Hangi şekiller çokgen değildir? Çokgenler ve özellikleri

Bölümler: Matematik

Konu, öğrenci yaşı: geometri, 9. sınıf

Dersin amacı: çokgen türlerini incelemek.

Eğitim görevi: Öğrencilerin çokgenler hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; bir çokgenin “bileşenleri” hakkında bir fikir oluşturmak; normal çokgenlerin (üçgenden n-gon'a) kurucu elemanlarının sayısı üzerine bir çalışma yürütmek;

Gelişimsel görev: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini, sözlü ve yazılı matematiksel konuşmayı, hafızayı, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlığı, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneğini geliştirme; araştırma ve eğitim faaliyetleri geliştirmek;

Eğitim görevi: Bağımsızlığı, aktiviteyi, verilen işin sorumluluğunu, hedefe ulaşmada azim geliştirmek.

Ders ilerlemesi: tahtaya yazılan alıntı

“Doğa matematiğin dilini, bu dilin harflerini… matematiksel şekilleri konuşur.” G. Galliley

Dersin başında sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda her biri 4 kişilik gruplara ayrılmıştır - grup üye sayısı soru grubu sayısına eşittir).

1.Çağrı aşaması-

Hedefler:

a) öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerini güncellemek;

b) çalışılan konuya ilgi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetlerine motive etmek.

Teknik: Oyun “Buna inanıyor musun…”, metinle çalışmanın organizasyonu.

Çalışma biçimleri: ön, grup.

“Buna inanıyor musun?”

1. ... “çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu mu gösteriyor?

2. ... bir üçgen, bir düzlem üzerindeki pek çok farklı geometrik şekil arasından ayrılan çokgenlerden oluşan geniş bir aileye mi aittir?

3. ... kare düzgün bir sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?

Bugün dersimizde çokgenler hakkında konuşacağız. Bu şeklin kapalı bir kesikli çizgi ile sınırlı olduğunu ve bunun da basit, kapalı olabileceğini öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzgün veya dışbükey olabileceği gerçeğinden bahsedelim. Düz çokgenlerden biri, uzun zamandır aşina olduğunuz bir üçgendir (öğrencilere çokgenleri, kesikli çizgiyi gösteren posterler gösterebilir, farklı türlerini gösterebilir, ayrıca TSO'yu da kullanabilirsiniz).

2. Konsept aşaması

Amaç: Yeni bilgi edinmek, anlamak, seçmek.

Teknik: zikzak.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Grubun her üyesine dersin konusuyla ilgili bir metin verilir ve metin hem öğrencilerin zaten bildiği bilgileri hem de tamamen yeni bilgileri içerecek şekilde derlenir. Metinle birlikte öğrencilere cevapları bu metinde bulunması gereken sorular verilir.

Çokgenler. Çokgen türleri.

Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak çocukluğumuzdan beri bize tanıdık gelen üçgen pek çok ilginç ve gizemli şeyle doludur.

Zaten bildiğimiz, kenarlara (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar) ve açılara (dar, geniş, dikdörtgen) bölünmüş üçgen türlerine ek olarak, üçgen, üzerindeki birçok farklı geometrik şekil arasında ayırt edilen geniş bir çokgen ailesine aittir. uçak.

“Çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu belirtir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.

A 1 A 2 ...A n kesikli çizgisi, A 1, A 2, ...A n noktalarından ve bunları bağlayan A 1 A 2, A 2 A 3,.... parçalarından oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve bölümlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (Şekil 1)

Kendi kendine kesişme noktaları yoksa kesikli bir çizgiye basit denir (Şekil 2, 3).

Uçları çakışıyorsa sürekli çizgiye kapalı denir. Kırık bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4).

Basit bir kapalı kesikli çizgiye, komşu bağlantıları aynı düz çizgide yer almıyorsa çokgen adı verilir (Şekil 5).

“Çok” kelimesi yerine belirli bir sayıyı (örneğin 3) değiştirin. Bir üçgen elde edeceksiniz. Veya 5. Sonra - bir beşgen. Ne kadar çok açı olursa olsun, o kadar da kenar olduğuna dikkat edin, dolayısıyla bu şekillere pekala çokgenler denilebilir.

Kırık çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, kesik çizginin bağlantılarına ise çokgenin kenarları denir.

Çokgen, düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış (Şekil 6).

