Geometri basit bir bilim değildir. Kesin formüller hakkında özel dikkat ve bilgi gerektirir. Bu tür matematik bize Antik Yunan'dan geldi ve birkaç bin yıl sonra bile geçerliliğini kaybetmiyor. Bunun öğrencilerin ve okul çocuklarının kafalarını meşgul eden işe yaramaz bir konu olduğunu boşuna düşünmeyin. Aslında geometri hayatın birçok alanında uygulanabilir. Geometri bilgisi olmadan tek bir mimari yapı inşa edilmez, arabalar, uzay gemileri ve uçaklar yaratılmaz. Karmaşık ve çok karmaşık olmayan yol kavşakları ve izleri - tüm bunlar geometrik hesaplamalar gerektirir. Evet, bazen bile temel formülleri bilmeden odanızda onarım yapamazsınız. O yüzden bu konunun önemini küçümsemeyin. Okuldaki birçok çözümde kullanmamız gereken en yaygın formülleri inceliyoruz. Bunlardan biri dik üçgende hipotenüsü bulmaktır. Bunu anlamak için aşağıyı okuyun.

Alıştırmaya başlamadan önce temel bilgilerle başlayalım ve bir dik üçgende hipotenüsün ne olduğunu tanımlayalım.

Hipotenüs, dik üçgenin 90 derecelik açının (dik açı) karşısındaki kenarlarından biridir ve her zaman en uzundur.

Belirli bir dik üçgende istenen hipotenüsün uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır.

Bacakların zaten bilindiği durumda, Pisagor teoremini kullanırız; burada iki bacağın karelerinin toplamını hipotenüsün karesine eşit olacak şekilde ekleriz.

a ve b bacaklar, c hipotenüstür.

Bizim durumumuzda buna göre bir dik üçgen için formül aşağıdaki gibi olacaktır:

Bilinen a ve b ayak sayılarını yerine koyarsak, a=3 ve b=4 olsun, sonra c=√32+42 olur, o zaman c=√25, c=5 elde ederiz.

Yalnızca bir bacağın uzunluğunu bildiğimizde formül ikincinin uzunluğunu bulacak şekilde dönüştürülebilir. Şuna benziyor:

Sorunun koşullarına göre A kenarını ve C hipotenüsünü bildiğimiz takdirde üçgenin dik açısını hesaplayabiliriz, buna α diyelim.

Bunu yapmak için şu formülü kullanıyoruz:

Hesaplamamız gereken ikinci açı β olsun. Bir üçgenin açılarının toplamının 180° olduğunu bildiğimizi düşünürsek: β= 180°-90°-α

Bacakların değerlerini bildiğimiz durumda, üçgenin dar açısının değerini bulmak için formülü kullanabiliriz:

Bilinen genel kabul görmüş değerlere bağlı olarak dikdörtgenin kenarları birçok farklı formül kullanılarak bulunabilir. Bunlardan bazıları:

Dik üçgende bilinmeyenleri bulma problemlerini çözerken, zaten bildiğiniz değerlere odaklanmak ve buna dayanarak bunları istediğiniz formülde değiştirmek çok önemlidir. Bunları hemen hatırlamak zor olacağından el yazısıyla küçük bir ipucu hazırlayıp not defterinize yapıştırmanızı tavsiye ederiz.

Gördüğünüz gibi, bu formülün tüm inceliklerini incelerseniz kolayca anlayabilirsiniz. Bu formüle dayanarak çeşitli sorunları çözmeye çalışmanızı öneririz. Sonucunuzu gördükten sonra bu konuyu anlayıp anlamadığınız sizin için netleşecektir. Ezberlememeye çalışın, ancak materyali derinlemesine incelemeye çalışın, çok daha faydalı olacaktır. Ezberlenen materyal ilk testten sonra unutulur ve bu formülle oldukça sık karşılaşacaksınız, o yüzden önce anlayın, sonra ezberleyin. Bu önerilerin olumlu bir etkisi yoksa bu konuda ek dersler almak mantıklı olacaktır. Ve unutmayın: öğretmek ışıktır, öğretmek karanlık değildir!

