Hangi sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır? Doğrusal denklem sistemleri

N bilinmeyenli m doğrusal denklem sistemi form sistemi denir

Nerede bir ben Ve ben (Ben=1,…,M; B=1,…,N) bilinen bazı sayılardır ve x 1 ,…,xn- Bilinmeyen. Katsayıların belirlenmesinde bir ben ilk dizin Ben denklem numarasını ve ikincisi J– bu katsayının bulunduğu bilinmeyenlerin sayısı.

Bilinmeyenlerin katsayılarını matris şeklinde yazacağız. , onu arayacağız sistemin matrisi.

Denklemlerin sağ tarafındaki sayılar b 1 ,…,bm arandı ücretsiz üyeler.

Bütünlük N sayılar c 1 ,…,c n isminde karar Belirli bir sistemin her denklemi, sayılar yerine konulduktan sonra bir eşitlik haline gelirse c 1 ,…,c n karşılık gelen bilinmeyenler yerine x 1 ,…,xn.

Bizim görevimiz sisteme çözüm bulmak olacaktır. Bu durumda üç durum ortaya çıkabilir:

En az bir çözümü olan doğrusal denklem sistemine ne ad verilir? eklem yeri. Aksi takdirde, yani sistemin çözümü yoksa buna denir ortak olmayan.

Sisteme çözüm bulmanın yollarını düşünelim.

DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE MATRİS YÖNTEMİ

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmayı mümkün kılar. Üç bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem verilsin:

Sistem matrisini düşünün bilinmeyen ve serbest terimlerin ve matris sütunları

Hadi işi bulalım

onlar. çarpım sonucunda bu sistemin denklemlerinin sol taraflarını elde ederiz. Daha sonra matrislerin eşitliği tanımı kullanılarak bu sistem şu şekilde yazılabilir:

veya daha kısa A∙X=B.

İşte matrisler A Ve B biliniyor ve matris X Bilinmeyen. Onu bulmak gerekiyor çünkü... unsurları bu sistemin çözümüdür. Bu denklem denir matris denklemi.

Matrisin determinantı sıfırdan farklı olsun | A| ≠ 0. Daha sonra matris denklemi aşağıdaki gibi çözülür. Soldaki denklemin her iki tarafını matrisle çarpın A-1, matrisin tersi A: . Çünkü A -1 A = E Ve e∙X = X, daha sonra formdaki matris denkleminin bir çözümünü elde ederiz X = A -1 B .

Ters matris yalnızca kare matrisler için bulunabildiğinden, matris yönteminin yalnızca aşağıdaki sistemleri çözebileceğini unutmayın. denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısıyla çakışıyor. Ancak denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olmadığı durumlarda sistemin matris kaydı da mümkündür. A kare olmayacak ve bu nedenle formda sisteme çözüm bulmak imkansızdır. X = A -1 B.

Örnekler. Denklem sistemlerini çözün.

CRAMER'IN KURALI

Üç bilinmeyenli 3 doğrusal denklemden oluşan bir sistem düşünün:

Sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinant, yani. bilinmeyenler için katsayılardan oluşan,

isminde sistemin belirleyicisi.

Aşağıdaki gibi üç determinant daha oluşturalım: D determinantındaki 1, 2 ve 3 sütunlarını sırayla serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirin

O halde aşağıdaki sonucu kanıtlayabiliriz.

Teorem (Cramer kuralı). Sistemin determinantı Δ ≠ 0 ise, söz konusu sistemin tek ve tek bir çözümü vardır ve

Kanıt. Şimdi üç bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem düşünelim. Sistemin 1. denklemini cebirsel tümleyenle çarpalım 11 eleman 11, 2. denklem – açık 21 ve 3. – açık 31:

Bu denklemleri toplayalım:

Parantezlerin her birine ve bu denklemin sağ tarafına bakalım. Determinantın 1. sütunun elemanlarında genişletilmesine ilişkin teorem ile

Benzer şekilde ve de gösterilebilir.

Son olarak şunu fark etmek kolaydır:

Böylece eşitliği elde ederiz: .

Buradan, .

Eşitlikler ve benzer şekilde türetilir ve teoremin ifadesi buradan gelir.

Dolayısıyla, eğer sistemin determinantı Δ ≠ 0 ise sistemin tek bir çözümü vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Sistemin determinantı sıfıra eşitse, sistemin ya sonsuz sayıda çözümü vardır ya da hiç çözümü yoktur, yani. uyumsuz.

Örnekler. Denklem sistemini çözme

GAUSS YÖNTEMİ

Daha önce tartışılan yöntemler yalnızca denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin determinantının sıfırdan farklı olması gereken sistemleri çözmek için kullanılabilir. Gauss yöntemi daha evrenseldir ve herhangi sayıda denklem içeren sistemler için uygundur. Bilinmeyenlerin sistem denklemlerinden tutarlı bir şekilde ortadan kaldırılmasından oluşur.

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemi tekrar düşünün:

.

