Çapraz çarpma

Ortak Bölen Yöntemi

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin.

Kesirlerin ortak paydası

Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Ayrıca bakınız:

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikincisini de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

En düşük ortak payda nasıl bulunur?

İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor?

Ortak payda, kavram ve tanım.

İşte sadece birkaç neden:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Çapraz çarpma

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Çapraz çarpma

Bir göz at:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Çapraz çarpma

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir.

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Matematiksel ifadeler ve problemler çok fazla ek bilgi gerektirir. NOC, özellikle lisede sıklıkla kullanılan ana konulardan biridir ve materyali anlamak özellikle zor değildir; güçleri ve çarpım tablosunu bilen bir kişi, gerekli sayıları tanımlamakta ve bulmakta zorluk çekmeyecektir. sonuç.

Tanım

Ortak kat, aynı anda iki sayıya (a ve b) tamamen bölünebilen bir sayıdır. Çoğu zaman bu sayı, orijinal a ve b sayıları çarpılarak elde edilir. Sayı aynı anda her iki sayıya da sapma olmadan bölünebilmelidir.

NOC, ilk harflerden toplanan, atama için benimsenen kısa addır.

Numara almanın yolları

Sayıları çarpma yöntemi, LCM'yi bulmak için her zaman uygun değildir; basit tek basamaklı veya iki basamaklı sayılar için çok daha uygundur. Faktörlere bölmek gelenekseldir; sayı ne kadar büyük olursa, o kadar fazla faktör olacaktır.

Örnek No.1

En basit örnek olarak okullar genellikle asal, tek veya çift haneli sayıları kullanır. Örneğin, aşağıdaki görevi çözmeniz, 7 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulmanız gerekiyor, çözüm oldukça basit, sadece bunları çarpmanız gerekiyor. Sonuç olarak 21 sayısı var, daha küçük bir sayı yok.

Örnek No.2

Görevin ikinci versiyonu çok daha zor. 300 ve 1260 sayıları verilmiştir, LOC'yi bulmak zorunludur. Sorunu çözmek için aşağıdaki eylemlerin gerçekleştirildiği varsayılmaktadır:

Birinci ve ikinci sayıların basit faktörlere ayrıştırılması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. İlk aşama tamamlandı.

İkinci aşama, önceden elde edilmiş verilerle çalışmayı içerir. Alınan sayıların her biri nihai sonucun hesaplanmasına katılmalıdır. Her faktör için en büyük oluşum sayısı orijinal sayılardan alınır. LCM genel bir sayıdır, bu nedenle sayıların çarpanlarının her birinde, hatta bir kopyada mevcut olanlar bile tekrarlanması gerekir. Her iki ilk sayı da farklı güçlerde 2, 3 ve 5 sayılarını içerir; 7 yalnızca bir durumda mevcuttur.

Nihai sonucu hesaplamak için, denklemde temsil edilen kuvvetlerin en büyüğündeki her sayıyı almanız gerekir. Geriye kalan tek şey çarpmak ve cevabı almak; eğer doğru bir şekilde doldurulursa, görev açıklama gerektirmeden iki adıma sığar:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Bütün sorun bu, gerekli sayıyı çarpma yoluyla hesaplamaya çalışırsanız, 300 * 1260 = 378.000 olduğundan cevap kesinlikle doğru olmayacaktır.

Muayene:

6300/300 = 21 - doğru;

6300/1260 = 5 - doğru.

Elde edilen sonucun doğruluğu kontrol edilerek - LCM'nin her iki başlangıç numarasına bölünmesiyle belirlenir; eğer sayı her iki durumda da bir tam sayı ise, o zaman cevap doğrudur.

NOC matematikte ne anlama geliyor?

Bildiğiniz gibi matematikte tek bir işe yaramaz fonksiyon yoktur, bu da bir istisna değildir. Bu sayının en yaygın amacı kesirleri ortak bir paydaya indirgemektir. Genellikle ortaokul 5-6. Sınıflarda çalışılanlar. Ayrıca problemde bu tür koşullar mevcutsa, tüm katlar için ortak bir bölendir. Böyle bir ifade, yalnızca iki sayının katını değil, aynı zamanda çok daha büyük bir sayının (üç, beş vb.) katını da bulabilir. Sayı ne kadar fazla olursa, görevdeki eylemler de o kadar fazla olur, ancak karmaşıklık artmaz.

Örneğin, 250, 600 ve 1500 sayıları verildiğinde bunların ortak LCM'sini bulmanız gerekir:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - bu örnek, çarpanlara ayırmayı azaltma olmadan ayrıntılı olarak açıklamaktadır.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Bir ifade oluşturmak için tüm faktörlerden bahsetmek gerekir, bu durumda 2, 5, 3 verilir - tüm bu sayılar için maksimum dereceyi belirlemek gerekir.