Talimatlar

Pisagor teoremini kullanarak hesaplama yapmanız gerekiyorsa, aşağıdaki algoritmayı kullanın: - Bir üçgende hangi kenarların bacak, hangilerinin hipotenüs olduğunu belirleyin. Doksan derecelik bir açı oluşturan iki kenar bacaklar, geri kalan üçüncü kenar ise hipotenüstür. (cm) - Bu üçgenin her bir ayağını ikinci kuvvete yükseltin, yani kendisiyle çarpın. Örnek 1. Bir üçgenin bir kenarı 12 cm, diğeri 5 cm ise hipotenüsü hesaplamamız gerektiğini varsayalım. Öncelikle bacakların kareleri eşittir: 12 * 12 = 144 cm ve 5 * 5 = 25 cm. Daha sonra karelerin bacaklarının toplamını belirleyin. Belli bir sayı hipotenüs bulmak için sayının ikinci kuvvetinden kurtulmanız gerekir uzunluküçgenin bu tarafı. Bunu yapmak için, bacakların karelerinin toplamının değerini karekökten çıkarın. Örnek 1. 144+25=169. 169'un karekökü 13'tür. Dolayısıyla bunun uzunluğu hipotenüs 13 cm'ye eşittir.

Uzunluğu hesaplamanın başka bir yolu hipotenüsüçgendeki sinüs ve açı terminolojisinde yatmaktadır. Tanım olarak: alfa açısının sinüsü hipotenüsün karşı tarafıdır. Yani şekle bakıldığında sin a = CB / AB. Dolayısıyla hipotenüs AB = CB / sin a. Örnek 2. Açı 30 derece, karşı kenar ise 4 cm olsun. Çözüm: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm. hipotenüs 8 cm'ye eşittir.

Bulmanın benzer bir yolu hipotenüs bir açının kosinüsünün tanımından. Bir açının kosinüsü, kendisine komşu olan kenarın oranıdır. hipotenüs. Yani cos a = AC/AB, dolayısıyla AB = AC/cos a. Örnek 3. ABC üçgeninde AB hipotenüsüdür, BAC açısı 60 derecedir, AC kenarı 2 cm'dir.
Çözüm: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Cevap: Hipotenüs uzunluğu 4 cm'dir.

Yararlı tavsiye

Bir açının sinüs veya kosinüs değerini bulurken sinüs ve kosinüs tablosunu veya Bradis tablosunu kullanın.

İpucu 2: Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu nasıl bulunur?

Hipotenüs bir dik üçgenin en uzun kenarıdır, dolayısıyla bu kelimenin Yunancadan "gerilmiş" olarak çevrilmesi şaşırtıcı değildir. Bu kenar her zaman 90°'lik açının karşısında yer alır ve bu açıyı oluşturan kenarlara bacak denir. Bu kenarların uzunluklarını ve bu değerlerin farklı kombinasyonlarındaki dar açıların değerlerini bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplayabiliriz.

Talimatlar

Her iki üçgenin (A ve B) uzunlukları biliniyorsa, belki de en ünlü matematik önermesi olan Pisagor teoremi olan hipotenüsün (C) uzunluklarını kullanın. Hipotenüsün uzunluğunun karesinin, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamı olduğunu belirtir; bundan iki kenarın kare uzunluklarının toplamının kökünü hesaplamanız gerektiği sonucu çıkar: C = √ ( A² + B²). Örneğin, bir bacağın uzunluğu 15 ve - 10 santimetre ise, √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564 olduğundan hipotenüsün uzunluğu yaklaşık 18,0277564 santimetre olacaktır.

