Kritik nokta (matematik). Matematikte araştırma makalesi

MKOOUST SANATORYUM OKULU - YATILI

Nokta ve geometrik şekiller.

Matematikte araştırma çalışmaları.

Tamamlayan: Anatoly Vasiliev, 3. sınıf öğrencisi

İşin başı:

Dubovaya Natalya Leonidovna,

İlkokul öğretmeni.

Tommot, 2013

1. Kısa özet. .................................................. ...... ...................................2
2. Dipnot. .................................................. ......................................................3
3. Araştırma Makalesi. .................................................. .......................................6
4. Çözüm................................................. ....................................................7

Kaynakça.

Kısa özet.

Çalışmada nokta ve geometrik şekiller (doğru, ışın, doğru parçası, açı, üçgen, dörtgen, daire ve daire) ile bu şekillerin bileşiminde ve yapımında noktanın rolü inceleniyor.

Dipnot.

Bu çalışmanın amacı:Nokta kavramlarının ne anlama geldiğini ve geometrik şekillerin nelerden oluştuğunu öğrenin: düz çizgi, ışın, açı, dörtgen, üçgen, daire.

Çalışmanın amacı:Nokta ve geometrik şekillerin tanımları: Doğru, ışın, açı, dörtgen, üçgen, daire.

Çalışma konusu:nokta ve geometrik şekiller: düz çizgi, ışın, açı, dörtgen, üçgen, daire.

Araştırma hipotezi:Tek geometrik şekil bir noktadır ve diğer tüm şekiller birçok noktadan oluşur.

Araştırma hedefleri:

1. konuyla ilgili çalışma materyalleri: “Nokta ve geometrik şekiller: düz çizgi, ışın, açı, dörtgen, üçgen, daire.”;
2. nokta, düz çizgi, dörtgen, üçgen, açı, ışın, daire tanımlarını bulma;
3. bu konuyla ilgili analizlerinizi ve düşüncelerinizi sunun;
4. Bu araştırma çalışmasına dayalı bir sunum yapın.

Araştırma Yöntemleri:literatür çalışması, sözlüklerle çalışma, araştırma analizi, sonuç.

Araştırma Makalesi.

Matematik eski zamanlarda insanların pratik ihtiyaçlarından doğmuştur. Hiç kimse matematiğin eskiliği hakkında tartışmayacak, ancak insanları onu çalışmaya iten şeyin ne olduğu konusunda farklı bir görüş var. Ona göre matematik, tıpkı şiir, resim, müzik, tiyatro ve genel olarak sanat gibi, insanın manevi ihtiyaçları, belki de henüz tam olarak gerçekleşmemiş olan bilgi ve güzellik arzusu tarafından hayata geçirilmiştir.

Noktanın ne olduğunu ve hangi geometrik şekillerden oluştuğunu hiç merak ettiniz mi?

İlk bakışta burada her şey açık: nokta noktadır, düz çizgi düz çizgidir, burada anlaşılmaz ne olabilir? Peki ama yine de bunu hiç bilmeyen, üstelik her şeyi tam anlamıyla anlayan birine bunu nasıl açıklayabilirsin? Gerçekten bu kadar basit mi? Görünüşe göre hiç de öyle değil!

Emek derslerinde izothread tekniğini incelerken tüm geometrik şekillerin noktalardan oluştuğunu varsaydım. Araştırma çalışmamı bu konuya adamaya karar verdim.

Sokrates, "Hiçbir şey bilmediğimi biliyorum" dedi ve muhatabıyla diyalog kurarak onun tam olarak ne bildiğini bulmaya çalıştı. Bu yüzden öncelikle geometrik şekiller hakkında bildiklerimi öğrenmeye karar verdim.

Öyleyse araştırma çalışmamın konusuna göre belirlenen geometrik şekillerin tanımlarına bakalım.

1. Nokta - bu bir işaret, bir dokunuştan kaynaklanan bir işaret, keskin bir şeyin enjeksiyonu; küçük yuvarlak nokta, benek; çok küçük, zorlukla görülebilen bir şey. Nokta temel bir geometrik şekildir

1. Astar- bu bir dizi noktadır. Geometri oluşturmanın temeli uzaydaki noktalar arasındaki mesafe kavramı ise, o zaman düz bir çizgi, iki nokta arasındaki mesafenin en kısa olduğu bir çizgi olarak tanımlanabilir. Doğrudan - tüm noktalarına göre eşit konumda olan bir çizgi vardır. "Çizgi" terimi Latince linumdan gelir - "keten, keten ipliği."

_________________________________________________

1. ışın belirli bir noktanın bir tarafında bulunan bu çizginin tüm noktalarından oluşan bir çizginin parçasıdır.

1. Çizgi segmenti verilen iki nokta arasında bulunan bu çizginin tüm noktalarından oluşan bir çizginin parçasıdır.

1. Köşe- Bu açının tepe noktası ve bu noktadan inen iki farklı yarım çizgiden yani açının yanlarından oluşan bir şekildir.

1. Dörtgendört nokta ve bunları birbirine bağlayan dört ardışık parçadan oluşan bir şekildir.

1. Üçgen - aynı doğru üzerinde yer almayan, bölümlerle birbirine bağlanan üç noktadan oluşan bir şekil.

1. Daire -

Daire Belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki düzlemin tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Bir daire etrafında kapalı bir çizgi.

ÇÖZÜM.

Nokta ve doğru kavramları hayatımızın her yerinde karşımıza çıkar. Örneğin Rus diline bakarsanız, nokta tam bir cümleyi ayıran noktalama işaretidir (.). Ayrıca Rus dilinde noktalı virgül, iki nokta üst üste, üç nokta gibi noktalama işaretleri vardır.

Fizikte nokta, bir miktarın belirli bir değeridir.

Coğrafyada bir nokta, uzayda belirli bir konum olarak kabul edilir.

Biyolojide bu, bitkilerin büyüme noktasıdır.

Kimyada donma noktası, kaynama noktası, erime noktası.

Müzikte nokta, müzik notasyonunun ana unsurlarından biri olan bir işarettir.

Matematikte nokta temel bir geometrik şekildir; iki düz çizginin kesişimi, bir çizgi parçasının sınırı, bir ışının başlangıcı vb.

Herhangi bir rakam oluşturmak için bir noktaya ihtiyacımız var. Düz bir çizginin tanımına dayanarak,BİR ÇİZGİ BİRÇOK NOKTADIRTanımlardan herhangi bir şeklin bir nokta ve bir çizgi kullanılarak oluşturulduğunu, dolayısıyla tüm şekillerin noktalardan oluştuğunu biliyoruz.

