Birim çember üzerindeki noktalar işaretlenmiştir. Birim çemberdeki noktalar nasıl hatırlanır?

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Bu süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak, “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Fakat bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçekliğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi "bir kümede iki özdeş eleman olamaz" ama bir kümede özdeş elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamıza koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Matematikçiye, ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında kalan banknotları alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda bize güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...

Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. İşte bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.

Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Şahsen ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resimden oluşan bir kompozisyon: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.

Umarım sayı çemberi hakkında daha önce bilgi sahibi olmuşsunuzdur ve buna neden sayı çemberi denildiğini, koordinatların kökeninin nerede olduğunu ve hangi tarafın pozitif yön olduğunu biliyorsunuzdur. Değilse koşun! Tabii sayı çemberinde noktalar bulmadığınız sürece.

\(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) sayılarını gösteriyoruz (2 )\)

Önceki yazıdan bildiğiniz gibi sayı çemberinin yarıçapı \(1\)'dir. Bu, çevrenin \(2π\)'ye eşit olduğu anlamına gelir (\(l=2πR\) formülü kullanılarak hesaplanır). Bunu dikkate alarak sayı çemberinin üzerine \(2π\) işaretliyoruz. Bu sayıyı işaretlemek için sayı çemberi boyunca \(0\)'dan gitmemiz gerekiyor, mesafe pozitif yönde \(2π\)'ye eşit ve çemberin uzunluğu \(2π\) olduğu için tam bir devrim yapacağımız ortaya çıktı. Yani \(2π\) ve \(0\) sayısı aynı noktaya karşılık gelir. Endişelenmeyin, bir sayı çemberi için bir noktanın birden fazla değer alması normaldir.

Şimdi sayı çemberinde \(π\) sayısını gösterelim. \(π\), \(2π\)'nin yarısıdır. Dolayısıyla bu sayıyı ve karşılık gelen noktayı işaretlemek için \(0\) noktasından pozitif yönde yarım daire gitmeniz gerekir.

\(\frac(π)(2)\) noktasını işaretleyelim. \(\frac(π)(2)\) \(π\'nin yarısıdır), bu nedenle, bu sayıyı işaretlemek için \(0\)'dan pozitif yönde \('nin yarısına eşit bir mesafe gitmeniz gerekir. π\), yani çeyrek daire.

\(-\)\(\frac(π)(2)\) çemberi üzerindeki noktaları gösterelim. Geçen seferkiyle aynı mesafeyi kat ediyoruz ama olumsuz yönde.

\(-π\) koyalım. Bunun için yarım daire kadar bir mesafeyi negatif yönde yürüyelim.

Şimdi daha karmaşık bir örneğe bakalım. Çemberin üzerinde \(\frac(3π)(2)\) sayısını işaretleyelim. Bunu yapmak için, \(\frac(3)(2)\) kesrini \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\'e çeviririz. ), yani e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Bu, \(0\) noktasından pozitif yönde yarım daire ve bir çeyrek daha gitmeniz gerektiği anlamına gelir.

1. Egzersiz. Sayı çemberi üzerinde \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) noktalarını işaretleyin.

\(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) sayılarını gösteriyoruz (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Yukarıda sayı çemberinin \(x\) ve \(y\) eksenleriyle kesiştiği noktalardaki değerleri bulduk. Şimdi ara noktaların konumunu belirleyelim. Öncelikle \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ve \(\frac(π)(6)\) noktalarını çizelim.
\(\frac(π)(4)\) \(\frac(π)(2)\)'nin yarısıdır (yani, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , yani \(\frac(π)(4)\) mesafesi yarım çeyrek dairedir.

\(\frac(π)(4)\) \(π\)'nin üçte biridir (başka bir deyişle,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), dolayısıyla uzaklık \ (\frac(π)(3)\) yarım dairenin üçte biridir.

\(\frac(π)(6)\) \(\frac(π)(3)\)'ın yarısıdır (sonuçta, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) yani \(\frac(π)(6)\) mesafesi \(\frac(π)(3)\) mesafesinin yarısıdır.

Birbirlerine göre bu şekilde konumlandırılırlar:

Yorum: Değeri \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) olan noktaların konumu ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) hatırlamak daha iyidir. Onlar olmadan, sayı çemberi, monitörü olmayan bir bilgisayar gibi, yararlı bir şey gibi görünüyor, ancak kullanımı son derece sakıncalı.