Bir dik üçgenin kenarlarından yalnızca birinin uzunluğu (A) ve karşısındaki açının değeri (α) biliniyorsa, hipotenüsün uzunluğu (C) trigonometrik denklemlerden biri kullanılarak kullanılabilir. fonksiyonlar - sinüs. Bunu yapmak için bilinen tarafın uzunluğunu bilinen açının sinüsüne bölün: C=A/sin(α). Örneğin, bacaklardan birinin uzunluğu 15 santimetre ise ve üçgenin karşı köşesindeki açı 30° ise, o zaman hipotenüsün uzunluğu 30 santimetreye eşit olacaktır, çünkü 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Dik bir üçgende dar açılardan birinin boyutu (α) ve bitişik bacağın uzunluğu (B) biliniyorsa, hipotenüsün (C) uzunluğunu hesaplamak için başka bir trigonometrik fonksiyon - kosinüs kullanabilirsiniz. Bilinen bacağın uzunluğunu bilinen açının kosinüsüne bölmelisiniz: C=B/ cos(α). Örneğin, bu bacağın uzunluğu 15 santimetre ve ona bitişik dar açı 30° ise, 15/cos(30°)=15/(0,5*) olduğundan hipotenüsün uzunluğu yaklaşık 17,3205081 santimetre olacaktır. √3)=30/√3≈17,3205081.

Uzunluk genellikle bir doğru parçası üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi belirtmek için kullanılır. Düz, kırık veya kapalı bir çizgi olabilir. Segmentin diğer göstergelerini biliyorsanız uzunluğu oldukça basit bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

Çeşitli farklı büyüklükleri hesaplamak için yapılan çok sayıda hesaplama arasında bir üçgenin hipotenüsünün bulunması da vardır. Bir üçgenin üç açısı olan bir çokyüzlü olduğunu hatırlayın. Aşağıda çeşitli üçgenlerin hipotenüsünü hesaplamanın birkaç yolu bulunmaktadır.

İlk önce bir dik üçgenin hipotenüsünü nasıl bulacağımıza bakalım. Unutanlar için bir açısı 90 derece olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşı tarafında bulunan üçgenin kenarına hipotenüs denir. Ayrıca üçgenin en uzun kenarıdır. Bilinen değerlere bağlı olarak hipotenüs uzunluğu şu şekilde hesaplanır:

Bacakların uzunlukları bilinmektedir. Bu durumda hipotenüs, aşağıdaki şekilde okunan Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır: hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir. BK ve KF'nin kenarlar ve FB'nin hipotenüs olduğu bir BKF dik üçgenini düşünürsek, o zaman FB2= BK2+ KF2 olur. Yukarıdakilerden, hipotenüsün uzunluğunu hesaplarken, bacakların değerlerinin her birinin sırayla karesinin alınması gerektiği anlaşılmaktadır. Daha sonra öğrenilen sayıları toplayın ve sonuçtan karekökü çıkarın.

Bir örnek düşünün: Dik açılı bir üçgen veriliyor. Bir bacağı 3 cm, diğeri 4 cm'dir. Hipotenüsü bulun. Çözüm şuna benziyor.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Çıkarıyoruz ve FB=5cm elde ediyoruz.

Hipotenüs ile bu bacağın oluşturduğu bacak (BK) ve ona komşu olan açı bilinmektedir. Bir üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur? Bilinen α açısını gösterelim. Bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranının bu kenar ile hipotenüs arasındaki açının kosinüsüne eşit olduğunu belirten özelliğe göre. Bir üçgen göz önüne alındığında bu şu şekilde yazılabilir: FB= BK*cos(α).
Bacak (KF) ve aynı açı α biliniyor, ancak şimdi tam tersi olacak. Bu durumda hipotenüs nasıl bulunur? Şimdi dik üçgenin aynı özelliklerine dönelim ve bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranının, bacağın karşısındaki açının sinüsüne eşit olduğunu bulalım. Yani FB= KF * sin (α).

Bir örneğe bakalım. Hipotenüs FB ile aynı BKF dik üçgeni verildiğinde. F açısı 30 dereceye eşit olsun, ikinci B açısı 60 dereceye karşılık gelir. Uzunluğu 8 cm'ye karşılık gelen BK ayağı da bilinmektedir. Gerekli değer şu şekilde hesaplanabilir:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

Bilinen (R), dik açılı bir üçgenin etrafında tanımlanmıştır. Böyle bir problem göz önüne alındığında hipotenüs nasıl bulunur? Dik açılı bir üçgenin çevrelediği bir dairenin özelliğinden, böyle bir dairenin merkezinin hipotenüs noktasıyla çakıştığı ve onu ikiye böldüğü bilinmektedir. Basit bir ifadeyle yarıçap, hipotenüsün yarısına karşılık gelir. Dolayısıyla hipotenüs iki yarıçapa eşittir. FB=2*R. Eğer size yarıçapın değil medyanın bilindiği benzer bir problem verilirse, o zaman yarıçapın çizilen medyana eşit olduğunu söyleyen dik açılı bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliğine dikkat etmelisiniz. hipotenüse. Tüm bu özellikler kullanılarak problem aynı şekilde çözülür.

