımın alana oranını alalım. S, konturla sınırlı L:

Şimdi bu oranın limitini bulalım. S®0, konturun sağlanması şartıyla L bir noktaya kadar küçülür M uçağı terk etmeden. Bu sınıra denir rotor Vektör alanı A M noktasında:

. (7.6)

Not 3. Rotor, vektör alanının "dönme bileşeninin" bir özelliğidir, dolayısıyla çürük olarak gösterilir. Ancak bazen rotor kelimesi yerine " terimi kullanılır. girdap" ve sembolüyle gösterilir kıvırmak.

Şimdi rotorun formülünü Kartezyen koordinat sisteminde türetelim. İzin vermek N eksen yönü ile çakışır Oz ve kontur L kenarları D olan bir dikdörtgendir X ve D sen devre saat yönünün tersine geçilirken (bkz. Şekil 7.3). Sonra alırız

İlk dönem için aldığımız

(bölümler D.A. Ve M.Ö. göz ardı edilebilir, çünkü burada x=sabit Ve dx=0). Daha öte

Benzer şekilde ikinci dönem için de elde ederiz

Sonuç olarak şunu buluyoruz

Benzer şekilde diğer koordinat eksenlerindeki projeksiyonları da hesaplıyoruz:

, .

Vektör formunda bu şu şekilde yapılabilir:

Bu formül sembolik biçimde daha kısa bir şekilde yazılabilir:

. (7.8)

Determinantın birinci satır boyunca genişletilmesiyle formül (7.7), (7.8)'den elde edilir.

Örnek 7.4. Bir vektör alanının rotasyonelini hesaplama A =X 2 sen 3 Ben +J +z k M(1;1;1) noktasında.

Çözüm. Kayıt

Böylece,

Örnek 7.5. Dönen cismin hız alanının rotorunu bulun v =–w sen Ben +w X J .

Çözüm.Çünkü v X=–w sen, v sen=w X, v z=0 ise

Yani katı bir cismin herhangi bir noktadaki rotor hızları açısal hızının iki katına eşittir. Rotorun bulunan mekanik anlamı daha geniş bir anlama sahiptir. Örneğin, sıvı akışındaki bıçaklara sahip bir tekerleğin dönme ekseni dönme yönünde yönlendirilirse maksimum dönüş hızına sahip olacaktır. A ve dönüş hızı eşit olacaktır.

Alan teorisi

Ayrıca şöyle bilinir vektör analizi. Ve bazıları için alan teorisi olarak bilinen vektör analizi =) Sonunda bu ilginç konuya ulaştık! Yüksek matematiğin bu bölümüne basit denemez, ancak gelecekteki makalelerde iki hedefe ulaşmaya çalışacağım:

a) herkesin konuşmanın neyle ilgili olduğunu anlaması için;

b) ve böylece "aptallar" en azından basit şeyleri çözmeyi öğrenirler - en azından yarı zamanlı öğrencilere sunulan görevler düzeyinde.

Tüm materyaller popüler bir tarzda sunulacak ve daha ayrıntılı ve eksiksiz bilgiye ihtiyacınız varsa, örneğin Fichtenholtz'un 3. cildini alabilir veya Wiki'ye bakabilirsiniz.

Ve hemen başlığı deşifre edelim. Teoride her şeyin açık olduğunu düşünüyorum - sitenin en iyi geleneklerinde temellerini analiz edeceğiz ve uygulamaya odaklanacağız. Peki “alan” kelimesini neyle ilişkilendiriyorsunuz?

Çim saha, futbol sahası... Daha fazla? Faaliyet alanı, deney alanı. Selam hümanistler! ...okuldaki bir kurstan mı? Elektrik alanı, manyetik, elektromanyetik..., tamam. Kendimizi içinde bulduğumuz Dünya'nın çekim alanı. Harika! Peki saha için bunu kim söyledi? geçerli Ve Karışık sayılar? ...bazı canavarlar burada toplandı! =) Çok şükür cebir zaten gecti.