İlk denklemi değiştirmeden bırakacağız ve 2. ve 3. denklemlerden aşağıdakileri içeren terimleri hariç tutacağız: x 1. Bunu yapmak için ikinci denklemi şuna bölün: A 21 ve – ile çarpın A 11 ve sonra bunu 1. denkleme ekleyin. Benzer şekilde üçüncü denklemi de şuna böleriz: A 31 ve – ile çarpın A 11 ve sonra bunu ilkiyle ekleyin. Sonuç olarak orijinal sistem şu şekli alacaktır:

Şimdi son denklemden aşağıdakileri içeren terimi ortadan kaldırıyoruz: x 2. Bunu yapmak için üçüncü denklemi ikiye bölün, ikinciyle çarpın ve ekleyin. O zaman bir denklem sistemimiz olacak:

Buradan son denklemi bulmak kolaydır x 3, daha sonra 2. denklemden x 2 ve son olarak, 1'den itibaren - x 1.

Gauss yöntemini kullanırken gerekirse denklemler değiştirilebilir.

Çoğunlukla yeni bir denklem sistemi yazmak yerine kendilerini sistemin genişletilmiş matrisini yazmakla sınırlarlar:

ve sonra temel dönüşümleri kullanarak onu üçgen veya köşegen forma getirin.

İLE temel dönüşümler matrisler aşağıdaki dönüşümleri içerir:

1. satırları veya sütunları yeniden düzenlemek;
2. bir dizgiyi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak;
3. bir satıra diğer satırları eklemek.

Örnekler: Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Yani sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Ancak pratikte iki durum daha yaygındır:

– Sistem tutarsızdır (çözümleri yoktur);
– Sistem tutarlıdır ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

Not : “Tutarlılık” terimi sistemin en azından bir çözüme sahip olduğunu ima eder. Bir takım problemlerde öncelikle sistemin uyumluluğunu incelemek gerekir, bunun nasıl yapılacağı hakkındaki makaleye bakın; matrislerin sırası.

Bu sistemler için tüm çözüm yöntemlerinden en evrensel olanı kullanılır - Gauss yöntemi. Aslında "okul" yöntemi de cevaba yol açacaktır, ancak yüksek matematikte bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasına yönelik Gauss yönteminin kullanılması gelenekseldir. Gauss yöntemi algoritmasına aşina olmayanlar lütfen önce dersi inceleyin Kuklalar için Gauss yöntemi.

Temel matris dönüşümlerinin kendisi tamamen aynıdır fark çözümün sonunda olacaktır. Öncelikle sistemin hiçbir çözümü olmadığında (tutarsız) birkaç örneğe bakalım.

örnek 1

Bu sistemde hemen gözünüze çarpan şey nedir? Denklem sayısı değişken sayısından azdır. Denklem sayısı değişken sayısından azsa O zaman sistemin ya tutarsız olduğunu ya da sonsuz sayıda çözümü olduğunu hemen söyleyebiliriz. Ve geriye kalan tek şey öğrenmek.

Çözümün başlangıcı tamamen sıradan - sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getiriyoruz:

(1) Sol üst adımda +1 veya –1 almamız gerekiyor. İlk sütunda böyle bir sayı bulunmadığından satırları yeniden düzenlemek hiçbir şey vermeyecektir. Birimin kendi kendini organize etmesi gerekecek ve bu çeşitli şekillerde yapılabilir. Bunu yaptım: İlk satıra üçüncü satırı -1 ile çarparak ekliyoruz.

(2) Şimdi ilk sütunda iki sıfır elde ediyoruz. İkinci satıra ilk satırın 3 ile çarpımını ekliyoruz. Üçüncü satıra ise ilk satırın 5 ile çarpımını ekliyoruz.

(3) Dönüşüm tamamlandıktan sonra, ortaya çıkan dizeleri basitleştirmenin mümkün olup olmadığını görmek her zaman tavsiye edilir. Olabilmek. İkinci satırı 2'ye bölüyoruz, aynı zamanda ikinci adımda gerekli -1'i elde ediyoruz. Üçüncü satırı –3'e bölün.

(4) İkinci satırı üçüncü satıra ekleyin.

Muhtemelen herkes temel dönüşümlerden kaynaklanan kötü çizgiyi fark etti: . Bunun böyle olamayacağı açıktır. Aslında elde edilen matrisi yeniden yazalım. doğrusal denklem sistemine geri dönelim:

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sıfır olmayan bir sayı olan bir form dizisi elde edilirse, sistem tutarsızdır (çözümleri yoktur).

Bir görevin sonu nasıl yazılır? Beyaz tebeşirle çizelim: “temel dönüşümler sonucunda” şeklinde bir dizi elde ediliyor ve cevabı verelim: sistemin çözümü yok (tutarsız).

Koşula göre sistemin uyumluluk açısından ARAŞTIRILMASI gerekiyorsa, o zaman çözümü konsepti kullanarak daha sağlam bir tarzda formüle etmek gerekir. matris sıralaması ve Kronecker-Capelli teoremi.

Lütfen burada Gauss algoritmasının tersine çevrilmediğine dikkat edin; çözüm yoktur ve bulunacak hiçbir şey yoktur.

Örnek 2

Doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Sizin çözümünüzün benim çözümümden farklı olabileceğini bir kez daha hatırlatırım; Gauss algoritmasının güçlü bir “katılığı” yoktur.