Dikkat: Tüm faktörler tamamen sadeleştirilme noktasına getirilmeli, mümkünse tek haneli rakamlara ayrıştırılmalıdır.

Muayene:

1) 3000/250 = 12 - doğru;

2) 3000/600 = 5 - doğru;

3) 3000/1500 = 2 – doğru.

Bu yöntem herhangi bir hile veya dahi düzeyinde yetenek gerektirmez, her şey basit ve açıktır.

Diğer yol

Matematikte birçok şey birbiriyle bağlantılıdır, birçok şey iki veya daha fazla yolla çözülebilir; aynı şey en küçük ortak kat olan LCM'yi bulmak için de geçerlidir. Basit iki basamaklı ve tek basamaklı sayılar söz konusu olduğunda aşağıdaki yöntem kullanılabilir. Çarpanın dikey olarak, çarpanın yatay olarak girildiği ve çarpımın sütunun kesişen hücrelerinde belirtildiği bir tablo derlenir. Tabloyu bir çizgi kullanarak yansıtabilir, bir sayı alıp bu sayıyı 1'den sonsuza kadar tam sayılarla çarpmanın sonuçlarını yazabilirsiniz, bazen 3-5 puan yeterlidir, ikinci ve sonraki sayılar aynı hesaplama sürecinden geçer. Ortak bir kat bulunana kadar her şey olur.

30, 35, 42 sayıları göz önüne alındığında, tüm sayıları birbirine bağlayan LCM'yi bulmanız gerekir:

1) 30'un katları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, vb.

2) 35'in katları: 70, 105, 140, 175, 210, 245, vb.

3) 42'nin katları: 84, 126, 168, 210, 252, vb.

Tüm sayıların oldukça farklı olduğu dikkat çekiyor, aralarındaki tek ortak sayı 210, yani NOC olacak. Bu hesaplamada yer alan süreçler arasında, benzer prensiplere göre hesaplanan ve komşu problemlerde sıklıkla karşılaşılan en büyük ortak bölen de bulunmaktadır. Fark küçük ama oldukça anlamlıdır; LCM, verilen tüm başlangıç değerlerine bölünen sayının hesaplanmasını içerir ve GCD, orijinal sayıların bölündüğü en büyük değeri hesaplamayı içerir.

LCM (en az ortak kat) nasıl bulunur?

İki tam sayının ortak katı, verilen her iki sayıya kalan bırakmadan eşit olarak bölünebilen bir tam sayıdır.

İki tam sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların her ikisine de kalan bırakmadan bölünebilen tam sayıların en küçüğüdür.

Yöntem 1. LCM'yi, verilen sayıların her biri için, elde edilen tüm sayıları 1, 2, 3, 4 vb. ile çarparak artan sırada yazarak bulabilirsiniz.

Örnek 6 ve 9 numaralar için.
6 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 6, 12, 18 , 24, 30
9 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Gördüğünüz gibi 6 ve 9 numaralarının LCM'si 18'e eşit olacaktır.

Bu yöntem, her iki sayı da küçük olduğunda ve bunları bir tamsayı dizisiyle çarpmanın kolay olduğu durumlarda kullanışlıdır. Ancak, iki basamaklı veya üç basamaklı sayılar için LCM'yi bulmanız gereken ve ayrıca üç veya daha fazla başlangıç sayısının olduğu durumlar da vardır.

Yöntem 2. Orijinal sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulabilirsiniz.
Ayrıştırmadan sonra, ortaya çıkan asal faktör dizisinden aynı sayıların üzerini çizmek gerekir. İlk sayının kalan sayıları ikinciye çarpan, ikinci sayının kalan sayıları ise birinciye çarpan olacaktır.

Örnek 75 ve 60 numaraları için.
75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı, bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı basit çarpanlarına ayıralım:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gördüğünüz gibi her iki satırda da faktör 3 ve 5 görünüyor. Onları zihinsel olarak "üstünü çizeriz".
Bu sayıların her birinin açılımında yer alan kalan faktörleri yazalım. 75 sayısını ayrıştırırken 5 rakamı, 60 sayısını ayrıştırırken 2*2 kalıyor.
Yani 75 ve 60 sayılarının LCM'sini belirlemek için 75'in açılımından kalan sayıları (bu 5) 60 ile çarpmamız ve 60'ın açılımından kalan sayıları (bu 2) çarpmamız gerekiyor. * 2) 75'e. Yani anlaşılmasını kolaylaştırmak için "çapraz" çarptığımızı söylüyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 sayılarının LCM'sini bu şekilde bulduk. Bu 300 sayısıdır.

