Bir sıvının yüzey gerilim katsayısının, sıvının kılcal damarlarda yükseltilmesi yöntemiyle moleküler fizikte belirlenmesi. Bu kuvvet, S=πR2 yüzeyi boyunca her iki yarıküreyi birbirine doğru bastırır ve dolayısıyla ek basınca neden olur.

Başka bir ortamla temas halinde, sıvı kütlenin geri kalanına göre özel koşullar altındadır. Buharı çevreleyen sıvının yüzey katmanının her molekülüne etki eden kuvvetler, sıvının hacmine, yani sıvının içine doğru yönlendirilir. Sonuç olarak, bir molekülü sıvının derinliğinden yüzeye taşımak için iş yapılması gerekir. Sabit bir sıcaklıkta yüzey alanı sonsuz miktarda dS artarsa, bunun için gereken iş eşit olacaktır. Yüzey alanını artırma çalışması, yüzeyi azaltma eğiliminde olan yüzey gerilimi kuvvetlerine karşı yapılır. Bu nedenle, sıvının yüzey alanını arttırmaya yönelik yüzey gerilimi kuvvetlerinin işi şuna eşit olacaktır:

Burada orantılılık katsayısı σ denir yüzey gerilimi katsayısı ve birim başına yüzey alanındaki değişime bağlı olarak yüzey gerilim kuvvetlerinin yaptığı iş miktarı ile belirlenir. SI'da yüzey gerilim katsayısı J/m2 cinsinden ölçülür.

Bir sıvının yüzey katmanındaki moleküller, sıvının yüzey alanıyla doğru orantılı olan derin moleküllere kıyasla aşırı potansiyel enerjiye sahiptir:

Yüzey katmanının potansiyel enerjisindeki artış yalnızca yüzey alanındaki artışla ilişkilidir: . Yüzey gerilim kuvvetleri korunumlu kuvvetlerdir, bu nedenle eşitlik geçerlidir: . Yüzey gerilim kuvvetleri sıvı yüzeyinin potansiyel enerjisini azaltma eğilimindedir. Tipik olarak işe dönüştürülebilen enerjiye serbest enerji denir. Bu nedenle yazabiliriz. Serbest enerji kavramını kullanarak formül (6.36)'yı şu şekilde yazabiliriz: . Belirleyebileceğimiz son eşitliği kullanarak yüzey gerilimi katsayısı bir sıvının birim yüzey alanının serbest enerjisine sayısal olarak eşit fiziksel bir miktar olarak.

Yüzey gerilim kuvvetlerinin etkisi, bir tarafı karıştırılabilen dikdörtgen bir tel çerçeveyi saran ince bir sıvı filmi (örneğin sabun çözeltisi) üzerinde basit bir deney kullanılarak gözlemlenebilir (Şekil 6.11). Uzunluğu l olan hareketli tarafa, FB dış kuvvetinin etki ettiğini ve çerçevenin hareketli tarafını çok küçük bir dh mesafesi boyunca düzgün bir şekilde hareket ettirdiğini varsayalım. Kuvvet ve yer değiştirme eş yönlü olduğundan bu kuvvetin temel işi eşit olacaktır. Filmin iki yüzeyi olduğundan ve yüzey gerilim kuvvetleri F bunların her biri boyunca yönlendirildiğinden, bunların vektör toplamı dış kuvvete eşittir. Dış kuvvetin modülü, yüzey gerilim kuvvetlerinden birinin modülünün iki katına eşittir: . Bir dış kuvvetin yaptığı minimum iş, büyüklük olarak yüzey gerilim kuvvetlerinin yaptığı işin toplamına eşittir: . Yüzey gerilim kuvvetinin yaptığı iş miktarı şu şekilde belirlenecektir:

