Matematikçi Yakov Perelman: bilime katkı. Ünlü Rus matematikçi Grigory Perelman

AKIL OYUNU

Yakın zamana kadar matematik “rahiplerine” ne şöhret ne de zenginlik vaat ediyordu. Onlara Nobel Ödülü bile verilmedi. Böyle bir adaylık yok. Sonuçta çok popüler bir efsaneye göre Nobel'in karısı bir zamanlar onu bir matematikçiyle aldatmıştı. Ve misilleme olarak zengin adam tüm sahtekar kardeşlerini saygısından ve para ödülünden mahrum etti.

2000 yılında durum değişti. Özel Matematik Enstitüsü Clay Matematik Enstitüsü en zor problemlerden yedisini seçti. Ve herkese kararları karşılığında bir milyon dolar ödeyeceğine söz verdi. Matematikçilere saygıyla baktılar. 2001 yılında ana karakteri bir matematikçi olan “Güzel Bir Zihin” filmi bile yayınlandı.

Artık yalnızca medeniyetten uzak insanlar bunun farkında değil: vaat edilen milyonlardan biri - ilki - çoktan ödüllendirildi. Ödül, St. Petersburg'da ikamet eden Rus vatandaşı Grigory Perelman'a, çabalarıyla bir teorem haline gelen Poincaré varsayımını çözdüğü için verildi. 44 yaşındaki sakallı adam tüm dünyanın burnunu sildi. Ve şimdi de onu -dünyayı- belirsizlik içinde tutmaya devam ediyor. Çünkü matematikçinin dürüstçe hak ettiği milyon doları alıp almayacağı veya reddedip reddedmeyeceği bilinmiyor. Pek çok ülkedeki ilerici kamuoyu doğal olarak endişeli. En azından tüm kıtalardaki gazeteler finansal ve matematiksel entrikayı anlatıyor.

Ve bu büyüleyici faaliyetlerin arka planına karşı - falcılık ve başkalarının parasını bölmek - Perelman'ın başarısının anlamı bir şekilde kaybolmuştu. Clay Enstitüsü Başkanı Jim Carlson elbette bir keresinde ödül fonunun amacının cevap aramak olmadığını, matematik biliminin prestijini artırma ve gençlerin ilgisini çekme girişimi olduğunu belirtmişti. Ama yine de ne anlamı var?

POINCARE HİPOTEZİ - NEDİR?

Rus dehasının çözdüğü bilmece, matematiğin topoloji adı verilen bir dalının temellerine değiniyor. Topolojisine genellikle "kauçuk levha geometrisi" adı verilir. Şeklin gerilmesi, bükülmesi veya bükülmesi durumunda korunan geometrik şekillerin özellikleriyle ilgilenir. Yani yırtılmadan, kesilmeden, yapıştırılmadan deforme olur.

Topoloji matematiksel fizik açısından önemlidir çünkü uzayın özelliklerini anlamamızı sağlar. Veya bu mekanın şekline dışarıdan bakmadan değerlendirin. Örneğin, Evrenimize.

Poincaré varsayımını açıklarken şöyle başlıyorlar: İki boyutlu bir küre hayal edin; lastik bir disk alın ve onu topun üzerine çekin. Böylece diskin çevresi tek bir noktada toplanır. Benzer şekilde örneğin bir spor sırt çantasını kordonla bağlayabilirsiniz. Sonuç bir küredir: bizim için üç boyutludur, ancak matematik açısından yalnızca iki boyutludur.

Daha sonra aynı diski bir çörek üzerine çekmeyi teklif ediyorlar. İşe yarayacak gibi görünüyor. Ancak diskin kenarları artık bir noktaya çekilemeyecek bir daire şeklinde birleşecek - çörek kesilecek.

Başka bir Rus matematikçi Vladimir Uspensky'nin popüler kitabında yazdığı gibi, "iki boyutlu kürelerden farklı olarak, üç boyutlu kürelere doğrudan gözlemimizle erişilemez ve Vasily İvanoviç'in hayal etmesi ne kadar zorsa bizim için de onları hayal etmek o kadar zordur" ünlü şakadaki kare trinomial.

Yani Poincaré hipotezine göre, yüzeyi varsayımsal bir "hiperkord" tarafından bir noktaya çekilebilen tek üç boyutlu şey üç boyutlu bir küredir.

Jules Henri Poincaré bunu 1904'te önerdi. Artık Perelman, Fransız topologun haklı olduğunu anlayan herkesi ikna etti. Ve hipotezini teoreme dönüştürdü.

Kanıt, Evrenimizin nasıl bir şekle sahip olduğunu anlamaya yardımcı oluyor. Ve bunun aynı üç boyutlu küre olduğunu çok makul bir şekilde varsaymamıza izin veriyor. Ancak eğer Evren bir noktaya kadar daraltılabilen tek “figür” ise, o zaman muhtemelen bir noktadan itibaren uzatılabilir. Bu, Evrenin bir noktadan kaynaklandığını öne süren Büyük Patlama teorisinin dolaylı bir doğrulamasıdır.

Perelman'ın Poincaré ile birlikte evrenin ilahi başlangıcının destekçileri olan sözde yaratılışçıları üzdüğü ortaya çıktı. Ve materyalist fizikçilerin değirmenine su döktüler.

VE BU ZAMANDA

Dahi henüz bir milyon dolardan vazgeçmedi

Matematikçi inatla gazetecilerle iletişim kurmayı reddediyor. Bizimkine göre - kesinlikle: sesini bile yükseltmiyor. Batılılar - kapalı bir kapıdan sözler atarlar. Mesela beni rahat bırak. Dahi sadece Clay Enstitüsü'nün başkanı Jim Carlson ile iletişim kuruyor gibi görünüyor.

Grigory Perelman'ın milyon doları öğrenildikten hemen sonra Carlson, "Dahi neye karar verdi?" sorusunu yanıtladı. şu cevabı verdi: "Zamanı gelince bana haber verecek." Yani Gregory ile temas halinde olduğunu ima etti.

Geçtiğimiz gün Cumhurbaşkanımızdan yeni bir mesaj aldık. Kendisi İngiliz The Telegraph gazetesi tarafından kamuoyuna şöyle bildirildi: “Kararını bir noktada bana bildireceğini söyledi. Ancak bunun en azından yaklaşık olarak ne zaman olacağını söylemedi. Yarın da bunun doğru olacağını düşünmüyorum."

Başkana göre dahi kuru ama kibar bir şekilde konuştu. Kısa sürdü. Perelman'ı savunan Carlson şunları kaydetti: "Bir kişinin bir milyon dolardan vazgeçme olasılığını şaka yollu bir şekilde düşünmesi bile her gün mümkün değil."

BU ARADA

Yoksa neden bir milyon dolar versinler ki?

1. Cook'un sorunu

Bir problemin çözümünün doğruluğunu kontrol etmenin, çözümü elde etmekten daha uzun zaman alıp alamayacağını belirlemek gerekir. Bu mantıksal görev, kriptografi - veri şifreleme - uzmanları için önemlidir.

2. Riemann hipotezi

2, 3, 5, 7 gibi yalnızca kendilerine bölünebilen asal sayılar vardır. Toplamda kaç tane olduğu bilinmiyor. Riemann bunun belirlenebileceğine ve dağılım modelinin bulunabileceğine inanıyordu. Bunu kim bulursa aynı zamanda kriptografi hizmetleri de sağlayacak.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Problem, üç bilinmeyenin üstleri olan denklemlerin çözülmesini içerir. Karmaşıklığa bakılmaksızın bunları nasıl çözeceğinizi bulmanız gerekir.

4. Hodge varsayımı

Yirminci yüzyılda matematikçiler karmaşık nesnelerin şeklini incelemek için bir yöntem keşfettiler. Buradaki fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılan ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Bunun her zaman caiz olduğunu kanıtlamak gerekir.

5. Navier - Stokes denklemleri

Onları uçakta hatırlamaya değer. Denklemler onu havada tutan hava akımlarını tanımlar. Artık denklemler yaklaşık formüller kullanılarak yaklaşık olarak çözülmektedir. Kesin olanları bulmamız ve üç boyutlu uzayda denklemlerin her zaman doğru olan bir çözümünün olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

6. Yang - Mills denklemleri

Fizik dünyasında bir hipotez vardır: Eğer bir temel parçacığın kütlesi varsa, o zaman onun bir alt sınırı vardır. Ama hangisi olduğu belli değil. Ona ulaşmamız lazım. Bu belki de en zor görevdir. Bunu çözmek için, doğadaki tüm kuvvetleri ve etkileşimleri birleştiren bir "her şeyin teorisi" - denklemler oluşturmak gerekir. Bunu yapabilen herkes muhtemelen Nobel Ödülü alacaktır.

Saf matematiğin son büyük başarısı, St. Petersburg'da yaşayan Grigory Perelman'ın 2002-2003'te 1904'te ifade ettiği Poincaré varsayımının kanıtı olarak kabul edilir: "Sınırsız her bağlantılı, basit bağlantılı, kompakt üç boyutlu manifold, S3 küresine homeomorfiktir.”

Bu cümlede, genel anlamlarının matematikçi olmayanlar için açık olması için açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun liseden mezun olduğunu ve okul matematiğinin bir kısmını hala hatırladığını varsayıyorum).

Topolojinin merkezi olan homeomorfizm kavramıyla başlayalım. Genel olarak topoloji genellikle “kauçuk geometrisi” olarak tanımlanır, yani geometrik görüntülerin, kırılma ve yapıştırma olmadan düzgün deformasyonlar sırasında değişmeyen özelliklerinin bilimi veya daha doğrusu bire-bir birlik oluşturmanın mümkün olup olmadığı bilimi olarak tanımlanır. iki nesne arasında tek ve karşılıklı sürekli yazışma.

Ana fikri, klasik bir kupa ve çörek örneğini kullanarak açıklamak en kolay olanıdır. Birincisi sürekli deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir.

Bu şekiller, bir kupanın bir çörek ile homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek, hem yüzeyleri (bir torus adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler (kenarlı üç boyutlu manifoldlar) için doğrudur.

Hipotezin formülasyonunda görünen geri kalan terimlerin yorumunu verelim.

Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri arasında ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir simitin (çörek) iç kısmı yer alır. Kapalı bir katı simit düşünürsek, yani sınır noktalarını (topusun yüzeyi) eklersek, o zaman kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca formdadır yarım top.
Bağlı. Buradaki bağlantı kavramı en basit olanıdır. Bir manifold tek parçadan oluşuyorsa bağlantılıdır veya aynı şekilde herhangi iki noktası, sınırlarının dışına taşmayan sürekli bir çizgiyle birbirine bağlanabilir.
Basitçe bağlanın. Basit bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan düzgün bir deformasyonla bir noktaya düzgün bir şekilde çekilebilir) . Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.
Kompakt. Homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse bir manifold kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir parça (uçları olan) sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

Boyut Bir manifoldun sayısı, üzerinde "yaşayan" noktanın serbestlik derecesinin sayısıdır. Her noktanın karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır; yani tek boyutlu bir durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu bir düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu bir top vb. Topoloji açısından bakıldığında, kenarı olmayan yalnızca iki tek boyutlu bağlantılı manifold vardır: bir çizgi ve daire. Bunlardan yalnızca daire kompakttır.

Manifold olmayan bir uzayın örneği, örneğin bir çift kesişen çizgidir - sonuçta, iki çizginin kesişme noktasında herhangi bir mahalle haç şeklindedir, böyle bir mahalleye sahip değildir. kendisi basitçe bir aralıktır (ve diğer tüm noktaların bu tür komşulukları vardır). Bu gibi durumlarda matematikçiler, tek bir özel noktası olan özel bir çeşitlilikle karşı karşıya olduğumuzu söylüyorlar.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. Yalnızca düşünürsek odaklı Sınırsız manifoldlar varsa, topolojik açıdan bakıldığında sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür manifoldların her biri, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamacın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

Şekil 0, 1, 2 ve 3 cinsinin yüzeylerini göstermektedir. Küreyi bu listedeki tüm yüzeyler arasında öne çıkaran nedir? Basitçe bağlantılı olduğu ortaya çıktı: Bir küre üzerinde herhangi bir kapalı eğri bir noktaya kadar daraltılabilir, ancak herhangi bir başka yüzeyde yüzey boyunca bir noktaya kadar daraltılamayan bir eğriyi belirtmek her zaman mümkündür.

Sınırsız üç boyutlu kompakt manifoldların, iki boyutlu durumdaki kadar basit olmasa da oldukça karmaşık bir yapıya sahip olmasına rağmen, bir anlamda sınıflandırılabilmesi, yani belirli bir listede düzenlenebilmesi ilginçtir. Ancak yukarıdaki listede yer alan 2D küre gibi 3D küre S 3 bu listede de öne çıkıyor. S 3 üzerindeki herhangi bir eğrinin bir noktaya kadar büzüldüğü gerçeği, iki boyutlu durumda olduğu kadar basit bir şekilde kanıtlanmıştır. Ancak bunun tersi olan ifade, yani bu özelliğin özellikle küre için benzersiz olduğu, yani diğer herhangi bir üç boyutlu manifoldda büzülmeyen eğrilerin bulunduğu ifadesi çok zordur ve tam olarak bahsettiğimiz Poincaré varsayımının içeriğini oluşturur. .

Çeşitliliğin kendi başına yaşayabileceğini, herhangi bir yere yuvalanmadan bağımsız bir nesne olarak düşünülebileceğini anlamak önemlidir. (Sıradan bir kürenin yüzeyinde, üçüncü boyutun varlığından habersiz iki boyutlu yaratıklar olarak yaşadığınızı hayal edin.) Neyse ki, yukarıdaki listede yer alan iki boyutlu yüzeylerin tümü sıradan R3 uzayına yerleştirilebilir, bu da onları daha kolay hale getirir. görselleştirmek. Üç boyutlu S3 küresi için (ve genel olarak sınırı olmayan herhangi bir kompakt üç boyutlu manifold için) durum artık geçerli değildir, dolayısıyla onun yapısını anlamak için biraz çaba gerekir.

Görünen o ki, üç boyutlu S3 küresinin topolojik yapısını açıklamanın en basit yolu tek noktalı sıkıştırma kullanmaktır. Yani üç boyutlu küre (S3), sıradan üç boyutlu (sınırsız) uzayın (R3) tek noktalı kompaktifikasyonudur.

Öncelikle bu yapıyı basit örneklerle açıklayalım. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (uzayın tek boyutlu bir benzeri) alalım ve ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim; sağa veya sola doğru düz bir çizgi boyunca hareket ettiğimizde sonunda bu noktaya ulaşacağımızı varsayalım. Topolojik açıdan bakıldığında, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık çizgi parçası (uç noktaları olmayan) arasında hiçbir fark yoktur. Böyle bir parça, bir yay şeklinde sürekli olarak bükülebilir, uçları yakınlaştırabilir ve bağlantı noktasındaki eksik noktayı yapıştırabilir. Açıkçası bir daire elde edeceğiz - kürenin tek boyutlu bir benzeri.

Aynı şekilde, sonsuz bir düzlem alıp, orijinal düzlemin herhangi bir yönde geçen tüm düz çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir S 2 küresi elde ederiz. Bu prosedür, kuzey kutbu N hariç, kürenin her P noktasına P düzlemi üzerinde belirli bir nokta atayan stereografik bir projeksiyon kullanılarak gözlemlenebilir."

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir noktanın eklenmesi, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzaya uygulanabilir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu bir çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu nedenle kendimi R3 uzayının tek noktalı kompaktifikasyonunun sözlü açıklamasıyla sınırlayacağım.

Fiziksel uzayımıza (Newton'u takip ederek, üç koordinat x, y, z ile sınırsız bir Öklid uzayı olarak kabul ediyoruz), herhangi bir yönde düz bir çizgide hareket ederken "sonsuzda" bir noktanın eklendiğini hayal edin. oraya vardığınız yön (yani her uzamsal çizgi bir daireye kapanır). Daha sonra tanımı gereği S3 küresi olan kompakt üç boyutlu bir manifold elde ederiz.

S3 küresinin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu anlamak kolaydır. Aslında bu küre üzerindeki herhangi bir kapalı eğri, eklenen noktadan geçmeyecek şekilde hafifçe kaydırılabilir. Daha sonra, sıradan uzay R3'te, homojenlikler yoluyla, yani her üç yönde sürekli sıkıştırma yoluyla bir noktaya kolayca büzülen bir eğri elde ederiz.

S3 çeşidinin nasıl yapılandırıldığını anlamak için onun iki katı toriye bölünmesini düşünmek çok öğreticidir. Katı simidi R3 alanından çıkarırsak, o zaman çok net olmayan bir şey kalacaktır. Ve eğer uzay bir küre şeklinde sıkıştırılırsa, bu tamamlayıcı da katı bir torusa dönüşür. Yani, S3 küresi, ortak bir sınırı olan bir torus olan iki katı tori'ye bölünmüştür.

İşte bunu nasıl anlayabileceğiniz. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir çörek şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi - bu çörekin dönme ekseni - çizelim. Eksen boyunca rastgele bir düzlem çiziyoruz; bu, şekilde yeşil renkle gösterilen iki daire boyunca katı torusumuzu kesecek ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünecek. Bunlar, daha cesurca vurgulanan merkezi ekseni içerir, çünkü S3 küresinde düz çizgi bir daireye yaklaşır. Bu iki boyutlu resim bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu bir resim elde edilir. Döndürülmüş dairelerden oluşan eksiksiz bir set, katı bir torusa homeomorfik olan ve yalnızca sıra dışı görünen üç boyutlu bir gövdeyi dolduracaktır.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, sıradan bir katı torus oluşturan paraleller - daireler rolünü oynayacak.

3-küreyi karşılaştıracak bir şeye sahip olmak için, kompakt 3-manifoldun başka bir örneğini, yani üç boyutlu simidi vereceğim. Üç boyutlu bir simit aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Başlangıç malzemesi olarak sıradan bir üç boyutlu küpü alalım:

Üç çift kenarı vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her bir paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktarılarak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde belirleriz. Yani, örneğin A ve A"'nın aynı nokta olduğunu ve B ile B"'nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar kullanmadan) varsayacağız. Tüm iç noktalar Küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi kenarı olan bir manifolddur, ancak yapıştırma işlemi tamamlandıktan sonra kenar kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşuları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bir mahalle görevi gören bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktası.

Fiziksel alanla ilgili günlük fikirlere dayalı 3 torusun yapısını hissetmek için, karşılıklı olarak üç dik yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, bu yönlerden herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. oldukça uzun ama sınırlı bir süre sonra başlangıç noktasına döneceğiz, ancak ters yönden. Bu aynı zamanda bir "uzay sıkıştırması"dır, ancak daha önce küre oluşturmak için kullanılan tek noktalı bir yöntem değil, daha karmaşık bir yöntemdir.

Üç boyutlu bir simit üzerinde daraltılamayan yollar vardır; örneğin, bu şekildeki AA" segmentidir (bir simit üzerinde kapalı bir yolu temsil eder). Daraltılamaz, çünkü herhangi bir sürekli deformasyon için A ve A" noktaları birbirlerine tam olarak zıt kalarak yüzleri boyunca hareket etmelidir ( aksi takdirde eğri açılacaktır).

Yani basit bağlantılı ve basit olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman basit bağlantılı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

İspatın ilk fikri, "Ricci akışı" olarak adlandırılan yöntemi kullanmaktır: basit bir şekilde bağlanmış kompakt 3-manifoldu alırız, ona isteğe bağlı bir geometri veririz (yani mesafeler ve açılarla birlikte bazı metrikler ekleriz) ve sonra şunu düşünürüz: Ricci akışı boyunca evrimi. Bu fikri 1981 yılında ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimin çeşitliliğimizi bir alana dönüştüreceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı bir manifoldu bozabilir, yani onu manifold olmayan bir hale getirebilir (yukarıdaki kesişen çizgiler örneğinde olduğu gibi tekil noktalara sahip bir şey) . Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aygıtını kullanarak, tekil noktalar yakınındaki Ricci akışına, evrim sırasında manifoldun topolojisi değişmeyecek, hiçbir tekil nokta ortaya çıkmayacak şekilde düzeltmeler getirmeyi başardı ve sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama sonunda bu Ricci akışının ne olduğunu açıklamamız gerekiyor. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki değişikliklere atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi, düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını tanımlamakla sınırlayacağım.

Öklid düzleminde düzgün kapalı bir eğri hayal edelim, bunun üzerinde bir yön seçelim ve her noktada birim uzunlukta bir teğet vektör düşünelim. Daha sonra, seçilen yönde eğri etrafında dönerken, bu vektör eğrilik adı verilen bir açısal hızla dönecektir. Eğrinin daha dik kavisli olduğu yerlerde eğrilik (mutlak değerde) daha büyük olacak, daha düzgün olduğu yerlerde eğrilik daha az olacaktır.

