Fonksiyonun grafiği biliniyorsa, y = f(kx) fonksiyonunun grafiği nasıl oluşturulur - Bilgi Hipermarketi. Ders "Y = f(x) fonksiyonunun grafiği biliniyorsa, y = f(kx) fonksiyonunun grafiği nasıl çizilir"

Video dersinde sunulan materyal, çeşitli dönüşümler kullanarak fonksiyonların grafiklerini oluşturma konusunun devamıdır. Bir fonksiyonun grafiğinin nasıl çizildiğine bakacağız y=F(kx), eğer fonksiyonun grafiği biliniyorsa y=F(X) . Bu durumda k- sıfıra eşit olmayan herhangi bir gerçek sayı.

İlk önce durumu ele alalım k- pozitif sayı. Örneğin, fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım y=F(3 X) , bir fonksiyonun grafiği ise y=F(X) sahibiz. Şekil koordinat ekseninde bir grafiği göstermektedir y=F(X), üzerinde A ve B koordinatlarına sahip noktaların bulunduğu. Rasgele değerlerin seçilmesi X ve bunları fonksiyona yerleştirmek y=F(3 X), karşılık gelen fonksiyon değerlerini bulun en. Böylece fonksiyonun grafik noktalarını elde ederiz. y=F(3 X) Ordinatları A ve B noktalarının koordinatları ile aynı olan A 1 ve B 1. Yani fonksiyonun grafiğinden şunu söyleyebiliriz. y=F(X) bir katsayı ile sıkıştırılarak k ordinat eksenine doğru fonksiyonun bir grafiğini alabilirsiniz y=F(kx) . Sıkıştırma sırasında ordinat ekseniyle kesişme noktalarının aynı yerde kalmasına dikkat etmek önemlidir.

Durumunda k- negatif sayı, bir fonksiyonun grafiği y=F(kx) bir fonksiyonun grafiğinden dönüştürüldü y=F(X) ordinat ekseninden bir katsayı ile gerilerek 1/ k.

1) ilk önce fonksiyon grafiğinin dalgasının bir kısmı çizilir y =günahX(resmi görmek);

2) çünkü k= 2, fonksiyon grafiği sıkıştırılmıştır y=sinx ordinat eksenine göre sıkıştırma oranı 2'dir. Eksenle kesişme noktasını bulun X. Çünkü bir fonksiyonun grafiği y =günahX x eksenini π noktasında kesiyorsa, fonksiyonun grafiği y =günah 2X x eksenini π/k = π/2 noktasında keser. Fonksiyonun grafiğindeki diğer tüm noktalar benzer şekilde bulunur. y =günah 2x ve grafiğin tamamı bu noktalardan oluşturulmuştur.

2. örneği ele alalım - bir fonksiyonun grafiğini çizme y =çünkü(x/2).

1) y = cos fonksiyonunun dalga grafiğinin bir kısmını oluşturun X(resmi görmek);

2) çünkü k=1/2, fonksiyonun grafiğini genişletin y =günahX ordinat ekseninden ½ faktörüyle.

Grafiğin eksenle kesişme noktasını bulalım X. Çünkü bir fonksiyonun grafiği y =çünküX x eksenini π/2 noktasında kesiyorsa, fonksiyonun grafiği y =çünkü(x/2) x eksenini π noktasında kesiyor. Aynı şekilde fonksiyon grafiğinin diğer tüm noktalarını buluyoruz y =çünkü(x/2), grafiğin tamamını bu noktalara göre oluşturalım.

Daha sonra, fonksiyonun grafiğini oluşturma seçeneğini düşünün sen= F(kx), Nerede k- sayı negatif. Örneğin, ne zaman k= -1 işlevi sen= F(kx) = F(- X). Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(X),üzerinde A ve B koordinatlarına sahip noktaların bulunduğu. X'in keyfi değerlerini seçip bunları fonksiyona yerleştirerek sen= F(- X), karşılık gelen fonksiyon değerlerini bulun en. Fonksiyonun grafik noktalarını alalım sen= F(- X) A 1 ve B 1, ordinat eksenine göre A ve B noktalarına simetrik olacaktır. Yani, fonksiyonun grafiğinden ordinat eksenine göre simetri kullanıldığında y=F(kx) fonksiyonun grafiğini alıyoruz y=F(- X).

