Büyük kesirler nasıl eklenir? Kesirler

§ 87. Kesirlerin eklenmesi.

Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.

Üç durumu sırasıyla ele alacağız:

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
3. Karışık sayıların eklenmesi.

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.

Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.

AB segmentini alalım (Şekil 17), bir olarak alalım ve 5 eşit parçaya bölelim, sonra bu segmentin AC kısmı AB segmentinin 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD segmentinin kısmı şuna eşit olacaktır: 2/5 AB.

Çizimden, AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı açıktır; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu terimler ve ortaya çıkan toplam göz önüne alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın değişmediğini görüyoruz.

Bundan aşağıdaki kuralı elde ederiz: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.

Kesirleri toplayalım: 3/4 + 3/8 Öncelikle en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekiyor:

6/8 + 3/8 ara bağlantısı yazılamadı; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.

Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için öncelikle bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı etiketlemelisiniz.

Bir örnek ele alalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörleri yazacağız):

3. Karışık sayıların eklenmesi.

Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.

Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:

Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:

§ 88. Kesirlerin çıkarılması.

Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Bir örneğe bakalım:

13 / 15 - 4 / 15

AB parçasını alalım (Şek. 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.

4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:

Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.

Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Örnek. 3/4 - 5/8

Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:

Ara madde 6/8 - 5/8 netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır, ancak daha sonra atlanabilir.

Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.

Bir örneğe bakalım:

3. Karışık sayılarda çıkarma.

Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.

Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:

Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ancak, çıkarılanın kesirli kısmının azaltılanın kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:

§ 89. Kesirlerin çarpımı.

Kesir çarpmasını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her bir terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.

Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:

Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,

Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için

veya paydasını azaltarak , eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.

Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür problemlere örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.

Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların maliyeti ne kadardı?

Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?

Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda kaç tane tuğla ev var?

Bunlar, belirli bir sayının bir kısmını bulmayla ilgili karşılaştığımız birçok sorundan bazılarıdır. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.

Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:

Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:

300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).

300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü ikiye katlamanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:

100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).

Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,

400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).

400'ün dörtte üçünü hesaplamak için elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:

100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).

Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:

Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.

3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.

Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.

Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.

Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.

Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıkça anlaşılmaktadır: bir tamsayıyı (çarpan) bir kesirle (çarpan) çarpmak, çarpımın bu kesirini bulmak anlamına gelir.

Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.

Ancak şimdi ilginç ve önemli bir soru ortaya çıkıyor: Eşit sayıların toplamını bulmak ve bir sayının kesirini bulmak gibi görünüşte farklı olan işlemlere neden aritmetikte aynı "çarpma" kelimesi denir?

Bunun nedeni, önceki eylemin (bir sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (bir sayının kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden hareket ettiğimiz anlamına gelir.

Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?

Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).

Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 m'si ne kadara mal olur?”

Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.

Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.

Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.

Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?

Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:

Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.

50'nin 1/4'ü 50/4;

50 sayısının 3/4'ü

Buradan.

Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?

12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,

12 sayısının 5/8'i .

Buradan,

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.

Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.

Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:

4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir, yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden itibaren faktörde yer alan kesri (çarpan) bulmanız gerekir.

Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.

Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?

Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.

3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:

5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:

Böylece,

Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.

5/8'in 1/9'u,

5/8 sayısının 4/9'u .

Böylece,

Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:

Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.

Bu kural genel şekliyle şu şekilde yazılabilir:

Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:

5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı sayıların çarpılmasında kullanılır. Bu, çarpanın veya çarpanın veya her ikisinin de karışık sayı olarak ifade edildiği durumlarda bunların yerine bileşik kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini uygunsuz bir kesire dönüştürelim ve sonra elde edilen kesirleri bir kesirle bir kesirle çarpma kuralına göre çarpalım:

Kural. Tam sayılı sayıları çarpmak için, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:

6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi birine değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yedide birine bölünmemiş.

Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.

Genel olarak (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.

Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.

Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek

2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mudilere öder.

Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.

ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.

Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.

"Yüzde" kelimesi Latince'den alınmıştır ve "yüzde" kökü yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Bu ifadenin anlamı, başlangıçta eski Roma'da borçlunun borç verene "yüz başına" ödediği paraya verilen isim olmasından kaynaklanmaktadır. "Yüzde" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).

Mesela fabrika geçen ay ürünlerinin 1/100'ünü kusurlu üretti demek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusurlu üretti. Fabrika belirlenen plandan 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine fabrika planı yüzde 4 oranında aştı diyeceğiz.

Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.

2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.

Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.

Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.

Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:

Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:

7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.

Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?

Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).

Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.

Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.

Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. Yüzde 21'ini 11 yaşındaki çocuklar, yüzde 61'ini 12 yaşındaki çocuklar ve yüzde 18'ini ise 13 yaşındaki çocuklar oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?

Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.

Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi yapalım:

1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?

2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?

3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?

Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu durum kamptaki toplam çocuk sayısının %100 olarak alındığını göstermektedir.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Görevde belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

Bu problemi çözmek için 1.200'ün kesrini 5 kere bulmanız gerekiyor.

1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Şimdi hesaplamayı yapalım:

2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:

3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?

4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

5) İşçi ne kadar para biriktirdi?

Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.

Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.

§ 90. Kesirlerin bölünmesi.

Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.

Tamsayılar bölümünde belirtildiği gibi bölme, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan eylemdir.

Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle, tamsayılar alanında tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölen her zaman tamsayıya göre bölünen ürün değildir. Bir kesirle çarpmayı tanıttıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün görebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).

Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.

Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.

2. Bir kesri tam sayıya bölmek.

6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.

Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:

Bu durumda pay 6 3'e bölünebildiğinden payın 3 katına çıkarılması gerekir.

Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(Eğer mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını aynı payda bırakarak bu sayıyla çarpın.

3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.

5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1/2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.

Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.

Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10

Hadi kontrol edelim:

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şekil 19).

Şekil 19

6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak, her biri 2 olmak üzere ortaya çıkan 18 segmenti bağlarız; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,

Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 2/3'ün kaç katı 6'da bulunur sorusuna cevap vermemiz gerekiyor. Önce şunu bulalım: 1/3'ün kaç katı 6'da bulunur? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:

Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, bir sayıyı § 38'de belirtilen bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

4. Bir kesri bir kesire bölmek.

Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesirinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).

Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacaktır. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:

Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 bilinmeyen numara X 15/16

Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X dır-dir ,

32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .

Buradan,

Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

5. Karışık sayıların bölümü.

Karışık sayıları bölerken, önce uygunsuz kesirlere dönüştürülmeli, daha sonra elde edilen kesirler kesirleri bölme kurallarına göre bölünmelidir. Bir örneğe bakalım:

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:

Şimdi bölelim:

Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.

6. Verilen kesirden bir sayı bulma.

Kesirlerle ilgili çeşitli problemler arasında bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği ve bu sayıyı bulmanız gereken sorunlar vardır. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesrinin bulunması gerekiyordu, burada bir sayının kesri veriliyordu ve bu sayının kendisinin bulunması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.

Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü kadar olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?

Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.

Evin 150 penceresi vardı.

Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?

Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:

1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).

Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,

500 8 = 4.000 (kg).

Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.

Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural türetilebilir.

Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.

Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, sonuncusunda özellikle açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).

Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.

Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:

Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.

7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.

Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)

Sorunun anlamı şu ki, bir miktar parayı bir tasarruf bankasına yatırdım ve orada bir yıl kaldım. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?

Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:

Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.

Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı yüzde 64 oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?

Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.

Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:

Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.

Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu yanıtı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?

Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:

§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.

2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.

Belirli bir kesrin tersini elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:

3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5

Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.

Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:

1/3, ters 3; 1/5, ters 5

Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılardan bahsedeceğiz.

Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: paydayı payın yerine koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının ters sayısını da elde edebilirsiniz. Bu da 7'nin ters sayısının 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1

Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının karşılığı, birinin belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilir. Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Hatta 5/9 kesrinin tersini yazmamız gerekirse 1 alıp 5/9'a bölebiliriz yani.

Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:

Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.

Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .

Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.

6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:

İfadeye özellikle dikkat edin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .

İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılmasıyla değiştirilebilir.

Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.

Kesirli ifadeleri bir çocuğun anlaması zordur. Çoğu insan bu konuda zorluk yaşıyor. "Tam sayılarla kesirleri toplama" konusunu incelerken çocuk şaşkına döner ve sorunu çözmekte zorlanır. Birçok örnekte, bir eylemi gerçekleştirmeden önce bir dizi hesaplamanın yapılması gerekir. Örneğin, kesirleri dönüştürün veya uygun olmayan bir kesri uygun bir kesire dönüştürün.

Çocuğa bunu açıkça anlatalım. İkisi bütün olacak üç elmayı alıp üçüncüsünü 4 parçaya bölelim. Kesilmiş elmanın bir dilimini ayırın ve kalan üçünü iki tam meyvenin yanına yerleştirin. Bir tarafta elmanın ¼'ünü, diğer tarafta 2 ¾'ünü alıyoruz. Bunları birleştirirsek üç elma elde ederiz. 2 ¾ elmayı ¼ oranında azaltmaya çalışalım, yani bir dilim daha çıkaralım, 2 2/4 elma elde ederiz.