Soru, ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün nasıl bulunacağıysa, o zaman aynı Pisagor teoremine dönmeniz gerekir. Ancak öncelikle ikizkenar üçgenin iki kenarı aynı olan bir üçgen olduğunu unutmayın. Dik üçgen durumunda kenarlar eşittir. FB2= BK2+ KF2'ye sahibiz, ancak BK= KF olduğundan aşağıdakilere sahibiz: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Gördüğünüz gibi Pisagor teoremini ve dik üçgenin özelliklerini bilmek, hipotenüsün uzunluğunu hesaplamanın gerekli olduğu problemleri çözmek çok basittir. Tüm özellikleri hatırlamak zorsa, hipotenüsün istenen uzunluğunu hesaplayabileceğiniz bilinen değerleri değiştirerek hazır formülleri öğrenin.

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir sayıdır. Bir üçgeni oluşturan noktalara onun noktaları denir ve bölümler yan yanadır.

Üçgenin türüne (dikdörtgen, tek renkli vb.) bağlı olarak, giriş verilerine ve problemin koşullarına bağlı olarak üçgenin kenarını farklı şekillerde hesaplayabilirsiniz.

Bir makale için hızlı gezinme

Dik bir üçgenin kenarlarını hesaplamak için, hipotenüsün karesinin bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılır.

Bacakları "a" ve "b", hipotenüsü ise "c" olarak etiketlersek sayfalar aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Bir dik üçgenin (a ve b) dar açıları biliniyorsa kenarları aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Kırpılmış üçgen

Her iki tarafı da aynı olan üçgene eşkenar üçgen denir.

İki bacakta hipotenüs nasıl bulunur?

"a" harfi aynı sayfanın aynısı ise, "b" taban, "b" tabanın karşısındaki açı, "a" bitişik açı ise sayfaları hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanabilirsiniz:

İki köşe ve bir kenar

Herhangi bir üçgenin bir sayfası (c) ve iki açısı (a ve b) biliniyorsa, kalan sayfaları hesaplamak için sinüs formülü kullanılır:

Üçüncü değeri y = 180 - (a + b) bulmalısınız çünkü

bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180°'dir;

İki kenar ve bir açı

Bir üçgenin iki tarafı (a ve b) ve aralarındaki açı (y) biliniyorsa, üçüncü tarafı hesaplamak için kosinüs teoremi kullanılabilir.

Dik üçgenin çevresi nasıl belirlenir

Üçgen üçgen, biri 90 derece, diğer ikisi dar açı olan bir üçgendir. hesaplama çevreçok üçgen hakkında bilinen bilgi miktarına bağlıdır.

Buna ihtiyacın olacak

Duruma bağlı olarak, üçgenin üç tarafının yanı sıra dar açılarından biri de 2 becerisine sahiptir.

talimatlar

Birinci Yöntem 1. Üç sayfanın tümü biliniyorsa üçgen Daha sonra, ister dik ister üçgen olsun, çevre şu şekilde hesaplanır: P = A + B + C, mümkünse c hipotenüstür; a ve b bacaklardır.

ikinci Yöntem 2.

Bir dikdörtgenin yalnızca iki kenarı varsa Pisagor teoremini kullanarak, üçgenşu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = v (a2 + b2) + a + b veya P = v (c2 - b2) + b + c.