Fonksiyonun grafiğini çizmeye devam edelim sen= F(kx) k'de<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) grafiğin dalgasının bir kısmını çizelim y =günahX;

2) çünkü k= 4, grafiğin yarım dalgasını apsis eksenine göre uzatalım, burada germe faktörü 4'tür;

3) apsis eksenine göre simetrik bir dönüşüm gerçekleştirin;

4) ordinat ekseninden gerilme (uzama katsayısı 2'dir);

5) grafiğin tamamının oluşturulmasını tamamlayın.

Bu video eğitiminde, bir fonksiyonun grafiğini adım adım nasıl oluşturabileceğinizi ayrıntılı olarak inceledik. y=F(kx) farklı değerlerde k.

METİN KOD ÇÖZME:

Bugün y = f (kx) fonksiyonunun grafiğini nasıl çizeceğinizi öğrenmenize yardımcı olacak bir dönüşümle tanışacağız.

(y, ka ve x'in çarpımını temsil eden argümanın etkisine eşittir), eğer y = f(x) fonksiyonunun grafiği biliniyorsa (y, x'in ef'sine eşittir), burada ka, herhangi bir gerçek sayı (sıfır hariç).

1) Belirli bir örnek kullanarak k'nin pozitif bir sayı olduğu, k = 3 durumunu düşünün. Yani, fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekir.

y = f (3x) (y, üç x'in etkisine eşittir), eğer y = f(x) fonksiyonunun grafiği biliniyorsa. y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde koordinatları (6; 5) olan bir A ve koordinatları (-3; 2) olan bir B noktası olsun. Bu, f (6) = 5 ve f (- 3) = 2 anlamına gelir (altının ef'si beş ve eksi üçün ef'i ikidir). y = f(3x) fonksiyonunun grafiğini oluştururken bu noktaların hareketini takip edelim.

Rastgele bir x = 2 değeri alalım, y = f (3x) fonksiyonunun grafiğinde x'in değerini yerine koyarak y'yi hesaplayalım, y = 5 elde ederiz. (ekranda: y = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​Yani y = f (3x) fonksiyonunun grafiğinde A 1 koordinatları (2; 5) olan bir nokta vardır. Eğer x = - 1 ise, x'in değerini y = f (3x) fonksiyonunun grafiğinde yerine koyarsak, y = 2 değerini elde ederiz.

(Ekranda: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Yani y = f (3x) fonksiyonunun grafiğinde B 1 (- 1; 2) koordinatlarına sahip bir nokta vardır. Yani, y = f (3x) fonksiyonunun grafiğinde, y = f (x) fonksiyonunun grafiğiyle aynı ordinatlara sahip noktalar bulunurken, noktanın apsisi mutlak değerde iki kat daha küçüktür.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine geçtiğimizde aynı durum y = f(x) fonksiyonunun grafiğindeki diğer noktalar için de geçerli olacaktır.

Tipik olarak böyle bir dönüşüme y eksenine (y ekseni) 3 faktörüyle sıkıştırma adı verilir.

Sonuç olarak y = f (kx) fonksiyonunun grafiği, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin k katsayısı ile y eksenine sıkıştırılmasıyla elde edilir. Böyle bir dönüşümle, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin ordinatla kesişme noktasının yerinde kaldığına dikkat edin.

Eğer k birden küçükse, o zaman k katsayısıyla sıkıştırmadan değil, y ekseninden bir katsayıyla gerilmeden bahsediyoruz (yani k = ise 4 katsayısıyla gerilmeden bahsediyoruz) ).

ÖRNEK 1. y = sin 2x fonksiyonunun grafiğini oluşturun (y, iki x'in sinüsüne eşittir).

Çözüm. Öncelikle sıfırdan pi'ye kadar olan aralıkta y = sin x grafiğinin yarım dalgasını oluşturalım. Katsayı ikiye eşit olduğundan, yani k birden büyük pozitif bir sayı olduğundan, y = sin x fonksiyonunun grafiğini 2 katsayısıyla ordinat eksenine sıkıştıracağız. OX ekseni ile kesişme noktasını bulun . y = sin x fonksiyonunun grafiği OX eksenini π noktasında kesiyorsa, o zaman y = sin 2x fonksiyonunun grafiği (π: k =π: 2 =) noktasında kesişecektir (pi bölü pi eşittir pi'nin ikiye bölümü pi'nin ikiye bölünmesine eşittir) . Benzer şekilde y = sin2 x fonksiyonunun grafiğinin diğer tüm noktalarını bulacağız. Böylece, y = sin x fonksiyonunun grafiğinde koordinatları (;1) olan bir nokta, y = sin 2x fonksiyonunun grafiğinde koordinatları (;1) olan bir noktaya karşılık gelecektir. Böylece y = sin 2x fonksiyonunun grafiğinin bir yarım dalgasını elde ederiz. Fonksiyonun periyodikliğini kullanarak grafiğin tamamını oluşturacağız.