Tam sayı içeren kesirlerle işlemlere daha yakından bakalım:

Öncelikle ortak paydalı kesirli ifadeler için hesaplama kuralını hatırlayalım:

İlk bakışta her şey kolay ve basittir. Ancak bu yalnızca dönüştürme gerektirmeyen ifadeler için geçerlidir.

Paydaların farklı olduğu bir ifadenin değeri nasıl bulunur?

Bazı görevlerde paydaların farklı olduğu bir ifadenin anlamını bulmanız gerekir. Belirli bir duruma bakalım:
3 2/7+6 1/3

İki kesrin ortak paydasını bularak bu ifadenin değerini bulalım.

7 ve 3 sayıları için bu 21'dir. Tamsayı kısımları aynı bırakıp kesirli kısımları 21'e getiririz, bunun için ilk kesri 3 ile ikinciyi 7 ile çarparız, şunu elde ederiz:
6/21+7/21, tüm parçaların dönüştürülemeyeceğini unutmayın. Sonuç olarak, aynı paydaya sahip iki kesir elde ediyoruz ve toplamlarını hesaplıyoruz:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Toplamanın sonucu zaten tamsayı kısmı olan uygunsuz bir kesir ise:
2 1/3+3 2/3
Bu durumda tamsayı kısımları ve kesirli kısımları toplarsak şunu elde ederiz:
5 3/3, bildiğiniz gibi 3/3 birdir, yani 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Toplamı bulmak gayet açık, hadi çıkarma işlemine bakalım:

Söylenenlerin hepsinden, karışık sayılarla yapılan işlemlere ilişkin kural şöyledir:

• Kesirli bir ifadeden tamsayı çıkarmanız gerekiyorsa, ikinci sayıyı kesir olarak göstermenize gerek yoktur; işlemi yalnızca tamsayı kısımlarında yapmanız yeterlidir.

İfadelerin anlamını kendimiz hesaplamaya çalışalım:

“m” harfinin altındaki örneğe daha yakından bakalım:

4 5/11-2 8/11, birinci kesrin payı ikinciden küçüktür. Bunu yapmak için ilk kesirden bir tamsayı ödünç alırız, şunu elde ederiz:
3 5/11+11/11=3 tam 16/11, ikinciyi birinci kesirden çıkarın:
3 16/11-2 8/11=1 tam 8/11

• Görevi tamamlarken dikkatli olun, uygunsuz kesirleri karışık kesirlere dönüştürmeyi ve tüm kısmı vurgulamayı unutmayın. Bunu yapmak için payın değerini paydanın değerine bölmeniz gerekir, sonra olan tüm parçanın yerini alır, geri kalan pay olacaktır, örneğin:

19/4=4 ¾, kontrol edelim: 4*4+3=19, payda 4 değişmeden kalıyor.

Özetle:

Kesirlerle ilgili bir göreve başlamadan önce bunun nasıl bir ifade olduğunu, çözümün doğru olabilmesi için kesir üzerinde ne gibi dönüşümler yapılması gerektiğini analiz etmek gerekir. Daha rasyonel bir çözüm arayın. Zor yola gitmeyin. Tüm eylemleri planlayın, önce taslak halinde çözün, ardından okul defterinize aktarın.

Kesirli ifadeleri çözerken karışıklığı önlemek için tutarlılık kuralına uymalısınız. Acele etmeden her şeye dikkatlice karar verin.

Matematikten bildiğimiz gibi kesirli sayılar bir pay ve bir paydadan oluşur. Pay üstte, payda ise alttadır.

Aynı paydaya sahip kesirli niceliklerin toplanması veya çıkarılmasıyla ilgili matematiksel işlemleri gerçekleştirmek oldukça basittir. Sadece paydaki (yukarıdaki) sayıları toplayabilmeniz veya çıkarabilmeniz gerekir; aynı alttaki sayı değişmeden kalır.

Örneğin, burada 7/9 kesirli sayısını ele alalım:

• üstteki “yedi” rakamı paydır;
• Aşağıdaki “dokuz” sayısı paydadır.

örnek 1. Ek:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Örnek 2. Çıkarma:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Farklı paydalara sahip basit kesirli değerlerin çıkarılması

Paydaları farklı olan nicelikleri çıkarmanın matematiksel işlemini gerçekleştirmek için önce bunları tek bir paydaya getirmeniz gerekir. Bu görevi yerine getirirken bu ortak paydanın mümkün olan tüm seçeneklerden en küçüğü olması gerektiği kuralına uymak gerekir.

Örnek 3

Paydaları farklı olan (küçük sayılar) iki basit nicelik verildiğinde: 7/8 ve 2/9.

İkinciyi birinci değerden çıkarmak gerekir.

Çözüm birkaç adımdan oluşur:

1. Ortak alt sayıyı bulun; hem birinci kesrin hem de ikincinin küçük değerine bölünebilen bir şey. Bu 72 sayısı olacak çünkü sekiz ve dokuz sayılarının katıdır.

2. Her kesrin alt rakamı arttı:

• 7/8 kesirindeki “sekiz” sayısı dokuz kat arttı - 8*9=72;
• 2/9 kesirindeki "dokuz" sayısı sekiz kat arttı - 9*8=72.

3. Payda (alt rakam) değiştiyse pay (üst rakam) da değişmelidir. Mevcut matematik kuralına göre üstteki sayı, alttaki sayıyla tam olarak aynı miktarda artırılmalıdır. Yani:

• ilk kesirdeki (7/8) “yedi” payı “dokuz” sayısıyla çarpılır - 7*9=63;
• İkinci kesirdeki (2/9) “iki” payını “sekiz” sayısıyla çarpıyoruz - 2*8=16.

4. Eylemlerimiz sonucunda orijinalleriyle aynı olan iki yeni miktar elde ettik.

• birincisi: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• saniye: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Artık bir kesirli sayıyı diğerinden çıkarmak mümkün:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Bu işlemi gerçekleştirerek, aynı alt rakamlara (paydalara) sahip kesirlerin çıkarılması konusuna geri dönüyoruz. Bu, payda çıkarma işleminin üstte yapılacağı ve alttaki rakamın değiştirilmeden aktarılacağı anlamına gelir.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Örnek 4

Çözmek için altta farklı ancak birden fazla sayı bulunan birkaç kesir alarak sorunu karmaşıklaştıralım.

Verilen değerler: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Bu sırayla birbirlerinden uzaklaştırılmaları gerekir.

1. Yukarıdaki yöntemi kullanarak kesirleri “24” sayısı olacak ortak bir paydaya getiriyoruz:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - payda toplam “24” sayısı olduğundan bu son değeri değiştirmeden bırakıyoruz.

2. Tüm miktarları çıkarıyoruz:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Ortaya çıkan kesrin payı ve paydası bir sayıya bölünebildiğinden “üç” sayısına bölünerek azaltılabilir:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Cevabı şu şekilde yazıyoruz:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Örnek 5

Paydası katı olmayan üç kesir verilmiştir: 3/4; 2/7; 1/13.

Farkı bulmanız gerekiyor.

1. İlk iki sayıyı ortak paydada buluşturursak “28” sayısı olacaktır:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. İlk iki kesri birbirinden çıkarın:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Verilen üçüncü kesri elde edilen değerden çıkarın:

4. Sayıları ortak bir paydaya getiriyoruz. Aynı paydayı daha kolay seçmek mümkün değilse, payın değerini aynı rakam kadar artırmayı unutmadan tüm paydaları sırayla birbiriyle çarparak adımları uygulamanız yeterlidir. Bu örnekte şunu yapıyoruz:

• 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, burada 13, 5/13'ün alt basamağıdır;
• 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, burada 28, 13/28'den küçük sayıdır.

5. Ortaya çıkan kesirleri çıkarın:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Cevap: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Karışık kesirler

Yukarıda tartışılan örneklerde yalnızca uygun kesirler kullanılmıştır.

Örnek olarak:

• 8/9 uygun bir kesirdir;
• 9/8 yanlıştır.

Bileşik kesirleri düzgün kesre çevirmek imkansızdır ama onu dönüştürmek mümkündür. karışık. Neden üstteki sayıyı (pay) alttaki sayıya (payda) bölüp kalanlı bir sayı elde ediyorsunuz? Bölme sonucu elde edilen tam sayı bu şekilde yazılır, kalan üstteki paya yazılır, alttaki payda aynı kalır. Daha açık hale getirmek için belirli bir örneğe bakalım:

Örnek 6

9/8 uygunsuz kesirini uygun kesire dönüştürün.

Bunu yapmak için, "dokuz" sayısını "sekiz"e bölün, sonuçta bir tam sayı ve bir kalan içeren karışık bir kesir elde edilir:

9: 8 = 1 ve 1/8 (bu, 1+1/8 şeklinde farklı yazılabilir), burada:

• 1 sayısı bölme sonucu elde edilen tam sayıdır;
• diğer bir 1 sayısı ise kalandır;
• 8 sayısı değişmeden kalan paydadır.

Tam sayıya doğal sayı da denir.

Geri kalan ve payda yeni fakat uygun bir kesirdir.

1 sayısını yazarken uygun kesir olan 1/8'in önüne yazılır.

Farklı Paydalara Sahip Karışık Sayılarda Çıkarma

Yukarıdan, karışık kesirli sayının tanımını veriyoruz: "Karışık numara - bu, bir tam sayının ve uygun bir sıradan kesrin toplamına eşit olan bir miktardır. Bu durumda parçanın tamamı denir. doğal sayı ve kalan sayı onun kesirli kısım».

Örnek 7

Verilen: bir tam sayı ve bir uygun kesirden oluşan iki karışık kesirli nicelik:

• ilk değer 9 ve 4/7 yani (9+4/7);
• ikinci değer ise 3 ve 5/21 yani (3+5/21).

Bu miktarlar arasındaki farkı bulmak gerekir.

1. 9+4/7'den 3+5/21'i çıkarmak için öncelikle tamsayı değerlerini birbirinden çıkarmalısınız:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. İki tam sayı arasındaki farkın sonucu, doğal (tamsayı) 6 sayısı ve uygun kesir olan 7/21 = 1/3'ten oluşacaktır:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Tüm ülkelerden matematikçiler, karışık miktarları yazarken "+" işaretinin atlanabileceği ve kesirden önce herhangi bir işaret olmadan yalnızca tam sayının bırakılabileceği konusunda hemfikirdir.

Çocuğunuz okuldan ödev mi getirdi ve siz onu nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz? O halde bu mini ders tam size göre!

Ondalık sayılar nasıl eklenir

Bir sütuna ondalık kesirler eklemek daha uygundur. Ondalık sayılar eklemek için basit bir kurala uymanız gerekir:

• Yer yerin altında, virgül de virgülün altında olmalıdır.

Örnekte de görebileceğiniz gibi tüm birimler birbirinin altında, onda birlikler ve yüzde birler haneleri ise birbirinin altında yer alıyor. Şimdi virgülleri göz ardı ederek sayıları topluyoruz. Virgülle ne yapmalı? Virgül tamsayı kategorisinde bulunduğu yere taşınır.

Paydaları eşit olan kesirleri toplama

Ortak bir payda ile toplama işlemi yapabilmek için paydayı değiştirmeden payların toplamını bulmanız ve toplam toplam olacak kesri elde etmeniz gerekir.

Ortak kat yöntemini kullanarak farklı paydalara sahip kesirleri toplama

Dikkat etmeniz gereken ilk şey paydalardır. Paydaların birinin diğerine bölünebilmesi veya asal sayı olması fark etmez. Öncelikle bunu ortak bir paydaya getirmeniz gerekir; bunu yapmanın birkaç yolu vardır:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu örneği çözmek için 2 paydaya bölünebilecek en küçük ortak katı (LCM) bulmamız gerekiyor. a ve b'nin en küçük katını belirtmek için – LCM (a;b). Bu örnekte LCM (3;4)=12. Kontrol ediyoruz: 12:3=4; 12:4=3.
• Faktörleri çarpıyoruz ve elde edilen sayıları topluyoruz, 13/12 - uygunsuz bir kesir elde ediyoruz.

• Bileşik kesirleri düzgün kesre dönüştürmek için payını paydaya bölersek 1 tamsayısını elde ederiz, kalan 1 pay, 12 ise paydadır.

Çapraz çarpma yöntemini kullanarak kesirleri toplama

Farklı paydalara sahip kesirleri eklemek için "çaprazdan çapraza" formülünü kullanan başka bir yöntem vardır. Bu, paydaları eşitlemenin garantili bir yoludur; bunu yapmak için payları bir kesrin paydasıyla çarpmanız gerekir; bunun tersi de geçerlidir. Kesirleri öğrenmenin henüz başlangıç ​​​​aşamasındaysanız, bu yöntem, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken doğru sonucu almanın en basit ve en doğru yoludur.

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun, uzayın farklı noktalarında her an hareketsiz olduğunu, bunun aslında bir hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçekliğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi "bir kümede iki özdeş eleman olamaz" ama bir kümede özdeş elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...

Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.

Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (tek resim) (birkaç resimden oluşan kompozisyon: eksi işareti, dört rakamı, derece işareti). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.