Amaç: Öğrencilerin “Fonksiyonların Periyodikliği” konusundaki bilgilerini özetlemek ve sistematik hale getirmek; periyodik bir fonksiyonun özelliklerini uygulama, bir fonksiyonun en küçük pozitif periyodunu bulma, periyodik fonksiyonların grafiklerini oluşturma becerilerini geliştirmek; matematik çalışmalarına olan ilgiyi teşvik etmek; Gözlem ve doğruluğu geliştirin.
Ekipman: bilgisayar, multimedya projektörü, görev kartları, slaytlar, saatler, süs masaları, halk el sanatları unsurları
“Matematik insanların doğayı ve kendilerini kontrol etmek için kullandıkları şeydir.”
BİR. Kolmogorov
Dersler sırasında
I. Organizasyon aşaması.
Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarının kontrol edilmesi. Dersin konusunu ve hedeflerini rapor edin.
II. Ev ödevlerini kontrol ediyorum.
Örnekleri kullanarak ödevleri kontrol ediyoruz ve en zor noktaları tartışıyoruz.
III. Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.
1. Oral frontal çalışma.
Teori sorunları.
1) Görevin periyodunun tanımını oluşturun
2) y=sin(x), y=cos(x) fonksiyonlarının en küçük pozitif periyodunu adlandırın
3). y=tg(x), y=ctg(x) fonksiyonlarının en küçük pozitif periyodu nedir?
4) Bir daire kullanarak ilişkilerin doğruluğunu kanıtlayın:
y=sin(x) = sin(x+360°)
y=cos(x) = cos(x+360°)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180°)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Periyodik bir fonksiyon nasıl çizilir?
Sözlü egzersizler.
1) Aşağıdaki bağıntıları kanıtlayın
A) günah(740°) = günah(20°)
B) cos(54°) = cos(-1026°)
C) sin(-1000°) = sin(80°)
2. 540°'lik açının y= cos(2x) fonksiyonunun periyotlarından biri olduğunu kanıtlayın.
3. 360°'lik açının y=tg(x) fonksiyonunun periyotlarından biri olduğunu kanıtlayın
4. Bu ifadeleri, içerdiği açıların mutlak değeri 90°'yi geçmeyecek şekilde dönüştürün.
A) tg375°
B) ctg530°
C) günah1268°
D) çünkü(-7363°)
5. PERİYOD, PERİYODİKLİK kelimelerini nerede buldunuz?
Öğrenci Cevapları: Müzikte bir dönem, az çok eksiksiz bir müzik düşüncesinin sunulduğu bir yapıdır. Jeolojik dönem bir dönemin parçasıdır ve 35 ila 90 milyon yıl arasındaki dönemlere bölünmüştür.
Radyoaktif bir maddenin yarı ömrü. Periyodik kesir. Süreli yayınlar, kesin olarak tanımlanmış son tarihler içerisinde çıkan basılı yayınlardır. Mendeleev'in periyodik sistemi.
6. Şekiller periyodik fonksiyonların grafiklerinin bölümlerini göstermektedir. Fonksiyonun periyodunu belirleyin. Fonksiyonun periyodunu belirleyin.
Cevap: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Tekrarlanan elemanların inşasıyla hayatınızın neresinde karşılaştınız?
Öğrenci Cevabı: Süsleme unsurları, halk sanatı.
IV. Toplu problem çözme.
(Slaytlardaki problemlerin çözülmesi.)
Bir fonksiyonu periyodiklik açısından incelemenin yollarından birini ele alalım.
Bu yöntem, belirli bir periyodun en küçük olduğunu kanıtlamanın zorluklarını ortadan kaldırır ve aynı zamanda periyodik fonksiyonlar üzerindeki aritmetik işlemler ve karmaşık bir fonksiyonun periyodikliği ile ilgili sorulara değinme ihtiyacını da ortadan kaldırır. Akıl yürütme yalnızca periyodik bir fonksiyonun tanımına ve şu gerçeğe dayanmaktadır: Eğer T, fonksiyonun periyodu ise, o zaman nT(n?0) onun periyodudur.
Problem 1. f(x)=1+3(x+q>5) fonksiyonunun en küçük pozitif periyodunu bulun
Çözüm: Bu fonksiyonun T periyodunda olduğunu varsayalım. O zaman tüm x € D(f) için f(x+T)=f(x), yani.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
x=-0,25 koyalım ve şunu elde edelim
(T)=0<=>T=n, n € Z
Söz konusu fonksiyonun tüm periyotlarının (varsa) tamsayılar arasında olduğunu elde ettik. Bu sayılar arasından en küçük pozitif sayıyı seçelim. Bu 1 . Gerçekten bir dönem olup olmayacağını kontrol edelim 1 .
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Herhangi bir T için (T+1)=(T) olduğundan, f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), yani. 1 – dönem f. 1 pozitif tam sayıların en küçüğü olduğundan T=1 olur.
Problem 2. f(x)=cos 2 (x) fonksiyonunun periyodik olduğunu gösteriniz ve ana periyodunu bulunuz.
Problem 3. Fonksiyonun ana periyodunu bulun
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Fonksiyonun T periyodunu varsayalım, o zaman herhangi bir X oran geçerlidir
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Eğer x=0 ise
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Eğer x=-T ise, o zaman
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Bunu topladığımızda şunu elde ederiz:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € Z
Dönem için tüm “şüpheli” sayılar arasından en küçük pozitif sayıyı seçip f için dönem olup olmadığını kontrol edelim. Bu numara
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Bu, f fonksiyonunun ana periyodu olduğu anlamına gelir.
Problem 4. f(x)=sin(x) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edelim.
T f fonksiyonunun periyodu olsun. O zaman herhangi bir x için
sin|x+Т|=sin|x|
Eğer x=0 ise, sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Diyelim ki. Bazı n'ler için π n sayısı periyottur
söz konusu fonksiyon π n>0. O zaman sin|π n+x|=sin|x|
Bu, n'nin hem çift hem de tek sayı olması gerektiği anlamına gelir, ancak bu imkansızdır. Bu nedenle bu fonksiyon periyodik değildir.
Görev 5. İşlevin periyodik olup olmadığını kontrol edin
f(x)= 
T f'nin periyodu olsun, o zaman
, dolayısıyla sinT=0, Т=π n, n € Z. Bazı n'ler için π n sayısının gerçekten bu fonksiyonun periyodu olduğunu varsayalım. O halde 2π n sayısı periyot olacaktır
Paylar eşit olduğundan paydaları da eşittir, dolayısıyla
Bu, f fonksiyonunun periyodik olmadığı anlamına gelir.