Hız vektörü, eğrimize göre iki parçaya bölünen düzlemin iç kısmına doğru dönüyorsa eğriliği pozitif, dışa doğru dönüyorsa negatif kabul edeceğiz. Bu kural eğrinin geçildiği yönden bağımsızdır. Dönüşün yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (eğer radyan cinsinden ölçülürse).

Şimdi teğet vektörleri unutalım ve tam tersine, eğrinin her noktasına, kendisine dik, belirli bir noktadaki eğriliğe eşit uzunlukta ve eğrilik pozitifse içe doğru, negatifse dışa doğru yönlendirilmiş bir vektör ekleyelim. ve ardından her noktanın, uzunluğuyla orantılı hızla karşılık gelen vektörün yönünde hareket etmesini sağlayın. İşte bir örnek:

Düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin bu tür bir evrim sırasında benzer şekilde davrandığı, yani sonuçta bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Poincaré varsayımının Ricci akışını kullanan tek boyutlu analoğunun bir kanıtıdır (ancak bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, yalnızca kanıt yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sonuç olarak, Perelman'ın akıl yürütmesinin yalnızca Poincaré varsayımını değil aynı zamanda genel olarak tüm kompakt üç boyutlu manifoldların yapısını belirli bir anlamda tanımlayan çok daha genel Thurston geometrileştirme varsayımını da kanıtladığını belirtelim. Ancak bu konu bu temel makalenin kapsamı dışındadır.

Yer sıkıntısı nedeniyle, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim; bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeler olmadan uzaya gömülemeyen bir yüzey.

1904'te Henri Poincaré, 3 kürenin belirli özelliklerine sahip herhangi bir üç boyutlu nesnenin 3 küreye dönüştürülebileceğini öne sürdü. Bu hipotezin kanıtlanması 99 yıl sürdü. (Uyarı! Üç boyutlu küre düşündüğünüz gibi değil.) Rus matematikçi, bir asır önce ortaya atılan Poincaré varsayımını kanıtladı ve üç boyutlu uzayların şekil kataloğunun oluşturulmasını tamamladı. Belki 1 milyon dolar ikramiye alacak.

Etrafına bir bak. Etrafınızdaki nesneler, sizin gibi, milyarlarca ışıkyılı boyunca her yöne uzanan üç boyutlu uzayda (3-manifold) hareket eden parçacıkların bir koleksiyonudur.

Manifoldlar matematiksel yapılardır. Galileo ve Kepler'in zamanından beri bilim insanları gerçekliği matematiğin şu ya da bu dalı açısından başarılı bir şekilde tanımladılar. Fizikçiler dünyadaki her şeyin üç boyutlu uzayda gerçekleştiğine ve herhangi bir parçacığın konumunun üç sayıyla (örneğin enlem, boylam ve yükseklik) belirlenebileceğine inanıyor (sicim teorisinde yapılan varsayımı şimdilik bir kenara bırakalım; Gözlemlediğimiz üç boyuta ek olarak birkaç tane daha vardır.

Klasik ve geleneksel kuantum fiziğine göre uzay sabittir ve değişmez. Aynı zamanda, genel görelilik teorisi onu olaylara aktif bir katılımcı olarak kabul eder: iki nokta arasındaki mesafe, geçen yerçekimi dalgalarına ve yakınlarda ne kadar madde ve enerjinin bulunduğuna bağlıdır. Ancak hem Newton hem de Einstein fiziğinde uzay -sonsuz ya da sonlu- her durumda 3-manifoldludur. Bu nedenle, neredeyse tüm modern bilimin dayandığı temelleri tam olarak anlamak için, 3-manifoldların özelliklerini anlamak gerekir (uzay ve zaman birlikte bunlardan birini oluşturduğundan 4-manifoldlar daha az ilgi çekici değildir).

Manifoldların incelendiği matematik dalına topoloji denir. Topologlar ilk önce temel soruları sordular: 3-manifoldun en basit (yani en az karmaşık) tipi nedir? Aynı derecede basit kardeşleri var mı yoksa benzersiz mi? Ne tür 3-manifoldlar var?

İlk sorunun cevabı uzun zamandır biliniyor: En basit kompakt 3-manifold, 3-küre adı verilen bir uzaydır (Kompakt olmayan manifoldlar sonsuzdur veya kenarları vardır. Aşağıda yalnızca kompakt manifoldlar ele alınmıştır). Bir yüzyıl boyunca iki soru daha cevapsız kaldı. Görünüşe göre Poincaré varsayımını kanıtlayabilen Rus matematikçi Grigory Perelman bunlara ancak 2002 yılında cevap verdi.

Tam yüz yıl önce, Fransız matematikçi Henri Poincaré, 3-kürenin benzersiz olduğunu ve başka hiçbir kompakt 3-manifoldun onu bu kadar basit kılan özelliklere sahip olmadığını öne sürdü. Daha karmaşık 3-manifoldların, bir tuğla duvar gibi duran sınırları veya belirli alanlar arasında dallanan ve sonra tekrar birleşen bir orman yolu gibi çoklu bağlantıları vardır. 3-kürenin özelliklerine sahip herhangi bir üç boyutlu nesne kendisine dönüştürülebilir, dolayısıyla topologlara göre bu sadece onun bir kopyası gibi görünür. Perelman'ın kanıtı aynı zamanda üçüncü soruyu yanıtlamamıza ve mevcut tüm 3-manifoldları sınıflandırmamıza da olanak tanır.

3-küreyi hayal etmek için oldukça fazla hayal gücüne ihtiyacınız olacak (bkz. KÜRELERİN ÇOK BOYUTLU MÜZİĞİ). Neyse ki, tipik bir örneği yuvarlak bir balonun kauçuğu olan 2-küreyle pek çok ortak noktası var: iki boyutludur, çünkü üzerindeki herhangi bir nokta yalnızca iki koordinatla tanımlanır - enlem ve boylam. Oldukça küçük bir alanını güçlü bir büyüteç altında incelerseniz, düz bir levha parçası gibi görünecektir. Balonun üzerinde gezinen minik bir böceğe, balon düz bir yüzey gibi görünecektir. Ancak sümük yeterince uzun bir süre düz bir çizgide hareket ederse, eninde sonunda başlangıç noktasına geri dönecektir. Aynı şekilde Evrenimizin 3 küre büyüklüğündeki bir kısmını da “sıradan” üç boyutlu uzay olarak algılarız. Herhangi bir yönde yeterince uzağa uçtuktan sonra, sonunda onun "etrafından dolaşabilirdik" ve başlangıç noktamıza geri dönebilirdik.

Tahmin edebileceğiniz gibi, n boyutlu bir küreye n-küre denir. Örneğin, 1-küre herkese tanıdık geliyor: bu sadece bir daire.

Grigory Perelman, Poincaré varsayımına ilişkin kanıtını ve Thurston'un geometrileştirme programının tamamlanmasını Nisan 2003'te Princeton Üniversitesi'nde bir seminerde sundu.

Hipotezlerin test edilmesi

Poincaré varsayımı meselesinin ortaya çıkmasından yarım yüzyıl geçti. 60'larda XX yüzyıl Matematikçiler beş veya daha fazla boyutlu küreler için ona benzer ifadeler kanıtladılar. Her durumda, n-küre aslında tek ve en basit n-manifolddur. Garip bir şekilde, çok boyutlu küreler için sonuç elde etmenin 3 ve 4 kürelerden daha kolay olduğu ortaya çıktı. Dört boyutun kanıtı 1982'de ortaya çıktı. Ve yalnızca 3-küre hakkındaki orijinal Poincaré varsayımı doğrulanmadan kaldı.

Belirleyici adım, Matematik Enstitüsü'nün St. Petersburg şubesinden bir matematikçi olan Grigory Perelman'ın Kasım 2002'de atılmasıyla atıldı. Steklov, makalesini dünyanın her yerinden fizikçi ve matematikçilerin bilimsel faaliyetlerinin sonuçlarını tartıştıkları www.arxiv.org sitesine gönderdi. Topologlar, Rus bilim adamının çalışması ile Poincaré varsayımı arasındaki bağlantıyı hemen anladılar, ancak yazar bundan doğrudan bahsetmedi. Mart 2003'te Perelman ikinci bir makale yayınladı ve aynı yılın baharında Amerika Birleşik Devletleri'ni ziyaret ederek Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nde ve Stony Brook'taki New York Eyalet Üniversitesi'nde çeşitli seminerler verdi. Önde gelen enstitülerdeki birkaç matematikçi grubu, gönderilen çalışmalar üzerinde derhal ayrıntılı bir çalışmaya ve hataları aramaya başladı.

İNCELEME: POINCARES HİPOTEZİNİN KANITLANMASI

Bir yüzyıl boyunca matematikçiler, Henri Poincaré'nin tüm üç boyutlu nesneler arasında 3 kürenin olağanüstü basitliği ve benzersizliği hakkındaki varsayımını kanıtlamaya çalıştılar.
Poincaré varsayımının mantığı nihayet genç Rus matematikçi Grigory Perelman'ın çalışmalarında ortaya çıktı. Ayrıca üç boyutlu manifoldların sınıflandırılmasına ilişkin kapsamlı bir programı tamamladı.
Belki de Evrenimiz 3 küre şeklindedir. Matematik ile parçacık fiziği ve genel görelilik arasında başka ilginç bağlantılar da var.

Perelman, Stony Brook'ta iki hafta boyunca günde üç ila altı saat boyunca birçok konferans verdi. Materyali çok net bir şekilde sundu ve ortaya çıkan tüm soruları yanıtladı. Nihai sonucun alınmasına hâlâ küçük bir adım kaldı ama bunun tamamlanmak üzere olduğuna hiç şüphe yok. İlk makale okuyucuya temel fikirleri tanıtır ve tamamen doğrulandığı kabul edilir. İkinci makale uygulamalı konuları ve teknik nüansları kapsamaktadır; henüz selefiyle aynı tam güveni uyandırmıyor.

2000 yılında Matematik Enstitüsü adını almıştır. Cambridge, Massachusetts'teki Clay, biri Poincaré varsayımı olarak kabul edilen yedi Milenyum Sorununun her birini kanıtlamak için 1 milyon dolarlık bir ödül belirledi. Bir bilim insanının ödül talep edebilmesi için, kanıtının yayınlanması ve iki yıl boyunca dikkatle incelenmesi gerekir.