Çözümün bir diğer teknik özelliği: temel dönüşümlerin durdurulabilmesi Bir kerede, gibi bir satır olur olmaz nerede . Koşullu bir örneği ele alalım: ilk dönüşümden sonra matrisin elde edildiğini varsayalım. . Matris henüz basamaklı forma indirgenmemiştir, ancak formun bir çizgisi ortaya çıktığı için daha fazla temel dönüşüme gerek yoktur, burada . Sistemin uyumsuz olduğu cevabının hemen verilmesi gerekiyor.

Bir doğrusal denklem sisteminin çözümü olmadığında, bazen kelimenin tam anlamıyla 2-3 adımda kısa bir çözüm elde edilmesi nedeniyle bu neredeyse bir hediyedir.

Ancak bu dünyada her şey dengelidir ve sistemin sonsuz sayıda çözümü olan bir problem sadece daha uzundur.

Örnek 3

Doğrusal denklem sistemini çözme

4 denklem ve 4 bilinmeyen olduğundan sistemin ya tek bir çözümü olabilir, ya hiç çözümü olmayabilir ya da sonsuz sayıda çözümü olabilir. Her ne olursa olsun Gauss yöntemi her halükarda bizi cevaba götürecektir. Bu onun çok yönlülüğüdür.

Başlangıç ​​yine standarttır. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Hepsi bu ve sen korktun.

(1) İlk sütundaki tüm sayıların 2'ye bölünebildiğini, dolayısıyla sol üst adımda 2'nin yeterli olduğunu lütfen unutmayın. İkinci satıra ilk satırı –4 ile çarparak ekliyoruz. Üçüncü satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekliyoruz. Dördüncü satıra ilk satırı –1 ile çarparak ekliyoruz.

Dikkat! Birçoğu dördüncü çizginin cazibesine kapılabilir çıkarmaİlk satır. Bu yapılabilir, ancak gerekli değildir; deneyimler, hesaplamalarda hata olasılığının birkaç kat arttığını göstermektedir. Sadece şunu ekleyin: Dördüncü satıra ilk satırı –1 ile çarparak ekleyin – Kesinlikle!

(2) Son üç satır orantılıdır, ikisi silinebilir.

Burada tekrar göstermemiz gerekiyor artan dikkat, ancak çizgiler gerçekten orantılı mı? Güvenli tarafta olmak için (özellikle bir çaydanlık için), ikinci satırı -1 ile çarpmak ve dördüncü satırı 2'ye bölerek üç özdeş çizgi elde etmek iyi bir fikir olacaktır. Ve ancak bundan sonra ikisini kaldırın.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sistemin genişletilmiş matrisi aşamalı bir forma indirgenir:

Bir not defterine bir görev yazarken, netlik sağlamak için aynı notların kurşun kalemle yapılması tavsiye edilir.

Karşılık gelen denklem sistemini yeniden yazalım:

Burada sistemde “sıradan” tek çözüm kokusu yok. Kötü bir çizgi de yok. Bu, bunun kalan üçüncü durum olduğu anlamına gelir; sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bazen duruma göre sistemin uyumluluğunu araştırmak (yani bir çözümün var olduğunu kanıtlamak) gerekir, bunu makalenin son paragrafında okuyabilirsiniz. Bir matrisin rütbesi nasıl bulunur? Ama şimdilik temelleri gözden geçirelim:

Bir sistemin sonsuz çözüm kümesi kısaca şu şekilde yazılır: sistemin genel çözümü .

Sistemin genel çözümünü Gauss yönteminin tersini kullanarak buluyoruz.

Öncelikle hangi değişkenlere sahip olduğumuzu tanımlamamız gerekiyor. temel ve hangi değişkenler özgür. Lineer cebirin terimleriyle uğraşmanıza gerek yok, sadece şunu unutmayın: temel değişkenler Ve serbest değişkenler.

Temel değişkenler her zaman kesin olarak matrisin basamaklarına “oturur”.
Bu örnekte temel değişkenler ve

Serbest değişkenler her şeydir geriye kalan bir adım almayan değişkenler. Bizim durumumuzda bunlardan iki tane var: – serbest değişkenler.

Şimdi ihtiyacın var Tüm temel değişkenler ifade etmek sadece aracılığıyla serbest değişkenler.

Gauss algoritmasının tersi geleneksel olarak aşağıdan yukarıya doğru çalışır.
Sistemin ikinci denkleminden temel değişkeni ifade ediyoruz:

Şimdi ilk denkleme bakın: . İlk önce bulunan ifadeyi yerine koyarız:

Geriye temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade etmek kalıyor:

Sonunda ihtiyacımız olanı aldık - Tüm temel değişkenler ( ve ) ifade edilir sadece aracılığıyla serbest değişkenler:

Aslında genel çözüm hazır:

Genel çözüm nasıl doğru yazılır?
Serbest değişkenler genel çözüme “kendi başlarına” ve kesinlikle yerlerine yazılır. Bu durumda serbest değişkenler ikinci ve dördüncü konumlara yazılmalıdır:
.

Temel değişkenler için elde edilen ifadeler ve açıkçası birinci ve üçüncü konumlara yazılması gerekiyor:

Serbest değişkenler vermek keyfi değerler, sonsuz sayıda bulabilirsiniz özel çözümler. En popüler değerler sıfırlardır çünkü özel çözüm elde edilmesi en kolay olanıdır. Genel çözümü yerine koyalım:

– özel çözüm.

