Bir aralığa ait sinüsün kökleri nasıl bulunur? Trigonometrik bir denklemde kök alma

27. Belirli bir segmentteki kökleri seçelim

28. 10. 2sin2x =4cos x –sinx+1 denklemini çözün. Bunun [/2; 3/2]

29. Bir daire kullanarak kökleri seçelim

Dersin amacı:

A) Basit trigonometrik denklemleri çözme yeteneğini güçlendirmek;

B) Belirli bir aralıktan trigonometrik denklemlerin köklerinin nasıl seçileceğini öğretmek

Dersler sırasında.

a) Ödev kontrolü: sınıfa ileri düzeyde ödev verilir - bir denklem çözün ve belirli bir aralıktan kökleri seçmenin bir yolunu bulun.

1)çünkü X= -0,5, burada xI [- ]. Cevap:.

2) günah X= , burada xI . Cevap: ; .

3)çünkü 2 X= -, burada xI. Cevap:

Öğrenciler çözümü tahtaya yazarlar; bazıları grafik kullanarak, bazıları ise seçme yöntemini kullanarak.

Bu zamanda sınıf sözlü olarak çalışır.

İfadenin anlamını bulun:

a) tg – sin + cos + sin. Cevap 1.

b) 2arccos 0 + 3 arkcos 1. Cevap: ?

c) arksin + arksin. Cevap:.

d) 5 arctg (-) – arccos (-). Cevap:-.

– Ödevlerinizi kontrol edelim, ödevli defterlerinizi açalım.

Bazılarınız seçim yöntemini kullanarak, bazılarınız da grafiği kullanarak çözümü buldunuz.

2. Bu görevleri çözmenin yolları ve sorunun ifadesi, yani dersin konusunun ve amacının iletilmesi hakkında sonuç.

– a) Geniş aralık verilirse seçim kullanarak çözmek zordur.

– b) Grafiksel yöntem doğru sonuç vermez, doğrulama gerektirir ve çok zaman alır.

– Bu nedenle en azından bir yöntem daha olmalı, en evrensel olanı – onu bulmaya çalışalım. Peki bugün sınıfta ne yapacağız? (Belirli bir aralıkta trigonometrik bir denklemin köklerini seçmeyi öğrenin.)

– Örnek 1. (Öğrenci tahtaya gider)

çünkü X= -0,5, burada xI [- ].

Soru: Bu göreve verilecek cevabı ne belirler? (Denkleminin genel çözümünden. Çözümü genel biçimde yazalım). Çözüm tahtaya yazılır

x = + 2?k, burada k R.

– Bu çözümü bir küme şeklinde yazalım:

– Sizce çözümün hangi notasyonuna göre kökleri aralıkta seçmek uygundur? (ikinci girişten). Ancak bu yine bir seçim yöntemidir. Doğru cevaba ulaşmak için neyi bilmemiz gerekiyor? (k'nin değerlerini bilmeniz gerekir).

(k'yi bulmak için matematiksel bir model oluşturalım).

Çözüm: Trigonometrik bir denklemi çözerken belirli bir aralıktaki kökleri seçmek için yapmanız gerekenler:

1. formdaki bir denklemi çözmek için günah x = a, çünkü x = a Denklemin köklerini iki kök dizisi halinde yazmak daha uygundur.
2. formdaki denklemleri çözmek için ten rengi x = a, CTG x = a Köklerin genel formülünü yazınız.
3. Her çözüm için çift eşitsizlik formunda bir matematiksel model oluşturun ve k veya n parametresinin tamsayı değerini bulun.
4. bu değerleri kök formülde yerine koyun ve hesaplayın.

Ortaya çıkan algoritmayı kullanarak ödevdeki 2 ve 3 numaralı örnekleri çözün. İki öğrenci aynı anda tahtada çalışır ve ardından çalışmaları kontrol eder.

Bu yazımda 2 yolu açıklamaya çalışacağım trigonometrik denklemde kökleri seçme: eşitsizliklerin kullanılması ve trigonometrik dairenin kullanılması. Doğrudan açıklayıcı bir örneğe geçelim ve işlerin nasıl yürüdüğünü anlayalım.

A) sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x) denklemini çözün
b) Bu denklemin [-7Pi/2; aralığına ait tüm köklerini bulun. -2Pi]

A noktasını çözelim.

Sinüs sin(Pi/2+x) = cos(x) için indirgeme formülünü kullanalım

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pim, n ∈ Z

Kare(2)cosx - 1 = 0

Cosx = 1/sqrt(2)

Cosx = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

B noktasını çözelim.

1) Eşitsizlikleri kullanarak köklerin seçimi

Burada her şey basitçe yapılır, elde edilen kökleri bize verilen aralığa [-7Pi/2; -2Pi], n'nin tamsayı değerlerini bulun.