Şimdi çember üzerindeki noktayı \(\frac(7π)(6)\) gösterelim, bunu yapmak için aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştiriyoruz: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Bundan, sıfırdan pozitif yönde bir mesafe \(π\) ve ardından başka bir \(\frac(π)(6)\) mesafesi kat etmemiz gerektiğini görebiliriz.

Çember üzerinde \(-\)\(\frac(4π)(3)\) noktasını işaretleyin. Dönüşüm: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Bu, \(0\)'dan negatif yönde \(π\) mesafesine ve ayrıca \(\frac(π)(3)\) mesafesine gitmemiz gerektiği anlamına gelir.

\(\frac(7π)(4)\) noktasını çizelim, bunu yapmak için \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) dönüşümü yaparız )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Bu, \(\frac(7π)(4)\ değerine sahip bir noktayı yerleştirmek için, \(2π\) değerine sahip noktadan \(\ uzaklıktaki negatif tarafa gitmeniz gerektiği anlamına gelir. frac(π)(4)\) .

Görev 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) noktalarını işaretleyin. sayı çemberi (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

\(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) sayılarını gösteriyoruz )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

\(10π\)'yi \(5 \cdot 2π\) biçiminde yazalım. \(2π\)'nin bir dairenin uzunluğuna eşit bir mesafe olduğunu hatırlıyoruz, bu nedenle \(10π\) noktasını işaretlemek için sıfırdan \(5\) daireye eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir. Kendimizi tekrar \(0\) noktasında bulacağımızı tahmin etmek zor değil, sadece beş tur atalım.

Bu örnekten şu sonuca varabiliriz:

\(2πn\) farkı olan sayılar, burada \(n∈Z\) (yani, \(n\) herhangi bir tamsayıdır) aynı noktaya karşılık gelir.

Yani, \(2π\)'den büyük (veya \(-2π\)'den küçük) bir sayı koymak için, ondan bir çift sayı \(π\) (\(2π\) çıkarmanız gerekir, \(8π\), \(-10π\)…) ve atın. Böylece noktanın konumunu etkilemeyen sayılardan “boş devirleri” çıkarmış olacağız.

Başka bir sonuç:

\(0\)'ın karşılık geldiği nokta aynı zamanda tüm çift niceliklere \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…) karşılık gelir.

Şimdi çembere \(-3π\) uygulayalım. \(-3π=-π-2π\), yani \(-3π\) ve \(–π\) çember üzerinde aynı yerdedir (çünkü \(-2π'de "boş bir dönüş" ile farklılık gösterirler) \)).

Bu arada, tüm tek \(π\) de orada olacak.

\(π\)'nin karşılık geldiği nokta aynı zamanda tüm tek miktarlara \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) da karşılık gelir.

Şimdi \(\frac(7π)(2)\) sayısını gösterelim. Her zamanki gibi şunu dönüştürüyoruz: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . İki pi'yi atıyoruz ve \(\frac(7π)(2)\) sayısını belirtmek için sıfırdan pozitif yönde \(π+\)\(\'ye eşit bir mesafeye gitmeniz gerektiği ortaya çıkıyor. frac(π)(2)\ ) (yani yarım daire ve başka bir çeyrek).

Okulda trigonometri çalışırken her öğrenci çok ilginç bir kavram olan "sayı çemberi" ile karşı karşıya kalır. Öğrencinin daha sonra trigonometriyi ne kadar iyi öğreneceği, okul öğretmeninin trigonometrinin ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu açıklama becerisine bağlıdır. Ne yazık ki her öğretmen bu materyali net bir şekilde açıklayamıyor. Sonuç olarak, birçok öğrencinin nasıl işaretleneceği konusunda bile kafası karışıyor sayı çemberindeki noktalar. Bu makaleyi sonuna kadar okursanız, bunu sorunsuz bir şekilde nasıl yapacağınızı öğreneceksiniz.

Öyleyse başlayalım. Yarıçapı 1 olan bir daire çizelim. Bu dairenin “en sağdaki” noktasını harfle gösterelim. Ö:

Tebrikler, az önce bir birim çember çizdiniz. Bu dairenin yarıçapı 1 olduğundan uzunluğu 0 olur.