Hayatımızda nokta bir enjeksiyon simgesidir, küçük bir noktadır.

Araştırma çalışmalarım, tek geometrik şeklin nokta olduğu sonucuna varmamı sağlıyor. Her şey bir noktayla başlayıp onunla bitiyor ve bunun nasıl bir keşif başlangıcı olacağı henüz bilinmiyor.

Edebiyat:

1 .Aksenova Dr. Çocuklar için ansiklopedi. T.11. - Matematik, M.: Avanta+, 1999. Sayfa 575.

2 .Atanasyan L.S., geometri, 7-9: eğitim kurumları için ders kitabı / 12. baskı. - M.: Eğitim, 2002. S. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., geometri, 10-11: eğitim kurumları için ders kitabı / 15. baskı, ek. - M.: Eğitim, 2006. s. 5-7.

4 .Vinogradov I.M., matematik ansiklopedisi/M.: Sovyet ansiklopedisi. Sayfa 410, 722.

5 .Evgenieva A.P. Rus dili sözlüğü. - M.: Eğitim, 1984.

6 .Kabardin O.F. Fizik: referans materyalleri. - M.: Eğitim, 1991.

7 .Kramer G. İstatistiğin matematiksel yöntemleri, İngilizceden çeviri, 2. baskı, M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Rus dilinin okul açıklayıcı sözlüğü. - M.: Eğitim, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Büyük ansiklopedik sözlük. - M.: Eğitim, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Matematiksel ansiklopedik sözlük. - M.: Eğitim, 1998.

11 .Savin A.P. Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü. - M.: Pedagoji, 1985, s.69.

12 Sharygin I.F. Görsel geometri. - M.: Eğitim, 1995.

Nokta- ölçülebilir herhangi bir özelliği olmayan, uzayda bulunan soyut bir nesne (sıfır boyutlu nesne). Nokta matematiğin temel kavramlarından biridir.

Öklid geometrisinde nokta

Öklid, noktayı "parçası olmayan bir nesne" olarak tanımladı. Öklid geometrisinin modern aksiyomatiğinde nokta, yalnızca özelliklerinin bir listesi olan aksiyomlarla tanımlanan birincil bir kavramdır.

Seçilen koordinat sisteminde, iki boyutlu Öklid uzayındaki herhangi bir nokta, sıralı bir çift ( X; sen) gerçek sayılar. Aynı şekilde nokta N boyutlu Öklid uzayı (vektör veya afin uzayın yanı sıra) bir demet ( A 1 , A 2 , … , A N) itibaren N sayılar.

Bağlantılar

• Nokta(İngilizce) PlanetMath web sitesinde.
• Weisstein, Eric W. Point (İngilizce) Wolfram MathWorld web sitesinde.

önemli olan:

Nokta deseni. | Enjeksiyon noktası. | Şehir haritada küçük bir nokta ile gösterilir ve yalnızca bir çevre yolunun varlığı tahmin edilebilir.

2. Nokta- bu çok küçük bir şey, mesafe veya başka nedenlerden dolayı görülmesi zor.

Ufukta bir nokta. | Top batı gökyüzünde ufka yaklaştıkça boyutu yavaş yavaş küçülmeye başladı ve bir nokta haline geldi.

3. Nokta- cümlenin sonuna veya kelimelerin kısaltılmasına konulan noktalama işareti.

Taşı gediğine koymak. | Cümlenin sonuna nokta koymayı unutmayın

4. Matematik, geometri ve fizikte nokta- bu, uzayda bir konumu olan, bir çizgi parçasının sınırı olan bir birimdir.

Matematiksel nokta.

5. Nokta uzayda, yerde veya bir şeyin yüzeyindeki belirli bir yeri adlandırın.

Yerleştirme noktası. | Acı noktası.

6. Nokta bir şeyin bulunduğu veya gerçekleştirildiği yere, bir sistemdeki belirli bir düğüme veya bazı noktalardan oluşan ağ denir.

Her perakende satış noktasının kendi tabelası olmalıdır.

7. Nokta Bir şeyin gelişiminin sınırını, gelişimin belirli bir düzeyi veya anı olarak adlandırırlar.

En yüksek nokta. | Gelişme noktası. | Durum kritik bir noktaya ulaştı. | Bu, insanın manevi gücünün tezahürünün en yüksek noktasıdır.

8. Nokta Bir maddenin bir toplanma durumundan diğerine dönüşümünün gerçekleştiği sıcaklık sınırını çağırırlar.

Kaynama noktası. | Donma noktası. | Erime noktası. | Yükseklik ne kadar yüksek olursa suyun kaynama noktası o kadar düşük olur.

9. Noktalı virgül (;) karmaşık bir cümlenin ortak, daha bağımsız kısımlarını ayırmak için kullanılan noktalama işareti olarak adlandırılır.

İngilizce'de, Rusça'dakiyle hemen hemen aynı noktalama işaretleri kullanılır: nokta, virgül, noktalı virgül, kısa çizgi, kesme işareti, parantez, üç nokta, soru ve ünlem işaretleri, kısa çizgi.

10. Onlar hakkında konuştuklarında bakış açısı, birinin belirli bir sorun hakkındaki görüşü, olaylara bakış açısı anlamına gelir.

Daha önce neredeyse evrensel olarak kabul edilen başka bir bakış açısı artık daha az popüler. | Zamanımızda kimse bu bakış açısını paylaşmıyor.

11. Sahip oldukları insanlar hakkında söylerlerse bağlantı noktaları yani ortak çıkarları var.

Belki ortak bir zemin bulabiliriz.

12. Bir şey söylenirse noktadan noktaya, kesinlikle tam bir eşleşmeyi kastediyoruz.

İşaret edilen yerde nokta nokta kahve rengi bir araba vardı.

13. Bir kişi hakkında şöyle derlerse: noktaya ulaştı Bu, bazı olumsuz niteliklerin tezahüründe en uç sınıra ulaştığı anlamına gelir.

noktaya ulaştık! Artık böyle yaşayamazsın! | Onun bilge liderliğinde özel servislerin bu noktaya ulaştığını ona söyleyemezsiniz.

14. Eğer birisi buna bir son verir bazı işlerde bu, onu durdurduğu anlamına gelir.

Daha sonra memleketine, Rusya'ya, Sovyetler Birliği'ne yaptığı göçten döndü ve bununla tüm arayışlarına ve düşüncelerine son verdi.

15. Eğer birisi “i”leri noktalar(veya üzerimde), bu da onun her şeyi mantıksal sonucuna götürdüğü ve söylenmemiş hiçbir şey bırakmadığı anlamına gelir.

Tüm i'leri noktalayalım. Girişiminiz hakkında hiçbir şey bilmiyordum.