ÖRNEK 2. y = cos fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun (y, x ve iki bölümünün kosinüsüne eşittir).

Çözüm. Öncelikle y = cos x grafiğinin yarım dalgasını oluşturalım. k, e birden küçük pozitif bir sayı olduğundan, y = cos x fonksiyonunun grafiğini ordinattan 2 çarpanıyla genişleteceğiz.

OX ekseni ile kesişme noktasını bulalım. y = cos x fonksiyonunun grafiği OX eksenini bir noktada kesiyorsa, y = cos fonksiyonunun grafiği π noktasında kesişecektir. (: k =π: = π). Benzer şekilde y = cos fonksiyonunun grafiğinin diğer tüm noktalarını bulacağız. Böylece fonksiyonun istenen grafiğinin bir yarım dalgasını elde ederiz. Fonksiyonun periyodikliğini kullanarak grafiğin tamamını oluşturacağız.

k'nin eksi bire eşit olduğu durumu ele alalım. Yani, y = f (-x) fonksiyonunun grafiği biliniyorsa, y = f (-x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmanız gerekir (y, eff eksi x'e eşittir), eğer y = f (x) fonksiyonunun grafiği biliniyorsa. Grafikte koordinatları (4; 5) olan bir A noktası ve bir B (-5; 1) noktası olsun. Bu, f(4) = 5 ve f(-5) = 1 anlamına gelir.

Formülde x = - 4 yerine y = f (-x) yazdığımızda y = f (4) = 5 elde ettiğimiz için, y = f (-x) fonksiyonunun grafiğinde şu şekilde bir nokta vardır: koordinatlar A 1

(- 4; 5) (eksi dört, beş). Benzer şekilde y = f (-x) fonksiyonunun grafiği de B 1 (5; 1) noktasına aittir, yani y = f (x) fonksiyonunun grafiği A (4; 5) ve B noktalarına aittir. (-5; 1) ve y = f (-x) fonksiyonunun grafiği A 1 (- 4; 5) ve B 1 (5; 1) noktalarına aittir. Bu nokta çiftleri ordinat eksenine göre simetriktir.

Sonuç olarak, y = f (-x) fonksiyonunun grafiği, ordinat eksenine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak y = f (x) fonksiyonunun grafiğinden elde edilebilir.

3) Ve son olarak k'nin negatif bir sayı olduğu durumu düşünün. f (kx) = f (- |k|x) (ka'nın x çarpımından eff, ka ve x'in eksi modülünün çarpımından ef'ye eşittir) eşitliğinin adil olduğunu düşünürsek, o zaman şunu inşa etmekten bahsediyoruz: y = f (- |k |x) fonksiyonunun adım adım oluşturulabilen bir grafiği:

1) y = f (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun;

2) oluşturulan grafiği |k| katsayısıyla ordinat eksenine göre sıkıştırmaya veya uzatmaya tabi tutun. (modül ka);

3) y ekseni etrafında bir simetri dönüşümü gerçekleştirin

(Y) grafiğin ikinci paragrafında elde edilmiştir.

ÖRNEK 3. y = 4 sin (-) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun (y, dört çarpı bölümün sinüsü eksi x ile ikiye eşittir).

Çözüm. Öncelikle sin(- t) = -sint (eksi te'nin sinüsü eksi sinüs te'ye eşittir) olduğunu unutmayın, bu da y = 4 sin (-) = - 4 sin (y eksi dört katına eşittir) anlamına gelir. kısmi x'in sinüsü iki). Aşamalar halinde inşa edeceğiz:

1) у= sinх fonksiyonunun grafiğinin bir yarım dalgasını oluşturalım.

2) Oluşturulan grafiği x ekseninden 4 kat uzatalım ve fonksiyon grafiğinin bir yarım dalgasını elde edelim.

y = 4sinx (E dört çarpı sinüs x'e eşittir).

3) y= 4sinх fonksiyonunun grafiğinin oluşturulmuş yarım dalgasına x(x) eksenine göre bir simetri dönüşümü uygulayın ve y= - 4sinx fonksiyonunun grafiğinin yarım dalgasını elde edin.

4) y = - 4sinх fonksiyonunun grafiğinin yarım dalgası için, onu ordinat ekseninden 2 faktörüyle uzatacağız; fonksiyonun grafiğinin yarım dalgasını elde ederiz - 4 sin.