7Pi/2 Pi/2'den küçük veya ona eşit + Pin -2Pi'den küçük veya eşit

Her şeyi hemen Pi'ye bölüyoruz

7/2 küçük veya eşit 1/2 + n küçük veya eşit -2

7/2 - 1/2 küçük veya eşit n küçük veya eşit -2 - 1/2

4 küçük veya eşit n küçük veya eşit -5/2

Bu aralıktaki n tam sayısı -4 ve -3'tür. Bu da bu aralığa ait köklerin Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2 olacağı anlamına gelir.

Benzer şekilde iki eşitsizlik daha yapıyoruz

7Pi/2 Pi/4'ten küçük veya ona eşit + 2Pin -2Pi'den küçük veya eşit
-15/8 küçük veya eşit n küçük veya eşit -9/8

Bu aralıkta tam n yok

7Pi/2 küçük veya eşit -Pi/4 + 2Pin küçük veya eşit -2Pi
-13/8 küçük veya eşit n küçük veya eşit -7/8

Bu aralıktaki bir n tam sayısı -1'dir. Bu, bu aralıkta seçilen kökün -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4 olduğu anlamına gelir.

Yani b noktasındaki cevap: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Trigonometrik daire kullanarak köklerin seçimi

Bu yöntemi kullanmak için bu çemberin nasıl çalıştığını anlamanız gerekir. Bunu nasıl anladığımı basit bir dille anlatmaya çalışacağım. Sanırım okullarda cebir derslerinde bu konu öğretmenin zekice sözleriyle defalarca anlatıldı, ders kitaplarında karmaşık formülasyonlar vardı. Şahsen ben bunu, çevresinde sonsuz kez dolaşılabilen bir daire olarak anlıyorum, bu, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodik olmasıyla açıklanıyor.

Saat yönünün tersine gidelim

Saat yönünün tersine 2 kez dönelim

Saat yönünde 1 kez dönelim (değerler negatif olacaktır)

Sorumuza dönelim, [-7Pi/2; aralığındaki kökleri seçmemiz gerekiyor; -2Pi]

-7Pi/2 ve -2Pi sayılarına ulaşmak için dairenin etrafında saat yönünün tersine iki kez dönmeniz gerekir. Bu aralıktaki denklemin köklerini bulmak için tahmin etmeniz ve yerine koymanız gerekir.

X = Pi/2 + Pin'i düşünün. X'in bu aralıkta bir yerde olması için yaklaşık olarak n ne olmalıdır? yerine -2 diyelim, Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2 elde ederiz, açıkçası bu bizim aralığımıza dahil değil, yani -3'ten küçük alırız, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, bu uygunsa tekrar deneyelim -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, ayrıca uygun.

Pi/4 + 2Pin ve -Pi/4 + 2Pin için benzer şekilde mantık yürüterek başka bir kök -9Pi/4 buluyoruz.

İki yöntemin karşılaştırılması.

İlk yöntem (eşitsizlikleri kullanmak) çok daha güvenilirdir ve anlaşılması çok daha kolaydır, ancak trigonometrik çember ve ikinci seçim yöntemi konusunda gerçekten ciddiyseniz, o zaman kökleri seçmek çok daha hızlı olacaktır, sınavda yaklaşık 15 dakika kazanabilirsiniz. .

A) Denklem 2(\sin x-\cos x)=tgx-1'i çözün.

B) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Çözüm

A) Parantezleri açıp tüm terimleri sol tarafa taşıyarak 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 denklemini elde ederiz. \cos x \neq 0 olduğunu düşünürsek, 2 \sin x teriminin 2 tan x \cos x ile değiştirilebileceğini düşünürsek denklemi elde ederiz 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, gruplandırılarak (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 formuna indirgenebilir.

1) 1-tgx=0, ten rengi x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \çünkü x=0, \çünkü x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

B) Sayı dairesini kullanarak aralığa ait kökleri seçin \sol[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \sağ].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Cevap

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

B) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Durum

A) Denklemi çözün (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

B) Bu denklemin aralığa ait köklerini belirtiniz. \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Çözüm

A) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

ODZ'deki orijinal denklem bir dizi denklemle eşdeğerdir

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(dizi)\sağ.

İlk denklemi çözelim. Bunu yapmak için bir değişiklik yapacağız \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. O halde \sin^24x=1-t^2. Şunu elde ederiz:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\not [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

İkinci denklemi çözelim.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Birim çemberi kullanarak ODZ'yi sağlayan çözümler buluruz.

“+” işareti tg x>0 olan 1. ve 3. çeyreği işaret eder.

Şunu elde ederiz: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

B) Aralığa ait kökleri bulalım \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Cevap

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

B) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

A) Denklemi çözün: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

B) Aralığa ait tüm kökleri listele \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Çözüm

A)Çünkü \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, O \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Bu, verilen denklemin \cos^2x=\cos ^22x denklemine eşdeğer olduğu anlamına gelir; bu da \cos^2x-\cos ^2 2x=0 denklemine eşdeğerdir.