Perelman'ın çalışması 90'lı yıllarda yürütülen araştırma programını genişletiyor ve tamamlıyor. Geçen yüzyılda Columbia Üniversitesi'nden Richard S. Hamilton tarafından. 2003 yılı sonunda Amerikalı matematikçinin çalışmaları Clay Institute Ödülü'ne layık görüldü. Perelman, Hamilton'un baş edemediği bir takım engelleri zekice aşmayı başardı.

Aslına bakılırsa Perelman'ın doğruluğunu henüz kimsenin sorgulayamadığı kanıtı, Poincaré varsayımının kendisinden çok daha geniş bir yelpazedeki sorunları çözüyor. Cornell Üniversitesi'nden William P. Thurston tarafından önerilen geometrileştirme prosedürü, olağanüstü basitliğiyle benzersiz olan 3-küreyi temel alan 3-manifoldların tam bir sınıflandırmasına olanak tanır. Poincaré varsayımı yanlış olsaydı; Eğer küre kadar basit birçok uzay olsaydı, 3-manifoldların sınıflandırılması sonsuz derecede daha karmaşık bir şeye dönüşürdü. Perelman ve Thurston sayesinde, Evrenimizin alabileceği üç boyutlu uzayın matematiksel olarak mümkün olan tüm formlarının tam bir kataloğuna sahibiz (eğer zamansız yalnızca uzayı düşünürsek).

Kauçuk simitler

Poincaré varsayımını ve Perelman'ın kanıtını daha iyi anlamak için topolojiye daha yakından bakmalısınız. Matematiğin bu dalında, bir nesnenin şeklinin hiçbir önemi yoktur; sanki herhangi bir şekilde gerilebilen, sıkıştırılabilen ve bükülebilen bir hamurdan yapılmış gibi. Hayali hamurdan yapılmış şeyleri veya mekanları neden düşünmeliyiz? Gerçek şu ki, bir nesnenin tam şekli - tüm noktaları arasındaki mesafe - geometri adı verilen yapısal bir seviyeye atıfta bulunur. Topologlar bir hamurdan bir nesneyi inceleyerek onun geometrik yapıya bağlı olmayan temel özelliklerini belirler. Topolojiyi incelemek, herhangi bir kişiye dönüştürülebilen "hamuru adama" bakarak insanların sahip olduğu en yaygın özellikleri aramaya benzer.

Popüler edebiyatta genellikle topolojik açıdan bakıldığında bir bardağın çörekten farklı olmadığına dair basmakalıp bir ifade vardır. Gerçek şu ki, bir bardak hamur, malzemenin basitçe ezilmesiyle çörek haline getirilebilir, yani. hiçbir şeyi kör etmeden veya delik açmadan (bkz. YÜZEY TOPOLOJİSİ). Öte yandan, toptan çörek yapmak için mutlaka içine bir delik açmanız veya onu bir silindire yuvarlayıp uçlarını kalıplamanız gerekir, bu nedenle top hiç de çörek değildir.

Topologlar en çok küre ve halka yüzeylerle ilgilenirler. Bu nedenle katı cisimler yerine balonları hayal etmelisiniz. Topolojileri hala farklıdır çünkü küresel bir balon, simit adı verilen halka şeklindeki bir balona dönüştürülemez. İlk olarak bilim insanları, farklı topolojilere sahip kaç nesnenin mevcut olduğunu ve bunların nasıl karakterize edilebileceğini bulmaya karar verdiler. Yüzey olarak adlandırmaya alışkın olduğumuz 2-manifoldlar için cevap zarif ve basittir: her şey “deliklerin” sayısına veya aynı şey olan tutamaçların sayısına göre belirlenir (bkz. YÜZEYLERİN TOPOLOJİSİ). 19. yüzyılın sonu. matematikçiler yüzeyleri nasıl sınıflandıracaklarını buldular ve bunların en basitinin küre olduğunu belirlediler. Doğal olarak topologlar 3-manifoldlar hakkında düşünmeye başladılar: 3-küre basitliği bakımından benzersiz midir? Cevap arayışının yüzyıllık geçmişi yanlış adımlarla ve kusurlu kanıtlarla doludur.

Henri Poincaré bu konuyu yakından ele aldı. 20. yüzyılın başlarındaki en güçlü iki matematikçiden biriydi. (diğeri David Gilbert'ti). Son evrenselci olarak adlandırıldı - hem saf hem de uygulamalı matematiğin tüm alanlarında başarıyla çalıştı. Buna ek olarak Poincaré, gök mekaniğinin gelişimine, elektromanyetizma teorisine ve hakkında birçok popüler kitap yazdığı bilim felsefesine büyük katkılarda bulundu.

Poincaré cebirsel topolojinin kurucusu oldu ve onun yöntemlerini kullanarak 1900'de bir nesnenin homotopi adı verilen topolojik özelliğini formüle etti. Bir manifoldun homotopisini belirlemek için, zihinsel olarak kapalı bir döngüyü içine daldırmanız gerekir (bkz. YÜZEYLERİN TOPOLOJİSİ). O zaman döngüyü manifoldun içinde hareket ettirerek bir noktaya kadar daraltmanın her zaman mümkün olup olmadığını öğrenmelisiniz. Bir simit için cevap olumsuz olacaktır: Eğer simitin çevresine bir ilmek yerleştirirseniz, onu bir noktaya kadar sıkamazsınız çünkü çörek “deliği” yolunuza çıkacak. Homotopi, bir döngünün daralmasını engelleyebilecek farklı yolların sayısıdır.

KÜRELERİN ÇOK BOYUTLU MÜZİĞİ

3 küreyi hayal etmek o kadar kolay değil. Yüksek boyutlu uzaylarla ilgili teoremleri kanıtlayan matematikçiler, çalışmanın nesnesini hayal etmek zorunda değildir: daha az boyuta sahip analojilere dayanan sezgilerin rehberliğinde soyut özelliklerle uğraşırlar (bu tür analojiler dikkatle ele alınmalı ve kelimenin tam anlamıyla alınmamalıdır). Daha az boyutlu nesnelerin özelliklerini temel alarak 3-küreyi de ele alacağız.

1. Bir daireye ve onu çevreleyen daireye bakarak başlayalım. Matematikçiler için daire iki boyutlu bir top, daire ise tek boyutlu bir küredir. Ayrıca, herhangi bir boyuttaki bir top, karpuzu anımsatan dolu bir nesnedir ve yüzeyi, daha çok bir balona benzeyen bir küredir. Bir daire tek boyutludur çünkü üzerindeki bir noktanın konumu tek bir sayı ile belirlenebilir.

2. İki daireden birini Kuzey Yarımküre'ye, diğerini Güney Yarımküre'ye çevirerek iki boyutlu bir küre oluşturabiliriz. Geriye kalan tek şey onları birbirine yapıştırmak ve 2'li küre hazır.

3. Kuzey Kutbu'ndan, ana ve 180. meridyenlerin (solda) oluşturduğu büyük bir daire boyunca sürünen bir karınca hayal edelim. Yolunu iki orijinal dairenin (sağda) üzerine haritalarsak, böceğin düz bir çizgide (1) kuzey dairenin (a) kenarına doğru ilerlediğini, sonra sınırı geçtiğini, üzerinde karşılık gelen noktaya çarptığını görürüz. güney çemberi ve düz çizgiyi (2 ve 3) takip etmeye devam ediyor. Daha sonra karınca tekrar kenara (b) ulaşır, onu geçer ve kendisini tekrar kuzey çemberinde bulur ve başlangıç noktasına - Kuzey Kutbu'na (4) doğru koşar. 2-küre üzerinde dünyanın etrafında dolaşırken, bir daireden diğerine geçerken hareket yönünün tersine döndüğünü unutmayın.

4. Şimdi 2-küremizi ve içerdiği hacmi (üç boyutlu bir top) düşünün ve onlarla bir daire ve daire ile aynı şeyi yapın: topun iki kopyasını alın ve sınırlarını birbirine yapıştırın. Topların dört boyutta nasıl çarpıtıldığını ve bir yarım küre analoğuna dönüştüğünü açıkça göstermek imkansızdır ve gerekli değildir. Yüzeylerdeki karşılık gelen noktaların, yani. 2-küreler birbirine dairelerde olduğu gibi bağlanır. İki topun bağlanmasının sonucu 3 küredir - dört boyutlu bir topun yüzeyi. (Bir 3 küre ve bir 4 topun bulunduğu dört boyutta cismin yüzeyi üç boyutludur.) Toplardan birine kuzey yarım küre, diğerine de güney yarım küre diyelim. Dairelere benzetilerek, kutuplar artık topların merkezlerinde yer alıyor.

5. Söz konusu topların uzayın büyük boş bölgeleri olduğunu hayal edin. Diyelim ki bir astronot Kuzey Kutbu'ndan bir roketle yola çıkıyor. Zamanla artık kuzey topunu çevreleyen bir küre haline gelen ekvatora (1) ulaşır. Roket onu geçerek güney yarımküreye girer ve merkezi - Güney Kutbu - boyunca ekvatorun karşı tarafına (2 ve 3) doğru düz bir çizgide hareket eder. Orada kuzey yarımküreye geçiş yeniden gerçekleşir ve gezgin Kuzey Kutbu'na döner, yani. başlangıç noktasına (4) gidin. 4 boyutlu bir topun yüzeyinde dünyayı dolaşmanın senaryosu bu! Dikkate alınan üç boyutlu küre, Poincaré varsayımında bahsedilen alandır. Belki de Evrenimiz tam olarak 3 kürelidir.
Mantık beş boyuta genişletilebilir ve 4'lü bir küre oluşturulabilir, ancak bunu hayal etmek son derece zordur. Eğer iki n-topu onları çevreleyen (n-1)-küreler boyunca yapıştırırsanız, (n+1)-topunu sınırlayan bir n-küre elde edersiniz.

N-küresinde herhangi bir döngü, karmaşık bir şekilde bükülmüş olsa bile, her zaman çözülebilir ve bir noktaya kadar birlikte çekilebilir. (Döngünün kendi içinden geçmesine izin verilir.) Poincaré, herhangi bir döngünün bir noktaya kadar daraltılabileceği tek 3-manifoldun 3-küre olduğunu varsaydı. Ne yazık ki daha sonra Poincaré varsayımı olarak anılacak olan varsayımını hiçbir zaman kanıtlayamadı. Geçtiğimiz yüzyıl boyunca pek çok kişi kanıtın kendi versiyonunu sundu, ancak bunun yanlış olduğuna ikna olmak için. (Açıklama kolaylığı için, iki özel durumu ihmal ediyorum: yönlendirilemeyen manifoldlar ve kenarları olan manifoldlar. Örneğin, içinden bir parçası kesilmiş bir kürenin bir kenarı vardır ve bir Möbius döngüsünün yalnızca kenarları yoktur. , ancak aynı zamanda yönlendirilemez.)

geometrileştirme

Perelman'ın 3-manifold analizi geometrileştirme prosedürüyle yakından ilgilidir. Geometri, artık hamurdan değil seramikten yapılmış nesnelerin ve manifoldların gerçek şekliyle ilgilenir. Örneğin, bir fincan ve bir çörek geometrik olarak farklıdır çünkü yüzeyleri farklı şekilde kavislidir. Bir fincan ve bir çörekin, farklı geometrik şekiller verilen topolojik torusun iki örneği olduğu söylenir.