5) Ortaya çıkan yarım dalgayı kullanarak grafiğin tamamını oluşturacağız.

>> Fonksiyonun grafiği biliniyorsa, y = f(kx) fonksiyonunun grafiği nasıl oluşturulur?

§13. Fonksiyonun grafiği biliniyorsa, y = f(kx) fonksiyonunun grafiği nasıl çizilir

Bu bölümde, bilmeye izin veren başka bir dönüşümle tanışacağız. takvim y = f(x) fonksiyonları ile oldukça hızlı bir şekilde y = f(Ax) fonksiyonunun grafiğini oluşturun; burada k herhangi bir gerçek sayıdır (sıfır hariç). Birkaç durumu ele alalım.

Görev 1. y = f(x) fonksiyonunun grafiğini bilerek, k pozitif bir sayı olmak üzere y - f(kx) fonksiyonunun grafiğini oluşturun.
Konunun özünü anlamanızı kolaylaştırmak için k = 2 durumuna özel bir örnek düşünün. Y = f(x) fonksiyonunun grafiği biliniyorsa, y = f(2x) fonksiyonunun grafiği nasıl oluşturulur?

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde (4; 7) ve (-2; 3) noktaları olsun. Bu, f(4) = 7 ve f(-2) = 3 anlamına gelir. y = f(2x) fonksiyonunun grafiğini çizdiğimizde noktalar nereye hareket eder? Bakın (Şekil 50): eğer x = 2 ise, o zaman y = f(2x) = f(2 2) = f(4) = 7. Bu, y = f(2x) fonksiyonunun grafiğinde olduğu anlamına gelir. bir nokta (2; 7). Ayrıca, eğer x = -1 ise, o zaman y = f(2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Bu, y = f(2x) fonksiyonunun grafiğinde bir nokta olduğu anlamına gelir. (-1; 3) . Yani, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde (4; 7) ve (-2; 3) noktaları vardır ve y = f(2x) fonksiyonunun grafiğinde (2; 7) noktaları vardır. ) ve (- 1; 3) , yani. Aynı koordinata sahip noktalar.

ancak apsisin iki katı kadar küçüktür (mutlak değer olarak). y = f(x) fonksiyonunun grafiğine geçtiğimizde, y = f(x) fonksiyonunun grafiğindeki diğer noktalar için de aynı durum geçerlidir (Şekil 51). Bu dönüşüme genellikle 1 katsayılı 2 ile y eksenine sıkıştırma adı verilir.

Genel olarak y = f(kx) fonksiyonunun grafiği, y-f(x) fonksiyonunun grafiğinden k katsayısıyla y eksenine sıkıştırılarak elde edilir. Bu dönüşümle grafiğin kesişme noktasının olduğuna dikkat edin. y = f(x) fonksiyonunun y ekseniyle ilişkisi (eğer x = 0 ise kx = 0).

Ancak eğer< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Örnek 1. Fonksiyon grafikleri oluşturun:

Çözüm: a) y = sin x fonksiyonunun yarım dalga grafiğini oluşturalım ve onu y ekseninden 2 faktörüyle uzatalım; fonksiyonun istenen grafiğinin bir yarım dalgasını elde ederiz (Şekil 52). Daha sonra grafiğin tamamını oluşturacağız (Şekil 53).

B) y = cos x fonksiyonunun yarım dalga grafiğini oluşturalım ve bunu 2 faktörüyle y eksenine sıkıştıralım; y=cos 2x fonksiyonunun istenen grafiğinin bir yarım dalgasını elde ederiz (Şekil 54). Daha sonra grafiğin tamamını oluşturacağız (Şekil 55).

Görev 2. y = f(x) fonksiyonunun grafiğini bilerek, k = -1 olmak üzere y = f(kx) fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Başka bir deyişle y = f(-x) fonksiyonunun grafiğini oluşturmaktan bahsediyoruz.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde (3; 5) ve (-6; 1) noktaları olduğunu varsayalım. Bu, f(3) = 5 ve f(-6) = 1 anlamına gelir. Buna göre, y = f(-x) fonksiyonunun grafiğinde bir (-3; 5) noktası vardır, çünkü yerine koyarken formül y = f(-x) değerleri x = -3 elde ederiz y = f(3) = 5. Benzer şekilde y = f(-x) fonksiyonunun grafiğinin (6; 1) noktasına ait olduğuna ikna oluruz. ).