Sonraki derslerde belirli bir kavramla tanışacağız alanlar, hayattan spesifik örnekler ve ayrıca vektör analizinin tematik problemlerinin nasıl çözüleceğini öğrenir. Alan teorisi, doğru tahmin ettiğiniz gibi, bir ormanın, bir nehrin, bir gölün, bir köy evinin olduğu bir alanda - doğada en iyi şekilde incelenir ve herkesi sıcak yaz gerçekliğine olmasa da kendilerini kaptırmaya davet ediyorum, sonra hoş anılarda:

Bugün ele alınan anlamda alanlar skaler Ve vektör ve onların "yapı taşları" ile başlayacağız.

İlk önce, skaler. Çoğu zaman bu terim yanlışlıkla şu şekilde tanımlanır: sayı. Hayır, işler biraz farklı: skaler her değeri ifade edilebilen bir miktardır sadece bir numara. Fizikte kütlenin pek çok örneği vardır: uzunluk, genişlik, alan, hacim, yoğunluk, sıcaklık vb. Bunların hepsi skaler büyüklüklerdir. Ve bu arada kütle de bir örnektir.

İkincisi, vektör. Derste bir vektörün cebirsel tanımına değinmiştim. doğrusal dönüşümler ve onun özel enkarnasyonlarından biri bilmemek kesinlikle imkansız=) Tipik vektör ifade edilir iki veya daha fazla sayılar(koordinatlarınızla birlikte). Ve tek boyutlu bir vektör için bile sadece bir numara yeterli değil– çünkü vektörün de bir yönü vardır. Ve vektör ise uygulama noktası tek değil. Vektörler fiziksel kuvvet alanlarını, hızı ve diğer birçok niceliği karakterize eder.

Artık alüminyum salatalık hasadına başlayabilirsiniz:

Skaler alan

Eğer her biri bir nokta uzay alanları belirli bir numara atanır (genellikle gerçek), sonra bu alanda verildiğini söylüyorlar skaler alan.

Örneğin dünyadan çıkan bir dikmeyi düşünün. ışın. Netlik sağlamak için bir kürek sokun =) Ne skaler alanlar bu kirişte sorabilir miyim? Aklıma ilk gelen şey yükseklik alanı– kirişin her noktasına zemin seviyesinden yüksekliği atandığında. Veya örneğin, atmosferik basınç alanı– burada ışının her noktası, belirli bir noktadaki atmosferik basıncın sayısal değerine karşılık gelir.

Şimdi göle yaklaşalım ve zihinsel olarak yüzeyinin üzerine bir uçak çizelim. Düzlemin "su" parçasının her noktası gölün derinliği ile ilişkiliyse, lütfen skaler alan verilir. Aynı noktalarda, örneğin su yüzeyinin sıcaklığı gibi diğer skaler büyüklükleri de dikkate alabilirsiniz.

Bir skaler alanın en önemli özelliği onun değişmezlik Koordinat sistemine göre. Bunu insan diline çevirirsek, kürek / göle hangi taraftan bakarsak bakalım - skaler bir alan (yükseklik, derinlik, sıcaklık vb.) bu değişmeyecek. Üstelik skaler alan, örneğin derinlik, başka bir yüzeye, örneğin uygun bir yüzeye ayarlanabilir. yarımküre veya doğrudan su yüzeyinde. Neden? Yarımkürenin gölün üzerinde yer alan her noktasına bir sayı atamak mümkün değil mi? Sadece kolaylık olması açısından düzlüğü önerdim.

Bir koordinat daha ekleyelim. Elinize bir taş alın. Bu taşın her noktası kendisine atanabilir. fiziksel yoğunluk. Ve yine - onu hangi koordinat sisteminde ele alırsak alalım, elimizde nasıl çevirirsek çevirelim - skaler yoğunluk alanı değişmeden kalacaktır. Ancak bazı kişiler bu gerçeğe itiraz edebilir =) Felsefe taşı böyledir.

Tamamen matematiksel bir bakış açısından (fiziksel veya diğer özel anlamın ötesinde) Skaler alanlar geleneksel olarak “sıradan” fonksiyonlarımız tarafından belirlenir bir , iki , üç ve daha fazla değişken. Aynı zamanda alan teorisinde bu fonksiyonların geleneksel nitelikleri yaygın olarak kullanılmaktadır. ihtisas, seviye çizgileri ve yüzeyler.