üçüncü Yöntem 3. Hipotenüs c ve bir dar açı olsun? Bir dik üçgen verildiğinde çevreyi şu şekilde bulmak mümkün olacaktır: P = (1 + sin?

dördüncü Yöntem 4. Dik üçgende bir bacağın uzunluğunun a'ya eşit olduğunu ve tam tersine dar bir açıya sahip olduğunu söylüyorlar. O zaman hesapla çevre Bu üçgen aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilecektir: P = a * (1 / tg?

1/oğul? + 1)

beşte biri Yöntem 5.

Çevrimiçi üçgen hesaplama

Bacağımız önde olsun ve buna dahil olsun, o zaman aralık şu şekilde hesaplanacaktır: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

İlgili videolar

Pisagor teoremi tüm matematiğin temelidir. Gerçek bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirler. Bu teoremin şu anda 367 kanıtı var.

talimatlar

Birinci Pisagor teoreminin klasik okul formülasyonu şu şekildedir: Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

İki Catet dik üçgeninde hipotenüsü bulmak için, bacakların uzunluklarının karesine başvurmanız, bunları toplamanız ve toplamın karekökünü almanız gerekir. İfadesinin orijinal formülasyonunda piyasa, Catete'nin ürettiği 2 karenin karelerinin toplamına eşit olan hipotenüse dayanmaktadır. Bununla birlikte, modern cebirsel formülasyon, bir alan temsilinin eklenmesini gerektirmez.

ikinciÖrneğin, kenarları 7 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen.

O halde Pisagor teoremine göre kare hipotenüs R + S = 49 + 64 = 113 cm'ye eşittir. Hipotenüs ise 113'ün kareköküne eşittir.

Dik üçgenin açıları

Sonuç makul olmayan bir sayıydı.

üçüncüÜçgenin kenarları 3 ve 4 ise hipotenüs = 25 = 5. Karekökünü aldığınızda doğal bir sayı elde edersiniz. 3, 4, 5 sayıları x ilişkisini sağladıklarından bir Pygagor üçlüsü oluştururlar. +E? = Z, bu doğaldır.

Pisagor üçlüsünün diğer örnekleri şunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

dördüncü Bu durumda bacaklar birbirinin aynısı ise Pisagor teoremi daha ilkel bir denkleme dönüşür. Örneğin, böyle bir elin A sayısına eşit olduğunu ve hipotenüsün C için tanımlandığını varsayalım ve sonra c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu durumda A'ya ihtiyacınız yoktur.

beşte biri Pisagor teoremi, bir üçgenin üç tarafı arasındaki ilişkiyi, ikisi arasındaki herhangi bir açı için kuran genel kosinüs teoreminden daha büyük olan özel bir durumdur.

İpucu 2: Bacaklar ve açılar için hipotenüs nasıl belirlenir

Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır.

talimatlar

Birinci Bilinen kateterler durumunda, bir dik üçgenin akut açısının yanı sıra, hipotenüs, açının zıt / e olması durumunda bacağın bu açının kosinüs / sinüs oranına eşit bir boyuta sahip olabilir: H = C1 (veya C2) / sin, H = C1 (veya C2?) / cos?. Örnek: ABC'ye hipotenüsü AB ve dik açısı C olan düzensiz bir üçgen verilsin.

B 60 derece ve A 30 derece olsun. BC sapının uzunluğu 8 cm'dir. AB hipotenüsünün uzunluğu bulunmalıdır. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açıda bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen Kaynak verilerine bağlı olarak.

talimatlar

Birinci Bacaklarınız dik ise üçgen, daha sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen Pisagor benzetmesi ile keşfedilebilir - hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b, sağdaki bacakların uzunluğudur üçgen .

ikinci Bacaklardan biri biliniyorsa ve dar bir açıdaysa, hipotenüsü bulma formülü, bilinen bacağa - bitişik (bacak yakın konumdadır) veya tam tersi ile ilgili olarak belirli bir açının varlığına veya yokluğuna bağlı olacaktır ( tam tersi durumda ise nego.V belirtilen açının kosinüs açısındaki bacağın hipotenüsüne eşittir: a = a / cos; E, diğer yandan hipotenüs sinüs açılarının oranıyla aynıdır: da = a / günah.