Bir başka tatlı çift ise birlerdir, hadi bunları genel çözümde yerine koyalım:

– başka bir özel çözüm.

Denklem sisteminin sahip olduğunu görmek kolaydır. sonsuz sayıda çözüm(serbest değişkenler verebildiğimiz için herhangi değerler)

Her biriözel çözüm tatmin edici olmalıdır her birine sistemin denklemi. Bu, çözümün doğruluğunun “hızlı” kontrolünün temelidir. Örneğin belirli bir çözümü alın ve onu orijinal sistemin her denkleminin sol tarafına koyun:

Her şey bir araya gelmeli. Aldığınız herhangi bir özel çözümle de her şeyin aynı olması gerekir.

Ancak kesin olarak konuşursak, belirli bir çözümü kontrol etmek bazen aldatıcıdır; Bazı özel çözümler sistemin her denklemini sağlayabilir ancak genel çözümün kendisi aslında yanlış bulunur.

Bu nedenle genel çözümün doğrulanması daha kapsamlı ve güvenilirdir. Ortaya çıkan genel çözüm nasıl kontrol edilir ?

Zor değil ama oldukça yorucu. İfadeleri almamız gerekiyor temel bu durumda değişkenler ve , ve bunları sistemin her denkleminin sol tarafına yerleştirin.

Sistemin ilk denkleminin sol tarafında:

Sistemin ikinci denkleminin sol tarafında:


Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Örnek 4

Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün. Genel çözümü ve iki özel çözümü bulun. Genel çözümü kontrol edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Burada da yine denklem sayısı bilinmeyen sayısından azdır, bu da sistemin ya tutarsız olacağı ya da sonsuz sayıda çözüme sahip olacağı hemen anlaşılmaktadır. Karar sürecinin kendisinde önemli olan nedir? Dikkat ve tekrar dikkat. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve materyali güçlendirmek için birkaç örnek daha

Örnek 5

Bir doğrusal denklem sistemini çözün. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, iki özel çözüm bulun ve genel çözümü kontrol edin.

Çözüm: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

(1) İlk satırı ikinci satıra ekleyin. Üçüncü satıra ilk satırın 2 ile çarpımını ekliyoruz. Dördüncü satıra ise ilk satırın 3 ile çarpımını ekliyoruz.
(2) Üçüncü satıra ikinci satırı –5 ile çarparak ekliyoruz. Dördüncü satıra ikinci satırı -7 ile çarparak ekliyoruz.
(3) Üçüncü ve dördüncü satırlar aynı, birini siliyoruz.

Bu öyle bir güzellik ki:

Temel değişkenler basamaklarda bulunur, dolayısıyla temel değişkenler.
Bir adım atamayan tek bir serbest değişken var:

Tersi:
Temel değişkenleri serbest bir değişken aracılığıyla ifade edelim:
Üçüncü denklemden:

İkinci denklemi ele alalım ve bulunan ifadeyi onun yerine koyalım:

İlk denklemi ele alalım ve bulunan ifadeleri onun içine koyalım:

Evet, sıradan kesirleri hesaplayan bir hesap makinesi hâlâ kullanışlıdır.

Yani genel çözüm şudur:

Bir kez daha, nasıl oldu? Serbest değişken hak ettiği dördüncü sırada tek başına oturuyor. Temel değişkenler için elde edilen ifadeler de sıradaki yerlerini aldı.

Hemen genel çözümü kontrol edelim. Bu iş siyahilere göre ama ben bunu zaten yaptım, o yüzden yakalayın =)

Sistemin her denkleminin sol tarafına üç kahramanı yerleştiriyoruz:

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece genel çözüm doğru bulunur.

Şimdi bulunan genel çözümden iki özel çözüm elde ederiz. Buradaki tek serbest değişken şeftir. Beyninizi yormaya gerek yok.

Olsun o zaman – özel çözüm.
Olsun o zaman – başka bir özel çözüm.

Cevap: Ortak karar: , özel çözümler: , .

Siyahları hatırlamamalıydım... ...çünkü aklıma türlü türlü sadist motifler geldi ve Ku Klux Klan adamlarının beyaz cüppeli siyah bir futbolcunun peşinden sahada koştuğu ünlü photoshop'u hatırladım. Oturuyorum ve sessizce gülümsüyorum. Ne kadar dikkat dağıtıcı olduğunu biliyorsun...

Matematiğin çoğu zararlıdır, dolayısıyla bunu kendiniz çözmek için benzer bir son örnek.

Örnek 6

Doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü bulun.

Genel çözümü zaten kontrol ettim, cevaba güvenilebilir. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir, asıl önemli olan genel çözümlerin örtüşmesidir.

Muhtemelen birçok kişi çözümlerde hoş olmayan bir an fark etti: Gauss yönteminin tersine gidişi sırasında çoğu zaman sıradan kesirlerle uğraşmak zorunda kaldık. Pratikte durum böyledir; kesirlerin olmadığı durumlar çok daha az yaygındır. Zihinsel ve en önemlisi teknik olarak hazırlıklı olun.

Çözümün çözülmüş örneklerde bulunmayan bazı özellikleri üzerinde duracağım.