Her gerçek sayı, noktadan itibaren sayı çemberi boyunca yörüngenin uzunluğu ile ilişkilendirilebilir. Ö. Saat yönünün tersine hareket yönü pozitif yön olarak alınır. Negatif için – saat yönünde:

Sayı çemberindeki noktaların konumu

Daha önce de belirttiğimiz gibi sayı çemberinin (birim çember) uzunluğu eşittir. O zaman sayı bu dairenin neresinde yer alacak? Açıkçası, noktadan Ö saat yönünün tersine dairenin uzunluğunun yarısı kadar gitmemiz gerekiyor ve kendimizi istenilen noktada bulacağız. Bunu harfle belirtelim B:

Aynı noktaya negatif yönde yarım daire çizerek ulaşılabileceğini unutmayın. Daha sonra sayıyı birim çemberin üzerine çizerdik. Yani sayılar aynı noktaya karşılık gelmektedir.

Üstelik bu aynı nokta aynı zamanda , , , sayılarına ve genel olarak şeklinde yazılabilen sonsuz bir sayı kümesine de karşılık gelir; burada tamsayılar kümesine aittir. Bütün bunların nedeni şu noktadan itibaren B herhangi bir yönde (çevreyi toplayıp veya çıkararak) "dünyanın etrafında" bir gezi yapabilir ve aynı noktaya ulaşabilirsiniz. Anlamanız ve hatırlamanız gereken önemli bir sonuca varıyoruz.

Her sayı, sayı çemberi üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir. Ancak sayı çemberindeki her nokta sonsuz sayıda sayıya karşılık gelir.

Şimdi sayı çemberinin üst yarım dairesini bir nokta ile eşit uzunlukta yaylara bölelim. C. Yay uzunluğunu görmek kolaydır OC eşittir . Artık asıl konuyu erteleyelim C saat yönünün tersine aynı uzunlukta bir yay. Sonuç olarak asıl noktaya geleceğiz. B. Sonuç oldukça bekleniyor, çünkü . Bu yayı tekrar aynı yöne koyalım, ama şimdi noktadan itibaren B. Sonuç olarak asıl noktaya geleceğiz. D, bu zaten sayıya karşılık gelecektir:

Bu noktanın yalnızca sayıya değil aynı zamanda örneğin sayıya da karşılık geldiğini tekrar unutmayın, çünkü bu noktaya noktadan uzaklaşarak ulaşılabilir. Ö saat yönünde çeyrek daire (negatif yön).

Ve genel olarak bu noktanın şu şekilde yazılabilecek sonsuz sayıda sayıya karşılık geldiğini bir kez daha not ediyoruz: . Ancak formda da yazılabilirler. Veya dilerseniz şeklinde. Bu kayıtların tamamı birbirinin aynısıdır ve birbirlerinden elde edilebilirler.

Şimdi yayı ikiye bölelim OC yarım nokta M. Şimdi yayın uzunluğunun ne olduğunu bulun OM? Bu doğru, yayın yarısı OC. Yani . Nokta hangi sayılara karşılık geliyor? M sayı çemberinde mi? Eminim artık bu sayıların şeklinde yazılabileceğini fark edeceksiniz.

Ancak farklı şekilde yapılabilir. Hadi alalım . O zaman bunu anlıyoruz . Yani bu sayılar şu şekilde yazılabilir: . Aynı sonuç sayı çemberi kullanılarak da elde edilebilir. Daha önce de söylediğim gibi her iki kayıt da eşdeğerdir ve birbirlerinden elde edilebilirler.

Artık noktaların karşılık geldiği sayılara kolayca örnek verebilirsiniz N, P Ve k sayı çemberinde. Örneğin sayılar , ve :

Çoğu zaman sayı çemberinde karşılık gelen noktaları belirlemek için minimum pozitif sayılar alınır. Her ne kadar bu hiç de gerekli olmasa da, nokta N Zaten bildiğiniz gibi sonsuz sayıda başka sayıya karşılık gelir. Örneğin sayı dahil.