Düzlem çokgen veya çokgen alan, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin sonlu kısmıdır.

Bir çokgenin bir kenarının uçları olan iki köşesine bitişik denir. Bir tarafın sonu olmayan köşeler komşu değildir.

N köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.

Her ne kadar bir çokgenin en az kenar sayısı 3 olsa da, üçgenler birbirine bağlandıklarında başka şekiller de oluşturabilirler ve bunlar da çokgenlerdir.

Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.

Bir çokgene, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre aynı yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey denir. Bu durumda düz çizginin kendisinin yarım düzleme ait olduğu kabul edilir.

Belirli bir tepe noktasındaki dışbükey çokgenin açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır.

Teoremi kanıtlayalım (dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında): Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180 0 *(n - 2)'ye eşittir.

Kanıt. n=3 durumunda teorem geçerlidir. A 1 A 2 ...A n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir köşeden). Çokgen dışbükey olduğundan bu köşegenler onu n – 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı bu üçgenlerin tüm açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 180 0'a eşittir ve bu üçgenlerin sayısı n 2'dir. Dolayısıyla dışbükey bir n-gon A 1 A 2 ...A n'nin açılarının toplamı 180'e eşittir. 0 * (n - 2). Teorem kanıtlandı.

Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır.

Tüm kenarları eşit ve tüm açıları eşitse, dışbükey bir çokgene normal denir.

Böylece kareye farklı bir ad verilebilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzenlidir. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Mesela parke üzerine güzel desenler yaptılar. Ancak parke yapmak için normal çokgenlerin tümü kullanılamaz. Parke normal sekizgenlerden yapılamaz. Gerçek şu ki, her açı 135 0'a eşittir. Ve eğer bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktasıysa, o zaman bunlar 270 0'ı açıklayacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği hiçbir yer yoktur: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ancak bir kare için bu yeterlidir. Bu nedenle normal sekizgen ve karelerden parke yapabilirsiniz.

Yıldızlar da doğrudur. Beş köşeli yıldızımız normal bir beşgen yıldızdır. Ve eğer kareyi merkezin etrafında 45° döndürürseniz, düzgün bir sekizgen yıldız elde edersiniz.

1 grup

Kırık çizgi nedir? Çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.

Hangi kesikli çizgiye basit denir?

Hangi kırık çizgiye kapalı denir?

Çokgene ne denir? Çokgenin köşelerine ne ad verilir? Çokgenin kenarlarına ne denir?

2. grup

Hangi çokgene düz denir? Çokgenlere örnekler veriniz.

N – kare nedir?

Bir çokgenin hangi köşelerinin bitişik, hangilerinin bitişik olmadığını açıklayın.

Bir çokgenin köşegeni nedir?

3 grup

Hangi çokgene dışbükey denir?

Bir çokgenin hangi açılarının dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayın?

Hangi çokgene düzenli denir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.

4 grup

Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? Kanıtla.

Öğrenciler metinle çalışır, sorulan soruların cevaplarını arar, ardından aynı konularda çalışmaların yapıldığı uzman grupları oluşturulur: öğrenciler ana noktaları vurgular, destekleyici bir özet hazırlar ve bilgileri bunlardan birinde sunar. grafik formları. Çalışmanın tamamlanmasının ardından öğrenciler çalışma gruplarına geri dönerler.

3. Yansıma aşaması -

a) kişinin bilgisinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;

b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.

Resepsiyon: araştırma çalışması.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çalışma grupları, önerilen soruların her bölümünü yanıtlayacak uzmanları içerir.

Çalışma grubuna dönen uzman, sorularının yanıtlarını diğer grup üyelerine sunar. Grup, çalışma grubunun tüm üyeleri arasında bilgi alışverişinde bulunur. Böylece her çalışma grubunda uzmanların çalışmaları sayesinde çalışılan konu hakkında genel bir anlayış oluşturulur.

Öğrencilerin araştırma çalışmaları - tablonun doldurulması.

Düzenli çokgenler	Çizim	Kenar sayısı	Köşe sayısı	Tüm iç açıların toplamı	Derece ölçüsü iç açı	Dış açının derece ölçüsü	Köşegen sayısı
A) üçgen
B) dörtgen
B) beş çubuk
D) altıgen
D) n-gon

Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.