Üç boyutlu uzayda her şey benzerdir:
– burada, uzayda izin verilen her nokta, belirli bir noktada başlayan bir vektörle ilişkilendirilir. “Kabul edilebilirlik”, fonksiyonların tanım alanlarına göre belirlenir ve bunların her biri tüm “X”, “E”, “Z” için tanımlanmışsa, o zaman vektör alanı tüm uzayda belirtilecektir.

! Tanımlar : vektör alanları ayrıca veya harfiyle ve bileşenleri de sırasıyla veya ile gösterilir.

Yukarıdakilerden, en azından matematiksel olarak, skaler ve vektör alanların uzay boyunca tanımlanabileceği uzun zamandır açıktır. Ancak yine de karşılık gelen fiziksel örnekler konusunda dikkatliydim çünkü aşağıdaki gibi kavramlar sıcaklık, yer çekimi(veya diğerleri) sonuçta bir yerde hiç mevcut olmayabilir. Ama bu artık korku değil, bilim kurgu =) Ve sadece bilim kurgu değil. Çünkü rüzgar kural olarak taşların içinde esmez.

Bazı vektör alanlarının (aynı hız alanları) zamanla hızla değişir ve bu nedenle birçok fiziksel model ek bir bağımsız değişkeni dikkate alır. Bu arada, aynı şey skaler alanlar için de geçerlidir - aslında sıcaklık da zaman içinde "dondurulmaz".

Ancak matematik çerçevesinde kendimizi üçlüyle sınırlayacağız ve bu tür alanlar "buluştuğunda" zaman içinde sabit bir anı veya alanın değişmediği bir zamanı ima edeceğiz.

Vektör çizgileri

Skaler alanlar tanımlanmışsa çizgiler ve düz yüzeyler, o zaman vektör alanının "şekli" karakterize edilebilir vektör çizgileri. Muhtemelen birçok kişi bu okul deneyimini hatırlıyor: Bir kağıdın altına bir mıknatıs yerleştirilir ve üstüne (görelim!) demir talaşları dökülüyor, sadece alan çizgileri boyunca "sıralanan".

Bunu daha basit bir şekilde formüle etmeye çalışacağım: Bir vektör çizgisinin her noktası başlangıçtır alan vektör belirli bir noktada teğet üzerinde bulunan:

Elbette, genel durumda çizgi vektörleri farklı uzunluklara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki şekilde soldan sağa hareket ederken uzunlukları artar - burada örneğin bir mıknatısa yaklaştığımızı varsayabiliriz. Kuvvetli fiziksel alanlarda vektör çizgileri denir - Güç hatları. Başka, daha basit bir örnek Dünya'nın çekim alanıdır: alan çizgileri ışınlar başlangıç gezegenin merkezinde ve vektörler yer çekimi doğrudan ışınların üzerinde bulunur.

Hız alanlarının vektör çizgilerine denir mevcut çizgiler. Tekrar bir toz fırtınası hayal edin; toz parçacıkları hava molekülleriyle birlikte bu çizgiler boyunca hareket ediyor. Benzer şekilde bir nehirde de sıvı moleküllerinin (sadece değil) hareket ettiği yörüngeler, kelimenin tam anlamıyla akıcı çizgilerdir. Genel olarak alan teorisine ait birçok kavram, birden çok kez karşılaşacağımız hidrodinamikten gelmektedir.

Sıfırdan farklı bir fonksiyon tarafından "düz" bir vektör alanı verilirse, alan çizgileri şuradan bulunabilir: diferansiyel denklem. Bu denklemin çözümü şunu verir: aile düzlemdeki vektör çizgileri. Bazen görevlerde, genellikle zorluğa neden olmayan bu tür birkaç çizgi çizmek gerekebilir - "tse"nin birkaç uygun değerini seçtik, bazılarını çizdik abartılar, ve sipariş et.