16. Eğer birisi bir noktaya çarptı Bu, tüm çabalarını tek bir hedefe ulaşmaya yoğunlaştırdığı anlamına geliyor.

Bu yüzden görüntüleri bu kadar net; Her zaman aynı noktaya ulaşıyor, küçük ayrıntılara asla kapılmıyor. | İşinin görevinin ne olduğunu çok iyi anlıyor ve bilinçli olarak bir noktaya değiniyor.

17. Eğer birisi tam isabet, bu tam olarak ihtiyaç duyulan şeyi söylediği veya yaptığı anlamına gelir, doğru tahmin etti.

Yarışmanın bir sonraki turuna gelen ilk mektup editörleri hoş bir şekilde şaşırttı - listelenen seçeneklerden birinde okuyucumuz hemen çiviyi kafasına vurdu!

Aküpresür.

Dmitriev'in Rus dilinin açıklayıcı sözlüğü. D. V. Dmitriev. 2003.

Nokta

Nokta Anlamına gelebilir:

• Nokta, koordinatlar dışında ölçülebilir herhangi bir özelliği olmayan, uzayda bulunan soyut bir nesnedir.
• Nokta, bir harfin üstüne, altına veya ortasına yerleştirilebilen bir aksandır.
• Nokta, Rus ve İngiliz ölçü sistemlerinde bir mesafe ölçüm birimidir.
• Nokta, ondalık ayırıcının temsillerinden biridir.
• Nokta (ağ teknolojileri) - küresel ağ etki alanı hiyerarşisinde kök etki alanının belirlenmesi.
• Tochka - elektronik ve eğlence mağazaları zinciri
• Tochka - "Leningrad" grubunun albümü
• The Point, Grigory Ryazhsky'nin aynı adlı hikayesine dayanan 2006 yapımı bir Rus filmidir.
• Tochka, rap sanatçısı Stan'in ikinci stüdyo albümüdür.
• Tochka - tümen füze sistemi.
• Tochka - Krasnoyarsk gençlik alt kültür dergisi.
• Tochka, Moskova'da bir kulüp ve konser mekanıdır.
• Nokta, Mors kodu sembollerinden biridir.
• Önemli olan savaş görevinin yeridir.
• Nokta (işleme) - işleme, tornalama, bileme işlemi.
• NOKTA - NTV'de bilgi ve analitik program.
• Tochka, 2012 yılında Norilsk'te kurulmuş bir rock grubudur.

Toponim

Kazakistan

• Nokta- 1992 yılına kadar Doğu Kazakistan bölgesinin Ulan ilçesindeki Bayash Utepov köyünün adı.

Rusya

• Tochka, Vologda bölgesinin Sheksninsky bölgesinde bir köydür.
• Tochka, Novgorod bölgesinin Volotovsky bölgesinde bir köydür.
• Tochka, Penza bölgesinin Lopatinsky bölgesinde bir köydür.

Nokta ve doğru gibi kavramları tanımlayabilir misiniz?

Bizim okullarımızda ve üniversitelerimizde bu tanımlar yoktu, ama bence önemliler (diğer ülkelerde nasıldır bilmiyorum). Bu kavramları “başarılı ve başarısız” olarak tanımlayıp bunun düşüncenin gelişimi açısından faydalı olup olmadığını değerlendirebiliriz.

Güreşçi

Garip ama bize bir noktanın tanımını verdiler. Bu, uzayda bulunan ve boyutları olmayan soyut bir nesnedir (konvansiyon). Bu, okulda kafamıza çakılan ilk şeydi; noktanın boyutu yoktur, “sıfır boyutlu” bir nesnedir. Geometrideki her şey gibi koşullu bir kavram.

Düz bir çizgiyle daha da zordur. Öncelikle bu bir çizgi. İkincisi, uzayda belirli bir şekilde konumlanan bir dizi noktadır. En basit tanımıyla içinden geçtiği iki noktayla tanımlanan çizgidir.

Medivh

Nokta bir tür soyut nesnedir. Bir noktanın koordinatları vardır ancak kütlesi veya boyutu yoktur. Geometride her şey tam olarak bir noktayla başlar; bu, diğer tüm şekillerin başlangıcıdır (Bu arada, yazıda da nokta olmadan kelimenin başlangıcı olmaz). Düz bir çizgi iki nokta arasındaki mesafedir.

Leonid Kutniy

Her şey herhangi bir şekilde tanımlanabilir. Ancak bir soru var: Bu tanım belirli bir bilimde "işe yarayacak mı"? Elimizdekilere göre noktanın, doğrunun ve düzlemin tanımını vermenin bir anlamı yok. Arthur'un yorumlarını gerçekten beğendim. Bir noktanın birçok özelliği olduğunu eklemek isterim: uzunluğu, genişliği, yüksekliği yoktur, kütlesi veya ağırlığı yoktur. Ancak bir noktanın ana özelliği, yerini açıkça belirtmesidir. bir nesne, düzlemde, uzayda bir nesne. Bu yüzden bir noktaya ihtiyacımız var! Ancak akıllı bir okuyucu, o zaman bir kitabın, bir sandalyenin, bir saatin ve diğer şeylerin bir nokta olarak alınabileceğini söyleyecektir. Kesinlikle doğru! Bu nedenle noktanın tanımını vermenin bir anlamı yoktur. Saygılarımla, L.A. Kutniy

Düz çizgi geometrinin temel kavramlarından biridir.

Nokta, birçok dilde yazarken bir noktalama işaretidir.

Ayrıca nokta Mors alfabesindeki sembollerden biridir

O kadar çok tanım var ki :D

Bir noktanın, bir düz çizginin ve bir düzlemin tanımları benim tarafımdan 20. yüzyılın 80'li yılların sonlarında ve 90'lı yılların başlarında verilmiştir. Linki veriyorum:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328 sayfalık bu cilt, gerçek bir fiziksel dünya görüşü ve "Ben" duygusu temelinde açıklanan bu kavramların bilişsel özünü tamamen yeni bir bakış açısıyla anlatıyor, yani "Ben" var, tıpkı Evren'in kendisi gibi. ait olduğum şey var.

Bu eserde yazılan her şey, insanlığın doğa ve onun uzun zamandır keşfedilen ve bu noktada hala araştırılmakta olan özellikleri hakkındaki bilgisi ile doğrulanmaktadır. Matematiğin soyut görüntülerini teknolojik buluşların pratiğine uygulamak için anlaşılması ve kavramsallaştırılması çok zor hale geldi. Temel prensipler olan Temelleri ortaya koyarak, bir ilkokul öğrencisine bile Evrenin varoluş sebeplerini anlatmak mümkündür. Okuyun ve Hakikate yaklaşın. Cesaretinizi koruyun, içinde bulunduğumuz dünya önünüze yeni bir ışıkla açılıyor.