, Nerede . Buradan. yani yüzey gerilimi katsayısı bölme çizgisinin birim uzunluğu başına sıvının yüzeyine teğet olarak etki eden yüzey gerilimi kuvvetine eşit bir değer olarak tanımlanabilir. Yüzey gerilimi kuvvetleri bir sıvının yüzey alanını azaltma eğilimindedir. Bu, damlacık topları şeklini aldığında küçük hacimli sıvılar için fark edilir. Bilindiği gibi belirli bir hacim için minimum alana sahip olan küresel yüzeydir. Yer çekiminin etkisi altında büyük miktarlarda alınan sıvı, bulunduğu yüzeye yayılır. Bilindiği gibi yer çekimi kuvveti cismin kütlesine bağlıdır, dolayısıyla kütle azaldıkça değeri de azalır ve belli bir kütlede yüzey gerilim kuvvetiyle karşılaştırılabilir, hatta ondan çok daha az hale gelir. Bu durumda yer çekimi kuvveti ihmal edilebilir. Bir sıvı ağırlıksız durumdaysa, büyük hacimli olsa bile yüzeyi küresel olma eğilimindedir. Bu ünlü Plateau deneyimiyle de doğrulanmaktadır. Aynı yoğunluğa sahip iki sıvı seçerseniz, bunlardan biri üzerindeki yerçekimi etkisi (daha küçük miktarda alındığında) Arşimet kuvveti tarafından telafi edilecek ve bir top şeklini alacaktır. Bu durumda başka bir sıvının içinde yüzecektir.

Bir tarafı buhar 3, diğer tarafı sıvı 2 ile sınırlanan bir damla sıvı 1'e ne olacağını düşünelim (Şekil 6.12). Her üç madde arasındaki ara yüzeyin çok küçük bir elemanını seçelim dl. Daha sonra ortamlar arasındaki arayüzlerdeki yüzey gerilimi kuvvetleri, arayüzlerin dış hatlarına teğetsel olarak yönlendirilecek ve şuna eşit olacaktır:

Yer çekiminin etkisini ihmal ediyoruz. Aşağıdaki koşullar karşılanırsa sıvı damlası 1 dengededir:

(6.38)

(6.37)'yi (6.38)'e değiştirerek, eşitliğin her iki tarafını (6.38) dl ile azaltarak, eşitliğin her iki tarafının (6.38) karesini alıp bunları toplayarak şunu elde ederiz:

medyayı bölen çizgilere teğetler arasındaki açıya ne denir kenar açısı.

Denklemin (6.39) analizi şunu elde ettiğimizde gösterir: ve sıvı 1, sıvı 2'nin yüzeyini tamamen ıslatır ve üzerine ince bir tabaka halinde yayılır ( tam ıslanma fenomeni ).

Benzer bir olay, katı bir gövdenin (2) yüzeyine ince bir sıvı (1) tabakası yayıldığında da gözlemlenebilir. Bazen bunun tersine, sıvı, katı bir gövdenin yüzeyine yayılmaz. Eğer , O ve sıvı 1 katı gövdeyi 2 tamamen ıslatmaz ( tamamen ıslanmama olgusu ). Bu durumda sıvı 1 ile katı 2 arasında yalnızca tek bir temas noktası vardır. Tamamen ıslanma veya ıslanmama sınırlayıcı durumlardır. gerçekten izleyebilirsin kısmi ıslatma , temas açısı dar olduğunda () ve kısmi ıslanmayan , temas açısı geniş olduğunda ( ).

Şekil 6.13'te A kısmi ıslanma durumları gösterilmiştir ve Şekil 6.13'te B kısmi ıslanmama örnekleri verilmiştir. Ele alınan durumlar, katı bir cismin yüzeyinde bitişik sıvıların veya sıvıların yüzey gerilim kuvvetlerinin varlığının, sıvıların yüzeylerinin eğrilmesine yol açtığını göstermektedir.

Eğri bir yüzeye etki eden kuvvetleri düşünelim. Bir sıvı yüzeyinin eğriliği, o yüzeyin altındaki sıvıya etki eden kuvvetlerin oluşmasına neden olur. Yüzey küresel ise, çevrenin herhangi bir elemanına yüzey gerilim kuvvetleri uygulanır (bkz. Şekil 6.14), yüzeye teğet olarak yönlendirilir ve onu kısaltma eğilimindedir. Bu kuvvetlerin bileşkesi kürenin merkezine doğru yönlendirilir.