Sistemin genel çözümü bazen bir sabit (veya sabitler) içerebilir, örneğin: . Burada temel değişkenlerden biri sabit bir sayıya eşittir: . Bunda egzotik bir şey yok, oluyor. Açıkçası, bu durumda herhangi bir çözümün ilk konumunda beş yer alacaktır.

Nadiren ama öyle sistemler var ki Denklem sayısı değişken sayısından daha fazla. Gauss yöntemi en zorlu koşullarda çalışır; standart bir algoritma kullanılarak sistemin genişletilmiş matrisi sakin bir şekilde adım adım forma indirilmelidir. Böyle bir sistem tutarsız olabilir, sonsuz sayıda çözümü olabilir ve tuhaf bir şekilde tek bir çözümü olabilir.

Tutarlılık açısından bir doğrusal yaş denklemleri sistemini (SLAE'ler) incelemek, bu sistemin çözümlerinin olup olmadığını bulmak anlamına gelir. Peki, çözümler varsa kaç tane olduğunu belirtin.

"Doğrusal cebirsel denklemler sistemi. Temel terimler. Gösterimin matris biçimi" konusundan bilgiye ihtiyacımız olacak. Kronecker-Capelli teoreminin formülasyonu bunlara dayandığından özellikle sistem matrisi ve genişletilmiş sistem matrisi gibi kavramlara ihtiyaç vardır. Her zamanki gibi sistem matrisini $A$ harfiyle ve sistemin genişletilmiş matrisini $\widetilde(A)$ harfiyle göstereceğiz.

Kronecker-Capelli teoremi

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi ancak ve ancak sistem matrisinin sıralaması sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır; $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Bir sistemin en az bir çözümü varsa eklem olarak adlandırıldığını hatırlatayım. Kronecker-Capelli teoremi şunu söylüyor: Eğer $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ise, o zaman bir çözüm vardır; $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise bu SLAE'nin hiçbir çözümü yoktur (tutarsız). Bu çözümlerin sayısıyla ilgili sorunun cevabı Kronecker-Capelli teoreminin bir sonucu olarak verilmektedir. Sonuç formülasyonunda, verilen SLAE'nin değişken sayısına eşit olan $n$ harfi kullanılır.

Kronecker-Capelli teoreminin sonucu

1. $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise SLAE tutarsızdır (çözümleri yoktur).
2. Eğer $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ ise, SLAE kesindir (tam olarak bir çözümü vardır).

Lütfen formüle edilen teoremin ve onun sonucunun SLAE'ye nasıl bir çözüm bulunacağını göstermediğini unutmayın. Onların yardımıyla, yalnızca bu çözümlerin var olup olmadığını ve varsa kaç tane olduğunu öğrenebilirsiniz.

Örnek No.1

SLAE $'ı keşfedin \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) Uyumluluk için )\right.$ SLAE uyumluysa çözüm sayısını belirtin.

Belirli bir SLAE'ye yönelik çözümlerin varlığını bulmak için Kronecker-Capelli teoremini kullanırız. $A$ sisteminin matrisine ve $\widetilde(A)$ sisteminin genişletilmiş matrisine ihtiyacımız olacak, bunları yazacağız:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(dizi) \sağ). $$

$\rang A$ ve $\rang\widetilde(A)$'ı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmanın birçok yolu vardır ve bunlardan bazıları Matrix Sıralaması bölümünde listelenmiştir. Tipik olarak, bu tür sistemleri incelemek için iki yöntem kullanılır: "Bir matrisin sıralamasını tanım gereği hesaplamak" veya "Bir matrisin sıralamasını temel dönüşümler yöntemiyle hesaplamak".

Yöntem numarası 1. Tanım gereği bilgi işlem sıralanır.

Tanıma göre sıra, bir matrisin minörlerinin en yüksek sırasıdır ve aralarında sıfırdan farklı en az bir tane bulunur. Genellikle çalışma birinci dereceden küçüklerle başlar, ancak burada $A$ matrisinin üçüncü dereceden küçüklerini hesaplamaya hemen başlamak daha uygundur. Üçüncü dereceden küçük elemanlar, söz konusu matrisin üç satırının ve üç sütununun kesişiminde bulunur. $A$ matrisi yalnızca 3 satır ve 3 sütun içerdiğinden, $A$ matrisinin üçüncü dereceden küçük değeri $A$ matrisinin determinantıdır, yani. $\Delta A$. Belirleyiciyi hesaplamak için “İkinci ve üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanmasına yönelik formüller” konusundaki 2 numaralı formülü uyguluyoruz:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Yani $A$ matrisinin sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir minörü vardır. Dördüncü dereceden bir minör oluşturmak imkansızdır çünkü 4 satır ve 4 sütun gerektirir ve $A$ matrisinde yalnızca 3 satır ve 3 sütun bulunur. Yani, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan $A$ matrisinin minörlerinin en yüksek sırası 3'tür. Dolayısıyla $\rang A=3$ olur.