Matematik ve geometride “nokta” kavramının bir tanımı var mıdır?

Mihail Levin

"Belirlenemeyen kavram" bir tanım mıdır?

Aslında matematiğin farklı nesnelere uygulanmasını mümkün kılan tam da kavramların belirsizliğidir.

Hatta bir matematikçi "bir noktayla Öklid düzlemini, bir düzlemle - bir Öklid noktasıyla anlayacağım" diyebilir - tüm aksiyomları kontrol edin ve yeni geometri veya yeni teoremler elde edin.

Gerçek şu ki, A terimini tanımlamak için B terimini kullanmanız gerekir. B'yi tanımlamak için C terimine ihtiyacınız vardır. Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder. Ve kendimizi bu sonsuzluktan kurtarmak için bazı terimleri tanımsız kabul etmek, bazı terimlerin tanımlarını da bunların üzerine inşa etmek zorundayız. ©

Grigory Piven

Matematikte Piven Gregory A noktası, uzayın diğer kısımlarını ölçmek için kullanılan, 1'e eşit minimum uzunlukta bir bölüm olarak soyut olarak (yansıtılmış) alınan uzayın bir parçasıdır. Bu nedenle, kişi verimli bir ölçüm süreci için kolaylık sağlamak amacıyla bir noktanın ölçeğini seçer: 1 mm, 1 cm, 1 m, 1 km, 1a. örneğin, 1 St. yıl. vesaire.

Ayrıca bakınız: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

İki buçuk bin yıldır matematik, yalnızca sağduyuyla değil, aynı zamanda fizik, kimya, kuantum mekaniği ve bilgisayar bilimi gibi bilimlerin etrafımızdaki dünya hakkında elde ettiği bilgilerle de çelişen boyutsuz bir nokta soyutlamasını kullandı.

Diğer soyutlamalardan farklı olarak, boyutsuz bir matematiksel noktanın soyutlanması, gerçekliği idealleştirmez, bilgisini basitleştirmez, ancak onu kasıtlı olarak çarpıtır, ona tam tersi bir anlam verir, bu da özellikle daha yüksek boyutlu uzayları anlamayı ve incelemeyi temelde imkansız hale getirir!

Matematikte boyutsuz nokta soyutlamanın kullanımı, ekonomik hesaplamalarda sıfır değerli bir temel para biriminin kullanılmasına benzetilebilir. Neyse ki ekonomi bunu düşünmedi.

Boyutsuz bir noktanın soyutlanmasının saçmalığını kanıtlayalım.

Teorem. Matematiksel bir nokta hacimseldir.

Kanıt.

Tıpkı matematikte olduğu gibi

nokta_boyutu = 0,

Sonlu (sıfır olmayan) uzunluğa sahip bir parça için elimizdeki

Segment_boyutu = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Parçanın sonuçtaki sıfır boyutu, kendisini oluşturan noktaların bir dizisi olarak parçanın uzunluğunun sonlu olması koşuluyla çelişir. Ayrıca sıfır noktası boyutu, sıfırların toplamının terim sayısına bağlı olmaması, yani bir parçadaki "sıfır" noktalarının sayısının parçanın boyutunu etkilememesi nedeniyle saçmadır.

Bu nedenle matematiksel noktanın sıfır boyutuna ilişkin başlangıç ​​varsayımı YANLIŞTIR.

Dolayısıyla matematiksel bir noktanın sıfır olmayan (sonlu) bir boyuta sahip olduğu ileri sürülebilir. Nokta sadece doğru parçasına değil, parçanın bulunduğu uzaya da ait olduğundan uzay boyutuna sahiptir yani matematiksel nokta hacimseldir. Q.E.D.

Sonuçlar.

Bir anaokulunun genç grubunun matematik aparatı kullanılarak gerçekleştirilen yukarıdaki kanıt, bin yıl boyunca sürdürmeyi ve gelecek nesiller için korumayı başaran "tüm bilimlerin kraliçesi" rahiplerinin ve ustalarının sınırsız bilgeliğiyle gurur duymaktadır. onun orijinal biçimi, insanlığın çok eski yanılgısıdır.

Yorumlar

Sevgili İskender! Matematikte iyi değilim ama belki SİZ bana noktanın sıfıra eşit olduğunun nerede ve kim tarafından belirtildiğini söyleyebilirsiniz? Başka bir şey de, geleneksel noktaya kadar bile sonsuz küçük bir değere sahip olması, ancak sıfır olmamasıdır. Bu nedenle, kabaca söylemek gerekirse, sonsuz sayıda orijinal bölüm içeren başka bir bölüm olduğundan, herhangi bir bölüm sıfır olarak kabul edilebilir. Belki de matematikle fiziği karıştırmaya gerek yoktur. Matematik varoluş bilimidir, fizik ise varoluş bilimidir. Samimi olarak.

Akhilleus'tan iki kez ayrıntılı olarak ve birçok kez geçerken bahsetmiştim:
"Aşil neden kaplumbağaya yetişemiyor?"
"Aşil ve kaplumbağa - küp şeklinde bir paradoks"

Belki de Zeno'nun paradoksuna bir çözüm uzayın ayrık, zamanın ise sürekli olmasıdır. O da sizin gibi ikisinin birbirinden farklı olduğuna inanıyordu. Bir cisim uzayın herhangi bir noktasında bir süre kalabilir. Ancak aynı anda farklı yerlerde olamaz. Elbette bunların hepsi amatörlük, tüm diyaloğumuz gibi. Samimi olarak.
Bu arada, eğer bir nokta üç boyutlu ise boyutları nedir?

Zamanın ayrıklığı örneğin “Ok” aporiasından kaynaklanır. Prensipte ne eterin yapısını ne de 4 boyutlu uzayın yapısını anlamayan ve kabul etmeyen fizikçiler için yalnızca bir elektron “aynı anda farklı yerlerde kalabilir”. Bu olgunun başka örneğini bilmiyorum. Konuşmamızda herhangi bir “amatörlük” göremiyorum. Tam tersine her şey son derece basittir: Bir nokta ya boyutsuzdur ya da bir boyutu vardır; süreklilik ve sonsuzluk ya vardır ya da yoktur. Üçüncü bir seçenek yok; DOĞRU ya da YANLIŞ! Matematiğin temel ilkeleri maalesef 2500 yıl önce cehaletten benimsenen yanlış dogmalar üzerine kuruludur.