İlgili videolar

Faydalı ipuçları
Kenarları 3:4:5 ile ilişkili olan açılı üçgene, bu figürlerin eski Mısır mimarları tarafından yaygın olarak kullanılması nedeniyle Mısır deltası adı verilmiştir.

Bu aynı zamanda sayfaların ve alanın tam sayılarla temsil edildiği Jero üçgenlerinin en basit örneğidir.

Açısı 90° olan üçgene dikdörtgen denir. Sağ köşenin karşısındaki tarafa hipotenüs, diğerine ise bacaklar denir.

Normal üçgenlerin bazı özelliklerinden, yani dar açıların toplamının 90° olması ve karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün yarısı olması gerçeğinden yararlanılarak bir dik üçgenin nasıl oluşturulduğunu bulmak istiyorsanız 30°'dir.

Bir makale için hızlı gezinme

Kırpılmış üçgen

Eşit üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır.

Dik bir eş üçgenin açısını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

Bu 90°'den daha kötü değil.
Akut açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yani.
α ve β açıları 45°'ye eşittir.

Dar açılardan birinin bilinen değeri biliniyorsa diğeri şu formül kullanılarak bulunabilir: β = 180°-90°-α veya α = 180°-90°-β.

Bu oran en çok açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.

Anahtar kavramlar

Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.

Çünkü tek seviye, ikisi keskin kalıyor.

Üçgeni çevrimiçi hesapla

Onları bulmak istiyorsanız şunu bilmeniz gerekir:

diğer yöntemler

Bir dik üçgenin dar açılarının değerleri ortalamadan hesaplanabilir - üçgenin karşı tarafındaki bir noktadan bir çizgi ve yükseklik - çizgi hipotenüsten dik açıyla çizilen bir diktir. .

Kenarortay sağ köşeden hipotenüsün ortasına kadar uzansın ve yükseklik h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor:

günah α = b / (2 * s); günah β = a / (2 * s).
çünkü α = a / (2 * s); çünkü β = b / (2 * s).
günah α = h/b; günah β = h/a.

İki sayfa

Hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunlukları bir dik üçgende veya her iki tarafta biliniyorsa, akut açıların değerlerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

α = arksin (a/c), β = arksin (b/c).
α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).

Bir dik üçgenin uzunluğu

Üçgenin Alanı ve Alanı

çevre

Herhangi bir üçgenin çevresi üç kenarının uzunluklarının toplamına eşittir. Üçgen bulmanın genel formülü şöyledir:

burada P üçgenin çevresi, a, b ve c kenarlarıdır.

Eşit bir üçgenin çevresi kenar uzunluklarının art arda birleştirilmesiyle veya kenar uzunluğunun 2 ile çarpılıp taban uzunluğunun çarpıma eklenmesiyle bulunabilir.

Bir denge üçgeni bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:

burada P eşit bir üçgenin çevresidir, ancak ya b ya da b tabandır.

Eşkenar üçgenin çevresi Kenar uzunluklarının sırayla birleştirilmesiyle veya herhangi bir sayfanın uzunluğunun 3 ile çarpılmasıyla bulunabilir.

Eşkenar üçgenlerin kenarını bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:

burada P eşkenar üçgenin çevresidir, a ise kenarlarından herhangi biridir.

bölge

Bir üçgenin alanını ölçmek istiyorsanız bunu paralelkenarla karşılaştırabilirsiniz. ABC üçgenini düşünün:

Aynı üçgeni alıp bir paralelkenar elde edecek şekilde sabitlersek, bu üçgenle aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir paralelkenar elde ederiz:

Bu durumda üçgenlerin ortak kenarları kalıplanmış paralelkenarın köşegeni boyunca birbirine katlanır.

Paralelkenarın özelliklerinden. Bir paralelkenarın köşegenlerinin her zaman iki eşit üçgene bölündüğü, bu durumda her üçgenin yüzeyinin paralelkenarın aralığının yarısına eşit olduğu bilinmektedir.

Paralelkenarın alanı taban yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan üçgenin alanı bu çarpımın yarısına eşit olacaktır. Böylece ΔABC için alan aynı olacaktır.