Gruplarla çalışmak.
Grup 1 için görevler.
Grup 2 için görevler.
f fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin ve temel periyodunu (varsa) bulun.
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Grup 3'ün görevleri.
Gruplar çalışmalarının sonunda çözümlerini sunarlar.
VI. Dersi özetlemek.
Refleks.
Öğretmen öğrencilere çizim kartları verir ve onlardan ilk çizimin bir kısmını periyodiklik için bir fonksiyonu inceleme yöntemlerinde ne kadar ustalaştıklarını düşündüklerine göre ve ikinci çizimin bir kısmını da kendi fikirlerine uygun olarak renklendirmelerini ister. Ders çalışmasına katkı.
VII. Ev ödevi
1). f fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin ve temel periyodunu bulun (varsa)
B). f(x)=x 2 -2x+4
C). f(x)=2tg(3x+5)
2). y=f(x) fonksiyonunun bir T=2 periyodu vardır ve x € [-2 için f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3.5) ifadesinin değerini bulun
Edebiyat/
- Mordkovich A.G. Cebir ve derinlemesine çalışmayla analizin başlangıcı.
- Matematik. Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Şeremeteva T.G. , Tarasova E.A. 10-11. Sınıflar için cebir ve başlangıç analizi.
x argümanı, herhangi bir x için F(x + T) = F(x) olacak şekilde bir T sayısı varsa buna periyodik denir. Bu T sayısına fonksiyonun periyodu denir.
Birkaç dönem olabilir. Örneğin, F = const işlevi bağımsız değişkenin herhangi bir değeri için aynı değeri alır ve bu nedenle herhangi bir sayı, onun dönemi olarak kabul edilebilir.
Genellikle bir fonksiyonun sıfırdan farklı en küçük periyoduyla ilgilenirsiniz. Kısaca söylemek gerekirse, buna sadece nokta denir.
Periyodik fonksiyonların klasik bir örneği trigonometriktir: sinüs, kosinüs ve tanjant. Periyotları aynı ve 2π'ye eşittir, yani sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) vb. Ancak elbette trigonometrik fonksiyonlar tek periyodik fonksiyonlar değildir.
Basit, temel fonksiyonlar için periyodik olup olmadıklarını belirlemenin tek yolu hesaplamadır. Ancak karmaşık işlevler için zaten birkaç basit kural vardır.
Eğer F(x) T periyoduna sahipse ve bunun için bir türev tanımlanmışsa, bu durumda f(x) = F′(x) türevi aynı zamanda T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyondur. Sonuçta türevin noktadaki değeri x, antitürevinin grafiğinin bu noktadaki teğet açısının x eksenine olan tanjantına eşittir ve antitürev periyodik olarak tekrarlandığından türevin de tekrarlanması gerekir. Örneğin sin(x) fonksiyonunun türevi cos(x)'e eşittir ve periyodiktir. cos(x)'in türevini almak size –sin(x)'i verir. Frekans değişmeden kalır.
Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla, f(x) = const fonksiyonu periyodiktir, ancak ters türevi F(x) = const*x + C değildir.
Eğer F(x), periyodu T olan periyodik bir fonksiyon ise, o zaman G(x) = a*F(kx + b), burada a, b ve k sabittir ve k sıfıra eşit değildir - aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur ve periyodu T/k'dir. Örneğin sin(2x) periyodik bir fonksiyondur ve periyodu π'dir. Bu görsel olarak şu şekilde temsil edilebilir: x'i bir sayıyla çarparak, fonksiyonun grafiğini tam olarak bu kadar yatay olarak sıkıştırmış gibi olursunuz.
Eğer F1(x) ve F2(x) periyodik fonksiyonlarsa ve periyotları sırasıyla T1 ve T2'ye eşitse, bu fonksiyonların toplamı da periyodik olabilir. Ancak periyodu T1 ve T2 periyotlarının basit bir toplamı olmayacaktır. T1/T2 bölümünün sonucu rasyonel bir sayı ise, fonksiyonların toplamı periyodiktir ve periyodu T1 ve T2 periyotlarının en küçük ortak katına (LCM) eşittir. Örneğin, ilk fonksiyonun periyodu 12 ve ikincisinin periyodu 15 ise, toplamlarının periyodu LCM (12, 15) = 60'a eşit olacaktır.
Bu, görsel olarak şu şekilde temsil edilebilir: işlevler farklı "adım genişlikleriyle" gelir, ancak genişliklerinin oranı rasyonel ise, o zaman er ya da geç (veya daha doğrusu, adımların LCM'si aracılığıyla) tekrar eşit hale geleceklerdir ve bunların toplamı yeni bir dönemi başlatacak.
Ancak periyotların oranı irrasyonel ise toplam fonksiyon hiç periyodik olmayacaktır. Örneğin, F1(x) = x mod 2 (x, 2'ye bölündüğünde kalan) ve F2(x) = sin(x) olsun. Burada T1 2'ye, T2 ise 2π'ye eşit olacaktır. Dönemlerin oranı irrasyonel bir sayı olan π'ye eşittir. Bu nedenle sin(x) + x mod 2 fonksiyonu periyodik değildir.
Doğal olayları incelerken ve teknik sorunları çözerken, özel tipte işlevlerle tanımlanabilecek periyodik süreçlerle karşılaşırız.
D tanım kümesine sahip bir y = f(x) fonksiyonuna, aşağıdaki iki koşulu sağlayacak şekilde en az bir T > 0 sayısı varsa periyodik denir:
1) x + T, x − T noktaları herhangi bir x ∈ D için D tanımının alanına aittir;
2) D'den gelen her x için aşağıdaki ilişki geçerlidir:
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
T sayısına f(x) fonksiyonunun periyodu denir. Başka bir deyişle periyodik fonksiyon, değerleri belirli bir aralıktan sonra tekrar eden bir fonksiyondur. Örneğin, y = sin x fonksiyonu 2π periyoduyla periyodiktir (Şekil 1).