Perelman'ın neden geometrileştirmeyi kullandığını anlamak için 2-manifoldların sınıflandırmasını düşünün. Her topolojik yüzeye, eğriliği manifold boyunca eşit olarak dağıtılan benzersiz bir geometri atanır. Örneğin bir küre için bu mükemmel küresel bir yüzeydir. Topolojik küre için başka bir olası geometri bir yumurtadır, ancak eğriliği her yere eşit olarak dağılmamıştır: keskin uç, kör uçtan daha kavislidir.

2-manifoldlar üç geometrik tip oluşturur (bkz. GEOMETRİZASYON). Küre pozitif eğrilik ile karakterize edilir. Geometrili bir torus düzdür ve sıfır eğriliğe sahiptir. İki veya daha fazla "deliğe" sahip diğer tüm 2-manifoldlar negatif eğriliğe sahiptir. Önde ve arkada yukarıya, sola ve sağa doğru aşağıya doğru kıvrılan eyere benzer bir yüzeye karşılık gelirler. Poincaré, 2-manifoldların bu geometrik sınıflandırmasını (geometrizasyonunu), Klein şişesine adını veren Paul Koebe ve Felix Klein ile birlikte geliştirdi.

Benzer bir yöntemin 3-manifoldlara uygulanması yönünde doğal bir istek vardır. Her biri için eğriliğin tüm çeşit boyunca eşit şekilde dağıtılacağı benzersiz bir konfigürasyon bulmak mümkün müdür?

3-manifoldların iki boyutlu benzerlerinden çok daha karmaşık olduğu ve çoğuna homojen bir geometri atanamayacağı ortaya çıktı. Sekiz kanonik geometriden birine karşılık gelen parçalara bölünmelidirler. Bu prosedür, bir sayıyı asal faktörlere ayırma işlemini anımsatmaktadır.

YÜZEY TOPOLOJİSİ

TOPOLOJİDE tam biçim, yani. geometri konu dışıdır: nesneler sanki hamurdan yapılmış gibi ele alınır ve gerilebilir, sıkıştırılabilir ve bükülebilir. Ancak hiçbir şey kesilemez veya yapıştırılamaz. Dolayısıyla, kahve fincanı (solda) gibi tek delikli herhangi bir nesne, çörek veya torusa (sağda) eşdeğerdir.

HERHANGİ BİR İKİ BOYUTLU manifold veya yüzey (yönlendirilebilir kompakt nesnelerle sınırlı), küreye (a) tutacaklar eklenerek yapılabilir. Birini yapıştıralım ve 1. türden bir yüzey yapalım, yani. bir simit veya çörek (sağ üst), ikincisini ekleyin - 2. türden bir yüzey elde ederiz (b), vb.

2-kürenin yüzeyler arasındaki benzersizliği, içine yerleştirilmiş herhangi bir kapalı döngünün (a) noktasına kadar daraltılabilmesidir. Simit üzerinde bu durum orta delik (b) ile önlenebilir. 2 küre dışındaki tüm yüzeylerde ilmeğin sıkışmasını önleyen tutma yerleri bulunur. Poincaré, 3-kürenin üç boyutlu manifoldlar arasında benzersiz olduğunu öne sürdü: herhangi bir döngü yalnızca onun üzerinde bir noktaya kadar daraltılabilir.

Bu sınıflandırma prosedürü ilk olarak 70'lerin sonlarında Thurston tarafından önerildi. geçen yüzyıl. Meslektaşlarıyla birlikte bunların çoğunu doğruladı ancak bazı önemli noktaları (Poincaré varsayımı dahil) kanıtlayamadılar. 3-küre benzersiz midir? Bu sorunun güvenilir cevabı ilk olarak Perelman'ın makalelerinde ortaya çıktı.

Bir manifold nasıl geometrilendirilebilir ve her yerde düzgün bir eğriliğe sahip olabilir? Çeşitli çıkıntılara ve girintilere sahip bazı keyfi geometriler almanız ve ardından tüm düzensizlikleri düzeltmeniz gerekir. 90'ların başında. XX yüzyıl Hamilton, adını matematikçi Gregorio Ricci-Curbastro'dan alan Ricci akış denklemini kullanarak 3-manifoldları analiz etmeye başladı. Bu, eşit olmayan şekilde ısıtılan bir gövdede, sıcaklığı her yerde aynı oluncaya kadar akan ısı akışlarını tanımlayan ısı iletim denklemine biraz benzer. Aynı şekilde, Ricci akış denklemi manifoldun eğriliğinde tüm çıkıntıların ve girintilerin hizalanmasına yol açan bir değişikliği belirtir. Örneğin bir yumurtayla başlarsanız yavaş yavaş küresel hale gelecektir.

GEOMETRİZASYON

2-manifoldları SINIFLANDIRMAK İÇİN tekdüzeleştirme veya geometrileştirmeyi kullanabilirsiniz: onlara belirli bir geometri, katı bir form atayın. Özellikle her manifold, eğriliği eşit şekilde dağıtılacak şekilde dönüştürülebilir. Küre (a), sürekli pozitif eğriliğe sahip benzersiz bir şekildir: her yeri bir tepenin tepesi gibi kavislidir. Simit (b) düz yapılabilir, yani. her yerde sıfır eğriliğe sahip. Bunu yapmak için kesmeniz ve düzeltmeniz gerekir. Ortaya çıkan silindir uzunlamasına kesilmeli ve dikdörtgen bir düzlem oluşturacak şekilde açılmalıdır. Başka bir deyişle, bir torusun bir düzlem üzerine eşlenmesi mümkündür. Tip 2 ve üzeri (c) yüzeylere sabit bir negatif eğrilik verilebilir ve geometrileri tutamaç sayısına bağlı olacaktır. Aşağıda sabit negatif eğriliğe sahip eyer şeklinde bir yüzey bulunmaktadır.

3-ÇEŞİTLERİN SINIFLANDIRILMASI çok daha zordur. 3-manifoldun her biri sekiz kanonik 3 boyutlu geometriden birine dönüştürülebilen parçalara bölünmesi gerekir. Aşağıdaki örnek (basitlik açısından mavi renkte 2-manifold olarak gösterilmiştir), sabit pozitif (a), sıfır (b) ve sabit negatif (c) eğriliğe sahip 3 geometriden ve ayrıca 2'nin "çarpımlarından" oluşur. -küre ve bir daire (d) ve negatif eğriliğe sahip yüzeyler ve daireler (e).

Bununla birlikte Hamilton bazı zorluklarla karşılaştı: bazı durumlarda Ricci akışı manifoldun sıkışmasına ve sonsuz ince bir boyun oluşumuna yol açar. (Bu, ısı akışından farklıdır: sıkışma noktalarında sıcaklık sonsuz derecede yüksek olacaktır.) Bir örnek, dambıl şeklindeki manifolddur. Küreler, ortadaki bir noktaya doğru sivrilen köprüden malzeme çekerek büyür (bkz. SAVAŞ ÖZELLİKLERİ). Başka bir durumda, manifolddan ince bir çubuk çıktığında, Ricci akışı puro şeklindeki tekilliğin ortaya çıkmasına neden olur. Düzenli bir 3-manifoldda, herhangi bir noktanın komşuluğu sıradan üç boyutlu uzayın bir parçasıdır ve bu, tekil sıkışma noktaları hakkında söylenemez. Bir Rus matematikçinin çalışması bu zorluğun aşılmasına yardımcı oldu.

Perelman, 1992 yılında doktora tezini savunduktan sonra Amerika Birleşik Devletleri'ne geldi ve Stony Brook'taki New York Eyalet Üniversitesi'nde birkaç dönem ve ardından Berkeley'deki California Üniversitesi'nde iki yıl geçirdi. Kısa sürede yükselen bir yıldız olarak ün kazandı ve geometrinin dallarından birinde birçok önemli ve derin sonuçlar elde etti. Perelman, Avrupa Matematik Derneği'nden bir ödül aldı (bunu reddetti) ve Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde konuşma yapmak üzere prestijli bir davet aldı (bunu kabul etti).

1995 baharında kendisine birçok önde gelen matematik kurumundan pozisyon teklif edildi, ancak o doğduğu yer olan St. Petersburg'a dönmeyi seçti ve esasen gözden kayboldu. Uzun yıllar boyunca faaliyetinin tek göstergesi, eski meslektaşlarına yazdıkları makalelerde yapılan hataları belirten mektuplardı. Kendi eserlerinin durumuna ilişkin sorular yanıtsız kaldı. Ve 2002'nin sonunda, birkaç kişi Perelman'dan bir matematik sunucusuna gönderdiği bir makale hakkında bilgi veren bir e-posta aldı. Böylece Poincaré varsayımına saldırmaya başladı.

ÖZELLİKLERLE MÜCADELE

KULLANMAYA ÇALIŞIYORUZ Poincaré varsayımını ve 3-manifoldların geometrisini kanıtlamak için Ricci akış denklemini kullanan bilim insanları, Grigory Perelman'ın üstesinden gelmeyi başardığı zorluklarla karşılaştı. 3-manifoldun şeklini kademeli olarak değiştirmek için Ricci akışını kullanmak bazen tekilliklerle sonuçlanır. Örneğin, bir nesnenin bir kısmı dambıl şeklinde olduğunda (a), küreler arasındaki tüp, manifoldun (b) özelliklerini ihlal eden bir nokta bölümüne sıkışabilir. Ayrıca puro şekli denilen özelliğin ortaya çıkması da mümkün.

PERELMAN GÖSTERDİ, özellikler üzerinde “ameliyatlar” yapılabiliyor. Manifold sıkışmaya başladığında, daralma noktasının (c) her iki yanından küçük bölümler kesin, kesme noktalarını küçük kürelerle örtün ve ardından tekrar Ricci akışını kullanın (d). Sıkışma tekrar meydana gelirse prosedür tekrarlanmalıdır. Perelman ayrıca puro şeklindeki özelliğin hiçbir zaman ortaya çıkmadığını da kanıtladı.