Ancak \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Ve

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1 olduğundan denklem şu şekilde olur:

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Daha sonra ya 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 ya da 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

İlk denklemi \cos x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözersek şunu elde ederiz:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Bu nedenle ya \cos x=1 ya da \cos x=-\frac12. Eğer \cos x=1 ise, o zaman x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Eğer \cos x=-\frac12, O x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Benzer şekilde, ikinci denklemi çözerek ya \cos x=-1 ya da \cos x=\frac12. Eğer \cos x=-1 ise kökler x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Eğer \çünkü x=\frac12, O x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Elde edilen çözümleri birleştirelim:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

B) Bir sayı çemberi kullanarak belirli bir aralığa düşen kökleri seçelim.

Şunu elde ederiz: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Cevap

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

B) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

A) Denklemi çözün 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

B) Bu denklemin aralığa ait köklerini belirtiniz. \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Çözüm

A) 1. İndirgeme formülüne göre, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\sağ) =tgx. Denklemin tanım alanı, \cos x \neq 0 ve tan x \neq -1 olacak şekilde x değerleri olacaktır. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak denklemi dönüştürelim 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Denklemi elde ederiz: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

dikkat et ki \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), böylece denklem şöyle olur: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Buradan \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. İndirgeme formülünü ve kosinüs toplamı formülünü kullanarak \sin x+\cos x'i dönüştürün: \sin x=\cos \sol(\frac\pi 2-x\sağ), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \sol(x-\frac\pi 4\sağ)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Buradan \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Araç, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

veya x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Bu yüzden x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

veya x =\frac\pi 4-yay\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

X'in bulunan değerleri tanım alanına aittir.

B)Öncelikle denklemin köklerinin k=0 ve t=0'da nereye düştüğünü bulalım. Bunlar buna göre sayılar olacak a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Ve b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Yardımcı eşitsizliği kanıtlayalım:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Gerçekten mi, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Şunu da unutmayın \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Araç \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Eşitsizliklerden (1) Ark kosinüs özelliğinden şunu elde ederiz:

arkcos 1

0

Buradan \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Aynı şekilde, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

k=-1 ve t=-1 için a-2\pi ve b-2\pi denkleminin köklerini elde ederiz.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). burada -2\pi

2\pi Bu, bu köklerin verilen aralığa ait olduğu anlamına gelir \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Diğer k ve t değerleri için denklemin kökleri verilen aralığa ait değildir.

Aslında, eğer k\geqslant 1 ve t\geqslant 1 ise, o zaman kökler 2\pi'den büyüktür. k\leqslant -2 ve t\leqslant -2 ise kökler daha küçüktür -\frac(7\pi )2.

Cevap

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

B) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

A) Denklemi çözün \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

B) Bu denklemin aralığına ait tüm köklerini bulun;

Çözüm

A) Denklemi dönüştürelim:

\çünkü x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\çünkü x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

B) Birim çemberi kullanarak doğru parçasına ait kökleri buluruz.

Belirtilen aralık tek bir sayı içeriyor \frac\pi 2.

Cevap

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

B) \frac\pi 2.

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

Araç, \sin x \neq 1.

Denklemin her iki tarafını bir faktöre bölün (\sin x-1), sıfırdan farklı. Denklemi elde ederiz \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), veya denklem 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).İndirgeme formülünü sol tarafa ve indirgeme formülünü sağ tarafa uygulayarak denklemi elde ederiz. 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Bu denklem ikame gereğidir \çünkü x=t, Nerede -1 \leqslant t \leqslant 1 kareye indirgeyin: 2t^2+t-1=0, kimin kökleri t_1=-1 Ve t_2=\frac12. X değişkenine dönersek şunu elde ederiz: \çünkü x = \frac12 veya \çünkü x=-1, Neresi x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

B) Eşitsizlikleri çözelim

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , M, N, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Aralıkta hiç tam sayı yok \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\sağ].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Bu eşitsizlik k=-1 ve ardından x=-\pi ile sağlanır.

Cevap

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, M, N, k \in \mathbb Z;

B) -\pi .

a) Denklemi çözün: .

b) Bu denklemin doğru parçasına ait tüm köklerini bulun.

Sorunun çözümü

Bu ders, matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken C1 tipi problemlerin çözümüne örnek olarak kullanılabilecek bir trigonometrik denklem çözme örneğini tartışmaktadır.

Her şeyden önce, fonksiyonun kapsamı belirlenir - argümanın tüm geçerli değerleri. Daha sonra çözüm sırasında trigonometrik sinüs fonksiyonu, indirgeme formülü kullanılarak kosinüse dönüştürülür. Daha sonra denklemin tüm terimleri, ortak faktörün parantezlerden çıkarıldığı sol tarafa aktarılır. Her faktörün sıfıra eşit olması denklemin köklerini belirlememizi sağlar. Daha sonra dönüş yöntemi kullanılarak belirli bir bölüme ait kökler belirlenir. Bunu yapmak için, oluşturulan birim daire üzerinde, belirli bir parçanın sol sınırından sağa doğru bir dönüş işaretlenir. Daha sonra birim çember üzerinde bulunan kökler bölümler halinde merkeze bağlanır ve bu bölümlerin dönüşle kesiştiği noktalar belirlenir. Bu kesişme noktaları problemin ikinci kısmına istenen cevaptır.