Birim yüzey alanı başına, bu bileşke kuvvet, kavisli yüzeyin altındaki sıvının maruz kaldığı ilave basıncı uygular. Bu ek basınca denir Laplace basıncı . Her zaman yüzeyin eğrilik merkezine doğru yönlendirilir. Şekil 6.15'te içbükey ve dışbükey küresel yüzeylerin örnekleri verilmektedir ve sırasıyla Laplace basınçları gösterilmektedir.

Küresel, silindirik ve herhangi bir yüzey için Laplace basıncının değerini belirleyelim.

Küresel yüzey. Sıvı damlası. Kürenin yarıçapı azaldıkça (Şekil 6.16), yüzey enerjisi azalır ve iş damlaya etki eden kuvvetler tarafından yapılır. Sonuç olarak, küresel bir yüzeyin altındaki sıvının hacmi her zaman bir miktar sıkıştırılır, yani eğriliğin merkezine radyal olarak yönlendirilen Laplace basıncına maruz kalır. Bu basıncın etkisi altında top hacmini azaltırsa dV, daha sonra sıkıştırma işi miktarı aşağıdaki formülle belirlenecektir:

Yüzey enerjisindeki azalma aşağıdaki formülle belirlenen miktarda meydana geldi: (6.41)

Sıkıştırma işi nedeniyle yüzey enerjisindeki azalma meydana geldi, bu nedenle, dA=dU S. Eşitliklerin (6.40) ve (6.41) sağ taraflarını eşitleyerek ve bunu da dikkate alarak Laplace basıncını elde ederiz: (6.42)

Silindirik bir yüzeyin altındaki ve küresel bir yüzeyin altındaki sıvının hacmi her zaman bir miktar sıkıştırılır, yani eğriliğin merkezine radyal olarak yönlendirilen Laplace basıncına maruz kalır. Bu basıncın etkisi altında silindir hacmini azaltırsa dV o zaman sıkıştırma işinin büyüklüğü formül (6.40) ile belirlenecek, yalnızca Laplace basıncının büyüklüğü ve hacimdeki artış farklı olacaktır. Yüzey enerjisindeki azalma formül (6.41) ile belirlenen miktarda meydana geldi. Sıkıştırma işi nedeniyle yüzey enerjisindeki azalma meydana geldi, bu nedenle, dA=dU S. Eşitliklerin (6.40) ve (6.41) sağ taraflarını eşitleyerek ve ayrıca silindirik bir yüzey ve için bunu hesaba katarak Laplace basıncını elde ederiz:

(6.45) formülünü kullanarak (6.42) ve (6.44) formüllerine gidebiliriz. Dolayısıyla küresel bir yüzey için formül (6.45), formül (6.42)'ye basitleştirilecektir; silindirik yüzey için r1 = r, a ise formül (6.45), formül (6.44)'e basitleştirilecektir. Dışbükey bir yüzeyi içbükey olandan ayırmak için, Laplace basıncının dışbükey bir yüzey için pozitif olduğunu ve buna göre dışbükey yüzeyin eğrilik yarıçapının da pozitif olacağını varsaymak gelenekseldir. İçbükey bir yüzey için eğrilik yarıçapı ve Laplace basıncı negatif kabul edilir.

Aşağıdaki problemi (Banach problemi) çözelim. Bir kişi cebinde iki kutu kibrit (her biri 60 kibrit) taşıyor ve ne zaman kibrite ihtiyaç duyulsa kutuyu rastgele alıp bir kibrit çıkarıyor. İlk kutu boşaldığında ikinci kutuda 20 kibrit kalma olasılığı nedir? Kutu seçimi, ilk kutunun olasılık dahilinde seçildiği bağımsız bir deneme olarak düşünülebilir. Gerçekleştirilen toplam denemeler N= 60+40=100 ve bu yüz deneyde ilk kutunun 60 kez seçilmesi gerekiyor. Bunun olasılığı:

.