Eğer T sayısı f(x) fonksiyonunun periyodu ise, o zaman 2T sayısının da onun periyodu olacağını unutmayın; ayrıca 3T ve 4T vb., yani periyodik bir fonksiyonun sonsuz sayıda farklı periyodu vardır. Aralarında en küçüğü varsa (sıfıra eşit değilse), fonksiyonun diğer tüm periyotları bu sayının katlarıdır. Her periyodik fonksiyonun bu kadar küçük bir pozitif periyoda sahip olmadığını unutmayın; örneğin f(x)=1 fonksiyonunun böyle bir periyodu yoktur. Örneğin, aynı en küçük pozitif periyoda (T0) sahip iki periyodik fonksiyonun toplamının mutlaka aynı pozitif periyoda sahip olmayabileceğini akılda tutmak önemlidir. Dolayısıyla, f(x) = sin x ve g(x) = −sin x fonksiyonlarının toplamı hiçbir şekilde en küçük pozitif periyoda sahip değildir ve f(x) = sin x + sin 2x ve fonksiyonlarının toplamı En küçük periyotları 2π'ye eşit olan g(x) = −sin x, en küçük pozitif periyodu π'ye eşittir.
İki fonksiyonun f(x) ve g(x) periyotlarının oranı rasyonel bir sayı ise bu fonksiyonların toplamı ve çarpımı da periyodik fonksiyonlar olacaktır. Her yerde tanımlı ve sürekli fonksiyonlar f ve g'nin periyotlarının oranı irrasyonel bir sayı ise, o zaman f + g ve fg fonksiyonları zaten periyodik olmayan fonksiyonlar olacaktır. Yani, örneğin, cos x sin √2 x ve cosj √2 x + sin x fonksiyonları periyodik değildir, ancak sin x ve cos x fonksiyonları 2π periyoduyla periyodiktir, sin √2 x ve cos fonksiyonları ise periyodik değildir. √2 x periyodiktir ve √2 π periyoduna sahiptir.
Eğer f(x) periyodu T olan periyodik bir fonksiyon ise, o zaman karmaşık fonksiyon (tabii ki mantıklıysa) F(f(x)) de periyodik bir fonksiyondur ve T sayısı onun işlevi görecektir. dönem. Örneğin, y = sin 2 x, y = √(cos x) (Şekil 2.3) fonksiyonları periyodik fonksiyonlardır (burada: F 1 (z) = z 2 ve F 2 (z) = √z). Bununla birlikte, eğer f(x) fonksiyonu en küçük pozitif periyoda (T 0) sahipse, o zaman F(f(x)) fonksiyonunun da aynı en küçük pozitif periyoda sahip olacağı düşünülmemelidir; örneğin, y = sin 2 x fonksiyonu en küçük pozitif periyoda sahiptir; f(x) = sin x fonksiyonundan 2 kat daha azdır (Şekil 2).
Bir f fonksiyonunun T periyodu ile periyodik olması, gerçel doğrunun her noktasında tanımlı ve türevi olması durumunda, f"(x) fonksiyonunun (türev) aynı zamanda T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon olduğunu, ancak ters türevinin olduğunu göstermek kolaydır. f(x) için F(x) fonksiyonu (bkz. İntegral hesabı), ancak şu durumda periyodik bir fonksiyon olacaktır:
F(T) − F(0) = T ö ∫ f(x) dx = 0.
Okul matematik derslerinden herkes, düzgün dalgalar halinde mesafeye uzanan bir sinüs grafiğini hatırlar. Diğer birçok işlevin benzer bir özelliği vardır; belirli aralıklarla tekrarlanır. Periyodik olarak adlandırılırlar. Periyodiklik, genellikle farklı görevlerde bulunan, bir işlevin çok önemli bir niteliğidir. Sonuç olarak bir fonksiyonun periyodik olup olmadığını tespit edebilmek faydalıdır.
Talimatlar
1. Eğer F(x), x argümanının bir fonksiyonu ise, her x için F(x + T) = F(x) olacak şekilde bir T sayısı varsa buna periyodik denir. Bu T sayısına fonksiyonun periyodu denir. Birkaç periyot olabilir. Diyelim ki F = const fonksiyonu argümanın tüm değerleri için aynı değeri alıyor ve bu nedenle herhangi bir sayı onun periyodu olarak kabul edilebilir. Geleneksel olarak matematik, bir fonksiyonun sıfır olmayan minimum periyoduyla ilgilidir. Kısaca söylemek gerekirse buna ilkel dönem denir.
2. Periyodik fonksiyonların tipik bir örneği trigonometriktir: sinüs, kosinüs ve tanjant. Periyotları aynı ve 2?'ye eşit, yani sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) vb. Ancak elbette trigonometrik fonksiyonlar yalnızca periyodik değildir.
3. İlkel, temel fonksiyonlarla ilgili olarak, bunların periyodikliğini veya periyodikliğini belirlemenin tek yöntemi hesaplamalardır. Ancak zor işlevler için zaten birkaç ilkel kural vardır.
4. Eğer F(x) T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyonsa ve bunun için bir türev tanımlanmışsa, bu durumda f(x) = F?(x) türevi aynı zamanda T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyondur. Türevin noktadaki değeri x, antitürevinin grafiğinin bu noktadaki x eksenine olan teğet açısının tanjantına eşittir ve antitürev periyodik olarak tekrarlandığı için türevin de tekrarlanması gerekir. Diyelim ki sin(x) fonksiyonunun türevi cos(x)'e eşit ve periyodik. cos(x)'in türevini almak size –sin(x)'i verir. Periyodiklik sabit kalır Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla, f(x) = const fonksiyonu periyodiktir, ancak ters türevi F(x) = const*x + C değildir.
5. Eğer F(x) periyodu T olan periyodik bir fonksiyon ise, o zaman G(x) = a*F(kx + b) burada a, b ve k sabittir ve k sıfıra eşit değildir - aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur ve periyodu T/k'dir. Diyelim ki sin(2x) periyodik bir fonksiyon ve periyodu ?'ya eşit. Bu görsel olarak şu şekilde temsil edilebilir: x'i herhangi bir sayıyla çarparak, fonksiyonun grafiğini yatay olarak tam olarak o kadar sıkıştırmış gibi olursunuz.
6. Eğer F1(x) ve F2(x) periyodik fonksiyonlarsa ve periyotları sırasıyla T1 ve T2'ye eşitse, bu fonksiyonların toplamı da periyodik olabilir. Ancak periyodu T1 ve T2 periyotlarının toplamı kadar kolay olmayacaktır. T1/T2 bölümünün sonucu makul bir sayı ise, fonksiyonların toplamı periyodiktir ve periyodu T1 ve T2 periyotlarının en küçük evrensel katına (LCM) eşittir. Diyelim ki, ilk fonksiyonun periyodu 12 ve 2. fonksiyonun periyodu 15 ise, toplamlarının periyodu LCM (12, 15) = 60'a eşit olacaktır. Bu, görsel olarak şu şekilde temsil edilebilir: fonksiyonlar Farklı "adım genişlikleri" ile gelirler, ancak genişliklerinin oranı anlamlıysa, o zaman er ya da geç (ya da daha doğrusu, tam olarak adımların LCM'si aracılığıyla), yeniden eşit hale gelecekler ve toplamları yeni periyodu başlatacak.