Ayrıca $\rang\widetilde(A)$ bulmamız gerekiyor. $\widetilde(A)$ matrisinin yapısına bakalım. $\widetilde(A)$ matrisindeki satıra kadar $A$ matrisinin elemanları vardır ve $\Delta A\neq 0$ olduğunu bulduk. Sonuç olarak, $\widetilde(A)$ matrisinin üçüncü dereceden bir minörü vardır ve bu sıfıra eşit değildir. $\widetilde(A)$ matrisinin dördüncü dereceden küçüklerini oluşturamayız, dolayısıyla şu sonuca varırız: $\rang\widetilde(A)=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarlıdır, yani. bir çözümü var (en az bir). Çözüm sayısını belirtmek için SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini hesaba katarız: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğundan şu sonuca varıyoruz: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dolayısıyla Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre sistem belirlidir, yani. benzersiz bir çözümü var.

Problem çözüldü. Bu yöntemin ne gibi dezavantajları ve avantajları var? Öncelikle avantajlarından bahsedelim. Öncelikle tek bir determinant bulmamız gerekiyordu. Bundan sonra hemen çözüm sayısı hakkında bir sonuca vardık. Tipik olarak standart standart hesaplamalar, üç bilinmeyen içeren ve benzersiz bir çözümü olan denklem sistemlerini verir. Bu tür sistemler için bu yöntem çok uygundur çünkü bir çözümün olduğunu önceden biliyoruz (aksi takdirde örnek standart hesaplamada olmazdı). Onlar. Tek yapmamız gereken çözümün varlığını en hızlı şekilde göstermek. İkinci olarak, sistem matrisinin determinantının hesaplanan değeri (yani $\Delta A$) daha sonra faydalı olacaktır: belirli bir sistemi Cramer yöntemini veya ters matrisi kullanarak çözmeye başladığımızda.

Bununla birlikte, $A$ sisteminin matrisi dikdörtgen ise, sıralamayı hesaplama yönteminin kullanılması tanım gereği arzu edilmez. Bu durumda aşağıda tartışılacak olan ikinci yöntemi kullanmak daha iyidir. Ek olarak, eğer $\Delta A=0$ ise, belirli bir homojen olmayan SLAE'nin çözüm sayısı hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz. Belki SLAE'nin sonsuz sayıda çözümü vardır, belki de hiçbiri yoktur. $\Delta A=0$ ise ek araştırma gerekir ve bu genellikle zahmetlidir.

Söylenenleri özetlemek gerekirse, ilk yöntemin sistem matrisi kare olan SLAE'ler için iyi olduğunu belirtmek isterim. Ayrıca SLAE'nin kendisi üç veya dört bilinmeyen içerir ve standart standart hesaplamalardan veya testlerden alınır.

Yöntem No.2. Temel dönüşümler yöntemiyle rütbenin hesaplanması.

Bu yöntem ilgili başlıkta ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. $\widetilde(A)$ matrisinin rütbesini hesaplamaya başlayacağız. Neden $\widetilde(A)$ matrisleri $A$ değil de? Gerçek şu ki, $A$ matrisi $\widetilde(A)$ matrisinin bir parçasıdır, dolayısıyla $\widetilde(A)$ matrisinin sırasını hesaplayarak aynı anda $A$ matrisinin sırasını da bulacağız. .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(birinci ve ikinci satırları değiştirin)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

$\widetilde(A)$ matrisini basamaklı forma indirdik. Ortaya çıkan basamak matrisinin sıfır olmayan üç satırı vardır, dolayısıyla sıralaması 3'tür. Sonuç olarak, $\widetilde(A)$ matrisinin sıralaması 3'e eşittir, yani. $\rang\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ matrisinin elemanlarıyla dönüşüm yaparken, $A$ matrisinin satıra kadar olan elemanlarını aynı anda dönüştürdük. $A$ matrisi de basamak biçimine indirgenir: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \sağ)$. Sonuç: $A$ matrisinin sıralaması da 3'tür, yani. $\rang A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarlıdır, yani. bir çözümü var. Çözüm sayısını belirtmek için SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini hesaba katarız: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğundan şu sonuca varırız: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dolayısıyla Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre sistem tanımlanır, yani. benzersiz bir çözümü var.

İkinci yöntemin avantajları nelerdir? Ana avantajı çok yönlülüğüdür. Sistemin matrisinin kare olup olmaması bizim için önemli değil. Ayrıca aslında Gauss yönteminin ileri dönüşümlerini de gerçekleştirdik. Yalnızca birkaç adım kaldı ve bu SLAE'ye bir çözüm bulabiliriz. Dürüst olmak gerekirse ikinci yöntemi birinciden daha çok seviyorum ama seçim bir zevk meselesi.

Cevap: Verilen SLAE tutarlı ve tanımlanmıştır.

Örnek No.2

SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- Uyumluluk için 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$.

Temel dönüşümler yöntemini kullanarak sistem matrisinin ve genişletilmiş sistem matrisinin sıralarını bulacağız. Genişletilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Sistemin genişletilmiş matrisini dönüştürerek gerekli sıraları bulalım:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Sistemin genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgenir. Bir basamak matrisinin rütbesi sıfırdan farklı satırların sayısına eşittir, yani $\rang\widetilde(A)=3$. $A$ matrisi de (satıra kadar) basamak biçimine indirgenir ve sırası 2, $\rang(A)=2$ olur.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarsızdır (yani hiçbir çözümü yoktur).

Cevap: Sistem tutarsızdır.