Noktanın boyutu çözülen problemin koşullarına ve gerekli doğruluğa bağlıdır. Örneğin, bir kol saati için bir dişli tasarlıyorsanız, doğruluk atomun boyutuyla, yani sekiz ondalık basamakla sınırlanabilir. Buradaki atomun kendisi matematiksel bir noktanın fiziksel bir benzeri olacaktır. Belki bir yerde 16 basamağa kadar bir hassasiyet gerekli olacaktır; o zaman bir noktanın rolü bir eter parçacığı tarafından oynanacaktır. Uygulamada sözde "sonsuz" doğruluktan bahsetmenin çılgınca saçmalığa veya en hafif deyimle saçmalığa dönüştüğünü lütfen unutmayın.

Hala anlamıyorum: bu nokta var mı? Eğer nesnel olarak mevcutsa, dolayısıyla belirli bir fiziksel değeri vardır; eğer öznel olarak, zihnimizin soyutlaması biçiminde varsa, o zaman matematiksel bir değeri vardır. Sıfırın HİÇBİR ŞEYİ yoktur, yoktur, bu matematikte yokluğun, fizikte boşluğun soyut tanımıdır. İlişkilerin dışında bir nokta kendi başına mevcut değildir. İkinci nokta belirir belirmez bir bölüm belirir - Bir şey vb. Bu konu sonsuza kadar geliştirilebilir. Uv ile.

Bana net bir örnek vermişim gibi geldi ama muhtemelen yeterince ayrıntılı değil. Nesnel olarak bilimin idrak ettiği bir Dünya vardır ve şu anda öncelikli olarak matematiksel yöntemleri kullanarak idrak etmektedir. Matematik dünyayı matematiksel modeller oluşturarak anlar. Bu modelleri oluşturmak için özellikle nokta, çizgi, süreklilik, sonsuzluk gibi temel matematiksel soyutlamalar kullanılır. Bu soyutlamalar temeldir çünkü onları daha fazla parçalamak ve basitleştirmek artık mümkün değildir. Temel soyutlamaların her biri nesnel gerçekliğe uygun olabilir (doğru) ya da olmayabilir (yanlış). Yukarıdaki soyutlamaların tümü doğası gereği yanlıştır çünkü gerçek dünya hakkındaki en son bilgilerle çelişmektedirler. Bu, bu soyutlamaların gerçek dünyanın doğru anlaşılmasını engellediği anlamına gelir. Bilim 3 boyutlu dünyayı incelerken bu bir şekilde tolere edilebilirdi. Ancak boyutsuz nokta ve süreklilik soyutlamaları, prensipte tüm üst boyut dünyalarını bilinemez hale getiriyor!

Evrenin tuğlası - bir nokta - boş olamaz. Hiçbir şeyin boşluktan gelmediğini herkes bilir. Eterin var olmadığını ilan eden fizikçiler dünyayı boşlukla doldurdular. Ben matematiğin boş noktasıyla onları bu aptallığa ittiğine inanıyorum. 4B'den daha yüksek boyutlardaki dünyaların atom noktalarından bahsetmiyorum bile. Dolayısıyla, her boyut için, bölünmez (koşullu olarak) matematiksel noktanın rolü, bu dünyanın (koşullu olarak) bölünmez bir atomu (uzay, madde) tarafından oynanır. 3D için - fiziksel bir atom, 4D için - bir eter parçacığı, 5D için - bir astral atom, 6D için - zihinsel bir atom vb. Samimi olarak,

Peki evrenin tuğlasının bir çeşit mutlak değeri var mı? Ve size göre eterik veya zihinsel dünyada neye benziyor? Dünyaların kendisi hakkında soru sormaya bile korkuyorum. İlgiyle...

Eter parçacıkları (bunlar atom değildir!), parçacıkların birbirlerine göre ışık hızında döndüğü elektron-pozitron çiftleridir. Bu, tüm nükleonların yapısını, elektromanyetik salınımların yayılmasını ve sözde fiziksel boşluğun tüm etkilerini tamamen açıklamaktadır. Düşünce atomunun yapısı kimse tarafından bilinmemektedir. Sadece TÜM en yüksek dünyaların maddi olduğuna, yani kendi atomlarına sahip olduklarına dair kanıtlar var. Mutlak meselesine kadar. Ama boşuna ironi yapıyorsunuz. Solucan delikleri ve büyük patlamalar size daha mı inandırıcı geliyor?

Ne ironi, bu kadar bilgi çığının ardından biraz şaşırmıştım. Ben, sizin aksine, profesyonel değilim ve uzayların beş veya altı boyutluluğu hakkında bir şey söylemekte zorlanıyorum. Bizim mazlum noktamızdan bahsediyorum... Anladığım kadarıyla maddi devamlılığa karşısınız, hem de gerçekten var olan bir “Demokratik” atomunuz var. "Evrenin Tuğlası." Belki dikkatsizdim ama yine de yapısının, fiziksel parametrelerinin, boyutlarının vs. ne olduğunu tekrarlamak zor olurdu.
Ve ayrıca cevap şu: Birim herhangi bir ilişkinin dışında kendi içinde var mı? Teşekkür ederim.

Ölçü birimlerinin ve boyutun ne olduğunu anladıktan sonra artık gerçek ölçülere geçebiliriz. Okul matematiğinde iki ölçüm aracı kullanılır: (1) mesafeleri ölçmek için bir cetvel ve (2) açıları ölçmek için bir iletki.

Nokta

Mesafe her zaman herhangi iki nokta arasında ölçülür. Pratik anlamda nokta, kalem veya tükenmez kalemle delindiğinde kağıt üzerinde kalan küçük bir noktadır. Bir noktayı tanımlamanın daha çok tercih edilen başka bir yolu, iki ince çizgiden oluşan bir çarpı işareti çizmektir; nokta onların kesişimleri. Kitaplardaki çizimlerde nokta genellikle küçük siyah bir daire olarak tasvir edilir. Ancak bunların hepsi yalnızca yaklaşık görsel görüntülerdir ve katı matematiksel anlamda, nokta - boyutu her yönde sıfır olan hayali bir nesnedir. Matematikçiler için tüm dünya noktalardan oluşur. Noktalar her yerdedir. Kağıda bir kalem soktuğumuz veya bir çarpı çizdiğimizde yeni bir nokta yaratmıyoruz, sadece birinin dikkatini çekmek için mevcut olanın üzerine bir işaret koyuyoruz. Aksi belirtilmedikçe noktaların hareketsiz olduğu ve göreceli konumlarının değişmediği varsayılmaktadır. Ancak hareketli bir noktanın sanki bir sabit noktayla, sonra başka bir sabit noktayla birleşiyormuş gibi bir yerden bir yere hareket ettiğini hayal etmek zor değil.