Bir dörtgende, onu üç üçgene bölecek şekilde düz bir çizgi çizin.
Her birinin iç açısı 135° olan düzgün çokgenin kaç kenarı vardır?
Belirli bir çokgenin tüm iç açıları birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açılarının toplamı 360 0, 380 0'a eşit olabilir mi?

Dersi özetlemek. Ev ödevi kaydediliyor.

Çokgen kavramı. Çokgen nedir

Çokgen kapalı bir kesik çizgi olan geometrik bir şekildir.

Çokgenleri tanımlamak için üç seçenek vardır:

Çokgen düz, kapalı, kesikli bir çizgidir;
Çokgen, kendi kendine kesişmeyen, düz, kapalı, kesikli bir çizgidir;
Çokgen, kapalı bir çoklu çizgiyle sınırlanan bir düzlemin parçasıdır.

Kesikli çizginin köşelerine denir çokgenin köşeleri ve segmentler - çokgenin kenarları.

Zirvelerçokgenlere denir komşu, eğer bir tarafının uçları ise.

Bir çokgenin komşu olmayan köşelerini birleştiren doğru parçalarına ne denir köşegenler.

Bir çokgenin açısı (veya iç açısı) Belirli bir tepe noktasında, kenarlarının bu tepe noktasına yakınlaşmasıyla oluşan ve çokgenin iç bölgesinde yer alan açıya denir.

Dışbükey çokgenin dış köşesi Belirli bir tepe noktasında çokgenin bu tepe noktasındaki iç açısına komşu olan açıya denir. Genel olarak dış açı, 180° ile iç açı arasındaki farktır.

Çokgen denir dışbükey Aşağıdaki koşullardan birinin doğru olması koşuluyla:

Bitişik köşelerini birleştiren herhangi bir çizginin bir tarafında dışbükey bir çokgen bulunur;
Dışbükey bir çokgen, birkaç yarım düzlemin kesişimidir;
Dışbükey bir çokgene ait noktalarda uçları olan herhangi bir parça tamamen ona aittir.

Dışbükey çokgene denir doğru, eğer tüm kenarlar eşitse ve tüm açılar eşitse, örneğin bir eşkenar üçgen, bir kare ve bir düzgün beşgen.

Tüm köşeleri aynı daire üzerinde yer alıyorsa, dışbükey bir çokgenin bir daire içine yazıldığı söylenir.

Dışbükey bir çokgenin, tüm kenarları bir daireye değiyorsa, bir daire etrafında çevrelendiği söylenir.

Çokgenlerin sınıflandırılması (türleri)

Çokgenlerin türlerine göre sınıflandırılması birçok özelliğe dayandırılabilir; bunlardan en önemlileri şunlardır:

köşe sayısı
dışbükey
Sağ
bir daireyi yazma veya tanımlama yeteneği

Üç köşeli bir çokgene üçgen (bkz. üçgen) adı verilir, dört köşeli bir çokgene dörtgen (bkz. dörtgen) denir ve köşe sayısına göre bu şekilde devam eder.

Dışbükey bir çokgen her zaman herhangi bir kenarını içeren çizginin bir tarafında bulunur. (yukarıya bakın)

Düzenli bir çokgen eşit kenarlara ve açılara sahiptir. Bu nedenle bazı özel özelliklere sahiptirler (bkz. kare).

Kendi kendine kesişen çokgenler de düzenli olabilir. Örneğin bir pentagram (“beş köşeli yıldız”).

Çokgenler aynı zamanda bir çokgene sığma veya çokgenin etrafındaki bir daireyi tanımlama yeteneklerine göre de ayırt edilebilir. Etrafında bir daire tanımlamanın ve ayrıca bir daire çizmenin imkansız olduğu çokgenler olabilir. Aynı zamanda herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlamak her zaman mümkündür.

Poligon Özellikleri

Bir n-gon'un iç açılarının toplamı (n − 2)π'dir.
Bir düzgün n-gon'un iç açılarının toplamı 180(n − 2)'dir.
Herhangi bir çokgenin köşegen sayısı n(n − 3) / 2'dir; burada n, kenar sayısıdır.

Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Daha sonra bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri kanıtlayacağız. Sonuç olarak, ileriki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.

Konu: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey çokgen

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.

Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.

Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir; bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).

Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.

Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.

Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'deki bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.

Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.

Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.

Çokgenlerin özelliklerini tanımlamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?

Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. Bir n-gonu üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.

Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , ..., dış açılardır.

Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.

Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon

Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra ve benzer şekilde geri kalan dış köşeler için. Daha sonra:

Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden ilginç bir gerçek çıkar: dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.

Referanslar

Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Ev ödevi

Konu: “Çokgen türleri”

9. sınıf

SHL No.20

Öğretmen: Kharitonovich T.I. Dersin amacı: çokgen türlerini incelemek.

Öğrenme görevi:öğrencilerin çokgenler hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; bir çokgenin “bileşenleri” hakkında bir fikir oluşturmak; normal çokgenlerin (üçgenden n-gon'a) kurucu elemanlarının sayısı üzerine bir çalışma yürütmek;

Gelişimsel görev: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini geliştirme, sözlü ve yazılı matematiksel konuşma, hafıza, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlık, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneği geliştirmek; araştırma ve eğitim faaliyetleri geliştirmek;

Eğitim görevi: Bağımsızlığı, aktiviteyi, verilen işin sorumluluğunu, hedefe ulaşmada azim geliştirmek.

Ekipman: interaktif beyaz tahta (sunum)

Ders ilerlemesi

Sunumu gösteren: “Çokgenler”

“Doğa matematiğin dilini, bu dilin harflerini… matematiksel şekilleri konuşur.” G. Galliley

Dersin başında sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda 3 gruba ayrılmıştır).

1.Çağrı aşaması-

a) öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerini güncellemek;

b) çalışılan konuya ilgi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetlerine motive etmek.

Teknik: Oyun “Buna inanıyor musun…”, metinle çalışmanın organizasyonu.

Çalışma biçimleri: ön, grup.

“Buna inanıyor musun?”

1. ... “çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu mu gösteriyor?

2. ... bir üçgen, bir düzlem üzerindeki çeşitli geometrik şekiller arasında ayırt edilen geniş bir çokgenler ailesine mi aittir?

3. ... kare düzgün bir sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?

2. Konsept aşaması

Amaç: Yeni bilgi edinmek, anlamak, seçmek.

Teknik: zikzak.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çokgenler. Çokgen türleri.

“Çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu belirtir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.

A1A2...An kesikli çizgisi, A1,A2,...An noktalarından ve bunları birbirine bağlayan A1A2, A2A3,... parçalarından oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve bölümlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (ŞEKİL 1)

Kendi kendine kesişme noktaları yoksa kesikli bir çizgiye basit denir (Şekil 2, 3).

Uçları çakışıyorsa sürekli çizgiye kapalı denir. Kırık bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4)

Basit, kapalı bir kesikli çizgiye, komşu bağlantıları aynı düz çizgide yer almıyorsa çokgen adı verilir (Şekil 5).

Kırık çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, kesik çizginin bağlantılarına ise çokgenin kenarları denir.

Çokgen, düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış (Şekil 6).

Düzlem çokgen veya çokgen alan, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin sonlu kısmıdır.

Bir çokgenin bir kenarının uçları olan iki köşesine bitişik denir. Bir tarafın sonu olmayan köşeler komşu değildir.

N köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.

Her ne kadar bir çokgenin en az kenar sayısı 3 olsa da, üçgenler birbirine bağlandıklarında başka şekiller de oluşturabilirler ve bunlar da çokgenlerdir.

Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.

Bir çokgene, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre aynı yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey denir. Bu durumda düz çizginin kendisinin YARIM DÜZLEME ait olduğu kabul edilir.

Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır.

Teoremi kanıtlayalım (dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında): Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 1800*(n - 2)'ye eşittir.

Kanıt. n=3 durumunda teorem geçerlidir. A1A2...A n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir köşeden). Çokgen dışbükey olduğundan bu köşegenler onu n – 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı bu üçgenlerin tüm açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 1800 ve bu üçgenlerin sayısı 2'dir. Dolayısıyla dışbükey n üçgeni A1A2...A n'nin açılarının toplamı 1800* (n - 2) olur. Teorem kanıtlandı.

Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır.

Dışbükey bir çokgene, tüm kenarları eşit ve tüm açıları eşitse normal denir.

Böylece kareye farklı bir ad verilebilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzenlidir. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Mesela parke üzerine güzel desenler yaptılar. Ancak parke yapmak için normal çokgenlerin tümü kullanılamaz. Parke normal sekizgenlerden yapılamaz. Gerçek şu ki, her açı 1350'ye eşittir. Ve eğer herhangi bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktası ise, o zaman onların payı 2700 olacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği yer yoktur: 3600 - 2700 = 900. Ama bir kare için bu yeterlidir. Bu nedenle normal sekizgen ve karelerden parke yapabilirsiniz.