Uzaysal vektör alanıyla ilgili durum daha ilginçtir. Alan çizgileri ilişkiler tarafından belirlenir. . Burada karar vermemiz gerekiyor iki diferansiyel denklem sistemi ve iki aile al uzaysal yüzeyler. Bu ailelerin kesişim çizgileri uzaysal vektör çizgileri olacaktır. Tüm bileşenler (“pe”, “ku”, “er”) sıfırdan farklıysa, o zaman birkaç teknik çözüm vardır. Bu yöntemlerin hepsini dikkate almayacağım. (çünkü makale müstehcen boyutlara ulaşacak), ancak vektör alanının bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olduğu genel bir özel duruma odaklanacağım. Tüm seçenekleri bir kerede listeleyelim:

eğer öyleyse sistemin çözülmesi gerekiyor;
eğer öyleyse sistem;
ve eğer öyleyse .

Ve bazı nedenlerden dolayı uzun süredir pratik yapmıyoruz:

örnek 1

Vektör alanının alan çizgilerini bulun

Çözüm: bu problemde, bu yüzden çözüyoruz sistem:

Anlamı çok basittir. Dolayısıyla, eğer bir fonksiyon göl derinliğinin skaler alanını belirtiyorsa, o zaman karşılık gelen vektör fonksiyonu kümeyi tanımlar. özgür olmayan her biri bir yönü gösteren vektörler hızlı yükseliş bir noktada dip ve bu yükselişin hızı.

Bir fonksiyon uzayın belirli bir bölgesinin skaler sıcaklık alanını belirtiyorsa, karşılık gelen vektör alanı yönü ve hızı karakterize eder. en hızlı ısınma Bu alanın her noktasında boşluk var.

Genel bir matematik problemine bakalım:

Örnek 3

Bir skaler alan ve bir nokta verildiğinde. Gerekli:

1) skaler alanın gradyan fonksiyonunu oluşturun;

Hangisi eşittir potansiyel fark .

Yani potansiyel alanda rotanın yalnızca başlangıç ve bitiş noktaları önemlidir. Ve eğer bu noktalar çakışırsa, kapalı bir kontur boyunca kuvvetlerin toplam çalışması sıfıra eşit olacaktır:

Yerden bir tüy alıp başlangıç noktasına teslim edelim. Bu durumda hareketimizin gidişatı yine keyfidir; Hatta kalemi düşürebilir, tekrar alabilirsiniz vb.

Nihai sonuç neden sıfır?

Tüy “a” noktasından “b” noktasına mı düştü? Düştü. Yer çekimi kuvveti işi yaptı.

Kalem "a" noktasını geriye mi vurdu? Anladım. Bu, tamamen aynı işin yapıldığı anlamına gelir yer çekimine karşı ve hangi "maceraların" ve hangi güçlerin olduğu önemli değil - rüzgar onu geri püskürtse bile.

Not : Fizikte eksi işareti ters yönü simgelemektedir.

Dolayısıyla kuvvetlerin yaptığı toplam iş sıfırdır:

Daha önce de belirttiğim gibi, fiziksel ve sıradan iş kavramları farklıdır. Ve bu fark, bir tüyü, hatta bir tuğlayı değil, örneğin bir piyanoyu iyi anlamanıza yardımcı olacaktır :)

Birlikte piyanoyu kaldırın ve merdivenlerden aşağı indirin. Onu sokağın aşağısına sürükleyin. Dilediğiniz kadar ve dilediğiniz yerde. Ve eğer kimse aptalı çağırmazsa, enstrümanı geri getir. Çalıştın mı? Kesinlikle. Yedinci tere kadar. Ancak fizik açısından bakıldığında hiçbir çalışma yapılmadı.

"Potansiyel fark" ifadesi, potansiyel elektrostatik alan hakkında daha fazla konuşmak için cazip gelebilir, ancak okuyucularınızı şok etmek hiç de insani değil =) Üstelik sayısız örnek var, çünkü herhangi bir gradyan alanı potansiyeldir, bunların bir düzinesi bir kuruştur.

Ancak "bir düzine kuruş" demek kolaydır: burada bize bir vektör alanı veriliyor - Potansiyel olup olmadığı nasıl belirlenir?

Vektör alanı rotoru

Ya da o girdap vektörlerle de ifade edilen bileşen.

Tüyü tekrar elimize alalım ve dikkatlice nehrin aşağısına gönderelim. Deneyin saflığı açısından homojen ve merkeze göre simetrik olduğunu varsayacağız. Aks ayağa kalkıyor.

Hadi düşünelim Vektör alanı mevcut hız ve su yüzeyinde tüyün merkezinin bulunduğu belirli bir nokta.