Dümdüz

Cetveli iki noktanın üzerine yerleştirerek bunların içinden geçen düz bir çizgi çizebiliriz ve üstelik tek yol. Hayali matematiksel dümdüz Hayali ideal bir cetvel boyunca çizilen , sıfır kalınlığa sahiptir ve her iki yönde de sonsuza kadar uzanır. Gerçek bir çizimde bu hayali yapı şu şekli alır:

Aslına bakılırsa bu çizimdeki her şey yanlış. Buradaki çizginin kalınlığı açıkça sıfırdan büyüktür ve çizginin sonsuza kadar uzandığını söylemenin hiçbir yolu yoktur. Ancak yine de bu tür düzensiz çizimler hayal gücüne destek olarak çok faydalıdır ve bunları sürekli kullanacağız. Bir noktayı diğerinden ayırmayı kolaylaştırmak için genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle işaretlenirler. Örneğin bu şekilde noktalar harflerle gösterilmiştir. A Ve B. Noktalardan geçen çizgi A Ve B, otomatik olarak "düz" adını alır AB" Kısaca belirtmek gerekirse, gösterim ( AB), burada "düz" kelimesi çıkarılmış ve parantez eklenmiştir. Düz çizgiler küçük harflerle de gösterilebilir. Yukarıdaki şekilde düz bir çizgi AB mektupla belirtilir N.

Noktaların ötesinde A Ve B düz bir çizgide N her biri başka bir çizgiyle kesişme olarak temsil edilebilecek çok sayıda başka nokta var. Aynı noktadan birçok farklı düz çizgi çizilebilir.

Bir doğru üzerinde çakışmayan noktaların olduğunu biliyorsak A, B, C Ve D, o zaman haklı olarak yalnızca ( olarak değil) olarak da belirlenebilir. AB), ama aynı zamanda nasıl ( AC.), (BD), (CD) ve benzeri.

Çizgi segmenti. Segmentin uzunluğu. Noktalar arasındaki mesafe

Doğrunun iki noktayla sınırlanan kısmına denir bölüm. Bu sınırlayıcı noktalar aynı zamanda segmente aittir ve segment olarak adlandırılır. biter. Uçları noktalara denk gelen bir segment A Ve B"bölüm" olarak ifade edilir AB"veya biraz daha kısa, [ AB].

Her segment karakterize edilir uzunluk- bir uçtan diğerine ulaşmak için bölüm boyunca atılması gereken "adımların" sayısı (muhtemelen kesirli). Bu durumda, "adımın" uzunluğu, bir ölçü birimi olarak alınan, kesinlikle sabit bir değerdir. Bir kağıda çizilen bölümlerin uzunluklarını ölçmek en uygunudur. santimetre. Segmentin uçları noktaların üzerine düşerse A Ve B ise uzunluğu | AB|.

Altında mesafe iki nokta arasında onları bağlayan doğru parçasının uzunluğu bulunur. Aslında mesafeyi ölçmek için bir parça çizmeye gerek yoktur - her iki noktaya da ("adımların" izlerinin önceden işaretlendiği) bir cetvel takmak yeterlidir. Matematikte bir nokta hayali bir nesne olduğundan, hiçbir şey bizi hayal gücümüzde mesafeyi mutlak doğrulukla ölçen ideal bir cetvel kullanmaktan alıkoyamaz. Bununla birlikte, kağıt üzerindeki çarpı noktalarına veya merkezlerine uygulanan gerçek bir cetvelin, mesafeyi yalnızca yaklaşık olarak - bir milimetre hassasiyetle ayarlamanıza izin verdiği unutulmamalıdır. Mesafe her zaman negatif değildir.

Bir noktanın çizgi üzerindeki konumu

Bize düz bir çizgi verelim. Üzerine isteğe göre bir nokta işaretleyelim ve onu harfle belirtelim Ö. Yanına 0 sayısını koyalım. Düz çizgi boyunca olası iki yönden birine "pozitif", diğerine ise "negatif" diyelim. Genellikle pozitif yön soldan sağa veya aşağıdan yukarıya doğru alınır ancak bu gerekli değildir. Şekilde gösterildiği gibi pozitif yönü bir okla işaretleyelim:

Artık bir çizgi üzerinde bulunan herhangi bir noktayı belirleyebiliriz. konum. Nokta konumu A Negatif, sıfır veya pozitif olabilen bir değerle verilir. Mutlak değeri noktalar arasındaki mesafeye eşittir Ö Ve A(yani segmentin uzunluğu ÖA) ve işaret noktadan itibaren yöne göre belirlenir Ö asıl noktaya ulaşmak için hareket etmelisin A. Olumlu yönde hareket etmeniz gerekiyorsa işaret olumludur. Negatif ise işaret negatiftir. "Konum" kelimesi yerine "sıklıkla" kelimesi kullanılır koordinat».

İrrasyonel ve gerçek sayılar

Gerçek bir çizimle uğraştığımızda ve bir okul cetveli kullanarak gerçek bir açıklık üzerindeki gerçek bir noktanın konumunu belirlediğimizde, en yakın milimetreye yuvarlanmış bir değer elde ederiz. Başka bir deyişle sonuç aşağıdaki seriden alınan bir değerdir:

0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm vesaire.

Sonuç örneğin 1/3'e eşit olamaz santimetreçünkü bildiğimiz gibi santimetrenin üçte biri sonsuz periyodik kesir olarak temsil edilebilir

0,333333333... santimetre,

yuvarlamadan sonra 0,3'e eşit olmalıdır santimetre.

Hayal gücümüzdeki ideal matematiksel nesneleri manipüle ettiğimizde durum farklı olur.

İlk olarak, bu durumda ölçü birimlerini kolayca atabilir ve yalnızca boyutsuz miktarlarla çalışabilirsiniz. Sonra rasyonel sayılar üzerinden geçerken tanıştığımız ve adını verdiğimiz geometrik yapıya geliyoruz. sayı doğrusu:

Geometride “düz” kelimesi zaten yoğun bir şekilde “yüklü” olduğundan, aynı yapıya sıklıkla denir. sayı ekseni ya da sadece eksen.

İkinci olarak, bir noktanın koordinatının aşağıdaki gibi periyodik ondalık kesirlerle verildiğini pekala hayal edebiliriz:

Üstelik sonsuz olanı hayal edebiliriz. düzenli olmayan kesir - örneğin,

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler olarak temsil edilebilen bu tür sanal sayılara denir. mantıksız. İrrasyonel sayılar, zaten aşina olduğumuz rasyonel sayılarla birlikte, sözde geçerli sayılar. “Gerçek” kelimesi yerine “gerçek” kelimesini de kullanacağız. gerçek" Bir noktanın bir çizgi üzerinde akla gelebilecek herhangi bir konumu gerçek sayı olarak ifade edilebilir. Ve tam tersi, eğer bize bir gerçek sayı verilirse X, her zaman bir noktayı hayal edebiliriz X konumu sayıyla belirtilen X.

