Doğruların kesişme noktasının koordinatları nasıl hesaplanır? Farklı görünümlerde tanımlanan çizgilerin kesişme noktası

Dikey çizgi

Bu görev muhtemelen okul ders kitaplarında en popüler ve talep gören görevlerden biridir. Bu konuya dayalı görevler çeşitlidir. Bu, iki doğrunun kesişme noktasının tanımıdır, bu aynı zamanda orijinal doğru üzerindeki bir noktadan herhangi bir açıda geçen bir doğrunun denkleminin tanımıdır.

Hesaplamalarımızda kullanılarak elde edilen verileri kullanarak bu konuyu ele alacağız.

Düz bir çizginin genel denkleminin açısal katsayılı bir denkleme dönüştürülmesi ve bunun tersinin dikkate alındığı ve düz çizginin geri kalan parametrelerinin verilen koşullara göre belirlendiği yer burasıydı.

Bu sayfanın adandığı sorunları çözmek için neyimiz eksik?

1. Kesişen iki çizgi arasındaki açılardan birini hesaplamak için formüller.

Denklemlerin verdiği iki doğrumuz varsa:

daha sonra açılardan biri şu şekilde hesaplanır:

2. Belirli bir noktadan geçen eğime sahip düz bir çizginin denklemi

Formül 1'den iki sınır durumu görebiliriz

a) o zaman ve dolayısıyla bu iki çizgi paralel olduğunda (veya çakıştığında)

b) ne zaman , o zaman ve dolayısıyla bu çizgiler diktir, yani dik açılarda kesişir.

Bu tür problemleri çözmek için verilen düz çizgi dışında başlangıç ​​verileri neler olabilir?

Düz bir çizgi üzerinde bir nokta ve ikinci düz çizginin onu kestiği açı

Doğrunun ikinci denklemi

Bir bot hangi sorunları çözebilir?

1. İki çizgi verilmiştir (açıkça veya dolaylı olarak, örneğin iki noktayla). Kesişme noktasını ve kesiştikleri açıları hesaplayın.

2. Bir doğru, bir doğru üzerinde bir nokta ve bir açı verilmiştir. Belirli bir doğruyu belirli bir açıda kesen düz bir çizginin denklemini belirleyin

Örnekler

Denklemlerle iki doğru verilmiştir. Bu doğruların kesişme noktasını ve kesiştikleri açıları bulun

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Aşağıdaki sonucu elde ederiz

İlk satırın denklemi

y = 2,2 x + (1,2)

İkinci satırın denklemi

y = 0,4285714285714 x + (-5)

İki düz çizginin kesişme açısı (derece cinsinden)

-42.357454705937

İki çizginin kesişme noktası

x = -3,5

y = -6,5

İki satırın parametrelerinin virgülle, her satırın parametrelerinin ise noktalı virgülle ayrıldığını unutmayın.

Düz bir çizgi iki noktadan (1:-4) ve (5:2) geçer. (-2:-8) noktasından geçen ve orijinal doğruyu 30 derecelik açıyla kesen doğrunun denklemini bulun.

Bir düz çizgiyi biliyoruz çünkü onun geçtiği iki noktayı biliyoruz.

İkinci çizginin denklemini belirlemek için kalır. Bir nokta bizim tarafımızdan biliniyor ve ikincisi yerine, ilk çizginin ikinciyle kesiştiği açı gösteriliyor.

Görünüşe göre her şey biliniyor ama burada asıl önemli olan hata yapmamak. X ekseni ile çizgi arasındaki değil, birinci ve ikinci çizgi arasındaki açıdan (30 derece) bahsediyoruz.

Bu yüzden bu şekilde yayınlıyoruz. İlk doğrunun parametrelerini belirleyelim ve x eksenini hangi açıda kestiğini bulalım.

satır xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Genel denklem Ax+By+C = 0

Katsayısı A = -6

Faktör B = 4

Faktör C = 22

Katsayısı a= 3,6666666666667

Katsayı b = -5,5

Katsayısı k = 1,5

Eksene eğim açısı (derece olarak) f = 56,309932474019

Katsayı p = 3,0508510792386

Katsayı q = 2,5535900500422

Noktalar arası mesafe=7,211102550928

İlk çizginin ekseni belirli bir açıyla kestiğini görüyoruz 56.309932474019 derece.