Yani y = f(x) fonksiyonunun grafiğine ait (3; 5) noktası, y = f(-x) fonksiyonunun grafiğine ait (-3; 5) noktasına karşılık gelir; y = f(x) fonksiyonunun grafiğine ait (-6; 1) noktası, y = f(-x) fonksiyonunun grafiğine ait (6; 1) noktasına karşılık gelir. Bu nokta çiftleri y eksenine göre simetriktir (Şekil 56).

Bu argümanları özetleyerek şu sonuca varıyoruz: y = f(-x) fonksiyonunun grafiği, y ekseni etrafında bir simetri dönüşümü kullanılarak "y = f(x) fonksiyonunun grafiğinden elde edilebilir.

Yorum. Eğer y = f(-x) fonksiyonunun grafiğini çizmekten bahsediyorsak, genellikle ilk önce y = f(x) fonksiyonunun çift mi yoksa tek mi olduğunu kontrol ederiz. Eğer y = f(x) çift fonksiyon ise; f(-x)= f(x) ise y = f(-x) fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile çakışır. Eğer y = f(x) tek bir fonksiyon ise; f(-x) = -f(x) ise, y = f(-x) fonksiyonunun grafiği yerine y = -f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturabilirsiniz.

Görev 3. y = f(x) fonksiyonunun grafiğini bilerek, k negatif bir sayı olmak üzere y = f(kx) fonksiyonunun grafiğini oluşturun.
Bu durumda f(kx) = f(-\k\x) eşitliği doğru olduğundan, y = f(-\k\x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmaktan bahsediyoruz. Bu üç adımda yapılabilir:

1) y = f (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun;
2) y eksenine doğru sıkıştırmasını (veya germesini) | katsayısı ile gerçekleştirin. için |;
3) sıkıştırılmış (veya uzatılmış) grafiği y ekseni etrafında bir simetri dönüşümüne tabi tutun.

Örnek 2. y = -3 cos (~2x) fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

Çözüm.Öncelikle cos (-2x) = cos2x olduğuna dikkat edin.
1) y = cosx fonksiyonunun bir grafiğini veya daha kesin olarak grafiğin bir yarım dalgasını oluşturalım (Şekil 57a. Tüm ön yapılar noktalı çizgilerle gösterilmiştir).
2) Oluşturduğumuz grafiği x ekseninden 3 kat uzatalım; y=3cos x fonksiyonunun grafiğinin bir yarım dalgasını elde ederiz.
3) y = 3 cos x fonksiyonunun grafiğinin oluşturulmuş yarım dalgasını x eksenine göre bir simetri dönüşümüne tabi tutalım; y = -Зсоs x fonksiyonunun grafiğinin yarım dalgasını elde ederiz.
4) y = -3cos x fonksiyonunun grafiğinin yarım dalgası için 2 çarpanıyla y eksenine sıkıştıralım; y = -Зсоs2х fonksiyonunun grafiğinin yarım dalgasını elde ederiz (Şekil 57a'daki düz çizgi).
5) Ortaya çıkan yarım dalgayı kullanarak grafiğin tamamını oluşturacağız (Şekil 576).

A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda Matematik indir

2. Eğer 0 ise< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Şekil 3.8). Böylece fonksiyonun grafiği sıkıştırılır veya genişletilir.

YY

sen

sen

0 x X 0 x X

Pirinç. 3.7 Şek. 3.8

Kural 2. k > 1 olsun. O zaman f(kx) fonksiyonunun grafiği, f(x) fonksiyonunun grafiğinden OX ekseni boyunca k kez sıkıştırılarak (başka bir deyişle: OY eksenine sıkıştırılarak) elde edilir. k kez).

0 olsun< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Örnekler. Fonksiyon grafiklerini oluşturun: 1)
Ve
;

2)
Ve
.

YY

s/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Pirinç. 3.9 Şek. 3.10

Yorum. Lütfen dikkat: dönem OY ekseninde yatan yerinde kalır. Aslında, f(x) grafiğinin her N(0, y) noktasına karşılık gelen bir nokta vardır.
grafikf(kx).

Bir fonksiyonun grafiği
fonksiyonun grafiğinin genişletilmesiyle elde edilir
OY ekseninden 2 kat. Aynı zamanda tekrar işaret edin değişmeden kalır (Şekil 3.9'daki eğri (3)).

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi y=f(-x).

f(x) ve f(-x) fonksiyonları, x argümanının zıt değerleri için eşit değerler alır. Sonuç olarak, grafiklerinin N(x;y) ve M(-x;y) noktaları OY eksenine göre simetrik olacaktır.