Ön yargı

İzin vermek A- nokta koordinatı A, A B- nokta koordinatı B. Daha sonra değer

v = B − A

dır-dir yer değiştirme, bu noktayı çevirir A Kesinlikle B. Bu, önceki eşitliğin formda yeniden yazılması durumunda özellikle belirgin hale gelir.

B = A + v.

Bazen "yerinden edilme" kelimesi yerine "" kelimesini kullanıyorlar vektör" Durumun böyle olduğunu görmek kolaydır X keyfi nokta X- bu, noktayı çeviren bir ofsetten başka bir şey değildir Ö(koordinatı sıfıra eşit olan) bir noktaya X:

X= 0 + X.

Ofsetler birbirine eklenebilir ve birbirinden çıkarılabilir. Yani, eğer ofset ( B − A) noktayı çevirir A Kesinlikle B ve ofset ( C − B) nokta B Kesinlikle C, ardından ofset

(B − A) + (C − B) = C − A

noktayı çevirir A Kesinlikle C.

Not. Mantıksal olarak, irrasyonel sayıların nasıl toplanıp çıkarılacağını açıklığa kavuşturmak gerekir, çünkü yer değiştirme pekala irrasyonel olabilir. Elbette matematikçiler uygun resmi prosedürleri geliştirmeye özen gösterdiler, ancak pratikte bunu yapmayacağız çünkü yuvarlatılmış değerlere sahip yaklaşık hesaplamalar pratik problemleri çözmek için her zaman yeterlidir. Şimdilik, herhangi iki gerçek sayı için "toplama" ve "çıkarma" kavramlarının yanı sıra "çarpma" ve "bölme" kavramlarının da doğru tanımlandığına inanacağız (ancak şunu unutmayın: sıfıra bölünemez).

Burada belki de “yer değiştirme” ve “mesafe” kavramları arasındaki ince farka dikkat çekmek yerinde olacaktır. Mesafe her zaman negatif değildir. Aslında mutlak değerde alınan bir yer değiştirmeyi temsil eder. Yani eğer ofset

v = B − A

noktayı çevirir A Kesinlikle B, ardından mesafe S noktalar arasında A Ve B eşittir

S = |v| = |B − a|.

Bu eşitlik, iki sayıdan hangisinin büyük olduğuna bakılmaksızın geçerli kalır. A veya B.

Uçak

Pratik anlamda düzlem, üzerine geometrik tasarımlarımızı çizdiğimiz bir kağıt parçasıdır. Hayali matematiksel düzlem sıfır kalınlığa sahip olması ve farklı yönlerde sonsuza kadar uzanan sınırsız bir yüzeye sahip olması nedeniyle bir kağıt yaprağından farklıdır. Buna ek olarak, bir kağıt parçasının aksine, matematiksel düzlem kesinlikle katıdır: masadan koparılsa ve herhangi bir şekilde uzaya yerleştirilse bile asla bükülmez veya kırışmaz.

Uçağın uzaydaki konumu üç nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir (herhangi bir düz çizgi üzerinde bulunmadıkları sürece). Bunu daha net hayal etmek için üç keyfi nokta çizelim, Ö, A Ve B ve bunların arasından iki düz çizgi çizin O.A. Ve O.B. resimde gösterildiği gibi:

Hayalinizdeki bir düzlemi kesişen iki düz çizgi üzerinde "germek", onu üç noktada "desteklemekten" biraz daha kolaydır. Ancak daha da netlik sağlamak için bazı ek yapılar yapalım. Rastgele birkaç nokta alalım: çizginin herhangi bir yerinde bir tane O.A., ve diğeri - düz çizginin herhangi bir yerinde O.B.. Bu nokta çifti boyunca yeni bir çizgi çizelim. Daha sonra aynı şekilde başka bir çift nokta seçin ve bunların arasından başka bir düz çizgi çizin. Bu prosedürü birçok kez tekrarlayarak ağ gibi bir şey elde ederiz:

Böyle bir yapıya bir düzlem dayatmak zaten oldukça basittir - özellikle de bu hayali ağ, tüm düzlemi boşluksuz kaplayacak kadar kalın yapılabildiği için.

Bir düzlem üzerinde bir çift farklı nokta alıp bunların arasından düz bir çizgi çizersek, bu düz çizginin zorunlu olarak aynı düzlemde yer alacağını unutmayın.

Soyut

Nokta (A, B, vb.): Boyutu her yönde sıfır olan hayali bir nesne.

Dümdüz (N, M veya ( AB))): sonsuz ince bir çizgi; iki noktadan çizilir ( A Ve B) kesin bir şekilde çizgi boyunca; her iki yönde de sonsuza kadar uzanır.

Çizgi segmenti ([AB]): iki noktayla sınırlanan bir çizginin parçası ( A Ve B) - aynı zamanda segmente ait olduğu düşünülen segmentin uçları.

Bölüm uzunluğu(|AB|): Uçlar arasına sığan (kesirli) santimetre sayısı (veya başka bir ölçü birimi) ( A Ve B).

İki nokta arasındaki mesafe: uçları bu noktalarda olan parçanın uzunluğu.

Bir noktanın çizgi üzerindeki konumu (koordinat): noktanın merkezin hangi tarafında bulunduğuna bağlı olarak, bir noktadan önceden seçilmiş bir merkeze (aynı zamanda düz bir çizgi üzerinde uzanan) atanmış bir artı veya eksi işaretine olan mesafe.

Bir noktanın çizgi üzerindeki konumu belirtilir geçerli(gerçek)sayı yani (1) sonlu veya sonsuz periyodik ( rasyonel sayılar) veya (2) sonsuz periyodik olmayan ( irrasyonel sayılar).

Ön yargı, bu noktayı çevirir A(koordinatlı A) Kesinlikle B(koordinatlı B): v = B − A.

Mesafe mutlak değer olarak alınan yer değiştirmeye eşittir: | AB| = |B − A|.

Uçak: farklı taraflarında sonsuza kadar uzanan sonsuz incelikte bir kağıt sayfası; aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ile benzersiz bir şekilde tanımlanır.

Kritik nokta kavramı, türevlenebilir eşlemeler durumuna ve keyfi manifoldların türevlenebilir eşlemeleri durumuna genelleştirilebilir. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Bu durumda kritik noktanın tanımı, haritalamanın Jacobian matrisinin sıralamasıdır. f (\displaystyle f)'ye eşit mümkün olan maksimum değerden daha azını içerir.