7. Ancak periyotların oranı irrasyonel ise toplam fonksiyon hiç periyodik olmayacaktır. Diyelim ki F1(x) = x mod 2 (x'i 2'ye bölmenin kalanı) ve F2(x) = sin(x) olsun. Burada T1 2'ye eşit olacak ve T2 de 2'ye eşit olacak. Dönem oranı eşit mi? - irrasyonel bir sayı. Sonuç olarak sin(x) + x mod 2 fonksiyonu periyodik değildir.
Pek çok matematiksel fonksiyonun oluşturulmasını kolaylaştıran belirli bir özelliği vardır; periyodiklik yani grafiğin bir koordinat ızgarası üzerinde eşit aralıklarla tekrarlanabilirliği.
Talimatlar
1. Matematikte en iyi bilinen periyodik fonksiyonlar sinüs ve kosinüstür. Bu fonksiyonlar dalga benzeri bir yapıya ve 2P'ye eşit bir dönme periyoduna sahiptir. Ayrıca periyodik fonksiyonun özel bir durumu f(x)=sabittir. Herhangi bir sayı x konumuna uyar; bu fonksiyonun bir ana periyodu yoktur çünkü bu bir düz çizgidir.
2. Genel olarak, sıfırdan farklı bir N tamsayısı varsa ve f(x)=f(x+N) kuralını karşılıyorsa bir fonksiyon periyodiktir, böylece tekrarlanabilirlik sağlanır. Bir fonksiyonun periyodu en küçük N sayısıdır ancak sıfır değildir. Yani, sin x fonksiyonu sin (x+2ПN) fonksiyonuna eşittir, burada N=±1, ±2 vb.
3. Bazen bir fonksiyonun periyodunu artıracak veya azaltacak bir çarpanı (örneğin sin 2x) olabilir. Dönemi tespit etmek için grafikler, fonksiyonun ekstremumlarını (fonksiyon grafiğinin en yüksek ve en düşük noktaları) belirlemeniz gerekir. Sinüs ve kosinüs dalgaları dalga benzeri bir yapıya sahip olduğundan bunu yapmak oldukça kolaydır. Bu noktalardan X ekseniyle kesişene kadar dik düz çizgiler oluşturun.
4. Üst uçtan alt uç noktaya kadar olan mesafe, fonksiyonun periyodunun yarısı kadar olacaktır. Grafiğin Y ekseni ile kesişiminden ve buna bağlı olarak x eksenindeki sıfır işaretinden itibaren geçen süreyi hesaplamak herkes için daha uygundur. Bundan sonra ortaya çıkan değeri ikiyle çarpmanız ve fonksiyonun pivot periyodunu bulmanız gerekir.
5. Sinüs ve kosinüs eğrilerini çizmeyi kolaylaştırmak için, bir fonksiyonun bir tamsayı değeri varsa periyodunun uzayacağını (yani 2P'nin bu göstergeyle çarpılması gerektiğini) ve grafiğin daha yumuşak ve pürüzsüz görüneceğini unutmamanız gerekir. ; ve sayı kesirli ise tam tersine azalacak ve grafik daha "keskin", sıçramaya benzer bir görünüm kazanacaktır.
Konuyla ilgili video
Ek No.7
Belediye eğitim kurumu
3 No'lu Ortaokul
Öğretmen
Korotkova
Asya Edikovna
Kurganinsk
2008
İÇERİK
Giriş……………………………………………………………… 2-3
Periyodik fonksiyonlar ve özellikleri……………. 4-6
Sorunlar…………………………………………………………………… 7-14
giriiş
Eğitimsel ve metodolojik literatürdeki periyodiklik sorunlarının kolay bir kaderi olmadığını belirtelim. Bu durum, tartışmalı kararlara yol açan ve sınavlarda olaylara yol açan periyodik işlevlerin belirlenmesinde belirli ihmallere izin verilmesi şeklindeki tuhaf bir gelenekle açıklanmaktadır.
Örneğin, “Matematik Terimlerinin Açıklayıcı Sözlüğü” - M, 1965 kitabında şu tanım verilmiştir: “periyodik bir fonksiyon bir fonksiyondur
y = f(x), bunun için t > 0 sayısı vardır; bu, f(x + t) = f(x) tanım kümesindeki tüm x ve x+t'ler için.
Bu tanımın yanlışlığını gösteren bir karşı örnek verelim. Bu tanıma göre fonksiyon t = 2π periyodunda periyodik olacaktır.
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 Periyodik fonksiyonlarla ilgili genel kabul görmüş bakış açısıyla çelişen sınırlı bir tanım alanına sahiptir.
Yeni alternatif okul ders kitaplarının çoğu benzer sorunlarla karşı karşıyadır.
A.N. Kolmogorov'un ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir: “F fonksiyonunun periyodikliğinden bahsederken, öyle bir T ≠ 0 sayısının olduğuna inanılmaktadır ki, D (f) tanımının alanı, her x noktasıyla birlikte, ayrıca T mesafesinde Ox ekseni boyunca (sağa ve sola) paralel öteleme yoluyla x'ten elde edilen noktaları da içerir. f fonksiyonu olarak adlandırılır periyodik T ≠ 0 periyodu ile, herhangi bir tanım alanı için bu fonksiyonun x, x – T, x + T noktalarındaki değerleri eşitse, yani. f (x + T) = f (x) = f (x – T).” Ders kitabında ayrıca şöyle yazılmıştır: “Sinüs ve kosinüs tüm sayı doğrusunda tanımlandığından ve Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x herhangi bir x için, sinüs ve kosinüs periyodu 2π olan bir fonksiyonun periyodudur.”
Bu örnekte bazı nedenlerden dolayı tanımda gerekli koşul kontrol edilmemiştir:
Sin (x – 2π) = Sin x. Sorun ne? Gerçek şu ki, tanımdaki bu koşul gereksizdir. Aslında, eğer T > 0 f(x) fonksiyonunun periyodu ise, o zaman T de bu fonksiyonun periyodu olacaktır.