Yıldızlar da doğrudur. Beş köşeli yıldızımız normal bir beşgen yıldızdır. Ve eğer kareyi merkezin etrafında 450 derece döndürürseniz, düzgün bir sekizgen yıldız elde edersiniz.

Kırık çizgi nedir? Çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.

Hangi kesikli çizgiye basit denir?

Hangi kırık çizgiye kapalı denir?

Çokgene ne denir? Çokgenin köşelerine ne ad verilir? Çokgenin kenarlarına ne denir?

Hangi çokgene düz denir? Çokgenlere örnekler veriniz.

N – kare nedir?

Bir çokgenin hangi köşelerinin bitişik, hangilerinin bitişik olmadığını açıklayın.

Bir çokgenin köşegeni nedir?

Hangi çokgene dışbükey denir?

Bir çokgenin hangi açılarının dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayın?

Hangi çokgene düzenli denir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.

Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? Kanıtla.

3. Yansıma aşaması -

a) kişinin bilgisinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;

b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.

Resepsiyon: araştırma çalışması.

Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.

Çalışma grupları, önerilen soruların her bölümünü yanıtlayacak uzmanları içerir.

Öğrenci araştırma çalışması– tabloyu doldurmak.

Düzenli çokgenler Çizim Kenar sayısı Köşe sayısı Tüm iç açıların toplamı İç derece ölçüsü. açı Dış açının derece ölçüsü Köşegen sayısı

A) üçgen

B) dörtgen

B) beş delikli

D) altıgen

D) n-gon

Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.

1) Her birinin iç açısı 1350 olan düzgün çokgenin kaç kenarı vardır?

2) Belirli bir çokgenin tüm iç açıları birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açılarının toplamı: 3600, 3800 olabilir mi?

3) Açıları 100,103,110,110,116 derece olan bir beşgen yapılabilir mi?

Dersi özetlemek.

Ödevin kaydedilmesi: SAYFA 66-72 Sayı 15,17 VE GÖREV: BİR DÖRTGENDE, ÜÇ ÜÇGENE BÖLECEK DÜZ BİR ÇİZGİ ÇİZİN.

Test şeklinde yansıma (interaktif beyaz tahtada)

Çokgenlerin Özellikleri

Bir çokgen, genellikle kendi kendine kesişmeyen kapalı bir kesikli çizgi olarak tanımlanan geometrik bir şekildir (basit bir çokgen (Şekil 1a)), ancak bazen kendi kendine kesişmelere izin verilir (bu durumda çokgen basit değildir).

Çokgenin köşelerine çokgenin köşeleri, parçalarına da çokgenin kenarları denir. Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçları ise bitişik olarak adlandırılır. Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.

Belirli bir tepe noktasındaki dışbükey bir çokgenin açısı (veya iç açısı), kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır ve açı, çokgenin kenarından hesaplanır. Özellikle çokgen dışbükey değilse açı 180°'yi aşabilir.

Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır. Genel olarak bir dış açı, 180° ile bir iç açı arasındaki farktır. > 3 için, -gon'un her köşesinin 3 köşegeni vardır, dolayısıyla -gon'un toplam köşegen sayısı eşittir.

Üç köşeli bir çokgene üçgen, dört köşeli bir dörtgen, beş köşeli bir beşgen vb. denir.

Çokgen ile N köşeler denir N- kare.

Düz çokgen, bir çokgen ve onunla sınırlı alanın sonlu bir kısmından oluşan bir şekildir.

Aşağıdaki (eşdeğer) koşullardan biri karşılanırsa bir çokgene dışbükey denir:

1. Komşu köşelerini birleştiren herhangi bir düz çizginin bir tarafında yer alır. (yani çokgenin kenarlarının uzantıları diğer kenarlarıyla kesişmez);
2. birkaç yarım düzlemin kesişimidir (yani ortak kısım);
3. Çokgene ait noktalarda uçları olan herhangi bir parça tamamen ona aittir.

Tüm kenarlar eşitse ve tüm açılar eşitse, örneğin bir eşkenar üçgen, kare ve beşgen gibi dışbükey bir çokgene normal denir.