Fonksiyonların kritik noktaları ve haritalar matematiğin diferansiyel denklemler, varyasyonlar hesabı, kararlılık teorisi gibi alanlarının yanı sıra mekanik ve fizik alanlarında da önemli bir rol oynar. Düzgün haritalamaların kritik noktalarının incelenmesi, felaket teorisinin ana sorularından biridir. Kritik nokta kavramı aynı zamanda sonsuz boyutlu fonksiyon uzaylarında tanımlanan fonksiyoneller durumuna da genelleştirilir. Bu tür fonksiyonellerin kritik noktalarını bulmak varyasyon hesabının önemli bir parçasıdır. Fonksiyonellerin kritik noktalarına (ki bunlar da fonksiyondur) denir. ekstrem Sporlar.

Resmi tanımlama

Kritik(veya özel veya sabit) sürekli türevlenebilir bir haritalamanın noktası f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) bu eşlemenin diferansiyelinin çağrıldığı nokta f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\kısmi f)(\kısmi x))) dır-dir dejenere karşılık gelen teğet uzayların doğrusal dönüşümü T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) Ve T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)) yani dönüşüm görüntüsünün boyutu f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) az min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Koordinat gösteriminde ne zaman n = m (\displaystyle n=m) bu, Jacobian'ın haritalamanın Jacobian matrisinin belirleyicisi olduğu anlamına gelir f (\displaystyle f), tüm kısmi türevlerden oluşur ∂ f j ∂ x ben (\displaystyle (\frac (\kısmi f_(j))(\kısmi x_(i))))- bir noktada sıfır olur. Uzaylar ve R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) bu tanımda çeşitler ile değiştirilebilir N n (\displaystyle N^(n)) Ve M m (\displaystyle M^(m)) aynı boyutlar.

Sard teoremi

Kritik noktadaki haritalama değerine denir. kritik değer. Sard teoremine göre, yeterince düzgün bir haritalamanın kritik değerleri kümesi f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) sıfır Lebesgue ölçüsüne sahiptir (ancak herhangi bir sayıda kritik nokta olabilir; örneğin bir kimlik eşlemesi için herhangi bir nokta kritiktir).

Sabit sıralama göstergeleri

Bir noktanın yakınında ise x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) sürekli türevlenebilir haritalamanın sırası f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) aynı sayıya eşit r (\displaystyle r), o zaman bu noktanın yakınında x 0 (\displaystyle x_(0)) merkezli yerel koordinatlar var x 0 (\displaystyle x_(0)) ve imajının civarındaki noktalar y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- yerel koordinatlar var (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) merkezli f (\displaystyle f) ilişkiler tarafından verilir:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

Özellikle eğer r = n = m (\displaystyle r=n=m), o zaman yerel koordinatlar var (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) merkezli x 0 (\displaystyle x_(0)) ve yerel koordinatlar (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) merkezli y 0 (\displaystyle y_(0)), öyle ki içlerinde haritalama f (\displaystyle f) aynıdır.

Olay M = 1

Bu durumda bu tanım, degradenin şu anlama geldiği anlamına gelir: ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1))),\ldots ,f"_(x_(n)))) bu noktada ortadan kaybolur.

Fonksiyonun olduğunu varsayalım. f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R)) daha düşük olmayan bir pürüzsüzlük sınıfına sahiptir C 3 (\displaystyle C^(3)). Bir fonksiyonun kritik noktası F isminde dejenere olmayan Hessian içeriyorsa | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\kısmi ^(2)f)(\kısmi x^(2))))(\Bigr |)) sıfırdan farklı. Dejenere olmayan bir kritik noktanın yakınında fonksiyonun bulunduğu koordinatlar vardır. F ikinci dereceden normal forma sahiptir (Mors lemması).

Dejenere kritik noktalar için Morse lemmasının doğal bir genellemesi şöyledir: Tujron'un teoremi: fonksiyonun dejenere kritik noktasının yakınında F, sonlu çokluğun sonsuz sayıda () türevlenebilirliği μ (\displaystyle \mu ) düzgün fonksiyonun derece polinomu biçiminde olduğu bir koordinat sistemi vardır μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(gibi P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) fonksiyonun Taylor polinomunu alabiliriz f (x) (\displaystyle f(x)) orijinal koordinatlarda bir noktada).

Şu tarihte: m = 1 (\displaystyle m=1) Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu sormak mantıklıdır. Matematiksel analizin iyi bilinen bir ifadesine göre, sürekli türevlenebilir bir fonksiyon f (\displaystyle f), tüm alan boyunca tanımlanmış R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) veya açık alt kümesinde, yerel maksimuma (minimum) yalnızca kritik noktalarda ulaşabilir ve eğer nokta dejenere değilse matris (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x ben ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\kısmi ^(2)f)(\kısmi x^(2))))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j))))(\Bigr))),) ben , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) negatif (pozitif) kesin olmalıdır. İkincisi aynı zamanda yerel maksimum (sırasıyla minimum) için yeterli bir koşuldur.

Olay N = M = 2

Ne zaman n=m=2 bir ekranımız var F düzlemden düzleme (veya iki boyutlu manifolddan başka bir iki boyutlu manifolda). Haritalamanın olduğunu varsayalım. F sonsuz sayıda türevlenebilir ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty))). Bu durumda haritalamanın tipik kritik noktaları F Jacobian matrisinin determinantının sıfıra eşit olduğu, ancak sıralamasının 1'e eşit olduğu ve dolayısıyla haritalamanın diferansiyelinin olduğu matrislerdir. F bu noktalarda tek boyutlu bir çekirdeğe sahiptir. Tipikliğin ikinci koşulu, prototip düzleminde söz konusu noktanın komşuluğunda kritik noktalar kümesinin düzenli bir eğri oluşturmasıdır. S ve eğrinin neredeyse tüm noktalarında Sçekirdek ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) ilgilenmiyor S ve durumun böyle olmadığı noktalar izole edilmiştir ve onlara olan teğetlik birinci derecedendir. Birinci türün kritik noktalarına denir katlama noktaları ve ikinci tür - birleşim noktaları. Kıvrımlar ve düzenekler, küçük pertürbasyonlara göre kararlı olan düzlemden düzleme haritalamaların tek tekillik türleridir: küçük pertürbasyonlar için, kıvrım ve birleşim noktaları, eğrinin deformasyonu boyunca yalnızca hafifçe hareket eder. S ama yok olmayın, yozlaşmayın ve başka özelliklere dönüşmeyin.