M.I. Bashmakov'un "Cebir ve analizin başlangıcı 10-11. Sınıflar" ders kitabından bir tanım daha vermek istiyorum. “Eğer eşitlik sağlanacak şekilde T ≠ 0 sayısı varsa y = f(x) fonksiyonuna periyodik denir.
f(x + T) = f(x), x'in tüm değerleri için aynı şekilde geçerlidir.”
Yukarıdaki tanım, bir fonksiyonun alanı hakkında hiçbir şey söylemez, ancak tanım alanında herhangi bir gerçek x değil, x anlamına gelir. Bu tanım gereği, y = Sin (√x) fonksiyonu periyodik olabilir. 2 , yalnızca x ≥ 0 için tanımlanmış olup bu yanlıştır.
Birleşik Devlet Sınavında periyodiklik görevleri vardır. Bir bilimsel süreli yayın dergisinde, Birleşik Devlet Sınavı'nın C bölümü için bir eğitim oturumu olarak soruna bir çözüm verildi: “y (x) = Sin fonksiyonudur 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periyodik mi?”
Çözüm, y (x – π) = y (x) olduğunu gösteriyor, cevapta fazladan bir giriş var
“T = π” (sonuçta, en küçük pozitif periyodu bulma sorunu gündeme gelmemiştir). Bu sorunu çözmek için karmaşık trigonometri eğitimini yürütmek gerçekten gerekli mi? Sonuçta burada sorunun koşulunun anahtarı olan periyodiklik kavramına odaklanabilirsiniz.
Çözüm.
f1 (x) = Sin x – T = 2π periyoduna sahip periyodik fonksiyon
f2 (x) = Cos x periyodu T = 2π olan periyodik bir fonksiyondur, bu durumda 2π f fonksiyonlarının periyodudur 3 (x) = Sin (2 + x) ve f 4 (x) = Cos (2 + x), (bu periyodiklik tanımından gelir)
f5 (x) = - 2 Sin 2 = Sabit, periyodu 2π dahil herhangi bir sayıdır.
Çünkü Ortak bir T periyoduna sahip periyodik fonksiyonların toplamı ve çarpımı da T-periyodiktir, bu durumda bu fonksiyon periyodiktir.
Bu çalışmada sunulan materyalin, periyodiklik ile ilgili sorunların çözümünde Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmaya yardımcı olacağını umuyorum.
Periyodik fonksiyonlar ve özellikleri
Tanım: Bir f(t) fonksiyonuna, bu fonksiyonun D tanımının tanım kümesindeki herhangi bir t için periyodik denir. F öyle bir ω ≠ 0 sayısı vardır:
1) sayılar (t ± ω) є D f ;
2) f(t + ω) = f(t).
1. Eğer ω sayısı = f(t) fonksiyonunun periyodu ise, o zaman kω sayısı, burada k = ±1, ±2, ±3, ... aynı zamanda f(t) fonksiyonunun periyotlarıdır.
ÖRNEK f(t) = Sin t. T = 2π sayısı bu fonksiyonun en küçük pozitif periyodudur. T olsun 1 = 4π. T olduğunu gösterelim 1 aynı zamanda bu fonksiyonun periyodudur.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Yani T 1 – fonksiyonun periyodu f(t) = Sin t.
2. Eğer f(t) – ω fonksiyonu periyodik bir fonksiyon ise, o zaman а є R olan f (аt) ve с'nin keyfi bir sabit olduğu f (t + с) fonksiyonları da periyodiktir.
f(аt) fonksiyonunun periyodunu bulalım.
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а))), yani. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Bu nedenle f(аt) – ω fonksiyonunun periyodu 1 = ω/a.
Örnek 1. y = Sin t/2 fonksiyonunun periyodunu bulun.
Örnek 2. y = Sin (t + π/3) fonksiyonunun periyodunu bulun.
f(t) = Sin t olsun; y 0 = Sin (t 0 + π/3).
O zaman f(t) = Sin t fonksiyonu aynı değeri alacaktır. t = t 0 + π/3'te 0.
Onlar. y fonksiyonunun aldığı tüm değerler f(t) fonksiyonu tarafından da alınır. Eğer t zaman olarak yorumlanırsa, y'nin her değeri 0 y = Sin (t + π/3) fonksiyonu, f(t) fonksiyonundan π/3 zaman birimi daha erken kabul edilir ve π/3 kadar sola kaydırılır. Açıkçası, bundan dolayı fonksiyonun periyodu değişmeyecektir, yani. T y = T 1.
3. F(x) bir fonksiyonsa ve f(t) periyodik bir fonksiyonsa ve f(t), F(x) – D fonksiyonunun tanım bölgesine aitse F ise F(f(t)) fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur.
F(f(t)) = φ olsun.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) herhangi bir t є D için F.
ÖRNEK Fonksiyonu periyodiklik açısından inceleyin: F(x) = ℓ sinx.
Bu fonksiyonun etki alanı D F R gerçel sayılar kümesiyle çakışır. f (x) = Sin x.
Bu fonksiyonun değer kümesi [-1; 1]. Çünkü bölüm [-1; 1] D'ye aittir F ise F(x) fonksiyonu periyodiktir.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – bu fonksiyonun periyodu.
4. f 1 (t) ve f 2 fonksiyonları ise (t) sırasıyla periyodik, ω periyotlu 1 ve ω 2 ve ω 1 /ω 2 = r, burada r bir rasyonel sayıdır, bu durumda işlevler
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) ve f 1 (t) f 2 (t) periyodiktir (C 1 ve C2 sabittir).
Not: 1) Eğer r = ω ise 1 /ω 2 = p/q, çünkü r rasyonel bir sayıdır, o halde
ω 1 q = ω 2 p = ω, burada ω, ω'nin en küçük ortak katıdır 1 ve ω 2 (NOC).
C fonksiyonunu düşünün 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Aslında, ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) - bu fonksiyonun periyodu
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (T) .
2) ω – fonksiyon periyodu f 1 (t) f 2 (t), çünkü
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Tanım: f olsun 1 (t) ve f (t) sırasıyla ω periyotlu periyodik fonksiyonlardır 1 ve ω 2 ise iki periyodun orantılı olduğu söylenir.ω 1 /ω 2 = r rasyonel bir sayıdır.
3) Eğer periyotlar ω 1 ve ω 2 ise karşılaştırılabilir değilse, f fonksiyonları 1 (t) + f 2 (t) ve
f 1 (t) f 2 (t) periyodik değildir. Yani eğer f 1 (t) ve f2 (t) sabitten farklı, periyodik, sürekli, periyotları orantılı değil ise f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) periyodik değildir.