Kayıtlardan açıkça görülüyor ki, büyük N Hantal hesaplamalar nedeniyle Bernoulli formülünü kullanmak zordur. Olasılıkları bulmanızı sağlayan özel yaklaşık formüller vardır
, Eğer N Harika. Bu tür formüllerden biri aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem 2.1. ( Laplace yerel ). Bernoulli şemasında ise
, o zaman olayın gerçekleşme olasılığı A tam olarak gelecek k kez, büyükleri karşılar N oran

Nerede
.

Kolaylık sağlamak için işlevi tanıtıyoruz
Laplace teoreminin yardımıyla aşağıdaki gibi yazılabilen yerel Laplace fonksiyonudur:

Özel fonksiyon tabloları var
, buna göre herhangi bir değer için:
karşılık gelen fonksiyon değerini bulabilirsiniz. Bu tablolar fonksiyonun genişletilmesiyle elde edildi
arka arkaya.

Geometrik olarak bu sonuç, büyük N dağıtım poligonu, formülde sağdaki fonksiyonun grafiğine (Şekil 2.3) ve gerçek olasılık değeri yerine iyi uyum sağlar
herkes için mümkün k bir noktada bir fonksiyonun değerini almak k.

Pirinç. 2.3. Yerel Laplace işlevi

Şimdi soruna dönelim. Formül (2.1)'i kullanarak şunu buluruz:

,

değer nerede
tablodan belirlenir.

2.2.2. Laplace'ın integral teoremi

Teorem 2.2(Laplace integrali) . Devrede olma olasılığı N olayın meydana geleceği bağımsız testler k 1 ile k 2 kez, yaklaşık olarak eşit

P N (k 1
k 2 )
,

– Tabloların derlendiği Laplace integral fonksiyonu. İşlev F(x) garip: Ф(-х)=-Ф(х) Ve F(X 4)=0,5.

Kanıtı olmayan başka bir ifadeyi ele alalım.

Bağıl frekans sapması olasılıktan P V N bağımsız testler eşittir

(

.

Yorum. Bu gerçeklerin gerekçesi Bölüm 7'de (Bölüm 7.2, 7.3) daha detaylı tartışılacaktır. Laplace teoremlerine bazen Moivre-Laplace teoremleri denir.

Örnek 2.3.

900 bağımsız denemenin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,5'tir. 1) olayın 400 ila 500 kez meydana gelme olasılığını bulun, 2) olayın göreceli meydana gelme sıklığının, mutlak değerdeki olasılığından 0,02'den fazla sapmayacağı olasılığını bulun.

Çözüm

1) R 900 (400<k<500)=
=

2)

=

2.3. Poisson formülü

Deney sayısını sabitlersek N ve bir deneyde bir olayın meydana gelme olasılığı R değişirse, dağıtım poligonu değere bağlı olarak farklı bir görünüme sahip olacaktır. R(Şekil 2.4). Değerlerle P 1/2'ye yakın olan poligon neredeyse simetriktir ve Laplace fonksiyonunun simetrik grafiğine iyi uyum sağlar. Bu nedenle, yaklaşık Laplace formülü iyi bir doğruluk sağlar.

Küçük olanlar için R(pratikte daha az ) dağıtım poligonunun asimetrisi nedeniyle yaklaşım zayıftır. Bu nedenle görev, olasılıkları hesaplamak için yaklaşık bir formül bulmaktır.
büyük olması durumunda N ve küçük R. Bu sorunun cevabı Poisson formülüyle verilmektedir.

Öyleyse, bağımsız bir test şemasını ele alalım; N büyüktür (ne kadar çoksa o kadar iyidir) ve R az (ne kadar azsa o kadar iyi). Haydi belirtelim NR=λ . O zaman Bernoulli formülüne göre elimizde

.