Kural 3. Bir f(-x) grafiği oluşturmak için f(x) fonksiyonunun grafiğini OY eksenine göre yansıtmanız gerekir.

Örnekler. Grafik fonksiyonları
Ve
.

Çözümler Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.11 ve 3.12.

e
e

Pirinç. 3.11 Şek. 3.12

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi y=f(-kx), burada k > 0.

Kural 4. Kural 2'ye göre y=f(kx) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz. f(kx) fonksiyonunun grafiği kurala uygun olarak OY ekseninden yansıtılıyor

hurda 3. Sonuç olarak, f(-kx) fonksiyonunun bir grafiğini elde ederiz.

Örnekler. Grafik fonksiyonları

.

Çözümler Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.13 ve 3.14.

P

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Pirinç. 3.13 Şek. 3.14

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
, burada A > 0. Eğer A > 1 ise her değer için
Belirli bir fonksiyonun ordinatı, f(x) ana fonksiyonunun ordinatından A kat daha büyüktür. Bu durumda, f(x) grafiği OY ekseni boyunca (başka bir deyişle OX ekseninden) A kez uzatılır.

0 ise< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в OY ekseni boyunca (veya OX ekseninden itibaren) kez.

Kural 5. A > 1 olsun. O zaman fonksiyonun grafiği
f(x) grafiğinden OY ekseni boyunca (veya OX ekseninden) A kez uzatılarak elde edilir.

0 olsun< A < 1. Тогда график функции
f(x) grafiğinden sıkıştırılarak elde edilir OY ekseni boyunca (veya OX eksenine) kez.

Örnekler. Fonksiyon grafiklerini oluşturma 1)
,
ve 2)
,

.

e
e

2

1

1
0 p/2 p p/3 p x

Pirinç. 3.15 Şekil. 3.16

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
.

Her biri için
f(x) fonksiyonunun N(x,y) ve -f(x) fonksiyonunun M(x, -y) noktaları OX eksenine göre simetriktir, dolayısıyla kuralı elde ederiz.

Kural 6. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için
Bir programa ihtiyacım var
OX eksenine göre ayna.

Örnekler. Grafik fonksiyonları
Ve
(Şekil 3.17 ve 3.18).

YY

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Pirinç. 3.17 Şek. 3.18

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
, burada A>0.

Kural 7. Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma
, burada A>0, kural 5'e göre. Ortaya çıkan grafik, kural 6'ya uygun olarak OX ekseninden yansıtılır.

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
.

Eğer B>0 ise her biri için
verilen fonksiyonun ordinatı f(x)'in ordinatından B birim büyüktür. Eğer B<0, то для каждого
ilk fonksiyonun koordinatı şu şekilde azaltılır: birimler f(x) ordinatına göre karşılaştırılır. Böylece kuralı elde etmiş oluyoruz.

Kural 8. Bir fonksiyonu çizmek için
y=f(x) grafiğine göre bu grafik OY ekseni boyunca B>0 ise B birim yukarıya doğru hareket ettirilmelidir veya birimler aşağı ifB<0.

Örnekler. Fonksiyonların grafiklerini oluşturun: 1) ve

2)
(Şekil 3.19 ve 3.20).

e

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Pirinç. 3.19 Şek. 3.20

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma şeması .

Öncelikle fonksiyonun denklemini formda yazıyoruz.
ve belirtmek
. Daha sonra fonksiyonun grafiğini aşağıdaki şemaya göre oluşturuyoruz.

Ana fonksiyonun f(x) grafiğini oluşturuyoruz.

Kural 1'e uygun olarak bir f(x-a) grafiği oluşturuyoruz.

f(x-a) grafiğini, k'nin işaretini hesaba katarak, kural 2-4'e göre sıkıştırarak veya uzatarak, f fonksiyonunun bir grafiğini oluştururuz.

Lütfen dikkat: f(x-a) grafiği x=a düz çizgisine göre sıkıştırılmış veya uzatılmıştır (neden?)

Lütfen dikkat: Her yapım aşamasında önceki grafik, ana fonksiyonun grafiği görevi görür.

Örnek. Fonksiyonun grafiğini çizin
. Herek=-2 yani
. Tek parite verildiğinde
, sahibiz
.

(Şekil 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Pirinç. 3.21 Şek. 3.22

YY

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Pirinç. 3.23 Şek. 3.24

Görev 2.

Modül işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin çizilmesi.

Bu sorunun çözümü de birkaç aşamadan oluşuyor. Bu durumda modülün tanımını hatırlamanız gerekir:

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
.