Tüm kenarları bir daireye değiyorsa, dışbükey bir çokgenin bir daire etrafında çevrelendiği söylenir.

Düzenli bir çokgen, tüm açıların ve tüm kenarların eşit olduğu bir çokgendir.

Çokgenlerin özellikleri:

1 Dışbükey bir -gon'un her köşegeni (>3) onu iki dışbükey çokgene ayırır.

2 Dışbükey bir üçgenin tüm açılarının toplamı eşittir.

D-vo: Teoremi matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlayacağız. = 3'te açıktır. Teoremin bir -gon için doğru olduğunu varsayalım; <, ve bunu -gon için kanıtlayın.

Verilen bir çokgen olsun. Bu çokgenin köşegenini çizelim. Teorem 3'e göre çokgen bir üçgene ve bir dışbükey üçgene ayrıştırılır (Şekil 5). Tümevarım hipoteziyle. Diğer tarafta, . Bu eşitlikleri toplamak ve dikkate almak (- iç açılı ışın ) Ve (- iç açılı ışın ), aldığımızda: .

3 Herhangi bir normal çokgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane.

D-vo: Düzgün bir çokgen olsun ve açıların açıortayları olsun (Şekil 150). O zamandan bu yana, bu nedenle, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке HAKKINDA. Hadi bunu kanıtlayalım O = OA 2 = HAKKINDA =… = OA N . Üçgen HAKKINDA ikizkenar bu nedenle HAKKINDA= HAKKINDA. Dolayısıyla üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere göre, HAKKINDA = HAKKINDA. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki HAKKINDA = HAKKINDA vesaire. Yani asıl nokta HAKKINDAçokgenin tüm köşelerine eşit uzaklıkta olduğundan merkezi olan bir daire HAKKINDA yarıçap HAKKINDAçokgen etrafında sınırlandırılmıştır.

Şimdi sadece tek bir sınırlı çemberin olduğunu kanıtlayalım. Örneğin bir çokgenin üç köşesini düşünün, A 2 , . Bu noktalardan sadece bir daire geçtiği için çokgenin etrafında … Birden fazla daire tanımlayamazsınız.

4 Herhangi bir normal çokgenin içine yalnızca bir tane daire yazabilirsiniz.
5 Düzgün bir çokgenin içine yazılan bir daire, çokgenin kenarlarına orta noktalarından dokunuyor.
6 Düzgün bir çokgenin çevrelediği bir dairenin merkezi, aynı çokgenin içine yazılan bir dairenin merkezi ile çakışmaktadır.
7 Simetri:

Bu şekli kendine çeviren (özdeş olmayan) bir hareket varsa, şeklin simetriye (simetrik) sahip olduğunu söylerler.

7.1. Genel bir üçgenin ekseni veya simetri merkezi yoktur; asimetriktir. Bir ikizkenar (ancak eşkenar değil) üçgenin bir simetri ekseni vardır: tabana dik açıortay.
7.2. Eşkenar üçgenin üç simetri ekseni (kenarlara dik açıortaylar) ve merkez etrafında 120° dönme açısıyla dönme simetrisi vardır.

7.3 Herhangi bir düzgün n-gon'un n tane simetri ekseni vardır ve bunların tümü onun merkezinden geçer. Ayrıca merkez etrafında dönme açısına sahip dönme simetrisine sahiptir.

Ne zaman bile N Bazı simetri eksenleri karşıt köşelerden, bazıları ise karşıt kenarların orta noktalarından geçer.

Tek için N her eksen karşı tarafın üstünden ve ortasından geçer.

Kenar sayısı çift olan düzgün bir çokgenin merkezi simetri merkezidir. Kenar sayısı tek olan düzgün bir çokgenin simetri merkezi yoktur.

8 Benzerlik:

Benzerlik ve -gon -gon'a, yarım düzlem yarı düzleme gider, bu nedenle dışbükey N-açı dışbükey olur N-gon.

Teorem: Dışbükey çokgenlerin kenarları ve açıları eşitlikleri sağlıyorsa:

podyum katsayısı nerede

o zaman bu çokgenler benzerdir.

8.1 İki benzer çokgenin çevrelerinin oranı benzerlik katsayısına eşittir.
8.2. İki dışbükey benzer çokgenin alanlarının oranı benzerlik katsayısının karesine eşittir.

çokgen üçgen çevre teoremi