Son eşitlik doğrudur çünkü
(ikinci dikkate değer sınır). Bir olayın en olası oluşumuna ilişkin formülü elde ederken k 0 olasılık oranı dikkate alındı. Bundan şu sonuç çıkıyor

Böylece ne zaman k birçok küçük olanlar N yinelenen bir ilişkimiz var

.

İçin k=0 daha önce elde edilen sonucu dikkate alalım:
, Daha sonra

………………

Yani bağımsız bir test tasarımında n büyükse ve R biraz sonra olur Poisson formülü

R N (İle)
, burada λ = NR.

Poisson yasasına nadir olaylar yasası da denir.

Örnek 2.4.

Arızalı parça üretme olasılığı 0,02'dir. Parçalar 100 adetlik kutularda paketlenmiştir. a) olasılığı nedir? kutuda arızalı parça yok mu, b) kutuda ikiden fazla arızalı parça var mı?

Çözüm

A) Çünkü N büyük ve R az, elimizde ; R 100 (0)
;

B)R 100 (k>2)= 1-R 1-

Böylece bağımsız bir deneme tasarımında olasılığın hesaplanması R N (k) Aşağıdaki durumlarda Bernoulli formülü kullanılmalıdır: N küçük ama eğer N büyükse, boyutuna bağlı olarak R yaklaşık Laplace formüllerinden biri veya Poisson formülü kullanılır.

Sıvıların özellikleri.

Maddenin sıvı halinin özellikleri. Sıvı haldeki bir maddenin molekülleri katı halde olduğu gibi birbirine yakın bulunur. Bu nedenle sıvının hacmi basınca çok az bağlıdır. İşgal edilen hacmin sabitliği, sıvılar ve katılar için ortak bir özelliktir ve onları kendilerine sağlanan herhangi bir hacmi işgal edebilen gazlardan ayırır.

Moleküllerin birbirlerine göre serbest hareket etme olasılığı, bir sıvının akışkanlık özelliğini belirler. Sıvı haldeki ve gaz halindeki bir cisim sabit bir şekle sahip değildir. Bir sıvı cismin şekli, sıvının bulunduğu kabın şekli, dış kuvvetlerin etkisi ve yüzey gerilimi kuvvetleri tarafından belirlenir. Moleküllerin bir sıvı içinde daha fazla hareket serbestliği, katılara kıyasla sıvılarda daha yüksek bir difüzyon hızına yol açar ve katıların sıvılarda çözünmesi olasılığını sağlar.

Yüzey gerilimi. Kuvvetlerin tezahürü, moleküller arasındaki çekim kuvvetleri ve moleküllerin sıvılardaki hareketliliği ile ilişkilidir. yüzey gerilimi.

Bir sıvının içinde, bir moleküle komşu moleküllerden etki eden çekici kuvvetler karşılıklı olarak telafi edilir. Sıvının yüzeyine yakın bulunan herhangi bir molekül, sıvının içinde bulunan moleküller tarafından çekilir. Bu kuvvetlerin etkisi altında sıvı yüzeyinden gelen moleküller sıvının içine doğru hareket eder ve sıvının serbest yüzeyi verilen koşullar altında mümkün olan minimum değere ulaşana kadar yüzeydeki molekül sayısı azalır. Küre, belirli bir hacimdeki cisimler arasında minimum yüzey alanına sahiptir; bu nedenle, diğer kuvvetlerin yokluğunda veya ihmal edilebilir etkisinde, yüzey gerilimi kuvvetlerinin etkisi altındaki sıvı, bir küre şeklini alır.

Birçok olayda bir sıvının serbest yüzeyinin büzülme özelliği, sıvının büzülmeye eğilimli ince, gerilmiş bir elastik film ile kaplanmış gibi görünmesine neden olur.

Yüzey gerilimi kuvveti, bir sıvının yüzeyi boyunca, bu yüzeyi sınırlayan çizgiye dik olarak etki eden ve onu minimuma indirme eğiliminde olan kuvvettir.