Bu değerler için
, hangisi için
, irade
. Bu nedenle, burada fonksiyon grafikleri var
ve f(x) aynıdır. Aynısı için
, bunun için f(x)<0, будет
. Ancak -f(x) grafiği, f(x) grafiğinden OX ekseninden ayna yansımasıyla elde edilir. Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma kuralını elde ediyoruz
.

Kural 9. y=f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz. Bundan sonra, f(x) grafiğinin o kısmı, burada
, değiştirmeden bırakın ve f(x) olduğu kısmı bırakın<0, зеркально отражаем от оси OX.

Yorum. Lütfen programın
her zaman OX ekseninin üzerinde bulunur veya ona dokunur.

Örnekler. Grafik fonksiyonları

(Şekil 3.24, 3.25, 3.26).

YY

2

Pirinç. 3.25 Şek. 3.26

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
.

Çünkü
, O
yani grafiği OY eksenine göre simetrik olan bir çift fonksiyon verilmiştir.

Kural 10. y=f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziyoruz
. Oluşturulan grafiği OY ekseninden yansıtıyoruz. Daha sonra elde edilen iki eğrinin birleşimi fonksiyonun grafiğini verecektir.
.

Örnekler. Grafik fonksiyonları

(Şekil 3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Pirinç. 3.27 Şek. 3.28 Şekil. 3.29

Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
.

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma
Kural 10'a göre.

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma
Kural 9'a göre.

Örnekler. Grafik fonksiyonları
Ve
.

Grafiğin negatif kısmı OX ekseninden yansıtılmıştır. Takvim
Şekil 2'de gösterilmiştir. 3.30.

YY

2 0 2 x -1 0 1 x

Pirinç. 3.30 Şekil. 3.31

2. Fonksiyonun grafiğini oluşturun
(Şekil 3.29).

Grafiğin negatif kısmını OX ekseninden yansıtıyoruz. Takvim
Şekil 2'de gösterilmiştir. 3.31.

Modül işaretleri içeren bir fonksiyonun grafiğini çizerken, fonksiyonun sabit işaret aralıklarını bilmek çok önemlidir. Bu nedenle her sorunun çözümü bu aralıkların belirlenmesiyle başlamalıdır.

Örnek. Fonksiyonun grafiğini çizin
.

İhtisas . x+1 ve x-1 ifadelerinin işaretleri x=-1 ve x=1 noktalarında değişmektedir. Bu nedenle tanım alanını dört aralığa bölüyoruz:

x+1 ve x-1 işaretlerini hesaba katarsak,

;

;

.

Böylece fonksiyon modül işaretleri olmadan aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Fonksiyonlar
hiperbollere karşılık gelir ve y=2 fonksiyonu bir düz çizgiye karşılık gelir. Daha fazla inşaat noktalarla yapılabilir (Şekil 3.32).

e

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Yorum. X=0 olduğunda fonksiyonun tanımlanmadığını unutmayın. Fonksiyonun bu noktada bir süreksizlik yaşadığı söyleniyor. İncirde. 3.32'de bu oklarla işaretlenmiştir.

Görev 3.Çeşitli analitik ifadelerle tanımlanan bir fonksiyonun grafiğinin çizilmesi.

Önceki örnekte fonksiyon
bunu çeşitli analitik ifadelerle sunduk. Evet, arada
hiperbol kanununa göre değişir
; bu arada
x=0 dışında bu doğrusal bir fonksiyondur; bu arada
yine bir abartı yaşadık
. Gelecekte benzer işlevlerle sıklıkla karşılaşacağız. Basit bir örneğe bakalım.

A istasyonundan B istasyonuna giden tren güzergahı üç bölümden oluşuyor. İlk bölümde hızlanıyor yani aralıkta
onun hızı
, Nerede
. İkinci bölümde ise sabit bir hızla yani v=c ile hareket eder.
. Son olarak, fren yaparken hızı
. Böylece arada
hareket hızı yasalara göre değişir

Paralel aktarım.