4) f(t) = C olsun, burada C keyfi bir sabittir. Bu fonksiyon periyodiktir. Periyodu herhangi bir rasyonel sayıdır, yani en küçük pozitif periyoda sahip değildir.
5) Bu ifade aynı zamanda daha fazla sayıda fonksiyon için de doğrudur.
Örnek 1. Fonksiyonu periyodiklik açısından inceleyin
F(x) = Sin x + Cos x.
Çözüm. f 1 (x) = Sin x olsun, o zaman ω 1 = 2πk, burada k є Z.
T1 = 2π – en küçük pozitif periyot.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Oran T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – rasyonel sayı, yani. fonksiyonların periyotları f 1 (x) ve f2 (x) orantılıdır. Bu, bu fonksiyonun periyodik olduğu anlamına gelir. Periyodunu bulalım. Periyodik bir fonksiyonun tanımı gereği elimizde
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, dolayısıyla,
Sin Т/2 = 0, sonra Т = 2πk.
Çünkü (х ± 2πk) є D f , burada f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x) ise, f(x) fonksiyonu en küçük pozitif periyodu 2π olan periyodiktir.
Örnek 2. f(x) = Cos 2x · Sin x fonksiyonu periyodik midir, periyodu nedir?
Çözüm. f 1 (x) = Cos 2x olsun, o zaman T 1 = 2π: 2 = π (bkz. 2)
f 2 (x) = Sin x olsun, o zaman T 2 = 2π. Çünkü π/2π = ½ rasyonel bir sayı ise bu fonksiyon periyodiktir. Periyodu T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Yani bu fonksiyon 2π periyoduyla periyodiktir.
5. Bir sabite tam olarak eşit olmayan f(t) fonksiyonunun sürekli ve periyodik olduğunu varsayalım, bu durumda en küçük pozitif periyodu ω olur. 0 , ω'sinin diğer herhangi bir periyodu şu şekildedir: ω= kω 0 , burada k є Z.
Not: 1) Bu özellikte iki şart çok önemlidir:
f(t) süreklidir, f(t) ≠ C, burada C bir sabittir.
2) Aksi ifade doğru değildir. Yani, eğer bütün periyotlar karşılaştırılabilirse, bundan en küçük pozitif periyodun olduğu sonucu çıkmaz. Onlar. periyodik bir fonksiyon en küçük pozitif periyoda sahip olmayabilir.
Örnek 1. f(t) = C, periyodik. Periyodu herhangi bir gerçek sayıdır; en küçük periyot yoktur.
Örnek 2. Dirichlet işlevi:
D(x) =
Herhangi bir rasyonel sayının periyodu vardır; en küçük pozitif periyot yoktur.
6. Eğer f(t) sürekli bir periyodik fonksiyon ise ve ω 0 en küçük pozitif periyodu ise f(αt + β) fonksiyonu en küçük pozitif periyoda ω sahiptir 0 //α/. Bu ifade 2. paragraftan gelmektedir.
Örnek 1. y = Sin (2x – 5) fonksiyonunun periyodunu bulun.
Çözüm. y = Sin (2x – 5) = Sin (2(x – 5/2)).
Y fonksiyonunun grafiği, Sin x fonksiyonunun grafiğinden önce iki kat “sıkıştırılarak”, ardından 2,5 oranında sağa “kaydırılarak” elde edilir. “Kayma periyodikliği etkilemez, T = π bu fonksiyonun periyodudur.
6. adımın özelliğini kullanarak bu fonksiyonun periyodunu elde etmek kolaydır:
Т = 2π/2 = π.
7. Eğer f(t) – ω periyodik bir fonksiyonsa ve f"(t) sürekli türevine sahipse, o zaman f"(t) de periyodik bir fonksiyondur, Т = ω
Örnek 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Türevi f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Örnek 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Türevi
F"(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.
Örnek 3. f(t) =tg t, periyodu T = πk.
F"(t) = 1/Cos2 t aynı zamanda adım 7'nin özelliği gereği periyodiktir ve T = πk periyoduna sahiptir. En küçük pozitif periyodu T = π'dir.
GÖREVLER.
№ 1
f(t) = Sin t + Sin πt fonksiyonu periyodik midir?
Çözüm. Karşılaştırma için bu sorunu iki şekilde çözüyoruz.
İlk olarak, periyodik bir fonksiyonun tanımı gereği. f(t)'nin periyodik olduğunu varsayalım, o zaman herhangi bir t є D için elimizde:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Çünkü bu herhangi bir t є D için doğrudur F , o zaman özellikle t için 0 , burada son eşitliğin sol tarafı sıfır olur.
O zaman elimizde: 1) Çünkü 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. T'ye göre çözelim.
T = 2 πk'de Sin Т/2 = 0, burada k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. T’ye göre çözümleyelim.
Sin πТ/2 = 0, bu durumda Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, burada n є Z.
Çünkü bir kimliğimiz varsa, o zaman 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k olamaz, çünkü π irrasyonel bir sayıdır ve n/ k rasyonel bir sayıdır. Yani f(t) fonksiyonunun periyodik olduğu yönündeki varsayımımız yanlıştı.
İkinci olarak, periyodik fonksiyonların yukarıdaki özelliklerini kullanırsanız çözüm çok daha basittir:
f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π olsun; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. O halde T 1 / T 2 = 2π/2 = π irrasyonel bir sayıdır, yani. dönemler T 1, T 2 orantılı değildir, yani f(t) periyodik değildir.
Cevap: hayır.
№ 2
Eğer α irrasyonel bir sayı ise fonksiyonun
F(t) = Cos t + Cos αt
periyodik değildir.
Çözüm. f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt olsun.
Daha sonra periyotları sırasıyla T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - en küçük pozitif periyotlar. Haydi bulalım, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ irrasyonel bir sayıdır. Yani T 1 ve T 2 kıyaslanamaz ve işlev
f(t) periyodik değildir.
№ 3
f(t) = Sin 5t fonksiyonunun en küçük pozitif periyodunu bulun.
Çözüm. Özellik öğesi 2'ye göre elimizde:
f(t) – periyodik; T = 2π/5.
Cevap: 2π/5.
№ 4
F(x) = arccos x + arcsin x fonksiyonu periyodik midir?
Çözüm. Bu fonksiyonu ele alalım
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
onlar. F(x) periyodik bir fonksiyondur (bkz. paragraf 5'in özelliği, örnek 1).
Cevap: evet.