Yaylı dinamometrenin kancasına U şeklinde bir tel asın. Yan uzunluk AB eşit ben. Telin yer çekimi etkisi altında dinamometre yayının başlangıçtaki gerilmesi, sıfır ölçekli bölümün etki kuvveti göstergesinin karşısına ayarlanmasıyla dikkate alınmayabilir.

Teli suya indirelim, ardından kabı suyla birlikte yavaşça indirin (Şek. 92). Deneyimler, bu durumda tel boyunca bir sıvı filminin oluştuğunu ve dinamometre yayının gerildiğini göstermektedir. Dinamometre okumalarını kullanarak yüzey gerilim kuvvetini belirleyebilirsiniz. Sıvı filmin iki yüzeye sahip olduğu (Şekil 93) ve elastik kuvvetin modül olarak yüzey gerilim kuvvetinin iki katına eşit olduğu dikkate alınmalıdır:

Eğer tarafı olan bir tel alırsanız AB, iki kat daha uzunsa, yüzey gerilim kuvveti iki kat daha büyüktür. Farklı uzunluktaki tellerle yapılan deneyler, uzunluktaki bir yüzey katmanının sınırına etki eden yüzey gerilim kuvveti modülünün oranının, ben, bu uzunluğa bağlı olmayan sabit bir değer vardır ben. Bu miktara denir yüzey gerilimi katsayısı Yunanca “sigma” harfiyle gösterilir:

. (27.1)

Yüzey gerilimi katsayısı şu şekilde ifade edilir: metre başına Newton(N/m). Yüzey gerilimi sıvılar arasında farklılık gösterir.

Sıvı moleküllerin kendi aralarındaki çekim kuvvetleri, sıvı moleküllerin katı bir cismin yüzeyine olan çekim kuvvetlerinden daha azsa, o zaman sıvı, katı cismin yüzeyini ıslatır. Sıvı moleküller ile katı moleküller arasındaki etkileşim kuvvetleri, sıvı moleküller arasındaki etkileşim kuvvetlerinden küçükse sıvı, katının yüzeyini ıslatmaz.

Kılcal fenomen. Sıvıların katıların ıslatılmış ve ıslanamayan yüzeyleriyle etkileşiminin özellikleri kılcal olayların nedenidir.

Kılcal iç çapı küçük olan tüpe denir. Kılcal bir cam tüp alın ve bir ucunu suya batırın. Deneyimler, kılcal boru içindeki su seviyesinin açık su yüzeyinden daha yüksek olduğunu göstermektedir.

Katı bir cismin yüzeyi bir sıvı tarafından tamamen ıslatıldığında, yüzey gerilimi kuvvetinin, katı cisim ile sıvı arasındaki temas sınırına dik olan katı cismin yüzeyi boyunca yönlendirildiği düşünülebilir. Bu durumda sıvının ıslak yüzey boyunca yükselişi, kılcaldaki sıvı kolonuna etki eden ve aşağıya doğru yönlendirilen yerçekimi kuvveti, sıvının temas sınırı boyunca etki eden yüzey gerilimi kuvvetine eşit büyüklükte oluncaya kadar devam eder. kılcal damarın yüzeyi ile (Şekil 94):

,

.

Buradan kılcal borudaki sıvı sütununun yükselişinin yüksekliğinin kılcal borunun yarıçapı ile ters orantılı olduğunu buluyoruz:

(27.2)

Laplace'ın formülü.

Düz bir hat üzerinde duran bir sıvının yüzeyini düşünelim. Sıvının yüzeyi düz değilse, büzülme eğilimi, düz yüzeyli bir sıvının maruz kaldığı basınca ek bir basınç görünümüne yol açacaktır. Dışbükey bir yüzey olması durumunda bu ek basınç pozitiftir; içbükey bir yüzey olması durumunda ise negatiftir. İkinci durumda, büzülmeye çalışan yüzey tabakası sıvıyı gerer.