Örnek No.3

SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 Uyumluluk için ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$.

Sistemin genişletilmiş matrisini adım adım forma getiriyoruz:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3)(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( dizi) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (dizi)(cccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Sistemin genişletilmiş matrisini ve sistemin kendisinin matrisini aşamalı bir forma getirdik. Sistemin genişletilmiş matrisinin sıralaması üçe eşittir, sistemin matrisinin sıralaması da üçe eşittir. Sistem $n=5$ bilinmeyen içerdiğinden, yani. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, o zaman Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre bu sistem belirsizdir, yani. sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap: Sistem belirsizdir.

İkinci bölümde, yüksek matematikte standart hesaplamalara veya testlere sıklıkla dahil edilen örnekleri analiz edeceğiz: tutarlılık araştırması ve SLAE'nin, içerdiği parametrelerin değerlerine bağlı olarak çözümü.

Bölümler: Matematik

Bir problemin üçten az değişkeni varsa bu bir problem değildir; sekizden fazla ise çözülemez. Enon.

Parametrelerle ilgili sorunlar, Birleşik Devlet Sınavının tüm versiyonlarında bulunur, çünkü bunları çözmek, mezunun bilgisinin ne kadar derin ve gayri resmi olduğunu en açık şekilde ortaya koyar. Öğrencilerin bu tür görevleri tamamlarken karşılaştıkları zorluklar, yalnızca göreceli karmaşıklığından değil, aynı zamanda ders kitaplarında bunlara yeterince önem verilmemesinden de kaynaklanmaktadır. KIM'lerin matematikteki versiyonlarında parametreli iki tür görev vardır. Birincisi: “Parametrenin her değeri için denklemi, eşitsizliği veya sistemi çözün.” İkincisi: "Her biri için eşitsizliğin, denklemin veya sistemin çözümlerinin verilen koşulları karşıladığı parametrenin tüm değerlerini bulun." Buna göre bu iki tür problemin cevapları özünde farklılık göstermektedir. İlk durumda cevap, parametrenin tüm olası değerlerini listeler ve bu değerlerin her biri için denklemin çözümleri yazılır. İkincisi, problemin koşullarının karşılandığı tüm parametre değerlerini listeler. Cevabı yazmak çözümün önemli bir aşamasıdır; çözümün tüm aşamalarını cevaba yansıtmayı unutmamak çok önemlidir. Öğrencilerin buna dikkat etmesi gerekiyor.
Dersin eki, öğrencileri final sertifikasına hazırlamaya yardımcı olacak “Parametrelerle doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesi” konusuyla ilgili ek materyal içermektedir.

Dersin Hedefleri:

• öğrencilerin bilgilerinin sistemleştirilmesi;
• denklem sistemlerini çözerken grafik gösterimleri kullanma becerisinin geliştirilmesi;
• parametreler içeren doğrusal denklem sistemlerini çözme becerisinin geliştirilmesi;
• öğrencilerin operasyonel kontrolünün ve öz kontrolünün uygulanması;
• Okul çocuklarının araştırma ve bilişsel faaliyetlerinin gelişimi, elde edilen sonuçları değerlendirme yeteneği.

Ders iki saat sürüyor.

Dersler sırasında

1. Zamanı organize etmek

Dersin konusunu, amaçlarını ve hedeflerini anlatın.

1. Öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesi

Ev ödevlerini kontrol ediyorum. Ev ödevi olarak öğrencilerden üç doğrusal denklem sisteminin her birini çözmeleri istendi.

a) b) V)

grafiksel ve analitik olarak; Her durum için elde edilen çözümlerin sayısı hakkında bir sonuca varmak

Öğrencilerin vardığı sonuçlar dinlenir ve analiz edilir. Öğretmenin rehberliğinde yapılan çalışmaların sonuçları not defterlerinde özetlenir.

Genel olarak, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi şu şekilde temsil edilebilir: .

Belirli bir denklem sistemini grafiksel olarak çözmek, bu denklemlerin grafiklerinin kesişme noktalarının koordinatlarını bulmak veya olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Bu sistemin her denkleminin bir düzlemdeki grafiği belirli bir düz çizgidir.

Bir düzlemde iki düz çizginin karşılıklı düzenlenmesinin üç olası durumu vardır:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Her durumda bir çizim yapmak faydalıdır.

1. Yeni materyal öğrenme

Bugün derste parametre içeren doğrusal denklem sistemlerinin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Problemdeki değeri belirli bir sabit veya keyfi gerçek sayı veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait bir sayı olarak kabul edilen bir parametreye bağımsız değişken adını vereceğiz. Bir denklem sistemini bir parametreyle çözmek, parametrenin herhangi bir değerinin sisteme karşılık gelen çözüm kümesini bulmasına olanak tanıyan bir uygunluk oluşturmak anlamına gelir.

Bir parametreyle ilgili problemin çözümü, içinde sorulan soruya bağlıdır. Bir parametrenin farklı değerleri için bir denklem sistemini çözmeniz veya onu incelemeniz gerekiyorsa, o zaman parametrenin herhangi bir değeri veya daha önce belirtilen bir kümeye ait bir parametrenin değeri için doğrulanmış bir cevap vermeniz gerekir. sorun. Belirli koşulları sağlayan parametre değerlerinin bulunması gerekiyorsa, bu durumda kapsamlı bir çalışmaya gerek duyulmaz ve sistemin çözümü bu belirli parametre değerlerinin bulunmasıyla sınırlıdır.