Örnek. 12, 16, 24 sayıları için LCM'yi belirleyin
Bu durumda eylemlerimiz biraz daha karmaşık olacaktır. Ama önce her zaman olduğu gibi tüm sayıları çarpanlarına ayıralım
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi doğru bir şekilde belirlemek için, tüm sayıların en küçüğünü seçiyoruz (bu 12 sayısıdır) ve diğer sayı satırlarından en az birinde henüz aynı faktörle karşılaşırsak, bunların üstünü çizerek sırayla faktörlerini gözden geçiriyoruz. üzeri çizildi.

Aşama 1 . Tüm sayı dizilerinde 2*2'nin oluştuğunu görüyoruz. Hadi bunların üzerini çizelim.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Adım 2. 12 sayısının asal çarpanlarında sadece 3 sayısı kalıyor ama 24 sayısının asal çarpanlarında mevcut. Her iki satırdan da 3 sayısını çiziyoruz, 16 sayısı için ise herhangi bir işlem beklenmiyor. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Gördüğünüz gibi 12 sayısını ayrıştırırken tüm sayıların üzerini çizdik. Bu, LOC bulmanın tamamlandığı anlamına gelir. Geriye kalan tek şey değerini hesaplamak.
12 sayısı için 16 sayısının kalan çarpanlarını alın (bir sonraki artan sırada)
12 * 2 * 2 = 48
Burası NOC

Gördüğünüz gibi bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu ancak üç veya daha fazla sayı için bulmanız gerektiğinde bu yöntem bunu daha hızlı yapmanızı sağlar. Ancak LCM'yi bulmanın her iki yöntemi de doğrudur.

Farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplarken ve çıkarırken, kesirler ilk önce şu sonuca yol açar: ortak payda. Bu, verilen ifadede yer alan her cebirsel kesrin orijinal paydasına bölünen bir payda buldukları anlamına gelir.

Bildiğiniz gibi bir kesrin pay ve paydası sıfırdan başka aynı sayıyla çarpılırsa (ya da bölünürse) kesrin değeri değişmez. Bu kesrin temel özelliğidir. Bu nedenle, kesirler ortak bir paydaya indirgendiğinde, ortak bir payda elde etmek için esas olarak her bir kesrin orijinal paydasını eksik faktörle çarparlar. Bu durumda kesrin payını bu faktörle çarpmanız gerekir (her kesir için farklıdır).

Örneğin, aşağıdaki cebirsel kesirlerin toplamı verildiğinde:

İfadeyi basitleştirmek, yani iki cebirsel kesir eklemek gerekir. Bunu yapmak için öncelikle kesir terimlerini ortak bir paydaya getirmeniz gerekir. İlk adım, hem 3x'e hem de 2y'ye bölünebilen bir monom bulmaktır. Bu durumda en küçük olması yani 3x ve 2y için en küçük ortak katın (LCM) bulunması istenir.

Sayısal katsayılar ve değişkenler için LCM ayrı ayrı aranır. LCM(3, 2) = 6 ve LCM(x, y) = xy. Daha sonra bulunan değerler çarpılır: 6xy.

Şimdi 6xy elde etmek için 3x'i hangi faktörle çarpmamız gerektiğini belirlememiz gerekiyor:
6xy ÷ 3x = 2y

Bu, ilk cebirsel kesri ortak bir paydaya indirirken payının 2y ile çarpılması gerektiği anlamına gelir (payda, ortak bir paydaya indirilirken zaten çarpılmıştır). İkinci kesrin payının çarpanı da aynı şekilde aranır. 3x'e eşit olacaktır.

Böylece şunu elde ederiz:

Daha sonra aynı paydalara sahip kesirlerde olduğu gibi işlem yapabilirsiniz: payları toplayın ve bir ortak payda yazın:

Dönüşümlerden sonra, iki orijinal kesirin toplamı olan bir cebirsel kesir olan basitleştirilmiş bir ifade elde edilir:

Orijinal ifadedeki cebirsel kesirler, tek terimli yerine polinom olan paydalar içerebilir (yukarıdaki örnekte olduğu gibi). Bu durumda ortak bir payda aramadan önce (mümkünse) paydaları çarpanlarına ayırmalısınız. Daha sonra farklı faktörlerden ortak payda toplanır. Çarpan birden fazla orijinal paydadaysa bir kez alınır. Çarpanın orijinal paydalarda farklı kuvvetleri varsa, büyük olanla birlikte alınır. Örneğin:

Burada a 2 – b 2 polinomu (a – b)(a + b) çarpımı olarak temsil edilebilir. 2a – 2b çarpanı 2(a – b) olarak genişletilir. Böylece ortak payda 2(a – b)(a + b) olacaktır.

“LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler” bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat hakkındaki sohbete devam edelim. Bu konu başlığımızda üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın yollarına bakacağız ve negatif bir sayının LCM'si nasıl bulunur sorusuna bakacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurmuştuk. Şimdi LCM'yi GCD aracılığıyla nasıl belirleyeceğimizi öğrenelim. Öncelikle pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.

Tanım 1

LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) formülünü kullanarak en büyük ortak bölenden en küçük ortak katı bulabilirsiniz.

örnek 1

126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

a = 126, b = 70'i alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için değerleri formüle koyalım.

70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayalım: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM(126, 70) = 630.

Örnek 2

68 ve 34 sayılarını bulun.

Çözüm

Bu durumda GCD'yi bulmak zor değil çünkü 68 34'e bölünebilir. En küçük ortak katı şu formülü kullanarak hesaplayalım: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

Şimdi sayıları asal çarpanlarına ayırmaya dayanan LCM'yi bulma yöntemine bakalım.

Tanım 2

En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:

LCM'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal faktörlerinin çarpımını oluştururuz;
tüm asal faktörleri bunların ortaya çıkan ürünlerinden hariç tutuyoruz;
ortak asal faktörleri çıkardıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.

En küçük ortak katı bulmanın bu yöntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasına katılan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda iki sayının gcd'si, bu iki sayının çarpanlara ayrılmasında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.

Örnek 3

75 ve 210 olmak üzere iki sayımız var. Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını oluşturursanız şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 sayılarının ortak çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir çarpım elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürünümüz 75 ve 210 numaralar için LCM olacaktır.

Örnek 4

Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz.

Çözüm

Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.

Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin çarpımı şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak faktörleri bulalım. Bu 7 numara. Bunu toplam üründen hariç tutalım: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.

Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin başka bir formülasyonunu verelim.

Tanım 3

Daha önce, her iki sayı için ortak olan faktörlerin toplam sayısını hariç tutuyorduk. Şimdi bunu farklı şekilde yapacağız:

Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ediyoruz.

Örnek 5

Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri topluyor 2 Ve 7 Sayılar 210. Şunu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.

Örnek 6

84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.

Çözüm

Koşuldaki sayıları basit çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Çarpıma 2, 2, 3 ve 3 çarpanlarını ekleyelim. 7 sayı 84'te 2, 3, 3 ve 3'ün çarpanları eksik
3 648 numara. Ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: iki sayının LCM'sini sırayla bulacağız. Bu durum için bir teorem var.

Teorem 1

Tamsayılarımız olduğunu varsayalım a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu sayılar sırasıyla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesaplanarak bulunur.

Şimdi teoremin belirli problemleri çözmek için nasıl uygulanabileceğine bakalım.

Örnek 7

140, 9, 54 ve 4 sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .

Çözüm

Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının OBEB'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını uygulayalım: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 9: OBEB (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dolayısıyla m2 = 1.260.

Şimdi aynı algoritmayı kullanarak hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.

Tek yapmamız gereken m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250) hesaplamaktır. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.

Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.

Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça emek yoğun. Zamandan tasarruf etmek için başka bir yola gidebilirsiniz.

Tanım 4

Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:

tüm sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz;
birinci sayının çarpanlarının çarpımına ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekliyoruz;
önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının vb. eksik faktörlerini ekliyoruz;
ortaya çıkan çarpım, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.

Örnek 8

84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

Beş sayının tümünü asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal sayılar yani 7 sayısı asal faktörlere dahil edilemez. Bu sayılar asal faktörlere ayrıştırılmalarıyla örtüşmektedir.

Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alıp bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle bunları atlıyoruz.

Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. Asal çarpanları 2 ile 2'nin çarpımından aldığımız 48 sayısına geçelim. Daha sonra dördüncü sayıdan 7'nin asal çarpanını ve beşincinin 11 ve 13'ünün çarpanlarını toplarız. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulmak için öncelikle bu sayıların ters işaretli sayılar ile değiştirilmesi, daha sonra yukarıdaki algoritmalar kullanılarak hesaplamaların yapılması gerekmektedir.

Örnek 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ve LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Bu tür eylemlere izin verilir çünkü eğer bunu kabul edersek A Ve - bir– zıt sayılar,
daha sonra bir sayının katları kümesi A bir sayının katları kümesiyle eşleşir - bir.

Örnek 10

Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 Ve − 45 .

Çözüm

Sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi daha önce belirleyerek LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305'i hesaplıyoruz.

Sayıların LCM'sinin -145 olduğunu anlıyoruz ve − 45 eşittir 1 305 .

Cevap: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.