Moskova'da İK kursunun öğretmeni olarak çalışın.

İlave basınç miktarının, yüzey gerilim katsayısı α ve yüzey eğriliğinin artmasıyla birlikte artması gerektiği açıktır. Sıvının küresel yüzeyi için ek basıncı hesaplayalım. Bunu yapmak için, çap düzlemli küresel bir sıvı damlasını iki yarım küreye ayırıyoruz (Şekil 5).

Küresel bir sıvı damlasının kesiti.

Yüzey gerilimi nedeniyle her iki yarım küre birbirine eşit bir kuvvetle çekilir:

Bu kuvvet, S=πR2 yüzeyi boyunca her iki yarıküreyi birbirine doğru bastırır ve dolayısıyla ek basınca neden olur:

Küresel bir yüzeyin eğriliği her yerde aynıdır ve R küresinin yarıçapı tarafından belirlenir. Açıkçası, R ne kadar küçükse, küresel yüzeyin eğriliği de o kadar büyük olur. Rastgele bir yüzeyin eğriliği genellikle ortalama eğrilik olarak adlandırılan, yüzeyin farklı noktaları için farklı olabilen eğrilik ile karakterize edilir.

Ortalama eğrilik, normal bölümlerin eğriliği aracılığıyla belirlenir. Bir yüzeyin belirli bir noktadaki normal kesiti, bu yüzeyin söz konusu noktada yüzeye normalden geçen bir düzlemle kesişme çizgisidir. Bir küre için herhangi bir normal kesit, R yarıçaplı bir dairedir (R, kürenin yarıçapıdır). H=1/R değeri kürenin eğriliğini verir. Genel olarak aynı noktadan çizilen farklı kesitler farklı eğriliklere sahiptir. Geometride karşılıklı eğrilik yarıçaplarının yarı toplamının olduğu kanıtlanmıştır.

H=0,5(1/R1+1/R2) (5)

herhangi bir karşılıklı dik normal kesit çifti için aynı değere sahiptir. Bu değer, belirli bir noktada yüzeyin ortalama eğriliğidir.

Formül (5)'teki R1 ve R2 yarıçapları cebirsel büyüklüklerdir. Normal bir bölümün eğrilik merkezi belirli bir yüzeyin altındaysa, karşılık gelen eğrilik yarıçapı pozitiftir; eğrilik merkezi yüzeyin üzerindeyse eğrilik yarıçapı negatiftir.

Bir küre için R1=R2=R, yani (5) H=1/R'ye göre. (4)'te 1/R'yi H cinsinden değiştirerek şunu elde ederiz:

Laplace, formül (6)'nın herhangi bir şekle sahip bir yüzey için geçerli olduğunu kanıtladı; eğer H ile, ek basıncın belirlendiği bu noktadaki yüzeyin ortalama eğriliğini kastediyorsak. Ortalama eğrilik yerine (5) ifadesini (6) değiştirerek, isteğe bağlı bir yüzey altındaki ek basınç için bir formül elde ederiz:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

Laplace formülü denir.

Ek basınç (7), kılcal damardaki sıvı seviyesinde bir değişikliğe neden olur ve bunun sonucunda buna bazen kılcal basınç da denir.

Bir temas açısının varlığı, kabın duvarlarına yakın sıvı yüzeyinin eğrilmesine yol açar. Bir kılcal damarda veya iki duvar arasındaki dar bir boşlukta tüm yüzey kavislidir. Sıvı duvarları ıslatırsa yüzey içbükey bir şekle sahiptir, ıslatmazsa dışbükeydir (Şek. 4). Bu tür kavisli sıvı yüzeylerine menisküs denir.

Bir kılcal boru bir ucunda geniş bir kaba dökülen bir sıvıya daldırılırsa, kılcal borudaki kavisli yüzeyin altındaki basınç, geniş kaptaki düz yüzey boyunca basınçtan formül (7) ile belirlenen ∆p değeri kadar farklı olacaktır. ). Sonuç olarak kılcal damar ıslandığında içindeki sıvı seviyesi kaptan daha yüksek, ıslanmadığında ise daha düşük olacaktır.