Kaynak veriler, ikinci çizginin birinciyle nasıl kesiştiğini tam olarak söylemiyor. Sonuçta koşulları karşılayan iki çizgi oluşturabilirsiniz; ilki SAAT YÖNÜNDE 30 derece, ikincisi saat yönünün tersine 30 derece döndürülmüş.

Hadi onları sayalım

İkinci çizgi saat yönünün tersine 30 derece döndürülürse ikinci çizgi x ekseniyle kesişme derecesine sahip olacaktır. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 derece

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Belirtilen parametrelere göre düz bir çizginin parametreleri

Genel denklem Ax+By+C = 0

A katsayısı = 23,011106998916

Katsayısı B = -1,4840558255286

Katsayısı C = 34,149767393603

x/a+y/b = 1 segmentlerindeki düz bir çizginin denklemi

Katsayısı a= -1.4840558255286

Katsayısı b = 23,011106998916

Açısal katsayılı y = kx + b olan düz bir çizginin denklemi

Katsayısı k = 15,505553499458

Eksene eğim açısı (derece olarak) f = 86,309932474019

x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 çizgisinin normal denklemi

Katsayı p = -1,4809790664999

Katsayı q = 3,0771888256405

Noktalar arası mesafe=23.058912962428

Bir noktadan düz bir çizgiye olan uzaklık li =

yani ikinci satır denklemimiz y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

1. Fonksiyon grafiklerinin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için her iki fonksiyonu birbirine eşitlemeniz, $ x $ içeren tüm terimleri sol tarafa, geri kalanları sağ tarafa taşımanız ve denklemin köklerini bulmanız gerekir. sonuç denklemi.
2. İkinci yöntem ise bir denklem sistemi oluşturmak ve onu bir fonksiyonu başka bir fonksiyonla değiştirerek çözmektir.
3. Üçüncü yöntem, fonksiyonların grafiksel olarak oluşturulmasını ve kesişim noktasının görsel olarak belirlenmesini içerir.

İki doğrusal fonksiyonun durumu

İki doğrusal fonksiyonu düşünün $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ve $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Bu işlevlere doğrudan denir. Bunları oluşturmak oldukça kolaydır; $ x_1 $ ve $ x_2 $ değerlerinden herhangi birini alıp $ f(x_1) $ ve $ (x_2) $'ı bulmanız gerekir. Daha sonra aynı işlemi $ g(x) $ fonksiyonuyla tekrarlayın. Daha sonra, fonksiyon grafiklerinin kesişme noktasının koordinatını görsel olarak bulun.

Doğrusal fonksiyonların yalnızca bir kesişim noktasına sahip olduğunu ve yalnızca $ k_1 \neq k_2 $ olduğunu bilmelisiniz. Aksi takdirde, $ k_1=k_2 $ durumunda fonksiyonlar birbirine paraleldir, çünkü $ k $ eğim katsayısıdır. $ k_1 \neq k_2 $ ama $ m_1=m_2 $ ise, o zaman kesişim noktası $ M(0;m) $ olacaktır. Sorunları hızlı bir şekilde çözmek için bu kuralı hatırlamanız önerilir.

İki doğrusal olmayan fonksiyonun durumu

Koordinat yöntemini kullanarak geometrik bir problemi çözmek için, çözümde koordinatları kullanılan bir kesişim noktasına ihtiyaç vardır. Bir düzlemde iki çizginin kesişme koordinatlarını aramanız veya uzayda aynı çizgilerin koordinatlarını belirlemeniz gerektiğinde bir durum ortaya çıkar. Bu makale, verilen doğruların kesiştiği noktaların koordinatlarını bulma durumlarını ele almaktadır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İki doğrunun kesişme noktalarını tanımlamak gerekir.

Düzlemdeki çizgilerin göreceli konumu ile ilgili bölüm, bunların çakışabileceğini, paralel olabileceğini, ortak bir noktada kesişebileceğini veya kesişebileceğini gösterir. Uzaydaki iki doğrunun ortak bir noktası varsa kesişen çizgiler denir.

Çizgilerin kesişme noktasının tanımı şu şekildedir:

Tanım 1

İki doğrunun kesiştiği noktaya kesişme noktası denir. Başka bir deyişle doğruların kesiştiği nokta kesişme noktasıdır.

Aşağıdaki şekle bakalım.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarını bulmadan önce aşağıdaki örneği incelemek gerekir.