Eğer arkı kırarsan OC noktalarla üç eşit yay halinde S Ve L yani mesele bu S noktalar arasında uzanacak Ö Ve L, daha sonra yay uzunluğu işletim sistemi eşit olacak ve yay uzunluğu OL eşit olacaktır. Dersin önceki bölümünde edindiğiniz bilgileri kullanarak sayı çemberinde kalan noktaların nasıl ortaya çıktığını kolayca anlayabilirsiniz:

Sayı çemberinde π'nin katı olmayan sayılar

Şimdi kendimize şu soruyu soralım: 1 sayısına karşılık gelen noktayı sayı doğrusunda nereye işaretlemeliyiz? Bunu yapmak için birim çemberin en “doğru” noktasından başlamanız gerekir. Ö uzunluğu 1'e eşit olacak bir yay çizin. İstenilen noktanın konumunu ancak yaklaşık olarak belirtebiliriz. Aşağıdaki gibi ilerleyelim.

Koordinatlar XÇember üzerinde bulunan noktalar cos(θ)'ya eşittir ve koordinatlar sen sin(θ)'a karşılık gelir; burada θ, açının büyüklüğüdür.

• Bu kuralı hatırlamakta zorlanıyorsanız, (cos; sin) çiftinde "sinüs en sonda gelir" ifadesini unutmayın.
• Bu kural, dik üçgenler ve bu trigonometrik fonksiyonların tanımı dikkate alınarak türetilebilir (bir açının sinüsü, karşı kenarın uzunluğunun oranına ve komşu kenarın kosinüsünün hipotenüse oranına eşittir).

Birim numarası çemberini koordinat düzlemine yerleştirirseniz noktalarının koordinatlarını bulabilirsiniz. Sayı çemberi, merkezi düzlemin orijiniyle, yani O (0; 0) noktasıyla çakışacak şekilde konumlandırılır.

Genellikle birim numaralı daire üzerinde dairenin kökenine karşılık gelen noktalar işaretlenir

• çeyrekler - 0 veya 2π, π/2, π, (2π)/3,
• orta çeyrekler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• çeyreğin üçte biri - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinat düzleminde, birim çemberin yukarıdaki konumu ile çemberin bu noktalarına karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.

Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1, y koordinatı 0'dır. A(0) = A(1;0) şeklinde gösterebiliriz.

İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle B (π/2) = B (0; 1).

İkinci çeyreğin sonu negatif yarı eksendedir: C (π) = C (-1; 0).

Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Peki çeyreklerin orta noktalarının koordinatları nasıl bulunur? Bunu yapmak için bir dik üçgen oluşturun. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijininden) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Daire birim olduğundan hipotenüs 1'e eşittir. Daha sonra daire üzerindeki bir noktadan herhangi bir eksene dik bir çizin. x eksenine doğru olsun. Sonuç, bacaklarının uzunlukları daire üzerindeki noktanın x ve y koordinatlarına eşit olan bir dik üçgendir.

Çeyrek daire 90°'dir. Ve çeyrekliğin yarısı 45°'dir. Hipotenüs çeyreğin orta noktasına çizildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan kenar arasındaki açı 45° olur. Ancak herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Sonuç olarak hipotenüs ile diğer kenar arasındaki açı da 45° kalır. Bunun sonucunda ikizkenar dik üçgen elde edilir.

Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 şeklinde sadeleşir. Çözdüğümüzde x = √½ = 1/√2 = √2/2 elde ederiz.

Böylece M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) noktasının koordinatları elde edilir.

Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve sağ üçgen sadece ters çevrileceğinden değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Şunu elde ederiz:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Bir dairenin çeyreklerinin üçüncü bölümlerinin koordinatlarını belirlerken aynı zamanda bir dik üçgen de oluşturulur. π/6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseni üzerinde bulunan kenar arasındaki açı 30° olacaktır. 30 derecelik bir açıyla karşı karşıya uzanan bacağın hipotenüsün yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Bu, y koordinatını bulduğumuz anlamına gelir, ½'ye eşittir.

Hipotenüsün ve kenarlardan birinin uzunluğunu bildiğimizde, Pisagor teoremini kullanarak diğer kenarı buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Böylece T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

İlk çeyreğin ikinci üçte biri noktası için (π/3), eksene y eksenine dik bir çizgi çizmek daha iyidir. O zaman orijindeki açı da 30° olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Üçüncü çeyreğin diğer noktaları için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. X eksenine yakın olan tüm noktalar √3/2'ye eşit bir modül x koordinat değerine sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar √3/2'ye eşit bir y modülü değerine sahip olacaktır.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)