Perelman, Ricci'nin akış denklemine yeni bir terim ekledi. Bu değişiklik tuhaflık sorununu ortadan kaldırmadı ancak çok daha derinlemesine analize olanak sağladı. Rus bilim adamı, dambıl şeklindeki bir manifold üzerinde "cerrahi" bir operasyonun yapılabileceğini gösterdi: ortaya çıkan daralmanın her iki yanından ince bir tüp kesin ve toplardan çıkıntı yapan açık tüpleri küresel kapaklarla kapatın. Daha sonra "çalıştırılan" manifoldu Ricci akış denklemine göre değiştirmeye devam etmeli ve ortaya çıkan tüm daralmalara yukarıdaki prosedürü uygulamanız gerekir. Perelman ayrıca puro şeklindeki özelliklerin ortaya çıkamayacağını da gösterdi. Böylece herhangi bir 3-manifold, homojen geometriye sahip bir parça kümesine indirgenebilir.

Ricci akışı ve "ameliyat" olası tüm 3-manifoldlara uygulandığında, bunlardan herhangi biri, eğer 3-küre kadar basitse (yani aynı homotopi ile karakterize edilirse), zorunlu olarak aşağıdaki gibi aynı homojen geometriye indirgenir. ve 3 küre. Bu, topolojik açıdan bakıldığında söz konusu manifoldun 3-küre olduğu anlamına gelir. Bu nedenle 3-küre benzersizdir.

Perelman'ın makalelerinin değeri yalnızca Poincaré varsayımının kanıtlanmasında değil, aynı zamanda yeni analiz yöntemlerinde de yatmaktadır. Dünyanın dört bir yanındaki bilim insanları, Rus matematikçinin elde ettiği sonuçları şimdiden çalışmalarında kullanıyor ve geliştirdiği yöntemleri başka alanlarda da uyguluyor. Ricci akışının, parçacık çarpışma enerjisine bağlı olarak etkileşimlerin gücünün nasıl değiştiğini belirleyen, renormalizasyon grubu adı verilen grupla ilişkili olduğu ortaya çıktı. Örneğin, düşük enerjilerde elektromanyetik etkileşimin gücü 0,0073 (yaklaşık 1/137) sayısıyla karakterize edilir. Ancak iki elektron neredeyse ışık hızında kafa kafaya çarpıştığında kuvvet 0,0078'e yaklaşır. Fiziksel kuvvetlerdeki değişimi açıklayan matematik, manifoldların geometrisini açıklayan matematiğe çok benzer.

Çarpışma enerjisini arttırmak, kuvveti daha küçük mesafelerde incelemeye eşdeğerdir. Bu nedenle, yeniden normalleştirme grubu, süreci farklı ayrıntı düzeylerinde incelemenize olanak tanıyan değişken büyütme faktörlü bir mikroskoba benzer. Benzer şekilde, Ricci akışı manifoldları görüntülemek için kullanılan bir mikroskoptur. Bir büyütmede görülebilen çıkıntılar ve çöküntüler diğerinde kaybolur. Planck uzunluk ölçeğinde (yaklaşık $10^(–35)$ m) içinde yaşadığımız alanın karmaşık bir topolojik yapıya sahip köpük gibi görünmesi muhtemeldir (bkz. “Uzay ve Zamanın Atomları”, “Dünyada Bilim”, Sayı 4, 2004). Ayrıca yerçekiminin özelliklerini ve Evrenin büyük ölçekli yapısını açıklayan genel görelilik denklemleri Ricci akış denklemiyle yakından ilişkilidir. Paradoksal olarak, Hamilton'un kullandığı ifadeye Perelman'ın eklediği terim, yerçekiminin kuantum teorisi olduğunu iddia eden sicim teorisinden kaynaklanmaktadır. Rus matematikçinin makalelerinde bilim adamlarının yalnızca soyut 3-manifoldlar hakkında değil, aynı zamanda içinde yaşadığımız uzay hakkında da çok daha yararlı bilgiler bulmaları mümkündür.

Graham P. Collins, Ph.D., Scientific American'da editördür. Poincaré teoremi hakkında daha fazla bilgiye www.sciam.com/ontheweb adresinden ulaşılabilir.

EK LİTERATÜR:

99 Yıl Sonra Poincare Varsayımı: Bir İlerleme Raporu. John W. Milnor. Şubat 2003. www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf adresinde mevcuttur.
Jules Henri Poincare' (biyografi). Ekim 2003. www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html adresinde mevcuttur.
Milenyum Sorunları. Clay Matematik Enstitüsü: www.claymath.org/millennium/
Perelman'ın Ricci akış kağıtları üzerine notlar ve yorumlar. Bruce Kleiner ve John Lott tarafından derlenmiştir. www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html adresinde mevcuttur.
Topoloji. Mathworld-A Wolfram Web Kaynağında Eric W. Weisstein. Mevcut

Poincare'nin hipotezi ve Rus zihniyetinin özellikleri.

Kısacası: Henüz 40 yaşında olan işsiz bir profesör, insanlığın en zor 7 probleminden birini çözmüş, annesiyle birlikte şehrin eteklerinde bir panel evde yaşıyor ve tüm matematikçilerin kazandığı ödülü almak yerine hayalindeki dünya ve üstelik bir milyon dolar, mantar toplamayı bıraktı ve ondan kendisini rahatsız etmemesini istedi.

Ve şimdi daha ayrıntılı olarak:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Guardian gazetesinin haberine göre, Poincaré varsayımını kanıtlayan Grigory Perelman, bu başarısından dolayı kendisine verilen çok sayıda ödülü ve nakit ödülü reddetti. Kanıtların neredeyse dört yıl süren kapsamlı testlerinden sonra bilim camiası Perelman'ın çözümünün doğru olduğu sonucuna vardı.

Poincaré varsayımı, her birinin çözümü için Clay Matematik Enstitüsü'nün bir milyon dolarlık ödül verdiği "milenyumun" yedi en önemli matematik probleminden biridir. Basınla birlikte ancak gazetede Perelman'ın bu parayı almak istemediği öğrenildi. Matematikçiye göre, ödülü veren komite onun çalışmalarını değerlendirecek yeterlilikte değil.

Profesyonel topluluk, Perelman'ın alışılmadık davranışının başka bir nedenini şaka yollu bir şekilde "St. Petersburg'da bir milyon dolara sahip olmak güvenli değil" diye öne sürüyor. Oxford Üniversitesi matematik profesörü Nigel Hitchin gazeteye bunu anlattı.

Gelecek hafta, söylentilere göre Perelman'ın, değerli bir madalya ve para ödülünden oluşan, bu alanda en prestijli uluslararası Fields Madalyası'na layık görüldüğü açıklanacak. Fields Madalyası Nobel Ödülü'nün matematiksel eşdeğeri olarak kabul edilir. Her dört yılda bir Uluslararası Matematik Kongresi'nde verilmektedir ve ödülü kazananların 40 yaşından büyük olmaması gerekmektedir. 2006 yılında kırk yaşına girecek ve bu ödülü alma şansını kaybedecek olan Perelman, bu ödülü de kabul etmek istemiyor.

Perelman'ın resmi etkinliklerden kaçındığı ve beğenilmekten hoşlanmadığı uzun zamandır biliniyor. Ancak mevcut durumda bilim insanının davranışı koltukta oturan bir teorisyenin tuhaflığının ötesine geçiyor. Perelman akademik çalışmalarını çoktan bıraktı ve profesörlük görevlerini yerine getirmeyi reddediyor. Artık tüm hayatının işi olan matematiğe yaptığı hizmetlerin tanınmasından saklanmak istiyor.

Grigory Perelman sekiz yıl boyunca Poincaré teoreminin ispatı üzerinde çalıştı. 2002 yılında Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı ön baskı web sitesinde soruna bir çözüm yayınladı. Şimdiye kadar çalışmalarını hakemli bir dergide hiç yayınlamamıştı ki bu, çoğu ödülün ön koşuludur.

Perelman, Sovyet eğitiminin ürünlerinin standart bir örneği olarak düşünülebilir. 1966 yılında Leningrad'da doğdu. Halen bu şehirde yaşıyor. Perelman, 239 numaralı özel okulda derinlemesine matematik çalışmasıyla okudu. Sayısız olimpiyat kazandı. Leningrad Devlet Üniversitesi'nde matematik ve mekanik derslerine sınavsız kaydoldum. Lenin bursu aldı. Üniversiteden sonra V.A. Steklov Matematik Enstitüsü'nün Leningrad şubesinde yüksek lisans okuluna girdi ve burada çalışmaya devam etti. Seksenlerin sonunda Perelman ABD'ye taşındı, çeşitli üniversitelerde ders verdi ve ardından eski yerine döndü.

Matematik Enstitüsü'nün bulunduğu Fontanka'daki Kont Muravyov'un St. Petersburg konağının durumu, Perelman'ın gümüş eksikliğini özellikle yetersiz kılıyor. İzvestia gazetesinin haberine göre bina her an çökebilir ve nehre düşebilir. Bilgisayar ekipmanlarının (matematikçilerin ihtiyaç duyduğu tek ekipman) satın alınması hâlâ çeşitli hibelerle finanse edilebiliyor ancak hayır kurumları buna hazır değil. tarihi binanın restorasyonu için ödeme yapmak.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

En zor bilimsel hipotezlerden biri olan Poincaré teoremini kanıtlayan keşiş bir matematikçi, problemin kendisinden daha az gizemli değildir.

Onun hakkında çok az şey biliniyor. Enstitüye okul olimpiyatlarının sonuçlarına göre girdim ve Lenin bursu aldım. Petersburg'daki 239 numaralı özel okulda, ünlü “Eğlenceli Fizik” ders kitabının yazarı Yakov Perelman'ın oğlu olarak anılıyor. Grisha Perelman'ın fotoğrafı - Lobaçevski ve Leibniz ile birlikte büyüklerin yönetim kurulunda.

Fizik ve Matematik Lisesi 239'un müdürü öğretmeni Tamara Efimova, Kanal One ile yaptığı röportajda "Sadece beden eğitiminde çok mükemmel bir öğrenciydi... Aksi takdirde madalya olurdu" diye hatırlıyor.