Şimdi bir dik üçgen düşünün:

Birbirinin hipotenüsü olan iki özdeş dik üçgen, onlara yaslanırsa bir dikdörtgen şeklinde bükülebilir.

Dikdörtgenin yüzeyi bitişik kenarların yüzeyiyle çakıştığı için bu üçgenin alanı aynıdır:

Bundan herhangi bir dik üçgenin yüzeyinin bacakların çarpımının 2'ye eşit olduğu sonucuna varabiliriz.

Bu örneklerden, her üçgenin yüzeyinin uzunluğun çarpımı ile aynı olduğu ve yüksekliğin alt tabakanın 2'ye bölünmesiyle azaltıldığı sonucuna varılabilir.

Bir üçgenin alanını bulmak için genel formül şöyle görünecektir:

burada S üçgenin alanıdır, ancak tabanıdır, ancak yüksekliği a'nın altına düşer.

Hayatta sıklıkla matematik problemleriyle uğraşmak zorunda kalacağız: okulda, üniversitede ve ardından çocuğumuzun ev ödevlerine yardım etmek. Belirli mesleklerdeki insanlar matematikle günlük olarak karşılaşacaklardır. Bu nedenle matematik kurallarını ezberlemek veya hatırlamakta fayda var. Bu yazıda bunlardan birine bakacağız: Dik üçgenin kenarını bulma.

Dik üçgen nedir

Öncelikle dik üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. Dik üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir ve bu şeklin açılarından biri 90 derecedir. Dik açıyı oluşturan kenarlara bacaklar, dik açının karşısındaki kenara ise hipotenüs adı verilir.

Dik üçgenin ayağını bulma

Bacağın uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak ele almak istiyorum.

Dik üçgenin kenarını bulmak için Pisagor teoremi

Hipotenüsü ve kenarı biliyorsak, bilinmeyen kenarın uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz. Şöyle geliyor: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Formül: c²=a²+b², burada c hipotenüs, a ve b ise kenarlardır. Formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a²=c²-b².

Örnek. Hipotenüs 5 cm, kenar ise 3 cm'dir. Formülü dönüştürüyoruz: c²=a²+b² → a²=c²-b². Sonra çözüyoruz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Dik üçgenin kenarını bulmak için trigonometrik oranlar

Bir dik üçgenin diğer kenarları ve herhangi bir dar açısı biliniyorsa, bilinmeyen bir kenar da bulabilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonları kullanarak bir bacak bulmak için dört seçenek vardır: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant. Aşağıdaki tablo sorunları çözmemize yardımcı olacaktır. Bu seçenekleri değerlendirelim.

Sinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının sinüsü (sin), karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Formül: sin=a/c, burada a, verilen açının karşısındaki kenardır ve c, hipotenüstür. Daha sonra formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a=sin*c.

Örnek. Hipotenüs 10 cm ve A açısı 30 derecedir. Tabloyu kullanarak A açısının sinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşittir. Daha sonra dönüştürülmüş formülü kullanarak şunu çözeriz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Kosinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının kosinüsü (cos), bitişik kenarın hipotenüse oranıdır. Formül: cos=b/c, burada b, belirli bir açıya bitişik kenardır ve c, hipotenüstür. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: b=cos*c.

Örnek. A açısı 60 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının kosinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşit. Sonra çözüyoruz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Teğet kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının tanjantı (tg), karşı tarafın bitişik kenara oranıdır. Formül: tg=a/b, burada a, açının karşısındaki kenardır ve b, bitişik kenardır. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: a=tg*b.

Örnek. A açısı 45 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının tanjantını hesaplıyoruz, şuna eşittir: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Kotanjant kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Açı kotanjantı (ctg), bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Formül: ctg=b/a, burada b, açıya bitişik bacak ve karşı bacaktır. Başka bir deyişle, kotanjant "tersine çevrilmiş bir teğettir". Şunu elde ederiz: b=ctg*a.

Örnek. A açısı 30 derece, karşı kenar 5 cm'dir. Tabloya göre A açısının tanjantı √3'tür. Hesaplıyoruz: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).