№ 5
Fonksiyon periyodik mi?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
çözüm. f 1 (x) = Sin 2x olsun, o zaman T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, bu durumda T 2 = 2π/4 = π/2;
F3(x) = 5, T3 – herhangi bir gerçek sayı, özellikle T 3 T'ye eşit olduğunu varsayabiliriz 1 veya T 2 . O zaman bu fonksiyonun periyodu T = LCM (π, π/2) = π. Yani f(x), T = π periyoduyla periyodiktir.
Cevap: evet.
№ 6
f(x) = x – E(x) fonksiyonu periyodik midir, burada E(x), x argümanını verilen sayıyı aşmayan en küçük tamsayıya atayan bir fonksiyondur.
Çözüm. Genellikle f(x) fonksiyonu (x) ile gösterilir - x sayısının kesirli kısmı, yani.
F(x) = (x) = x – E(x).
f(x) periyodik bir fonksiyon olsun; x – E(x) = x + T – E(x + T) olacak şekilde bir T > 0 sayısı vardır. Bu eşitliği yazalım.
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – D etki alanındaki herhangi bir x için doğru F, T ≠ 0 ve T є Z olması şartıyla. Bunlardan en küçük pozitif olanı T = 1'dir, yani. T =1 öyle ki
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Ayrıca, (x ± Tk) є D f, burada k є Z.
Cevap: Bu fonksiyon periyodiktir.
№ 7
f(x) = Sin x fonksiyonu periyodik midir? 2 .
Çözüm. f(x) = Sin x olduğunu varsayalım. 2 periyodik fonksiyon. O halde, periyodik bir fonksiyonun tanımına göre, şöyle bir T ≠ 0 sayısı vardır: Sin x 2 = Herhangi bir x є D f için Sin (x + T) 2.
Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2/2 Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0 ise
Cos x 2 + (x+T) 2/2 = 0 veya Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0.
İlk denklemi düşünün:
Çünkü x 2 + (x+T) 2/2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
T = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
İkinci denklemi düşünün:
Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
Т = √х 2 - 2πk – x. (2)
(1) ve (2) ifadelerinden, T'nin bulunan değerlerinin x'e bağlı olduğu açıktır, yani. öyle bir T>0 yok ki
Sin x 2 = Sin (x+T) 2
Bu fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için. f(x) periyodik değildir.
Cevap: hayır
№ 8
Periyodiklik açısından f(x) = Cos fonksiyonunu inceleyin 2 kere.
Çözüm. f(x)'i çift açılı kosinüs formülünü kullanarak temsil edelim
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
f 1 (x) = ½ olsun, o zaman T 1 – herhangi bir gerçek sayı olabilir; F 2 (x) = ½ Cos 2x periyodik bir fonksiyondur çünkü ortak T periyoduna sahip iki periyodik fonksiyonun çarpımı 2 = π. O zaman bu fonksiyonun en küçük pozitif periyodu
T = LOC (T 1, T 2) =π.
Yani, f(x) = Cos fonksiyonu 2 x – π – periyodik.
Cevap: π periyodiktir.
№ 9
Periyodik bir fonksiyonun tanım kümesi şu şekilde olabilir mi?
A) yarım çizgi [a, ∞),
B) bölüm?
Çözüm. Hayır çünkü
A) periyodik bir fonksiyonun tanımı gereği, eğer x є D f, o zaman x ± ω da
Fonksiyonun etki alanına ait olmalıdır. x = a olsun, o zaman
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) x = 1 olsun, sonra x 1 = (1 + T)є .
№ 10
Periyodik bir fonksiyon şu şekilde olabilir mi:
A) kesinlikle monoton;
B) çift;
C) bile mi?
Çözüm. a) f(x) periyodik bir fonksiyon olsun; D fonksiyonlarının tanım bölgesinden herhangi bir x için Т≠0 vardır. f neden
(x ±T) є D f ve f (x±T) = f(x).
Herhangi bir x'i düzeltelim 0 є Df , Çünkü f(x) periyodiktir, o halde (x) 0 +T) є D f ve f(x 0) = f(x 0 +T).
F(x)'in kesinlikle monoton olduğunu ve D tanımının tüm alanı boyunca olduğunu varsayalım. F örneğin artar. O halde herhangi bir x için artan bir fonksiyonun tanımı gereği 1 ve x2 D tanımının alanından F eşitsizlikten x 1 2'den f(x 1) sonucu çıkar 2 ). Özellikle x koşulundan 0 0 + T, bundan şu sonuç çıkıyor
F(x0) 0 +T), bu durumla çelişiyor.
Bu, periyodik bir fonksiyonun kesinlikle monoton olamayacağı anlamına gelir.
b) Evet, periyodik bir fonksiyon çift olabilir. Birkaç örnek verelim.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) çift periyodik bir fonksiyondur.
x rasyonel bir sayı ise 0;
D(x) =
x irrasyonel bir sayı ise 1
D(x) = D(-x), D(x) fonksiyonunun tanım bölgesi simetriktir.
Direchlet fonksiyonu D(x) çift periyodik bir fonksiyondur.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Bu fonksiyon eşit değildir.
c) Periyodik bir fonksiyon tek olabilir.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
f(x) tek bir periyodik fonksiyondur.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – tek ve periyodik.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) tek değildir.
f(x) = tan x – tek periyodik fonksiyon.
Cevap: hayır; Evet; Evet.
№ 11
Periyodik bir fonksiyonda kaç sıfır olabilir:
1) ; 2) tüm sayısal eksende, eğer fonksiyonun periyodu T'ye eşitse?
Çözüm: 1. a) [a, b] doğru parçası üzerinde periyodik bir fonksiyonun sıfırları olmayabilir, örneğin f(x) = C, C≠0; f(x) = Çünkü x + 2.
b) [a, b] aralığında periyodik bir fonksiyon sonsuz sayıda sıfıra sahip olabilir, örneğin Direchlet fonksiyonu
0 eğer x rasyonel bir sayı ise,
D(x) =
x irrasyonel bir sayı ise 1
c) [a, b] aralığında periyodik bir fonksiyon sonlu sayıda sıfıra sahip olabilir. Bu sayıyı bulalım.
Fonksiyonun periyodu T olsun. Haydi belirtelim
X 0 = (min x є(a,b), öyle ki f(x) = 0).
O zaman [a, b] segmentindeki sıfırların sayısı: N = 1 + E (c-x 0 /T).