O her zaman saf bilimden yanaydı, formalitelere karşıydı; bunlar, Perelman'ın sekiz yıllık araştırması boyunca iletişim halinde kaldığı az sayıdaki öğretmenden biri olan eski okul öğretmeninin sözleriydi. Kendisinin de söylediği gibi, matematikçi makaleler ve raporlar yazmak zorunda kaldığı için işinden ayrılmak zorunda kaldı ve Poincare tüm zamanını harcadı. Matematik her şeyden önce gelir.

Perelman hayatının sekiz yılını çözülemeyen yedi matematik probleminden birini çözerek geçirdi. Tavan arasında bir yerde gizlice tek başına çalışıyordu. Evde geçimini sağlamak için Amerika'da ders verdi. Kendisini asıl amaçtan uzaklaştıran, çağrılara cevap vermeyen ve basınla iletişim kuramayan bir işten ayrıldı.

Çözülemeyen yedi matematik probleminden birini çözenlere bir milyon dolar veriliyor; bu, matematikçilere verilen Nobel ödülü olan Fields Madalyası. Grigory Perelman, onu almanın ana adayı oldu.

Bilim adamı bunu biliyor, ancak görünüşe göre parasal tanınmayla açıkça ilgilenmiyor. Meslektaşlarına göre ödül için belge bile sunmamıştı.

Rusya Bilimler Akademisi akademisyeni Ildar Ibragimov, "Anladığım kadarıyla Grigory Yakovlevich'in kendisi bir milyonu hiç umursamıyor" diyor ve şöyle devam ediyor: "Aslında bu sorunları çözebilen insanlar çoğunlukla çalışmayan insanlardır. Bu para yüzünden tamamen farklı bir şey için endişeleneceğim."

Perelman, Poincaré varsayımı üzerine çalışmasını ilk kez üç yıl önce internette yayınladı. Büyük olasılıkla bir çalışma bile değil, 39 sayfalık bir taslak. Ayrıntılı kanıtlarla daha ayrıntılı bir rapor yazmayı kabul etmiyor. Perelman'ı bulmak için özel olarak St. Petersburg'a gelen Dünya Matematik Derneği'nin başkan yardımcısı bile bunu başaramadı.

Geçtiğimiz üç yıl boyunca Fields Ödülü düzenlemelerinin gerektirdiği şekilde Perelman'ın hesaplamalarında hiç kimse bir hata bulamadı. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Poincaré varsayımını kanıtlama süreci görünüşe göre artık son aşamasına giriyor. Üç grup matematikçi nihayet Grigory Perelman'ın fikirlerini çözdüler ve geçtiğimiz birkaç ay içinde bu hipotezin tam kanıtını sunan versiyonlarını sundular.

Poincaré tarafından 1904'te formüle edilen bir varsayım, dört boyutlu uzayda homotopik olarak bir küreye eşdeğer olan tüm üç boyutlu yüzeylerin ona homeomorfik olduğunu belirtir. Basit bir ifadeyle, eğer üç boyutlu bir yüzey bir şekilde küreye benziyorsa, o zaman yayılırsa yalnızca küre haline gelebilir, başka bir şey olamaz. Bu varsayım ve kanıtlarının tarihçesi hakkında ayrıntılar için Computerra dergisindeki 2000 yılının Sorunları: Poincaré'nin varsayımı adlı popüler makaleyi okuyun.

Poincaré varsayımının kanıtı için Matematik Enstitüsü. Clay'e bir milyon dolarlık bir ödül verildi, bu şaşırtıcı görünebilir: Sonuçta çok özel, ilginç olmayan bir gerçekten bahsediyoruz. Aslında matematikçiler için önemli olan üç boyutlu yüzeyin özellikleri değil, ispatın zor olmasıdır. Bu problem, önceden var olan geometri ve topoloji fikirleri ve yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayan şeyleri konsantre bir biçimde formüle eder. Yalnızca "yeni neslin" fikirlerinin yardımıyla çözülebilecek sorunlar katmanına daha derin bir düzeyde bakmamızı sağlar.

Fermat teoreminde olduğu gibi, Poincaré varsayımının keyfi üç boyutlu yüzeylerin geometrik özelliklerine ilişkin çok daha genel bir ifadenin özel bir durumu olduğu ortaya çıktı - Thurston'un Geometrileştirme Varsayımı Bu nedenle, matematikçilerin çabaları amaçlanmamıştı. Bu özel durumu çözmek değil, bu tür problemlerle baş edebilecek yeni bir matematiksel yaklaşım oluşturmaktır.

Bu buluş 2002-2003'te Rus matematikçi Grigory Perelman tarafından gerçekleştirildi. Math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245 adlı üç makalesinde bir takım yeni fikirler öne sürerek 1980'lerde Richard Hamilton tarafından önerilen yöntemi geliştirdi ve tamamladı. Perelman, eserlerinde kurduğu teorinin sadece Poincaré varsayımını değil aynı zamanda geometrileşme hipotezini de kanıtlamayı mümkün kıldığını iddia ediyor.

Yöntemin özü, geometrik nesneler için, teorik fizikteki renormalizasyon grubu denklemine benzer şekilde, bazı "düzgün evrim" denklemlerini tanımlamanın mümkün olmasıdır. Başlangıçtaki yüzey bu evrim sırasında deforme olacak ve Perelman'ın gösterdiği gibi sonunda düzgün bir şekilde küreye dönüşecek. Bu yaklaşımın gücü, tüm ara anları atlayarak, evrimin en sonundaki "sonsuzluğa" hemen bakabilmeniz ve orada bir küre keşfedebilmenizdir.

Perelman'ın çalışmaları entrikanın başlangıcı oldu. Makalelerinde genel bir teori geliştirdi ve yalnızca Poincaré varsayımının değil aynı zamanda geometrileşme hipotezinin de ispatının kilit noktalarını özetledi. Perelman her iki hipotezi de kanıtladığını iddia etse de tüm ayrıntılarıyla tam bir kanıt sunmadı. Yine 2003 yılında Perelman bir dizi konferansla Amerika Birleşik Devletleri'ni gezdi ve bu sırada dinleyicilerden gelen teknik soruları açık ve ayrıntılı bir şekilde yanıtladı.

Perelman'ın ön baskılarının yayınlanmasının hemen ardından uzmanlar teorisinin kilit noktalarını kontrol etmeye başladı ve henüz tek bir hata bulunamadı. Dahası, geçtiğimiz yıllarda birkaç matematikçi ekibi Perelman'ın önerdiği fikirleri o kadar özümsedi ki, ispatın tamamını "tam olarak" yazmaya başladılar.

Mayıs 2006'da, B. Kleiner, J. Lott'un, math.DG/0605667 adlı bir makalesi yayınlandı; burada Perelman'ın kanıtında ihmal edilen noktaların ayrıntılı bir şekilde çıkarımı yapıldı. (Bu arada, bu yazarların Perelman'ın makalelerine ve ilgili çalışmalarına ayrılmış bir web sayfası vardır.)

Daha sonra Haziran 2006'da Asya Matematik Dergisi, Çinli matematikçiler Huai-Dong Cao ve Xi-Ping Zhu tarafından yazılan "Poincaré ve geometrizasyon varsayımlarının tam bir kanıtı - Ricci'nin Hamilton-Perelman teorisinin bir uygulaması" başlıklı 327 sayfalık bir makale yayınladı. akıyor." Yazarların kendileri tamamen yeni bir kanıta sahip olduklarını iddia etmiyorlar, yalnızca Perelman'ın yaklaşımının gerçekten işe yaradığını iddia ediyorlar.

Son olarak, geçen gün J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607 tarafından 473 sayfalık bir makale (veya zaten bir kitap mı?) çıktı; burada yazarlar Perelman'ın izinden giderek kanıtlarını sundular. Poincaré varsayımı (ve daha genel geometrileşme hipotezi değil). John Morgan bu sorunun ana uzmanlarından biri olarak kabul ediliyor ve çalışmasının yayınlanmasından sonra Poincaré varsayımının nihayet kanıtlandığı düşünülebilir.

Bu arada ilginçtir ki, Çinli matematikçiler tarafından yazılan makale ilk başta sadece kağıt versiyonu olarak 69 $ fiyatla dağıtıldı, bu yüzden herkesin ona bakma fırsatı olmadı. Ancak Morgan-Tian'ın makalesinin ön baskı arşivinde görünmesinin hemen ertesi günü, makalenin elektronik versiyonu Asian Journal of Mathematics web sitesinde yayınlandı.

Perelman'ın kanıtlarını kimin daha iyi hale getirdiğini zaman gösterecek. Gelecek yıllarda Fermat teoreminde olduğu gibi daha da basitleşmesi mümkün. Şimdiye kadar yalnızca yayın hacminde bir artış görebiliyoruz: Perelman'ın 30 sayfalık makalelerinden Morgan ve Tian'ın kalın kitabına kadar, ancak bu kanıtın karmaşıklığından değil, daha ayrıntılı bir türetmeden kaynaklanmaktadır. tüm ara adımların

Bu arada, varsayımın nihai kanıtının ve belki de Clay Enstitüsü Ödülü'nün kime verileceğinin bu Ağustos ayında Madrid'de yapılacak Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde "resmi olarak" açıklanması bekleniyor. Ayrıca Grigory Perelman'ın genç matematikçiler için en yüksek rütbe olan dört Fields Madalyasından biri olacağına dair söylentiler var.

« Milenyum Mücadelesi"Bir Rus matematik dehasının çözdüğü soru, Evrenin kökeniyle ilgilidir. Bilmecenin özünü her matematikçi anlayamaz...

AKIL OYUNU

2000 yılında durum değişti. Özel matematik Clay Matematik Enstitüsü en zor problemlerden yedisini seçti ve her birinin çözümü için bir milyon dolar ödeme sözü verdi.

Matematikçilere saygıyla baktılar. 2001 yılında ana karakteri bir matematikçi olan “Güzel Bir Zihin” filmi bile yayınlandı.

Artık yalnızca medeniyetten uzak insanlar bunun farkında değil: vaat edilen milyonlardan biri - ilki - çoktan ödüllendirildi. Ödül, St. Petersburg'da ikamet eden bir Rus vatandaşına verildi. Grigori Perelman. 100 yıldan fazla süredir kimsenin çözemediği ve onun çabalarıyla bir teorem haline gelen bir bilmece olan Poincaré varsayımını kanıtladı.

44 yaşındaki sevimli sakallı adamımız tüm dünyanın gözü önünde burnunu ovuşturdu. Ve şimdi de onu -dünyayı- belirsizlik içinde tutmaya devam ediyor. Çünkü matematikçinin dürüstçe hak ettiği milyon doları alıp almayacağı veya reddedip reddedmeyeceği bilinmiyor. Pek çok ülkedeki ilerici kamuoyu doğal olarak endişeli. En azından tüm kıtalardaki gazeteler finansal ve matematiksel entrikayı anlatıyor.