Y EKSENİ BOYUNCA ÇEVİRME

f(x) => f(x) - b
Diyelim ki y = f(x) - b fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak istiyorsunuz. Bu grafiğin |b| üzerindeki tüm x değerleri için koordinatlarının olduğunu görmek kolaydır. b>0 ve |b| için y = f(x) fonksiyon grafiğinin karşılık gelen koordinatlarından küçük birimler birim daha fazla - b'de 0 veya yukarısı b'de y + b = f(x) fonksiyonunun grafiğini çizmek için, y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmalı ve x eksenini |b|'ye taşımalısınız. birimler b>0'da veya |b| b'de birimler aşağıda

ABSİS EKSENİ BOYUNCA TRANSFER

f(x) => f(x + a)
Diyelim ki y = f(x + a) fonksiyonunun grafiğini çizmek istiyorsunuz. Bir x = x1 noktasında y1 = f(x1) değerini alan y = f(x) fonksiyonunu düşünün. Açıkçası, y = f(x + a) fonksiyonu, koordinatı x2 + a = x1 eşitliğinden belirlenen x2 noktasında aynı değeri alacaktır, yani. x2 = x1 - a ve söz konusu eşitlik, fonksiyonun tanım alanındaki tüm değerlerin toplamı için geçerlidir. Bu nedenle, y = f(x + a) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca |a| ile paralel olarak hareket ettirilmesiyle elde edilebilir. a > 0 için birimler veya sağa |a| a için birimler y = f(x + a) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmalı ve ordinat eksenini |a|'ya taşımalısınız. a>0 veya |a| ile sağ tarafa doğru birimler birimler sola doğru

Örnekler:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Refleks.

Y = F(-X) FORMUNUN BİR FONKSİYONUNUN GRAFİĞİNİN OLUŞTURULMASI

f(x) => f(-x)
y = f(-x) ve y = f(x) fonksiyonlarının apsisleri mutlak değerde eşit fakat işaret olarak zıt olan noktalarda eşit değerler aldığı açıktır. Başka bir deyişle, y = f(-x) fonksiyonunun grafiğinin x'in pozitif (negatif) değerleri bölgesindeki koordinatları, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin koordinatlarına eşit olacaktır. mutlak değerde x'in karşılık gelen negatif (pozitif) değerleri için. Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz.
y = f(-x) fonksiyonunu çizmek için, y = f(x) fonksiyonunu çizmeli ve bunu ordinatlara göre yansıtmalısınız. Ortaya çıkan grafik, y = f(-x) fonksiyonunun grafiğidir.

Y = - F(X) FORMUNUN BİR FONKSİYONUNUN GRAFİĞİNİN OLUŞTURULMASI

f(x) => - f(x)
Bağımsız değişkenin tüm değerleri için y = - f(x) fonksiyonunun grafiğinin ordinatları mutlak değer olarak eşittir, ancak y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin ordinatlarına işaret açısından zıttır. argümanın aynı değerleri. Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz.
y = - f(x) fonksiyonunun bir grafiğini çizmek için, y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini çizmeli ve bunu x eksenine göre yansıtmalısınız.

Örnekler:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformasyon.

Y EKSENİ BOYUTUNDA GRAFİK DEFORMASYONU

f(x) => k f(x)
y = k f(x) formunda bir fonksiyon düşünün, burada k > 0. Bağımsız değişkenin eşit değerlerinde, bu fonksiyonun grafiğinin ordinatlarının, k > 0'ın ordinatlarından k kat daha büyük olacağını görmek kolaydır. k > 1 için y = f(x) fonksiyonunun grafiği veya k için y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin koordinatlarından 1/k kat daha az. y = k f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için ), y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmalı ve k > 1 için koordinatlarını k kat artırmalı (grafiği ordinat ekseni boyunca uzatmalı) veya k'de koordinatlarını 1/k kat azaltmalısınız.
k > 1- Öküz ekseninden uzanan
0 - OX eksenine sıkıştırma

ABSİSS EKSENİ BOYUNCA GRAFİK DEFORMASYONU

f(x) => f(k x)
k>0 olmak üzere y = f(kx) fonksiyonunun grafiğini çizmek gerekli olsun. Rasgele bir x = x1 noktasında y1 = f(x1) değerini alan y = f(x) fonksiyonunu düşünün. Koordinatı x1 = kx2 eşitliği ile belirlenen y = f(kx) fonksiyonunun x = x2 noktasında aynı değeri aldığı ve bu eşitliğin tüm değerlerin toplamı için geçerli olduğu açıktır. fonksiyonun tanım alanından x. Sonuç olarak, y = f(kx) fonksiyonunun grafiğinin, y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre apsis ekseni boyunca sıkıştırılmış olduğu (k 1 için) ortaya çıkar. Böylece kuralı elde etmiş oluyoruz.
y = f(kx) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmalı ve k>1 için apsislerini k kez azaltmalı (grafiği apsis ekseni boyunca sıkıştırmalısınız) veya artırmalısınız. k için apsisleri 1/k çarpı
k > 1- Oy eksenine sıkıştırma
0 - OY ekseninden uzanıyor