Örnek 1. Her parametre değeri için denklem sistemini çözüyoruz

Çözüm.

1. Sistemin benzersiz bir çözümü varsa

Bu durumda elimizde

1. a = 0 ise sistem şu formu alır:

Sistem tutarsızdır, yani. hiçbir çözümü yok.

1. Eğer o zaman sistem formda yazılırsa

Açıkçası, bu durumda sistemin x = t formunda sonsuz sayıda çözümü vardır; burada t herhangi bir gerçek sayıdır.

Cevap:

Örnek 2.

• benzersiz bir çözümü var;
• birçok çözümü var;
• hiçbir çözümü yok mu?

Çözüm.

Cevap:

Örnek 3. Sistemin a ve b parametrelerinin toplamını bulalım.

sayısız çözümü var.

Çözüm. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa

Yani a = 12 ise b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Cevap: 48.

1. Problem çözerken öğrenilenlerin pekiştirilmesi

1. 15.24(a) . Her parametre değeri için denklem sistemini çözün

1. No. 15.25(a) Her parametre değeri için denklem sistemini çözün

1. Denklem sistemi a parametresinin hangi değerlerinde

a) hiçbir çözümü yoktur; b) Sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap: a = 2 için çözüm yoktur, a = -2 için sonsuz sayıda çözüm vardır

1. Grup halinde pratik çalışma

Sınıf 4-5 kişilik gruplara ayrılır. Her grupta farklı matematik hazırlığı seviyelerine sahip öğrenciler bulunur. Her gruba bir görev kartı verilir. Tüm grupları bir denklem sistemini çözmeye ve çözümü resmileştirmeye davet edebilirsiniz. Görevi doğru bir şekilde tamamlayan ilk grup çözümünü sunar; geri kalanı çözümü öğretmene teslim eder.

Kart. Doğrusal denklem sistemini çözme

a parametresinin tüm değerleri için.

Cevap: ne zaman sistemin benzersiz bir çözümü var ; hiçbir çözüm olmadığında; a = -1 için (t; 1- t) formunda sonsuz sayıda çözüm vardır, burada t R

Eğer sınıf güçlüyse, gruplara farklı denklem sistemleri önerilebilir; bunların listesi aşağıdadır. ek 1. Daha sonra her grup kendi çözümünü sınıfa sunar.

Görevi doğru şekilde tamamlayan ilk grubun raporu

Katılımcılar çözümlerini dile getiriyor, açıklıyor ve diğer grupların temsilcileri tarafından sorulan soruları yanıtlıyor.

1. Bağımsız iş

seçenek 1

seçenek 2

1. Ders özeti

Doğrusal denklem sistemlerinin parametrelerle çözülmesi, üç temel koşulu içeren bir çalışmaya benzetilebilir. Öğretmen öğrencileri bunları formüle etmeye davet eder.

Karar verirken şunu unutmayın:

1. Bir sistemin tek çözüme sahip olabilmesi için sistemin denklemine karşılık gelen doğruların kesişmesi gerekir. koşulun karşılanması gerekir;
2. Çözümün olmaması için doğruların paralel olması gerekir, yani. koşul karşılandı
3. ve son olarak, bir sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olması için doğruların çakışması gerekir; koşul karşılandı.

Öğretmen sınıfın çalışmalarını bir bütün olarak değerlendirir ve öğrencilere bireysel olarak ders için not verir. Bağımsız çalışmalarını kontrol ettikten sonra her öğrenciye ders için bir not verilecektir.

1. Ev ödevi

B parametresinin hangi değerlerinde denklem sistemi

• sonsuz sayıda çözümü vardır;
• hiçbir çözümü yok mu?

y = 4x + b ve y = kx + 6 fonksiyonlarının grafikleri ordinatlara göre simetriktir.

• b ve k'yi bulun,
• Bu grafiklerin kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz.

Tüm m ve n değerleri için denklem sistemini çözün.

A parametresinin tüm değerleri (seçtiğiniz herhangi bir değer) için bir doğrusal denklem sistemi çözün.

Edebiyat

1. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı: ders kitabı. 11. sınıf için Genel Eğitim kurumlar: temel ve profil. seviyeler / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M .: Eğitim, 2008.
2. Matematik: 9. sınıf: Devlet final sertifikasına hazırlık / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Üniversiteye hazırlanıyoruz. Matematik. Bölüm 2. Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak, merkezi sınavlara katılmak ve Kuban Devlet Teknik Üniversitesi / Kuban'a giriş sınavlarını geçmek için bir ders kitabı. durum teknoloji. Üniversite; Modern Enstitüsü teknoloji. ve ekonomi; Derleyen: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikova. – Krasnodar, 2006.
4. TUSUR hazırlık kursları için matematik problemlerinin toplanması: Ders Kitabı / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. Durum Kontrol Sistemleri ve Radyoelektronik Üniversitesi, 1998.
5. Matematik: yoğun sınavlara hazırlık kursu / O. Cherkasov, A. G. Yakushev. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.