Örnek 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – T = π periyoduna sahip periyodik fonksiyon; X 0 = -π/2; daha sonra belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun sıfır sayısı
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Örnek 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – periyodik fonksiyon, T + 1,
x 0 = -2. O halde belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun sıfır sayısı
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Örnek 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
O zaman bu fonksiyonun belirli bir aralıktaki sıfır sayısı
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Sonsuz sayıda sıfır, çünkü X 0 є D f ve f(x 0 ) = 0 ise tüm sayılar için
Х 0 +Тk, burada k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0 ve x formundaki noktalar 0 ± Tk sonsuz bir kümedir;
b) sıfır içermemelidir; eğer f(x) periyodikse ve herhangi biri için
x є D f fonksiyon f(x) >0 veya f(x)
F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Periyodik olmayan fonksiyonların toplamı periyodik olabilir mi?
Çözüm. Evet belki. Örneğin:
- f1 (x) = x – periyodik olmayan, f 2 (x) = E(x) – periyodik olmayan
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periyodik.
- f1 (x) = x – periyodik değil, f(x) = Sin x + x – periyodik değil
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periyodik.
Cevap: evet.
№ 13
f(x) ve φ(x) fonksiyonu T periyotlu periyodiktir 1 ve T 2 sırasıyla. Ürünleri her zaman periyodik bir fonksiyon mudur?
Çözüm. Hayır, yalnızca T olduğunda 1 ve T 2 – karşılaştırılabilir. Örneğin,
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; sonra T 1 / T 2 = 2π/2 = π irrasyonel bir sayıdır, yani f(x) periyodik değildir.
f(x) = (x) Çünkü x = (x – E(x)) Çünkü x. F olsun 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, bu da f(x)'in periyodik olmadığı anlamına gelir.
Cevap: Hayır.
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
Fonksiyonlardan hangisi periyodiktir, periyodunu bulunuz?
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πх + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, eğer n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
f(x) – T periyodik bir fonksiyon olsun. Fonksiyonlardan hangileri periyodiktir (T'yi bulun)?
- φ(x) = f(x + λ) – periyodik, çünkü Ox ekseni boyunca “kayma” ω'yı etkilemez; periyodu ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – periyodu ω = T olan periyodik fonksiyon.
- φ(х) = f(kh) – ω = T/k periyoduna sahip periyodik fonksiyon.
- φ(x) = f(ax + b), periyodu ω = T/a olan periyodik bir fonksiyondur.
- φ(x) = f(√x) periyodik değildir çünkü tanım alanı Dφ = (x/x ≥ 0) ve periyodik bir fonksiyonun yarı eksen tarafından tanımlanan bir etki alanı olamaz.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) periyodik bir fonksiyondur, çünkü
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- f(x) + c'de φ(x) = a f 2 (x) +.
φ 1 (x) = a f 2 olsun (x) – periyodik, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = f(x) cinsinden – periyodik, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – periyodik, ω 3 – herhangi bir sayı;
bu durumda ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) periyodiktir.
Aksi halde çünkü bu fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamı, ardından f – E fonksiyonunun değerler kümesidir f є D φ , bu fonksiyon anlamına gelir
φ(x) periyodiktir ve ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – ω = T periyoduyla periyodik, çünkü herhangi bir x için f(x) fonksiyonu f(x) ≥ 0 değerlerini alır, yani. onun değer kümesi E f є D φ , burada
Dφ – φ(z) = √z fonksiyonunun tanım alanı.
№ 15
Fonksiyon f(x) = x midir? 2 periyodik?
Çözüm. x ≥ 0 olduğunu düşünürsek, f(x) için ters bir √x fonksiyonu vardır, bu da f(x)'in bu aralıkta monoton bir fonksiyon olduğu ve bu durumda periyodik olamayacağı anlamına gelir (bkz. No. 10).
№ 16
Verilen bir polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.
P(x) periyodik bir fonksiyon mudur?
Çözüm. 1. Eğer özdeşlik bir sabite eşitse P(x) periyodik bir fonksiyondur; Eğer bir i = 0, burada i ≥ 1.
2. P(x) ≠ с olsun, burada с bir sabittir. Diyelim ki P(x) periyodik bir fonksiyondur ve P(x)'in gerçel kökleri olsun, o zaman P(x) periyodik bir fonksiyon olduğundan sonsuz sayıda olması gerekir. Cebirin temel teoremine göre sayıları k, k ≤ n olacak şekildedir. Bu, P(x)'in periyodik bir fonksiyon olmadığı anlamına gelir.
3. P(x) sıfırdan farklı bir polinom olsun ve gerçek kökleri yoktur. Diyelim ki P(x) periyodik bir fonksiyondur. q(x) = a polinomunu tanıtalım 0 q(x) periyodik bir fonksiyondur. P(x) - q(x) = a farkını düşünün 1 x 2 + … +a n x n.
Çünkü Eşitliğin sol tarafında bir periyodik fonksiyon var, o halde sağ taraftaki fonksiyon da periyodiktir ve en az bir reel kökü vardır, x = 0. Çünkü Eğer fonksiyon periyodik ise sonsuz sayıda sıfır bulunmalıdır. Bir çelişki yaşadık.
P(x) periyodik bir fonksiyon değildir.
№ 17
f(t) – T – periyodik bir fonksiyon verildiğinde. f fonksiyonu(t)'ye, nereye
k є Z, periyodik bir fonksiyon, periyotları nasıl ilişkilidir?
Çözüm. İspatı matematiksel fonksiyon yöntemini kullanarak gerçekleştireceğiz. İzin vermek
f 1 = f(t), o zaman f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 4. adımın özelliğine göre periyodik bir fonksiyondur.
………………………………………………………………………….
f k-1 = f k-1 olsun (t) – periyodik fonksiyon ve periyodu T k-1 T dönemiyle karşılaştırılabilir. Son eşitliğin her iki tarafını f(t) ile çarparak f elde ederiz k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k (t), 4. adımın özelliğine göre periyodik bir fonksiyondur. ω ≤ T.
№ 18
f(x) üzerinde tanımlanan keyfi bir fonksiyon olsun. f((x)) fonksiyonu periyodik midir?
Cevap: evet çünkü (x) fonksiyonunun değerler kümesi, f(x) fonksiyonunun tanım alanına aittir, bu durumda 3. maddenin özelliği gereği f((x)) periyodik bir fonksiyondur, periyodu ω = T = 1 .
№ 19
F(x), [-1'de tanımlanan keyfi bir fonksiyondur; 1], f(sinx) fonksiyonu periyodik midir?
Cevap: evet, periyodu ω = T = 2π'dir (No. 18'e benzer kanıt).