Grisha gençliğinde - o zaman bile bir dahiydi.

POINCARE HİPOTEZİ - NEDİR?

Topoloji matematiksel fizik açısından önemlidir çünkü uzayın özelliklerini anlamamızı sağlar. Veya bu mekanın şekline dışarıdan bakmadan değerlendirin. Örneğin, Evrenimize.

Yani Poincaré hipotezine göre, yüzeyi varsayımsal bir "hiperkord" tarafından bir noktaya çekilebilen tek üç boyutlu şey üç boyutlu bir küredir.

Grigory Perelman: - Bir düşünün, Newton'un iki terimlisi...

Jules Henri Poincaré bunu 1904'te önerdi. Artık Perelman, Fransız topologun haklı olduğunu anlayan herkesi ikna etti. Ve hipotezini teoreme dönüştürdü.

Kanıt, Evrenimizin nasıl bir şekle sahip olduğunu anlamaya yardımcı oluyor. Ve bunun aynı üç boyutlu küre olduğunu çok makul bir şekilde varsaymamıza izin veriyor.

Ancak eğer Evren bir noktaya kadar daraltılabilen tek “figür” ise, o zaman muhtemelen bir noktadan itibaren uzatılabilir. Bu, Evrenin bir noktadan kaynaklandığını öne süren Büyük Patlama teorisinin dolaylı bir doğrulamasıdır.

Poincaré varsayımını kanıtlamakla dünya çapında üne kavuşan St. Petersburglu parlak matematikçi Grigory Perelman, nihayet bunun için verilen milyon dolarlık ödülü reddettiğini açıkladı. Komsomolskaya Pravda'ya göre, münzevi bilim adamı, Perelman'ın izniyle kendisi hakkında "Evrenin Formülü" adlı uzun metrajlı filmi çekecek olan President-Film film şirketinin bir gazetecisi ve yapımcısıyla yaptığı konuşmada kendisini ortaya çıkardı.

Alexander Zabrovsky, büyük matematikçiyle iletişim kuracak kadar şanslıydı - birkaç yıl önce Moskova'dan İsrail'e gitmek üzere ayrıldı ve ilk olarak Grigory Yakovlevich'in annesiyle St. Petersburg'daki Yahudi cemaati aracılığıyla iletişime geçerek ona yardım edeceğini tahmin etti. Oğluyla konuştu ve onun iyi tanımlamasının ardından oğlu bir toplantı yapmayı kabul etti. Bu gerçekten bir başarı olarak adlandırılabilir - gazeteciler günlerce girişinde oturmalarına rağmen bilim adamını "yakalayamadılar".

Zabrovsky'nin gazeteye söylediği gibi Perelman "kesinlikle aklı başında, sağlıklı, yeterli ve normal bir insan" izlenimi veriyordu: "Gerçekçi, pragmatik ve duyarlı, ancak duygusallık ve tutkudan da yoksun değil... Basında kendisine atfedilen her şey, sanki "aklını kaçırmış" gibi - tam bir saçmalık! Ne istediğini tam olarak biliyor ve amacına nasıl ulaşacağını biliyor."

Matematikçinin bağlantı kurduğu ve yardım etmeyi kabul ettiği film, kendisi hakkında değil, dünyanın üç ana matematik okulunun işbirliği ve yüzleşmesini konu alacak: çalışma yolunda en gelişmiş olan Rus, Çin ve Amerikan. ve Evreni yönetmek.

Perelman'ın neden bir milyonu reddettiği sorulduğunda şu cevabı verdi:

"Evreni nasıl kontrol edeceğimi biliyorum ve söyle bana, neden bir milyona koşayım?"

Bilim adamı, Rus basınında kendisine verilen isimden rahatsız oldu

Perelman, gazetecilerle iletişim kurmadığını çünkü onların bilimle ilgilenmediğini, ancak kişisel ve günlük konularla - bir milyonu reddetme nedenlerinden saç ve tırnak kesme sorununa kadar - iletişim kurmadığını açıkladı.

Kendisine yönelik saygısız tutum nedeniyle özellikle Rus medyasıyla iletişime geçmek istemiyor. Örneğin basında ona Grisha diyorlar ve bu aşinalık onu rahatsız ediyor.

Grigory Perelman, okul yıllarından beri "beyni eğitmek" denilen şeye alıştığını söyledi. SSCB'den bir “delege” olarak Budapeşte'deki Matematik Olimpiyatları'nda nasıl altın madalya aldığını hatırlatarak, şöyle konuştu: “Soyut düşünme yeteneğinin vazgeçilmez bir koşul olduğu problemleri çözmeye çalıştık.

Matematiksel mantıktan uzaklaşma, günlük eğitimin ana noktasıydı. Doğru çözümü bulmak için "dünyanın bir parçasını" hayal etmek gerekiyordu.

Böylesine "çözülmesi zor" bir soruna örnek olarak şunları verdi: "İsa Mesih'in karada olduğu kadar suda da yürüdüğüne dair İncil efsanesini hatırlayın. Bu yüzden, onun karada ne kadar hızlı hareket etmesi gerektiğini hesaplamam gerekiyordu. düşmemek için sular.

O zamandan beri Perelman, tüm faaliyetlerini Evrenin üç boyutlu uzayının özelliklerini inceleme problemine adadı: “Bu çok ilginç. Ben enginliği kucaklamaya çalışıyorum. " o tartışır.

Bilim adamı tezini Akademisyen Alexandrov'un rehberliğinde yazdı. Matematikçi, "Konu zor değildi: "Öklid geometrisinde eyer şeklindeki yüzeyler." Eşit büyüklükte ve birbirinden eşit olmayan şekilde aralıklı yüzeyler hayal edebiliyor musunuz? Aralarındaki "çöküntüleri" ölçmemiz gerekiyor, diye açıkladı matematikçi.

Dünya istihbarat servislerini korkutan Perelman'ın keşfi ne anlama geliyor?

Poincaré'nin açıklaması, evren teorisindeki karmaşık fiziksel süreçlerin incelenmesindeki önemi nedeniyle ve Evrenin şekli hakkındaki soruyu yanıtladığından dolayı “Evrenin formülü” olarak adlandırılmaktadır. Bu kanıt nanoteknolojinin gelişmesinde büyük rol oynayacaktır."

“Boşlukları hesaplamayı öğrendim, meslektaşlarımla birlikte sosyal ve ekonomik “boşlukları doldurmanın mekanizmalarını öğreniyoruz” dedi. “Boşluklar her yerde hesaplanabilir ve bu büyük fırsatlar sağlar...

Yayının yazdığına göre, Grigory Yakovlevich'in keşfettiği şeyin boyutu, aslında günümüz dünya biliminin çok ötesine geçerek, onu sadece Rus değil, aynı zamanda yabancı istihbarat servislerinin de sürekli ilgi odağı haline getirdi.

Evreni anlamasına yardımcı olacak bazı süper bilgiler edindi. Ve burada şu tür sorular ortaya çıkıyor: "Bilgisi pratik uygulamaya ulaşırsa ne olacak?"

Temel olarak istihbarat servislerinin Perelman'ın, daha doğrusu onun bilgisinin insanlık için bir tehdit oluşturup oluşturmadığını bilmesi mi gerekiyor? Sonuçta, eğer onun bilgisinin yardımıyla Evreni bir noktaya daraltıp sonra genişletmek mümkünse, o zaman ölebilir miyiz veya farklı bir kapasitede yeniden doğabilir miyiz? Peki o zaman biz mi olacağız? Peki Evreni kontrol etmemize gerek var mı?

VE BU ZAMANDA

Bir dahinin annesi: “Bize parayla ilgili sorular sormayın!”

Matematikçinin Milenyum Ödülü'ne layık görüldüğü öğrenildiğinde, kapısının önünde bir gazeteci kalabalığı toplandı. Herkes Perelman'ı bizzat tebrik etmek ve hakkı olan milyonu alıp almayacağını öğrenmek istiyordu.

Çürük kapıyı uzun süre çaldık (keşke onu bonus parayla değiştirebilseydik), ama matematikçi kapıyı açmadı. Ama annesi koridorun sağındaki i harfini oldukça açık bir şekilde işaret ediyordu.

Lyubov Leibovna, "Kimseyle konuşmak istemiyoruz ve röportaj vermeyeceğiz" diye bağırdı. - Ve bize bu ikramiye ve parayla ilgili soru sormayın.

Aynı girişte yaşayanlar Perelman'a olan ani ilgiyi görünce oldukça şaşırdılar.

Grisha'mız gerçekten evlendi mi? - komşulardan biri sırıttı. - Bir ödül aldım. Tekrar. Hayır, kabul etmeyecek. Hiçbir şeye ihtiyacı yok, parayla yaşıyor ama kendi tarzında mutlu.

Matematikçinin bir gün önce mağazadan aldığı alışveriş torbalarıyla dolu olarak görüldüğünü söylüyorlar. Annemle birlikte “kuşatmayı kaldırmaya” hazırlanıyordum. Basında ödülle ilgili en son haber çıktığında Perelman üç hafta boyunca evinden çıkmamıştı.

BU ARADA

Yoksa neden bir milyon dolar versinler ki...

1998 yılında, milyarder Landon T. Clay'in fonlarıyla, matematiği popülerleştirmek amacıyla Cambridge'de (ABD) Clay Matematik Enstitüsü kuruldu. 24 Mayıs 2000'de enstitünün uzmanları, kendilerine göre en kafa karıştırıcı yedi sorunu seçti. Ve her birine birer milyon dolar tahsis ettiler.

Listeye isim verildi .

1. Cook'un sorunu

2. Riemann hipotezi

3. Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Problem, üç bilinmeyenin üstleri olan denklemlerin çözülmesini içerir. Karmaşıklığa bakılmaksızın bunları nasıl çözeceğinizi bulmanız gerekir.

4. Hodge varsayımı

5. Navier - Stokes denklemleri

6. Yang - Mills denklemleri

Fizik dünyasında bir hipotez vardır: Eğer bir temel parçacığın kütlesi varsa, o zaman onun bir alt sınırı vardır. Ama hangisi belli değil. Ona ulaşmamız lazım. Bu belki de en zor görevdir. Bunu çözmek için, doğadaki tüm kuvvetleri ve etkileşimleri birleştiren bir "her şeyin teorisi" - denklemler oluşturmak gerekir. Bunu yapabilen herkes muhtemelen Nobel Ödülü alacaktır.