Bir kabın duvarlarına yakın bir sıvının yüzeyinin kavisli olduğu bilinmektedir. Sıvının damar duvarlarının yakınında kavisli serbest yüzeyine menisküs denir.(Şek. 145).

Kalınlığı ihmal edilebilecek ince bir sıvı filmi ele alalım. Serbest enerjisini en aza indirmek amacıyla film, farklı yönlerden basınç farkı yaratır. Sıvı damlacıkları ve sabun köpüğü içindeki yüzey gerilim kuvvetlerinin etkisi nedeniyle, ek basınç(film, baloncuğun içindeki basınç, filmin ek basıncı kadar atmosferik basıncı aşıncaya kadar sıkıştırılır).

Pirinç. 146.

Açıkça ek basınç miktarı, artan yüzey gerilim katsayısı ve yüzey eğriliği ile birlikte artmalıdır.

Pirinç. 147.

.

Bu kuvvet, yüzey boyunca her iki yarıküreyi birbirine doğru bastırır ve bu nedenle ek basınca neden olur:

Küresel bir yüzeyin eğriliği her yerde aynıdır ve kürenin yarıçapı tarafından belirlenir. Açıkçası, ne kadar küçük olursa, küresel yüzeyin eğriliği de o kadar büyük olur.

Filmin iki yüzeyi olduğundan sabun köpüğünün içindeki aşırı basınç iki kat daha yüksektir:

Ek basınç, dar tüplerdeki (kılcal damarlar) sıvı seviyesinde bir değişikliğe neden olur ve bunun sonucunda bazen buna denir. kılcal basınç.

Rastgele bir yüzeyin eğriliği genellikle ortalama eğrilik olarak adlandırılan, yüzeyin farklı noktaları için farklı olabilen eğrilik ile karakterize edilir.

Değer kürenin eğriliğini verir. Geometride, herhangi bir karşılıklı dik normal kesit çifti için karşılıklı eğrilik yarıçaplarının yarı toplamının aynı değere sahip olduğu kanıtlanmıştır:

. (1)

Bu değer, belirli bir noktada yüzeyin ortalama eğriliğidir. Bu formülde yarıçaplar cebirsel büyüklüklerdir. Normal bir bölümün eğrilik merkezi belirli bir yüzeyin altındaysa, karşılık gelen eğrilik yarıçapı pozitiftir; eğriliğin merkezi yüzeyin üzerinde yer alıyorsa eğrilik yarıçapı negatiftir (Şekil 148).

Pirinç. 148.

Örneğin bir küre için yüzeyin herhangi bir noktasındaki eğrilik merkezleri kürenin merkeziyle çakışır, dolayısıyla . Yarıçaplı dairesel bir silindirin yüzeyi için elimizde: , ve .

Herhangi bir şekle sahip bir yüzey için ilişkinin geçerli olduğu kanıtlanabilir:

İfadeyi (1) formül (2)'de değiştirerek, isteğe bağlı bir yüzey altında ek basınç için formül elde ederiz. Laplace'ın formülü(Şekil 148):

. (3)

Formül (3)'teki yarıçaplar cebirsel büyüklüklerdir. Normal bir bölümün eğrilik merkezi belirli bir yüzeyin altındaysa karşılık gelen eğrilik yarıçapı pozitiftir; eğriliğin merkezi yüzeyin üzerindeyse eğrilik yarıçapı negatiftir.

Örnek. Sıvıda bir gaz kabarcığı varsa, kabarcığın büzülme eğilimi gösteren yüzeyi gaz üzerinde ek basınç uygulayacaktır. . Ek basıncın 1'e eşit olduğu sudaki bir kabarcığın yarıçapını bulalım. ATM. .Suyun yüzey gerilimi katsayısı eşittir . Bu nedenle aşağıdaki değer elde edilir: .