Düzlemin O x y koordinat sistemi varsa, o zaman iki düz çizgi a ve b belirtilir. A çizgisi, b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 çizgisi için A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 formundaki genel bir denkleme karşılık gelir. O halde M 0 (x 0 , y 0) düzlemin belirli bir noktasıdır; M 0 noktasının bu doğruların kesişme noktası olup olmayacağını belirlemek gerekir.

Sorunu çözmek için tanıma uymak gerekir. O halde çizgiler, koordinatları verilen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 denklemlerinin çözümü olan bir noktada kesişmelidir. Bu, kesişim noktasının koordinatlarının verilen tüm denklemlerde değiştirildiği anlamına gelir. Yerine koyma sonrasında doğru özdeşliği verirlerse, M 0 (x 0 , y 0) bunların kesişme noktası olarak kabul edilir.

örnek 1

Kesişen iki doğru verildiğinde 5 x - 2 y - 16 = 0 ve 2 x - 5 y - 19 = 0. Koordinatları (2, - 3) olan M 0 noktası kesişim noktası olacak mı?

Çözüm

Doğruların kesişiminin geçerli olabilmesi için M 0 noktasının koordinatlarının doğru denklemlerini sağlaması gerekir. Bu, bunların değiştirilmesiyle kontrol edilebilir. Bunu anlıyoruz

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Her iki eşitlik de doğrudur, yani M 0 (2, - 3) verilen doğruların kesişme noktasıdır.

Bu çözümü aşağıdaki şeklin koordinat doğrusu üzerinde gösterelim.

Cevap:(2, - 3) koordinatlı verilen nokta, verilen doğruların kesişme noktası olacaktır.

Örnek 2

5 x + 3 y - 1 = 0 ve 7 x - 2 y + 11 = 0 doğruları M 0 (2, - 3) noktasında kesişecek mi?

Çözüm

Sorunu çözmek için noktanın koordinatlarını tüm denklemlerde kullanmanız gerekir. Bunu anlıyoruz

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

İkinci eşitlik doğru değildir, verilen noktanın 7 x - 2 y + 11 = 0 doğrusuna ait olmadığı anlamına gelir. Buradan M 0 noktasının doğruların kesişme noktası olmadığını anlıyoruz.

Çizim açıkça M 0'ın çizgilerin kesişme noktası olmadığını göstermektedir. Koordinatlarla (-1, 2) ortak noktaları vardır.

Cevap: koordinatları (2, - 3) olan nokta verilen doğruların kesişme noktası değildir.

Düzlemde verilen denklemleri kullanarak iki çizginin kesişme noktalarının koordinatlarını bulmaya devam ediyoruz.

Kesişen iki çizgi a ve b, O x y'de bulunan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 formundaki denklemlerle belirtilir. M 0 kesişim noktasını belirlerken, A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 denklemlerini kullanarak koordinatları aramaya devam etmemiz gerektiğini buluyoruz.

Tanımdan M 0'ın doğruların ortak kesişme noktası olduğu açıktır. Bu durumda koordinatları A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 denklemlerini karşılamalıdır. Başka bir deyişle, bu, ortaya çıkan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sisteminin çözümüdür.

Bu, kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için tüm denklemleri sisteme ekleyip çözmek gerektiği anlamına gelir.

Örnek 3

Düzlemde x - 9 y + 14 = 0 ve 5 x - 2 y - 16 = 0 olmak üzere iki düz çizgi verildiğinde. kesişimlerini bulmak gerekir.

Çözüm

Denklemin koşullarına ilişkin veriler sisteme toplanmalıdır, ardından x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 elde edilir. Bunu çözmek için, x'in ilk denklemini çözün ve ifadeyi ikincinin yerine koyun:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Ortaya çıkan sayılar bulunması gereken koordinatlardır.

Cevap: M 0 (4, 2), x - 9 y + 14 = 0 ve 5 x - 2 y - 16 = 0 doğrularının kesişme noktasıdır.

Koordinatları bulmak, bir doğrusal denklem sistemini çözmekten ibarettir. Koşullu olarak farklı türde bir denklem verilirse, normal forma indirilmelidir.

Örnek 4

x - 5 = y - 4 - 3 ve x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R doğrularının kesişme noktalarının koordinatlarını belirleyin.