Eğer içindeyse Bu noktada kalem saat yönünün tersine döner, ardından onu giden kalemle eşleştireceğiz özgür olmayan yukarı doğru vektör. Aynı zamanda, kalem ne kadar hızlı dönerse, bu vektör o kadar uzun olur, ... nedense bana güneşin parlak ışınlarında çok siyah görünüyor... Dönme saat yönünde gerçekleşirse, vektör aşağıya "bakar". Kalem hiç dönmüyorsa vektör sıfırdır.

Tanışın - işte bu rotor vektör vektör hız alanı sıvının "dönme" yönünü karakterize eder. Bu noktada ve kalemin açısal dönüş hızı (ancak akımın yönü veya hızı değil!).

Nehrin tüm noktalarının (“su altında” olanlar dahil) bir döner vektöre sahip olduğu kesinlikle açıktır. akım hızının vektör alanı yeni bir vektör alanı tanımladık!

Bir vektör alanı bir fonksiyon tarafından veriliyorsa, rotor alanı aşağıdaki şekilde verilir: vektör işlevi:

Ayrıca eğer vektörler rotor alanı nehirler büyüktür ve yön değiştirme eğilimindedirler, bu kesinlikle dolambaçlı ve huzursuz bir nehirden bahsettiğimiz anlamına gelmez (örneğe geri dönelim). Bu durum düz bir kanalda da gözlemlenebilir; örneğin hız ortada daha yüksek ve kıyıların yakınında daha düşük olduğunda. Yani kalemin dönüşü oluşturulur farklı akış hızları V komşu güncel çizgiler.

Öte yandan, eğer rotor vektörleri kısaysa, o zaman bu “sarmal” bir dağ nehri olabilir! Önemli olan bitişik akım hatları akımın kendisinin hızı (hızlı veya yavaş) biraz farklılık gösterdi.

Ve son olarak yukarıda sorduğumuz soruya cevap verelim: potansiyel alanın herhangi bir noktasında rotoru sıfırdır:

Daha doğrusu sıfır vektörü.

Potansiyel alan da denir dönmeyen alan.

Elbette "ideal" bir akış mevcut değildir, ancak çoğu zaman şunu gözlemleyebiliriz: hız alanı nehirler potansiyele yakındır - çeşitli nesneler sakin bir şekilde yüzer ve dönmez, ...bu resmi siz de hayal ettiniz mi? Bununla birlikte, çok hızlı ve bir eğri içinde yüzebilirler, sonra yavaşlayabilirler, sonra hızlanabilirler - akıntının hızının olması önemlidir. bitişik akım hatları korunmuş devamlı.

Ve elbette ölümlü çekim alanımız. Bir sonraki deney için oldukça ağır ve homojen herhangi bir nesne çok uygundur; örneğin kapalı bir kitap, açılmamış bir kutu bira veya bu arada, kanatlarda bekleyen bir tuğla =) Uçlarını ellerinizle tutun yukarı kaldırın ve dikkatlice serbest düşüşe bırakın. Dönmeyecek. Ve eğer öyleyse, o zaman bu sizin "kişisel çabanızdır" veya aldığınız tuğla yanlıştır. Tembel olmayın ve bu gerçeği kontrol edin! Hiçbir şeyi pencereden dışarı atmayın, artık tüy değil

Bundan sonra, açık bir vicdan ve artan bir tonla pratik görevlere dönebilirsiniz:

Örnek 5

Bir vektör alanının potansiyel olduğunu gösterin ve potansiyelini bulun

Çözüm: koşul doğrudan alanın potansiyelini belirtir ve bizim görevimiz bu gerçeği kanıtlamaktır. Belirli bir alanın rotor fonksiyonunu veya daha sık söyledikleri gibi rotorunu bulalım:

Kolaylık sağlamak için alan bileşenlerini yazıyoruz:

ve onları bulmaya başlayalım kısmi türevler– bunları soldan sağa doğru “döner” sırayla “sıralamak” uygundur:
- Ve hemenŞunu kontrol et (sıfırdan farklı bir sonuç çıkması durumunda ekstra iş yapmaktan kaçınmak için). Hadi devam edelim: