İki sayının en küçük ortak katı nasıl bulunur? Sayıların nod'u ve nok'u - birkaç sayının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı

Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya kalan bırakmadan bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM ayrıca iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanan bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

Adımlar

Katlar serisi

Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan küçük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha büyük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

Örneğin 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda katlar bulunabilir.
- Örneğin 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
İlk sayının katları olan bir sayı dizisi yazın.İki sayı kümesini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.
- Örneğin 8'in katı olan sayılar şunlardır: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.
Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayıyı bulun. Toplam sayıyı bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayı, en küçük ortak kattır.
- Örneğin 5 ve 8'in katları serisinde yer alan en küçük sayı 40 sayısıdır. Dolayısıyla 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.
Asal çarpanlara ayırma
1. Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan büyük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha küçük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.
  - Örneğin 20 ve 84 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.
2. İlk sayıyı asal faktörlere ayırın. Yani çarpıldığında belirli bir sayıyı verecek asal sayıları bulmanız gerekir. Asal çarpanları bulduktan sonra bunları eşitlik olarak yazın.
  - Örneğin, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ve 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Buna göre 20 sayısının asal çarpanları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .
3. İkinci sayıyı asal faktörlere ayırın. Bunu, ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız şekilde yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.
  - Örneğin, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ve 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Buna göre 84 sayısının asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .
4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız.Çarpma işlemi gibi çarpanları yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (sayıların asal çarpanlara ayrılmasını açıklayan ifadeler) bunun üzerini çizin.
  - Örneğin, her iki sayının da ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle şunu yazın: 2 × (\displaystyle 2\times ) ve her iki ifadede de 2'nin üzerini çizin.
  - Her iki sayının da ortak noktası 2'nin bir çarpanı daha, o halde yazın 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.
5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar her iki ifadede de üstü çizili olmayan faktörlerdir, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.
  - Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Her iki iki (2) de ortak çarpanlar oldukları için üzeri çizilmiştir. 5 faktörünün üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
  - İfadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) her iki ikilinin (2) de üzeri çizilir. 7 ve 3'ün çarpanları çizilmemiştir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
6. En küçük ortak katı hesaplayın. Bunu yapmak için yazılı çarpma işlemindeki sayıları çarpın.
  - Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Yani 20 ile 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.
Ortak faktörleri bulma
1. Tic-tac-toe oyununa benzer bir ızgara çizin. Böyle bir ızgara, başka iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu size üç satır ve üç sütun verecektir (ızgara, # simgesine çok benzer). İlk sayıyı birinci satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.
  - Örneğin 18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Birinci satır ve ikinci sütuna 18 sayısını, birinci satır ve üçüncü sütuna 30 sayısını yazın.
2. Her iki sayının ortak bölenini bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.
  - Örneğin 18 ve 30 çift sayılar olduğundan ortak çarpanları 2'dir. O halde ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.
3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü uygun sayının altına yazın. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur.
  - Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), yani 18'in altında 9 yazın.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15) 30'un altında 15 yazın.
4. Her iki bölümün ortak bölenini bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi halde ikinci satıra ve birinci sütuna böleni yazın.
  - Örneğin 9 ve 15 3'e bölünebilir, bu nedenle ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.
5. Her bölümü ikinci bölenine bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.
  - Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3) yani 3'ü 9'un altına yazın.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5) 15'in altına 5 yazın.
6. Gerekirse ızgaraya ek hücreler ekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.
7. Tablonun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Daha sonra seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.
  - Örneğin 2 ve 3 sayıları ilk sütunda, 3 ve 5 sayıları ise son satırda olduğundan çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).
8. Sayıları çarpmanın sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.
  - Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Yani 18 ile 30'un en küçük ortak katı 90'dır.
Öklid algoritması
1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi unutmayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur. Kalan, iki sayının bölünmesinden kalan sayıdır.
  - Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 temettü
    6 bir bölendir
    2 bölümdür
    Geriye kalan 3'tür.

Tanım. a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen (GCD) bu sayılar.

24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır; 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayılarıdır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir karşılıklı olarak asal.

Tanım. Doğal sayılara denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.

48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayıralım ve şunu elde edelim:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan ilkinin açılımında yer alan faktörlerden, ikinci sayının açılımında yer almayanları (yani iki ikiyi) çıkarıyoruz.
Geriye kalan çarpanlar 2*2*3'tür. Çarpımları 12'ye eşittir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olur. Üç veya daha fazla sayının da en büyük ortak böleni bulunur.

Bulmak en büyük ortak böleni

2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.

Verilen sayıların tümü bunlardan birine bölünüyorsa bu sayı en büyük ortak böleni verilen rakamlar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15 sayısıdır, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.

En küçük ortak kat (LCM)

Tanım. En küçük ortak kat (LCM) a ve b doğal sayıları hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımında eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 şeklinde beş çarpan elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.

Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını da bulurlar.

İle en küçük ortak katları bul birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğunu unutmayın.
Örneğin 12, 15, 20 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.

Pisagor (MÖ VI. yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit olan (sayı hariç) bir sayıya mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336'dır. Pisagorcular yalnızca ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. N. e. Beşincisi (33.550.336) 15. yüzyılda bulundu. 1983 yılına gelindiğinde 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak bilim adamları hala tek mükemmel sayıların mı yoksa en büyük mükemmel sayıların mı olduğunu bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da asal sayıların bir çarpımı olarak temsil edilebilmesinden kaynaklanmaktadır; yani. asal sayılar, diğer doğal sayıların inşa edildiği tuğlalar gibidir.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - serinin bazı kısımlarında daha fazla, bazılarında ise daha az vardır. Ancak sayı dizisinde ne kadar ilerlersek, asal sayılar o kadar az yaygın olur. Şu soru ortaya çıkıyor: Son (en büyük) bir asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Elementler” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayının olduğunu, yani her asal sayının arkasında daha da büyük bir asal sayının bulunduğunu kanıtladı. sayı.
Asal sayıları bulmak için aynı dönemdeki bir başka Yunan matematikçi Eratosthenes bu yöntemi ortaya attı. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı, sonra ne asal ne de bileşik sayı olan bir sayının üzerini çizdi, sonra 2'den sonra gelen tüm sayıların (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8, vb.). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Daha sonra ikiden sonra 3'ten sonra gelen tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) üzeri çizildi. sonunda yalnızca asal sayılar çaprazlanmadan kaldı.

Doğal sayıların En Küçük Ortak Katını (LCD) ve En Büyük Ortak Bölenini (GCD) bulma.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımındaki eksik çarpan 5'i ekleyelim. Şunu elde ederiz: 2*2*3*5*5=300. NOC'yi bulduk, yani. bu miktar = 300. Boyutu unutmayın ve cevabı yazın:
Cevap: Annem 300 ruble veriyor.

GCD tanımı: En Büyük Ortak Bölen (GCD) doğal sayılar A Ve V en büyük doğal sayıyı çağır C, neye A, Ve B kalansız bölünür. Onlar. C en küçük doğal sayıdır ve A Ve B katlardır.

Hafıza: Doğal sayıları tanımlamaya yönelik iki yaklaşım vardır

kullanılan sayılar: nesnelerin listelenmesi (numaralandırılması) (birinci, ikinci, üçüncü, ...); - okullarda genellikle böyledir.
öğe sayısının belirlenmesi (Pokemon yok - sıfır, bir Pokemon, iki Pokemon, ...).

Negatif ve tam sayı olmayan (rasyonel, reel,...) sayılar doğal sayı değildir. Bazı yazarlar doğal sayılar kümesine sıfırı eklerken bazıları koymaz. Tüm doğal sayılar kümesi genellikle sembolüyle gösterilir. N

Hafıza: Bir doğal sayının böleni A numarayı adlandır B, neye A kalansız bölünür. Bir doğal sayının katları B doğal bir sayıyı aramak A ile bölünebilen B iz bırakmadan. eğer sayı B- sayı bölen A, O A sayının katları B. Örnek: 2, 4'ün bölenidir ve 4, ikinin katıdır. 3, 12'nin bölenidir ve 12, 3'ün katıdır.
Hafıza: Doğal sayılar, yalnızca kendilerine ve 1'e kalansız olarak bölünebiliyorsa asal sayılar olarak adlandırılır. Eş-asal sayılar, yalnızca bir ortak böleni 1'e eşit olan sayılardır.

Genel durumda bir GCD'nin nasıl bulunacağının tanımı: GCD'yi (En Büyük Ortak Bölen) bulmak için birkaç doğal sayıya ihtiyaç vardır:
1) Bunları asal çarpanlara ayırın. (Asal Sayılar Tablosu bunun için çok yararlı olabilir.)
2) Bunlardan birinin açılımında yer alan faktörleri yazınız.
3) Kalan sayıların açılımına dahil olmayanların üzerini çizin.
4) Adım 3)'te elde edilen faktörleri çarpın.

Sorun 2 (NOK): Kolya Puzatov, yeni yıl için şehirden 48 hamster ve 36 cezve satın aldı. Sınıfın en dürüst kızı olan Fekla Dormidontova'ya, bu mülkü öğretmenler için mümkün olan en fazla sayıda hediye setine bölme görevi verildi. Kaç set aldın? Setlerin içeriği nedir?

Örnek 2.1. GCD bulma problemini çözme. Seçimle GCD'yi bulma.
Çözüm: 48 ve 36 sayılarının her birinin hediye sayısına bölünmesi gerekmektedir.
1) 48: 48, 24, 16'nın bölenlerini yazın. 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) 36:36, 18'in bölenlerini yazınız. 12 , 9, 6, 3, 2, 1 En büyük ortak böleni seçin. Whoa-la-la! Set sayısının 12 adet olduğunu tespit ettik.
3) 48'i 12'ye bölerek 4'ü, 36'yı 12'ye bölerek 3'ü elde edin. Boyutu unutmayın ve cevabı yazın:
Cevap: Her sette 12 takım 4 hamster ve 3 cezve alacaksınız.

En büyük ortak böleni

Tanım 2

Eğer bir a doğal sayısı bir $b$ doğal sayısı ile bölünebiliyorsa, o zaman $b$'ye $a$'ın böleni denir ve $a$'a $b$'ın katı denir.

$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun. $c$ sayısına hem $a$ hem de $b$'ın ortak böleni denir.

$a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi sonludur çünkü bu bölenlerin hiçbiri $a$'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında, $a$ ve $b$ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan ve aşağıdaki gösterimle gösterilen en büyük bölenin olduğu anlamına gelir:

$GCD\(a;b)\ veya \D\(a;b)$

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için ihtiyacınız olan:

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

örnek 1

$121$ ve $132.$ sayılarının gcd'sini bulun

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Bu sayıların genişletilmesine dahil olan sayıları seçin

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

$GCD=2\cdot 11=22$

Örnek 2

$63$ ve $81$ tek terimlilerinin gcd'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için:

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçiyoruz

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2. adımda bulduğumuz sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenilen en büyük ortak bölen olacaktır.

$GCD=3\cdot 3=9$

İki sayının gcd'sini, sayıların bölenleri kümesini kullanarak başka bir şekilde bulabilirsiniz.

Örnek 3

$48$ ve $60$ sayılarının gcd'sini bulun.

Çözüm:

$48$ sayısının bölenleri kümesini bulalım: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Şimdi $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ sayısının bölenleri kümesini bulalım $

Bu kümelerin kesişimini bulalım: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - bu küme $48$ ve $60 sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir. $. Bu kümedeki en büyük öğe $12$ sayısı olacaktır. Bu, $48$ ve $60$ sayılarının en büyük ortak böleninin $12$ olduğu anlamına gelir.

Takipteki kredilerin tanımı

Tanım 3

Doğal sayıların ortak katları$a$ ve $b$, hem $a$ hem de $b$'ın katı olan bir doğal sayıdır.

Sayıların ortak katları, orijinal sayılara kalansız bölünebilen sayılardır. Örneğin, $25$ ve $50$ sayıları için ortak katlar, $50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.

En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılacak ve LCM$(a;b)$ veya K$(a;b).$ ile gösterilecektir.

İki sayının LCM'sini bulmak için yapmanız gerekenler:

Sayıları asal çarpanlara ayırma
Birinci sayının parçası olan çarpanları yazın ve onlara ikincinin parçası olan ve birincinin parçası olmayan çarpanları ekleyin.

Örnek 4

$99$ ve $77$ sayılarının LCM'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için

Sayıları asal çarpanlara ayırma

$99=3\cdot 3\cdot 11$

İlk maddede yer alan faktörleri yazınız.

bunlara birincinin parçası olmayan, ikincinin parçası olan çarpanları ekleyin

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en küçük ortak kat olacaktır.

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sayıların bölenlerinin listesini derlemek genellikle çok emek yoğun bir iştir. Öklid algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.

Öklid algoritmasının dayandığı ifadeler:

$a$ ve $b$ doğal sayılarsa ve $a\vdots b$ ise, o zaman $D(a;b)=b$

$a$ ve $b$, $b olacak şekilde doğal sayılar ise

$D(a;b)= D(a-b;b)$ kullanarak, biri diğerine bölünebilecek bir sayı çiftine ulaşana kadar söz konusu sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $a$ ve $b$ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

GCD ve LCM'nin Özellikleri

$a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak katı K$(a;b)$ ile bölünebilir
Eğer $a\vdots b$ ise К$(a;b)=a$

Eğer K$(a;b)=k$ ve $m$ bir doğal sayı ise, o zaman K$(am;bm)=km$

Eğer $d$, $a$ ve $b$ için ortak bir bölen ise, o zaman K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Eğer $a\vdots c$ ve $b\vdots c$ ise, o zaman $\frac(ab)(c)$ $a$ ve $b$'ın ortak katıdır

Herhangi bir $a$ ve $b$ doğal sayısı için eşitlik geçerlidir

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ ve $b$ sayılarının herhangi bir ortak böleni, $D(a;b)$ sayısının bölenidir

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,p k- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,d k Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle, LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya içinde yer almayan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha az kez;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanlarına (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) eklenir, elde edilen çarpım (84), 21 ve 28'e bölünebilen en küçük sayı olacaktır.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları, 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır; sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı, en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).