Çözüm

Öncelikle denklemleri genel bir forma getirmeniz gerekir. O zaman x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R'nin aşağıdaki gibi dönüştürüldüğünü elde ederiz:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Daha sonra x - 5 = y - 4 - 3 kanonik formunun denklemini alıp dönüştürüyoruz. Bunu anlıyoruz

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Buradan koordinatların kesişme noktası olduğunu anlıyoruz

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Koordinatları bulmak için Cramer yöntemini kullanalım:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Cevap: M 0 (- 5, 1) .

Düzlemde bulunan doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmanın da bir yolu vardır. Doğrulardan biri x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R formundaki parametrik denklemlerle verildiğinde uygulanabilir. Daha sonra x değeri yerine x = x 1 + a x · λ ve y = y 1 + a y · λ'yi koyarız, burada x 1 + a x · λ 0 koordinatlarına sahip kesişme noktasına karşılık gelen λ = λ 0 elde ederiz. , y 1 + a y · λ 0 .

Örnek 5

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ve x - 5 = y - 4 - 3 çizgisinin kesişme noktasının koordinatlarını belirleyin.

Çözüm

x - 5 = y - 4 - 3'te x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ ifadesiyle bir ikame yapmak gerekir, o zaman şunu elde ederiz:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Çözerken λ = - 1 olduğunu buluruz. Buradan x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ve x - 5 = y - 4 - 3 doğruları arasında bir kesişme noktası olduğu sonucu çıkar. Koordinatları hesaplamak için parametrik denklemde λ = - 1 ifadesini kullanmanız gerekir. O zaman x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 sonucunu elde ederiz.

Cevap: M 0 (- 5, 1) .

Konuyu tam olarak anlamak için bazı nüansları bilmeniz gerekir.

Öncelikle çizgilerin yerini anlamalısınız. Kesiştiklerinde koordinatları bulacağız, diğer durumlarda çözüm olmayacak. Bu kontrolü önlemek için A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 şeklinde bir sistem oluşturabilirsiniz. Bir çözüm varsa, doğruların kesiştiği sonucuna varırız. Çözüm yoksa paraleldirler. Bir sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, bunların çakıştığı söylenir.

Örnek 6

Verilen x 3 + y - 4 = 1 ve y = 4 3 x - 4 doğruları. Ortak bir noktaları olup olmadığını belirleyin.

Çözüm

Verilen denklemleri basitleştirerek 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ve 4 3 x - y - 4 = 0 elde ederiz.

Denklemler sonraki çözüm için bir sistemde toplanmalıdır:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Buradan denklemlerin birbirleri aracılığıyla ifade edildiğini görebiliriz, böylece sonsuz sayıda çözüm elde ederiz. O zaman x 3 + y - 4 = 1 ve y = 4 3 x - 4 denklemleri aynı doğruyu tanımlar. Bu nedenle kesişme noktaları yoktur.

Cevap: verilen denklemler aynı düz çizgiyi tanımlar.

Örnek 7

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ve 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 doğrularının kesiştiği noktaların koordinatlarını bulun.

Çözüm

Şarta göre bu mümkündür, çizgiler kesişmeyecektir. Bir denklem sistemi oluşturup çözmek gerekiyor. Çözmek için Gauss yöntemini kullanmak gerekir, çünkü onun yardımıyla denklemin uyumluluk açısından kontrol edilmesi mümkündür. Şu formda bir sistem elde ediyoruz:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Yanlış bir eşitlik aldık, bu da sistemin çözümü olmadığı anlamına geliyor. Doğruların paralel olduğu sonucuna varıyoruz. Kesişme noktaları yoktur.

İkinci çözüm.

Öncelikle çizgilerin kesişme varlığını belirlemeniz gerekir.

n 1 → = (2, 2 - 3), 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 doğrusunun normal vektörüdür, bu durumda n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 vektörü şöyle olur: 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 doğrusu için normal vektör.

n 1 → = (2, 2 - 3) ve n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) vektörlerinin doğrusallığını kontrol etmek gerekir. 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 şeklinde bir eşitlik elde ederiz. Doğrudur çünkü 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Buradan vektörlerin doğrusal olduğu sonucu çıkar. Bu, doğruların paralel olduğu ve kesişme noktaları olmadığı anlamına gelir.

Cevap: kesişme noktaları yoktur, çizgiler paraleldir.

Örnek 8

Verilen 2 x - 1 = 0 ve y = 5 4 x - 2 doğrularının kesişimlerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm

Çözmek için bir denklem sistemi oluşturuyoruz. Aldık

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Ana matrisin determinantını bulalım. Bunun için 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Sıfıra eşit olmadığından sistemin 1 çözümü vardır. Çizgilerin kesiştiği sonucu çıkıyor. Kesişme noktalarının koordinatlarını bulmak için bir sistem çözelim:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Verilen doğruların kesişme noktasının M 0 (1 2, - 11 8) koordinatlarına sahip olduğunu bulduk.

Cevap: M 0 (1 2, - 11 8) .

Uzayda iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarını bulma

Aynı şekilde uzayda doğruların kesişme noktaları da bulunur.

O x y z koordinat düzleminde kesişen düzlem denklemleriyle a ve b düz çizgileri verildiğinde, verilen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 sistemi kullanılarak belirlenebilen bir düz çizgi a vardır. = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 ve düz çizgi b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.

M 0 noktası çizgilerin kesişme noktası olduğunda, koordinatları her iki denklemin çözümleri olmalıdır. Sistemde doğrusal denklemler elde ederiz:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Örnekleri kullanarak benzer görevlere bakalım.

Örnek 9

Verilen x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ve 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 doğrularının kesişme noktasının koordinatlarını bulun

Çözüm

x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 sistemini kurup çözüyoruz. Koordinatları bulmak için matris aracılığıyla çözmeniz gerekir. Daha sonra A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 formundaki ana matrisi ve T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 genişletilmiş matrisini elde ederiz. Matrisin Gauss sıralamasını belirliyoruz.

Bunu anlıyoruz

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Genişletilmiş matrisin sıralamasının 3 değerine sahip olduğu sonucu çıkar. O zaman x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 denklem sistemi yalnızca tek bir çözümle sonuçlanır.

Küçük temelin determinantı 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 ise son denklem uygulanmaz. x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y olduğunu elde ederiz. - 3. Sistemin çözümü x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Bu, x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ve 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 kesişme noktasının (1, - 3, 0) koordinatlarına sahip olduğu anlamına gelir.

Cevap: (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 formundaki sistem = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0'ın tek çözümü vardır. Bu, a ve b doğrularının kesiştiği anlamına gelir.

Diğer durumlarda denklemin çözümü yoktur, yani ortak noktaları da yoktur. Yani koordinatları olan bir noktayı bulmak imkansızdır çünkü mevcut değildir.

Bu nedenle, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z biçiminde bir sistem + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 Gauss yöntemiyle çözülür. Uyumsuz ise çizgiler kesişmez. Sonsuz sayıda çözüm varsa bunlar çakışır.

Matrisin ana ve genişletilmiş derecelerini hesaplayarak çözebilir ve ardından Kronecker-Capelli teoremini uygulayabilirsiniz. Bir ya da çok sayıda çözüm elde ederiz ya da hiç çözüm elde edemeyiz.

Örnek 10

x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ve x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 doğrularının denklemleri verilmiştir. Kesişme noktasını bulun.

Çözüm

Öncelikle bir denklem sistemi oluşturalım. x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 sonucunu elde ederiz. Bunu Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Açıkçası sistemin hiçbir çözümü yoktur, bu da doğruların kesişmediği anlamına gelir. Kesişme noktası yoktur.

Cevap: kesişme noktası yoktur.

Çizgiler kononik veya parametrik denklemler kullanılarak verilmişse, bunları kesişen düzlemlerin denklemleri biçimine indirgemeniz ve ardından koordinatları bulmanız gerekir.

Örnek 11

O x y z'de x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R ve x 2 = y - 3 0 = z 5 olmak üzere iki doğru verilmiştir. Kesişme noktasını bulun.

Çözüm

Düz çizgileri kesişen iki düzlemin denklemleriyle tanımlarız. Bunu anlıyoruz

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 koordinatlarını buluyoruz, bunun için matrisin sıralarını hesaplıyoruz. Matrisin rütbesi 3'tür ve temel minör 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0'dır, bu da son denklemin sistemden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Bunu anlıyoruz

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözelim. x = - 2 y = 3 z = - 5 sonucunu elde ederiz. Buradan verilen doğruların kesişiminin koordinatları (-2, 3, -5) olan bir nokta verdiğini anlıyoruz.

Cevap: (- 2 , 3 , - 5) .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu çevrimiçi hesap makinesini kullanarak bir düzlemdeki çizgilerin kesişme noktasını bulabilirsiniz. Açıklamalarla birlikte ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için, doğru denkleminin türünü ("kanonik", "parametrik" veya "genel") ayarlayın, doğru denklemlerinin katsayılarını hücrelere girin ve "Çöz" düğmesine tıklayın. " düğme. Aşağıdaki teorik kısma ve sayısal örneklere bakın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b biçiminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam sayı veya ondalık sayıdır. Örnekler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, vb.

Düzlemdeki çizgilerin kesişme noktası - teori, örnekler ve çözümler

1. Genel formda verilen doğruların kesişme noktası.

Oksi L 1 ve L 2:

Genişletilmiş bir matris oluşturalım:

Eğer B" 2 =0 ve İLE" 2 =0 ise doğrusal denklem sisteminin birçok çözümü vardır. Bu nedenle düz L 1 ve L 2 maç. Eğer B" 2 =0 ve İLE" 2 ≠0 ise sistem tutarsızdır ve bu nedenle doğrular paraleldir ve ortak bir noktaya sahip değildir. Eğer B" 2 ≠0 ise doğrusal denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. Bulduğumuz ikinci denklemden sen: sen=İLE" 2 /B" 2 ve elde edilen değeri bulduğumuz ilk denklemde yerine koyarsak X: X=−İLE 1 −B 1 sen. Doğruların kesişme noktasını bulduk L 1 ve L 2: M(x, y).

2. Kanonik biçimde verilen doğruların kesişme noktası.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin Oksi ve bu koordinat sisteminde düz çizgiler verilsin L 1 ve L 2:

Parantezleri açıp dönüşümleri yapalım:

Benzer bir yöntem kullanarak düz çizginin (7) genel denklemini elde ederiz:

Denklemlerden (12) şu sonuç çıkar:

Kanonik formda verilen doğruların kesişme noktasının nasıl bulunacağı yukarıda anlatılmıştır.

4. Farklı görünümlerde belirtilen çizgilerin kesişme noktası.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin Oksi ve bu koordinat sisteminde düz çizgiler verilsin L 1 ve L 2:

Bulacağız T:

Doğrusal denklem sistemini şuna göre çözelim: x, y. Bunu yapmak için Gauss yöntemini kullanacağız. Şunu elde ederiz:

Örnek 2. Doğruların kesişme noktasını bulun L 1 ve L 2:

(21)

Doğruların kesişme noktasını bulmak için L 1 ve L 2 (20) ve (21) doğrusal denklem sistemini çözmeniz gerekir. Denklemleri matris formunda sunalım.

İki doğru verilsin ve bunların kesişme noktasını bulmanız gerekiyor. Bu nokta verilen iki doğrunun her birine ait olduğundan, koordinatlarının hem birinci doğrunun denklemini hem de ikinci doğrunun denklemini sağlaması gerekir.

Bu nedenle, iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözmek gerekir.

Örnek 1. Doğruların kesişme noktasını bulun ve

Çözüm. Denklem sistemini çözerek istenilen kesişim noktasının koordinatlarını bulacağız

M kesişme noktasının koordinatları vardır

Denklemini kullanarak düz bir çizginin nasıl oluşturulacağını gösterelim. Düz bir çizgi çizmek için iki noktasını bilmek yeterlidir. Bu noktaların her birini oluşturmak için koordinatlarından biri için isteğe bağlı bir değer belirleriz ve ardından denklemden diğer koordinat için karşılık gelen değeri buluruz.

Düz bir çizginin genel denkleminde mevcut koordinatlardaki her iki katsayı da sıfıra eşit değilse, bu düz çizgiyi oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak en iyisidir.

Örnek 2. Düz bir çizgi oluşturun.

Çözüm. Bu çizginin apsis ekseni ile kesişme noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için denklemlerini birlikte çözüyoruz:

ve alıyoruz. Böylece bu doğrunun apsis ekseni ile kesiştiği M (3; 0) noktası bulunmuş olur (Şekil 40).

Daha sonra bu doğrunun denklemini ve ordinat ekseninin denklemini birlikte çözelim

doğrunun ordinat ekseniyle kesişme noktasını buluyoruz. Son olarak, iki M noktasından düz bir çizgi çiziyoruz ve